Προσομοίωση της υναμικής Καταπόνησης Άκαμπτων και Εύκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης

Προσομοίωση της υναμικής Καταπόνησης Άκαμπτων και Εύκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης Simulation of the Dynamic Distress of Rigid and Flexible Retaining Walls ΠΑΠΑΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ, Γ. Ανθυποσμηναγός Π.Α., Υποψήφιος ιδάκτωρ, Πολυτεχνείο Κρήτης ΨΑΡΡΟΠΟΥΛΟΣ, Π. Ν. ρ. Πολ. Μηχανικός, Αναπλ. Καθηγητής (Π 47), Σχολή Ικάρων ΤΣΟΜΠΑΝΑΚΗΣ, Ι. ρ. Πολ. Μηχανικός, Αναπληρωτής Καθηγητής, Πολυτεχνείο Κρήτης ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Παρά τη δομοστατική απλότητα των αντιστηρίξεων, η δυναμική συμπεριφορά τους είναι σύνθετη και περιπλέκεται περισσότερο όταν υπεισέρχονται μηχανικές ή γεωμετρικές μήγραμμικότητες. Πραγματοποιούνται παραμετρικές διδιάστατες μη-γραμμικές δυναμικές αναλύσεις πεπερασμένων στοιχείων. Η μη-γραμμικότητα λαμβάνεται υπόψη μέσω κατάλληλων εδαφικών προσομοιωμάτων που χρησιμοποιούν την επαναληπτική ισοδύναμη γραμμική διαδικασία. Τα αποτελέσματα επιβεβαιώνουν τη σημαντικότατη επίδραση της μη-γραμμικότητας του εδάφους, της ευκαμψίας του τοίχου και του μεγέθους της επιβαλλόμενης αρμονικής επιτάχυνσης στις αναπτυσσόμενες εδαφικές ωθήσεις. ABSTRACT : Despite their structural simplicity, the dynamic response of retaining walls is complicated and becomes even more complex when soil and/or geometric non-linearities are present. Two-dimensional parametric nonlinear dynamic finite element analyses are conducted. Non-linearity is taken into account with the use of suitable soil constitutive models which make use of the iterative equivalent linear procedure. The results of this study verify the important effects of the soil non-linearity, the wall flexibility and the amplitude of the imposed harmonic acceleration on the magnitude of the soil pressures developed on the wall.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αναμφισβήτητα οι τοίχοι αντιστήριξης χρησιμοποιούνται σε μεγάλο βαθμό σε πρακτικές εφαρμογές της γεωτεχνικής μηχανικής. Οι λιμενικοί κρηπιδότοιχοι, τα ακρόβαθρα γεφυρών, οι περιμετρικοί τοίχοι των υπογείων, οι βαθιές εκσκαφές και οι αντιστηρίξεις υπερκειμένων γαιών ή πρανών είναι μερικές από τις περιπτώσεις όπου κατασκευάζεται ένας δύσκαμπτος ή εύκαμπτος τοίχος αντιστήριξης. Παρόλη τη δομοστατική τους απλότητα η σεισμική απόκριση των τοίχων αντιστήριξης (ακόμα και αν αντιστηρίζουν ένα ομοιογενές εδαφικό στρώμα) είναι ένα σχετικά πολύπλοκο πρόβλημα. Αυτό που κάνει την απόκριση τόσο πολύπλοκη είναι η δυναμική αλληλεπίδραση ανάμεσα στον τοίχο και στο αντιστηριζόμενο έδαφος, ειδικά όταν υπάρχει μη-γραμμικότητα υλικού ή/και γεωμετρίας (Kramer, 996; PIANC, 2; Wu & Finn, 999; Green & Ebeling, 22). Η σεισμική απόκριση διαφόρων τύπων τοίχων αντιστήριξης που αντιστηρίζουν ένα μεμονωμένο εδαφικό στρώμα έχει εξεταστεί από έναν αριθμό ερευνητών στο παρελθόν, πειραματικά, αναλυτικά ή αριθμητικά (Veletsos and Younan 994a, 994b, 997, 2; Psarropoulos et al. 25). Με βάση την θεωρούμενη συμπεριφορά του υλικού του αντιστηριζόμενου εδάφους και τον δυνατό τρόπο μετακίνησης του τοίχου, υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες αναλυτικών μεθόδων που χρησιμοποιούνται στον σχεδιασμό των τοίχων αντιστήριξης έναντι σεισμού: (α) Oι ψευδοστατικές μέθοδοι που υποθέτουν ενδόσιμους τοίχους με σχετικά μεγάλες μετακινήσεις ώστε στο αντιστηριζόμενο έδαφος να επιβάλλονται συνθήκες οριακής ισορροπίας με 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/9 / 2, Βόλος

