Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 011 Διδάσκων:, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (1 η περίοδος χειμερινού εξαμήνου ) ΘΕΜΑ 1 ο (30%) Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών δυνάμεων [N], τεμνουσών δυνάμεων [] και καμπτικών ροπών [] του παρακάτω πλαισίου. Επιπλέον, να υπολογισθεί η τιμή και η θέση της μέγιστης θετικής ροπής. 30 kn/ 60 kn E 40 kn 0 kn/ Γ Δ 50 kn Z x ΤΕΙ Αθήνας, Φεβ / 15

2 Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Επίλυση: Προσδιορισμός Αντιδράσεων: άνω S = kn -(30 kn/ 6 ) = 0 = 10 kn S = 0-50 kn + 40 kn -(0 kn/ ) kn -(30 kn/ 6 ) = kn + 80 kn -90 kn -40 kn kn + 6 = kn kn = 0 = 350 kn S F = kN + 60kN = 0 =- 110kN x x x S F = kN -0 kn/ 3-30 kn/ 6 = kn -40 kn -60 kn kn = 0 = 160 kn [ N ] (kn) ΤΕΙ Αθήνας, Φεβ. 011 / 15

3 Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ε =0 ax Γ Δ Ζ [ ] (kn) +110 Α q /8 = 135 q /8 =.5 [ ] (kn) ΤΕΙ Αθήνας, Φεβ / 15

4 Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Υπολογισμός Αξονικών Δυνάμεων: από το Α προς το : N =- =- 160 kn, N, κάτω =- =- 160 kn από το Γ προς το : από το Δ προς το : από το προς το Ε : N = 0 kn, N, αριστερά = 0 kn N D = 0 kn, N, δεξιά = 0 kn N = 0 kn, N, δεξιά = 0 kn E από το Ε προς το : NE, κάτω =-30 kn/ 6 + =- 180 kn + 10 kn =- 60 kn, N =-, πάνω 60 kn Υπολογισμός Τεμνουσών Δυνάμεων: από το Α προς το Ζ : =- =-- ( 110 kn ) = 110 kn, - = = 110 kn x από το Ζ προς το :, πάνω = 110 kn - 50 kn = 60 kn,, κάτω =, πάνω = 60 kn Z Z Z από το Γ προς το : =- 40 kn,, αριστερά = =- 40 kn από το Δ προς το : D = 0 kn,, δεξιά =+ 60 kn ώστε η τιμή της τέμνουσας να γίνεται μηδέν στο άκρο Δ μετά το κατανεμημένο φορτίο από το έως το Δ, δηλαδή D =, δεξιά -0 kn/ = 0 kn. τομή πάνω από το και εξέταση του τμήματος που βρίσκεται κάτω από την τομή (σχήματος ταυ) :, πάνω = kn =-- ( 110 kn ) - 50 kn = 60 kn, ΤΕΙ Αθήνας, Φεβ / 15 x E, κάτω =, πάνω = 60 kn. Για την ίδια τομή, εάν εξετασθεί όλο το τμήμα που βρίσκεται πάνω από αυτή, θα είναι:, πάνω = 60 kn (που οφείλεται στην οριζόντια δύναμη στο σημείο Ε). τομή δεξιά του Ε και εξέταση του τμήματος που βρίσκεται δεξιά της τομής (δοκός Ε) : E, δεξιά = (30 kn/ 6 ) - = 180 kn - 10 kn = + 60 kn. Για την ίδια τομή, εάν εξετασθεί ο υπόλοιπος φορέας (εκτός από την δοκό Ε), δηλαδή το τμήμα που βρίσκεται αριστερά και κάτω από την τομή, θα είναι: E, δεξιά = -40 kn -(0 kn/ ) = 160 kn -40 kn -60 kn =+ E, δεξιά 60 kn Υπολογισμός Καμπτικών Ροπών: τομή λίγο πάνω από το Α και εξέταση του τμήματος κάτω από την τομή: =- =- (η αντίδραση θλίβει τη θετική ίνα στο Α), πάνω 350 kn τομή στο Ζ και εξέταση του τμήματος κάτω από την τομή: =- - =-350 kn - ( kn ) =- 130 kn Z x

