ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ. ΑΛΛΑΓΕΣ ΣΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ.

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Λεμονίδης, Χ., Κολλινιάτη, Β. (2007). Τα Μαθηματικά της φύσης και της ζωής. Αλλαγές στο έργο του εκπαιδευτικού των μαθηματικών. Πρακτικά 9 ου Παγκύπριου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης, Πάφος 2-4 Φεβρουαρίου, σελ. 39-49. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ. ΑΛΛΑΓΕΣ ΣΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Χαράλαμπος Λεμονίδης* & Βασιλική Καλλινιάτη** *Καθηγητής Διδακτικής των Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας **Μαθηματικός, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΠΕΡΙΛΗΨΗ Tα Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής ένας τίτλος που εκφράζει μια αντίληψη για τη διδασκαλία των μαθηματικών, η οποία αναπτύχθηκε στο Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης της Φλώρινας. Η αντίληψη αυτή εντάσσεται μέσα στα πλαίσια του γενικότερου ρεύματος των μεταρρυθμίσεων σε παγκόσμιο επίπεδο που είναι υπέρ της μείωσης του χάσματος μεταξύ των μαθηματικών της καθημερινής ζωής και των μαθηματικών του σχολείου. Οι μεταρρυθμίσεις θέτουν στο επίκεντρο της εκπαιδευτικής διαδικασίας τον μαθητή, ο οποίος καλείται να ανακαλύψει ο ίδιος και να κατανοήσει τα μαθηματικά ως ένα ανθρώπινο δημιούργημα. Στην εργασία αυτή θα περιγράψουμε τη λογική και τις αρχές των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής. Θα αναφερθούμε στις σημαντικότερες αλλαγές που πραγματοποιήθηκαν στα νέα βιβλία των μαθηματικών της Α και Γ τάξης του Δημοτικού Σχολείου. Τέλος θα περιγράψουμε το νέο ρόλο του εκπαιδευτικού των μαθηματικών και τις αλλαγές στο εκπαιδευτικό του έργο. Θα δείξουμε ότι ο εκπαιδευτικός των μαθηματικών χειρίζεται και μεταδίδει τα μαθηματικά διαφορετικά από τον ερευνητή των μαθηματικών. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής» 1 είναι η επωνυμία της αντίληψης για τη διδασκαλία των μαθηματικών που αναπτύχθηκε στο εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών της Φλώρινας. Μια ομάδα επιστημόνων και εκπαιδευτικών της πράξης διεξάγει έρευνες και παράγει εκπαιδευτικό υλικό με σκοπό τη βελτίωση της εκπαίδευσης των διδασκόντων των μαθηματικών στον Ελλαδικό χώρο. Στα πλαίσια των εργασιών αυτής της ομάδας γράφτηκαν και τα καινούργια βιβλία των μαθηματικών για την Α και Γ τάξη του Δημοτικού Σχολείου που διδάσκονται από το ακαδημαϊκό έτος 2006-2007. Η αντίληψη αυτή εκτός από την κλασική εκπαίδευση βρίσκει επίσης 1 Περισσότερα στοιχεία για τα «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής» μπορείτε να βρείτε στην ιστοσελίδα: http://www.eled.uowm.gr/mathslife.html 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 39

Χ. Λεμονίδης. εφαρμογή και στη διδασκαλία των ενηλίκων στα «Σχολεία Δεύτερης Ευκαιρίας». Τα σχολεία αυτά απευθύνονται σε ενήλικες που δεν κατάφεραν να ολοκληρώσουν τις σπουδές τους στο Γυμνάσιο. Η διδασκαλία των μαθηματικών σε αυτά τα σχολεία πραγματοποιείται με τη λογική του μαθηματικού Γραμματισμού ή του Αριθμητισμού. Αρχή πρώτη: Κίνητρα για μάθηση Μια από τις βασικές μας αρχές είναι ότι η διδασκαλία των μαθηματικών θα πρέπει να είναι ευχάριστη και ενδιαφέρουσα ώστε να δημιουργεί κίνητρα για μάθηση. Ένας από τους σημαντικότερους παράγοντες για τους οποίους θα πρέπει να ενδιαφέρεται η κοινότητα των εκπαιδευτικών των μαθηματικών είναι στάση των μαθητών ως προς το μάθημα των μαθηματικών. Είναι προφανής και γνωστή παγκοσμίως η σχέση που έχουν οι Έλληνες με τα μαθηματικά. Πιστεύουμε ότι τα μαθηματικά αποτελούν μέρος, ίσως το σημαντικότερο, του Ελληνικού πολιτισμού. Το έργο των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών συνέβαλε ουσιαστικά και καθόρισε την ανάπτυξη και την πορεία της επιστήμης σε παγκόσμιο επίπεδο. Τα μαθηματικά των Ελλήνων, όπως η ευκλείδεια γεωμετρία, διδάσκονταν για αιώνες και διδάσκονται μέχρι και σήμερα στα σχολεία όλης της υφηλίου. Δυστυχώς όμως, στη σύγχρονη Ελλάδα, η θέση των μαθηματικών στην κοινωνία, αλλά και στην εκπαίδευση, δεν είναι ανάλογη του βάρους της παράδοσής μας. Μια κοινότητα Ελλήνων μαθηματικών θα πρέπει να αισθάνεται ευθύνες και να προσπαθεί να απαντήσει σε ερωτήματα όπως: Ο ελλαδικός χώρος αναδεικνύει και προβάλει το έργο των ελληνικών μαθηματικών; Τα μαθηματικά για τους σύγχρονους Έλληνες αποτελούν στοιχείο το πολιτισμού τους; Γνωρίζει ο μέσος Έλληνας Μαθηματικός την ιστορία των Μαθηματικών ή των ελληνικών Μαθηματικών; Μαθαίνει ο Έλληνας μαθητής με αποτελεσματικό τρόπο την ιστορία των μαθηματικών ή των ελληνικών μαθηματικών; Ξέρει ο μέσος Έλληνας πολίτης την ιστορία των Ελληνικών μαθηματικών; Ο Έλληνας μαθητής ή ο κάθε πολίτης νοιώθει θετικά συναισθήματα ως προς τα Μαθηματικά; Η σύγχρονη Ελλαδική κοινωνία για να ανταποκριθεί σε αυτήν την βαριά πολιτισμική κληρονομιά οφείλει να κάνει και να διορθώσει πολλά πράγματα. Για παράδειγμα στο επιστημονικό επίπεδο δεν έχει αναπτυχθεί όσο έπρεπε η έρευνα για την ιστορία των μαθηματικών. Δεν υπάρχουν ινστιτούτα έρευνας της ιστορίας των μαθηματικών και επιστημονικό υλικό διεθνούς κύρους που θα αναδεικνύουν τα ελληνικά μαθηματικά. Οι Έλληνες εκπαιδευτικοί που διδάσκουν τα μαθηματικά γνωρίζουν από καθόλου έως ελάχιστα πράγματα για την ιστορία των μαθηματικών. Η εκπαίδευση των μαθηματικών στα Πανεπιστήμια γίνεται με τέτοιο τρόπο που δεν τους προετοιμάζει για την εκπαίδευση. Για παράδειγμα, μερικά μόνο Τμήματα Μαθηματικών έχουν κάποια θέση στη Διδακτική των Μαθηματικών και όταν υπάρχει το μάθημα αυτό είναι μάθημα επιλογής. Ο μέσος Έλληνας διακατέχεται συνήθως από το αίσθημα της μαθηματικοφοβίας και η αρνητική του στάση προς τα μαθηματικά πηγάζει κυρίως από τη σχολική του εκπαίδευση. Τα μαθηματικά προσελκύουν συνήθως αυτούς που ήδη είχαν έφεση και ακολούθησαν θετική κατεύθυνση στις σπουδές τους. Αρέσουν δηλαδή 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 40

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής σε αυτούς που έχουν ήδη διαμορφωμένη στάση και η εκπαίδευση του σχολείου δεν μπορεί να την επηρεάσει. Αρχή δεύτερη: Τα μαθηματικά είναι για όλους Μια άλλη αρχή στην οποία πιστεύουμε είναι ότι τα μαθηματικά είναι για όλους. Αυτή η αυτονόητη αρχή της υποχρεωτικής εκπαίδευσης σημαίνει ότι σε όλους τους μαθητές, είτε έχουν ή όχι ιδιαίτερη κλίση, είτε ανήκουν σε εθνικές μειονότητες, είτε έχουν μαθησιακές δυσκολίες, κ.ά, το εκπαιδευτικό σύστημα οφείλει να διδάξει τα μαθηματικά και να μη δημιουργηθεί αρνητική στάση προς το μάθημα αυτό. Αυτό το σύνθετο έργο εκτός από το κατάλληλο εκπαιδευτικό υλικό αναφέρεται περισσότερο στον εκπαιδευτικό και τη διδασκαλία που θα πραγματοποιήσει μέσα στην τάξη. Τα βιβλία των μαθηματικών αλλά και η διδασκαλία των εκπαιδευτικών θα πρέπει να δίνουν σε όλους τους μαθητές ανεξαιρέτως, την ευκαιρία να προβληματιστούν, να ασχοληθούν με ευχάριστες για αυτούς δραστηριότητες και να μάθουν σύμφωνα με την προσωπική τους υποδομή και ρυθμούς. Αρχή τρίτη: Μάθηση βασισμένη στη δράση και την ανακάλυψη Μια άλλη αρχή της σύγχρονης διδασκαλίας που ακολουθούμε στα βιβλία μας είναι ότι ο μαθητής μαθαίνει καλύτερα όταν δρα και ανακαλύπτει μόνος του τη γνώση με βάση αυτό που ήδη γνωρίζει. Ο μαθητής ασχολείται με καταστάσεις και προβλήματα οικεία και ευχάριστα μέσα από τα οποία οδηγείται, πιθανώς με αντιφάσεις και λάθη, στη νέα γνώση. Μέσα στην τάξη οι μαθητές προβληματίζονται, επικοινωνούν, δουλεύουν συλλογικά, εκθέτουν τις σκέψεις τους χωρίς το φόβο του λάθους. Στα νέα βιβλία των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής τις περισσότερες φορές η διδασκαλία ξεκινάει με ευχάριστα παιχνίδια, δραστηριότητες ή προβλήματα τα οποία προέρχονται από το άμεσο περιβάλλον του παιδιού. Με προβληματισμό, συζήτηση, δόμηση πάνω στην προϋπάρχουσα γνώσης