αποτέλεσμα την τελείως πλαστική συμπεριφορά του τελευταίου (Okabe, 926; Mononobe &Matsuo, 929; Seed and Whitman, 97, Richards & Elms 979; Nadim & Whitman 983). (β) Oι ελαστικές λύσεις που θεωρούν το αντιστηριζόμενο έδαφος ως ένα γραμμικά ελαστικό ή ιξωδοελαστικό συνεχές μέσο, το οποίο προϋποθέτει επαρκώς μικρές παραμορφώσεις του τοίχου που το αντιστηρίζει (Matsuo & Ohara, 96; Scott, 973; Wood, 973; Veletsos & Younan 994, 997, 2). Σύμφωνα με μια παραλλαγή της μεθόδου Mononobe-Okabe, που αναπτύχθηκε από τους Seed & Whitman (97), η μέγιστη κανονικοποιημένη δυναμική ενεργητική δύναμη που ενεργεί στον τοίχο ισούται με: ΔPAE Δ P =.4 AE 2 () AρH όπου A είναι η μέγιστη επιτάχυνση στη βάση, ρ είναι η πυκνότητα του εδάφους, και H είναι το ύψος του τοίχου. Όμως, οι ελαστικές λύσεις που αναπτύχθηκαν από τους Scott (973) ή Wood (973) και αργότερα από τους Veletsos & Younan (994a,b, 997, 2) υποδεικνύουν ότι στην περίπτωση διεγέρσεων στη βάση με χαμηλόσυχνο περιεχόμενο (οι οποίες συναντώνται συχνά στην πράξη, και από εδώ και στο εξής θα ονομάζονται οιονεί-στατικές), η κανονικοποιημένη δυναμική ενεργητική δύναμη που αναπτύσσεται σε έναν δύσκαμπτο πακτωμένο τοίχο είναι: Εντούτοις, οι δύο προαναφερθέντες τρόποι συμπεριφοράς του συστήματος τοίχου εδάφους είναι μάλλον ακραίοι και δεν αντιπροσωπεύουν πάντα την πραγματικότητα, δεδομένου ότι σε πολλές περιπτώσεις οι υποθέσεις της κάθε μεθόδου δεν είναι πάντα ρεαλιστικές. Η πραγματική δυναμική απόκριση του εδάφους είναι ενδιάμεση μεταξύ αυτών των δυο ακραίων περιπτώσεων. Οι λύσεις της οριακής ισορροπίας υποδηλώνουν την ικανότητα του συστήματος να αναπτύσσει σχετικά μεγάλες μετατοπίσεις (γεωμετρική μη-γραμμικότητα) μαζί με το σχηματισμό πλαστικών ζωνών (μη-γραμμικότητα υλικού), χωρίς όμως να λαμβάνονται υπόψη το συχνοτικό περιεχόμενο της διέγερσης ή φαινόμενα συντονισμού στο αντιστηριζόμενο έδαφος. Από την άλλη πλευρά, οι ελαστικές λύσεις περιλαμβάνουν μόνο γεωμετρική μη γραμμικότητα η οποία προκύπτει από την ευκαμψία του τοίχου ή/και την ενδοσιμότητα της θεμελίωσής του (Veletsos & Younan, 997). Σκοπός της παρούσας μελέτης είναι να εξεταστεί πληρέστερα η επίδραση της μη γραμμικότητας (υλικού ή/και γεωμετρίας) στη δυναμική καταπόνηση ενός τοίχου που αντιστηρίζει ένα αμμώδες εδαφικό στρώμα. Για το σκοπό αυτό έγιναν διδιάστατες αριθμητικές προσομοιώσεις, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, με σκοπό να διερευνηθούν μερικές από τις πιο σημαντικές πτυχές του σύνθετου φαινομένου της δυναμικής αλληλεπίδρασης τοίχου-εδάφους. Δ (2) P AE H ρ, G(γ), ξ(γ) Είναι προφανές ότι η ποσότητα αυτή είναι σχεδόν 2.5 φορές μεγαλύτερη σε σχέση με αυτήν που προβλέπουν οι Seed & Whitman. Αυτή η διαφορά γίνεται ακόμα πιο έντονη όταν το εδαφικό στρώμα συντονιστεί. Η θεμελιώδης ιδιοσυχνότητά του είναι ίση με: f V S G / ρ 4H 4H max = = (3) όπου V S είναι η ταχύτητα διάδοσης διατμητικού κύματος μέσα στο έδαφος και G max είναι το αντίστοιχο μέτρο διάτμησης για μικρές παραμορφώσεις. A(t) Σχήμα. Το σύστημα αντιστήριξης που εξετάζεται στην παρούσα μελέτη. Figure. The retaining system examined in this study. 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Για να εξεταστεί η μη γραμμική δυναμική αλληλεπίδραση τοίχου-εδάφους, έγιναν διδιάστατες (2-D) αριθμητικές προσομοιώσεις του συστήματος αντιστήριξης που απεικονίζεται στο Σχήμα. Οι προσομοιώσεις έγιναν με χρήση του κώδικα πεπερασμένων στοιχείων QUAD4M 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/9 / 2, Βόλος 2

