ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

Transcript

1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η είναι συνεχής στο [α,β] και α β, τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των α και β υπάρχει ένας τουλάχιστον α,β, τέτοιος ώστε η. Μονάδες 7 A. Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο ; ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ Μονάδες A. Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A. Πότε λέμε ότι η παρουσιάζει στο Α τοπικό ελάχιστο; Μονάδες A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α Αν για δύο συναρτήσεις, g ορίζονται οι συναρτήσεις og και go, τότε ισχύει πάντοτε ότι og = go. β Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α βi και γ δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. γ Για κάθε ισχύει ότι συν ημ.

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ δ Έστω μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β]. Αν ισχύει ότι για κάθε [α,β] και η συνάρτηση δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε α β d. ε Αν και κοντά στο, τότε. ΘΕΜΑ Β Μονάδες Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει:. B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων αυτών των μιγαδικών αριθμών είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=. B. Έστω Β. w, Να αποδείξετε ότι: Μονάδες 7 όπου, δύο μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματος α Ο w είναι πραγματικός και β - w. μονάδες μονάδες 7 Μονάδες B. Αν w -, όπου w είναι ο μιγαδικός αριθμός του ερωτήματος Β, να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους μιγαδικούς αριθμούς, και να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τις εικόνες A, B, Γ των μιγαδικών αριθμών, και, με i, είναι ισοσκελές. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

3 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ,. Γ. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα,. Μονάδες 6 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών μία ακριβώς ρίζα. Γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε. Γ. Δίνεται η συνάρτηση g 5,, Μονάδες 8 Μονάδες Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο [,. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύουν: για κάθε και. Δ. Να αποδείξετε ότι n,. Μονάδες 5 Δ. α Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της. μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

4 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ β Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, την ευθεία y και τις ευθείες και. μονάδες Δ. Να υπολογίσετε το όριο: Μονάδες 7 n. Δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: Μονάδες 6 8 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. Μονάδες 7 ΟΔΗΓΙΕΣ για τους εξεταζομένους. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω -πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ.. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης:. π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό Βιβλίο σελ. 9 Α. Σχολικό Βιβλίο σελ. 88 Α. Σχολικό Βιβλίο σελ. 59 Α. α Λ, β Σ, γ Λ, δ Σ, ε Σ ΘΕΜΑ Β Β. 6 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των είναι κύκλος με κέντρο Ο, και ακτίνα Β. α w Έχω, ομοίως και w w 8 8

6 Άρα w w w. Αυτό ισχύει γιατί : για w i,, w w i i i Im w w β ος τρόπος w Επειδή ος τρόπος w τότε w w Θέτω, και, τότε η εικόνα του κινείται στον μοναδιαίο κύκλο και άρα ισχύει : Άρα w R R Αφού R R w Β. ος τρόπος. w,,, i Άρα οι αντίστοιχες εικόνες είναι : οπότε Έχω :, i i 5 i i 5 5 Άρα οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. 5 ος τρόπος Έστω yi,, y με αντίστοιχη εικόνα, y και yi με αντίστοιχη εικόνα, y και i i y i y i με αντίστοιχη εικόνα y,

7 Άρα : y y y y 5 5y 5 y y 5 5y 5 Άρα οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. 5 5 ΘΕΜΑ Γ Γ. Για κάθε έχουμε : Είναι και για κάθε άρα η είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα, και, και επειδή η είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα στο. Επίσης έχουμε :, καθώς : και DLH DLH Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο Γ. ος τρόπος τότε :, :" " Είναι 5 Αφού, υπάρχει μοναδικό διότι η τέτοιο ώστε, άρα η εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο. ος τρόπος

8 Είναι 5 :" " Θεωρώ g, θα δείξω ότι η εξίσωση g έχει ακριβώς μια ρίζα στο. Για κάθε είναι g Είναι g και g για κάθε άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα, και, και επειδή η g είναι συνεχής στο θα είναι g γνησίως φθίνουσα στο g g Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο οπότε : g g, g,, το g, άρα η εξίσωση g έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο και επειδή η g είναι γνησίως φθίνουσα, είναι και μοναδική, δηλ. υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε g. Γ. ος τρόπος Έχουμε : και Άρα αρκεί να δείξουμε ότι :. Γνωρίζουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο και για έχουμε : οπότε αφού στο ισχύει : Άρα και Θεωρώ R οπότε R με την ισότητα να ισχύει μόνο για, Δηλ. Άρα : Άρα από την. Αποδείχτηκε ος τρόπος

9 Έστω F μια αρχική συνάρτηση, της συνεχούς συνάρτησης, άρα η σχέση : γίνεται : F F, με, οπότε : F F. Εφαρμόζω Θ.Μ.Τ. για την F στο [,] Η F συνεχής στο [,] Η F παραγωγίσιμη στο, F F Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε F. Όμως είναι : F F F F F. Γ. g,, Θεωρούμε συνάρτηση : h η οποία ως παραγωγίσιμη είναι συνεχής στο, οπότε και οι συναρτήσεις συνεχείς ως συνθέσεις συνεχών. Άρα η h και h g είναι συνεχής στο, ως πηλίκο συνεχών. Επίσης : είναι g DLH g άρα η g είναι συνεχής στο [,. Για έχουμε : g, αφού : Από Γ.

10 Για ισχύει : Είναι η g συνεχής στο, [ και g για κάθε, άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο, [. ΘΕΜΑ Δ Δ. Για κάθε έχουμε : ] [ Άρα : c,, c Όμως για η γίνεται : c c c Άρα από : Έστω g άρα έχουμε : g Ισχύει ότι η g είναι συνεχής στο και g για κάθε αφού g άρα και g για κάθε. Οπότε η g διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε. Είναι g άρα g για κάθε, έτσι : g g ln,. Δ. α Η είναι παραγωγίσιμη για κάθε με : Η είναι παραγωγίσιμη με :, Άρα :

11 για ], η είναι κυρτή για, [ η είναι κοίλη και το σημείο, ή το, είναι σημείο καμπής της. β Η εφαπτομένη της C στο,, δηλ. στο σημείο καμπής είναι : y y Όμως η είναι κοίλη για κάθε, [ άρα η C βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. Δηλ. ισχύει : για κάθε, [ με το = να ισχύει μόνο για. Έτσι : ln d d d ln ln d d d ln ln ln τ.μ. Δ. ln Η είναι συνεχής στο και για κάθε ισχύει, άρα η είναι γνησίως αύξουσα για κάθε. Έτσι :, οπότε το όριο γίνεται : ln ln Υπολογίζουμε χωριστά τα όρια : ln ln ln DLH

12 Άρα τελικά : ln Δ. Με απαλοιφή παρανομαστών η δοθείσα εξίσωση γίνεται : 8 Θεωρούμε τη συνάρτηση : R 8 Είναι η R συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Επίσης : R 8 γιατί : Για κάθε [, ισχύει : και άρα και το = ισχύει μόνο για άρα : 8 8 R R γιατί : Για κάθε [, ισχύει :, οπότε για έχω : και το = ισχύει μόνο για άρα : R Τελικά : R R άρα από Θ. Βolno η εξίσωση : R 8 8 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Επιμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη