ΣTOIXEIA EΥKΛEIOΥ
ΠPOΛEOMENA This document is compiled from Greek texts borrowed from Perseus Digital Library 1 and drawings that I created with a geometrical drawing language named, fittingly to the purpose, EΥKΛEIHΣ (EUKLEIDES) 2. The drawings are based on the Java TM script drawings on David Joyce s Euclid s Elements Web Page 3. This documents is created to provide a printer-friendly e-book for you who want to read Euclid s Elements in the original Greek language. The text is availible at the Perseus Digital Library and each word is linked to morphological analysis tools. But the text there lacks the diagrams that are critical in understanding the text. So I have prepared a version with the diagrams, which was what I had been eagerly looking for myself for years on the internet. The Greek text of Euclid s Elements is in the public domain. But the digitalized version, and especially the morphological tools serviced on Perseus Digital Library are protected by copyright laws. I have made a brief contact with Perseus personel and got an answer that Perseus Digital Library is not putting stress on the mere (Greek) text on it s home page. But the various learning tools are just what it is for and is strictly protected by law. If you get stimulated by this document and decide to read the book you are strongly recommended to visit Perseus Digital Library and get the full linguistic assistance from the philological tools there. This document can be freely distributed (as long as there s no copyright infringement to Perseus Digital Library s part) and I claim no copyright of any kind except in case you use this document for any commercial interest. Thank you. ;) Nov. 15. 2004. Myungsunn Ryu. If you want to learn Greek solely for reading Euclid s Elements, I recommend you to visit the Dr. Elizabeth R. Tuttle s web site, Reading Euclid 4. Recently I found a wonderful Greek site 5 that presents Euclid s Elements in Ancient Greek with all the diagrams in HTML. 1 http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?doc=perseus:text:1999.01.0085;layout=;loc=1;query=toc, mirrors at http://perseus.mpiwg-berlin.mpg.de/ and at http://perseus.uchicago.edu/ 2 http://www.eukleides.org/ 3 http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html 4 http://www.du.edu/~etuttle/classics/nugreek/contents.htm 5 http://www.physics.ntua.gr/faculty/mourmouras/euclid/index.html i
ii ΠEPIEXOMENA ΠEPIEXOMENA BIBΛION I........................................... 1 BIBΛION II........................................... 41 BIBΛION III........................................... 55 BIBΛION IV........................................... 93 BIBΛION V........................................... 113 BIBΛION VI........................................... 135 BIBΛION VII........................................... 171 BIBΛION VIII........................................... 203 BIBΛION IX........................................... 225 BIBΛION X........................................... 249 BIBΛION XI........................................... 353 BIBΛION XII........................................... 393 BIBΛION XIII........................................... 423
BIBΛION I ΟΡΟΙ 1. Σηµε ν στιν, ο µέρο ο θέν. 2. ραµµ δ µ κο πλατέ. 3. ραµµ δ πέρατα σηµε α. 4. θε α γραµµή στιν, τι ξ σου το φ αυτ σηµείοι κε ται. 5. πιφάνεια δέ στιν, µ κο κα πλάτο µ νον χει. 6. πιφανεία δ πέρατα γραµµαί. 7. πίπεδο πιφάνειά στιν, τι ξ σου τα φ αυτ ε θείαι κε ται. 8. πίπεδο δ γωνία στ ν ν πιπέδω δ ο γραµµ ν πτοµένων λλήλων κα µ π ε θεία κειµένων πρ λλήλα τ ν γραµµ ν κλίσι. 9. Οταν δ α περιέχουσαι τ ν γωνίαν γραµµα ε θε αι σιν, ε θ γραµµο καλε ται γωνία. 10. Οταν δ ε θε α π ε θε αν σταθε σα τ φεξ γωνία σα λλήλαι ποι, ρθ κατέρα τ ν σων γωνι ν στι, κα φεστηκυ α ε θε α κάθετο καλε ται, φ ν φέστηκεν. 11. µβλε α γωνία στ ν µείζων ρθ. 12. Οξε α δ λάσσων ρθ. 13. Ορο στίν, τιν στι πέρα. 14. Σχ µά στι τ π τινο τινων ρων περιεχ µενον. 15. Κ κλο στ σχ µα πίπεδον π µι γραµµ περιεχ µενον [ καλε ται περιφέρεια], πρ ν φ ν σηµείου τ ν ντ το σχήµατο κειµένων π σαι α προσπίπτουσαι ε θε αι [πρ τ ν το κ κλου περιφέρειαν] σαι λλήλαι ε σίν. 16. Κέντρον δ το κ κλου τ σηµε ον καλε ται. 17. ιάµετρο δ το κ κλου στ ν ε θε ά τι δι το κέντρου γµένη κα περατουµένη φ κάτερα τ µέρη π τ το κ κλου περιφερεία, τι κα δίχα τέµνει τ ν κ κλον. 18. µικ κλιον δέ στι τ περιεχ µενον σχ µα π τε τ διαµέτρου κα τ πολαµβανοµένη π α τ περιφερεία. κέντρον δ το µικυκλίου τ α τ, κα το κ κλου στίν. 1
2 BIBΛION I. 19. Σχήµατα ε θ γραµµά στι τ π ε θει ν περιεχ µενα, τρίπλευρα µ ν τ π τρι ν, τετράπλευρα δ τ π τεσσάρων, πολ πλευρα δ τ π πλει νων τεσσάρων ε θει ν περιεχ µενα. 20. Τ ν δ τριπλε ρων σχηµάτων σ πλευρον µ ν τρίγων ν στι τ τ τρε σα χον πλευρά, σοσκελ δ τ τ δ ο µ να σα χον πλευρά, σκαλην ν δ τ τ τρε νίσου χον πλευρά. 21. τι δ τ ν τριπλε ρων σχηµάτων ρθογώνιον µ ν τρίγων ν στι τ χον ρθ ν γωνίαν, µβλυγώνιον δ τ χον µβλε αν γωνίαν, ξυγώνιον δ τ τ τρε ξεία χον γωνία. 22. Τ ν δ τετραπλε ρων σχηµάτων τετράγωνον µέν στιν, σ πλευρ ν τέ στι κα ρθογώνιον, τερ µηκε δέ, ρθογώνιον µέν, ο κ σ πλευρον δέ, µβο δέ, σ πλευρον µέν, ο κ ρθογώνιον δέ, οµβοειδ δ τ τ πεναντίον πλευρά τε κα γωνία σα λλήλαι χον, ο τε σ πλευρ ν στιν ο τε ρθογώνιον: τ δ παρ τα τα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω. 23. Παράλληλοί ε σιν ε θε αι, α τινε ν τ α τ πιπέδω ο σαι κα κβαλλ µεναι ε πειρον φ κάτερα τ µέρη π µηδέτερα συµπίπτουσιν λλήλαι. ΙΤΜΤ 1. ιτήσθω π παντ σηµείου π π ν σηµε ον ε θε αν γραµµ ν γαγε ν. 2. Κα πεπερασµένην ε θε αν κατ τ συνεχ π ε θεία κβαλε ν. 3. Κα παντ κέντρω κα διαστήµατι κ κλον γράφεσθαι. 4. Κα πάσα τ ρθ γωνία σα λλήλαι ε ναι. 5. Κα ν ε δ ο ε θεία ε θε α µπίπτουσα τ ντ κα π τ α τ µέρη γωνία δ ο ρθ ν λάσσονα ποι, κβαλλοµένα τ δ ο ε θεία π πειρον συµπίπτειν, φ µέρη ε σ ν α τ ν δ ο ρθ ν λάσσονε. ΚΟΙΝΙ ΝΝΟΙΙ 1. Τ τ α τ σα κα λλήλοι στ ν σα. 2. Κα ν σοι σα προστεθ, τ λα στ ν σα. 3. Κα ν π σων σα φαιρεθ, τ καταλειπ µενά στιν σα. 4. [Κα ν νίσοι σα προστεθ, τ λα στ ν νισα. 5. Κα τ το α το διπλάσια σα λλήλοι στίν. 6. Κα τ το α το µίση σα λλήλοι στίν.] 7. Κα τ φαρµ ζοντα π λληλα σα λλήλοι στίν. 8. Κα τ λον το µέρου µε ζον [ στιν]. 9. Κα δ ο ε θε αι χωρίον ο περιέχουσιν.
