Σήµατα και Συστήµατα Σηµείωση Το ΕΑΠ είναι υπεύθυνο για την επιµέλεια έκδοσης και την ανάπτυξη των κειµένων σύµφωνα µε τη Μεθοδολογία της εξ Αποστάσεως Εκπαίδευσης. Για την επιστηµονική αρτιότητα και πληρότητα των συγγραµ- µάτων την αποκλειστική ευθύνη φέρουν οι συγγραφείς, κριτικοί αναγνώστες και ακαδηµαϊκοί υπεύθυνοι που ανέλαβαν το έργο αυτό.
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Σχολή Θετικών Επιστηµών και Τεχνολογίας Πρόγραµµα Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θεµατική Eνότητα ΣHMATA KAI EΠEΞEPΓAΣIA EIKONAΣ Tόµος A' Σήµατα και Συστήµατα ΣΕΡΑΦΕΙΜ KΑΡΑΜΠΟΓΙΑΣ Eπίκ. Kαθηγητής Tµ. Πληροφορικής & Tηλεπικοινωνιών Eθνικού και Kαποδιστριακού Πανεπιστηµίου Aθηνών ΣΕΡΓΙΟΣ ΘΕΟ ΩΡΙ ΗΣ Kαθηγητής Tµ. Πληροφορικής & Tηλεπικοινωνιών Eθνικού και Kαποδιστριακού Πανεπιστηµίου Aθηνών ΠATPA 2004
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Σχολή Θετικών Επιστηµών και Τεχνολογίας Πρόγραµµα Σπουδών ΠΛHPOΦOPIKH Θεµατική Ενότητα ΣHMATA KAI EΠEΞEPΓAΣIA EIKONAΣ Τόµος A' Σήµατα και Συστήµατα Συγγραφή ΣΕΡΑΦΕΙΜ ΚΑΡΑΜΠΟΓΙΑΣ Eπίκ. Kαθηγητής Tµ. Πληροφορικής & Tηλεπικοινωνιών Eθνικού και Kαποδιστριακού Πανεπιστηµίου Aθηνών ΣΕΡΓΙΟΣ ΘΕΟ ΩΡΙ ΗΣ Kαθηγητής Tµ. Πληροφορικής & Tηλεπικοινωνιών Eθνικού και Kαποδιστριακού Πανεπιστηµίου Aθηνών Κριτική Ανάγνωση BAΣIΛEIOΣ MEPTZIOΣ Kαθηγητής Tµήµατος Hλεκτρολόγων Mηχανικών και Mηχανικών Yπολογιστών AΠΘ Ακαδηµαϊκός Υπεύθυνος για την επιστηµονική επιµέλεια του τόµου ΣΕΡΓΙΟΣ ΘΕΟ ΩΡΙ ΗΣ Kαθηγητής Tµήµατος Πληροφορικής & Tηλεπικοινωνιών Eθνικού και Kαποδιστριακού Πανεπιστηµίου Aθηνών Επιµέλεια στη µέθοδο της εκπαίδευσης από απόσταση ΠETPOΣ ΓANOΣ Γλωσσική Επιµέλεια EΛENH KOYTΣOΣΠYPOY Tεχνική Επιµέλεια EΣΠI EK OTIKH E.Π.E. Συντονισµός ανάπτυξης εκπαιδευτικού υλικού και γενική επιµέλεια των εκδόσεων ΟΜΑ Α ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΕΡΓΟΥ ΕΑΠ / 1997 2004 ISBN: 960 538 223 7 Kωδικός Έκδοσης: ΠΛH 44/1 Copyright 2004 για την Ελλάδα και όλο τον κόσµο ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Οδός Παπαφλέσσα & Υψηλάντη, 26222 Πάτρα Τηλ: 2610 314094, 314206 Φαξ: 2610 317244 Σύµφωνα µε το Ν. 2121/1993, απαγορεύεται η συνολική ή αποσπασµατική αναδηµοσίευση του βιβλίου αυτού ή η αναπαραγωγή του µε οποιοδήποτε µέσο χωρίς την άδεια του εκδότη.
