Η ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΣΤΙΣ Γ - ΤΑΞΕΙΣ ΤΟΥ ΗΜΟΤΙΚΟΥ

Αναγνώριση και Κατασκευή Γεωµετρικών Σχηµάτων Η ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΣΤΙΣ Γ - ΤΑΞΕΙΣ ΤΟΥ ΗΜΟΤΙΚΟΥ Ελένη Μιχαήλ, Κλεοπάτρα Μουσκή, Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Τα γεωµετρικά σχήµατα, αλλά και γενικότερα το µάθηµα της γεωµετρίας αποτελεί αντικείµενο για το οποίο τα παιδιά δύσκολα µπορούν να αντλήσουν εµπειρίες από το φυσικό κόσµο και ως εκ τούτου δυσκολεύονται να δοµήσουν τα δικά τους γνωστικά σχήµατα γύρω από τις διάφορες γεωµετρικές έννοιες. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να διερευνήσει πιθανές δυσκολίες στη διαδικασία αναγνώρισης και κατασκευής των γεωµετρικών σχηµάτων τριγώνου, ορθογωνίου και τετραγώνου και παράλληλα να εντοπίσει τι κριτήρια χρησιµοποιούν οι µαθητές συγκεκριµένης σχολικής ηλικίας (8 10 χρονών) για να διακρίνουν γεωµετρικά σχήµατα µιας κατηγορίας από κάποια άλλα που ανήκουν σε διαφορετικές κατηγορίες. 1.Εισαγωγή Τα διάφορα γεωµετρικά σχήµατα αποτελούν ένα είδος αναπαράστασης και µάλιστα λειτουργούν µε ένα διαφορετικό τρόπο από ότι οι άλλες εικονικές αναπαραστάσεις. Οι αναπαραστάσεις αυτές αποτελούν ένα ιδιαίτερα δύσκολο στοιχείο προς σύλληψη και κατανόηση από πλευράς των παιδιών, λόγω του ότι όπως αναφέρει και ο Duval (2004), δεν υπάρχει ούτε ένα αντικείµενο στο φυσικό χώρο το οποίο να µπορεί να αναπαρασταθεί πλήρως και µε απόλυτη ακρίβεια από ένα γεωµετρικό σχήµα. Συνεπώς, οι γνώσεις των µαθητών για τον πραγµατικό χώρο δεν µπορούν να τους οδηγήσουν ταυτόχρονα και στη γνώση των γεωµετρικών εννοιών. Η θεωρία των Van Hiele (1986) είχε σηµαντική επίδραση στην ανάπτυξη της µαθηµατικής εκπαίδευσης, όσον αφορά τον κλάδο της γεωµετρίας. Αυτή αναφέρει ότι υπάρχουν διάφορα επίπεδα γεωµετρικής σκέψης και τα παιδιά βοηθούνται να προχωρήσουν από το ένα επίπεδο στο άλλο µέσω της εκπαίδευσης. Τα επίπεδα της γεωµετρικής σκέψης ιεραρχώνται από τους Van Hiele ως εξής: i. Οπτικό επίπεδο: Το παιδί έχει οπτική αντίληψη του σχήµατος ως ολότητας. Η δυνατότητα αναγνώρισης περιορίζεται στις φυσικές, σφαιρικές (global), ιδιότητες των σχηµάτων. εν µπορεί να δώσει µαθηµατικούς ορισµούς µόνον περιγραφές φυσικών ιδιοτήτων του σχήµατος και ίσως κάποια στοιχειώδη µαθηµατική ιδιότητα. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 191

Ε. Μιχαήλ κ.ά. ii. Περιγραφικό επίπεδο: Μπορεί να χρησιµοποιήσει και να διακρίνει µαθηµατικές ιδιότητες γεωµετρικών σχηµάτων. Όταν του δοθεί ο ορισµός και γνωρίζει κάθε έννοια την οποία αυτός περιλαµβάνει, είναι σε θέση να τον χρησιµοποιήσει. Για το µαθητή του επιπέδου αυτού απόδειξη σηµαίνει πειραµατική επαλήθευση της ιδιότητας για έναν περιορισµένο αριθµό περιπτώσεων. iii. Άτυπο παραγωγικό επίπεδο: Συνδέει λογικά τα σχήµατα και τις ιδιότητές τους µε ορισµούς. Εµφανίζεται η ικανότητα να οµαδοποιεί ακόµα και σε ιεραρχία κλάσεων που η µια µπορεί να περιέχει την άλλη (π.χ. λέει πως το τετράγωνο είναι ορθογώνιο), δηλαδή µπορεί να περάσει από την αποκλειστικού στη µη αποκλειστικού τύπου κατηγοριοποίηση. Μπορεί, επίσης, να προχωρήσει σε απαγωγικές διαδικασίες και λογικές αποδείξεις. iv. Τυπικό αξιωµατικό επίπεδο: Ό µαθητής συλλαµβάνει τη σηµασία της λογικοαπαγωγικής διαδικασίας. Κατανοεί την ουσία των αξιωµάτων, των ορισµών και των θεωρηµάτων. Μπορεί, παράλληλα, να καταλάβει και να διαµορφώσει συνηθισµένες τυπικές (formal) αποδείξεις. Η απόδειξη είναι η ανώτατη και πλέον έγκυρη αρχή που καθορίζει τη αλήθεια µιας πρότασης. Τέλος, ο µαθητής µπορεί