HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Transcript

1 HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

2 Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά σήματα Εκθετικά (Πραγματικά/ Μιγαδικά) Ταυτότητα Euler Βηματικό Σήμα Κρουστικό σήμα + + δ () d= 1 x () δ ( ) d= x ( ) 0 0 x ( ) δ ( 0 ) = x ( 0 ) δ ( 0 ) x ()* δ ( ) = x ( ) 0 0

3 Βασικές Έννοιες Συστήματα Διασυνδέσεις Συστημάτων Σειριακή (αλληλουχία), Παράλληλη, Ανάδραση Κατηγορίες Συστημάτων Στατικά / Δυναμικά Αντιστρέψιμα / Μη αντιστρέψιμα Αιτιατά / Μη Αιτιατά Ευσταθή ΦΕΦΕ / Ασταθή Χρονικά αμετάβλητα / Χρονικά μεταβαλλόμενα Γραμμικά / Μη γραμμικά Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα x () y () x ( 0) y ( 0) x1() y1(), x2() y2() a x () + a x () a y () + a y ()

4 Συνέλιξη Αναπαράσταση σημάτων με το κρουστικό σήμα + x() = x( τ ) δ( τ) dτ Κρουστική απόκριση Συνελικτικό ολοκλήρωμα y() = x( τ) h( τ) dτ = x()* h() Κρουστική απόκριση: Πλήρης περιγραφή ΓΧΑ Συστημάτων Ιδιότητες: Συμμετρία / Αντιμεταθετική, Προσεταιριστική, Επιμεριστική Συνδεσμολογίες ΓΧΑ συστημάτων

5 Αιτιατά συστήματα: Ευσταθή συστήματα: Ευσταθή & Αιτιατά h () = 0, < 0 h ( ) d Συνέλιξη < Βηματική απόκριση s () = hd () 0 h ( ) h () d < ds() = d

6 Μοντέλα Διαφορικών Εξισώσεων Πολλά συστήματα μπορούν να περιγραφούν με συνήθεις γραμμικές ΔΕ με σταθερούς συντελεστές n m d y() dy() d x() dx() an a1 + a0 y () = bm b1 + b0 x() n m d d d d n m d y() d x() a = b = 0 d = 0 d 2 n 1 dy d y d y y(0), (0), (0),..., (0) 2 n 1 d d d Αρχικές συνθήκες Επίλυση ΔΕ y() = y () + y () zi zs Η γραμμική ΔΕ δεύτερης τάξης 2 d y() dy() dy a2 + a1 + a0y() = x() y(0), (0) n d d d Λύση ομογενούς (απόκριση μηδενικής εισόδου) 2 d y() dy() 2 a a λ + aλ+ a = 2 + a1 + a0y() = 0 n d d

7 Απόκριση μηδενικής εισόδου 1 2 y () Ce λ λ = + C e zi 1 2 σ 1 ω 2 y () = e [ C cos( ) + C sin( ω)] y zi Ευστάθεια: όλες οι ρίζες αρνητικό πραγματικό μέρος ΔΕ δεύτερης τάξης Εύρεση μερικής λύσης / απόκρισης μηδενικής κατάστασης: Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών (πχ αν x()=k, y P ()=C 3 ) Η απόκριση ρση μηδενικής κατάστασης αάσασηςείναι γραμμικός συνδυασμός της μερικής λύσης και της απόκρισης μηδενικής εισόδου ώστε να ικανοποιούνται οι μηδενικές αρχικές συνθήκες Συνάρτηση μεταφοράς m bs n m m m 1 s s Y = 0 bs m + bm 1s bs 1 + b0 ayse = bxse Hs () = = n n n 1 = 0 = 0 X ans + an 1s as 1 + a0 as = 0