ÂÚÈ fiìâó Πρόλογος... 13 K º π 1 EÈÛ ÁˆÁ ÛÙ Ì Ù Σκοπός, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Eισαγωγικές παρατηρήσεις... 17 1.1 Eισαγωγή... 19 1.1.1 Σήµατα συνεχούς χρόνου ή αναλογικά σήµατα... 19 1.1.2 Σήµατα διακριτού χρόνου... 19 1.1.3 Ψηφιακά σήµατα... 20 1.2 Iδιότητες αναλογικών σηµάτων... 20 1.2.1 Περιοδικά και µη περιοδικά σήµατα... 20 1.2.2 Aιτιατά και µη αιτιατά σήµατα... 21 1.2.3 Σήµατα πεπερασµένα και σήµατα πεπερασµένης και άπειρης διάρκειας... 21 1.2.4 Άρτια και περιττά σήµατα... 21 1.2.5 Eνεργειακά σήµατα Σήµατα ισχύος... 22 1.2.6 Aιτιοκρατικά και τυχαία Στοχαστικά σήµατα... 23 1.3 Mετατροπές σήµατος ως προς το χρόνο... 25 1.3.1 Aνάκλαση... 25 1.3.2 Aλλαγή κλίµακας χρόνου... 25 1.3.3 Xρονική µετατόπιση... 26 1.4 Στοιχειώδη σήµατα... 29 1.4.1 Mιγαδικό εκθετικό σήµα... 29 1.4.2 H συνάρτηση µοναδιαίου βήµατος συνεχούς χρόνου... 34 1.4.3 H κρουστική συνάρτηση συνεχούς χρόνου ή Συνάρτηση έλτα... 34 1.5 Mερικά βασικά στοιχεία για τους µιγαδικούς αριθµούς... 40 1.5.1 Συζυγής µιγαδικός αριθµός Iδιότητες... 41
6 ª π À ª Σύνοψη... 43 Bιβλιογραφία κεφαλαίου... 43 K º π 2 EÈÛ ÁˆÁ ÛÙ ÛÙ Ì Ù Σκοπός, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Eισαγωγικές παρατηρήσεις... 45 Eισαγωγή... 45 2.1 Oρισµός συστήµατος Kατηγορίες συστηµάτων... 47 2.2 Συνδέσεις συστηµάτων... 51 2.3 Iδιότητες συστηµάτων... 52 2.3.1 Γραµµικότητα... 52 2.3.2 Aιτιότητα... 52 2.3.3 Aντιστρέψιµα και µη αντιστρέψιµα συστήµατα... 53 2.3.4 Συστήµατα στατικά και δυναµικά... 53 2.3.5 Xρονικά αναλλοίωτα συστήµατα... 54 2.3.6 Eυστάθεια... 55 2.4 Σχέση µεταξύ εισόδου εξόδου συστήµατος... 57 2.4.1 Γραµµικά χρονικά αναλλοίωτα συστήµατα Tο ολοκλήρωµα της συνέλιξης... 57 2.4.2 Iδιότητες της συνέλιξης... 62 2.4.3 Γραφικός προσδιορισµός της συνέλιξης... 63 2.5 Aπόκριση γραµµικών συστηµάτων σε εκθετικές εισόδους... 69 Σύνοψη... 74 Bιβλιογραφία κεφαλαίου... 74 K º π 3 AÓ appleù ÁÌ MÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌfi Fourier Σκοπός, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Eισαγωγικές παρατηρήσεις... 75
EPIEXOMENA 7 Eισαγωγή... 77 3.1 H ιδέα του χώρου των σηµάτων... 77 3.1.1 Tο σύνολο των ορθογώνιων αναλογικών εκθετικών περιοδικών σηµάτων... 81 3.1.2 Tο σύνολο των ορθογώνιων αναλογικών τριγωνοµετρικών περιοδικών σηµάτων... 81 3.2 Aνάπτυγµα Fourier Σειρά Fourier... 82 3.2.1 Eκθετική σειρά Fourier... 82 3.2.2 Tριγωνοµετρική σειρά Fourier... 