Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση

Transcript

1 Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση

2 Σύνδεση με τα Προηγούμενα Σχεδιάστηκε ο βέλτιστος δέκτης για κανάλι AWGN Επειδή πάντοτε υπάρχει ο θόρυβος, ακόμη κι ο βέλτιστος δέκτης κάνει σφάλματα απόφασης ως προς τα σύμβολα που μεταδόθηκαν Ερωτήματα: Μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα σφάλματος; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται; Πώς συγκρίνονται οι διάφορες διαμορφώσεις ως προς την πιθανότητα σφάλματος; Στο πλαίσιο αυτού του μαθήματος θα δούμε κάποιες βασικές έννοιες περιοριζόμενοι στις απλές διαμορφώσεις: δυαδικά αντίποδα σήματα (π.χ. -PAM) δυαδικά ορθογώνια σήματα (π.χ. -PPM/-FSK)

3 Δυαδικά Αντίποδα Σήματα Θεωρήστε -PAM βασικής ζώνης Χαρακτηριστικά: κυματομορφές s (t)=g T (t), s (t)=-g T (t), g T (t) παλμός που είναι μηδέν εκτός του [0,T] ενέργεια παλμού=ενέργεια συμβόλου (it)= Ε Ορισμός: Δύο σήματα που είναι αντίθετα μεταξύ τους, s (t)=-s (t), λέγονται αντίποδα Αστερισμός (Μονοδιάστατος χώρος, Μ=, Ν=) με συνάρτηση βάσης, στην περίπτωση βασικής ζώνης, την: ( ) ( ), 0 ψ t = g t E t T T 3

4 Αποδιαμόρφωση Έστω ότι στάλθηκε το σήμα s (t) και ότι τα δύο σύμβολα είναι ισοπίθανα Το λαμβανόμενο σήμα r(t) διέρχεται από τον αποδιαμορφωτή (συσχέτισης ή προσαρμοσμένου φίλτρου) Έξοδος αποδιαμορφωτή (διάνυσμα διάστασης ): r = s + n= E + n n: συνιστώσα θορύβου AWGN, μηδενικής μέσης τιμής διασποράς σ n =N 0 / 4

5 Φώραση Ο φωρατής υπολογίζει τις αποστάσεις D(r,s ) και D(r,s ) επιλέγει το σύμβολο με τη μικρότερη απόσταση περαιτέρω απλοποίηση στο -PAM εξέταση προσήμου r> 0 Drs, < Drs, s ( ) ( ) r< 0 Drs, > Drs, s ( ) ( ) Η τυχαία μεταβλητή r ακολουθεί Gaussian κατανομή διασποράς Ν 0 / με μέση τιμή s ή s, ανάλογα με το ποιο σύμβολο στάλθηκε 5

6 Κατανομή του r ( ) f rs = π N 0 e ( r+ E ) N 0 ( ) f rs = π N 0 e ( r E ) N 0 Υπό συνθήκη κατανομές του r 6

7 Πιθανότητα Σφάλματος -PAM Περιπτώσεις εσφαλμένης φώρασης. στάλθηκε το s και αποφασίστηκε το s. το αντίθετο Στην πρώτη περίπτωση μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε την πιθανότητα ( ) = ( < 0 ) P es P r s Από την αντίστοιχη υπό συνθήκη pdf, ισχύει 0 0 ( ) ( ) ( ) r E 0 = = N P e s f r s dr e dr π N 0 7

8 Πιθανότητα Σφάλματος -PAM () E N0 x x P e s = e dx = e dx ( ) π π E = Q N0 E N 0 Η συνάρτηση Q ορίζεται ως η πιθανότητα «ουράς» μιας τυπικής κανονικής κατανομής Ν(0,) (δηλαδή η πιθανότητα η τ.μ. να είναι μεγαλύτερη από κάποιο x ) ( ) = t Q x e dt π x Q( ) =, Q( 0 ) =, Q( ) = 0, 8