ΠΡΟΤΣΙΣ 3 ΠΡΟΤΣΙΣ I.1 π τ δοθείση ε θεία πεπερασµένη τρίγωνον σ πλευρον συστήσασθαι. στω δοθε σα ε θε α πεπερασµένη. ε δ π τ ε θεία τρίγωνον σ πλευρον συστήσασθαι. Κέντρω µ ν τ διαστήµατι δ τ κ κλο γεγράφθω, κα πάλιν κέντρω µ ν τ διαστήµατι δ τ κ κλο γεγράφθω, κα π το σηµείου, καθ τέµνουσιν λλήλου ο κ κλοι, π τ, σηµε α πεζε χθωσαν ε θε αι α,. Κα πε τ σηµε ον κέντρον στ το κ κλου, ση στ ν τ : πάλιν, πε τ σηµε ον κέντρον στ το κ κλου, ση στ ν τ. δείχθη δ κα τ ση: κατέρα ρα τ ν, τ στ ν ση. τ δ τ α τ σα κα λλήλοι στ ν σα: κα ρα τ στ ν ση: α τρε ρα α,, σαι λλήλαι ε σίν. Ισ πλευρον ρα στ τ τρίγωνον, κα συνέσταται π τ δοθείση ε θεία πεπερασµένη τ. [ π τ δοθείση ρα ε θεία πεπερασµένη τρίγωνον σ πλευρον συνέσταται]: περ δει ποι σαι. I.2 Πρ τ δοθέντι σηµείω τ δοθείση ε θεία σην ε θε αν θέσθαι. στω τ µ ν δοθ ν σηµε ον τ, δ δοθε σα ε θε α : δε δ πρ τ σηµείω τ δοθείση ε θεία τ σην ε θε αν θέσθαι. πεζε χθω γ ρ π το σηµείου π τ σηµε ον ε θε α, κα συνεστάτω π α τ τρίγωνον σ πλευρον τ, κα κβεβλήσθωσαν π ε θεία τα, ε θε αι α,, κα κέντρω µ ν τ διαστήµατι δ τ κ κλο γεγράφθω Θ, κα πάλιν κέντρω τ κα διαστήµατι τ κ κλο γεγράφθω ΚΛ.
4 BIBΛION I. Κ Θ Λ πε ο ν τ σηµε ον κέντρον στ το Θ κ κλου, ση στ ν τ. πάλιν, πε τ σηµε ον κέντρον στ το ΚΛ κ κλου, ση στ ν Λ τ, ν τ ση στίν. λοιπ ρα Λ λοιπ τ στ ν ση. δείχθη δ κα τ ση: κατέρα ρα τ ν Λ, τ στ ν ση. τ δ τ α τ σα κα λλήλοι στ ν σα: κα Λ ρα τ στ ν ση. Πρ ρα τ δοθέντι σηµείω τ τ δοθείση ε θεία τ ση ε θε α κε ται Λ: περ δει ποι σαι. I.3 ο δοθεισ ν ε θει ν νίσων π τ µείζονο τ λάσσονι σην ε θε αν φελε ν. στωσαν α δοθε σαι δ ο ε θε αι νισοι α,, ν µείζων στω : δε δ π τ µείζονο τ τ λάσσονι τ σην ε θε αν φελε ν. Κείσθω πρ τ σηµείω τ ε θεία ση : κα κέντρω µ ν τ διαστήµατι δ τ κ κλο γεγράφθω. Κα πε τ σηµε ον κέντρον στ το κ κλου, ση στ ν τ : λλ κα τ στιν ση. κατέρα ρα τ ν, τ στιν ση: στε κα τ στιν ση.