5 Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Χειμερινό εξάμηνο τομή κάτω από το και εξέταση του τμήματος κάτω από την τομή:, κάτω =- -4 x - 50kN =-350 kn -4 ( -110 kn ) kn =-10 kn τομή αριστερά από το και εξέταση του τμήματος αριστερά της τομής:, αριστερά =- 40kN =- 80kN τομή δεξιά από το και εξέταση του τμήματος δεξιά της τομής:, δεξιά =-(0 kn/ ) 1.5 =- 90 kn τομή πάνω από το και εξέταση του τμήματος πάνω από την τομή: = (λόγω άρθρωσης, βλέπε εξίσωση για αντίδραση στο ), πάνω 0 kn τομή κάτω από το Ε και εξέταση του τμήματος πάνω από την τομή: E, κάτω =-(30 kn/ 6 ) =- 540 kn + 70 kn = 180 kn τομή δεξιά του Ε και εξέταση του τμήματος δεξιά της τομής (όμοια με την προηγούμενη): E, δεξιά = E, κάτω = 180 kn Υπολογισμός Μέγιστης Καμπτικής Ροπής Η μέγιστη ροπή θα εμφανισθεί σε σημείο κάτω από το κατανεμημένο φορτίο όπου η τέμνουσα μηδενίζεται. Αυτό σύμφωνα με το διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων θα συμβεί δεξιά του σημείου Ε σε απόσταση x, η οποία υπολογίζεται από τη σχέση: 60 kn x = =.0 30 kn/ Η δε τιμή της μέγιστης ροπής στο σημείο αυτό μπορεί να προκύψει με δύο τρόπους. Κατά τον πρώτο τρόπο γίνεται τομή στο σημείο αυτό και υπολογίζεται η ροπή από το δεξί τμήμα της τομής, που είναι προς το σημείο και έχει μήκος (6 - ) = 4 : ax ax 4 =-(30 kn/ 4 ) + 4 =- 40 kn kn = 40 kn Ο δεύτερος τρόπος βασίζεται στο εμβαδό του διαγράμματος της τέμνουσας: 1 = + εμβαδόν = kn + 60 kn ax E από E έως θέση ax ax = 40 kn ΤΕΙ Αθήνας, Φεβ / 15

6 Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Χειμερινό εξάμηνο ΘΕΜΑ ο (35%) Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων. 160 kn (α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α και Γ (αριστερά 0 kn/ και κάτω). (β) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα. (γ) Να προσδιορισθούν οι μέγιστες E 40 kn θετικές ροπές κάμψης. 4 ΑΚΡΑΙΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ ΜΟΝΟΠΑΚΤΩΝ ΚΑΙ ΑΜΦΙΠΑΚΤΩΝ ΜΕΛΩΝ f1 f f 1 / q P / N N = ( f1 + f), ( 1 ) = f + f 6 6 = ( f1 + f), ( ) = f 1 + f 3 = 3 f = f 1, = f 1 q =, 1 q =, = 11P =, q =- 1 q =- 3P 16 5P =- 16 ΤΕΙ Αθήνας, Φεβ / 15

7 Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Επίλυση: Άγνωστο μέγεθος παραμόρφωσης είναι μια αριστερόστροφη στροφή f στο Γ. 0 kn/ 160 kn 160 kn x E f 40 kn Κόμβος Γ 4 x Δοκός ΑΓ: 0 4 f 80 = f + = = f- = f f = f + 40 = f = f - 40 = Δοκός Γ: f = f + = f 55 = f + = f 5 = f - = ΤΕΙ Αθήνας, Φεβ / 15

8 Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ισορροπία ροπών κόμβου Γ: S = = 0 Κόμβος Α: æ 80 ö æ3f ö 80 f = 0 f =- ç è 3 ø çè 4 ø 3 3f 3 æ 80 ö = = + 40 = ç = 5 kn 8 8çè 3 ø f 80 1æ 80 ö 80 = = + = ç - + =-0 kn 3 çè 3 ø 3 (ή 0 kn δεξιόστροφα) Κόμβος : æ3f 5 ö 3 æ 80 ö 5 x =- =- - x =- - + x = 30 kn ç è 16 ø 16çè 3 ø Κόμβος Γ: 80 æ 80 ö = f - = ç - - =- =-10 kn 3 çè 3 ø 3 3 3f 3 æ 80 ö = - 40 = ç = =-75 kn 8 8çè 3 ø 3f 3 æ 80 ö = + 30 = ç = =-40 kn 4 4çè 3 ø 3f 55 3 æ 80 ö = + = ç - + =- + = 10 kn çè 3 ø Ισορροπία πλαισίου: S F = = = 0 = 10 kn x x x x x S F = = 0 = 75kN ( ) S = x 4 = = = 0 ΤΕΙ Αθήνας, Φεβ / 15

9 Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Διάγραμμα Καμπτικών Ροπών: 10 q /8 = Α ax = Γ [ ] (kn) 0 Υπολογισμός Μέγιστης Καμπτικής Ροπής Η μέγιστη ροπή θα εμφανισθεί δεξιά της πάκτωσης Α σε σημείο κάτω από το κατανεμημένο φορτίο όπου η τέμνουσα μηδενίζεται. Η απόστασή του x από το Α δίνεται από τη σχέση: 5 kn x = = kn/ Η μέγιστη ροπή υπολογίζεται με βάση το εμβαδό του διαγράμματος της τέμνουσας: ax ax ( ax ) = + εμβαδόν από έως θέση 1 =+ 0 kn kn = 0.65 kn ax ΤΕΙ Αθήνας, Φεβ / 15

10 Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Χειμερινό εξάμηνο ΘΕΜΑ 3 ο (0%) Στο δικτύωμα του σχήματος να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΗΘ, ΓΘ και ΓΔ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών. Η κάθε δύναμη θα προσδιοριστεί ανεξάρτητα από τις άλλες δύο. Για όλα τα μέλη να διευκρινισθεί εάν υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό. 0 kn 0 kn 0 kn 0 kn 0 kn 15 kn Z H I K 15 kn 4 D E Επίλυση: Οι άγνωστες αξονικές δυνάμεις θα προσδιορισθούν κάνοντας τομή aa - η οποία τέμνει τα ζητούμενα τρία μέλη. a 0 kn 0 kn 0 kn I K 15 kn N 1 N 4 N 3 a D E Αντίδραση στη κύλιση : S = = = 0 = 60 kn ΤΕΙ Αθήνας, Φεβ / 15

11 Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Μέθοδος των τομών: Τομή α-α (δεξί τμήμα) Δύναμη N 1 στο μέλος ΗΘ: S = 0 4 N = N = 0 N1 =-30 kn (θλίψη) Δύναμη N 3 στο μέλος ΓΔ: S = 0-4 N = N = 0 N3 = 45 kn (εφελκυσμός) Δύναμη N στο μέλος ΓΘ: 4 S F = 0 - N = N = 0 N = 0 kn 5 ΘΕΜΑ 4 ο (0%) Για τον πρόβολο του παρακάτω σχήματος ζητούνται η βύθιση w και η στροφή f του άκρου. Δίνεται = kn και οι σχέσεις υπολογισμού των παραμορφώσεων: w 1 kn = ò dx και f 1 kn = 0 ò 0 dx 0 kn/ 4 Οι πίνακες με τους πολλαπλασιασμούς διαγραμμάτων δίνονται στην επόμενη σελίδα. ΤΕΙ Αθήνας, Φεβ / 15