να επαναδιατυπώσει προβλήµατα σε πιο σαφή γλώσσα. v. Συγκριτικό επίπεδο: Ο µαθητής εκτιµά την προσέγγιση του Hilbert για τη Γεωµετρία. Αναπτύσσει µια θεωρία χωρίς τη χρήση συγκεκριµένων (concrete) αντικειµένων. Μπορεί να ερευνήσει τη συνέπεια και την ανεξαρτησία των αξιωµάτων. Γενικεύει ακόµα τη µαθηµατική αρχή ή θεώρηµα και βρίσκει το µέγιστο πλαίσιο εφαρµογής του. Οι Clements & Battista (1992) εισηγούνται ότι υπάρχει ένα επίπεδο πριν από το οπτικό επίπεδο, το οποίο ονόµαζαν «prerecognitive». Στο επίπεδο αυτό, τα παιδιά αναγνωρίζουν µέρος των οπτικών χαρακτηριστικών των σχηµάτων, αλλά δεν µπορούν να αναγνωρίσουν πολλά όµοια σχήµατα ή να διακρίνουν µια κατηγορία σχηµάτων µεταξύ άλλων κατηγοριών. Σύµφωνα µε τους Clements et al. (1999) τα παιδιά αναπτύσσουν εικονικά «πρωτότυπα µοντέλα» και σταδιακά αποκτούν λεκτική περιγραφική γνώση των µοντέλων αυτών και γενικότερα των σχηµάτων. Το οπτικό επίπεδο αποκτά µια νέα διάσταση που χαρακτηρίζεται από το συνδυασµό λεκτικής - περιγραφικής γνώσης και εικονικής αντίληψης και παίρνει το όνοµα «συγκριτικό» («syncretic»). Οι Piaget & Inhelder (1967) µε τη θεωρία τους για την αντίληψη του χώρου από τα παιδιά υποστηρίζουν ότι η αναπαράσταση του χώρου οικοδοµείται από προηγούµενο χειρισµό του συγκεκριµένου περιβάλλοντος από το παιδί. Οι γεωµετρικές ιδέες αναπτύσσονται προοδευτικά µε βάση τοπολογικές σχέσεις. Αντίθετα µε τους Piaget & Inhelder σύγχρονοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι τα παιδιά διαθέτουν γεωµετρική σκέψη από πολύ µικρή ηλικία και µπορούν να ασχοληθούν µε γεωµετρικές ιδέες. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 192

Αναγνώριση και Κατασκευή Γεωµετρικών Σχηµάτων 2.Η έρευνα Σκοπός και ερευνητικά ερωτήµατα Σκοπός, εποµένως, της παρούσας εργασίας είναι να διερευνήσει µέσω ποιοτικής και ποσοτικής ανάλυσης των πληροφοριών πιθανές δυσκολίες στη διαδικασία αναγνώρισης και κατασκευής των γεωµετρικών σχηµάτων τριγώνου, ορθογωνίου και τετραγώνου και παράλληλα να εντοπίσει τι κριτήρια χρησιµοποιούν οι µαθητές συγκεκριµένης σχολικής ηλικίας (8 10 χρονών) για να διακρίνουν γεωµετρικά σχήµατα µιας κατηγορίας από κάποια άλλα που ανήκουν σε διαφορετικές κατηγορίες. Ειδικότερα, στοχεύει στο να απαντήσει τα πιο κάτω ερωτήµατα: 1. Σε ποιο βαθµό χρησιµοποιούν τα παιδιά την κατάλληλη ορολογία για να περιγράψουν λεκτικά τα συγκεκριµένα σχήµατα; 2. Τι κριτήρια (ιδιότητες) χρησιµοποιούν οι µαθητές (8 10 χρονών) για να αναγνωρίζουν και κατασκευάζουν γεωµετρικά σχήµατα τετράγωνο, ορθογώνιο, τρίγωνο, από κάποια άλλα που ανήκουν σε διαφορετικές κατηγορίες; 3. Πόσο σύνθετη είναι η γεωµετρική σκέψη των παιδιών αυτής της ηλικίας; 4. Μπορούν τα επίπεδα Van Hiele να είναι χρήσιµα στην περιγραφή της σκέψης των µαθητών όσον αφορά τα γεωµετρικά σχήµατα; Υποκείµενα της έρευνας Τα υποκείµενα της έρευνας αποτελούσαν 42 µαθητές της Γ τάξης δηµοτικού και 40 µαθητές της τάξης δηµοτικού που φοιτούσαν σε δύο σχολεία (ένα αστικό και ένα αγροτικό ) της επαρχίας Λευκωσίας και της επαρχίας Λάρνακας κατά τη σχολική χρονιά 2003-2004. ιαδικασία εκτέλεσης της έρευνας- Μέσα συλλογής δεδοµένων Η χορήγηση του δοκιµίου που χρησιµοποιήθηκε είχε διάρκεια 60 λεπτά. Οι µαθητές που έλαβαν µέρος στην έρευνα καλούνταν αρχικά να συµπληρώσουν το πρώτο µέρος του δοκιµίου. Μετά την ολοκλήρωση του πρώτου µέρους του δοκιµίου, καλούνταν να επιλύσουν τα έργα που περιλαµβάνονταν στο δεύτερο µέρος του δοκιµίου σε ξεχωριστό φύλλο χαρτιού. Το πρώτο µέρος του δοκιµίου περιλάµβανε τις εξής ασκήσεις : Φαντάσου ότι είσαι δάσκαλος! Ένα µικρό παιδί, σε ρωτά: Τι είναι τετράγωνο, Τι είναι τρίγωνο και Τι είναι ορθογώνιο Πρέπει να του εξηγήσεις µε απλά λόγια τι είναι το κάθε σχήµα και να δώσεις παραδείγµατα. Το δεύτερο µέρος του δοκιµίου αποτελείτο από τρία µέρη: Στο πρώτο µέρος ήταν τα έργα αναγνώρισης των σχηµάτων (τρίγωνα, τετράγωνα και ορθογώνια). Στο δεύτερο µέρος ήταν τα έργα κατασκευής όπου οι µαθητές έπρεπε να 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 193

