9 Οριακή Κατάσταση Λειτουργικότητας: Έλεγχοι Μετακινήσεων

9 Οριακή Κατάσταση Λειτουργικότητας: Έλεγχοι Μετακινήσεων 9.1 Εισαγωγή Η λειτουργικότητα αναφέρεται στην συµπεριφορά της κατασκευής υπό τα συνήθη φορτία λειτουργίας της. Με εξαίρεση την στιγµή της αστοχίας, όπου κάποιος µηχανισµός συµπεριφοράς έχει υπερβεί την αντοχή του, το µεγαλύτερο τµήµα της ωφέλιµης διάρκειας ζωής του κτίσµατος αντιστοιχεί σε στάδιο λειτουργικότητας. Για τον λόγο αυτό η προσέγγιση κατά τον σχεδιασµό για το στάδιο της λειτουργικότητας είναι να διατηρούνται τα µεγέθη των τάσεων και στα δύο υλικά στην ελαστική περιοχή (να µην υπάρξει δηλαδή διαρροή χάλυβα ή σύνθλιψη σκυροδέµατος υπό τα φορτία λειτουργίας). Η απαίτηση αυτή των κανονισµών συνήθως καθορίζει τις διαστάσεις των µελών, αφού, για δεδοµένα µεγέθη σχεδιασµού (π.χ. καµπτική ροπή) το µέγεθος των τάσεων στην ελαστική περιοχή προσδιορίζεται από την δυσκαµψία της διατοµής του στοιχείου. Αν και δεν αναµένεται ανελαστική συµπεριφορά των µελών ή του συνόλου της κατασκευής στο στάδιο λειτουργικότητας, απαιτούνται έλεγχοι για να εξασφαλισθεί ότι για τα φορτία λειτουργίας δεν θα υπάρξει υπέρβαση εκείνων των δεικτών συµπεριφοράς που εξασφαλίζουν την οµαλή χρήση του κτίσµατος. Οι δείκτες αυτοί είναι κατά κανόνα µεγέθη παραµόρφωσης, όπως τα βέλη στα ανοίγµατα οριζόντιων στοιχείων από φορτία βαρύτητας, τα εύρη των ρωγµών στα δοµικά στοιχεία, η ύπαρξη αισθητών ταλαντώσεων υπό την δράση συνήθων φορτίων, κ.ά. Αν και κανένας από τους δείκτες αυτούς δεν σηµατοδοτεί αστοχία στο δόµηµα ή στα µέλη του, αναµφίβολα τα µεγάλα βέλη, οι ορατές ρωγµές, και οι έντονες ταλαντώσεις δηµιουργούν αισθήµατα ανασφάλειας στους χρήστες του κτίσµατος και πρέπει να αποφεύγονται. Την παλαιότερη εποχή όπου ο σχεδιασµός χρησιµοποιούσε την µέθοδο των επιτρεποµένων τάσεων προβλήµατα λειτουργικότητας ήταν πιο σπάνια από ότι σήµερα, γιατί τα ύψη των διατοµών των δοκών ήταν συνήθως µεγάλα. Σήµερα όπου η διαστασιολόγηση των στοιχείων του δοµήµατος γίνεται µε αναφορά στην οριακή κατάσταση αστοχίας, σε συνδυασµό µε την χρήση χαλύβων οπλισµού υψηλότερης αντοχής, οι γεωµετρικές διαστάσεις προκύπτουν µειωµένες, και ως εκ τούτου υπάρχει εντονότερη ανάγκη για των έλεγχο οριακών καταστάσεων λειτουργικότητας. Η µεθοδολογία ελέγχου των οριακών καταστάσεων λειτουργικότητας έχει ως εξής: (α) Υπολογίζεται ο δείκτης παραµόρφωσης, d, (π.χ. βέλος κάµψης, οριζόντια µετάθεση ορόφου) το µέγεθος του οποίου στην συνέχεια ελέγχεται, δηλαδή: (β) Συγκρίνεται µε τις τιµές κατωφλίου (άνω όρια) που θέτει ο κανονισµός: lm. Κατά τον έλεγχο πρέπει, d lm (9.1) Για συνήθη οικοδοµικά έργα οι έλεγχοι µετακινήσεων µπορούν να αποφευχθούν εφόσον οι διαστάσεις των στοιχείων υπερβαίνουν τις ελάχιστες τιµές που προδιαγράφει ο κανονισµός, για εξασφάλιση ικανοποιητικής δυσκαµψίας και άρα τον έµµεσο περιορισµό των µετακινήσεων. 9. Υπολογισµός ελαστικών µετακινήσεων στοιχείων Ο.Σ.

Η µετακίνηση είναι το αθροιστικό αποτέλεσµα παραµόρφωσης και άρα για να εκτιµήσουµε τις µετακινήσεις πρέπει να έχουµε προσδιορίσει την κατανοµή των παραµορφώσεων στα µέλη της κατασκευής. Η παραµόρφωση είναι άµεσο αποτέλεσµα έντασης ή δράσης φυσικών διεργασιών όπως η θερµοκρασιακή µεταβολή, η συστολή ξηράνσεως, η διόγκωση λόγω προσρόφησης κλπ. Σε πρισµατικά δοµικά στοιχεία σκυροδέµατος τα µεγέθη παραµόρφωσης είναι: (α) η καµπυλότητα της διατοµής ενός καµπτόµενου στοιχείου, (β) η επιµήκυνση ή βράχυνση ενός στοιχείου που φέρει αξονικό φορτίο, (γ) η διατµητική γωνία στρέβλωσης σε στοιχείο που φέρει διάτµηση, (δ) η ανηγµένη γωνία στροφής σε στοιχείο που υφίσταται στρέψη. Η ιδιαιτερότητα όλων αυτών των µεγεθών είναι ότι πρόκειται για ανηγµένες ποσότητες, δηλαδή η παραµόρφωση ορίζεται ανά µονάδα µήκους του στοιχείου. Για να υπολογισθεί το συνολικό (αθροιστικό) αποτέλεσµα των παραµορφώσεων, δηλαδή οι µετακινήσεις και οι στροφές στις θέσεις που µας ενδιαφέρουν χρειάζεται να χρησιµοποιήσουµε µια από τις γνωστές µεθόδους της Στατικής (π.χ. µέθοδος ροπών στροφών, Castglano, Αρχή των υνατών Έργων κλπ). Από την ποικιλία µεθόδων που διατίθενται, η πλέον πρόσφορη και απλή είναι η Αρχή των υνατών Έργων, η οποία αποτελεί και βασικό εργαλείο στις µεθόδους της σύγχρονης Στατικής (π.χ. χρησιµοποιείται στα Πεπερασµένα Στοιχεία, στην Μητρωϊκή Στατική και υναµική των κατασκευών, κ.ά.). Η αρχή των υνατών έργων υπάρχει σε δύο εναλλακτικές µορφές: (α) την Μέθοδο των υνάµεων, και (β) την Μέθοδο των Μετακινήσεων. Εάν ο άγνωστος του προβλήµατος είναι µετακίνηση / στροφή, τότε διευκολύνει τους υπολογισµούς των αγνώστων η Μέθοδος των υνάµεων η οποία ορίζεται ως εξής: Έστω ότι έχουµε ένα σώµα σε ισορροπία, το οποίο έχει αναπτύξει παραµορφώσεις ( Α ) υπό την επίδραση εξωτερικών δράσεων και των αντίστοιχων εσωτερικών αντιδράσεων (σύστηµα φορτίσεως Α) και εµείς επιβάλλουµε πάνω σε αυτό το σώµα ένα σύστηµα δυνάµεων Β (τυχαίο) το οποίο όµως είναι αυτοτελώς σε ισορροπία, τότε το συνολικό έργο που παράγουν οι εξωτερικές δυνάµεις του συστήµατος φόρτισης Β καθώς ταξιδεύουν κατά µήκος των µετακινήσεων που προκλήθηκαν από το σύστηµα φόρτισης Α, ισούται µε το συνολικό έργο που παράγουν οι εσωτερικές δυνάµεις του συστήµατος φόρτισης Β καθώς ταξιδεύουν κατά µήκος των παραµορφώσεων που προκλήθηκαν από το σύστηµα φόρτισης Α. Για παράδειγµα η δοκός του σχήµατος φέρει συγκεντρωµένο φορτίο P στο µέσον του ανοίγµατός της (στην περίπτωσή µας αυτή είναι η φόρτιση Α). Η δοκός εξισορροπείται από τις δύο αντιδράσεις στήριξης, P/ έκαστη. Το διάγραµµα των ροπών κατά µήκος της δοκού φαίνεται στο σχήµα 9.1. Αυτές είναι οι εσωτερικές δυνάµεις του συστήµατος φόρτισης Α. Οι παραµορφώσεις που δηµιουργούνται ως συνέπεια είναι οι καµπυλότητες φ, κατά µήκος του στοιχείου. Όπως έχουµε ήδη δει στο Κεφάλαιο 5 (Σχήµα 5.4) η καµπυλότητα ορίζεται ως ο λόγος της ορθής παραµόρφωσης ε(y) σε οποιοδήποτε σηµείο της διατοµής µε απόσταση y από τον ουδέτερο άξονα, προς την απόσταση y: φ=ε(y)/y. Για γραµµικά ελαστική συµπεριφορά, το αποτέλεσµα αυτό ισοδυναµεί µε τον κάτωθι ορισµό της καµπυλότητας:

