Στατιστική Συμπερασματολογία

Transcript

1 4. Εκτιμητική

2 Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε σχέση με το είδος της κατανομή. ΒΙΟ309-Εκτιμητική

3 Εκτιμητική εκτιμήτρια μιας παραμέτρου: μια συνάρτηση των τιμών του δείγματος που έχουμε επιλέξει από τον πληθυσμό, της οποίας οι τιμές παρέχουν προσεγγίσεις της πληθυσμιακής παραμέτρου. εκτίμηση της παραμέτρου: τιμή της εκτιμήτριας για ένα συγκεκριμένο δείγμα σημειακή εκτίμηση oit etimtio: ένας αριθμός που δίνει μια εκτίμηση της αντίστοιχης παραμέτρου του πληθυσμού. εκτίμηση με διαστήματα εμπιστοσύνης Δ.Ε. itervl etimtio: ένα διάστημα μέσα στο οποίο περιέχεται η πραγματική τιμή της παραμέτρου με κάποια πιθανότητα. ΒΙΟ309-Εκτιμητική 3

4 Ιδιότητες Εκτιμητριών Μια εκτιμήτρια της άγνωστης παραμέτρου θ τη λέμε αμερόληπτη ubied εκτιμήτρια της θ αν E Μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της άγνωστης παραμέτρου θ τη λέμε αποτελεσματική efficiet εκτιμήτρια της θ αν έχει την ελάχιστη μεταβλητότητα, δηλαδή αν για οποιαδήποτε άλλη * αμερόληπτη εκτιμήτρια Vr Vr * ΒΙΟ309-Εκτιμητική 4

5 Σημειακή εκτίμηση Μέθοδος των ροπών, μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας και μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Έστω,,..., οι τιμές ενός τυχαίου δείγματος μεγέθους, που το επιλέξαμε από έναν πληθυσμό του οποίου ένα ορισμένο χαρακτηριστικό X έχει συνάρτηση πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας f;θ, όπου θ είναι μια άγνωστη παράμετρος. Εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας της θ είναι αυτή που μεγιστοποιεί τη συνάρτηση,,..., ; f i ; i L Συνάρτηση πιθανοφάνειας ΒΙΟ309-Εκτιμητική 5

6 Υπολογισμός της εκτιμήτριας μέγιστης πιθανοφάνειας Την εκτιμήτρια την υπολογίζουμε από την εξίσωση L,,..., Για να διευκολύνουμε τη μαθηματική επεξεργασία συχνά χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση L,,..., ;. Τότε ; 0 και l L 0 Και ο υπολογισμός της εκτιμήτριας γίνεται από την εξίσωση L l L,,..., ; αντί της,,..., ; l f i ; i l L i l f i ; 0 ΒΙΟ309-Εκτιμητική 6

7 Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων Οι εκτιμήτριες ελαχίστων τετραγώνων ελαχιστοποιούν το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων μεταξύ κάθε παρατήρησης και τις προβλεπόμενης από κάποιο μοντέλο i y i y i 7

8 Εκτίμηση με διαστήματα εμπιστοσύνης Μια εκτίμηση διαστήματος μιας παραμέτρου θ είναι ένα διάστημα της μορφής όπου και εξαρτώνται από την τιμή της εκτιμήτριας για L ένα συγκεκριμένο δείγμα και από τη δειγματοληπτική κατανομή της. Τα άκρα του διαστήματος είναι τιμές που αντιστοιχούν σε δύο τ.μ. U L και U L U ΒΙΟ309-Εκτιμητική 8

9 Εκτίμηση με Δ.Ε. Από τη δειγματοληπτική κατανομή της βρίσκουμε και, L U τέτοια ώστε Για 0<α< υπάρχει πιθανότητα -α να διαλέξουμε ένα τυχαίο δείγμα που θα δώσει ένα διάστημα που να περιέχει το θ. Το διάστημα L U L U που βρίσκουμε από το δείγμα που επιλέγουμε ονομάζεται -α 00 % διάστημα εμπιστοσύνης και η πιθανότητα -α ονομάζεται συντελεστής εμπιστοσύνης. ΒΙΟ309-Εκτιμητική 9

10 ΒΙΟ309-Εκτιμητική 0 Δ.Ε. για τη μέση τιμή του πληθυσμού μεγάλο δείγμα, γνωστή N X, ~ 0, ~ N - α α -α α α X X X

11 Δ.Ε. για τη μέση τιμή του πληθυσμού μεγάλο δείγμα, γνωστή Ένα -α00% Δ.Ε. είναι:, Τα 95 % όρια εμπιστοσύνης είναι: Tα 99 % όρια εμπιστοσύνης είναι:,96,58 Σημείωση: Όταν το δείγμα προέρχεται από κανονικά κατανεμημένο πληθυσμό τα παραπάνω ισχύουν είτε το δείγμα είναι μικρό είτε είναι μεγάλο. ΒΙΟ309-Εκτιμητική

12 Προσδιορισμός του μεγέθους του δείγματος για την εκτίμηση μέσων τιμών σφάλμα Σφάλμα: Μέγεθος δείγματος ώστε να είμαστε -α00% σίγουροι ότι το σφάλμα στην εκτίμηση δεν ξεπερνά ένα επιτρεπτό όριο e e μικρότερο ΒΙΟ309-Εκτιμητική

13 Δ.Ε. για τη μέση τιμή του πληθυσμού μεγάλο δείγμα, άγνωστη Ένα -α00% Δ.Ε. είναι:, ΒΙΟ309-Εκτιμητική 3

14 Δ.Ε. για τη μέση τιμή του πληθυσμού μικρό δείγμα, άγνωστη Όταν το δείγμα είναι μικρό και προέρχεται από κανονικά κατανεμημένο πληθυσμό η τ.μ. T ~ S t Ένα -α00% Δ.Ε. είναι: -α t ;, t ; α α -t -;α t -;α ΒΙΟ309-Εκτιμητική 4

15 Δ.Ε. για τη διαφορά δύο μέσων τιμών Ανεξάρτητα δείγματα Θεωρούμε δύο ανεξάρτητα δείγματα μεγέθους επιλεγμένα από δύο πληθυσμούς με μέσες τιμές και και διασπορές και, αντίστοιχα. και Μεγάλα δείγματα X N ~, X X εκτιμήτρια της διαφοράς X N ~, X X ~ N, ΒΙΟ309-Εκτιμητική 5

16 ΒΙΟ309-Εκτιμητική 6 Δ.Ε. για τη διαφορά δύο μέσων τιμών Ανεξάρτητα, μεγάλα δείγματα Διασπορές γνωστές Ένα -α00% Δ.Ε. είναι: 0, ~ N X X

17 ΒΙΟ309-Εκτιμητική 7 Δ.Ε. για τη διαφορά δύο μέσων τιμών Ανεξάρτητα, μεγάλα δείγματα Διασπορές άγνωστες Ένα -α00% Δ.Ε. είναι: 0, ~ N X X

18 Δ.Ε. για τη διαφορά δύο μέσων τιμών Μικρά δείγματα Θεωρούμε δύο ανεξάρτητα δείγματα μεγέθους και επιλεγμένα από δύο κανονικά κατανεμημένους πληθυσμούς με μέσες τιμές και και διασπορές και, αντίστοιχα. Αν, τότε μια εκτιμήτρια της άγνωστης και η τ.μ. κοινής διασποράς είναι: Ένα -α00% Δ.Ε. είναι: S S S ~ t S X X T ; ; t t

19 ΒΙΟ309-Εκτιμητική 9 Δ.Ε. για τη διαφορά δύο μέσων τιμών Για Ένα -α00% Δ.Ε. είναι: όπου οι βαθμοί ελευθερίας ν δίνονται από τη σχέση η τιμή ν στρογγυλεύεται στον πλησιέστερο ακέραιο ; ; t t ] [ ] [

20 Δ.Ε. για τη διαφορά δύο μέσων τιμών Δείγματα εξαρτημένα - Ζευγαρωτές παρατηρήσεις Θεωρούμε δύο τυχαία δείγματα επιλεγμένα από δύο πληθυσμούς με μέσες τιμές και και διασπορές και, αντίστοιχα. Επιπλέον, κάθε στοιχείο του ενός δείγματος σχετίζεται με ένα στοιχείο του δευτέρου δείγματος. Έστω,,, τα στοιχεία του ου δείγματος και i τα στοιχεία του ου δείγματος. Αν και σχετίζονται, τότε η και δεν είναι ανεξάρτητες, ενώ οι διαφορές ανεξάρτητες και αποτελούν ένα τυχαίο δείγμα.,,, i i i i i i, i,,, είναι d ΒΙΟ309-Εκτιμητική 0