Ε. Μιχαήλ κ.ά. σχεδιάσουν τρία διαφορετικά τετράγωνα τρίγωνα και ορθογώνια. Τέλος οι µαθητές έπρεπε να απαντήσουν στις ερωτήσεις «Πόσα διαφορετικά τετράγωνα νοµίζεις ότι µπορούν να κατασκευαστούν;», «Πόσα διαφορετικά τρίγωνα νοµίζεις ότι µπορούν να κατασκευαστούν;» και «Πόσα διαφορετικά ορθογώνια νοµίζεις ότι µπορούν να κατασκευαστούν;» Μεταβλητές της έρευνας ΟΚΙΜΙΟ Α ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Ορθός Ορισµός Λάθος Ορισµός Ορισµός τετραπλεύρου 4 ορθές γωνιές 4 ίσες πλευρές ΤΡΙΓΩΝΟ Ορισµός ισόπλευρου τριγώνου 3 γωνιές 3 πλευρές 3 γωνιές και 3 πλευρές Άλλες απαντήσεις ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ Ορθός Ορισµός Λάθος Ορισµός 4 ορθές γωνιές Απέναντι ίσες πλευρές Ορισµός τετραπλεύρου ΟΚΙΜΙΟ Β Α. Έργα αναγνώρισης Τετράγωνα Rec Sq (Πόσα από τα 13 σχήµατα είναι τετράγωνα) Rec Sq1 (Πόσα από τα 5 ορθά τετράγωνα έχει αναγνωρίσει) RecSq2 (Πόσα από τα 3 λοξά τετράγωνα έχει αναγνωρίσει) Τρίγωνα RecTr (Πόσα από τα 17 σχήµατα είναι τρίγωνα) RecTr1 (Πόσα από τα 4 καµπυλόγραµµα τρίγωνα έχει αναγνωρίσει) RecTr2 (Πόσα από τα 5 σύνθετα τρίγωνα έχει αναγνωρίσει) Ορθογώνια RecRe (Πόσα από τα 15 σχήµατα είναι ορθογώνια) RecRe1 (Πόσα από τα σχήµατα είναι τετράγωνα) RecRe2 (Λανθασµένη αναγνώριση παραλληλόγραµµου ως ορθογώνιο) 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 194

Αναγνώριση και Κατασκευή Γεωµετρικών Σχηµάτων Β. Έργα κατασκευής CSqd (Κατασκευή τετραγώνων µε βάση τις διαστάσεις) CSqr (Κατασκευή τετραγώνων µε βάση τον προσανατολισµό) CSqcom (Κατασκευή τετραγώνων µε συνδυασµό) CTrd ( Κατασκευή τριγώνων µε βάση τις διαστάσεις) CTrr (Κατασκευή τριγώνων µε βάση τον προσανατολισµό) CTrt (Κατασκευή τριγώνων µε βάση τη µορφή) CTrcom (Κατασκευή τριγώνων µε συνδυασµό) CRed (Κατασκευή ορθογωνίων µε βάση τις διαστάσεις) CRer (Κατασκευή ορθογωνίων µε βάση τον προσανατολισµό) CRecom (Κατασκευή ορθογωνίων µε συνδυασµό) Γ. Απάντηση στην ερώτηση «Πόσα σχήµατα διαφορετικά υπάρχουν» Συγκεκριµένος αριθµός Άπειρα ή πάρα πολλά Ένα Κριτήρια βαθµολόγησης Τα έργα του πρώτου µέρους του δοκιµίου βαθµολογήθηκε µε 1 σε εκείνη την µεταβλητή που χρησιµοποιήθηκε και 0 σε εκείνες τις µεταβλητές που δεν χρησιµοποιήθηκαν στην συγκεκριµένη άσκηση. ηλαδή αν κάποιος µαθητής έδινε ορθό ορισµό για το τετράγωνο θα έπαιρνε 1 στην αντίστοιχη µεταβλητή ενώ στις άλλες µεταβλητές θα έπαιρνε 0. Τα έργα του δεύτερου µέρους του δοκιµίου βαθµολογήθηκαν ως εξής: Για τα έργα αναγνώρισης η βαθµολογία ήταν διαφορετική για κάθε σχήµα, γιατί ήταν διαφορετικός ο αριθµός που δινόταν σε κάθε άσκηση. Συγκεκριµένα για την περίπτωση των τετραγώνων από τα 13 σχήµατα,οι µαθητές έπρεπε να χρωµατίσουν µόνο τα 8 τετράγωνα και τίποτα άλλο. Σε αυτή την περίπτωση θα έπαιρνε 1. Αν για παράδειγµα ο µαθητής έκανε ένα λάθος θα έπαιρνε 12/13. Παράλληλα αν χρωµάτιζε ένα σχήµα που δεν ήταν τετράγωνο,έχανε πάλι ένα βαθµό από τους 13.