8 s sτ y () = Xe h( τ) e dτ = H( sx ) () Συνάρτηση μεταφοράς Για οποιοδήποτε ΓΧΑ σύστημα για εκθετικό σήμα εισόδου x () = Xe s H () s = h () τ e τ dτ Απόκριση σε άθροισμα μιγαδικών εκθετικών σημάτων N y () = X H ( s ) e = 1 x() = e s s : ιδιοσυναρτήσεις Η(s ) : ιδιοτιμές Απόκριση σε συνημιτονοειδή σήματα Acos( ω + φ) A H( jω ) [cos( ω + φ+ H( jω ))] N = 1 s x() = Xe s

9 Σειρές Fourier jω0 x () = ae = ae = = 1 1 T T j ( 2π ) Τ j ( 2π ) jω0 Τ a = x () e d = x () e d T T Εξίσωση σύνθεσης (synhesis equaion) Εξίσωση ανάλυσης (analysis equaion) 1 a 0 = x () d T T Σύγκλιση (σήματα πεπερασμένης ενέργειας σε μια περίοδο/ συνθήκες Dirichle) Ιδιότητες (Γραμμικότητα, ό Χρονική αντιστροφή, Συζυγής συμμετρία, Χρονική μετατόπιση και κλιμάκωση, Πολλαπλασιασμός, Συνέλιξη, Θεώρημα Parseval) x () y = j 0 = F. S. a y () F.. S = ah ( jω ) 0 j 0 = ae ω 0 x() H( jω ) = H( s) s = j ω y () a H ( jω ) e jω

10 Ο μετασχηματισμός Fourier 1 jω Εξίσωση σύνθεσης ω ω X = π (synhesis equaion) jω Εξίσωση ανάλυσης x() = X( j ) e d 2 X( jω) = x( ) e d (analysis equaion) Χ(jω): Μετασχηματισμός Fourier ή ολοκλήρωμα Fourier ή φάσμα (specrum) του σήματος x() Σύγκλιση: Συνθήκες Dirichle ικανές, όχι αναγκαίες Μετασχηματισμός Fourier περιοδικών σημάτων FS.. x () a X( jω) = 2 πaδ( ω ω0) = (0) x( ) d Ιδιότητες (Γραμμικότητα, Χρονική μετατόπιση/ κλιμάκωση, Συζυγής συμμετρία, Παραγώγιση, Ολοκλήρωση, Δυϊσμός, Θεώρημα Parseval, Πολλαπλασιασμός, Μετατόπιση συχνότητας)

11 Απόκριση συχνότητας ΓΧΑ συστήματος H(jω): Ο Μετασχηματισμός Fourier της κρουστικής απόκρισης h() jω H( jω) = h( ) e d ΓΧΑ x () X ( jω ) h() y () = h ()* x () H ( jω ) X ( jω ) s () = hd () lim s ( ) = hd ( ) = H( j0) = 1 n a m d y() d x() = b d = 0 d = 0 H( jω) Y( jω) = = X( jω) m ( ) bb jω = 0 n = 0 a ( jω ) Διαγράμματα Bode H ( jω) = 20log H( jω),[ db] 10

12 Ιδεατά φίλτρα (Ideal filers) 1, ω ωc H( jω) =, ωc 0, ω > ωc Συχνότητα αποκοπής (cuoff frequency) Ζώνη φραγής (sopband) Ζώνη διελεύσεως (passband) Ζώνη φραγής (sopband) Υψιπερατό φίλτρο (Highpass filer) Ζωνοπερατό φίλτρο (Bandpass filer) Ζωνοφρακτικό φίλτρο (Noch filer)

13 Φίλτρα Το ιδεατό βαθυπερατό φίλτρο δεν είναι αιτιατό Στην πράξη, σχεδιάζουμε φίλτρα που προσεγγίζουν την ιδεατή απόκριση συχνότητας 1 jω ωc h () = H( jω) e dω sin c( ωc) 2π = π Πραγματικά φίλτρα + v C () H ( jω ω ) = = 1+ jωrc ω 1+ j ω C