και ομαδική δουλειά οι μαθητές ανακαλύπτουν τα μαθηματικά. Για αυτό το λόγο ονομάσαμε τα βιβλία μας αλλά και τη σχολή που πρεσβεύουμε «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής». Δίνουμε μεγάλη σημασία στο τι καταστάσεις χρησιμοποιούμε για να παρουσιάσουμε τα μαθηματικά. Θέλουμε να είναι καταστάσεις ευχάριστες και οικίες για τα παιδιά και να λειτουργούν παιδευτικά. Έτσι λοιπόν χρησιμοποιούμε κατοικίδια και άγρια ζώα που μετρούμε το βάρος, τα πόδια και τις γέννες τους για να κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. Προτείνονται παιχνίδια με νομίσματα ο ταμίας της τράπεζας- για να ασκηθούν οι μαθητές στην πρόσθεση και την ανάλυση των αριθμών. Παρουσιάζονται έργα από τη λαϊκή παράδοση και τη σύγχρονη τέχνη για να διδαχτεί η γεωμετρία. Δίνονται πολλά στοιχεία από την ιστορία των μαθηματικών. 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 41

Χ. Λεμονίδης. Για παράδειγμα, οι μικροί ήρωες του βιβλίου ονομάζονται Πυθαγόρας και Υπατία που ήταν η πρώτη γυναίκα μαθηματικός. 2. ΒΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 2.1. Σύνδεση των μαθηματικών του σχολείου με την καθημερινή ζωή Τα τελευταία χρόνια σε παγκόσμιο επίπεδο εμφανίστηκαν μεταρρυθμίσεις στη διδασκαλία των μαθηματικών σε χώρες όπως η Ολλανδία (Ρεαλιστικά Μαθηματικά), οι ΗΠΑ (Standards 2000), η Αγγλία (Αριθμητισμός) κ.ά. Οι μεταρρυθμίσεις αυτές επιδιώκουν να κάνουν τα μαθηματικά όσο το δυνατόν πιο ευχάριστα και προσιτά στο μαθητή ακολουθώντας τις ικανότητες και τις προϋπάρχουσες γνώσεις του και όχι το φορμαλισμό και το δρόμο της επιστημονικής θεώρησης. Λαμβάνεται υπόψη το κοινωνικό και πολιτισμικό περιβάλλον μέσα στο οποίο λαμβάνει χώρα η διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών. Υπάρχουν αναλυτικά προγράμματα όπως της Ολλανδίας που προαναφέραμε, του Πανεπιστημίου του Chicago (Everyday Mathematics), κ.ά. τα οποία δίνουν ιδιαίτερη έμφαση στη σύνδεση των μαθηματικών με την καθημερινή ζωή. Αρκετές έρευνες πραγματοποιήθηκαν τον τελευταίο καιρό, κυρίως σε χώρες του Τρίτου κόσμου, για να εξεταστεί η σχέση των μαθηματικών που εφαρμόζονται στην καθημερινή ζωή και των μαθηματικών του σχολείου (Lave, 1977, Saxe, 1991, Nunes και άλλ. 1993). Βρέθηκε ότι οι μαθητές χρησιμοποιούν με διαφορετικό τρόπο τα μαθηματικά στην καθημερινή ζωή από ότι στο σχολείο και δεν υπάρχει μεταφορά των μεθόδων που χρησιμοποιούνται στην καθημερινότητα μέσα στο σχολείο. Πραγματοποιήθηκαν επίσης έρευνες σχετικά με την χρήση των μαθηματικών σε διάφορα επαγγέλματα όπως των νοσοκόμων (Hoyles και άλλ. 2001), των μαραγκών (Millroy, 1992), των πολιτικών μηχανικών (Hall & Stevens, 1995) και όλες σχεδόν κατέληγαν σε ένα παρόμοιο συμπέρασμα: ότι οι περισσότεροι ενήλικοι χρησιμοποιούν τα μαθηματικά για να κατανοήσουν τις καταστάσεις με τέτοιους τρόπους που διαφέρουν ριζικά από εκείνους των μαθηματικών. Είναι γνωστή η παιδαγωγική και διδακτική αρχή ότι κάποιος μαθαίνει καλύτερα, όταν οι καταστάσεις τις οποίες αντιμετωπίζει του είναι οικείες και έχει θετικά συναισθήματα για αυτές. Στο εκπαιδευτικό υλικό που κατασκευάσαμε δίνεται λοιπόν μεγάλη σημασία στο περιεχόμενο των καταστάσεων και των προβλημάτων με τα οποία διδάσκονται τα μαθηματικά. Επιδιώκεται αυτό το περιεχόμενο να είναι οικείο και ευχάριστο στα παιδιά για να δημιουργεί διάθεση να ασχοληθούν με τα μαθηματικά. Στα μαθηματικά της φύσης και της ζωής αντλούνται οι καταστάσεις οι οποίες χρησιμοποιούνται ως αφετηρία για την εισαγωγή των μαθηματικών εννοιών από τη 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 42