Επίσης βαθµολογήθηκαν πόσα από τα 5 ορθά τετράγωνα και πόσα από τα 3 λοξά τετράγωνα έχουν αναγνωριστεί. Στην περίπτωση των τριγώνων από τα 17 σχήµατα, οι µαθητές έπρεπε να χρωµατίσουν µόνο τα 11τρίγωνα και τίποτα άλλο. Βαθµολογήθηκαν επίσης πόσα από τα 4 καµπυλόγραµµα τρίγωνα έχει χρωµατίσει ο µαθητής και πόσα από τα 5 σύνθετα τρίγωνα έχει αναγνωρίσει. Τέλος στην περίπτωση των ορθογωνίων από τα 15 σχήµατα έπρεπε να σηµειωθούν µόνο τα 4 ορθογώνια και τίποτα άλλο. Ακόµα βαθµολογήθηκε πόσα από τα 2 τετράγωνα έχουν αναγνωρίσει ως ορθογώνια και πόσα τα 6 παραλληλόγραµµα τα έχει λανθασµένα αναγνωρίσει ως ορθογώνια. Για τα έργα κατασκευής υπήρχαν τρεις µεταβλητές για κάθε σχήµα (κατασκευή µε βάση τις διαστάσεις, µε βάση τον προσανατολισµό και µε βάση συνδυασµό). 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 195

Ε. Μιχαήλ κ.ά. Ανάλογα µε το ποιο τρόπο χρησιµοποιούσαν οι µαθητές έπαιρναν 1 στην αντίστοιχη µεταβλητή. Στις άλλες µεταβλητές που δε χρησιµοποιούνταν έπαιρναν 0. Τέλος για την ερώτηση: «Πόσα διαφορετικά σχήµατα µπορείς να κατασκευάσεις;» υπήρχαν τρεις απαντήσεις, συγκεκριµένος αριθµός, άπειρα ή πάρα πολλά και ένα. Ανάλογα µε το ποια από τις τρεις απαντήσεις έδιναν έπαιρναν 1 σε αυτή και 0 στις άλλες σαν ένδειξη ότι δε χρησιµοποιήθηκαν. Στατιστικές τεχνικές Για την ανάλυση και επεξεργασία των δεδοµένων, χρησιµοποιήθηκε το στατιστικό συνεπαγωγικό σύστηµα Gras. Η εφαρµογή αυτού του λογισµικού για ανάλυση των δεδοµένων καταλήγει σε δυο διαγράµµατα οµοιότητας όπου οι µεταβλητές συνδέονται µεταξύ τους ανάλογα µε την οµοιότητα ή µη που παρουσιάζουν. 3. Αποτελέσµατα Πρώτο µέρος: Ποιοτική ανάλυση Στο ερώτηµα του πρώτου µέρους του δοκιµίου παρουσιάστηκαν διάφορες απαντήσεις των παιδιών, στις οποίες περιέχεται προσπάθεια ορισµού του τετραγώνου, του τριγώνου και του ορθογωνίου. ΜΕΡΟΣ Α Ορισµός σχηµάτων Απαντήσεις των παιδιών της Γ τάξης Όσον αφορά τα τετράγωνα οι περισσότεροι µαθητές της Γ τάξης, ποσοστό 38.09%, έδωσαν τον ορισµό του τετραπλεύρου (τέσσερις γωνίες ή τέσσερις πλευρές). Το 28.57% των µαθητών όρισε το τετράγωνο ότι είναι το σχήµα µε τέσσερις ίσες πλευρές, ενώ µόνο 9.52% απάντησε ότι έχει τέσσερις ορθές γωνίες. Ίδιο ποσοστό 9.52% έδωσε λάθος ορισµό και τέλος το 14.29% έδωσε τον ορθό ορισµό του τετραγώνου. Για το τρίγωνο δεν αναµενόταν από τα παιδιά να δώσουν ορθό ορισµό, αφού είναι πολύ δύσκολο να ορισθεί µε σαφήνεια. Το 33.33% των µαθητών ανέφερε ότι το τρίγωνο έχει τρεις πλευρές, το 14.29% ότι έχει τρεις γωνιές και µόνο το 9.52% ότι έχει τρεις γωνιές και τρεις πλευρές. Ένα αρκετά ψηλό ποσοστό 26.19% έδωσε τον ορισµό του ισόπλευρου τριγώνου, σχήµα που έρχεται πρώτο στη σκέψη του παιδιού µε την αναφορά στα τρίγωνα. Το ποσοστό επιτυχίας στο να δώσουν τα παιδιά ένα σωστό ορισµό για το ορθογώνιο ήταν σηµαντικά πιο µικρό από το ποσοστό αποτυχίας, 11.90% και 23.81% αντίστοιχα. Με παρόµοιο τρόπο όπως το τετράγωνο ένα ψηλό ποσοστό 33.33% των µαθητών έδωσε τον ορισµό του τετραπλεύρου. Το 14.29% αναφέρει ότι το ορθογώνιο έχει 4 ορθές γωνιές και το 16.67% ότι οι απέναντι πλευρές είναι ίσες.(βλ. Παράρτηµα σελ.25) Οι απαντήσεις εµπεριέχουν ορισµούς των σχηµάτων µε βάση τα χαρακτηριστικά τους (γωνιές, πλευρές ), ορισµούς που αρκούνται στο ότι πρόκειται για 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 196