(Hudson et al., 993), που εκτελεί δυναμικές μη-γραμμικές αναλύσεις ενσωματώνοντας την επαναληπτική ισοδύναμη γραμμική διαδικασία. Κάθε επανάληψη περιλαμβάνει: (α) Γραμμική δυναμική ανάλυση με επίλυση της εξίσωσης πεπερασμένων στοιχείων του προσομοιώματος: [ M ] u+ [ C] u+ [ K] u = [ M] u g && & && (4) με άμεση ολοκλήρωση, όπου τα μητρώα μάζας, δυσκαμψίας και απόσβεσης [M], [K], [C] αντίστοιχα υπολογίζονται εξαρχής (τα δύο πρώτα από τις φυσικές ιδιότητες του προσομοιώματος σε μικρές παραμορφώσεις (G=G max ), και το τρίτο ως γραμμικός συνδυασμός των δύο πρώτων σε επίπεδο στοιχείου, σύμφωνα με την απόσβεση τύπου Rayleigh (ξ=ξ min ). (β) Υπολογισμό της ενεργού διατμητικής παραμόρφωσης γ eff για κάθε πεπερασμένο στοιχείο (που υπολογίζεται ως ποσοστό της μέγιστης παραμόρφωσης), από την οποία υπολογίζονται το μέτρο διάτμησης G(γ eff ) και ο κρίσιμος λόγος απόσβεσης ξ(γ eff ) που είναι συμβατά με την πραγματική παραμόρφωση χρησιμοποιώντας καμπύλες G/G max γ και ξ γ. (γ) Επανάληψη του βήματος (α) χρησιμοποιώντας τα G(γ eff ) και ξ(γ eff ) που υπολογίστηκαν στο βήμα (β), αντί των G max και ξ min. Οι επαναλήψεις καθορίζονται από τον χρήστη, αλλά πρέπει να εξασφαλίζουν ικανοποιητική σύγκλιση των G και ξ. Ο υπολογισμός της μετατόπισης και της ταχύτητας στην εξ. (4) σε κάθε χρονικό βήμα γίνεται με τον τραπεζοειδή κανόνα που αποτελεί μια ειδική περίπτωση της οικογένειας μεθόδων τύπου Newmark (Hughes, 987). Στην παρούσα διερεύνηση χρησιμοποιήθηκαν δύο καμπύλες G/G max γ και ξ γ που αντιστοιχούν σε αμμώδες εδαφικό υλικό (Seed & Idriss 97 και Vucetic & Dobry 99). Από την οικογένεια καμπυλών των Vucetic & Dobry χρησιμοποιήθηκε αυτή με PI=. Οι εν λόγω καμπύλες G/G max γ και ξ γ απεικονίζονται στα Σχήματα 2 και 3 αντιστοίχως. Από τη μορφή των διαγραμμάτων φαίνεται ότι το προσομοίωμα των Vucetic & Dobry εμφανίζει μεγαλύ τερο βαθμό μη γραμμικότητας από το προσομοίωμα των Seed & Idriss. Εφόσον οι εδαφικές ωθήσεις κανονικοποιούνται ως προς ρ και H και η ευκαμψία του τοίχου d w εξετάζεται συναρτήσει της ευκαμψίας του εδάφους μέσω της σχέσης: d G H 3 max w = (5) Dw όπου D w Et = 2 3 w w 2 ( ν w ) (6) οι ιδιότητες του εδαφικού υλικού (G, ρ) και το ύψος του τοίχου H δεν επηρεάζουν τις αδιαστατοποιημένες δυναμικές εδαφικές ωθήσεις στον τοίχο (Veletsos & Younan, 997; Psarropoulos et al., 25). Συνεπώς, όλες οι αναλύσεις στην παρούσα εργασία έγιναν θεωρώντας τοίχο σταθερού ύψους Η=8m. G/G max.8.6.4.2.... γ (%) Seed & Idriss (97) Vucetic & Dobry (99) Σχήμα 2. Μεταβολή του λόγου G/G max με τη διατμητική παραμόρφωση γ για τα δυο εδαφικά προσομοιώματα που εξετάστηκαν. Figure 2. Variation of the ratio G/G max in terms of shear strain γ for the examined soil models. ξ (%) 25 2 5 5 Seed & Idriss (97) Vucetic & Dobry (99).... γ (%) Σχήμα 3. Μεταβολή του λόγου απόσβεσης ξ ως προς τη διατμητική παραμόρφωση γ των δύο εδαφικών προσομοιωμάτων. Figure 3. Variation of the damping ratio ξ in terms of shear strain γ for the examined soil models. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/9 / 2, Βόλος 3

