Χρωματισμός γραφημάτων

Χρωματισμός γραφημάτων

Εφαρμογές χρωματισμού γραφημάτων Έστω γράφημα G Αποδίδουμε 1 ακριβώς χρώμα σε κάθε κορυφή του G έτσι ώστε κορυφές που συνδέονται με ακμή να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα Αν η διαδικασία αυτή μπορεί να γίνει με το πολύ k χρώματα το γράφημα G λέγεται k χρωματίσιμο (k colorable) Ημικρότερητιμήk για την οποία το γράφημα G είναι k colorable λέγεται χρωματικός αριθμός (chromatic number) του γραφήματος G και συμβολίζεται χ(g) χ(k n ) = n αφού κάθε κορυφή πρέπει να λάβει διαφορετικό χρώμα Αν n άρτιος, χ(z n ) = 2 αφού εναλλάσσουμε 2 χρώματα στον κύκλο Αν n περιττός, x(z n )=3 Π.χ., χρωματισμός του Z 5 με 3 χρώματα: δεν υπάρχει 2 χρωματισμός

Γραφήματα διαδρομών Tour graphs Διαδρομή (tour) ενός αποριμματοφόρου οχήματος είναι το πρόγραμμα των σημείων που επισκέπτεται σε δοσμένη μέρα Το ακόλουθο πρόβλημα πριέκυψε [Beltrami & Bodin (1973), Tucker (1973)] από ένα πρόβλημα που τέθηκε από την υπηρεσία Ύδρευσης/Αποχέτευσης της Νέας Υόρκης Δεδομένης συλλογής διαδρομών αποριμματοφόρων οχημάτων, είναι δυνατόν η ανάθεση μιας διαδρομής σε ημέρα της εβδομάδας (εκτός Κυριακής) έτσι ώστε αν δύο διαδρομές περνούν από το ίδιο σημείο να είναι προγραμματισμένες για διαφορετική ημέρα; Παρόμοια προβλήματα διατυπώθηκαν και για το πρόγραμμα άλλων υπηρεσιών όπως π.χ., διανομή τύπου ή γάλακτος, οδοκαθαρισμός, Το πρόβλημα διατυπώνεται γραφοθεωρητικά ως εξής: Γράφημα διαδρομών (tour graph): κορυφές = οι διαδρομές (tours), υπάρχει ακμή μεταξύ δύο διαδρομών αν περνάνε από το ίδιο σημείο Το πρόβλημα: είναι δυνατόν να ανατεθεί σε κάθε κορυφή (tour) 1 από 6 χρώματα (ημέρες) έτσι ώστε αν δύο διαδρομές συνδέονται με ακμή (περνάνε από το ίδιο σημείο) να λαμβάνουν διαφορετικό χρώμα; είναι το γράφημα διαδρομών (tour graph) 6 χρωματίσιμο (6 colorable);

Προγράμματα Επιτροπών Committee schedules Κάθε μέλος κάποιων νομικών προσώπων μετέχει σε πολλές επιτροπές Πρέπει να δημιουργείται πρόγραμμα συνεδριάσεων των επιτροπών σε εβδομαδιαία βάση Κάθε επιτροπή πρέπει να συνεδριάζει ακριβώς μία φορά αλλά δύο επιτροπές στις οποίες μετέχει το ίδιο μέλος δεν πρέπει να συνεδριάζουν ταυτόχρονα Πόσα διαστήματα συνεδριάσεων απαιτούνται; Για να απαντήσουμε προχωράμε ως εξής: Κατασκευάζουμε γράφημα G στο οποίο κορυφές είναι οι επιτροπές και υπάρχει ακμή μεταξύ δύο επιτροπών αν και μόνον αν τα μέλη τους επικαλύπτονται Επιθυμούμε να αναθέσουμε σε κάθε κορυφή (επιτροπή) ένα χρώμα (διάστημα συνεδρίασης) έτσι ώστε αν δύο κορυφές συνδέονται με ακμή (έχουν κοινό μέλος) να λαμβάνουν διαφορετικά διαστήματα συνεδρίασης Ο ελάχιστος αριθμός διαστημάτων συνεδρίασης είναι ο χρωματικός αριθμός του γραφήματος G Παρόμοιο πρόβλημα ανακύπτει κατά τον προγραμματισμό εξετάσεων σε πανεπιστημιακό τμήμα Οπότε οι επιτροπές αντιστοιχούν στα μαθήματα