Αναγνώριση και Κατασκευή Γεωµετρικών Σχηµάτων ένα σχήµα, καθώς και ορισµούς στους οποίους τα σχήµατα ταυτίζονται µε τα πρωτοτυπικά σχήµατα. Απαντήσεις των παιδιών της τάξης Όσον αφορά τα τετράγωνα οι περισσότεροι µαθητές της τάξης έδωσαν τον ορθό ορισµό (42.5%) για το σχήµα. Το 20% των µαθητών όρισε το τετράγωνο ότι έχει 4 ίσες πλευρές ενώ το 12,5% ότι έχει 4 ορθές γωνιές. Το 17,5% έδωσε τον ορισµό του τετραπλεύρου και τέλος το 7,5% έδωσε λάθος ορισµό. Για το τρίγωνο κανένα παιδί δεν έδωσε ορθό ορισµό, µια που είναι πολύ δύσκολο να ορίσει κανείς τι είναι το τρίγωνο. Το 47,5% των µαθητών έδωσε τον ορθό ορισµό του ισόπλευρου τριγώνου. Αυτό µας επιτρέπει να αντιληφθούµε ότι αυτό το είδος τριγώνου είναι το πιο οικείο για τα παιδιά της ηλικίας αυτής. Το 12,5% ανάφερε ότι το τρίγωνο έχει 3 γωνίες, το 15% ότι έχει 3 πλευρές και µόνο το 5% ότι έχει και 3 γωνιές και 3 πλευρές. Το ποσοστό επιτυχίας στο να δώσουν ένα σωστό ορισµό για το ορθογώνιο ήταν πιο µικρό από το ποσοστό αποτυχίας, 30% και 35% αντίστοιχα. Με παρόµοιο τρόπο όπως το ορθογώνιο το 17,5% των µαθητών έδωσε τον ορισµό του τετραπλεύρου. Το 7,5% αναφέρει ότι το ορθογώνιο έχει 4 ορθές γωνιές και το 12,5% ότι οι απέναντι πλευρές είναι ίσες.(βλ. Παράρτηµα σελ.28) ΜΕΡΟΣ Β Ερώτηση : «Πόσα σχήµατα διαφορετικά υπάρχουν;» Απαντήσεις των παιδιών της Γ τάξης Όσον αφορά τα τετράγωνα το 45.24% των µαθητών στην απάντηση στο ερώτηµα πόσα διαφορετικά τετράγωνα νοµίζεις ότι µπορούν να κατασκευαστούν, έδωσε ένα συγκεκριµένο αριθµό. Το 28.57% έδωσε την απάντηση ένα και ποσοστό 26.19% έδωσε την ορθή απάντηση άπειρα ή πάρα πολλά. Με παρόµοιο τρόπο, στην περίπτωση των τριγώνων οι περισσότεροι µαθητές, µε ποσοστό 52.38%, απάντησαν ότι υπάρχει ένας συγκεκριµένος αριθµός τριγώνων. Αυτοί οι µαθητές ίσως αναφέρονταν στα είδη των τριγώνων που υπάρχουν, αγνοώντας το γεγονός ότι αυτά µπορούµε να τα πολλαπλασιάσουµε αλλάζοντας τις διαστάσεις και τον προσανατολισµό τους κάθε φορά. Το 26.19% απάντησε ότι µόνο ένα τρίγωνο υπάρχει, όπως ακριβώς και στην περίπτωση των τετραγώνων. Την ορθή απάντηση, δηλαδή ότι τα τρίγωνα που µπορούν να κατασκευαστούν είναι άπειρα ή τουλάχιστον πάρα πολλά, έδωσε µόνο το 21.43% των µαθητών. Τέλος για τα ορθογώνια τα αποτελέσµατα έδειξαν ότι ποσοστό 47.62% των µαθητών απάντησε ότι υπάρχει ένας συγκεκριµένος αριθµός ορθογωνίων, το 28.57% ότι υπάρχει µόνο ένα είδος ορθογωνίου και το 23.81% ότι υπάρχουν πάρα πολλά ορθογώνια. Αξιοσηµείωτο είναι να αναφέρουµε ότι ελάχιστα παιδιά χρησιµοποίησαν την έννοια του απείρου, µια έννοια πολύ αφηρηµένη και πιθανώς ασύλληπτη για µαθητές τέτοιας ηλικίας. Απαντήσεις των παιδιών της τάξης 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 197

Ε. Μιχαήλ κ.ά. Όσον αφορά τα τετράγωνα το 62,5% των µαθητών στην ερώτηση πόσα διαφορετικά τετράγωνα νοµίζεις ότι µπορούν να κατασκευαστούν, απάντησε ένα συγκεκριµένο αριθµό. Το 27,5% έδωσε την απάντηση ένα και µόνο το 10% έδωσε την ορθή απάντηση άπειρα ή πάρα πολλά. Αυτό ίσως να οφείλεται στο γεγονός ότι η έννοια του άπειρου είναι ακόµα άγνωστη για τα παιδιά. Στην περίπτωση των τριγώνων οι περισσότεροι µαθητές, µε ποσοστό 60%, απάντησαν ότι υπάρχει ένας συγκεκριµένος αριθµός τριγώνων(π.χ.4) Το 25% απάντησε ότι µόνο ένα είδος τριγώνου υπάρχει. Αυτοί ήταν οι µαθητές που κατασκεύαζαν κυρίως ισόπλευρα τρίγωνα και διαφοροποιούσαν είτε τις διαστάσεις είτε τον προσανατολισµό. Την ορθή απάντηση, δηλαδή ότι τα τρίγωνα που µπορούν να κατασκευαστούν είναι άπειρα ή τουλάχιστον πάρα πολλά, έδωσε µόνο το 15% των µαθητών. Τέλος για τα ορθογώνια τα αποτελέσµατα είναι περίπου τα ίδια. Το 70% των µαθητών απάντησε ότι υπάρχει ένας συγκεκριµένος αριθµός ορθογωνίων, το 22,5% ότι υπάρχει µόνο ένα είδος ορθογωνίου και το 7,5% ότι υπάρχουν πάρα πολλά ορθογώνια. Ούτε σε αυτή την περίπτωση δεν χρησιµοποίησαν την έννοια του απείρου. εύτερο µέρος : Ποσοτική ανάλυση Με βάση τη στατιστική συνεπαγωγική µέθοδο