Το αντιστηριζόμενο έδαφος χαρακτηρίζεται από μια σχετικά μικρή ταχύτητα διάδοσης διατμητικού κύματος, που αντιστοιχεί σε μικρές παραμορφώσεις (στα όρια της ελαστικότητας) ίση με m/s και πυκνότητα υλικού ίση με 8 Kg/m 3. Στις εξ. (5) και (6) E w, t w, ν w είναι το μέτρο ελαστικότητας, το πάχος και ο λόγος Poisson του τοίχου, αντίστοιχα. Η διακριτοποίηση τόσο του τοίχου όσο και του αντιστηριζόμενου εδάφους έγινε με τετράπλευρα τετρακομβικά στοιχεία επίπεδης παραμόρφωσης. Το προσομοίωμα είναι αρκετά επίμηκες έτσι ώστε να μπορεί να αναπαράγει επαρκώς τις συνθήκες μονοδιάστατης απόκρισης στη μια πλευρά του (βλ. Σχήμα ). Ο τοίχος προσομοιώθηκε σε όλες τις αναλύσεις από υλικό με μηδενική πυκνότητα και γραμμικά ελαστική συμπεριφορά. Για κάθε τιμή του d w το μέτρο ελαστικότητας του τοίχου τροποποιείται αναλόγως. Κατά το πάχος του τοίχου, που είναι ίσο με t w =2.5m, χρησιμοποιήθηκαν πέντε πεπερασμένα στοιχεία πλευράς.5m. Απoδεικνύεται ότι αυτή η διακριτοποίηση δίνει τα βέλτιστα αποτελέσματα όσον αφορά την ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης του τοίχου ως προβόλου και το μέγεθος της μετατόπισης στην κορυφή του υπό στατικά και δυναμικά φορτία, διατηρώντας παράλληλα τον απαιτούμενο υπολογιστικό φόρτο σε χαμηλά επίπεδα. Χρησιμοποιήθηκε η απλοποιητική παραδοχή της μη αποκόλλησης ή σχετικής ολίσθησης στη διεπιφάνεια τοίχου εδάφους. Στη βάση τόσο του τοίχου όσο και του εδαφικού στρώματος θεωρήθηκε ότι επιβάλλεται οριζόντια αρμονική επιτάχυνση δύο διαφορετικών συχνοτήτων. Η πρώτη ισούται με τη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα που αντιστοιχεί σε χαμηλές παραμορφώσεις του εδαφικού στρώματος f o και η δεύτερη είναι έξι φορές μικρότερη της πρώτης (f = f o /6) με σκοπό να προσεγγίσει μια οιονεί-στατική διέγερση. Χρησιμοποιήθηκαν διάφορες τιμές της επιβαλλόμενης επιτάχυνσης, στοχεύοντας στην ανάπτυξη διαφόρων επιπέδων μη-γραμμικότητας υλικού. 3. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ Αρχικά μελετήθηκε η καταπόνηση του τοίχου του προσομοιώματος του Σχήματος με την υπόθεση ότι το αντιστηριζόμενο έδαφος συμπεριφέρεται γραμμικά ελαστικά. Η διάρκεια της ημιτονοειδούς διέγερσης ήταν τέτοια, ώστε το σύστημα να φτάνει τελικά σε συνθήκες σταθερής κατάστασης ταλάντωσης. Στο Σχήμα 4 φαίνεται η κατανομή καθ ύψος των κανονικοποιημένων δυναμικών εδαφικών ωθήσεων που προκαλούνται για τις δύο αρμονικές διεγέρσεις και για τις δύο τιμές ευκαμψίας του τοίχου d w που εξετάζονται. Γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι η κατανομή είναι σχεδόν τρεις φορές μεγαλύτερη στην περίπτωση του συντονισμού, συγκριτικά με την αντίστοιχη τιμή στην περίπτωση της οιονείστατικής διέγερσης, η οποία σύμφωνα με την εξ. (2) είναι περίπου ίση με. Επίσης, διαφαίνεται καθαρά ο ευεργετικός ρόλος της ευκαμψίας του τοίχου στην απομείωση των ωθήσεων, όπως έχει αποδειχθεί στο παρελθόν και με αναλυτικές μεθοδολογίες (Veletsos & Younan 994b, 997, 2)..8.6.4.2-2 3 4 5 6 σx/aρh dw=, f=f/6 dw=, f=f dw=4, f=f/6 dw=4, f=f Σχήμα 4. Αδιαστατοποιημένες ωθήσεις για ελαστική απόκριση και εύκαμπτο και δύσκαμπτο τοίχο και οιονεί-στατική διέγερση και διέγερση συντονισμού. Figure 4. Normalized pressures for elastic response and flexible or rigid wall and quasistatic and resonant excitation. 4. ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ 4. Ανένδοτος τοίχος αντιστήριξης Η παρουσία ανένδοτων τοίχων (δύσκαμπτων και πακτωμένων ή εύκαμπτων με πολλούς εγκάρσιους κινηματικούς περιορισμούς καθ ύψος) είναι (εσφαλμένα, όπως θα αποδειχθεί στη συνέχεια) συνδεδεμένη με αυξημένες ωθήσεις και ελαστική απόκριση του αντιστηρι ζόμενου εδάφους. Στο Σχήμα 5 παρουσιάζονται οι μη-γραμμικές ωθήσεις, για την περίπτωση συντονισμού και για διάφορα επίπεδα της μέγιστης επιτάχυνσης στη βάση. Η μη-γραμμική συμπεριφορά του εδάφους θεωρείται ότι ακολουθεί το προσομοίωμα Seed & Idriss (97). Για επιταχύνσεις μικρότερες από.g η συμπεριφορά του εδάφους είναι ουσιαστικά γραμμική αφού οι διαφορές μεταξύ των σχετικών κατανομών 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/9 / 2, Βόλος 4