ΠΡΟΤΣΙΣ 5 ο ρα δοθεισ ν ε θει ν νίσων τ ν, π τ µείζονο τ τ λάσσονι τ ση φή ρηται : περ δει ποι σαι. I.4 ν δ ο τρίγωνα τ δ ο πλευρ [τα ] δυσ πλευρα σα χη κατέραν κατέρα κα τ ν γωνίαν τ γωνία σην χη τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην, κα τ ν βάσιν τ βάσει σην ξει, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον σται, κα α λοιπα γωνίαι τα λοιπα γωνίαι σαι σονται κατέρα κατέρα, φ α σαι πλευρα ποτείνουσιν. στω δ ο τρίγωνα τ, τ δ ο πλευρ τ, τα δυσ πλευρα τα, σα χοντα κατέραν κατέρα τ ν µ ν τ τ ν δ τ κα γωνίαν τ ν π γωνία τ π σην. λέγω, τι κα βάσι βάσει τ ση στίν, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον σται, κα α λοιπα γωνίαι τα λοιπα γωνίαι σαι σονται κατέρα κατέρα, φ α σαι πλευρα ποτείνουσιν, µ ν π τ π, δ π τ π. φαρµοζοµένου γ ρ το τριγώνου π τ τρίγωνον κα τιθεµένου το µ ν σηµείου π τ σηµε ον τ δ ε θεία π τ ν, φαρµ σει κα τ σηµε ον π τ δι τ σην ε ναι τ ν τ : φαρµοσάση δ τ π τ ν φαρµ σει κα ε θε α π τ ν δι τ σην ε ναι τ ν π γωνίαν τ π : στε κα τ σηµε ον π τ σηµε ον φαρµ σει δι τ σην πάλιν ε ναι τ ν τ. λλ µ ν κα τ π τ φηρµ κει: στε βάσι π βάσιν τ ν φαρµ σει. ε γ ρ το µ ν π τ φαρµ σαντο το δ π τ βάσι π τ ν ο κ φαρµ σει, δ ο ε θε αι χωρίον περιέξουσιν: περ στ ν δ νατον. φαρµ σει ρα βάσι π τ ν κα ση α τ σται: στε κα λον τ τρίγωνον π λον τ τρίγωνον φαρµ σει κα σον α τ σται, κα α λοιπα γωνίαι π τ λοιπ γωνία φαρµ σουσι κα σαι α τα σονται, µ ν π τ π δ π τ π. ν ρα δ ο τρίγωνα τ δ ο πλευρ [τα ] δ ο πλευρα σα χη κατέραν κατέρα κα τ ν γωνίαν τ γωνία σην χη τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην,
6 BIBΛION I. κα τ ν βάσιν τ βάσει σην ξει, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον σται, κα α λοιπα γωνίαι τα λοιπα γωνίαι σαι σονται κατέρα κατέρα, φ α σαι πλευρα ποτείνουσιν: περ δει δε ξαι. I.5 Τ ν σοσκελ ν τριγώνων α πρ τ βάσει γωνίαι σαι λλήλαι ε σίν, κα προσεκβληθεισ ν τ ν σων ε θει ν α π τ ν βάσιν γωνίαι σαι λλήλαι σονται. στω τρίγωνον σοσκελ τ σην χον τ ν πλευρ ν τ πλευρ, κα προσεκβεβλήσθωσαν π ε θεία τα, ε θε αι α, : λέγω, τι µ ν π γωνία τ π ση στίν, δ π τ π. λήφθω γ ρ π τ τυχ ν σηµε ον τ, κα φη ρήσθω π τ µείζονο τ τ λάσσονι τ ση, κα πεζε χθωσαν α, ε θε αι. πε ο ν ση στ ν µ ν τ δ τ, δ ο δ α, δυσ τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα γωνίαν κοιν ν περιέχουσι τ ν π : βάσι ρα βάσει τ ση στίν, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον σται, κα α λοιπα γωνίαι τα λοιπα γωνίαι σαι σονται κατέρα κατέρα, φ α σαι πλευρα ποτείνουσιν, µ ν π τ π, δ π τ π. κα πε λη λη τ στιν ση, ν τ στιν ση, λοιπ ρα λοιπ τ στιν ση. δείχθη δ κα τ ση: δ ο δ α, δυσ τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα γωνία π γωνία τ π ση, κα βάσι α τ ν κοιν : κα τ ρα τρίγωνον τ τριγώνω σον σται, κα α λοιπα γωνίαι τα λοιπα γωνίαι σαι σονται κατέρα κατέρα, φ α σαι πλευρα ποτείνουσιν: ση ρα στ ν µ ν π τ π δ π τ π. πε ο ν λη π γωνία λη τ π γωνία δείχθη ση, ν π τ π ση, λοιπ ρα π λοιπ τ π στιν ση: καί ε σι πρ τ βάσει το τριγώνου. δείχθη δ κα π τ π ση: καί ε σιν π τ ν βάσιν. Τ ν ρα σοσκελ ν τριγώνων α πρ τ βάσει γωνίαι σαι λλήλαι ε σίν, κα προσεκβληθεισ ν τ ν σων ε θει ν α π τ ν βάσιν γωνίαι σαι λλήλαι σονται: περ δει δε ξαι.
ΠΡΟΤΣΙΣ 7 I.6 ν τριγώνου α δ ο γωνίαι σαι λλήλαι σιν, κα α π τ σα γωνίαι ποτείνουσαι πλευρα σαι λλήλαι σονται. στω τρίγωνον τ σην χον τ ν π γωνίαν τ π γωνία : λέγω, τι κα πλευρ πλευρ τ στιν ση. γ ρ νισ στιν τ, τέρα α τ ν µείζων στίν. στω µείζων, κα φη ρήσθω π τ µείζονο τ τ λάττονι τ ση, κα πεζε χθω. πε ο ν ση στ ν τ κοιν δ, δ ο δ α, δ ο τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα, κα γωνία π γωνία τ π στιν ση: βάσι ρα βάσει τ ση στίν, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον σται, τ λασσον τ µείζονι: περ τοπον: ο κ ρα νισ στιν τ : ση ρα. ν ρα τριγώνου α δ ο γωνίαι σαι λλήλαι σιν, κα α π τ σα γωνία ποτείνουσαι πλευρα σαι λλήλαι σονται: περ δει δε ξαι. I.7 π τ α τ ε θεία δ ο τα α τα ε θείαι λλαι δ ο ε θε αι σαι κατέρα κατέρα ο συσταθήσονται πρ λλω κα λλω σηµείω π τ α τ µέρη τ α τ πέρατα χουσαι τα ξ ρχ ε θείαι.
8 BIBΛION I. γ ρ δυνατ ν, π τ α τ ε θεία τ δ ο τα α τα ε θείαι τα, λλαι δ ο ε θε αι α, σαι κατέρα κατέρα συνεστάτωσαν πρ λλω κα λλω σηµείω τ τε κα π τ α τ µέρη τ α τ πέρατα χουσαι, στε σην ε ναι τ ν µ ν τ τ α τ πέρα χουσαν α τ τ, τ ν δ τ τ α τ πέρα χουσαν α τ τ, κα πεζε χθω. πε ο ν ση στ ν τ, ση στ κα γωνία π τ π : µείζων ρα π τ π : πολλ ρα π µείζων στ τ π. πάλιν πε ση στ ν τ, ση στ κα γωνία π γωνία τ π. δείχθη δ α τ κα πολλ µείζων: περ στ ν δ νατον. Ο κ ρα π τ α τ ε θεία δ ο τα α τα ε θείαι λλαι δ ο ε θε αι σαι κατέρα κατέρα συσταθήσονται πρ λλω κα λλω σηµείω π τ α τ µέρη τ α τ πέρατα χουσαι τα ξ ρχ ε θείαι : περ δει δε ξαι. I.8 ν δ ο τρίγωνα τ δ ο πλευρ [τα ] δ ο πλευρα σα χη κατέραν κατέρα, χη δ κα τ ν βάσιν τ βάσει σην, κα τ ν γωνίαν τ γωνία σην ξει τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην. στω δ ο τρίγωνα τ, τ δ ο πλευρ τ, τα δ ο πλευρα τα, σα χοντα κατέραν κατέρα, τ ν µ ν τ τ ν δ τ : χέτω δ κα βάσιν τ ν βάσει τ σην: λέγω, τι κα γωνία π γωνία τ π στιν ση. φαρµοζοµένου γ ρ το τριγώνου π τ τρίγωνον κα τιθεµένου το µ ν σηµείου π τ σηµε ον τ δ ε θεία π τ ν φαρµ σει κα τ σηµε ον π τ δι τ σην ε ναι τ ν τ : φαρµοσάση δ τ π τ ν φαρµ σουσι κα α, π τ,. ε γ ρ βάσι µ ν π βάσιν τ ν φαρµ σει, α δ, πλευρα π τ, ο κ φαρµ σουσιν λλ παραλλάξουσιν α,, συσταθήσονται π τ α τ ε θεία δ ο τα α τα ε θείαι λλαι δ ο ε θε αι σαι κατέρα κατέρα πρ λλω κα λλω σηµείω π τ α τ µέρη τ α τ πέρατα χουσαι. ο συνίστανται δέ: ο κ ρα φαρµοζοµένη τ βάσεω π τ ν βάσιν ο κ φαρµ σουσι κα α, πλευρα π τ,. φαρµ σουσιν ρα: στε κα γωνία π π γωνίαν τ ν π φαρµ σει κα ση α τ σται.
