1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ"

Σίβύλ Κρεστενίτης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 1 1. ΛΟΟΣ ΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ ΘΩΡΙ 1. Παραλληλία και ισότητα ν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα σε µία ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία που τις τέµνει. ηλαδή στο διπλανό σχήµα, αν είναι ε 1 // ε //ε 3 και, τότε θα είναι και ΚΛ ΛΡ ε 3 ε 1 ε Κ Λ Ρ. φαρµογή στο τραπέζιο ν σε ένα τραπέζιο από το µέσο µιας των µη παραλλήλων πλευρών φέρουµε παράλληλη προς τις βάσεις, τότε η παράλληλος αυτή θα περάσει από το µέσο και της άλλης των µη παραλλήλων πλευρών. ηλαδή.στο διπλανό τραπέζιο, αν είναι το µέσο του και E Ζ // // τότε Ζ µέσο του Ζ 3. φαρµογή στο τρίγωνο ν σε ένα τρίγωνο από το µέσο µιας του πλευράς φέρουµε παράλληλη προς µια άλλη πλευρά, τότε η παράλληλος αυτή θα περάσει από το µέσο της τρίτης πλευράς. ηλαδή στο διπλανό τρίγωνο, αν είναι το µέσο του και Ζ //, τότε Ζ µέσο του Ζ 4. Λόγος δύο ευθυγράµµων τµηµάτων Έστω δύο ευθύγραµµα τµήµατα και Ονοµάζουµε λόγο του τµήµατος προς το τµήµα και συµβολίζουµε µε τον αριθµό λ για τον οποίο ισχύει λ 5. Πρόταση : Ο λόγος δύο ευθυγράµµων τµηµάτων είναι ίσος µε τον λόγο των µηκών τους εφ όσον έχουν µετρηθεί µε την ίδια µονάδα µέτρησης

2 6. νάλογα τµήµατα και αναλογία Τα ευθύγραµµα τµήµατα α και γ θα λέµε ότι είναι ανάλογα των β και δ, αν ισχύει (1) β δ Την ισότητα (1) την λέµε αναλογία. Τα α και δ λέγονται άκροι όροι της αναλογίας, ενώ τα β και γ µέσοι όροι 7. Ιδιότητες αναλογιών ν ν ν ν τότε αδ βγ. ηλαδή µπορώ να πολλαπλασιάσω χιαστί β δ β δ τότε α β ηλαδή µπορώ να εναλλάξω µέσους όρους γ δ β δ τότε δ γ ηλαδή µπορώ να εναλλάξω άκρους όρους β α β δ τότε β δ α + γ β + δ ΣΧΟΛΙ 1. Πρόταση : Το ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. ηλαδή στο διπλανό σχήµα, αν είναι και Ζ τα µέσα των και τότε Ζ Ζ // και Ζ. Πρόταση Σε ορθογώνιο τρίγωνο : Η διάµεσος στην υποτείνουσα είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας ηλαδή Μ Μ Μ Μ 3. Κάτι χρήσιµο : ν λ, τότε λ αλλά και 1 λ

3 3 ΣΚΗΣΙΣ 1. Να υπολογίσετε τους λόγους α) Τις ακτίνας ενός κύκλου προς την διάµετρο του β) Μιας ορθής γωνίας προς την γωνία ενός ισοπλεύρου τριγώνου α) ν ρ είναι η ακτίνα ενός κύκλου τότε η διάµετρος δ αυτού είναι δ ρ. Οπότε ρ δ 1 Σχόλιο 3 β) ν ˆω είναι η ορθή και ˆφ η γωνία του ισοπλεύρου τριγώνου τότε ο ˆω ˆφ 90 ο Στο παρακάτω σχήµα είναι 10α και α, να υπολογιστούν οι λόγοι α) Του προς το β) Του προς το γ) Του προς το δ) Του προς το α) 10α α 5 γ) 8α 10α 4 5 β) α 10α 1 5 δ) α 8α ίνεται ευθύγραµµο τµήµα 10 cm και σηµείο αυτού έτσι ώστε 1. Να υπολογίσετε τον λόγο 1 άρα (10 ) οπότε ποµένως

4 4 4. Ο λόγος µίωνίας ˆω προς την παραπληρωµατική της είναι 1 3. Να βρεθεί η γωνία ˆω Η παραπληρωµατική της ˆω είναι η 180 ο ˆω. ˆω ποµένως άρα 3 ˆω 180ο ˆω ο 180 ω ˆ ˆω 180 ο ˆω 45 ο 5. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι τριπλάσια από την. Να υπολογίσετε τους λόγους,, Έχουµε ότι 3 άρα 3 Πυθαγόρειο θεώρηµα : + (3) ποδείχθηκε ότι 8 άρα Να εξηγήσετε γιατί ο κύκλος που έχει διάµετρο την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου διέρχεται από την κορυφή της ορθής γωνίας Σχόλιο Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο. ν φέρουµε την διάµεσο Μ στην υποτείνουσα, Μ τότε γνωρίζουµε ότι Μ Μ Μ ποµένως ό κύκλος που έχει κέντρο το µέσο Μ της θα διέλθει και από το.

5 5 7. Στο διπλανό σχήµα τα, είναι µέσα των,. Να υπολογίσετε το x. Σχόλιο 1 4 3x 10 άρα 4 8 3x 10 3x 18 x 6 3x Στο διπλανό τραπέζιο, το είναι µέσο του και η Ζ είναι παράλληλη προς τις βάσεις του τραπεζίου. Να υπολογιστούν τα τµήµατα Κ, Ζ και. A ,5x B Κ Ζ 5x+ 4 Κ άρα 6 + 1,5 x 1 + 3x 5x + 4 x 8 x 4 ποµένως Κ 6 + 1, ΚΖ AB 4 οπότε Ζ Κ + ΚΖ 16 5x + 4 Θεωρία Σχόλιο 1 9. Σε ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι διπλάσια από την. Να υπολογίσετε τις οξείες γωνίες του τριγώνου Μ Σχόλιο Φέρνουµε την διάµεσο Μ. Τότε Μ Μ Μ B (1) Όµως άρα B () πό τις (1) και () προκύπτει ότι Μ Μ, δηλαδή το τρίγωνο Μ είναι ισόπλευρο, συνεπώς κάθε γωνία του είναι 60 ο, άρα 60 ο ποµένως ɵ 90 ο 60 ο 30 ο

6 6 10. Σε τρίγωνο τα Κ, Λ, Μ είναι τα µέσα των πλευρών του, και. Να υπολογίσετε τον λόγο της περιµέτρου του τριγώνου προς τη περίµετρο του τριγώνου ΚΛΜ. ΚΜ B Σχόλιο 1 άρα ΚΜ και οµοίως ΜΛ και ΚΛ ποµένως + + ΚΛ + ΚΜ + ΜΛ (ΚΛ + ΚΜ + ΜΛ) + + Συνεπώς ΚΛ+ΛΜ+ΚΜ B Κ A Λ Μ

Σχετικά έγγραφα

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα. 1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες