Παναγιώτης ΚΟΥΦΟΠΟΥΛΟΣ, Πολιτικός Μηχανικός,

Στατιστική εκτίµηση της χαρακτηριστικής αντοχής πληθυσµού κανονικής κατανοµής µε εφαρµογή σε κατασκευές σκυροδέµατος Statistical estimation of the characteristic strength normally distributed population, as applied to concrete structures Παναγιώτης ΚΟΥΦΟΠΟΥΛΟΣ, Πολιτικός Μηχανικός, e-mail: takou@freemail.gr Λέξεις κλειδιά : Σκυρόδεµα, αντοχή, κανονική κατανοµή, χαρακτηριστική αντοχή. Key words : Concrete, strength, normal distribution, characteristic strength. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Αναζητείται, από µικρό αριθµό δοκιµίων, σηµειακός εκτιµητής της χαρακτηριστικής αντοχής σκυροδέµατος αγνώστων στατιστικών στοιχείων. Με εξοµοίωση σε υπολογιστή, σχηµατίστηκαν σκυροδέµατα µε διαφορετικό µέσον όρο µ, τυπική απόκλιση σ και ποσοστό υποαντοχής p. Από κάθε σκυρόδεµα έγιναν 10.000 δειγµατοληψίες 3άδων µέχρι και 20άδων δοκιµίων. Από την ανάλυση των αντοχών των δοκιµίων προκύπτει έκφραση του ζητούµενου εκτιµητή, για προκαθορισµένη διακύβευση. Η µέθοδος µπορεί να εφαρµοσθεί και σε άλλους πληθυσµούς κανονικής κατανοµής. ABSTRACT : A point estimator of the characteristic strength of concrete is calculated from a small number of test specimens, when the statistical data of the concrete are not known. By computer simulation, concrete populations of various combinations of mean strength µ, standard deviation σ and understrength proportions p, were examined. From each population, 10.000 random samples of 3 to 20 specimens were taken. From the analysis of the specimens strength results the required estimator was computed, with the corresponding, in each case, statistical risk. The method may be applied to many other normally distributed population. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια από τις µεθόδους που εφαρµόζονται για τον έλεγχο της αντοχής του διαστρωµένου και σκληρυµένου σκυροδέµατος στο έργο, είναι η µέθοδος µε αποκοπτόµενους πυρήνες (cores) ή καρότα (carotte, από το οποίο carottage, carottarie). Η µέθοδος αυτή απασχολεί την τεχνολογία του σκυροδέµατος 81 χρόνια τώρα. Η πρώτη σχετική δηµοσίευση έγινε το 1927 (Young, 1927) και σε µια έκδοση του 16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 1

ACI (ACI 1979) έχουν καταγραφεί 77 δηµοσιεύσεις µέχρι το 1977. Από το 1977 µέχρι πρόσφατα υπάρχουν στο αρχείο του γράφοντος άλλες 35 σχετικές δηµοσιεύσεις (ασφαλώς θα έχουν δηµοσιευθεί περισσότερες). Το πρόβληµα έχει ουσιαστικά δύο σκέλη. Το ένα είναι πώς από την αντοχή των καρότων προκύπτει η α- ντοχή του διαστρωµένου σκυροδέµατος και το δεύτερο πώς συγκρίνεται αυτή η αντοχή µε την χαρακτηριστική αντοχή του σκυροδέµατος µε το οποίο έγινε ο υ- πολογισµός του έργου. Η παρούσα έρευνα ασχολείται µε το πρώτο και ακροθιγώς σχολιάζει το δεύτερο. Το καρότο είναι ένα κυλινδρικό δοκίµιο που υποβάλλεται σε θλίψη και υποτίθεται πως δίνει την αντοχή του σκυροδέµατος στη θέση αποκοπής του. Η διάµετρος και το ύψος του δοκιµίου καθορίζεται στους Κανονισµούς. Επειδή η µέθοδος των καρότων