ΠΡΟΤΣΙΣ 9 ν ρα δ ο τρίγωνα τ δ ο πλευρ [τα ] δ ο πλευρα σα χη κατέραν κατέρα κα τ ν βάσιν τ βάσει σην χη, κα τ ν γωνίαν τ γωνία σην ξει τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην: περ δει δε ξαι. I.9 Τ ν δοθε σαν γωνίαν ε θ γραµµον δίχα τεµε ν. στω δοθε σα γωνία ε θ γραµµο π. δε δ α τ ν δίχα τεµε ν. λήφθω π τ τυχ ν σηµε ον τ, κα φη ρήσθω π τ τ ση, κα πεζε χθω, κα συνεστάτω π τ τρίγωνον σ πλευρον τ, κα πεζε χθω : λέγω, τι π γωνία δίχα τέτµηται π τ ε θεία. πε γ ρ ση στ ν τ, κοιν δ, δ ο δ α, δυσ τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα. κα βάσι βάσει τ ση στίν: γωνία ρα π γωνία τ π ση στίν. ρα δοθε σα γωνία ε θ γραµµο π δίχα τέτµηται π τ ε θεία : περ δει ποι σαι. I.10 Τ ν δοθε σαν ε θε αν πεπερασµένην δίχα τεµε ν. στω δοθε σα ε θε α πεπερασµένη : δε δ τ ν ε θε αν πεπερασµένην δίχα τεµε ν.
10 BIBΛION I. Συνεστάτω π α τ τρίγωνον σ πλευρον τ, κα τετµήσθω π γωνία δίχα τ ε θεία : λέγω, τι ε θε α δίχα τέτµηται κατ τ σηµε ον. πε γ ρ ση στ ν τ, κοιν δ, δ ο δ α, δ ο τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα γωνία π γωνία τ π ση στίν: βάσι ρα βάσει τ ση στίν. ρα δοθε σα ε θε α πεπερασµένη δίχα τέτµηται κατ τ : περ δει ποι σαι. I.11 Τ δοθείση ε θεία π το πρ α τ δοθέντο σηµείου πρ ρθ γωνία ε θε αν γραµµ ν γαγε ν. στω µ ν δοθε σα ε θε α τ δ δοθ ν σηµε ον π α τ τ : δε δ π το σηµείου τ ε θεία πρ ρθ γωνία ε θε αν γραµµ ν γαγε ν. λήφθω π τ τυχ ν σηµε ον τ, κα κείσθω τ ση, κα συνεστάτω π τ τρίγωνον σ πλευρον τ, κα πεζε χθω : λέγω, τι τ δοθείση ε θεία τ π το πρ α τ δοθέντο σηµείου το πρ ρθ γωνία ε θε α γραµµ κται. πε γ ρ ση στ ν τ, κοιν δ, δ ο δ α, δυσ τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα βάσι βάσει τ ση στίν: γωνία ρα π γωνία τ π ση στίν: καί ε σιν φεξ. ταν δ ε θε α π ε θε αν σταθε σα τ φεξ γωνία σα λλήλαι ποι, ρθ κατέρα τ ν σων γωνι ν στιν: ρθ ρα στ ν κατέρα τ ν π,. Τ ρα δοθείση ε θεία τ π το πρ α τ δοθέντο σηµείου το πρ ρθ γωνία ε θε α γραµµ κται : περ δει ποι σαι. I.12 π τ ν δοθε σαν ε θε αν πειρον π το δοθέντο σηµείου, µή στιν π α τ, κάθετον ε θε αν γραµµ ν γαγε ν.
ΠΡΟΤΣΙΣ 11 στω µ ν δοθε σα ε θε α πειρο τ δ δοθ ν σηµε ον, µή στιν π α τ, τ : δε δ π τ ν δοθε σαν ε θε αν πειρον τ ν π το δοθέντο σηµείου το, µή στιν π α τ, κάθετον ε θε αν γραµµ ν γαγε ν. Θ λήφθω γ ρ π τ τερα µέρη τ ε θεία τυχ ν σηµε ον τ, κα κέντρω µ ν τ διαστήµατι δ τ κ κλο γεγράφθω, κα τετµήσθω ε θε α δίχα κατ τ Θ, κα πεζε χθωσαν α, Θ, ε θε αι: λέγω, τι π τ ν δοθε σαν ε θε αν πειρον τ ν π το δοθέντο σηµείου το, µή στιν π α τ, κάθετο κται Θ. πε γ ρ ση στ ν Θ τ Θ, κοιν δ Θ, δ ο δ α Θ, Θ δ ο τα Θ, Θ σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα βάσι βάσει τ στιν ση: γωνία ρα π Θ γωνία τ π Θ στιν ση. καί ε σιν φεξ. ταν δ ε θε α π ε θε αν σταθε σα τ φεξ γωνία σα λλήλαι ποι, ρθ κατέρα τ ν σων γωνι ν στιν, κα φεστηκυ α ε θε α κάθετο καλε ται φ ν φέστηκεν. π τ ν δοθε σαν ρα ε θε αν πειρον τ ν π το δοθέντο σηµείου το, µή στιν π α τ, κάθετο κται Θ: περ δει ποι σαι. I.13 ν ε θε α π ε θε αν σταθε σα γωνία ποι, τοι δ ο ρθ δυσ ν ρθα σα ποιήσει.