9 Πιθανότητα Σφάλματος -PAM (3) Λόγω συμμετρίας του προβλήματος, η άλλη περίπτωση σφάλματος εμφανίζεται με την ίδια πιθανότητα ( ) P es E = Q N0 Επειδή τα δύο σύμβολα είναι ισοπίθανα, η μέση πιθανότητα σφάλματος it (συμβόλου) είναι E ( ) ( ) P = P es + P es = Q N0 9

10 Παρατηρήσεις. Ορισμός: Ο λόγος E /N 0 καλείται λόγος σήματος-προς-θόρυβο ανά it signal-to-noise ratio per it (SNR/it). Η πιθανότητα σφάλματος σε κανάλια AWGN εξαρτάται μόνο από το SNR 3. Η τιμή E /N 0 είναι επίσης και το SNR εξόδου του αποδιαμορφωτή προσαρμοσμένου φίλτρου 4. Εφόσον η απόσταση των δύο σημείων είναι d = E η πιθανότητα σφάλματος γράφεται και ως P d = Q N0 0

11 Δυαδικά Ορθογώνια Σήματα Ορισμός: δύο σήματα s (t), s (t) λέγονται ορθογώνια όταν ( ) ( ) = 0 s t s t dt Αστερισμός (Δισδιάστατος χώρος, Ν=Μ=): π.χ. -PPM, -FSK Διανύσματα σήματος s s = 0 E = 0 E T T Ενέργεια E Απόσταση σημείων: E

12 Πιθανότητα Σφάλματος -PPM Υποθέσεις: τα δύο σύμβολα είναι ισοπίθανα έστω τώρα ότι στάλθηκε το σύμβολο s Έξοδος αποδιαμορφωτή = + = r s n E n + n Περιπτώσεις εσφαλμένης απόφασης:. στάλθηκε το s και αποφασίστηκε το s. το αντίθετο

13 Πιθανότητα Σφάλματος -PPM () Στην πρώτη περίπτωση, αναζητούμε την πιθανότητα ( ) ( s ) = r s > r s s ( (, rs) > (, rs) s) P e P P C C ( ) ( ) = P n > E + n = P n n > E Όπου χρησιμοποιήθηκε η μετρική συσχέτισης T C ( rs, ) = rs s m m m Ελάχιστη Απόσταση º Μέγιστη Συσχέτιση ( ) ( ) T T r rsm + sm rsm sm min max s m Η διαφορά (n -n ) είναι Gaussian τ.μ. μηδενικής μέσης τιμής με διασπορά N 0, δηλαδή διπλάσια των επιμέρους διασπορών s m 3

14 Πιθανότητα Σφάλματος -PPM (3) Η πιθανότητα σφάλματος είναι ( ) π N x N0 P n n > E = e dx Στην αντίθετη περίπτωση εσφαλμένης φώρασης προκύπτει το ίδιο αποτέλεσμα 0 E = Q N0 E Αν τα σύμβολα είναι ισοπίθανα, η μέση πιθανότητα σφάλματος είναι P E = Q N0 4

15 Σύγκριση Δυαδικών Σημάτων Δυαδικά Αντίποδα -PAM -PSK Δυαδικά Ορθογώνια -FSK -PPM P E = Q N0 P E = Q N0 Ως προς την πιθανότητα σφάλματος, τα δυαδικά αντίποδα είναι προτιμότερα Τα ορθογώνια απαιτούν διπλάσιο SNR για να πετύχουν την ίδια πιθανότητα σφάλματος Διπλάσιο SNR Διπλάσια ισχύς εκπομπής Επειδή 0log 0 =3, τα δύο SNR εκφρασμένα σε [db] διαφέρουν κατά 3dB 5

16 BER συναρτήσει του SNR 3dB διαφορά 6

17 Μοντελοποίηση ως BSC Η ψηφιακή μετάδοση δυαδικής πληροφορίας μέσω ενός καναλιού AWGN είτε με δυαδική αντίποδη σηματοδοσία, είτε με δυαδική ορθογώνια σηματοδοσία, μπορεί να μοντελοποιηθεί ως Binary Symmetric Channel -p s p p ŝ Με πιθανότητα εσφαλμένης μετάδοσης p = Q s E E ή N p Q 0 N0 -p = ŝ 7