Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας το γράµµα Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Η γωνία φ ν και η κεντρική γωνία ω ν ενός κανονικού ν-γώνου είναι συµπληρωµατικές Σ Λ β. Αν ΑΔ ύψος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ (Α=90 0 ), τότε β 2 γ 2 = ΔΓ ΔΒ γ. Αν δυο τρίγωνα είναι ισοδύναµα, τότε είναι ίσα Σ Λ δ. Το εµβαδόν ενός ρόµβου ισούται µε το ηµιγινόµενο των διαγωνίων του Σ Λ ε. Αν είναι Β > 90 0 τότε α 2 + γ 2 > β 2 Σ Λ στ. Ένα σηµείο Ρ είναι εσωτερικό σηµείο Ρ κύκλου (Ο, R) αν και µόνο αν Δ (Ο,R) ζ. Το εµβαδόν εγγεγραµµένου τριγώνου σε Σ Λ < 0 Σ Λ κύκλο (Ο, ρ) δίνεται από τον τύπο Ε = τρ Σ Λ η. Αν δυο τρίγωνα είναι όµοια τότε ο λόγος των εµβαδών τους ισούται µε το τετράγωνο του λόγου οµοιότητας Σ Λ θ. Το εµβαδόν τετραγώνου µε διαγώνιο δ, δίνεται από τον τύπο Ε = 2δ 2 Σ Λ ι. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Β = 120 0, τότε θα είναι β 2 = α 2 + γ 2 + αγ Σ Λ (1,5 Μονάδα ανά ερώτηµα) Επιµέλεια Θεµάτων και Λύσεων: Θάνος Λουκάς 1
Θέµα 2 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = 12 cm, ΒΓ = 16 cm και Β = 60 0 Α. Να βρείτε την πλευρά ΑΓ ( Μονάδες) Β. Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες ( Μονάδες) Γ. Να βρείτε την προβολή της ΑΒ πάνω στην ΒΓ ( Μονάδες) Δ. Να βρείτε την διάµεσο ΒΜ ( Μονάδες) Ε. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ( Μονάδες) ΣΤ. Αν Δ σηµείο της ΑΒ τέτοιο ώστε ΑΔ = 1 ΑΒ και Ε σηµείο της πλευράς ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΕ = 1 ΒΓ, να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΒΔΕ. (5 Μονάδες) Θέµα Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε γ = 1, β = 5 και α = 8 Α. Να δείξετε ότι το ΑΒΓ είναι αµβλυγώνιο τρίγωνο (6 Μονάδες) Β. Αν Μ το µέσον της ΒΓ, να υπολογίσετε το µήκος της ΑΜ (6 Μονάδες) Φέρνουµε τον περιγεγραµµένο κύκλο του ΑΒΓ και η προέκταση της ΑΜ τέµνει τον κύκλο στο Δ. Γ. Να υπολογίσετε το µήκος ΜΔ (6 Μονάδες) Δ. Να αποδείξετε οτι η ΒΔ είναι διάµετρος (7 Μονάδες) Θέµα Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) µε εµβαδόν 96 και γωνία Α = 60 0. Αν ο εγγεγραµµένος στο τραπέζιο ΑΒΓΔ κύκλος (Ο, R) εφάπτεται στις πλευρές του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΑΔ στα σηµεία Κ, Λ, Μ, Ν αντίστοιχα. Α. Να δείξετε ότι ΑΟ = 2λ 6 και ΑΒ = 2λ (6 Μονάδες) Β. Να βρείτε την ακτίνα R του κύκλου (6 Μονάδες) Γ. Να βρείτε τα µήκη των µικρών τόξων ΚΝ και ΛΜ. (6 Μονάδες) Δ. Το εµβαδόν του µεικτόγραµµου τριγώνου ΚΛΒ (7 Μονάδες) Επιµέλεια Θεµάτων και Λύσεων: Θάνος Λουκάς 2
