Λύσεις Θεµάτων Εξεταστικής Ιανουαρίου 2009 Mάθηµα: «Ψηφιακές Επικοινωνίες» G F = 0.8 T F = 73 0 K

Transcript

1 Λύσεις Θεµάτων Εξεταστικής Ιανουαρίου 9 Mάθηµα: «Ψηφιακές Επικοινωνίες» Θέµα 1 ο (3%) A =6 o K P R = 1pWatt SNR IN G LNA =13dB LNA =3 K LNA G F =.8 F = 73 K Φίλτρο G = db F = 8 db Ενισχυτής IF SNR OU 1. Να προσδιορισθεί το πηλίκο σήµατος εισόδου προς θόρυβο εισόδου SNR IN, αν το εύρος ζώνης του σήµατος λήψης είναι 1 MHz (σταθερά Boltzma k = J/ o K).. Να προσδιορισθεί η ισοδύναµη θερµοκρασία θορύβου της αλυσίδας που δίνεται στο παραπάνω σχήµα και αποτελεί τη βαθµίδα εισόδου ενός δέκτη. 3. Να προσδιορισθεί το πηλίκο σήµατος εξόδου προς το θόρυβο εξόδου: SNR OU 4. Προσδιορίστε το Εs/No στην είσοδο του αποδιαµορφωτή που ακολουθεί µε βάση το SNR OU Λύση 1 IN ( ) N = k B A ( ) = = = pwatt SNR IN = SIN 1pW 1 N.83pW = IN

2 Συνολική θερµοκρασία θορύβου των 3 συστηµάτων µετά την κεραία 3 F = + + = + + comp 1 LNA 1 1 ( F 1) G GG G G G LNA LNA F 8/1 73 (1 1) * = = = 13 *.8 16 o K 3 Θόρυβος στην έξοδο του 3 ου µπλοκ (ενισχυτής IF) ( ) N = G k + B out total A comp οπότε SNR OU SOU GtotalSIN SIN = = N G k ( + ) B k ( + ) B OU total A comp A comp 1 1pW 1 W = = = *1 (6 + 13)*1 W 6 1 W 38 (Χειροτερέυει το SNR στην έξοδο σε σχέση µε την είσοδο, λόγω του θορύβου που προσθέτουν τα µηχανήµατα του δέκτη.) 4. E s S S out symol out = = = N N N B SNR OU

3 Θέµα ο (4%) Έστω ότι τα σύµβολα εκποµπής σε βασική ζώνη είναι (δίνεται µέρος του διαγράµµατος αστερισµού στο 1 ο µόνο τεταρτηµόριο):.316+j.316,.9487+j.9487,.316+j.9487,.9487+j Ποιά είναι η ψηφιακή διαµόρφωση και γιατί? Σχεδιάστε το πλήρες διάγραµµα αστερισµού.. Ποιά είναι η ενέργεια εκποµπής κάθε συµβόλου και ποιά η µέση τιµή ενέργειας εκποµπής (θεωρήστε διάρκεια συµβόλου Τ=1sec). 3. Αν ο ποµπός στέλνει µε ρυθµό Rs = 64 Ksymol/sec, ποιό είναι το it rate εκποµπής και ποιό το φάσµα εκποµπής? 4. Για την παραπάνω διαµόρφωση, υπολογίστε την πιθανότητα σφάλµατος του συµβόλου.9487+j.9487 µε κάθε ένα από τα άλλα τρία σύµβολα του 1 ου τεταρτηµορίου, σε δίαυλο µε προσθετικό λευκό Gaussia θόρυβο, µε N =.1 W/Hz. Λύση 16-QAM (4 σύµβολα ανά τεταρτηµόριο 16 σύµβολα συνολικά) Es κάθε συµβόλου x + j y = x + y (δηλαδή το τετράγωνο της απόσταση του από την αρχή των αξόνων στο διάγραµµα αστερισµού) BW = Rs R = log (16) * Rs = 4*Rs (αντιστοιχούν 4 its ανά 16-QAM symol) P 1 4 Η πιθανότητα σφάλµατος µεταξύ δύο συµβόλων εξαρτάται από την Ευκλείδια απόστασή τους µε βάση τη σχέση = Q d 1 N Για παράδειγµα, για τα σύµβολα.9487+j.9487 και.316+j.316, έχουµε ( ) ( ) d( s, s ) = s s + s s ( ) ( ) = + = =.8

4 Οπότε P = Q Q( ) 1.8 =. όπου Q (x) είναι η συµπληρωµατική συνάρτηση σφάλµατος και ορίζεται ως 1 u du ( 17) x Qx ( ) = exp π Q( x) x x Στο ΜΑΤLΑΒ Q () εκφράζεται ως qfuc()=.8 Q (4) εκφράζεται ως qfuc(4)=3.*1-5 Όµοια για τα άλλα σύµβολα του 1 ου τεταρτηµορίου : P total = P 1 + P 13 + P 14