M ϕ = (9.) όπου ΕΙ είναι η ισοδύναµη καµπτική δυσκαµψία της διατοµής. Άρα για να µπορέσουµε να εκτιµήσουµε τις παραµορφώσεις (δηλ. τις καµπυλότητες) που προκαλεί το σύστηµα φόρτισης Α, θα πρέπει να διαιρέσουµε τις τιµές του διαγράµµατος των ροπών που προκαλεί το σύστηµα φόρτισης Α, µε τις αντίστοιχες τιµές του ΕΙ κατά µήκος του στοιχείου. Εάν το ΕΙ είναι σταθερό, τότε η κατανοµή των καµπυλοτήτων έχει το ίδιο σχήµα µε το διάγραµµα των ροπών (σχ. 9.1). Για να βρούµε το βέλος σε κάποια θέση κατά µήκος της δοκού, χρειάζεται να χρησιµοποιήσουµε την αρχή των δυνατών έργων. Ως σύστηµα φόρτισης Β µπορούµε να υιοθετήσουµε οποιοδήποτε τυχαίο σύστηµα δυνάµεων, αρκεί αυτό να είναι σε ισορροπία. Για λόγους δικής µας διευκόλυνσης και µόνον, ενδείκνυται να επιλέξουµε ένα τέτοιο σύστηµα ώστε να υπάρχει µοναδιαία δύναµη στη θέση και την διεύθυνση της άγνωστης µετακίνησης. Για παράδειγµα, εάν θέλουµε να υπολογίσουµε την µετακίνηση στο δεξιά τρίτο του ανοίγµατος, τότε η ενδεδειγµένη φόρτιση Β είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα 9.α. Για υπολογισµό του βέλους στο µέσο του ανοίγµατος, ενδεδειγµένη φόρτιση Β είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα 9.β Η µαθηµατική έκφραση της αρχής των υνατών έργων που προαναφέρθηκε είναι: 1 + 1 0 + 1 L 0 = ϕ( x ) M( x )dx = 1 P L 1 L L = 0 4 4 48 48 Οι ποσότητες µε την παύλα είναι εξωτερικές και εσωτερικές δυνάµεις του συστήµατος φόρτισης Β. Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης αφορά στο έργο της µοναδιαίας δύναµης στο µέσο του ανοίγµατος, καθώς επίσης και το έργο των αντιδράσεων στις στηρίξεις (εδώ έχουµε αµετάθετες στηρίξεις, οπότε η µετακίνηση σε αυτά τα σηµεία είναι µηδενική). Επιστρέφοντας στην έννοια της καµπτικής δυσκαµψίας ΕΙ, από την Εξ. (9.) διαφαίνεται ότι εξ` ορισµού το ΕΙ είναι η κλίση του διαγράµµατος ροπών καµπυλοτήτων. Τον υπολογισµό του διαγράµµατος Μ-φ τον είδαµε διεξοδικά στην Ενότητα 5.5. Λόγω της µη γραµµικής συµπεριφοράς του οπλισµένου σκυροδέµατος η κλίση του διαγράµµατος Μ-φ µεταβάλλεται συνεχώς µειούµενη µε αυξανόµενη τιµή της καµπυλότητας φ. Μάλιστα στο διάγραµµα Μ-φ µπορούµε να διακρίνουµε τρεις περιοχές, ως εξής (Σχ. 9.(α)): Ι. Στάδιο Ι: Η διατοµή του στοιχείου συµπεριφέρεται ελαστικά, χωρίς ρηγµάτωση (αρηγµάτωτη διατοµή). ΙΙ. Στάδιο ΙΙ: Έχει επέλθει ρηγµάτωση σκυροδέµατος στην εφελκυόµενη ζώνη, όµως ο οπλισµός και το σκυρόδεµα στην θλιβόµενη περιοχή συµπεριφέρονται ακόµη ελαστικά (δηλαδή οι ορθές τάσεις των υλικών αυτών προκύπτουν από τις ορθές παραµορφώσεις µε πολλαπλασιασµό µε το αντίστοιχο µέτρο ελαστικότητας των υλικών: σ s =ε s Ε s, σ c =ε c Ε c.) ΙΙΙ. Στάδιο ΙΙΙ: Το ένα ή και τα δύο υλικά έχει εξαντλήσει το αντίστοιχο όριο ελαστικότητας και συµπεριφέρεται ανελαστικά (πλαστικοποίηση χάλυβα και σκυροδέµατος). 1 PL = PL (9.)