12 BIBΛION I. θε α γάρ τι π ε θε αν τ ν σταθε σα γωνία ποιείτω τ π, : λέγω, τι α π, γωνίαι τοι δ ο ρθαί ε σιν δυσ ν ρθα σαι. µ ν ο ν ση στ ν π τ π, δ ο ρθαί ε σιν. ε δ ο, χθω π το σηµείου τ [ε θεία ] πρ ρθ : α ρα π, δ ο ρθαί ε σιν: κα πε π δυσ τα π, ση στίν, κοιν προσκείσθω π : α ρα π, τρισ τα π,, σαι ε σίν. πάλιν, πε π δυσ τα π, ση στίν, κοιν προσκείσθω π : α ρα π, τρισ τα π,, σαι ε σίν. δείχθησαν δ κα α π, τρισ τα α τα σαι: τ δ τ α τ σα κα λλήλοι στ ν σα: κα α π, ρα τα π, σαι ε σίν: λλ α π, δ ο ρθαί ε σιν: κα α π, ρα δυσ ν ρθα σαι ε σίν. ν ρα ε θε α π ε θε αν σταθε σα γωνία ποι, τοι δ ο ρθ δυσ ν ρθα σα ποιήσει: περ δει δε ξαι. I.14 ν πρ τινι ε θεία κα τ πρ α τ σηµείω δ ο ε θε αι µ π τ α τ µέρη κείµεναι τ φεξ γωνία δυσ ν ρθα σα ποι σιν, π ε θεία σονται λλήλαι α ε θε αι. Πρ γάρ τινι ε θεία τ κα τ πρ α τ σηµείω τ δ ο ε θε αι α, µ π τ α τ µέρη κείµεναι τ φεξ γωνία τ π, δ ο ρθα σα ποιείτωσαν: λέγω, τι π ε θεία στ τ.
ΠΡΟΤΣΙΣ 13 γ ρ µή στι τ π ε θεία, στω τ π ε θεία. πε ο ν ε θε α π ε θε αν τ ν φέστηκεν, α ρα π, γωνίαι δ ο ρθα σαι ε σίν: ε σ δ κα α π, δ ο ρθα σαι: α ρα π, τα π, σαι ε σίν. κοιν φη ρήσθω π : λοιπ ρα π λοιπ τ π στιν ση, λάσσων τ µείζονι: περ στ ν δ νατον. ο κ ρα π ε θεία στ ν τ. µοίω δ δείξοµεν, τι ο δ λλη τι πλ ν τ : π ε θεία ρα στ ν τ. ν ρα πρ τινι ε θεία κα τ πρ α τ σηµείω δ ο ε θε αι µ π τ α τ µέρη κείµεναι τ φεξ γωνία δυσ ν ρθα σα ποι σιν, π ε θεία σονται λλήλαι α ε θε αι: περ δει δε ξαι. I.15 ν δ ο ε θε αι τέµνωσιν λλήλα, τ κατ κορυφ ν γωνία σα λλήλαι ποιο σιν. ο γ ρ ε θε αι α, τεµνέτωσαν λλήλα κατ τ σηµε ον: λέγω, τι ση στ ν µ ν π γωνία τ π, δ π τ π. πε γ ρ ε θε α π ε θε αν τ ν φέστηκε γωνία ποιο σα τ π,, α ρα π, γωνίαι δυσ ν ρθα σαι ε σίν. πάλιν, πε ε θε α π ε θε αν τ ν φέστηκε γωνία ποιο σα τ π,, α ρα π, γωνίαι δυσ ν ρθα σαι ε σίν. δείχθησαν δ κα α π, δυσ ν ρθα σαι: α ρα π, τα π, σαι ε σίν. κοιν φη ρήσθω π : λοιπ ρα π λοιπ τ π ση στίν: µοίω δ δειχθήσεται, τι κα α π, σαι ε σίν. ν ρα δ ο ε θε αι τέµνωσιν λλήλα, τ κατ κορυφ ν γωνία σα λλήλαι ποιο σιν: περ δει δε ξαι.
14 BIBΛION I. Π ρισµα κ δ το του φανερ ν τι, ν δ ο ε θε αι τέµνωσιν λλήλα, τ πρ τ τοµ γωνία τέτρασιν ρθα σα ποιήσουσιν. I.16 Παντ τριγώνου µι τ ν πλευρ ν προσεκβληθείση κτ γωνία κατέρα τ ν ντ κα πεναντίον γωνι ν µείζων στίν. στω τρίγωνον τ, κα προσεκβεβλήσθω α το µία πλευρ π τ : λέγω, τι κτ γωνία π µείζων στ ν κατέρα τ ν ντ κα πεναντίον τ ν π, γωνι ν. Τετµήσθω δίχα κατ τ, κα πιζευχθε σα κβεβλήσθω π ε θεία π τ, κα κείσθω τ ση, κα πεζε χθω, κα διήχθω π τ. πε ο ν ση στ ν µ ν τ, δ τ, δ ο δ α, δυσ τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα γωνία π γωνία τ π ση στίν: κατ κορυφ ν γάρ: βάσι ρα βάσει τ ση στίν, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω στ ν σον, κα α λοιπα γωνίαι τα λοιπα γωνίαι σαι ε σ ν κατέρα κατέρα, φ α σαι πλευρα ποτείνουσιν: ση ρα στ ν π τ π. µείζων δέ στιν π τ π : µείζων ρα π τ π. µοίω δ τ τετµηµένη δίχα δειχθήσεται κα π, τουτέστιν π, µείζων κα τ π. Παντ ρα τριγώνου µι τ ν πλευρ ν προσεκβληθείση κτ γωνία κατέρα τ ν ντ κα πεναντίον γωνι ν µείζων στίν: περ δει δε ξαι. I.17 Παντ τριγώνου α δ ο γωνίαι δ ο ρθ ν λάσσονέ ε σι πάντη µεταλαµβαν µεναι.
ΠΡΟΤΣΙΣ 15 στω τρίγωνον τ : λέγω, τι το τριγώνου α δ ο γωνίαι δ ο ρθ ν λάττονέ ε σι πάντη µεταλαµβαν µεναι. κβεβλήσθω γ ρ π τ. Κα πε τριγώνου το κτ στι γωνία π, µείζων στ τ ντ κα πεναντίον τ π. κοιν προσκείσθω π : α ρα π, τ ν π, µείζονέ ε σιν. λλ α π, δ ο ρθα σαι ε σίν: α ρα π, δ ο ρθ ν λάσσονέ ε σιν. µοίω δ δείξοµεν, τι κα α π, δ ο ρθ ν λάσσονέ ε σι κα τι α π,. Παντ ρα τριγώνου α δ ο γωνίαι δ ο ρθ ν λάσσονέ ε σι πάντη µεταλαµβαν µεναι: περ δει δε ξαι. I.18 Παντ τριγώνου µείζων πλευρ τ ν µείζονα γωνίαν ποτείνει. στω γ ρ τρίγωνον τ µείζονα χον τ ν πλευρ ν τ : λέγω, τι κα γωνία π µείζων στ τ π. πε γ ρ µείζων στ ν τ, κείσθω τ ση, κα πεζε χθω.
16 BIBΛION I. Κα πε τριγώνου το κτ στι γωνία π, µείζων στ τ ντ κα πεναντίον τ π : ση δ π τ π, πε κα πλευρ τ στιν ση: µείζων ρα κα π τ π : πολλ ρα π µείζων στ τ π. Παντ ρα τριγώνου µείζων πλευρ τ ν µείζονα γωνίαν ποτείνει: περ δει δε ξαι. I.19 Παντ τριγώνου π τ ν µείζονα γωνίαν µείζων πλευρ ποτείνει. στω τρίγωνον τ µείζονα χον τ ν π γωνίαν τ π : λέγω, τι κα πλευρ πλευρ τ µείζων στίν. γ ρ µή, τοι ση στ ν τ λάσσων: ση µ ν ο ν ο κ στιν τ : ση γ ρ ν ν κα γωνία π τ π : ο κ στι δέ: ο κ ρα ση στ ν τ. ο δ µ ν λάσσων στ ν τ : λάσσων γ ρ ν ν κα γωνία π τ π : ο κ στι δέ: ο κ ρα λάσσων στ ν τ. δείχθη δέ, τι ο δ ση στίν. µείζων ρα στ ν τ.
ΠΡΟΤΣΙΣ 17 Παντ ρα τριγώνου π τ ν µείζονα γωνίαν µείζων πλευρ ποτείνει: περ δει δε ξαι. I.20 Παντ τριγώνου α δ ο πλευρα τ λοιπ µείζονέ ε σι πάντη µεταλαµβαν µεναι. στω γ ρ τρίγωνον τ : λέγω, τι το τριγώνου α δ ο πλευρα τ λοιπ µείζονέ ε σι πάντη µεταλαµβαν µεναι, α µ ν, τ, α δ, τ, α δ, τ. ιήχθω γ ρ π τ σηµε ον, κα κείσθω τ ση, κα πεζε χθω. πε ο ν ση στ ν τ, ση στ κα γωνία π τ π : µείζων ρα π τ π : κα πε τρίγων ν στι τ µείζονα χον τ ν π γωνίαν τ π, π δ τ ν µείζονα γωνίαν µείζων πλευρ ποτείνει, ρα τ στι µείζων. ση δ τ : µείζονε ρα α, τ : µοίω δ δείξοµεν, τι κα α µ ν, τ µείζονέ ε σιν, α δ, τ. Παντ ρα τριγώνου α δ ο πλευρα τ λοιπ µείζονέ ε σι πάντη µεταλαµβαν µεναι: περ δει δε ξαι. I.21 ν τριγώνου π µι τ ν πλευρ ν π τ ν περάτων δ ο ε θε αι ντ συσταθ σιν, α συσταθε σαι τ ν λοιπ ν το τριγώνου δ ο πλευρ ν λάττονε µ ν σονται, µείζονα δ γωνίαν περιέξουσιν. Τριγώνου γ ρ το π µι τ ν πλευρ ν τ π τ ν περάτων τ ν, δ ο ε θε αι ντ συνεστάτωσαν α, : λέγω, τι α, τ ν λοιπ ν το τριγώνου δ ο πλευρ ν τ ν, λάσσονε µέν ε σιν, µείζονα δ γωνίαν περιέχουσι τ ν π τ π.
18 BIBΛION I. ιήχθω γ ρ π τ. κα πε παντ τριγώνου α δ ο πλευρα τ λοιπ µείζονέ ε σιν, το ρα τριγώνου α δ ο πλευρα α, τ µείζονέ ε σιν: κοιν προσκείσθω : α ρα, τ ν, µείζονέ ε σιν. πάλιν, πε το τριγώνου α δ ο πλευρα α, τ µείζονέ ε σιν, κοιν προσκείσθω : α, ρα τ ν, µείζονέ ε σιν. λλ τ ν, µείζονε δείχθησαν α, : πολλ ρα α, τ ν, µείζονέ ε σιν. Πάλιν, πε παντ τριγώνου κτ γωνία τ ντ κα πεναντίον µείζων στίν, το ρα τριγώνου κτ γωνία π µείζων στ τ π. δι τα τ τοίνυν κα το τριγώνου κτ γωνία π µείζων στ τ π. λλ τ π µείζων δείχθη π : πολλ ρα π µείζων στ τ π. ν ρα τριγώνου π µι τ ν πλευρ ν π τ ν περάτων δ ο ε θε αι ντ συσταθ σιν, α συσταθε σαι τ ν λοιπ ν το τριγώνου δ ο πλευρ ν λάττονε µέν ε σιν, µείζονα δ γωνίαν περιέχουσιν: περ δει δε ξαι. I.22 κ τρι ν ε θει ν, α ε σιν σαι τρισ τα δοθείσαι [ε θείαι ], τρίγωνον συστήσασθαι: δε δ τ δ ο τ λοιπ µείζονα ε ναι πάντη µεταλαµβανοµένα [δι τ κα παντ τριγώνου τ δ ο πλευρ τ λοιπ µείζονα ε ναι πάντη µεταλαµβανοµένα ]. στωσαν α δοθε σαι τρε ε θε αι α,,, ν α δ ο τ λοιπ µείζονε στωσαν πάντη µεταλαµβαν µεναι, α µ ν, τ, α δ, τ, κα τι α, τ : δε δ κ τ ν σων τα,, τρίγωνον συστήσασθαι.
ΠΡΟΤΣΙΣ 19 Κ Θ κκείσθω τι ε θε α πεπερασµένη µ ν κατ τ πειρο δ κατ τ, κα κείσθω τ µ ν ση, τ δ ση, τ δ ση Θ: κα κέντρω µ ν τ, διαστήµατι δ τ κ κλο γεγράφθω ΚΛ: πάλιν κέντρω µ ν τ, διαστήµατι δ τ Θ κ κλο γεγράφθω ΚΛΘ, κα πεζε χθωσαν α Κ, Κ: λέγω, τι κ τρι ν ε θει ν τ ν σων τα,, τρίγωνον συνέσταται τ Κ. πε γ ρ τ σηµε ον κέντρον στ το ΚΛ κ κλου, ση στ ν τ Κ: λλ τ στιν ση. κα Κ ρα τ στιν ση. πάλιν, πε τ σηµε ον κέντρον στ το ΛΚΘ κ κλου, ση στ ν Θ τ Κ: λλ Θ τ στιν ση: κα Κ ρα τ στιν ση. στ δ κα τ ση: α τρε ρα ε θε αι α Κ,, Κ τρισ τα,, σαι ε σίν. κ τρι ν ρα ε θει ν τ ν Κ,, Κ, α ε σιν σαι τρισ τα δοθείσαι ε θείαι τα,,, τρίγωνον συνέσταται τ Κ: περ δει ποι σαι. I.23 Πρ τ δοθείση ε θεία κα τ πρ α τ σηµείω τ δοθείση γωνία ε θυγράµµω σην γωνίαν ε θ γραµµον συστήσασθαι.