είναι μικρές. Όσο αυξάνεται η επιτάχυνση, τόσο απομειώνονται οι κανονικοποιημένες ωθήσεις..8.6.4.2 A=.g A=.2g A=.24g A=.36g A=.5g άρα και αυξημένες εδαφικές ωθήσεις στον τοίχο. Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στην ερμηνεία των κανονικοποιημένων ωθήσεων. Στο Σχήμα 5 οι ωθήσεις για A=.5g δεν θα είναι γενικά μικρότερες από αυτές π.χ. για A=.36g, αλλά στην πραγματικότητα είναι λίγο μεγαλύτερες. Η διαφορά στις καμπύλες οφείλεται στην αδιαστατοποίηση. 4.2. Εύκαμπτος τοίχος αντιστήριξης 2 3 4 5 σ x /AρH Σχήμα 5. Αδιαστατοποιημένες ωθήσεις σε δύσκαμπτο τοίχο για διάφορες τιμές της μέγιστης επιτάχυνσης στην περίπτωση του συντονισμού. Figure 5. Normalized pressures developed behind a rigid wall for various acceleration amplitudes in case of resonance..8.6.4.2 A=.g A=.2g A=.24g A=.36g A=.5g.5.5 2 2.5 Στην παρούσα εργασία με τον όρο «ενδόσιμοι τοίχοι» εννοούνται τοίχοι ιδανικά πακτωμένοι στη βάση τους που έχουν την ικανότητα να κάμπτονται. Οι ελαστικές θεωρίες προβλέπουν ότι οι ωθήσεις μειώνονται στην περίπτωση των εύκαμπτων τοίχων με την αύξηση του d w. Επίσης, όπως δείχθηκε προηγουμένως στα Σχήματα 5 και 6, η μη-γραμμικότητα επιδρά ευεργετικά σε διεγέρσεις συχνότητας ίσης ή μεγαλύτερης από την πρώτη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα και δυσμενώς για την οιονείστατική περίπτωση. Αναζητείται ο τρόπος που επιδρά στο σύστημα ο συνδυασμός μηγραμμικότητας και εύκαμπτου τοίχου. Για τον λόγο αυτό επιλέγεται μια ρεαλιστική τιμή για το d w ίση με 4 (Veletsos & Younan 997, 2). Οι κατανομές εδαφικών ωθήσεων για d w =4 διακρίνονται στα Σχήματα 7 και 8 για τις περιπτώσεις διέγερσης συντονισμού και οιονείστατικής διέγερσης, αντίστοιχα. σ x /AρH Σχήμα 6. Αδιαστατοποιημένες ωθήσεις σε δύσκαμπτο τοίχο για διάφορες τιμές της μέγιστης επιτάχυνσης στην περίπτωση της οιονεί-στατικής διέγερσης. Figure 6. Normalized pressures developed behind a rigid wall for various acceleration amplitudes in case of quasi-static excitation..8.6.4.2 A=.g A=.2g A=.24g A=.36g A=.5g Το αντίθετο συμβαίνει στην περίπτωση της οιονεί-στατικής διέγερσης. Στο Σχήμα 6 παρουσιάζονται οι κανονικοποιημένες οιονείστατικές κατανομές. Με την αύξηση της μέγιστης επιτάχυνσης παρατηρείται αύξηση των κατανομών ωθήσεων. Στην περίπτωση οιονεί-στατικής διέγερσης οι αυξημένες παραμορφώσεις επιφέρουν μείωση του μέτρου διάτμησης του εδάφους (η οποία αυξάνεται με την αύξηση της επιτάχυνσης) και συνεπώς η ιδιοσυχνότητα του συστήματος πλησιάζει τη συχνότητα της διέγερσης. Έτσι το σύστημα πλησιάζει την κατάσταση του συντονισμού και προκαλείται αυξημένη απόκριση του εδάφους, - -.5.5.5 2 2.5 σ x /ΑρΗ Σχήμα 7. Αδιαστατοποιημένες ωθήσεις σε εύκαμπτο τοίχο (d w =4) για διάφορες τιμές της μέγιστης επιτάχυνσης στην περίπτωση του συντονισμού. Figure 7. Normalized pressures developed behind a flexible wall (d w =4) for various acceleration amplitudes in case of resonant excitation. Στο Σχήμα 7 διαπιστώνεται ότι οι επιδράσεις της μη-γραμμικότητας και της 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/9 / 2, Βόλος 5

ευκαμψίας του τοίχου δρουν αθροιστικά, οδηγώντας σε ακόμα πιο μειωμένες ωθήσεις σε σχέση με το δύσκαμπτο τοίχο του Σχήματος 5. Παρατηρείται ότι οι μη-γραμμικές ωθήσεις (A.2g) δεν ξεπερνούν την τιμή.4aρh που αντιστοιχεί στην εδαφική δύναμη που προβλέπουν οι Seed & Whitman (97), σύμφωνα με την εξ. (). από το πρώτο (απαιτείται μεγαλύτερη παραμόρφωση για την ίδια τιμή G/G max και μικρότερη για το ίδιο ξ). Τα δύο προσομοιώματα συγκρίνονται στα Σχήματα 9 και, για μέγιστη επιτάχυνση.2g και διάφορες τιμές f και d w. Η επίδραση της μη-γραμμικότητας φαίνεται από τις κατανομές για d w =, f=f /6 και d w =4, f=f που αντιστοιχούν στις μέγιστες και ελάχιστες ωθήσεις που μπορούν να αναπτυχθούν αντίστοιχα..8.6 A=.g A=.2g A=.24g A=.36g A=.5g.4.2 - -.5.5.5 2 σ x /AρH dw=, f=fo/6 dw=, f=f dw=4, f=f/6 dw=4, f=f.8.6.4.2 Σχήμα 8. Αδιαστατοποιημένες ωθήσεις σε εύκαμπτο τοίχο (d w =4) για διάφορες τιμές της μέγιστης επιτάχυνσης στην περίπτωση της οιονεί-στατικής διέγερσης. Figure 8. Normalized pressures developed behind a flexible wall (d w =4) for various acceleration amplitudes in case of quasi-static excitation. Στο Σχήμα 8 παρατηρείται ότι όσο αυξάνεται η μέγιστη επιτάχυνση τόσο αυξάνονται οι αδιαστατοποιημένες ωθήσεις. Από το ίδιο σχήμα συμπεραίνεται ότι για οιονεί-στατικές διεγέρσεις, η ευκαμψία του τοίχου και η μη-γραμμικότητα του εδάφους δεν δρουν αθροιστικά όπως στο συντονισμό αλλά, αντιθέτως, η μία τείνει να αναιρέσει την άλλη. Η παρατήρηση αυτή ενισχύεται με τη διαπίστωση ότι η κατανομή για d w =4 και A=.5g του Σχήματος 8 είναι περίπου ίση με την κατανομή για d w = και A=.g του Σχήματος 4. Σημειώνεται ότι οι κατανομές των Σχημάτων 5-8 προέκυψαν χρησιμοποιώντας το μη-γραμμικό εδαφικό προσομοίωμα των Seed & Idriss (97). 5. ΣΥΓΚΡΙΣΗ Ε ΑΦΙΚΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ- ΤΩΝ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Είναι σκόπιμο να εξεταστεί η επίδραση της μη γραμμικότητας το εδάφους στην ανάπτυξη των εδαφικών ωθήσεων στον τοίχο. Όπως έχει αναφερθεί, από τις καμπύλες G/G max γ και ξ γ των προσομοιωμάτων Seed & Idriss και Vucetic & Dobry, συμπεραίνεται ότι το δεύτερο εμφανίζει μεγαλύτερο βαθμό μη γραμμικότητας - -.5.5.5 2 σ x /AρH Σχήμα 9. Αδιαστατοποιημένες ωθήσεις για διάφορες τιμές των d w και f που υπολογίζονται θεωρώντας το μη-γραμμικό εδαφικό προσομοίωμα των Seed & Idriss (97) και μέγιστη επιτάχυνση A=.2g. Figure 9. Normalized pressures computed by considering the equivalent linear elastic soil model of Seed & Idriss (97) for various values of d w and f and maximum acceleration A=.2g. dw=, f=f/6 dw=, f=f dw=4, f=f/6 dw=4, f=f.8.6.4.2 - -.5.5.5 2 σ x /ΑρH Σχήμα. Αδιαστατοποιημένες ωθήσεις για διάφορες τιμές των d w και f που υπολογίζονται θεωρώντας το μη-γραμμικό εδαφικό προσομοίωμα των Vucetic & Dobry (99) και μέγιστη επιτάχυνση A=.2g. Figure. Normalized pressures computed by considering the equivalent linear elastic soil model of Vucetic & Dobry (99) for various values of d w and f and maximum acceleration A=.2g. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/9 / 2, Βόλος 6