Το σχήµα 9.(β) δείχνει την µεταβολή της καµπτικής δυσκαµψίας ΕΙ µε αυξανόµενη καµπυλότητα, που αντιστοιχεί στο διάγραµµα Μ-φ του σχήµατος 9.(α). Η αποµείωση του ΕΙ µετά την ρηγµάτωση αφορά στις θέσεις κατά µήκος του στοιχείου όπου υπάρχουν ρωγµές. Επειδή οι ρωγµές βρίσκονται σε διακριτές θέσεις και δεν είναι συνεχές φαινόµενο, το πραγµατικό διάγραµµα των καµπυλοτήτων είναι ανοµοιόµορφο όπως φαίνεται στο σχήµα 9.4(α). Οι προεξοχές αντιστοιχούν στις θέσεις όπου υπάρχουν ρωγµές, επειδή σε αυτά τα σηµεία η καµπτική δυσκαµψία είναι κατά πολύ µειωµένη. Άρα στις θέσεις των ρωγµών το στοιχείο είναι πολύ πιο εύκαµπτο από ότι στο διάστηµα µεταξύ ρωγµών που είναι αρηγµάτωτο. Παρά το γεγονός ότι το σκυρόδεµα είναι σε εφελκυσµό, στο διάστηµα µεταξύ διαδοχικών ρωγµών συµµετέχει, καθιστώντας το στοιχείο σε αυτές τις θέσεις πιό δύσκαµπτο. Αυτό είναι το φαινόµενο της λεγόµενης εφελκυστικής δυσκαµψίας (tenson stffenng). Είναι σαφές ότι όσο πιο πυκνή η ρηγµάτωση τόσο µικρότερη η εφελκυστική δυσκαµψία που προσφέρει το σκυρόδεµα, δηλαδή τόσο πιο εύκαµπτο το στοιχείο ως σύνολο, και άρα τόσο µεγαλύτερα τα βέλη που θα προκύψουν. Η εφελκυστική δυσκαµψία οφείλεται στην συνάφεια µεταξύ οπλισµού και σκυροδέµατος. Με αναφορά στην διαδικασία υπολογισµού της βύθισης (Εξ. 9.) τα εµβαδά που περικλείονται στις προεξοχές του διάγραµµατος καµπυλοτήτων που οφείλονται στην ρηγµάτωση υπερισχύουν ποσοτικά κατά την εκτίµηση του ολοκληρώµατος στην δεξιά πλευρά της 9.. Άρα και µία µόνο ρωγµή συνεπάγεται σηµαντική αύξηση του βέλους ενός δοµικού στοιχείου Ο.Σ. Εάν θέλαµε να κάνουµε αναλυτικό υπολογισµό του βέλους χρησιµοποιώντας την πραγµατική κατανοµή των καµπυλοτήτων, µε την µέθοδο των υνατών έργων, θα είχαµε να υπολογίσουµε ένα ιδιαίτερα πολύπλοκο ολοκλήρωµα. Κάτι τέτοιο είναι µεν θεωρητικώς εφικτό, είναι όµως ιδιαίτερα χρονοβόρο. Στην πράξη ο αναλυτικός υπολογισµός των βελών θεωρείται ήδη αρκετά περίπλοκος ακόµη και αν χρησιµοποιηθεί η θεώρηση της ελαστικής συµπεριφοράς (δηλαδή ακόµη και εάν θεωρηθεί µία σταθερή τιµή του ΕΙ για όλο το µήκος του στοιχείου). Το πρακτικό ερώτηµα που προκύπτει είναι λοιπόν, ποια αντιπροσωπευτική τιµή θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε για την καµπτική δυσκαµψία της διατοµής, ΕΙ eff, για όλο το µήκος του στοιχείου, ώστε ο υπολογισµός που θα προκύψει από την θεώρηση της ελαστικής συµπεριφοράς να είναι αξιόπιστος. Χρειαζόµαστε δηλαδή ένα αντιπροσωπευτικό µέσο όρο για την ενεργή τιµή του ΕΙ, που µπορούµε να τον χρησιµοποιήσουµε µε τις