20 BIBΛION I. στω µ ν δοθε σα ε θε α, τ δ πρ α τ σηµε ον τ, δ δοθε σα γωνία ε θ γραµµο π : δε δ πρ τ δοθείση ε θεία τ κα τ πρ α τ σηµείω τ τ δοθείση γωνία ε θυγράµµω τ π σην γωνίαν ε θ γραµµον συστήσασθαι. λήφθω φ κατέρα τ ν, τυχ ντα σηµε α τ,, κα πεζε χθω : κα κ τρι ν ε θει ν, α ε σιν σαι τρισ τα,,, τρίγωνον συνεστάτω τ, στε σην ε ναι τ ν µ ν τ, τ ν δ τ, κα τι τ ν τ. πε ο ν δ ο α, δ ο τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα, κα βάσι βάσει τ ση, γωνία ρα π γωνία τ π στιν ση. Πρ ρα τ δοθείση ε θεία τ κα τ πρ α τ σηµείω τ τ δοθείση γωνία ε θυγράµµω τ π ση γωνία ε θ γραµµο συνέσταται π : περ δει ποι σαι. I.24 ν δ ο τρίγωνα τ δ ο πλευρ [τα ] δ ο πλευρα σα χη κατέραν κατέρα, τ ν δ γωνίαν τ γωνία µείζονα χη τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην, κα τ ν βάσιν τ βάσεω µείζονα ξει. στω δ ο τρίγωνα τ, τ δ ο πλευρ τ, τα δ ο πλευρα τα, σα χοντα κατέραν κατέρα, τ ν µ ν τ τ ν δ τ, δ πρ τ γωνία τ πρ τ γωνία µείζων στω: λέγω, τι κα βάσι βάσεω τ µείζων στίν. πε γ ρ µείζων π γωνία τ π γωνία, συνεστάτω πρ τ ε θεία κα τ πρ α τ σηµείω τ τ π γωνία ση π, κα κείσθω ποτέρα τ ν, ση, κα πεζε χθωσαν α,.
ΠΡΟΤΣΙΣ 21 πε ο ν ση στ ν µ ν τ, δ τ, δ ο δ α, δυσ τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα γωνία π γωνία τ π ση: βάσι ρα βάσει τ στιν ση. πάλιν, πε ση στ ν τ, ση στ κα π γωνία τ π : µείζων ρα π τ π : πολλ ρα µείζων στ ν π τ π. κα πε τρίγων ν στι τ µείζονα χον τ ν π γωνίαν τ π, π δ τ ν µείζονα γωνίαν µείζων πλευρ ποτείνει, µείζων ρα κα πλευρ τ. ση δ τ : µείζων ρα κα τ. ν ρα δ ο τρίγωνα τ δ ο πλευρ δυσ πλευρα σα χη κατέραν κατέρα, τ ν δ γωνίαν τ γωνία µείζονα χη τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην, κα τ ν βάσιν τ βάσεω µείζονα ξει: περ δει δε ξαι. I.25 ν δ ο τρίγωνα τ δ ο πλευρ δυσ πλευρα σα χη κατέραν κατέρα, τ ν δ βάσιν τ βάσεω µείζονα χη, κα τ ν γωνίαν τ γωνία µείζονα ξει τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην.
22 BIBΛION I. στω δ ο τρίγωνα τ, τ δ ο πλευρ τ, τα δ ο πλευρα τα, σα χοντα κατέραν κατέρα, τ ν µ ν τ, τ ν δ τ : βάσι δ βάσεω τ µείζων στω: λέγω, τι κα γωνία π γωνία τ π µείζων στίν: γ ρ µή, τοι ση στ ν α τ λάσσων: ση µ ν ο ν ο κ στιν π τ π : ση γ ρ ν ν κα βάσι βάσει τ : ο κ στι δέ. ο κ ρα ση στ γωνία π τ π : ο δ µ ν λάσσων στ ν π τ π : λάσσων γ ρ ν ν κα βάσι βάσεω τ : ο κ στι δέ: ο κ ρα λάσσων στ ν π γωνία τ π. δείχθη δ τι ο δ ση: µείζων ρα στ ν π τ π. ν ρα δ ο τρίγωνα τ δ ο πλευρ δυσ πλευρα σα χη κατέραν κάτερα, τ ν δ βάσιν τ βάσεω µείζονα χη, κα τ ν γωνίαν τ γωνία µείζονα ξει τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην: περ δει δε ξαι. I.26 ν δ ο τρίγωνα τ δ ο γωνία δυσ γωνίαι σα χη κατέραν κατέρα κα µίαν πλευρ ν µι πλευρ σην τοι τ ν πρ τα σαι γωνίαι τ ν ποτείνουσαν π µίαν τ ν σων γωνι ν, κα τ λοιπ πλευρ τα λοιπα πλευρα σα ξει [ κατέραν κατέρα ] κα τ ν λοιπ ν γωνίαν τ λοιπ γωνία. στω δ ο τρίγωνα τ, τ δ ο γωνία τ π, δυσ τα π, σα χοντα κατέραν κατέρα, τ ν µ ν π τ π, τ ν δ π τ π : χέτω δ κα µίαν πλευρ ν µι πλευρ σην, πρ τερον τ ν πρ τα σαι γωνίαι τ ν τ : λέγω, τι κα τ λοιπ πλευρ τα λοιπα πλευρα σα ξει κατέραν κατέρα, τ ν µ ν τ τ ν δ τ, κα τ ν λοιπ ν γωνίαν τ λοιπ γωνία, τ ν π τ π. γ ρ νισ στιν τ, µία α τ ν µείζων στίν. στω µείζων, κα κείσθω τ ση, κα πεζε χθω. πε ο ν ση στ ν µ ν τ, δ τ, δ ο δ α, δυσ τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα γωνία π γωνία τ π ση στίν: βάσι ρα βάσει τ ση στίν, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον στίν, κα α λοιπα γωνίαι τα λοιπα γωνίαι σαι σονται, φ α