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής φύση, τη ζωή και τον πολιτισμό. Όσον αφορά τη φύση δίνετε έμφαση σε κανόνες και τρόπους προστασίας του περιβάλλοντος. Με τον όρο πολιτισμό εννοούμε τη ζωγραφική, τη λαϊκή παράδοση και γενικότερα τα έργα της τέχνης. Εννοούμε επίσης, την ιστορία των ελληνικών αλλά και των παγκόσμιων μαθηματικών. Έτσι για παράδειγμα με τα έξι πόδια των εντόμων ή τα οκτώ πόδια του χταποδιού εισάγουμε την προπαίδεια του έξι και του οκτώ αντίστοιχα. Σε θέματα αναδάσωσης, ανακύκλωσης και υγιεινής διατροφής θέτουμε προβλήματα των τεσσάρων πράξεων. Για την γεωμετρία χρησιμοποιούμε πίνακες μοντέρνας τέχνης και έργα της λαϊκής παράδοσης, όπως τα εργόχειρα, για να ανακαλύψουν οι μαθητές τα γεωμετρικά σχήματα, τη συμμετρία κτλ. Όπου δίνεται η ευκαιρία κάνουμε αναφορές στην ιστορία των μαθηματικών, στους Έλληνες μαθητικούς αλλά και σε μαθηματικούς από όλο τον κόσμο. 2.2. Μέθοδος της ανακάλυψης και κίνηση από το συγκεκριμένο προς το αφηρημένο Τα ερευνητικά δεδομένα από το χώρο της Ψυχολογίας και της Διδακτικής μας δείχνουν ότι κάθε άτομο κατασκευάζει μόνο του τη νέα γνώση με βάση τα γνωστικά σχήματα που διαθέτει. Ο μαθητής λοιπόν θα πρέπει να έρθει σε επαφή και να χειριστεί κατάλληλες καταστάσεις οι οποίες θα του δώσουν την ευκαιρία να χρησιμοποιήσει την προϋπάρχουσα γνώση του και να κινηθεί ώστε να ανακαλύψει και να κατασκευάσει μόνος του τη νέα γνώση. Τα μαθηματικά δημιουργήθηκαν και δημιουργούνται μέσα από ερωτήματα και προβλήματα της ζωής, του φυσικού περιβάλλοντος αλλά και αυτών των ίδιων των μαθηματικών. Οι μαθηματικοί με αφετηρία καταστάσεις και προβλήματα της πραγματικότητας με διαδοχικές επεξεργασίες και αφαιρέσεις, ανακαλύπτουν γενικούς κανόνες και μαθηματικούς τύπους. Ακολουθούν δηλαδή μια πορεία από το συγκεκριμένο και το εμπειρικό προς το αφηρημένο και το γενικό. Η πορεία αυτή, η «μαθηματικοποίηση», είναι από τις πιο σημαντικές διαδικασίες στη δημιουργία των μαθηματικών. Σε μια παραδοσιακή διδασκαλία τα αποτελέσματα των μαθηματικών παρουσιάζονται στους μαθητές έτοιμα, αναίτια και ξεκομμένα. Δεν δίνεται η ευκαιρία στους μαθητές να ακολουθήσουν την πορεία της ανακάλυψης. Αυτή η πρακτική αφήνει πολλά ερωτηματικά όπως: Γιατί το κάνω; Τι σχέση έχει με την πραγματικότητα; Πως συνδέεται με τα υπόλοιπα; κτλ. Τα μαθηματικά με αυτό τον τρόπο χάνουν το ενδιαφέρον τους και γίνονται ανούσια και δύσκολα για πολλούς μαθητές. Στα Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής επιδιώκεται να οδηγηθούν οι μαθητές να τα ανακαλύψουν μόνοι τους και να κινηθούν από το συγκεκριμένο προς το αφηρημένο. Όταν λοιπόν ένας μαθητής αντιμέτωπος με ένα καθημερινό πρόβλημα σκέπτεται και ανακαλύπτει μόνος του τις μαθηματικές έννοιες καταλαβαίνει καλύτερα το λόγο για τον οποίο ασχολείται και που εφαρμόζονται τα μαθηματικά. Με αυτόν τον τρόπο τα μαθηματικά γίνονται πιο λειτουργικά, πιο δυναμικά και έχουν νόημα για τον μαθητή. 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 43

Χ. Λεμονίδης. Για να εισαχθούν λοιπόν καινούργιες έννοιες προτείνονται οι εισαγωγικές δραστηριότητες που περιγράφονται στο βιβλίο του δασκάλου. Αυτές οι εισαγωγικές δραστηριότητες έχουν βιωματικό χαρακτήρα. Μπορεί να είναι ένα παιχνίδι, ένα πρόβλημα, ένα λογοτεχνικό κείμενο, κτλ. Τα παιδιά δουλεύουν ομαδικά ή ατομικά σε αυτές τις βιωματικές δραστηριότητες που είναι κατάλληλα επιλεγμένες ώστε να οδηγήσουν τους μαθητές να ανακαλύψουν τη νέα μαθηματική έννοια. 2.3. Διάφορες σημειολογικές αναπαραστάσεις στην παρουσίαση του εκπαιδευτικού υλικού Σε πολλές έρευνες έχει φανεί ότι ο διαφορετικός σημειολογικός τρόπος παρουσίασης μιας μαθηματικής έννοιας μπορεί να δημιουργεί και διαφορετική συμπεριφορά από την πλευρά των μαθητών (Γαγάτσης, 2004, Duval, 1995, Lemonidis, 2003). Οι διαφορετικές αναπαραστάσεις των αριθμητικών ποσοτήτων παίζουν ένα πολύ σημαντικό ρόλο στη διδασκαλία και στη μάθηση των πρώτων μαθηματικών εννοιών. Σε μια πρόσφατη έρευνα (Lemonidis, 2003) αναλύονται οι αναπαραστάσεις των αριθμητικών ποσοτήτων και δείχνεται πως μπορεί να εμφανιστούν με διαφορετικές εκφράσεις, όπως εικονικά, συμβολικά, κτλ. Αυτές οι διαφορετικές εκφράσεις αφενός συνεπάγονται διαφορετικές καταστάσεις διδασκαλίας και αφετέρου διαφορετικές διαδικασίες