εκτιµήτριες των βελών για δεδοµένους τύπους φορτίσεων από την κλασσική Στατική (κλειστές αναλυτικές εκφράσεις για τα βέλη συνήθως είναι διαθέσιµες σε µορφή πινάκων). Η ενεργή αυτή τιµή αυτή πρέπει να αντικατοπτρίζει την έκταση της ρηγµάτωσης κατά µήκος του στοιχείου: όσο µεγαλύτερο το τµήµα του στοιχείου που έχει ρηγµατωθεί τόσο πιο κοντά θα είναι η τιµή ΕΙ eff στην τιµή του ΕΙ της πλήρως ρηγµατωµένης διατοµής. Χαρακτηριστικός δείκτης για την έκταση της ρηγµάτωσης είναι το σχετικό µέγεθος της µέγιστης καµπτικής ροπής, Μ a, που προκαλούν τα επιβαλλόµενα φορτία λειτουργίας κατά µήκος του στοιχείου, σε σύγκριση µε την ροπή ρηγµατώσεως Μ. Η σχέση η οποία έχει προταθεί για τον υπολογισµό της ενεργής δυσκαµψίας έχει ως εξής: eff = c eff, όπου eff = + ( gr M ) M a (9.4)

όπου Ε c το µέσο µέτρο ελαστικότητας του σκυροδέµατος, όπως δίνεται ανά κατηγορία σκυροδέµατος στον Πίνακα.. Οι ποσότητες Ι gr και είναι οι ροπές αδράνειας της διατοµής στην αρηγµάτωτη και πλήρως ρηγµατωµένη κατάσταση αντιστοίχως. Η ροπή Μ a είναι η µέγιστη τιµή (κατ απόλυτο τιµή) στο διάγραµµα ροπών κατά µήκος του στοιχείου. Η ροπή ρηγµατώσεως M είναι η ροπή που απαιτείται για την έναρξη ρηγµάτωσης σε µία διατοµή. Ο υπολογισµός των µεγεθών που απαιτούνται για την εφαρµογή της Εξ. (9.5) περιγράφεται αναλυτικά στην επόµενη ενότητα. Υπολογισµός της ροπής αδράνειας της αρηγµάτωτης διατοµής, Ι gr Από την αντοχή των υλικών είναι γνωστός ο υπολογισµός της ροπής αδράνειας σύνθετης διατοµής, δηλαδή διατοµής που αποτελείται από δύο διαφορετικά υλικά (στην περίπτωσή µας ο χαλύβδινος οπλισµός, µε µέτρο ελαστικότητας περί τα 00 GPa, και το σκυρόδεµα µε µέτρο ελαστικότητας που κυµαίνεται µεταξύ 0 και 0 GPa.) Για διευκόλυνση της διαδικασίας υπολογισµών, µετατρέπονται και οι δύο φάσεις σε µία, κατόπιν πολλαπλασιασµού του εµβαδού της φάσης που µετατρέπουµε µε τον λόγο των µέτρων ελαστικότητας του πραγµατικού προς το πλασµατικό υλικό. Παραδείγµατος χάριν, το εµβαδόν του εφελκυόµενου οπλισµού Α s1 µετατρέπεται σε ισοδύναµο εµβαδόν σκυροδέµατος n A s1, όπου n = s / c. Με αναφορά στο σχήµα 9.5 που δείχνει την διατοµή του σχήµατος 5.7 αφού έχει µετατραπεί σε ισοδύναµη διατοµή σκυροδέµατος ακολουθείται η εξής διαδικασία υπολογισµών: Υπολογίζεται το κέντρο βάρους της σύνθετης διατοµής: A y = 1,m y K.B. = A = 1,m (9.16) όπου οι συντεταγµένες y µετρώνται ως προς κάποιο χαρακτηριστικό σηµείο αναφοράς. Για τη διευκόλυνση του υπολογισµού η διατοµή χωρίζεται σε m υποτµήµατα των οποίων η θέση του κέντρου