ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΠΕΜΠΤΗ 19 ΜΑΪOY 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x) = x είναι f(x) = (x) = 1 για κάθε x στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Α. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων, όταν το ν είναι περιττός αριθμός. Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) ( ημx) = συνx β) ( 3 ) = 1 3 γ) Σε μία κανονική ή περίπου κανονική κατανομή στο διάστημα ( x s,x+ s ) βρίσκεται το 68% περίπου των παρατηρήσεων. δ) Αν lm f(x) = και lm g(x) = όπου, x x 1 x x πραγματικοί αριθμοί τότε: lm f(x) g(x) =. x x ( ) 1 1 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ε) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x,x 1 Δ με x1< x ισχύει f(x 1) < f(x ). ΘΕΜΑ Β Στον παρακάτω πίνακα δίνεται ο αριθμός των πιστωτικών καρτών που έχουν υπάλληλοι μιας επιχείρησης. Αριθμός πιστωτικών καρτών x Αριθμός υπαλλήλων ν 5 Αθροιστική N 1 9 Σχετική f% 1 3 4 ΣΥΝΟΛΑ x ν Β1. Αν γνωρίζετε ότι η 5 η συχνότητα ( ν 5 ) ισούται με την 1 η συχνότητα ( ν 1), να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα και να τον συμπληρώσετε. Β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή x των πιστωτικών καρτών των υπαλλήλων. Β3. Να υπολογίσετε τον αριθμό των υπαλλήλων που έχουν το πολύ 3 πιστωτικές κάρτες. Β4. Να υπολογίσετε το ποσοστό των υπαλλήλων που έχουν τουλάχιστον πιστωτικές κάρτες. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f: με τύπο: Γ1. Να αποδείξετε ότι x 1 f(x) = + x + 1 f(x) = 1 x ( x + 1) Μονάδες 6 Γ. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f στα σημεία x1 = 1 και x = 1. Μονάδες 4 Γ3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τα τοπικά της ακρότατα. Μονάδες 1 Γ4. Να συγκρίνετε τις τιμές f(15) και f(16) της συνάρτησης f. Μονάδες 3 ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f: με τύπο: f(x) = x + αx 3, α. 1. Να υπολογίσετε την τιμή του α αν x 6x+ 8 α =lm x 4 x 4. Για α= να βρείτε την f(x). Μονάδες 8 Μονάδες 3 3. Για α= να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο M(,f( ) ). Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ 4. Αν τα σημεία A 1(x 1,y 1), A (x,y ), A 3(x 3,y 3), A 4(x 4,y 4), A 5(x 5,y 5) ανήκουν στην ευθεία ε: y= x 7 και οι τετμημένες x,x,x,x,x 1 3 4 5 των σημείων A 1, A,A 3,A 4,A 5 έχουν μέση τιμή x=, να βρείτε τη μέση τιμή y των τεταγμένων y,y,y,y,y 1 3 4 5 των σημείων αυτών. Μονάδες 6 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα, μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 1. π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 19 ΜΑΪOY 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται συχνότητα τιμής μιας μεταβλητής ενός δείγματος. Μονάδες 6 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Το εύρος ως παράμετρος διασποράς χρησιμοποιεί μόνο τις ακραίες τιμές της μεταβλητής. β). γ) Έστω δύο συνεχείς συναρτήσεις,, με συνεχείς παραγώγους,. Τότε ισχύει ότι:. δ) Η παράγουσα της συνάρτησης είναι η όπου. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ε) Η παράγωγος συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί ως ο ρυθμός μεταβολής ενός μεγέθους σε οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής του. Α3. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες και να τις συμπληρώσετε: α) Αν οι συναρτήσεις, είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους Α, τότε και η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο Α και ισχύει: (Μον. 3) β) 1 (Μον. 3) γ) Αν,,..., είναι οι σχετικές συχνότητες των τιμών,,..., αντίστοιχα μιας μεταβλητής, τότε ισχύει:..., όπου το πλήθος των διαφορετικών τιμών της μεταβλητής. (Μον. 3) Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Β ίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής: Αθροιστική 5 1 9 16 3 4 ΣΥΝΟΛΑ 5 Σχετική % ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Β1. Να μεταφέρετε τον πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε. Μονάδες 9 Β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή. Β3. Να υπολογίσετε τη διάμεσο δ. Μονάδες 3 Β4. Να υπολογίσετε τη διακύμανση. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση με τύπο: 3 9,. Γ1. Να βρείτε την. Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και να υπολογίσετε τα τοπικά ακρότατα. Γ3. ίνονται οι συναρτήσεις: 3,, 6 9,. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου το οποίο περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση με τύπο: 1 x, x,1) x 1 f( x ) = αx + βx, x 1, + ), α, β R 1. Να βρείτε το lm.. Να βρείτε το lm. 3. Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β R ώστε να υπάρχει το lm και. Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα, μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 1. π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Α ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 19 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ A Α1. Έστω Α R και συνεχής στο x. ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) x A. Πότε η συνάρτηση f:a R είναι ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ Μονάδες 6 A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η επικρατούσα τιμή μιας μεταβλητής είναι μοναδική. β) Αν lm f ( x) = τότε ( ) x x lm f x =. x x γ) Αν οι συναρτήσεις f,g: A R είναι συνεχείς στο σημείο τότε η συνάρτηση h( x) x A, x με ( ) g x. δ) (συν x) =-ημ x. ε) β 1 dx = ln β ln α, β> α >. α x ( ) ( ) f x = είναι συνεχής στο g x

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ A3. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) Αν f,f,...,f 1 k οι σχετικές συχνότητες k διαφορετικών τιμών μιας μεταβλητής τότε: f1+ f +... + f k =... (Μον. 3) β) Αν οι συναρτήσεις f,g:a R είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους Α, τότε η συνάρτηση ( g ) παραγωγίσιμη στο Α και ισχύει: f g ( ) x =..., με g(x). γ) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ α, β] τότε: β α α β f(x)dx+ f(x)dx =... f g είναι (Μον. 3) (Μον. 3) Μονάδες 9 ΘΕΜΑ B Έστω η συνάρτηση f: R R με τύπο: x e + 1, x < x 4 f(x) =, x < x α x, x, α R ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Β1. Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο x =. Β. Για ποια τιμή της παραμέτρου α η f είναι συνεχής στο x =. Β3. Αν α=6 να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: Ι ( ) = 3 f x dx. ΘΕΜΑ Γ Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται πόσες ώρες συνδέονται στο διαδίκτυο οι μαθητές ενός Εσπερινού ΕΠΑΛ κατά τη διάρκεια μιας ημέρας: Ώρες x Μαθητές v Αθροιστική N Σχετική f Σχετική f% xv 1 1 15 v 3 3 5 Σύνολα Γ1. Να υπολογιστεί η συχνότητα v 3, αν η διάμεσος των ωρών είναι δ=1,5. Γ. Για 3 v = να μεταφέρετε τον πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Γ3. Για v 3 = να βρείτε τη μέση τιμή των ωρών σύνδεσης των μαθητών στο διαδίκτυο. Γ4. Για v 3 = να παρουσιάσετε σε μορφή ραβδογράμματος τα δεδομένα (x,v ). ΘΕΜΑ Το ύψος σε μέτρα ενός τηλεκατευθυνόμενου αεροπλάνου μετά από t sec πτήσης δίνεται από τη συνάρτηση: h() t = 3t + 3t, t 1. 1. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του ύψους του αεροπλάνου οποιαδήποτε χρονική στιγμή.. Να βρεθεί το χρονικό διάστημα της ανόδου του αεροπλάνου από τη στιγμή της απογείωσής του μέχρι το μέγιστο ύψος καθώς και το χρονικό διάστημα της καθόδου από το μέγιστο ύψος μέχρι την προσγείωσή του. 3. Σε ποια χρονική στιγμή το αεροπλάνο βρίσκεται στο μέγιστο ύψος. 4. Να βρεθεί το μέγιστο ύψος στο οποίο έφτασε το αεροπλάνο. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα, μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 1. π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