14 Μετασχηματισμός Laplace Γενίκευση Μετασχηματισμού Fourier (s=σ+jω) Μελέτη ασταθών συστημάτων, επίλυση ΔΕ με αρχικές συνθήκες Αμφίπλευρος Μετασχηματισμός Laplace s X() s x() e d X( jω ) = X( s) s = jω Για να ορίσουμε το M.L. πρέπει να ορίσουμε την περιοχή σύγκλισής του a L 1 e u (),Re{} s > a s + a Η περιοχή σύγκλισης καθορίζεται από το πραγματικό μέρος του s (δηλ. Re{s} ή σ) N( () s Συχνά ο Μ.L. είναι ρητή συνάρτηση του s X() s = Ρίζες του αριθμητή: Μηδενικά (Zeros) Ds () Ρίζες του παρονομαστή: Πόλοι (Poles)

15 Μετασχηματισμός Laplace Διάγραμμα πόλων μηδενικών Η περιοχή σύγκλισης έχει συγκεκριμένες μορφές δεξιόπλευρο σήμα: δεξί ημιεπίπεδο αριστερόπλευρο σήμα: αριστερό ημιεπίπεδο αμφίπλευρο σήμα: λωρίδα για ρητές συναρτήσεις καθορίζεται από τους πόλους αλλά δεν τους περιέχει αν περιλαμβάνει τον άξονα jω υπάρχει ο Μετ/σμος Fourier Αντίστροφος Μ.L. L 1 σ + j s x () = Χ() se ds 2π j σ j Im x x ο Ιδιότητες (γραμμικότητα, χρονική μετατόπιση και κλιμάκωση, μετατόπιση στο πεδίο s, συζυγής συμμετρία, συνέλιξη, παραγώγιση στα πεδία χρόνου και s, ολοκλήρωση, θεωρήματα αρχικής και τελικής τιμής) Re

16 Μετασχηματισμός Laplace Συνάρτηση μεταφοράς: Μετασχηματισμός Laplace της κρουστικής απόκρισης s H () s = h() τ e τ dτ x() X( s) ΓΧΑ h() y () = h ()* x () H () sxs () Αιτιατότητα: h()=0, <0 (δεξιόπλευρο σήμα) Π.Σ. του H(s) δεξί ημιεπίπεδο Για ρητή συνάρτηση μεταφοράς: Π.Σ. του Η(s) δεξί ημιεπίπεδο στα δεξιά του πιο δεξιά τοποθετημένου πόλου Ευστάθεια Ένα ΓΧΑ Σύστημα είναι ευσταθές αν και μόνο αν η Π.Σ. του Η(s) περιλαμβάνει ε τον άξονα jω (Re{s}=0) Για Η(s) ρητή η ευστάθεια καθορίζεται από τη θέση των πόλων Για αιτιατά ΓΧΑ συστήματα (Π.Σ. δεξί ημιεπίπεδο), θα πρέπει ο πιο δεξιά τοποθετημένος πόλος να είναι αριστερά ρ του άξονα jω θα πρέπει όλοι οι πόλοι να βρίσκονται στο αριστερό μισό του μιγαδικού επιπέδου s, δηλ. να έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος

17 n a m d y() d x() = b d = 0 d = 0 Μετασχηματισμός Laplace Y() s H() s = = X() s m = 0 n =00 bs as H () s = H () s + H () s 1 2 H () s = H () s H () s 1 2 Y () s H () 1 s H () s = = X () s 1 + H () s H () s 1 2

18 s X () s x() τ e τ dτ 0 Μονόπλευρος Μετασχηματισμός Laplace Μελέτη αιτιατών συστημάτων, συστημάτων με μη μηδενικές Α.Σ. Π.Σ. πάντα δεξί ημιεπίπεδο εδο Τα σήματα για τα οποία x()=0,<0 έχουν πανομοιότυπο μονόπλευρο και αμφίπλευρο Μ.L.

19

20

21

22

23

24

25