του Gras παρουσιάζουµε τα διαγράµµατα οµοιότητας και συνεπαγωγής. Σχέσεις οµοιότητας ανάµεσα στα έργα αναγνώρισης Το ενδροδιάγραµµα Οµοιότητας ( ιάγραµµα Γ1) παρουσιάζει τις οµαδοποιήσεις έργων αναγνώρισης µε βάση τη συµπεριφορά των υποκειµένων κατά την επίλυσή τους. Έργα αναγνώρισης Γ τάξης RecTr RecTr2 RecSq1 RecRe RecTr1 RecRe2 RecSq RecSq2 ιάγραµµα Γ1 Arbre des similarites : C:\Documents and Settings\kLEOPATRA\My Documents\Γεωµετρία\Book1.csv Mε βάση το ενδροδιάγραµµα Οµοιότητας σχηµατίζονται δύο οµάδες οµοιότητας. Η πρώτη οµάδα περιλαµβάνει τις µεταβλητές RecTr, RecTr2, RecSq1,RecRe. Παρατηρείται µεγάλη σύνδεση ανάµεσα στις µεταβλητές RecTr και RecTr2(0,67). Η σύνδεση αυτή αφορά αναγνώριση τριγώνων και σύνθετων τριγώνων. Μια άλλη σύνδεση που παρατηρείται στην πρώτη οµάδα είναι ανάµεσα στις µεταβλητές RecSq1 και RecRe που αφορά σωστή αναγνώριση των τετραγώνων που δεν έχουν περιστροφή και ορθή αναγνώριση των ορθογωνίων ανάµεσα σε άλλα σχήµατα. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 198

Αναγνώριση και Κατασκευή Γεωµετρικών Σχηµάτων Η δεύτερη οµάδα οµοιότητας περιλαµβάνει τις µεταβλητές RecTr1, RecRe2, RecSq, RecSq2.Η πιο σηµαντική σύνδεση είναι µεταξύ των µεταβλητών RecTr1 και RecRe2 ( 0,77 ). Η σύνδεση αυτή αφορά αναγνώριση των καµπυλόγραµµων τριγώνων και λανθασµένη αναγνώριση παραλληλόγραµµου ως ορθογωνίου. Επιπρόσθετα παρατηρείται σύνδεση µεταξύ των µεταβλητών RecSq και RecSq2, δηλαδή στη σωστή αναγνώριση των τετραγώνων και στην αναγνώριση των λοξών τετραγώνων. Συνεπαγωγικό ιάγραµµα Το συνεπαγωγικό διάγραµµα ( ιάγραµµα Γ2 ) δείχνει τις συνεπαγωγές που προέκυψαν από την επίλυση των έργων αναγνώρισης. RecRe1 RecRe2 RecTr RecRe RecTr2 RecSq1 RecTr1 RecSq2 ιάγραµµα Γ2 Με βάση το συγκεκριµένο διάγραµµα παρατηρούµε ότι στην περίπτωση της αναγνώρισης των ορθογωνίων και των τετραγώνων που δεν έχουν περιστροφή, η συνεπαγωγή είναι πολύ µεγάλη σε επίπεδο σηµαντικότητας 99%.Επίσης προκύπτει το συµπέρασµα ότι όσοι µαθητές αναγνωρίζουν τα λοξά τετράγωνα, τότε είναι πιο εύκολο να αναγνωρίσουν και τα υπόλοιπα ορθά τετράγωνα όσο ακόµα και τα ορθογώνια. Αυτό άλλωστε ήταν αναµενόµενο, αφού οι µαθητές δυσκολεύονται να αντιληφθούν ότι το τετράγωνο είναι είδος ορθογωνίου. Στο διάγραµµα αυτό, παρατηρούµε οµαδοποίηση µεταξύ της αναγνώρισης των τριγώνων και των ορθογωνίων. Όταν τα παιδιά αναγνωρίζουν τα τρίγωνα, τότε αναγνωρίζουν και ποια από αυτά είναι τα σύνθετα. Τέλος, όταν εκλαµβάνουν λανθασµένα τα παραλληλόγραµµα ως ορθογώνια είναι πιο εύκολο να εντοπίσουν τα τετράγωνα ως είδος ορθογωνίου και να καταλήξουν στην ορθή αναγνώριση όλων των ορθογωνίων. Σχέσεις οµοιότητας ανάµεσα στα έργα κατασκευής Το ενδροδιάγραµµα Οµοιότητας ( ιάγραµµα 1) παρουσιάζει τις οµαδοποιήσεις έργων κατασκευής µε βάση τη συµπεριφορά των υποκειµένων κατά την επίλυσή τους. Έργα κατασκευής τάξης CSqd CTrt CTrd CRed CSqr CRer Csqcom CTrr Ctrcom CRecom ιάγραµµα 1 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Arbre des similarites Κύπρου : C:\Documents and Settings\kLEOPATRA\My Documents\Γεωµετρία\έργα κατασκευής 199