υπολογισμού και άλλους τρόπους κατανόησης από την πλευρά των μαθητών. Τα αποτελέσματα της έρευνας σε δύο ομάδες μαθητών δείχνουν ότι σχετικά με την επιτυχία στις απλές πράξεις, η πειραματική ομάδα που διδάχτηκε στη λογική των διαφορετικών αναπαραστάσεων των αριθμητικών ποσοτήτων, πέτυχε αποτελέσματα πολύ ανώτερα από την άλλη ομάδα, που διδάχτηκε με παραδοσιακό τρόπο. Στα βιβλία των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής εξετάζεται με προσοχή ο τρόπος με τον οποίο παρουσιάζονται στους μαθητές οι διάφορες διδακτικές δραστηριότητες. Γνωρίζουμε ότι ιδιαιτέρα σε μαθητές μικρής ηλικίας η παρουσίαση των δραστηριοτήτων μέσω χειραπτικών αντικειμένων ή εικονικών αναπαραστάσεων ή συμβολικών αναπαραστάσεων διαφοροποιεί κάθε φορά τη συμπεριφορά τους και απαιτεί μια διαφορετική γνωστική λειτουργία. Στα βιβλία αυτά οι μαθηματικές έννοιες φροντίζουμε να παρουσιάζονται με πολλούς και διαφορετικούς σημειολογικούς τρόπους. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι το παιχνίδι ρόλων οι μαθηματικοί, οι ζωγράφοι και οι λογοτέχνες, το οποίο χρησιμοποιείται για τη διδασκαλία των πολυψήφιων αριθμών και των κλασμάτων. Το κλάσμα για παράδειγμα, οι μαθηματικοί το γράφουν με σύμβολο, οι ζωγράφοι το σχεδιάζουν σ ένα διάγραμμα και οι λογοτέχνες το γράφουν με αριθμολέξεις. Με βάση τη σπουδαιότητα των σημειολογικών αναπαραστάσεων και το λεπτό χειρισμό τους στη διδασκαλία δημιουργείτε η απαίτηση από τους διδάσκοντες να γνωρίζουν και να μπορούν να χειρίζονται τις σημειολογικές διαφοροποιήσεις με βάση τις γνωστικές δυνατότητες των παιδιών. 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 44

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Σε μια έρευνα (Λεμονίδης, Χ., 2003δ) εξετάστηκαν υποψήφιοι δάσκαλοι ως προς τις ικανότητές τους να αξιολογούν και να χειρίζονται τις διάφορες αναπαραστάσεις των αριθμητικών ποσοτήτων σε καταστάσεις διδασκαλίας. Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν ότι οι υποψήφιοι δάσκαλοι παρουσιάζουν σοβαρές αδυναμίες στο χαρακτηρισμό και χειρισμό αυτών των αναπαραστάσεων. 2.4. Αλληλεπίδραση και επικοινωνία μεταξύ των μαθητών Οι οδηγίες για τον δάσκαλο και τα περιεχόμενα των νέων βιβλίων αναπτύσσονται με τέτοιον τρόπο ώστε να κάνουν τους μαθητές να μιλήσουν, να εκφράσουν τις σκέψεις τους, να αλληλεπιδράσουν και να επικοινωνήσουν μέσω των μαθηματικών. Πολλές δραστηριότητες υποδεικνύεται να πραγματοποιούνται ομαδικά και υπάρχει γιαυτό ειδικό σήμα. Στο βιβλίο του δασκάλου δίνονται οδηγίες σχετικά με το πώς να γίνει η διαχείριση της ομαδοσυνεργατικής εργασίας. Σε πολλές περιπτώσεις προτείνονται δραστηριότητες ώστε να αναπτυχθεί η συζήτηση με ολόκληρη την τάξη και δίνονται οδηγίες στο δάσκαλο για το πώς να δημιουργήσει και να διαχειριστεί αυτή τη συζήτηση. Στο βιβλίο του δασκάλου, για τους νοερούς αριθμητικούς ή άλλους υπολογισμούς, παρουσιάζονται οι διάφορες απαντήσεις που είναι δυνατόν να δοθούν από τους μαθητές και διδακτικές οδηγίες στο δάσκαλο για τη διαχείριση της τάξης. Προτείνεται στο δάσκαλο να ζητά από τους μαθητές να εξηγούν τον τρόπο που σκέφτηκαν για να βρουν το αποτέλεσμα της πράξης. Αυτό οδηγεί το μαθητή σε μια μεταγνωστική λειτουργία. Ο μαθητής δηλαδή σκέφτεται, συνειδητοποιεί και οργανώσει τον τρόπο με τον οποίο σκέφτηκε. Αυτή η λειτουργία, από νοητικής πλευράς, είναι πολύ χρήσιμη και ωφέλιμη. Στο βιβλίο του δασκάλου δίνονται οδηγίες, κατά τη διαδικασία της λύσης προβλήματος, ώστε να ζητείται από τους μαθητές να εκφράζουν και να δικαιολογούν τον τρόπο με τον οποίο σκέφτηκαν. Να ανακοινώνονται οι ποικίλες μέθοδοι και τρόποι σκέψης σε όλη την τάξη, να ακολουθεί συζήτηση, στην οποία να αξιολογούνται και να επιλέγονται οι πιο σύντομοι και αποτελεσματικοί τρόποι. 2.5. Ένας διαφορετικός ρόλος στην εμπλοκή των γονέων Η επικοινωνία των γονέων με το σχολείο πραγματοποιείται με πολλούς τρόπους: μέσα από τις συναντήσεις του δασκάλου με τους γονείς, τη συμμετοχή στο σύλλογο γονέων και τις σχολικές γιορτές. Στα βιβλία των Μαθηματικών της φύσης και της ζωής προστίθεται μια ακόμη διαδικασία επικοινωνίας με το γονέα, η επιστολή προς το γονέα. Επιδιώκεται με αυτόν τον τρόπο, όσοι γονείς το επιθυμούν, να συμμετάσχουν και να εμπλακούν ενεργά στη διαδικασία μάθησης των παιδιών τους. Σε κάθε ενότητα των βιβλίων περιλαμβάνεται μια επιστολή στην οποία εξηγείται στο γονέα /κηδεμόνα τι θα διδαχτεί το παιδί του στο σχολείο. Όπου χρειάζεται, δίνονται πρόσθετες επεξηγήσεις σχετικά με τον τρόπο που 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 45

Χ. Λεμονίδης. μαθαίνει το παιδί, τις ιδιαιτερότητες αυτής της μάθησης, τα εμπόδια κτλ. Τέλος προτείνονται ιδέες για δραστηριότητες και παιχνίδια με τα παιδιά στο σπίτι. Οι γονείς μαζί με τα παιδιά τους πραγματοποιούν εφαρμογές των μαθηματικών που μαθαίνουν στο σχολείο μέσα στο περιβάλλον της οικογένειας. Οι γονείς μπορούν να παίξουν μαζί με τα παιδιά τους διάφορα παιχνίδια τα οποία βασίζονται σε μαθηματικές έννοιες όπως είναι το φιδάκι, το τάγκραμ κ.ά. Να θέσουν στα παιδιά τους ερωτήσεις και να συζητήσουν για διάφορα θέματα όπου εμφανίζονται μαθηματικές έννοιες. Με αυτόν τον τρόπο η μάθηση πραγματοποιείται πιο δυναμικά. Τα παιδιά αισθάνονται ότι τα μαθηματικά που μαθαίνουν στο σχολείο είναι σημαντικά αφού ενδιαφέρονται και μπορούν να μιλήσουν γι αυτά με τους γονείς τους. Αισθάνονται επίσης ότι τα μαθηματικά που μαθαίνουν στο σχολείο δεν περιορίζονται μόνο στο σχολικό περιβάλλον αλλά βρίσκουν εφαρμογή και στην καθημερινή ζωή. 3. ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ο Brousseau (1997) υποστηρίζει ότι: οι συμβολικές πρακτικές των μαθηματικών και των δασκάλων των μαθηματικών είναι διαφορετικής φύσης αν και οι δύο έχουν παρόμοιους διδακτικούς σκοπούς την επικοινωνία των μαθηματικών. Οι μαθηματικοί, συνεχίζει, δεν επικοινωνούν τα αποτελέσματά τους στη μορφή στην οποία τα δημιουργούν. Αντ' αυτού, αναδιοργανώνουν τα αποτελέσματά τους και δίνουν μια γενική μορφή που είναι "αποπλαισιοποιημένη, αποπροσωποιημένη και αποχρονοποιημένη" (σελ. 227). Ο εκπαιδευτικός, αφ' ετέρου, αναλαμβάνει αντίθετη δράση. Ψάχνει για καταστάσεις που να πλαισιώνουν τις έννοιες προκειμένου να δοθεί νόημα στη γνώση που διδάσκεται. Δηλαδή ο εκπαιδευτικός πλαισιώνει και προσωποποιεί τη γνώση που δημιουργείται από τους μαθηματικούς. Πράγματι η εργασία του ερευνητή ή του επαγγελματία μαθηματικού που απευθύνεται σε μια κοινότητα μαθηματικών είναι εντελώς διαφορετική από την εργασία του εκπαιδευτικού των μαθηματικών που απευθύνεται σε μαθητές. Ο ερευνητής μαθηματικός που απευθύνεται σε μαθηματικούς δε νοιώθει την ανάγκη να μετασχηματίσει τα μαθηματικά για να επικοινωνήσει. Τα μαθηματικά πρέπει να είναι αφηρημένα και τεκμηριωμένα με τους κανόνες της μαθηματικής αποδεικτικής διαδικασίας. Τα μαθηματικά μπορεί να ξεκινούν από προβλήματα της πραγματικότητας αλλά με αφαίρεση και μοντελοποίηση καταλήγουν σε νόρμες και γλώσσα των μαθηματικών. Γίνεται αυτό που το ορίζουμε ως αποπλαισιοποίηση. Η επιστήμη των μαθηματικών έχει τη δική της γλώσσα και τους δικούς της κανόνες επικύρωσης που είναι η μαθηματική απόδειξη. Ο εκπαιδευτικός όμως των μαθηματικών, σε όλες τις βαθμίδες της σχολικής εκπαίδευσης, είναι υποχρεωμένος να πραγματοποιήσει ένα διδακτικό μετασχηματισμό στα Μαθηματικά που διδάσκει. Αυτά τα μαθηματικά έχουν ήδη υποστεί έναν πρώτο διδακτικό μετασχηματισμό από μαθηματικά του επιστημονικού αντικείμενου σε μαθηματικά για τη διδασκαλία. Δηλαδή αυτά τα μαθηματικά που παρουσιάζονται στα αναλυτικά προγράμματα και τα βιβλία είναι μαθηματικά που έχουν τροποποιηθεί για 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 46