83 3.2.3 Σειρές Fourier περιοδικών σηµάτων... 86 3.2.4 Ύπαρξη σειράς Fourier... 86 3.2.5 Tαυτότητα του Parseval... 90 3.2.6 Φαινόµενο Gibbs... 95 3.3 Mετασχηµατισµός Fourier... 98 3.3.1 Ύπαρξη του Mετασχηµατισµού Fourier... 102 3.3.2 Iδιότητες του Mετασχηµατισµού Fourier... 105 3.3.3 Mετασχηµατισµός Fourier περιοδικών σηµάτων... 122 3.4 Eνέργεια και ισχύς... 125 3.4.1 Eνεργειακά σήµατα... 125 3.4.2 Σήµατα ισχύος... 127 Σύνοψη... 130 Bιβλιογραφία κεφαλαίου... 131 K º π 4 EÊ ÚÌÔÁ ÙÔ MÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌÔ Fourier Σκοπός, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Eισαγωγικές παρατηρήσεις... 133 Eισαγωγή... 135 4.1 Aπόκριση συχνότητας συστήµατος... 135
8 ª π À ª 4.1.1 H απόκριση συχνότητας για συστήµατα τα οποία περιγράφονται µε διαφορικές εξισώσεις µε σταθερούς συντελεστές... 135 4.2 Yπολογισµός του αντίστροφου µετασχηµατισµού Fourier... 137 4.3 ιαγράµµατα Bode... 139 4.4 Iδανικό κατωπερατό φίλτρο... 144 Σύνοψη... 149 Bιβλιογραφία κεφαλαίου... 150 K º π 5 MÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌfi Laplace Σκοπός, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Eισαγωγικές παρατηρήσεις... 151 Eισαγωγή... 153 5.1 Oρισµοί... 153 5.1.1 Mετασχηµατισµός Laplace στοιχειωδών σηµάτων... 154 5.1.2 Iδιότητες του µετασχηµατισµού Laplace... 160 5.2 Aντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace... 165 5.2.1 Yπολογισµός του αντίστροφου µετασχηµατισµού Laplace... 165 5.3 O µονόπλευρος µετασχηµατισµός Laplace... 170 5.4 Eφαρµογές των µετασχηµατισµών Laplace... 170 5.4.1 Eπίλυση γραµµικής διαφορικής εξίσωσης µε τη βοήθεια MML... 170 5.4.2 H χρήση του µετασχηµατισµού Laplace στην ανάλυση ΓXA συστηµάτων... 173 5.4.3 Παρατηρήσεις για την περιοχή σύγκλισης του µετασχηµατισµού Laplace... 176 Σύνοψη... 181 Bιβλιογραφία κεφαλαίου... 182
EPIEXOMENA 9 K º π 6 ÂÚÈÁÚ Ê ÛÙËÌ ÙˆÓ ÛÙÔ XÒÚÔ K Ù ÛÙ ÛË Σκοπός, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Eισαγωγικές παρατηρήσεις... 183 6.1 H έννοια της κατάστασης... 185 6.2 υναµικές εξισώσεις... 187 6.3 Γραµµικά συστήµατα... 190 6.4 Eκθετική συνάρτηση πίνακα... 191 6.4.1 Mετασχηµατισµός Laplace του πολυκαναλικού σήµατος... 192 6.5 Λύση των δυναµικών εξισώσεων... 198 6.6 Σχέση δυναµικών εξισώσεων και συνάρτησης µεταφοράς... 200 Σύνοψη... 204 Bιβλιογραφία κεφαλαίου... 204 A Παράρτηµα... 205 B Παράρτηµα... 209 Eπίλογος... 213 Aπαντήσεις Aσκήσεων Aυτοαξιολόγησης... 215 Γλωσσάρι βασικών εννοιών... 255 Eυρετήριο... 261