5 Θέµα 3 ο (3%) Έστω ένα σύστηµα µετάδοσης σε βασική ζώνη το οποίο στέλνει ως it 1 το σύµβολο s (t) και ως it το σύµβολο s (t) για διάρκεια Τ 1. σχεδιάστε το δέκτη προσαρµοσµένου φίλτρου (matched filter, καθορίστε την κρουστική απόκριση του φίλτρου) και τον ισοδύναµο δέκτη συσχέτισης (correlator receiver). καθορίστε τις τιµές εισόδου στον φωρατή r (έξοδος δειγµατολήπτη µετά το φίλτρο ή συσχετιστή) που αναµένονται για κάθε σύµβολο 3. ποιό θα πρέπει να είναι το κατώφλι απόφασης του φωρατή και γιατί 4. αν θεωρήσουµε ότι το λαµβανόµενο σήµα έχει προσθετικό λευκό Gaussia θόρυβο µε µηδενική µέση τιµή και διακύµανση σ η =Ν / δώστε τις υποσυνθήκη PDF f (r s ) και f (r -s ) 5. για ισοπίθανα σύµβολα, δώστε τη µέση πιθανότητα σφάλµατος για αυτή τη διαµόρφωση. Πρόκειται για διαµόρφωση Atipodal (σε βασική ζώνη) ή ισοδύναµα BPSK (σε διέλευση ζώνης) αφού χρησιµοποιείται ένας παλµός s(t)=s (t) και ο αντίθετός του!!! O δέκτης υλοποιείται είτε ως Correlator s () t + ( t ) x s ( t ) z () dt r( t ) z( t) r t = s ( t) i είτε ως Matched Filter: s ( t) + ( t ) r ( t) h ( t ) = s( t) z( t) r t = s ( t) i Σχήµα.4 Atipodal NRZ (BPSK without carrier) receiver

6 Έστω ότι στέλνεται το s(t). Τότε έχουµε: [ ] [ ] z ( ) = r( τ) s( τ) dτ = A+ ( τ) Αdτ τ dτ A E =Α Τ + ( ) Α = + ( ) = + ( ) ( 11) Επειδή η τυχαία διαδικασία του θορύβου (t) έχει µέση τιµή µηδέν, προκύπτει ότι Ε[( )] =. H διακύµανση (variace) της συνιστώσας θορύβου στη στατιστική του δείγµατος r που µπαίνει στον φωρατή (εδώ threshold detector) είναι: = ( ) = [ ( ) ( )] σ E E τ t A dtdτ Ν = Ν = Α dt ( t ) N N = A = δ τ A dtdτ E ( 1) Εποµένως, σύµφωνα µε τα παραπάνω, η στατιστική του r θα έχει πυκνότητα πιθανότητας: pr ( s trasmitted) = 1 exp ( r+ E ) σ σ π ( 13) Ενώ αν έχει σταλεί το -s(t) και στατιστική pz ( strasmitted) = 1 exp ( r E ) σ σ π ( 14)

7 Regio Likelihood of -s Regio Likelihood of s P[z -s set] Decisio Lie P[z s set] -Ε γ o Ε P e (s ) Σχήµα.5 Περιοχές ανίχνευσης για τα δύο σύµβολα εκποµπής ΕΙΝΑΙ ΠΡΟΦΑΝΕΣ ΟΤΙ ΤΟ HRESHOLD OY SYMBOL DEECOR (ΦΩΡΑΤΗΣ) ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΜΗ ΕΝ (γ = ), οπότε για θετικές τιµές του r αποφασίζουµε για το s(t), ενώ για αρνητικές τιµές του r αποφασίζουµε για το -s(t) Η συνιστώσα θορύβου ( ), που προέρχεται από τη τυχαία διεργασία (t), παραµορφώνει το σήµα προκαλώντας λάθη στον ανιχνευτή. Η πιθανότητα σφάλµατος υπολογίζεται εύκολα, ως εξής: Έστω ότι εκπέµπεται το s (t)= s(t). Τότε η πιθανότητα σφάλµατος ισούται µε τη πιθανότητα ότι r <, δηλαδή [ ( )] = Pr [ < ] P error s t 1 = σ π E / σ ( r E ) σ y r E 1 y = = e dy σ σ π 1 E E E dy = dr = 1 Q = Q = Q σ σ σ N e dr ( 15) Με παρόµοιο τρόπο µπορούµε να αποδείξουµε ότι: [ ( )] ( / ) P error s t = Q E N ( 16)

8 Άρα η µέση πιθανότητα σφάλµατος συµβόλων (εδώ its), θεωρώντας ισοπίθανα και ανεξάρτητα σύµβολα µετάδοσης, για οµόδυνο δυαδικό PSK ισούται µε P = p( sset)* P( error sset) + p( sset)* P( error sset) 1 1 = Q( E/ N) + Q( E/ N ) = Q( E/ N )