Ε. Μιχαήλ κ.ά. Mε βάση το ενδροδιάγραµµα Οµοιότητας σχηµατίζονται δύο οµάδες οµοιότητας. Η πρώτη οµάδα περιλαµβάνει τις µεταβλητές CSqd, CTrt, CTrd και CRed. Παρατηρείται µεγάλη σύνδεση ανάµεσα στις µεταβλητές CTrd και CRed (0.96). Η σύνδεση αυτή είναι αναµενόµενη αφού αφορά κατασκευή τριγώνων και ορθογωνίων µε βάση τις διαστάσεις. Μια άλλη σύνδεση που παρατηρείται στην πρώτη οµάδα είναι ανάµεσα στις µεταβλητές CSqd και CTrt που αφορούν απλά κατασκευή ορθογωνίων µε βάση τη διάσταση και τριγώνων µε δάση τη µορφή. Η δεύτερη οµάδα οµοιότητας περιλαµβάνει τις µεταβλητές CSqr, CRer, CSqcom, CTrr, CTrcom και CRecom..Η πιο σηµαντική σύνδεση είναι µεταξύ των µεταβλητών CSqcom και CTrr (0.98). Η σύνδεση αυτή αφορά την κατασκευή ορθογωνίων µε βάση συνδυασµό και κατασκευή τριγώνων µε βάση τον προσανατολισµό. Επιπρόσθετα παρατηρείται σύνδεση µεταξύ των µεταβλητών, CTrcom και CRecom(0.80), δηλαδή κατασκευή τριγώνων και ορθογωνίων µε βάση τον συνδυασµό. Τέλος µια άλλη σύνδεση, που είναι αναµενόµενη,είναι αυτή ανάµεσα στις µεταβλητές CSqr και CRer (0.87).Αυτές είναι µεταβλητές αφορούν την κατασκευή τετραγώνων και ορθογωνίων µε βάση τον προσανατολισµό. Συνεπαγωγικό ιάγραµµα Το συνεπαγωγικό διάγραµµα ( ιάγραµµα 2 ) δείχνει τις συνεπαγωγές που προέκυψαν από τα έργα κατασκευής. CTrcom CTrd CRecom CSqcom CRed CRer ιάγραµµα 2 CSqr Με βάση το πιο πάνω συνεπαγωγικό διάγραµµα παρατηρούµε ότι τα έργα κατασκευής µε βάση το συνδυασµό οµαδοποιούνται µαζί. Μεγαλύτερη δυσκολία παρουσιάζουν τα έργα συνδυασµού που αφορούν τα τρίγωνα Επίσης προκύπτει το συµπέρασµα ότι η κατασκευή τριγώνων και ορθογωνίων µε βάση τις διαστάσεις συσχετίζεται. Όσοι δηλαδή µαθητές κατασκευάζουν τρίγωνα µε βάση τις διαστάσεις τότε κατασκευάζουν και ορθογώνια µε βάση τις διαστάσεις. Στο συγκεκριµένο διάγραµµα φαίνεται ότι η 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 200

Αναγνώριση και Κατασκευή Γεωµετρικών Σχηµάτων κατασκευή τετραγώνων και ορθογωνίων µε βάση τον προσανατολισµό είναι πιο εύκολη από αυτή µε βάση τον συνδυασµό. ηλαδή όταν οι µαθητές κατασκευάζουν µε βάση τον συνδυασµό τότε µπορούν και κατασκευάζουν µε βάση τον προσανατολισµό. 3.Συµπεράσµατα Από την εργασία αυτή προέκυψαν αρκετά ενδιαφέροντα συµπεράσµατα µε βάση τα αρχικά ερωτήµατα που διατυπώθηκαν. Τα συµπεράσµατα αυτά, αν και θα ήταν παρακινδυνευµένο να γενικευτούν σε ευρύ πληθυσµό λόγο του περιορισµού του δείγµατος, µπορούν εντούτοις να δώσουν κάποιες πολύ σηµαντικές ενδείξεις σχετικά µε τη δόµηση της γεωµετρικής σκέψης όσον αφορά την αναγνώριση και κατασκευή συγκεκριµένων γεωµετρικών σχηµάτων στους µαθητές της Γ και τάξης του δηµοτικού σχολείου. Ένα από τα βασικά ερευνητικά ερωτήµατα της παρούσας εργασίας ήταν να διαπιστωθεί σε ποιο βαθµό χρησιµοποιούν τα παιδιά της ηλικίας αυτής την κατάλληλη ορολογία για να περιγράψουν λεκτικά τα γεωµετρικά σχήµατα : τρίγωνο, τετράγωνο και ορθογώνιο. Όπως φάνηκε από την ποιοτική ανάλυση των αποτελεσµάτων που πάρθηκαν στις πλείστες περιπτώσεις οι µαθητές ανέφεραν όρους που είχαν περισσότερο οπτική παρά γεωµετρική σηµασία. Σε κάποιες άλλες περιπτώσεις µπορούσαν να εντοπίσουν ορισµένες µαθηµατικές ιδιότητες των σχηµάτων, αλλά πολύ απλές ( όπως π.χ. των αριθµό των πλευρών των συγκεκριµένων σχηµάτων ).Αξιοσηµείωτο είναι ότι τα παιδιά της τάξης είναι σε θέση να χρησιµοποιούν την κατάλληλη ορολογία για να περιγράψουν τα σχήµατα. Επίσης ο πιθανός λόγος για τον οποίο ψηλό ποσοστό των παιδιών της Γ τάξης αδυνατούσε να δώσει τον ορθό ορισµό για τα τετράγωνα και τα ορθογώνια είναι το γεγονός ότι δεν έχουν ακόµα διδαχθεί την έννοια της ορθής γωνίας. Ένα δεύτερο ερευνητικό ερώτηµα της εργασίας αυτής ήταν να εντοπιστούν τα κριτήρια (ιδιότητες) που χρησιµοποιούν οι µαθητές (8 10 χρονών) για να αναγνωρίζουν και κατασκευάζουν γεωµετρικά σχήµατα τετράγωνο, ορθογώνιο, τρίγωνο, από κάποια άλλα που ανήκουν σε διαφορετικές κατηγορίες. Οι µαθητές χρησιµοποιούν δικούς τους όρους από την τρέχουσα γλώσσα για να περιγράψουν σχήµατα ( π.