α) τραυµατίζει, κατά κάποιο τρόπο την κατασκευή β) είναι δαπανηρή γιατί η αποκοπή γίνεται µε αδαµαντοκορώνες γ) δεν είναι πάντα επιτυχής γιατί ένα δοκίµιο που θα αποκόψει και σιδηροπλισµό αµφισβητείται, ο έλεγχος πρέπει να γίνεται µε τον ελάχιστο δυνατό αριθµό δοκιµίων. Άλλωστε στις έτοιµες οικοδοµές, που συχνά αποτελούν αντικείµενα ελέγχου, τόσο οι διαχωριστικοί τοίχοι όσο οι επικαλύψεις των πατωµάτων περιορίζουν αναγκαστικά τις θέσεις δειγµατοληψίας. Γίνεται αποδεκτό ότι οι αντοχές των δοκιµίων ενός σκυροδέµατος που έχει παρασκευαστεί µε τα ίδια υλικά, τις ίδιες αναλογίες και τον ίδια διαδικασία, όπως συµβαίνει στην περίπτωση π.χ. µιας πλάκας, ακολουθούν κανονική κατανοµή. Το ζητούµενο είναι πια είναι η χαρακτηριστική αντοχή αυτής της πλάκας, δηλαδή πια είναι η κατηγορία σκυροδέµατός της ώστε να µπορούµε να την ενισχύσουµε αν πρόκειται να υπερφορτωθεί (όταν επί παραδείγµατι η λειτουργία της αλλάζει και από πλάκα δωµατίου γίνεται πλάκα βιοτεχνίας µε βαριά µηχανήµατα) ή να την αποκαταστήσουµε αν έχει υποστεί βλάβη από τραυµατισµούς, σεισµό, ή πυρκαγιά. ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ Όπως είναι γνωστό, η χαρακτηριστική αντοχή f ck ενός σκυροδέµατος (αλλά και κάθε άλλου υλικού που έχει κανονική κατανοµή) ορίζεται (ΚΤΣ 97) µεν αλλά δεν είναι υπολογίζεται από τον έλεγχο ενός περιορισµένου αριθµού δοκιµίων. Ακριβής υπολογισµός της µπορεί να προκύψει µόνο από τον έλεγχο όλων των δοκιµίων που θα ήταν δυνατόν να προκύψουν από ολόκληρο τον πληθυσµό του σκυροδέµατος (όπως φαίνεται από έναν άλλο ορισµό, λιγότερο θεωρητικό, που δίνεται στο EN 206). Η προσπάθειά µας τείνει λοιπόν στην αναζήτηση ενός εκτι- µητή της f ck, που εδώ σηµειώνεται f. Η διαδικασία αναζήτησης του f έγινε µε ε- ξοµοίωση σε υπολογιστή. Ο αλγόριθµος που χρησιµοποιήθηκε είχε τα εξής βήµατα. α) Σχηµατίστηκαν πληθυσµοί σκυροδέµατος κανονικής κατανοµής (Hammersley 16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 2

1979) µε χαρακτηριστικές αντοχές (όλες οι µονάδες σε N/mm 2 ) f ck = 20, 25, 30 συνδυαζόµενες µε τυπικές αποκλίσεις σ = 2, 3.5, 5 και ποσοστά υποαντοχής p% = 1, 5, 10, 20, 30, 40. β) Από κάθε συνδυασµό, µε µια γεννήτρια τυχαίων αριθµών, έγιναν 10.000 δειγ- µατοληψίες τυχαίων 3άδων έως και 20άδων δοκιµίων. γ) Σε κάθε δειγµατοληψία υπολογίστηκαν ο µέσος όρος αντοχής των n δοκιµίων X n, η τυπική απόκλιση s n, και ο συντελεστής λ όπου λ X n f ck λ = (1) s n δηλαδή η κλίση της γραµµής που συνδέει τα X n και s. δ) Τέλος υπολογίστηκαν οι µέσοι όροι λ µ των κλίσεων λ και η τυπική απόκλιση s λ των 10.000 δειγµατοληψιών κάθε συνδυασµού. Από την εξέταση αυτών των στοιχείων προέκυψαν τα ακόλουθα: 1. Η κλίση λ έχει όπως αναµενόταν µια περίπου µη κεντρική κατανοµή t. 2. Οι µέσοι όροι λ µ δεν εξαρτώνται από την f ck και το σ του σκυροδέµατος, αλλά µόνο από τον αριθµό δοκιµίων της δειγµατοληψίας και το ποσοστό υποαντοχής p. Συνεπώς, για όλα τα σκυροδέµατα που έχουν ίδιες τιµές f ck και σ, οι κλίσεις λ µ είναι ίδιες. Στο Σχήµα 1, έχουν χαραχτεί ενδεικτικά, στο