βάρους, y, είναι γνωστή. Υπολογίζεται η ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο βάρους: total = = 1,m + A = 1,m ( y y KB ) (9.17) Είναι σαφές ότι παρά την πολυπλοκότητα των υπολογισµών, το αποτέλεσµα ελάχιστα απέχει από την χονδροειδή εκτίµηση της gr βάσει των γεωµετρικών διαστάσεων του στοιχείου ( gr = b h /1 για ορθογωνική διατοµή). Υπολογισµός της ροπής αδράνειας της Πλήρως Ρηγµατωµένης ιατοµής, Ι Μετά τη ρηγµάτωση η εφελκυόµενη ζώνη του σκυροδέµατος έχει απωλέσει την ικανότητα ανάληψης φορτίου και άρα κατά την ανάλυση δεν λαµβάνεται υπόψη η συµµετοχή της. Χρησιµοποιώντας την διαδικασία που προαναφέρθηκε (Εξ. 9.16-9.17) υπολογίζεται το κέντρο βάρους και η ροπή αδράνειας για το παράδειγµα του Σχ. 9.5 ως εξής. y K.B., A = cc y cc A + n cc + n A s1 A y s1 s1 + (n + (n 1) A 1) A s s y s (9.18)

όπου ο δείκτης cc αναφέρεται στο θλιβόµενο τµήµα της διατοµής σκυροδέµατος. ηλαδή, η βασική διαφορά από τον προηγούµενο υπολογισµό των εξ. 9.16 και 9.17 βρίσκεται στο ότι από την συνολικό εµβαδόν της διατοµής σκυροδέµατος λαµβάνεται υπόψη µόνον η θλιβόµενη ζώνη, ενώ το τµήµα της διατοµής σκυροδέµατος που βρίσκεται σε εφελκυσµό θεωρείται ότι δεν συµµετέχει στην ροπή αδράνειας και στον ορισµό του κέντρου βάρους. Σηµειώνεται ότι εξ`ορισµού ο ουδέτερος άξονας σε κάµψη βρίσκεται πάντα στο κέντρο βάρους της διατοµής. ηλαδή, c=ξd=y K.B.,. Μετά την ρηγµάτωση ο ουδέτερος άξονας έχει µετατοπισθεί προς την πλευρά της θλιβόµενης ζώνης. Στην περιοχή αυτή θα παγιωθεί και κατά την ανελαστική συµπεριφορά (µετά την διαρροή του χάλυβα). Είναι επίσης ενδιαφέρον να συγκριθούν οι τιµές της µε την gr. Στις συνήθεις διατοµές όπως και στο παράδειγµα η ροπή αδράνειας της ρηγµατωµένης διατοµής είναι περίπου 0% της αρχικής τιµής gr. ηλαδή µε την ανάπτυξη της πλήρους ρηγµάτωσης το στοιχείο έχει απωλέσει περί τα / της δυσκαµψίας του. Η εκτίµηση αυτή είναι αρκετά αξιόπιστη για στοιχεία χωρίς αξονικό φορτίο (δοκούς). Στην περίπτωση υποστυλωµάτων (στοιχείων δηλαδή που φέρουν αξονικό θλιπτικό φορτίο άνω του 0.15A gr f cd ) η αποµείωση της δυσκαµψίας µετά την ρηγµάτωση ανέρχεται µέχρι περίπου το 50% της αρχικής τιµής. Για πρακτικά προβλήµατα ελέγχου µεταθετότητας κτισµάτων, συνήθως επαρκεί να θεωρηθεί ότι gr / και gr / για δοκούς και υποστυλώµατα αντιστοίχως. Στην βιβλιογραφία έχουν εξαχθεί παραµετροποιηµένες εκφράσεις για όλες τις παραµέτρους ενδιαφέροντος έτσι ώστε να αποφεύγονται οι πολύπλοκοι υπολογισµοί. Έτσι, γενικώς η ροπή αδράνειας ρηγµατωµένης διατοµής µε ύψος κορµού