Στο άσκαλο Kώστα Kαρούµπαλο
ÚfiÏÔÁÔ Το βιβλίο αυτό απευθύνεται κυρίως σε σας που παρακολουθείτε το πρόγραµµα «Πληροφορική» του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστηµίου, και αποτελεί καταστάλαγµα της εµπειρίας µας από τη διδασκαλία του µαθήµατος «Σήµατα και Συστήµατα» για αρκετά χρόνια. Στη σηµερινή εποχή της Κοινωνίας της Πληροφορίας, που χαρακτηρίζεται από τη σύγκλιση και ενοποίηση διαφορετικών µέχρι τώρα επιστηµονικών περιοχών, το πεδίο των σηµάτων και των συστηµάτων αποτελεί πλέον ένα ενιαίο σύνολο βασικών και θεµελιωδών γνώσεων για ένα ευρύ φάσµα περιοχών που σχετίζονται µε τον ένα ή άλλο τρόπο µε την παραγωγή, την επεξεργασία, την αποθήκευση και τη µετάδοση της πληροφορίας. Βασικός σκοπός του βιβλίου είναι να εισαγάγει τον αναγνώστη στις βασικές τεχνικές ανάλυσης και µελέτης των σηµάτων και συστηµάτων µε ενιαίο τρόπο και να προσφέρει στον αναγνώστη τα κατάλληλα µαθηµατικά εργαλεία, µε τα οποία µπορεί να χειριστεί τα σήµατα και τα συστήµατα. Έχει καταβληθεί προσπάθεια να δοθούν οι θεωρητικές έννοιες µε απλό τρόπο και να συνδεθούν µε αντίστοιχες φυσικές έννοιες. Η επιλογή των παραδειγµάτων έγινε µε γνώµονα τη χρησιµότητά τους και πιστεύουµε ότι βοηθούν τον αναγνώστη να εµπεδώσει τη θεωρία και να κατανοήσει τις τεχνικές προσέγγισης και αντιµετώπισης των προβληµάτων. Οι βασικές θεµατικές ενότητες του µαθήµατος «Σήµατα και Συστήµατα» αναπτύσσονται σε έξι κεφάλαια. Στο Κεφάλαιο 1, δίνεται µια γενική εικόνα του τι είναι «σήµα» και παρουσιάζονται οι ιδιότητες των σηµάτων. Τέλος, στο κεφάλαιο αυτό ορίζονται µερικά στοιχειώδη σήµατα, τα οποία παίζουν ιδιαίτερο ρόλο στη θεωρία των σηµάτων. Στο Κεφάλαιο 2, δίνεται ο ορισµός του συστήµατος, παρουσιάζονται οι κατηγορίες συστηµάτων, οι τρόποι σύνδεσής τους και µερικές βασικές ιδιότητές τους. Το κεφάλαιο αυτό οδηγεί τον αναγνώστη στην κατανόηση θεµελιωδών σχέσεων, όπως η σχέση που συνδέει το σήµα εισόδου και το σήµα εξόδου ενός συστήµατος, και βασικών εννοιών, όπως οι έννοιες της γραµµικότητας, της ευστάθειας και της αιτιότητας. Στο Κεφάλαιο 3, περιγράφεται η µέθοδος ανάλυσης ενός σήµατος κατά Fourier, δηλαδή ως υπέρθεση στοιχειωδών ηµιτονοειδών σηµάτων και εισάγονται οι έννοιες της σειράς Fourier και του Μετασχηµατισµού Fourier. Τέλος, στο κεφάλαιο αυτό αναφέρονται οι ιδιότητες του Μετασχηµατισµού Fourier. Στο Κεφάλαιο 4, παρουσιάζονται βασικές εφαρµογές του Μετασχηµατισµού Fourier.
14 ª π À ª Στο Κεφάλαιο 5, ορίζεται ο Μετασχηµατισµός Laplace, αναφέρονται οι ιδιότητές του και παρουσιάζεται η στενή σχέση του µε το Μετασχηµατισµό Fourier. Επίσης στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται ο µονόπλευρος Μετασχηµατισµός Laplace. Τέλος, παρουσιάζεται η χρήση του Μετασχηµατισµού Laplace στην ανάλυση συστηµάτων και την µελέτη της ευστάθειάς τους και της αιτιότητάς τους. Στο Κεφάλαιο 6, παρουσιάζονται οι βασικοί ορισµοί και τεχνικές για την περιγραφή ενός συστηµάτος στο χώρο κατάστασης και ο αναγνώστης εισάγεται σε βασικές έννοιες, όπως η έννοια της «κατάστασης». Επίσης ορίζονται οι µεταβλητές κατάστασης, οι οποίες περιγράφουν το σύστηµα και προσδιορίζονται οι δυναµικές εξισώσεις, οι εξισώσεις δηλαδή στις οποίες υπακούουν οι µεταβλητές κατάστασης. Στο τέλος του κεφαλαίου παρουσιάζεται ο τρόπος επίλυσης των δυναµικών κατάστασης και η σχέση η οποία συνδέει την περιγραφή ενός συστήµατος στο χώρο κατάστασης µε την περιγραφή εισόδου εξόδου. Σε κάθε ενότητα υπάρχουν ασκήσεις αυτοαξιολόγησης και στο τέλος του αντίστοιχου βιβλίου υπάρχουν οι λύσεις των ασκήσεων αυτοαξιολόγησης. Έπειτα από τη µελέτη κάθε ενότητας, σας συνιστούµε να προσπαθείτε να λύνετε τις ασκήσεις, χωρίς να καταφεύγετε αµέσως στις λύσεις των ασκήσεων. Οι ασκήσεις αυτές σας δίνουν τη δυνατότητα να παρακολουθείτε την πρόοδό σας και εξασφαλίζουν ότι έχετε αφο- µοιώσει το υλικό της ενότητας και έτσι µπορείτε να προχωρήσετε στην επόµενη ενότητα. Τονίζεται ότι είναι πολύ σηµαντικό, για την οµαλή πρόοδό σας, να επιχειρείτε µόνοι σας να λύνετε όλες τις ασκήσεις και να καταφεύγετε στις λύσεις µόνο αφού έχετε καταβάλει τη µέγιστη δυνατή προσπάθεια. Θα πρέπει εδώ να σηµειώσουµε ότι το βιβλίο αυτό έχει καθαρά εισαγωγικό χαρακτήρα. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχει βιβλιογραφία στην οποία µπορείτε να ανατρέξετε για πλέον εξιδικευµένες γνώσεις. Τελειώνοντας, πρέπει να ευχαριστήσουµε τα µέλη της Οµάδας Εκτέλεσης Έργου του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστηµίου για τις παρατηρήσεις τους και τη βοήθεια τους κατά τη συγγραφή αυτού του βιβλίου. Ιδιαίτερα, πρέπει να ευχαριστήσουµε τους συντονιστές του προγράµµατος της Πληροφορικής, ρ. Χρήστο Παναγιωτακόπουλο και κυρία ήµητρα Παρασκευοπούλου για την άψογη συνεργασία που είχαµε. Επίσης, θα πρέπει να ευχαριστήσουµε τον Κριτικό Αναγνώστη, Καθηγητή κύριο Μέρτζιο Βασίλειο για τις ουσιαστικές παρατηρήσεις και τα σχόλιά του. Η συµβολή του υπήρξε καθοριστική. Θα θέλαµε επίσης να εκφράσουµε τις ευχαριστίες µας στον τεχνικό επιµελήτη κ. Σ. Περσίδη για τις τόσο ουσιαστικές και εύστοχες παρατηρήσεις και σχόλιά του.
PO O O 15 Τέλος, θα θέλαµε να ευχαριστήσουµε τους σπουδαστές εκείνους, προπτυχιακούς και µεταπτυχιακούς, που µε προσοχή µελέτησαν µέρη του βιβλίου και µε τις παρατηρήσεις τους βοήθησαν στη βελτίωσή του. Αν και καταβάλαµε τη µέγιστη δυνατή προσπάθεια να µην υπάρξουν παροράµατα, στην περίπτωση που διαπιστωθεί ότι πρέπει, αυτά θα επισηµαίνονται στη διεύθυνση www.di.uoa.gr/~sign _ sys του δικτύου. Στη διεύθυνση αυτή, η οποία ευελπιστούµε ότι θα αποτελέσει µια ανοικτή γραµµή επικοινωνίας, θα παρουσιάζουµε νέες ασκήσεις, ώστε να έχετε περισσότερες δυνατότητες εξάσκησης.