f ck = 20, οι κλίσεις λ µ για την περίπτωση 12άδων δοκιµίων και διάφορα ποσοστά p. Για άλλες τιµές f ck το πλέγµα των γραµµών µετακινείται παραλλήλως. Στον Πίνακα 1 δίνονται οι τιµές των λ µ για διάφορα ποσοστά υποαντοχής p και αριθµούς δοκιµίων n κάθε δειγµατοληψίας. Πίνακας 1. Μέσες τιµές των κλίσεων λ µ. p% Αριθµός δοκιµίων n 4 6 7 9 10 12 16 20 1 3,16 2,72 2,65 2,56 2,52 2,45 2,42 2,38 5 2,24 1,92 1,87 1,80 1,78 1,73 1,71 1,67 10 1,76 1,49 1,46 1,40 1,38 1,34 1,33 1,31 20 1,15 0,99 0,96 0,92 0,91 0,88 0,87 0,86 30 0,62 0,59 0,57 0,57 0,55 0,54 0,54 40 0,30 0,29 0,28 0,27 0,27 0,26 0,26 Στο Σχήµα 2 έχει χαραχτεί, ενδεικτικά, η µεταβολή του λ µ συναρτήσει του αριθ- µού των δοκιµίων για ποσοστά υποαντοχής p =1 % και p = 5%. Όπως φαίνεται 16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 3

στο σχήµα, για πολύ µεγάλο αριθµό δοκιµίων, οι καµπύλες τείνουν στις θεωρητικές τιµές, 2,325 για p = 1% και 1,645 για p = 5%. X 12 35 30 25 20 Σχήµα 1. Κλίσεις λ µ για 12άδες δοκιµίων 15 0 1 2 3 4 5 s 12 p=1% p=5% p=10% p=20% p=30% p=40% Κλίσεις λ µ Σχήµα 2. Μεταβολή των λ µ για p =1% και p = 5% p = 1% p = 5% 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 5 10 15 20 25 Αριθµός δοκιµίων Όπως αναφέρθηκε, οι γραµµές λ µ δίνουν τους µέσους όρους 10.000 δειγµατοληψιών. Το λ όµως µιας τυχαίας δειγµατοληψίας δεν θα βρίσκεται πάνω σε αυτές αλλά σε απόσταση που εξαρτάται από την τυπική απόκλιση των λ. Οι τυπικές αυτές αποκλίσεις s λ υπολογίστηκαν και δίνονται στον Πίνακα 2. Πίνακας 2. Τυπικές αποκλίσει s λ p% Αριθµός δοκιµίων 6 9 12 1 1,14 0,78 0,57 5 0,86 0,60 0,44 10 0,74 0,52 0,39 20 0,59 0,43 0,32 30 0,53 0,39 0,29 40 0,49 0,37 0,27 Αν δεχθούµε ότι τα λ ακολουθούν κατανοµή t (αντί της µη κεντρικής κατανοµής t), τότε από τα στοιχεία του Πίνακα 1 και του Πίνακα 2 µπορούµε να υπολογίσουµε ένα άνω όριο εµπιστοσύνης λ ώστε το σκυρόδεµα να έχει το επιθυµητό ποσοστό υποαντοχής p µε πιθανότητα που προκύπτει από το λ. Στον Πίνακα 3 έχουν υπολογιστεί οι τιµές λ για πιθανότητα 80% για το p, και για συνήθεις αριθ- µούς δοκιµίων. Ανάλογους Πίνακες µπορούµε να συντάξουµε για διαφορετική πιθανότητα, πράγµα που εξαρτάται από την σπουδαιότητα του έργου το οποίο µας ενδιαφέρει. 16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 4

Πίνακα 3. Τιµές λ p% Αριθµός δοκιµίων 6 9 12 1 3,19 2,80 2,60 5 2,27 1,99 1,86 10 1,79 1,56 1,44 20 1,23 1,06 0,96 30 0,84 0,69 0,63 40 0,50 0,40 0,34 Οπωσδήποτε, από την Σχέση (1) προκύπτει ότι, για µια τυχαία δειγµατοληψία n δοκιµίων µε µέσον όρο X n και τυπική απόκλιση s n θα είναι f = X n - λs n (2) όπου f είναι ο σηµειακός εκτιµητής της χαρακτηριστικής αντοχής του σκυροδέ- µατος, µε πιθανότητα 80% το ποσοστό υποαντοχής του σκυροδέµατος να είναι µικρότερο από εκείνο του Πίνακα 3. Βέβαια, για µικρότερη πιθανότητα από 80% προκύπτει και µικρότερη τιµή για το λ. Σοβαρό πρόβληµα υπάρχει στην περίπτωση µικρών κατοικηµένων διαµερισµάτων ή άλλων µικρών χώρων, όπου η λήψη 6 δοκιµίων είναι αδύνατη χωρίς καταστροφή των επιστρώσεων (ξύλινων ή µαρµάρινων). Το πρόβληµα εµφανίστηκε έντονο µετά τους σεισµούς, όταν πολλοί ιδιοκτήτες θέλησαν να ελέγξουν το σκυρόδεµα του διαµερίσµατός τους, σε πολυκατοικίες που ή δεν είχαν ληφθεί δοκίµια κατά την κατασκευή, ή, τα στοιχεία αντοχής των δοκιµίων είχαν χαθεί. Οι µόνοι χώροι όπου µπορούν να κοπούν καρότα χωρίς µεγάλη ζηµιά είναι το µπαλκόνι (αν υπάρχει) και οι εσωτερικοί διάδροµοι. Έτσι προκύπτει η ανάγκη κάποιου ε- λέγχου µε µικρότερο αριθµό δοκιµίων. Στην περίπτωση λήψεως τριών δοκιµίων η εξοµοίωση αποκάλυψε σηµεία και τέρατα (όπως συνέβαινε και πριν από 1985, µε το /µα του 1954). Παράδειγµα η τυχαία δειγµατοληψία 44,3 43,4 43,0 µε s = 0,45 (!) που δείχνει ότι πρόκειται για τελείως οµοιόµορφο σκυρόδεµα αντοχής 43,6, ενώ είναι µια από τις δειγµατοληψίες της εξοµοίωσης για σκυρόδεµα που είχε σχεδια- 16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 5

στεί µε f ck = 30 και σ = 3,5. υστυχώς, τις δειγµατοληψίες τριών δοκιµίων τείνει να επισηµοποιήσει το pren 13791. Μετά από αναζητήσεις, διαπιστώθηκε ότι οι δειγµατοληψίες τεσσάρων δοκιµίων είναι απαλλαγµένες από τα εντελώς ακραία αποτελέσµατα των τριών δοκιµίων (οι µεταβολές, στην περίπτωση µικρού αριθµού δοκιµίων, είναι ραγδαίες), αλλά εξακολουθούν να έχουν µεγάλες τυπικές αποκλίσεις. Στον Πίνακα 4 δίνονται οι µέσες τιµές λ µ, οι τυπικές αποκλίσεις s λ και οι τελικές τιµές λ για τέσσερα δοκίµια, µε τις ίδιες συνθήκες πιθανότητας 80% που αναφέρθηκαν προηγουµένως. Πίνακας 4. Τιµές λ τεσσάρων δοκιµίων p% λ µ s λ λ 1 3,16 2,03 4,31 5 2,24 1,58 3,13 10 1,76 1,39 2,54 20 1,15 1,11 1,77 ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ Η µέθοδος ελέγχου φαίνεται παραστατικά στο Σχήµα 3, το οποίο αναφέρεται σε 6άδες δοκιµίων και ποσοστό υποαντοχής p = 5%. Σε οποιαδήποτε θέση του διαγράµµατος σχεδιάζεται η γραµµή των µέσων όρων ΚΜ, µε κλίση λµ = 1,92, από τον Πίνακα 1 και η γραµµή του άνω ορίου εµπιστοσύνης 80% λ = 2,27 από τον Πίνακα 3. Αν µια δειγµατοληψία 6 δοκιµίων δώσει Χ 6 = 30,7 και s = 4,4 (Σηµείο Α), η γωνία ΜΚΛ µετακινείται παραλλήλως προς τα πάνω, στη θέση Μ Κ Λ Σχήµα 3. Αναζήτηση του f για 6άδες δοκιµίων και p = 5% X6, f 35 30 25 Κ' 20 Κ 15 0 1 2 3 4 5 s Α Λ' Μ' Λ, λ=2,27 Μ, λµ=1,92 16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 6

ώστε το σηµείο Α να πέσει στη γραµµή Λ Κ. Τότε, το σηµείο Κ δίνει το ζητού- µενο f του σκυροδέµατος µε πιθανότητα να είναι p < 5% ίση µε 80% και διακύβευση (p > 5%) ίση µε 20%. Αν η γωνία ανέβει ώστε το σηµείο Α να πέσει στη γραµµή Μ Κ, το σηµείο Κ δίνει το f µε πιθανότητα να είναι p < 5% ίση µε 50% και διακύβευση (p > 50%) ίση µε 50%. Φυσικά, για τρέχοντες ελέγχους, χρειάζεται µόνο η γραµµή ΛΚ. ΣΧΟΛΙΑ 1.Αν κάποιος θελήσει την f µε µικρότερη πιθανότητα από 80%, δηλαδή µε διακύβευση αγοραστή µεγαλύτερη από 20%, µπορεί, από τους Πίνακες της κατανοµής t, να υπολογίσει νέα λ που θα είναι µικρότερα από αυτά του Πίνακα 3 και 4. 