ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.

Transcript

1 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ A. Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Μονάδες 7 A. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.» α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α αν είναι αληθής ή το γράμμα Ψ αν είναι ψευδής. μονάδα β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α. μονάδες Μονάδες A. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [αβ]; Μονάδες A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων : και g: αν lim και lim g τότε lim [ g]. β Αν g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού A B αντίστοιχα τότε η g ορίζεται αν A B. γ Για κάθε συνάρτηση : που είναι παραγωγίσιμη και δεν παρουσιάζει ακρότατα ισχύει για κάθε. δ Αν τότε lim. ε Η εικόνα ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

2 ΘΕΜΑ Β ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δίνονται οι συναρτήσεις n και B. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση g. g. Μονάδες 5 B. Αν h g n να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. Μονάδες 6 B. Αν φ h να μελετήσετε τη συνάρτηση φ ως προς τη μονοτονία τα ακρότατα την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Μονάδες 7 B. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ και να τη σχεδιάσετε. Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση [ ] και το σημείο A. Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της που άγονται από το Α τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ. Αν : και : είναι οι ευθείες του ερωτήματος Γ τότε να σχεδιάσετε τις και τη γραφική παράσταση της και να αποδείξετε ότι E E 8 όπου: E είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τις ευθείες και E είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τον άξονα '. Γ. Να υπολογίσετε το όριο lim. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ Μονάδες 6 Μονάδες

3 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ. Να αποδείξετε ότι d. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση [ [ ] Δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [ ] και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της. Μονάδες 5 Δ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Μονάδες 6 Δ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική 5 παράσταση της τη γραφική παράσταση της g με g τον άξονα ' και την ευθεία. Δ. Να λύσετε την εξίσωση 6 8. Μονάδες 6 Μονάδες 8 ΟΔΗΓΙΕΣ για τους εξεταζομένους. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω -πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση και μόνο για πίνακες διαγράμματα κλπ.. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης:. π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

4 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9/6/7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα.6 Έστω Δ με < οπότε < A. α. Ψ β. π.χ. η συνάρτηση = είναι συνεχής όμως δεν είναι παραγωγίσιμη στο o = A..8 Mία συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [αβ] όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του αβ και επιπλέον lim a a lim Α. α. Λάθος ΘΕΜΑ Β β. Σωστό γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό Β. ln o g Για να ορίζεται η og πρέπει και αρκεί: και g άρα για έχουμε:

5 Οπότε άρα Dog ln g og Β. ln og h Για κάθε με h h ισχύει ln ln άρα Άρα η h είναι - οπότε και αντιστρέψιμη. h ln και Ισχύει ότι οπότε: Άρα που ισχύει για κάθε και που ισχύει γιατί για κάθε Οπότε h και h Β. φ παραγωγίσιμη στο R με φ = για κάθε R Οπότε φ γνησίως αύξουσα στο R και δεν έχει ακρότατα. Η φ παραγωγίσιμη στο R με φ =

6 Πρόσημο φ > για κάθε R + > για κάθε R - > > < Οπότε φ > στο - και φ < στο + και φ συνεχής στο - ] και στο [+ φ κυρτή στο - ] φ κοίλη στο [+. Η φ δέχεται εφαπτομένη στο = αφού παραγωγίζεται άρα η φ έχει καμπή στο σημείο ΑΦ με φ= B. Οριζόντιες lim lim H = είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C φ στο - lim lim H = είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C φ στο +

7 ΘΕΜΑ Γ Γ. Έστω Μ σημείο επαφής της C και της εφαπτομένης τότε - = - άρα +ημ =-συν - Η εφαπτόμενη διέρχεται από το Α Άρα Θεωρώ και [] Παρατηρούμε ότι: Φ= και Φπ= Για να αποδείξουμε ότι οι λύσεις είναι ακριβώς παίρνουμε μονοτονία της Φ Φ παραγωγίσιμη στο [π] Φ =ημ [ ] [ ] Οπότε Φ > για και Φ < για < Φ συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Άρα ΦΔ = με Φ= και Άρα ΦΔ = Φ συνεχής και γνησίως αύξουσα στο

8 Άρα ΦΔ = οπότε = μοναδική ρίζα της Φ= στο Δ οπότε =Π μοναδική ρίζα της Φ= στο Δ Οπότε οι εφαπτόμενες της C Φ στα Μ και Μ π π ε : -Φ=Φ - =- και ε : -Φπ=Φ π-π = -π Γ. d d d d E τετρ. μονάδες.

9 d d τετρ. μονάδες 8 E 8 Άρα E 8 8 Γ. lim lim Γιατί: lim Και lim και άρα για Γ. Για η είναι κυρτή οπότε: Άρα με ισχύει συνεχείς: με την ισότητα να ισχύει μόνο για =π και με Οπότε d ln ln d ΘΕΜΑ Δ Δ. Η είναι συνεχής στο [- ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων και στο π] ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων. Με έχω άρα

10 έχω lim Στο lim Επομένως η είναι συνεχής στο [-π] άρα η είναι συνεχής στο Με έχω ' ' ενώ με ] ' έχω Στο έχω lim και lim lim lim lim lim lim άρα lim lim Δηλαδή η δεν είναι παραγωγίσιμη στο Επομένως ' Άρα για τα κρίσιμα σημεία έχω: Με ' έχω Με έχω ' ενώ Άρα κρίσιμα σημεία της είναι = δεν παραγωγίζεται αλλά είναι συνεχής και ρίζα της Δ. στο και στο Έχω με

11 ' Η είναι συνεχής στο [-] και Η είναι συνεχής στο στο - η είναι γνησίως φθίνουσα στο [-] ' και στο άρα είναι γνησίως αύξουσα στο Η είναι συνεχής στο φθίνουσα στο στο ' και άρα η είναι γνησίως Η έχει θέσεις για τοπικά μέγιστα στο και στο = και =π Είναι -= = ημ= Και π= π ημπ= και θέσεις για τοπικά ελάχιστο Επειδή =π= έχω ολικό ελάχιστο το και -< αφού άρα η έχει ολικό μέγιστο το Επομένως [-π]=[ ] Δ. Το ζητούμενο είναι ΕΩ= 5 g d d Αν h= ημ- 5 = ημ- = φ με φ=ημ- [ ] η οποία είναι συνεχής ως πράξη και σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Η φ είναι παραγωγίσιμη στο [π] ως πράξη και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με φ =συν- φ =-ημ-6 < [ ] Άρα η φ είναι γνησίως φθίνουσα στο [π]

12 Με άρα η φ γνησίως φθίνουσα στο [π] Έχω Επομένως h< [ ] Άρα ΕΩ= [ h ] d d d d d I J Με Ι= 5 5 d [ ] και J= d ] d [ ] [ d d J J Άρα J J J Επομένως ΕΩ=Ι-J= τ.μ Δ έ

13 6 ή 6 Έ ] [ έ ό ] [ 6 ] [ 6 ά ί ί ή ί έ