21 Δ.Ε. για τη διαφορά δύο μέσων τιμών Μικρά δείγματα Δείγματα εξαρτημένα - Ζευγαρωτές παρατηρήσεις Αν ο πληθυσμός των διαφορών τιμή d d t d i, τότε ένα -α00% Δ.Ε. είναι: έχει κανονική κατανομή με μέση d t d ; d ; d Για μεγάλα δείγματα ισχύει t ; ΒΙΟ309-Εκτιμητική

22 Δ.Ε. για μια πληθυσμιακή αναλογία Μια εκτιμήτρια της αναλογίας σε ένα διωνυμικό πείραμα είναι X το στατιστικό, όπου Χ είναι ο αριθμός των επιτυχιών σε δοκιμές. Σημειακή εκτίμηση της είναι η δειγματική αναλογία το ποσοστό των επιτυχιών σε ένα τ.δ. μεγέθους. Όταν το δεν περιμένουμε να είναι κοντά στο 0 ή, τότε για μεγάλο από το Κ. Ο. Θ. η τ.μ. έχει προσεγγιστικά κανονική κατανομή με μέση τιμή και διασπορά E Vr Z ~ N0, ΒΙΟ309-Εκτιμητική

23 Δ.Ε. για μια πληθυσμιακή αναλογία Ένα -α00% Δ.Ε. για την πληθυσμιακή αναλογία είναι: Προϋπόθεση: 5 και 5 ΒΙΟ309-Εκτιμητική 3

24 ΒΙΟ309-Εκτιμητική 4 Προσδιορισμός του μεγέθους του δείγματος για την εκτίμηση αναλογιών Σφάλμα: Μέγεθος δείγματος ώστε να είμαστε -α00% βέβαιοι ότι το σφάλμα δεν ξεπερνά το επιτρεπτό όριο e σφάλμα e μικρότερο

25 Δ.Ε. για τη διαφορά δύο πληθυσμιακών αναλογιών Θεωρούμε δύο πληθυσμούς που έχουν διωνυμική κατανομή για τους οποίους θέλουμε να εκτιμήσουμε τη διαφορά των αναλογιών και. Μια εκτιμήτρια της διαφοράς είναι το στατιστικό Επιλέγουμε από κάθε πληθυσμό ανεξάρτητα τ.δ. μεγέθους και, αντίστοιχα. Αν και είναι ο αριθμός των ``επιτυχιών'' σε κάθε δείγμα, τότε τα ποσοστά και είναι σημειακές εκτιμήσεις των και. Οι διαφορά των δειγματικών αναλογιών εκτίμηση της. είναι σημειακή ΒΙΟ309-Εκτιμητική 5

26 ΒΙΟ309-Εκτιμητική 6 Δ.Ε. για τη διαφορά δύο πληθυσμιακών αναλογιών Οι τ.μ. και είναι ανεξάρτητες, και η διαφορά όταν το μέγεθος των δειγμάτων είναι μεγάλο και οι πληθυσμιακές αναλογίες δεν είναι κοντά στο 0 ή έχει προσεγγιστικά κανονική κατανομή με μέση τιμή και διασπορά Ένα -α00% Δ.Ε. για τη διαφορά των πληθυσμιακών αναλογιών είναι: 0, ~ N Z

27 Δ.Ε. για τη διασπορά του πληθυσμού Ένα δείγμα μεγέθους επιλέγεται από κανονικά κατανεμημένο πληθυσμό με διασπορά. Η τ.μ. S ; ; S ~ Ένα -α00% Δ.Ε. είναι: -α ; ; α α χ χ -;-α -;α ΒΙΟ309-Εκτιμητική 7

28 Δ.Ε. για το λόγο δύο διασπορών Θεωρούμε δύο ανεξάρτητα δείγματα μεγέθους και επιλεγμένα αντίστοιχα από δύο κανονικά κατανεμημένους πληθυσμούς με διασπορές και. S S Ο λόγος είναι εκτιμήτρια του λόγου των διασπορών, όπου S και S είναι δειγματικές διασπορές. Αν και είναι οι διασπορές των δειγμάτων, τότε ο λόγος είναι σημειακή εκτίμηση του λόγου. S S Η τ. μ. F ~ F όπου και, S S ΒΙΟ309-Εκτιμητική 8

29 ΒΙΟ309-Εκτιμητική 9 Δ.Ε. για το λόγο δύο διασπορών Ένα -α00% Δ.Ε. είναι: ;, ;, f S S f α α ν,ν ;α ν,ν ;-α -α f f ;, ;, f S S f S S ;, ;, f f