h, στατικό ύψος d, και πλάτος κορµού b δίνεται ως κλάσµα επί της ροπής αδράνειας της αρηγµάτωτης διατοµής, δηλαδή: = ξ = b d ; όπου = + ρ n (1 ξ ) + ρ (n 1) ( ξ cc + A ( y = 1,m y KB ) s1 (9.0) Το ύψος της θλιβόµενης ζώνης ξ µετά την ρηγµάτωση και µέχρι την διαρροή του διαµήκους οπλισµού υπολογίζεται από την εξής σχέση: s d h ) 1 1 (9.19) ξ = s [ ρ + (n 1) ρ ] + n ρ + (n 1) ρ [ n ρ + (n 1) ρ ] n s1 s s1 s s1 s d d (9.1) Οι εξισώσεις 9.0 και 9.1 ισχύουν επίσης και για πλακοδοκό, εφόσον αντικατασταθεί όπου ρ s η ποσότητα: (b-b w )/(n -1)b w, όπου b το συνολικό συνεργαζόµενο πλάτος της πλάκας και b w το πλάτος του κορµού. Αντίστοιχες εκφράσεις µπορούν εύκολα να εξαχθούν και για διατοµές που φέρουν συνδυασµό καµπτικής ροπής και αξονικού φορτίου. Υπολογισµός της Ροπής Ρηγµατώσεως, M

Η καµπτική ροπή ρηγµατώσεως είναι η ροπή στην οποία αρχίζει η ρηγµάτωση στην εφελκυόµενη παρειά. Για να υπάρξει ρηγµάτωση πρέπει η ορθή τάση στην ακραία εφελκυόµενη ίνα να υπερβεί την αντοχή του σκυροδέµατος σε άµεσο εφελκυσµό. Θεωρώντας ελαστική συµπεριφορά και για τα δύο υλικά, η τάση σε οποιαδήποτε θέση της διατοµής σε απόσταση y από το κέντρο βάρους υπολογίζεται από την σχέση: M y σ( y ) = gr N A c (9.1) Η ακραία εφελκυόµενη ίνα βρίσκεται σε y max =h-y K.B., άρα, θέτοντας σ(y max )=f ctk0.05, προκύπτει η ροπή ρηγµατώσεως Μ : N gr M = fctk0.05 + A y max Το αξονικό φορτίο (Ν) λαµβάνεται ως θετικός αριθµός εάν είναι θλιπτικό και ως αρνητικός αριθµός εάν είναι εφελκυστικό. Για απλή ορθογωνική διατοµή y max h/, και η παραπάνω σχέση απλοποιείται περαιτέρω ως εξής: (9.) N b h M = fctk0.05 + (9.) A 6 Η ποσότητα bh /6 είναι γνωστή και ως αντίσταση της ορθογωνικής διατοµής (W). Το ίδιο ισχύει γενικά για τον λόγο gr / y max. 9.. Οριακές τιµές Λειτουργικότητας για τα βέλη κάµψης, lm. Για την µείωση των βελών λόγω κατακορύφων φορτίων σε οριζόντια στοιχεία (π.χ. δοκούς και πλάκες) ενδείκνυται η καλή πρακτική σχεδιασµού και όπλισης στα επιµέρους στοιχεία και στον φορέα ως σύνολο. Έτσι, πρέπει να επιδιώκεται η υπερστατικότητα του φορέα, η χρήση θλιβόµενου οπλισµού στα καµπτόµενα στοιχεία, η αύξηση της ποιότητας των υλικών και ο περιορισµός του µήκους των ανοιγµάτων. Σε περιπτώσεις πολύ µεγάλων ανοιγµάτων ενδείκνυται η χρήση προέντασης ή και η κατάλληλη υπερύψωση του ξυλοτύπου κατά την σκυροδέτηση (camber χρησιµοποιείται συχνά στην κατασκευή προβόλων µε µεγάλα ανοίγµατα). Γενικά, η δηµιουργία µεγάλων βελών µετά την τοποθέτηση των µονίµων φορτίων µπορεί να αποβεί καταστροφικός για την λειτουργία ορισµένων µη φερόντων εξαρτηµάτων του δοµήµατος που παρεπιπτόντως απαιτούν και µεγάλα κόστη επισκευής (π.