2. Η f είναι η εκτιµήτρια της πραγµατικής χαρακτηριστικής αντοχής του διαστρωµένου σκυροδέµατος. Σε πολλές προτάσεις σχετικές µε τον έλεγχο της αντοχής, εικάζεται ότι το σκυρόδεµα, όταν διαστρωθεί και σκληρυνθεί, «αυτοµάτως» υφίσταται πτώση της χαρακτηριστικής του αντοχής κατά 15% και συνεπώς η χαρακτηριστική αντοχή του σκυροδέµατος που διαστρώθηκε είναι µετά 28 ηµέρες f ck /0,85. Με αυτό τον τρόπο επιδιώκεται, σε περίπτωση µη ικανοποιήσεως των Κριτηρίων συµµορφώσεως, να κριθεί ο παραγωγός του σκυροδέµατος όχι µε την αντοχή f ck που είχε υποχρέωση να πραγµατοποιήσει αλλά µε την f ck /0,85 που προέκυψε µε τον επανέλεγχο, και που είναι, βέβαια, ευνοϊκότερη για τον παραγωγό. Το θέµα δεν εξετάζεται εδώ διεξοδικά. Σηµειώνεται µόνο ότι, α) οι παλαιοί Κανονισµοί µελέτης προέβλεπαν και έναν συντελεστή ασφαλείας που αποµείωνε την f ck λόγω αστοχιών στην ποιότητα των υλικών και τον τρόπο διαστρώσεως και συντηρήσεως του σκυροδέµατος. Η αποµείωση αυτή δικαιολογείτο τότε, πριν από πολλές δεκαετίες, όταν η σύνθεση του σκυροδέµατος γινόταν από τον «µπετατζή», η µεταφορά του µε τους ντενεκέδες και τα καροτσάκια και η συµπύκνωσή του µε τη «βέργα» β) αν, µετά τις ραγδαίες εξελίξεις στην τεχνολογία του σκυροδέµατος, δικαιολογείται και σήµερα τέτοια αποµείωση, αυτή πρέπει να συναρτάται µε τον τρόπο συντήρησης του διαστρωθέντος σκυροδέµατος, του περιβάλλοντος στο οποίο βρίσκεται, την ηλικία του κ.ά. 3. Η µέθοδος που αναπτύχθηκε προηγουµένως µπορεί να εφαρµοστεί σε κάθε υ- λικό του οποίου η εξεταζόµενη ιδιότητα έχει κανονική κατανοµή, όπως η συµπύκνωση της βάσεως οδοστρωµάτων, τα χαρακτηριστικά ασφαλτοταπήτων, οι ιδιότητες προκατασκευασµένων στοιχείων κ.ά. Φυσικά, µπορεί να εφαρµοστεί και στον έλεγχο του νωπού σκυροδέµατος, µε τα «συµβατικά» δοκίµια. Η διαφορά είναι η εξής: η µέθοδος των Κριτηρίων συµµορφώσεως τα οποία είθισται να χρησιµοποιούνται, µε παραλλαγές, από τότε που τα διατύπωσε το CEB, βεβαιώ- 16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 7

νουν µε πιθανότητα 60% (για τον δικό µας ΚΤΣ 97) ότι το σκυρόδεµα που παραλαµβάνεται έχει ποσοστό υποαντοχής p > 5%, για µια ορισµένη τιµή χαρακτηριστικής αντοχής (Κουφόπουλος, 2000). Η Σχέση (2) του παρόντος, αν εφαρµοστεί στα «συµβατικά» δοκίµια, θα δίνει την τιµή της χαρακτηριστικής αντοχής για την οποία το σκυρόδεµα έχει p 5% µε πιθανότητα 80% (αν τα λ ληφθούν από τον Πίνακα 3 και 4). Όπως σηµειώθηκε και προηγουµένως, αν κάποιος θελήσει την f µε µικρότερη πιθανότητα από 80%, δηλαδή διακύβευση αγοραστή µεγαλύτερη από 20%, µπορεί, από τους Πίνακες της κατανοµής t, να υπολογίσει νέα λ που θα είναι µικρότερα από αυτά των Πινάκων 3 και 4. ΑΝΑΦΟΡΕΣ American Concrete Institute, «Concrete Core Tests, Bibliography No 13», 1979 Hammersley, J. M., Handscomb, D. C., «Monte Carlo Methods», Chapman and Hall, London (1979), p. 39. Young, R. B. «The field testing of concrete» Proceedings, American Society for Testing and Materials, Vol. 27, 1927, pp. 390. Κανονισµός Τεχνολογίας Σκυροδέµατος, Αθήνα 1997, Άρθρο 3.2 Κουφόπουλος, Π. «Θέµατα Τεχνολογίας Σκυροδέµατος», Αθήνα 2000, σελ. 166 16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 8