Χρωματισμός χαρτών Map coloring Μας δίνεται χάρτης και επιθυμούμε να χρησιμοποιήσουμε συλλογή χρωμάτων για τις χώρες έτσι ώστε κράτη που συνορεύουν να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα Μετατρέπουμε το χάρτη σε γράφημα κάνοντας κάθε κράτος κορυφή και τοποθετώντας ακμή μεταξύ δύο κορυφών όταν τα αντίστοιχα κράτη συνορεύουν Τότε το πρόβλημα χρωματισμού του χάρτη είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα χρωματισμού του γραφήματός του Γνωστή ερώτηση: μπορείκάθε χάρτης να χρωματιστεί με 4 ή λιγότερα χρώματα; Ηαπάντησηείναιθετική[Appel & Haken (1977), Appel, Haken & Koch (1977)] Ισοδύναμη ερώτηση: μπορεί κάθε γράφημα που προκύπτει από χάρτη να χρωματιστεί με 4 χρώματα; Τα γραφήματα που προκύπτουν από χάρτες καλούνται επίπεδα (planar) γραφήματα που μπορούν να ζωγραφιστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους

Υπολογισμός χρωματικού αριθμού Το πρόβλημα υπολογισμού του χρωματικού αριθμού ενός γραφήματος είναι δύσκολο στη γενική περίπτωση Δεν είναι γνωστό αν υπάρχει πολυωνυμικός (ντετερμινιστικός) αλγόριθμος για τον υπολογισμό του χ(g) Το πρόβλημα υπολογισμού του χ(g) ανήκει στην κλάση NP [Stockmeyer (1973)] το πρόβλημα καθορισμού του αν ένα επίπεδο (planar) γράφημα είναι 3 χρωματίσιμο είναι πλήρες στην κλάση NP (NP complete) το ίδιο ισχύει και για το πρόβλημα υπολογισμού του χ(g) [Garey, Johnson & Stockmeyer (1976)] το πρόβλημα καθορισμού της δυνατότητας 3 χρωματισμού σε επίπεδα γραφήματα των οποίων οι κορυφές έχουν το πολύ 4 γειτονικές είναι NP complete τα προβλήματα χρονοπρογραμματισμού διαδρομών αποριμματοφόρων και συνεδριάσεων επιτροπών είναι επίσης δύσκολα αφού αντιστοιχούν σε προβλήματα χρωματισμού Σημείωση: η ακριβής μαθηματική διατύπωση ενός προβλήματος μπορεί να μας διαφωτίσει γιατηδυσκολίατουπροβλήματος

Υπολογισμός χρωματικού αριθμού Εύκολα διαπιστώνουμε σε πολυωνυμικό χρόνο αν ένα γράφημα είναι 2 χρωματίσιμο Ένα γράφημα είναι 2 χρωματίσιμο αν και μόνον αν είναι διμερές Διμερές γράφημα: οι κορυφές του διαμερίζονται σε 2 κλάσειςέτσιώστεόλεςοι ακμές του γραφήματος να είναι μεταξύ κλάσεων Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο DFS έχουμε πολυωνυμικό αλγόριθμο για έλεγχο του αν ένα γράφημα είναι διμερές [Reingold, Nievergelt & Deo (1977]

Calculating the chromatic number [König (1936)] Ένα γράφημα είναι 2 χρωματίσιμο αν και μόνον αν δεν περιέχει κυκλώματα περιττού μήκους ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν το γράφημα G είναι 2 χρωματίσιμο σε κάθε κύκλωμα πρέπει να εναλλάσσονται 2 χρώματα κάθε κύκλωμα έχει άρτιο μήκος Υποθέτουμε ότι κάθε κύκλωμα του G είναι άρτιο Χ.α.γ., υποθέτουμε ότι το G είναι συνεκτικό διαφορετικά εκτελούμε 2 χρωματισμό ξεχωριστάσεκάθεσυνιστώσα Αφού το G είναι συνεκτικό, έστω d(u, v) το μήκος της συντομότερης αλυσίδας μεταξύ των κορυφών u και v Διαλέγουμε αυθαίρετη κορυφή u στο V(G) και ορίζουμε τα σύνολα: A = {v V(G): d(u,v) άρτιος} B = {v V(G): d(u,v) περιττός} u ανήκει στο σύνολο A αφού d(u, u) = 0 Δεν υπάρχουν ακμές μεταξύ κορυφών στην κλάση A ή μεταξύ κορυφών στην κλάση Β Αν υπήρχε τέτοια ακμή θα υπήρχε κλειστή αλυσίδα περιττού μήκους στο G μια συντομότερη τέτοια αλυσίδα θα έπρεπε να ήταν κύκλωμα περιττού μήκους Με παραπλήσιο τρόπο δείχνουμε ότι τα A και B είναι ξένα μεταξύ τους αποτελούν 2 κλάσεις κορυφών σε έναν 2 χρωματισμό