χ. αποκαλούν το ορθογώνιο σαν µακρύ κουτί ή το τρίγωνο σαν ένα µυτερό καπέλο). εν µπορούν ακόµα να κάνουν γενικεύσεις όσον αφορά την ιδιότητα κάποιας κλάσης ( να πει π.χ. «όλα τα τετράγωνα έχουν τέσσερις ίσες πλευρές»). Μπορούν να κατασκευάσουν ένα γεωµετρικό σχήµα, αλλά το σχέδιο βασίζεται στην ολιστική εντύπωση που προξενεί το σχήµα και όχι στην ανάλυση των ιδιοτήτων του. Όσον αφορά τη µελέτη της γεωµετρικής σκέψης των παιδιών διαπιστώθηκε ότι τα παιδιά µένουν καθηλωµένα στα πρωτοτυπικά σχήµατα και αδυνατούν να τα µεγεθύνουν ή να τα περιστρέψουν ή ακόµα περισσότερο να συνδυάσουν τα δύο προηγούµενα. Γι αυτό όπως φάνηκε και στην απάντηση του ερωτήµατος «Πόσα διαφορετικά σχήµατα νοµίζεις ότι υπάρχουν;» η έννοια του απείρου δεν αναφέρθηκε σχεδόν καθόλου επειδή είναι µια έννοια που απαιτεί σύνθετη µαθηµατική σκέψη. Τέλος η παρούσα εργασία κατέδειξε ότι πολλά από τα χαρακτηριστικά όπως τα ορίζει ο Van- Hiele στα επίπεδά του, βοηθούν να περιγράψουµε τον τρόπο που 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 201

Ε. Μιχαήλ κ.ά. σκέφτονται οι µαθητές όσον αφορά το θέµα της γεωµετρίας. Οι µαθητές της Γ τάξης ανήκουν στο πρώτο επίπεδο,ενώ οι µαθητές της τάξης παρουσιάζουν γνωρίσµατα και του δεύτερου επιπέδου. Στο πρώτο επίπεδο όπως ορίζει ο Van Hiele οι οπτικές εντυπώσεις ασκούν µεγάλη επίδραση στην κατάταξη και σύγκριση των σχηµάτων. Η δυνατότητα αναγνώρισης των σχηµάτων περιορίζεται στις φυσικές του ιδιότητες. Στο δεύτερο επίπεδο οι ιδιότητες διαδραµατίζουν ένα σηµαντικό ρόλο και διακρίνονται τα συστατικά µέρη ενός σχήµατος, οι σχέσεις µεταξύ των µερών αυτών καθώς και οι σχέσεις µεταξύ ξεχωριστών σχηµάτων. Συµπερασµατικά, φάνηκε ότι οι µαθητές δεν ήταν πραγµατικά εξοικειωµένοι µε µαθηµατικούς ορισµούς και έννοιες που αφορούσαν γεωµετρικά σχήµατα. Αυτό οφείλεται ίσως στο γεγονός ότι η κυπριακή δηµοτική εκπαίδευση προσανατολίζεται κυρίως στη διδασκαλία και ενασχόληση µε τα πρωτοτυπικά σχήµατα. Γνωρίζοντας όµως ότι η γεωµετρία είναι ένας χώρος ιδιαίτερα δύσκολος για τα µικρά παιδιά στον οποίο κρύβονται ανεκτίµητοι θησαυροί, θα πρέπει να δοθεί περισσότερη έµφαση στο θέµα αυτό ώστε να αρθούν οι δυσκολίες των παιδιών ως προς την αναγνώριση και κατασκευή γεωµετρικών σχηµάτων. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Bruno D Amore Patrizia Sandri. Everyday language and «External» models in an a- didactic situation, University of Bologna-Italy. Burger, W.F.(1986). Characterizing the Van Hiele levels of development in geometry. Journal for Research in Mathematics Education Vol.17 No.1,31-48. Γαγάτσης, Α. (2003).Κείµενα ιδακτικής της Γεωµετρίας. Λευκωσία: Πανεπιστήµιο Κύπρου Γαγάτσης, Α., & Ηλία, Ι. (2003).Οι Αναπαραστάσεις και τα Γεωµετρικά Μοντέλα στη Μάθηση των Μαθηµατικών.(Τόµος 1) Λευκωσία:Intercollege Γαγάτσης, Α., & Ηλία, Ι. (2003).Οι Αναπαραστάσεις και τα Γεωµετρικά Μοντέλα στη Μάθηση των Μαθηµατικών.(Τόµος 2) Λευκωσία:Intercollege Γαγάτσης, Α., Μιχαηλίδου, Ε., & Σιακαλλή, Μ. (2001). Θεωρίες Αναπαράστασης και µάθηση των Μαθηµατικών. Λευκωσία: ERASMUS IP1. Clements,D.H.,& Sarama, J. (2000). Young children s ideals about geometric shapes. Teaching Children Mathimathics,6, 482-488. Clements,D.H.,Swaminathan, S., Hannibal, M.A.& Sarama, j. (1999). Young Children s Concepts of Shape. Journal for Research in Mathematics Education, 30(2), 192-212. Duval, R, Geometrical Pictures: kind of representation and specific processings. Strasbourg U.L.P. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 202