ΠΡΟΤΣΙΣ 23 σαι πλευρα ποτείνουσιν: ση ρα π γωνία τ π. λλ π τ π π κειται ση: κα π ρα τ π ση στίν, λάσσων τ µείζονι: περ δ νατον. ο κ ρα νισ στιν τ. ση ρα. στι δ κα τ ση: δ ο δ α, δυσ τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα γωνία π γωνία τ π στιν ση: βάσι ρα βάσει τ ση στίν, κα λοιπ γωνία π τ λοιπ γωνία τ π ση στίν. λλ δ πάλιν στωσαν α π τ σα γωνία πλευρα ποτείνουσαι σαι, τ : λέγω πάλιν, τι κα α λοιπα πλευρα τα λοιπα πλευρα σαι σονται, µ ν τ, δ τ κα τι λοιπ γωνία π τ λοιπ γωνία τ π ση στίν. γ ρ νισ στιν τ, µία α τ ν µείζων στίν. στω µείζων, ε δυνατ ν,, κα κείσθω τ ση Θ, κα πεζε χθω Θ. κα πε ση στ ν µ ν Θ τ δ τ, δ ο δ α, Θ δυσ τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα γωνία σα περιέχουσιν: βάσι ρα Θ βάσει τ ση στίν, κα τ Θ τρίγωνον τ τριγώνω σον στίν, κα α λοιπα γωνίαι τα λοιπα γωνίαι σαι σονται, φ α σαι πλευρα ποτείνουσιν: ση ρα στ ν π Θ γωνία τ π. λλ π τ π στιν ση: τριγώνου δ το Θ κτ γωνία π Θ ση στ τ ντ κα πεναντίον τ π : περ δ νατον. ο κ ρα νισ στιν τ : ση ρα. στ δ κα τ ση. δ ο δ α, δ ο τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα γωνία σα περιέχουσι: βάσι ρα βάσει τ ση στίν, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον κα λοιπ γωνία π τ λοιπ γωνία τ π ση. ν ρα δ ο τρίγωνα τ δ ο γωνία δυσ γωνίαι σα χη κατέραν κατέρα κα µίαν πλευρ ν µι πλευρ σην τοι τ ν πρ τα σαι γωνίαι, τ ν ποτείνουσαν π µίαν τ ν σων γωνι ν, κα τ λοιπ πλευρ τα λοιπα πλευρα σα ξει κα τ ν λοιπ ν γωνίαν τ λοιπ γωνία : περ δει δε ξαι. I.27 ν ε δ ο ε θεία ε θε α µπίπτουσα τ ναλλ ξ γωνία σα λλήλαι ποι, παράλληλοι σονται λλήλαι α ε θε αι. γ ρ δ ο ε θεία τ, ε θε α µπίπτουσα τ ναλλ ξ γωνία τ π, σα λλήλαι ποιείτω: λέγω, τι παράλληλ στιν τ.
24 BIBΛION I. γ ρ µή, κβαλλ µεναι α, συµπεσο νται τοι π τ, µέρη π τ,. κβεβλήσθωσαν κα συµπιπτέτωσαν π τ, µέρη κατ τ. τριγώνου δ το κτ γωνία π ση στ τ ντ κα πεναντίον τ π : περ στ ν δ νατον: ο κ ρα α, κβαλλ µεναι συµπεσο νται π τ, µέρη. µοίω δ δειχθήσεται, τι ο δ π τ, : α δ π µηδέτερα τ µέρη συµπίπτουσαι παράλληλοί ε σιν: παράλληλο ρα στ ν τ. ν ρα ε δ ο ε θεία ε θε α µπίπτουσα τ ναλλ ξ γωνία σα λλήλαι ποι, παράλληλοι σονται α ε θε αι: περ δει δε ξαι. I.28 ν ε δ ο ε θεία ε θε α µπίπτουσα τ ν κτ γωνίαν τ ντ κα πεναντίον κα π τ α τ µέρη σην ποι τ ντ κα π τ α τ µέρη δυσ ν ρθα σα, παράλληλοι σονται λλήλαι α ε θε αι. γ ρ δ ο ε θεία τ, ε θε α µπίπτουσα τ ν κτ γωνίαν τ ν π τ ντ κα πεναντίον γωνία τ π Θ σην ποιείτω τ ντ κα π τ α τ µέρη τ π Θ, Θ δυσ ν ρθα σα : λέγω, τι παράλληλ στιν τ. πε γ ρ ση στ ν π τ π Θ, λλ π τ π Θ στιν ση, κα π Θ ρα τ π Θ στιν ση: καί ε σιν ναλλάξ: παράλληλο ρα στ ν τ.
ΠΡΟΤΣΙΣ 25 Θ Πάλιν, πε α π Θ, Θ δ ο ρθα σαι ε σίν, ε σ δ κα α π Θ, Θ δυσ ν ρθα σαι, α ρα π Θ, Θ τα π Θ, Θ σαι ε σίν: κοιν φη ρήσθω π Θ: λοιπ ρα π Θ λοιπ τ π Θ στιν ση: καί ε σιν ναλλάξ: παράλληλο ρα στ ν τ. ν ρα ε δ ο ε θεία ε θε α µπίπτουσα τ ν κτ γωνίαν τ ντ κα πεναντίον κα π τ α τ µέρη σην ποι τ ντ κα π τ α τ µέρη δυσ ν ρθα σα, παράλληλοι σονται α ε θε αι: περ δει δε ξαι. I.29 ε τ παραλλήλου ε θεία ε θε α µπίπτουσα τά τε ναλλ ξ γωνία σα λλήλαι ποιε κα τ ν κτ τ ντ κα πεναντίον σην κα τ ντ κα π τ α τ µέρη δυσ ν ρθα σα. Θ γ ρ παραλλήλου ε θεία τ, ε θε α µπιπτέτω : λέγω, τι τ ναλλ ξ γωνία τ π Θ, Θ σα ποιε κα τ ν κτ γωνίαν τ ν π τ ντ κα πεναντίον τ π Θ σην κα τ ντ κα π τ α τ µέρη τ π Θ, Θ δυσ ν ρθα σα. γ ρ νισ στιν π Θ τ π Θ, µία α τ ν µείζων στίν. στω µείζων π Θ: κοιν προσκείσθω π Θ: α ρα π Θ, Θ τ ν π Θ, Θ µείζονέ ε σιν. λλ α π Θ, Θ δυσ ν ρθα σαι ε σίν. [κα ] α ρα π Θ, Θ δ ο ρθ ν λάσσονέ ε σιν. α δ π λασσ νων δ ο ρθ ν κβαλλ µεναι ε πειρον συµπίπτουσιν: α ρα, κβαλλ µεναι ε πειρον