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής τις ανάγκες της σχολικής διδασκαλίας και δεν αναπτύσσονται και τεκμηριώνονται με τον ίδιο τρόπο όπως τα μαθηματικά της επιστήμης. Ο εκπαιδευτικός λοιπόν των μαθηματικών καλείται τα μαθηματικά αυτά που ήδη έχουν υποστεί ένα μετασχηματισμό από το επιστημονικό αντικείμενο να τα διδάξει και να επικοινωνήσει με αυτά με τους μαθητές. Σε αυτή τη διαδικασία της διδασκαλίας των μαθηματικών υπάρχει ο μαθητής με γνωστικό υπόβαθρο, ανάγκες, συναισθήματα κ.ά. Τα μαθηματικά θα πρέπει να γίνουν ένα μέσω επικοινωνίας μεταξύ του εκπαιδευτικού και του μαθητή ή και των μαθητών μεταξύ τους. Για αυτήν την επικοινωνία με τους μαθητές θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί μια κοινή γλώσσα και να υπάρχει κίνητρο από την πλευρά των μαθητών. Ο εκπαιδευτικός των μαθηματικών λοιπόν σε πολλές περιπτώσεις χρειάζεται να κάνει πλαισιοποίηση να κινηθεί αντίστροφα για να βρει καταστάσεις όπου εφαρμόζονται τα αποπλαισιομένα μαθηματικά. Είναι σχετικά περιορισμένος ο αριθμός των εμπειρικών καταστάσεων στις οποίες βρίσκει εφαρμογή μια μαθηματική έννοια στην καθημερινή ζωή. Οι εμπειρικές αυτές καταστάσεις μπορούν, κατά κάποιον τρόπο, να προσδιοριστούν και να αξιολογηθούν. Κάποιες από αυτές της εφαρμογές είναι πιο πλούσιες για τη διδασκαλία από κάποιες άλλες. Ο δάσκαλος θα πρέπει να γνωρίζει αυτές τις εφαρμογές των Μαθηματικών για να μπορεί να τις χρησιμοποιεί στη διδασκαλία του. Από την εμπειρία που αποκομίσαμε από την εκπαίδευση των εκπαιδευτικών αλλά και από έρευνες (Lemonidis, 2005) φαίνεται ότι μόνο η γνώση των μαθηματικών εννοιών δεν αρκεί για να είναι σε θέση ο δάσκαλος να αποκαλύψει τις εφαρμογές τους σε καθημερινές καταστάσεις. Χρειάζεται ειδική διδασκαλία στους εκπαιδευτικούς και υποψηφίους εκπαιδευτικούς για να μπορέσουν να συνδέσουν τα Μαθηματικά με τις διαφορές εφαρμογές τους στην καθημερινότητα. 4. ΝΕΟΣ ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Με βάση όσα αναφέρονται παραπάνω απαιτείται από τον εκπαιδευτικό των μαθηματικών ένας νέος ρόλος μέσα στην τάξη. Από απλός αναμεταδότης της γνώσης θα πρέπει να γίνει ενεργός φορέας προβληματισμού και συντονιστής στη διαδικασία της κατασκευής της γνώσης από τον ίδιο τον μαθητή. Ο εκπαιδευτικός των μαθηματικών θα πρέπει να επιδιώκει να καταλάβει τον τρόπο με τον οποίο ο μαθητής κατανοεί τις μαθηματικές έννοιες, να εκτιμά τις προϋπάρχουσες γνώσεις του, να δίνει σημασία στα λάθη των μαθητών και προσπαθεί να ερμηνεύσει τις αιτίες τους. Δεν πρέπει να μένει προσκολλημένος στο διδακτικό εγχειρίδιο και στη σειρά παρουσίασης της ύλης, αλλά να κινείται ελεύθερα με βάση το επίπεδο των μαθητών της τάξης του. Σχετικά με τη διαχείριση της τάξης, ο εκπαιδευτικό δεν θα πρέπει να είναι η αυθεντία που μονοπωλεί συνεχώς το λόγο αλλά θα πρέπει να διαδραματίζει περισσότερο το ρόλο του οργανωτή, του συντονιστή και αυτού που θέτει προβλήματα και ζητά εξηγήσεις. Μέσα στην τάξη θα πρέπει να πραγματοποιείται συζήτηση, να παρουσιάζονται διαφορετικές λύσεις και επεξηγήσεις και οι μαθητές να εργάζεται ομαδικά ή και ατομικά για να κατανοήσουν τις μαθηματικές έννοιες. 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 47

Χ. Λεμονίδης. ΕΠΙΛΟΓΟΣ Με την ερευνητική δράση της ομάδας των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής και το εκπαιδευτικό υλικό που εφαρμόζεται στα σχολεία φιλοδοξούμε να συμβάλουμε στην αναβάθμιση και τον εκσυγχρονισμό της εκπαίδευσης των μαθηματικών. Στα νέα βιβλία της Α και Γ τάξης εκτός από τη χρήση των σύγχρονων αποτελεσμάτων της έρευνας της διδακτικής των μαθηματικών και αποτελεσμάτων ερευνών που πραγματοποιήθηκαν στην Ελλάδα (Λεμονίδης, Χ, 1998α, β, 2001, 2003α, β, γ) έγινε πολύχρονη πειραματική εφαρμογή. Για δέκα χρόνια σχεδόν δοκιμάζονταν και προσαρμόζονταν στα δεδομένα των Ελληνικών σχολείων και μαθητών τα εγχειρίδια αυτά. Απαραίτητη προϋπόθεση όμως κάθε εκπαιδευτικής αλλαγής είναι και η αλλαγή του ίδιου του εκπαιδευτικού. Χρειάζεται η αλλαγή των πεποιθήσεων, των στάσεων και των νοοτροπιών για να έρθει και η αλλαγή στην εκπαιδευτική πράξη. Γνωρίζουμε ότι αυτή η διαδικασία είναι μακρόχρονη αλλά παρόλα αυτά απαραίτητη. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Brousseau, G.: 1997, Theory of Didactical Situations in Mathematics. Edited by Nicolas Balacheff, Martin Cooper, Rosamund Sutherland, and Virginia Warfield, Kluwer Academic Press, Dordrecht, The Netherlands. Γαγάτσης, Α., (2004). Σύγχρονες τάσεις της Διδακτικής των Μαθηματικών. Πρόγραμμα UNESKO. Πανεπιστήμιο Κύπρου - Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού. Λευκωσία. Duval, R. (1995). Sémiosis et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Berne: Peter Lang. Hall, R., and Stevens, R. (1995). Making Spaces: a Comparison of Mathematical Work in School and Professional Design Practices. In S. L. Star (Ed.), The Cultures of Computing (pp. 118-143). London: Basil Blackwell. Hoyles, C., Noss R., and Pozzi, S. (2001). Proportional Reasoning in Nursing Practice. Journal of Research in Mathematics Education 2001, Vol.32, No. 1, -27. Lave, J. (1977), Cognitive consequences of traditional apprenticeship training in West Africa. Anthropology and Education Quarterly, 8,177-180. Lemonidis Ch. (2003). L enseignement des premières notions arithmétiques selon l analyse des différentes représentations des quantités. Annales de Didactiques et de Sciences Cognitives, 9, (partie 2) des actes du colloque Argentoratum 2002, 103-117, IREM de Strasbourg. Λεμονίδης, Χ., (1998α). Διδασκαλία των πρώτων αριθμητικών εννοιών. Ερευνητική διάσταση της Διδακτικής των Μαθηματικών. Περιοδική έκδοση του Παραρτήματος Κεντρικής Μακεδονίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. τ. 3 σσ. 87-122. 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 48

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Λεμονίδης, Χ., (1998β). Διαδικασίες που χρησιμοποιούν οι μαθητές της Α τάξης του Δημοτικού σε πράξεις και προβλήματα προσθετικού τύπου. Συμπεράσματα και προτάσεις για τη διδασκαλία. Πρακτικά 1 ης Διημερίδας του Πανεπιστημίου Κρήτης στη Διδακτική των Μαθηματικών. σσ. 161-174. Λεμονίδης, Χ. (2001). Οι αρχικές αριθμητικές ικανότητες των παιδιών όταν έρχονται στο Δημοτικό Σχολείο. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ. Τεύχος 55 σσ. 5-21. Λεμονίδης, Χ. (2003α). Μια νέα πρόταση διδασκαλίας των Μαθηματικών στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Εκδόσεις Πατάκη. Αθήνα. Λεμονίδης, Χ. (2003β). Η διδασκαλία του συστήματος αρίθμησης στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Πρακτικά 3 ης Διημερίδας Διδακτικής Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης, Π.Τ.Δ.Ε. Ρεθύμνου, σελ. 189-198. Λεμονίδης, Χ. (2003γ). Η εισαγωγή των πράξεων του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης στο Δημοτικό: μια πειραματική εφαρμογή. Περιοδικό «Μέντορας», τεύχος 7, σελ. 34-48, Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. Λεμονίδης, Χ. (2003δ). Η αναπαράσταση των ποσοτήτων στις αριθμητικές έννοιες και η ικανότητα των υποψηφίων δασκάλων να τις χειριστούν. Επιστημονική επετηρίδα της Ψυχολογικής Εταιρείας Βορείου Ελλάδος, τόμος 1, σελ. 291-308. Εκδόσεις Ελληνικά Γράμματα. Lemonidis Ch. (2005). Les mathématiques de la nature et de la vie: une conception pour l enseignement des mathématiques. Présentation d un exemple extrait de la formation des enseignants. Colloque COPIRELEM 30, 31- Mai, Strasbourg 2005. Millroy, W. L. (1992). An Ethnographic Study of the Mathematical Ideas of a Group of Carpenters. Journal for Research in Mathematics Education. Monograph 5. Nunes, T., Schliemann, A., & Carraher, D. (1993). Street mathematics and school mathematics. Cambridge, England: Cambridge University Press. Saxe, G. B. (1991), Culture and cognitive development: Studies in mathematical understanding. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 49

Χ. Λεμονίδης. 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 50