Για d w = και f=f /6, το προσομοίωμα Vucetic & Dobry, έχοντας μεγαλύτερη μηγραμμικότητα, εμφανίζει μεγαλύτερες ωθήσεις από ότι το προσομοίωμα των Seed & Idriss, ενώ το αντίθετο συμβαίνει για d w =4 και f=f. Πρέπει να αναφερθεί ότι οι οιονεί-στατικές ωθήσεις εμφανίζονται πιο ενισχυμένες στην περίπτωση του προσομοιώματος των Vucetic & Dobry, από ότι στο προσομοίωμα κατά Seed & Idriss. Οι τάσεις που προαναφέρθηκαν μπορούν να χρησιμεύσουν για να προσδιοριστεί ο βαθμός μη-γραμμικότητας του αντιστηριζόμενου εδάφους μέσω των ωθήσεων που αυτό ασκεί στους τοίχους που το αντιστηρίζουν. P AE 2.5 2.5.5 dw=,f=f/6 dw=,f=f dw=4,f=f/6 dw=4,f=f..2.3.4.5 A max (g) Σχήμα. Αδιαστατοποιημένη δυναμική εδαφική δύναμη συναρτήσει της μέγιστης επιτάχυνσης για διάφορες τιμές των d w και f, με χρήση των καμπυλών των Seed & Idriss. Figure. Normalized dynamic earth force as a function of maximum acceleration for various values of d w and f, using the soil model of Seed & Idriss. P AE 3 2.5 2.5.5 dw=,f=f/6 dw=,f=f dw=4,f=f/6 dw=4,f=f..2.3.4.5 A max Σχήμα 2. Αδιαστατοποιημένη δυναμική εδαφική δύναμη συναρτήσει της μέγιστης επιτάχυνσης για διάφορες τιμές των d w και f, με χρήση των καμπυλών των Vucetic & Dobry. Figure 2. Normalized dynamic earth force as a function of maximum acceleration for various values of d w and f, using the soil model of Vucetic & Dobry. 6. Ε ΑΦΙΚΗ ΥΝΑΜΗ Τα προηγούμενα αποτελέσματα συνοψίζονται στα Σχήματα και 2 όπου παρουσιάζεται η δυναμική εδαφική δύναμη συναρτήσει της μέγιστης επιβαλλόμενης επιτάχυνσης στο σύστημα. Παρατηρείται ότι σε όλες τις περιπτώσεις η δύναμη για εύκαμπτο τοίχο είναι σταθερά μικρότερη από αυτή του δύσκαμπτου για όλο το φάσμα επιβαλλόμενων επιταχύνσεων. Επίσης, μπορούν να παρατηρηθούν περιπτώσεις όπου η ευκαμψία του τοίχου αναιρεί ή ενισχύει τη μη-γραμμικότητα του εδάφους σε όρους συνιστάμενης καταπόνησης. Για οιονεί-στατικές διεγέρσεις η δύναμη, αυξανόμενη αρχικά με την επιτάχυνση, μεγιστοποιείται σε μια χαρακτηριστική τιμή επιτάχυνσης που εξαρτάται από τις ιδιότητες του εδαφικού προσομοιώματος που χρησιμοποιείται. Στην περίπτωση των Seed & Idriss αυτό το μέγιστο δεν είναι εμφανές, επειδή συμβαίνει σε επιτάχυνση μεγαλύτερη από.5g, ενώ στο Σχήμα 2 το μέγιστο αυτό συμβαίνει περί τα.24g. Αντίθετα, στην περίπτωση συντονισμού, η πτώση της δύναμης είναι απότομη για μικρές τιμές επιτάχυνσης και γίνεται πιο ήπια όσο η τελευταία αυξάνεται. 7. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία πραγματοποιήθηκε μία εκτενής παραμετρική ανάλυση για να διερευνηθεί η επίδραση της μη γραμμικότητας ενός αμμώδους εδαφικού στρώματος στην καταπόνηση που προκαλεί σε έναν εύκαμπτο ή δύσκαμπτο πακτωμένο τοίχο που το αντιστηρίζει, όταν το όλο σύστημα διεγείρεται στη βάση του με μία αρμονική ταλάντωση. Για το σκοπό αυτό διερευνήθηκαν δύο μη-γραμμικά εδαφικά προσομοιώματα για να περιγραφεί η απόκριση του εδάφους. Αποδεικνύεται ότι πρωτεύοντα ρόλο παίζουν η τιμή της μέγιστης επιβαλλόμενης επιτάχυνσης, η συχνότητα της διέγερσης και η σχετική ευκαμψία του τοίχου ως προς το έδαφος. Τα αποτελέσματα παρέχουν σαφή ένδειξη ότι η ευκαμψία του τοίχου δρα απομειωτικά στις ωθήσεις που ασκεί το έδαφος στον τοίχο σε όλες τις περιπτώσεις. Επίσης, η συχνότητα ενισχύει ή εξασθενίζει τις κανονικοποιημένες ωθήσεις ανάλογα με το αν είναι χαμηλή ή υψηλή αντίστοιχα. Τέλος, επιβεβαιώνεται ότι υψηλότερα επίπεδα μέγιστης επιτάχυνσης επιφέρουν υψηλότερο βαθμό μη γραμμικής συμπεριφοράς στο έδαφος και κατ επέκταση διαφοροποιούν σημαντικά και την καταπόνηση του τοίχου. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/9 / 2, Βόλος 7

8. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Green, R.A. and Ebeling, R.M. (22), Seismic analysis of cantilever retaining walls, Phase I Report ERDC/ITL TR-2-3, U.S. Army Corps of Engineers, Washington, DC. Hudson, M.B., Idriss, I.M. and Beikae, M. (993), QUAD4M : A Computer Program for Evaluating the Seismic Response of Soil- Structures, Center for Geotechnical Modeling, Department of CEE, Univ. of California, Davis, California. Hughes, T.J.R. (987), The Finite Element Method, London: Prentice Hall. Kramer, S. (996), Geotechnical Earthquake Engineering, Prentice Hall. Matsuo, M. and Ohara, S. (96), Lateral earth pressures and stability of quay walls during earthquakes. Proceedings, Second World Conference on Earthquake Engineering, Tokyo. Mononobe, N. and Matsuo, H. (929), On the determination of earth pressures during earthquakes. Proceedings of the World Engineering Congress, Tokyo, Japan, Vol. 9, Paper 388. Nadim, F. and Whitman, R.V. (983), Seismically induced movement of retaining walls. Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, Vol. 9, No. 7, pp. 95-93. Okabe, S. (926), General theory of earth pressures. Journal of the Japan Society of Civil Engineering, 2(). PIANC (2), International Navigation Association (PIANC): Seismic Design Guidelines for Port Structures, Balkema Publishers, Netherlands. Psarropoulos, P.N., Klonaris, G. and Gazetas, G. (25), Seismic earth pressures on rigid and flexible retaining walls. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 25, No. 7-, 795-89. Richards, R.J. and Elms, D.G. (979), Seismic behavior of gravity retaining walls. Journal of the Geotechnical Engineering Division, Proceedings of ASCE, Vol. 5, No GT4. Scott, R.F. (973), Earthquake-induced pressures on retaining walls. Proceedings of the 5th World Conference on Earthquake Engineering, Vol. 2, pp. 6 62. Seed, H.B. and Idriss, I.M. (97), Soil moduli and damping factors for dynamic response analyses. Report EERC 7-, Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley. Seed, H.B. and Whitman, R.V. (97), Design of earth retaining structures for dynamic loads. Proceedings of the Special Conference on Lateral Stresses in the Ground and Design of Earth Retaining Structures, ASCE, pp. 3 47. Veletsos, A.S. and Younan, A.H. (994), Dynamic soil pressures on rigid vertical walls. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 23, pp. 275-3. Veletsos, A.S. and Younan, A.H. (994), Dynamic modeling and response of soilwall systems. Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, Vol. 2, No. 2, pp. 255-279. Veletsos, A.S. and Younan, A.H. (997), Dynamic response of cantilever retaining walls. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, Vol. 23, No. 2, pp. 6 72. Vucetic, M. and Dobry, R. (99), Effect of soil plasticity on cyclic response. Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, Vol. 7, No., pp. 89-7. Wood, J.H. (973), Earthquake induced soil pressures on structures, Ph.D., EERL 73-5, California Institute of Technology, Pasadena, California. Wu, G. and Finn, W.D.L. (999), Seismic lateral pressures for design of rigid walls. Canadian Geotechnical Journal, 36, No 3, 59-522. Younan, A.H. and Veletsos, A.S. (2), Dynamic response of flexible retaining walls. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 29, pp. 85 844. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/9 / 2, Βόλος 8