12 Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Τιμές ολοκληρωμάτων ò 0 dx j k ò 0 dx j k k k k j j j / / j 1 j j k( j + j + j ) k( j + j ) k( j + j ) τετραγ. παραβολή Επίλυση: Υπό την δεδομένη φόρτιση ο πρόβολος κάμπτεται και το άκρο του βυθίζεται κατά και στρίβει κατά γωνία f. Οι παραμορφώσεις θα προσδιορισθούν με τη μέθοδο του μοναδιαίου φορτίου (Αρχή Δυνατών Έργων). w 0 kn/ x 4 ελαστική γραμμή w f Σύμφωνα με τη μέθοδο του μοναδιαίου φορτίου προκειμένου να προσδιορισθεί η εγκάρσια μετατόπιση στο (βύθιση) θα επιβληθεί στο φορέα μοναδιαία δύναμη στο ίδιο σημείο στη διεύθυνση της ζητούμενης μετατόπισης, δηλαδή εγκάρσια (Φόρτιση 1). Για δε το προσδιορισμό της στροφής στο θα πρέπει στο άκρο του προβόλου να επιβληθεί μοναδιαία ροπή (Φόρτιση ). ΤΕΙ Αθήνας, Φεβ / 15

13 Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Διάγραμμα Καμπτικών Ροπών προβόλου για τη δεδομένη εξωτερική φόρτιση Αντιδράσεις του φορέα: S = 0 -(0 kn/ 4 ) = 0 = 160 kn S F = 0 = 0kN x x S F = 0-0 kn/ 4 = 0-80kN = 0 = 80kN Διάγραμμα ροπών του φορέα για τη δεδομένη εξωτερική φόρτιση που είναι το κατανεμημένο φορτίο q = 0 kn/ και η οποία προκαλεί τις ζητούμενες παραμορφώσεις στο άκρο q /8 = 40 Α [ ] (kn) Υπολογισμός βύθισης στο άκρο του προβόλου Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, για να υπολογισθεί η βύθιση στο άκρο του προβόλου, θα ασκηθεί στο δύναμη, στην κατακόρυφη διεύθυνση και μέτρου 1 kn. 4 kn 1 kn 1 kn 4 Το διάγραμμα ροπών 1 του προβόλου για τη μοναδιαία δύναμη δίνεται στο επόμενο σχήμα και αξιοποιείται στη σχέση υπολογισμού της ζητούμενης βύθισης, η οποία παίρνει τη μορφή: ΤΕΙ Αθήνας, Φεβ / 15

14 Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Χειμερινό εξάμηνο w 1 kn = ò dx = 1 dx = παραβολή τρίγωνο 0 ò0 ( ) [ 1] (kn) Συνεπώς, σύμφωνα με τους πίνακες υπολογισμού του ολοκληρώματος και συγκεκριμένα την έκφραση στο κελί (4,3), η βύθιση θα υπολογισθεί ως εξής: 1 1 w 1kN = παραβολή τρίγωνο = k j + j 6 ë ( ) é 1 ( 1 ) 1 1 = é 4 - kn kn kn ë ( ){( ) ( )} kn kn 640 kn = é4 ( 4 kn )( 40 kn) ù 6 ë - - û = = kn επομένως, η βύθιση θα είναι: 640 kn 640 w 1kN = w = w = 6.4c ù û ù û Υπολογισμός στροφής στο άκρο του προβόλου Για να υπολογισθεί η στροφή στο άκρο του προβόλου, θα ασκηθεί στο ροπή μέτρου 1 kn. 1 kn 1 kn 4 ΤΕΙ Αθήνας, Φεβ / 15

15 Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Το διάγραμμα ροπών του προβόλου για τη μοναδιαία ροπή δίνεται στο επόμενο σχήμα και αξιοποιείται στη σχέση υπολογισμού της ζητούμενης στροφής, η οποία παίρνει τη μορφή: f 1 kn = ò dx = dx = 0 ò0 ( παραβολή παραλληλόγραμμο) [ ] (kn) Από τους πίνακες υπολογισμού του ολοκληρώματος χρησιμοποιείται η έκφραση στο κελί (4,1), η βύθιση θα υπολογισθεί ως εξής: f 1kN = ( παραβολή παραλληλόγραμμο ) = é k( j1 + 4j + j3) ù 6 ë û 1 1 = é 4 + kn kn kn kn ë ( ){( ) ( ) ( )} kn kn -640 kn = é4 ( 1 kn )( 30 kn) ù 6 ë + - û = = kn και τελικά η στροφή θα είναι: -640 kn -640 f 1 kn = f = rad f = rad ù û ΤΕΙ Αθήνας, Φεβ / 15