χ. αντιαισθητικές αποκολλήσεις σε πλακίδια επιστρώσεως κλπ). Για τον λόγο αυτό οι οριακές επιτρεπόµενες τιµές για τα βέλη, lm, συσχετίζονται και µε τον συνδυασµό φορτίσεως που έχει χρησιµοποιηθεί για την εκτίµηση των µετακινήσεων. Έτσι, στο στάδιο λειτουργικότητας τα βέλη οριζόντιων δοµικών στοιχείων δεν µπορούν να υπερβαίνουν το: L/50 υπό την επίδραση της συνολικής κατακόρυφης φόρτισης

όπου L το καθαρό άνοιγµα το οριζοντίου στοιχείου, και L/500 µετά την τοποθέτηση των διαχωριστικών (για µακροχρόνιο συνδυασµό φορτίσεως). Για συνήθη οικοδοµικά έργα ο ΕΑΚ (000) απαλλάσσει από τον αναλυτικό έλεγχο βελών τα εκείνα τα οριζόντια φέροντα στοιχεία των οποίων το πάχος h ή το στατικό ύψος ικανοποιεί τους κάτωθι περιορισµούς (οι διαστάσεις σε m): αl/d < 0 για πλάκες, αl/d < 5 για πλάκες µε νευρώσεις, αl/d < 0 για δοκούς, (αl) /h < 150 όταν χρησιµοποιούνται ευαίσθητα διαχωριστικά (π.χ. γυαλί, γυψοσανίδα) όπου αl είναι το θεωρητικό άνοιγµα του στοιχείου (δηλ. η απόσταση µεταξύ της θέσης της µέγιστης ροπής και του πλησιέστερου σηµείου µηδενισµού της ροπής. L είναι το καθαρό άνοιγµα, µετρούµενο από τις παρειές των στηρίξεων. Ο συντελεστής α λαµβάνει τιµές ως εξής: α=1 για αµφιέρειστη δοκό ή πλάκα, α=0.8 για ακραίο άνοιγµα συνεχούς δοκού ή πλάκας α=0.6 για ενδιάµεσο άνοιγµα συνεχούς δοκού ή πλάκας α=.4 για πρόβολο. 9.4 Επίδραση του Ερπυσµού και της Συστολής Ξηράνσεως στις Μετατοπίσεις. Η παρατεταµένη δράση των φορτίων ενεργοποιεί τον µηχανισµό του ερπυσµού ο οποίος για το σκυρόδεµα συνίσταται κυρίως στην ανακατανοµή του νερού των πόρων κατόπιν της αρχικής παραµόρφωσης των πόρων υπό την επίδραση του µονίµου φορτίου. Λόγω ερπυσµού µειώνεται το ενεργό µέτρο Ελαστικότητας του Σκυροδέµατος, από c σε Ε c, ως εξής: c c = (1 + φ ) Ο συντελεστής ερπυσµού δίνεται στο Κεφ. 5 στους Πίνακες. Η συνέπεια της παραπάνω εξίσωσης είναι ότι ουσιαστικά οι µετακινήσεις αυξάνονται από την στιγµιαία τιµή τους (δηλαδή την τιµή που υπολογίζουµε µε το µέσο µέτρο ελαστικότητας του υλικού όπως δίνεται από Πίνακες για την κατηγορία σκυροδέµατος). Άρα ένας απλός τρόπος συνυπολογισµού του ερπυσµού στις µετακινήσεις είναι να πολλαπλασιασθούν οι τιµές των µετακινήσεων µε τον συντελεστή (1+φ ). P 9.1 9. Μ φ=μ/ει

Το σχήµα 9. (α) και 9.(β) βρίσκεται στο κάτω µέρος της σελ. των σηµειώσεων. ιάγραµµα καµπυλοτήτων Σχήµα 9.4 Θέσεις ρωγµών Σχήµα 9.5: Στην σελίδα των σηµειώσεων.