Απαντήσεις Διαγωνίσµατος Θέµα 1 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 28 Β. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Λ στ. Σ ζ. Λ η. Σ θ. Λ ι. Σ Θέµα 2 Α Μ Β Ζ Γ Α. Από τον νόµο των συνηµιτόνων έχουµε: ΑΓ 2 = ΑΒ 2 + ΒΓ 2 2ΑΒ ΒΓ συνβ ΑΓ 2 = 12 2 +16 2 2 12 16 συν60 ΑΓ 2 = 1 + 256 8 1 2 ΑΓ 2 = 208 ΑΓ = 208 Β. Η µεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου είναι η ΒΓ. ΒΓ 2 =256 και ΑΒ 2 +ΑΓ 2 =1+208=52 Αφού ΒΓ 2 <ΑΒ 2 +ΑΓ 2 το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. Γ. Από Γ.Π.Θ. οξείας γωνίας έχουµε: ΑΓ 2 =ΑΒ 2 + ΒΓ 2 2ΒΓ ΒΖ 208=1+256 2 ΒΖ ΒΖ= 292 2 Δ. Από το 1 ο Θ. Διαµέσων έχουµε: µ β 2 = 2α 2 + 2γ 2 β 2 = 512 + 288 208 = 18 µ β = 18 Επιµέλεια Θεµάτων και Λύσεων: Θάνος Λουκάς
Ε. (ΑΒΓ) = 1 2 ΑΒ ΒΓ ηµβ = 1 2 12 16 2 = 8 ΣΤ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΕΔ έχουν κοινή γωνία Β άρα: Θέµα (ΒΕΔ) ΒΔ ΒΕ = (ΑΒΓ) ΑΒ ΒΓ = 2 ΑΒ 1 ΒΓ ΑΒ ΒΓ = 1 6 (ΒΕΔ) 8 = 1 6 (ΒΕΔ) = 8 A. Η µεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου είναι η α. α 2 = 8 και β 2 + γ 2 = 1 + 5 = 6 Αφού α 2 > β 2 + γ 2 το τρίγωνο είναι αµβλυγώνιο µε αµβλεία γωνία την Α. Β. Από το 1 ο θεώρηµα διαµέσων έχουµε: µ α 2 = 2β 2 + 2γ 2 α 2 = 12 8 = 1 µ α = 1 Γ. Από το θεώρηµα τεµνουσών έχουµε: ΑΜ ΜΔ = ΜΒ ΜΓ ΜΔ = 8 2 8 2 = 2 Δ. Από το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήµατος έχουµε: ΜΒ 2 = 2 και ΑΜ 2 + ΑΒ 2 = 1 + 1 = 1 Επιµέλεια Θεµάτων και Λύσεων: Θάνος Λουκάς
Οπότε ΜΒ 2 = ΑΜ 2 + ΑΒ 2, δηλαδή το τρίγωνο ΜΒΑ είναι ορθογώνιο µε ορθή την γωνία ΜΑΒ, η οποία είναι εγγεγραµµένη άρα βαίνει σε ηµικύκλιο. Άρα η ΒΔ είναι διάµετρος. Θέµα Δ Μ Γ A B Α. Η ΑΟ (διακεντρική ευθεία) είναι διχοτόµος της γωνίας Α, οπότε ισχύει: Α 1 = 0 0 ΑΟ = 2 ΟΚ = 2R = 2λ 6 Εφαρµόζοντας το Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΟ (Κ= 90 0 ), έχουµε: ΑΚ 2 = ΑΟ 2 ΟΚ 2 ΑΚ 2 = R 2 R 2 ΑΚ 2 = R 2 AK = R AB = 2R AB = 2λ Β. Οι γωνίες Α 1 και Ο 1 είναι οξείες γωνίες µε πλευρές κάθετες, οπότε: Α 1 = Ο 1 = 0 0 Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΜΔ (Μ = 90 0 ) είναι: Ο 1 = 0 0 ΟΔ = 2ΜΔ Και µε εφαρµογή του Π.Θ. έχουµε: ΟΔ 2 ΜΔ 2 = ΜΟ 2 ΜΔ 2 = R 2 ΜΔ = R ΔΓ = 2R Επιµέλεια Θεµάτων και Λύσεων: Θάνος Λουκάς 5
Οπότε: (ΑΒΓΔ) = (ΑΒ + ΓΔ) ΚΜ 2 96 = 2R + 2R Γ. Το µήκος του µικρού τόξου ΚΝ είναι: l ΚΝ = π R 120 180 Το µήκος του µικρού τόξου ΛΜ είναι: l ΛΜ = π R 60 180 2 2R R = 6 = π = 2π Δ. Είναι: ΒΚ = ΒΛ = R = 6 και επειδή Β = 60 0, το τρίγωνο ΒΚΛ είναι ισόπλευρο. Το εµβαδόν του µεικτόγραµµου τριγώνου ΚΛΒ είναι: S = ( ΒΚΛ) ε = ( ΒΚΛ) ΟΚΛ ΚΒ 2 π R2 120 60 + ΟΚΛ ( ) = + 1 2 R2 ηµ120 = 27 12π + 9 = 6 12π Επιµέλεια Θεµάτων και Λύσεων: Θάνος Λουκάς 6