Clique number clique number, ω(g): το μέγεθος της μέγιστης κλίκας στο G O clique number εμφανίζεται σε διάφορες εφαρμογές Π.χ., κοινωνιολογία: είναι εξαιρετικά σημαντικός ο εντοπισμός κλικών σε κοινωνιογράμματα (sociograms) δηλ., γραφήματα που αναπαριστούν κάποια σχέση μεταξύ μελών της ομάδας χ(g) ω(g): αφού κάθε κορυφή μιας κλίκας πρέπει να λάβει διαφορετικό χρώμα χ μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ω Π.χ., χ(z 5 ) = 3 ενώ ω(z 5 ) = 2 Ένα γράφημα λέγεται ασθενώς γ τέλειο (weakly γ perfect) αν χ(g) = ω(g) Z 5 και Z n όπου n περιττός μεγαλύτερος του 3 ΔΕΝ είναι weakly γ perfect Τα γραφήματα Z n καλούνται και περιττές οπές (odd holes) Οόροςγ perfect προκύπτειαπότοότιοσυμβολισμόςγ(g) χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει τον ελάχιστο αριθμό ανεξάρτητων συνόλων στα οποία διαμερίζονται οι κορυφές του G Ισχύει ότι χ(g) = γ(g): οι κορυφές συγκεκριμένου χρώματος αποτελούν τα ανεξάρτητα σύνολα

Clique number Αν ένα γράφημα είναι weakly γ perfect ο χρωματικός του αριθμός μπορεί να υπολογιστεί από το clique number του Αν και ίσως φαίνεται απλούστερο, τοπρόβλημαεντοπισμούτουclique number είναι επίσης δύσκολο (NP hard) Πάντως, με συγκεκριμένους αλγόριθμους ο clique number υπολογίζεται ευκολότερααπότοχρωματικόαριθμό Κατά την επίλυση του tour graph problem ο καθορισμός του χρωματικού αριθμού πρέπει να γίνεται ξανά και ξανά για συνεχώς μεταβαλλόμενο σύνολο διαδρομών Επειδή το σύνολο των διαδρομών μεταβάλλεται bit by bit, το γράφημα διαδρομών αλλάζει μόνον τοποικά Έτσι είναι ευκολότερος ο υπολογισμός clique number γιαταεπόμεναγραφήματααπό προηγούμενα κάνοντας μόνο τοπικές αναζητήσεις ΔΕΝ είναι δυνατόν να υπολογιστεί ο χρωματικός αριθμός επόμενων γραφημάτων από προηγούμενα με τοπικές αναζητήσεις ΓιατολόγοαυτόοTucker (1973) πρότεινε τη χρήση του clique number για τον υπολογισμό του χρωματικού αριθμού Η διαδικασία δουλεύει μόνον αν υπάρχει τρόπος να διαπιστωθεί αν οι δύο αριθμοί είναι οι ίδιοι μόνον αν υπάρχει τρόπος να διαπιστωθεί αν δοσμένο γράφημα είναι weakly γ perfect

Clique number Ένα γράφημα είναι γ perfect αν κάθε υπογράφημά του είναι weakly γ perfect Μεγάλη κλάση γραφημάτων είναι γ perfect ΗιδέαοφείλεταιστονBerge (1961,1962) που διατύπωσε την εικασίαότιέναγράφημαg είναι γ perfect αν και μόνον αν το συμπληρωματικό του είναι γ perfect Ηδήλωσηαυτήγνωστήσανweak Berge conjecture ή weak perfect graph conjecture αποδείχθηκε από το Lovász (1972)

Clique number [Lovász (1972] Ένα γράφημα G είναι γ perfect αν και μόνον αν το συμπληρωματικό του γράφημα είναι γ perfect Επειδή καμιά περιττή οπή (odd hole) δεν είναι weakly y perfect ένα γ perfect γράφημα δεν μπορεί να περιέχει περιττή οπή (odd hole) σαν υπογράφημα και το ίδιο ισχύει και για το συμπληρωματικό του (με βάση το αποτέλεσμα του Lovász) Το αντίστροφο προτάθηκε από τον Berge (1963, 1967, 1969) καικαλείταιισχυρήεικασία του Berge ή strong perfect graph conjecture: Αν ούτε το G ούτε το G` δεν περιέχειπεριττή οπή σας υπογράφημα το γράφημα G είναι γ perfect Ο Tucker (1973) χρησιμοποίησε την ισχυρή εικασία του Berge για τον καθορισμό του αν χ(g) = ω(g) Θετική απάντηση: μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την καλύτερη τοπική μέθοδο για τον υπολογισμό του ω(g) και να χρησιμοποιήσουμε μετά το αποτέλεσμα για τον υπολογισμό του χ(g) Χειρότερο ενδεχόμενο από τη χρήση της εικασίας του Berge στο χρονοπρογραμματισμό των διαδρομών των αποριμματοφόρων είναι να λάβουμε σύνολο διαδρομών που υποτίθεται ότι μπορεί να προγραμματιστεί σε 6 μέρες της εβδομάδας αλλά στην ουσία να μην είναι δυνατόν αυτό θα σήμαινε ότι βρέθηκε αντιπαράδειγμα για την εικασία του Berge! Παρατήρηση: η χρήση της εικασίας του Berge προϋποθέτει την ύπαρξη περιττών οπών Υπάρχουν εκθετικά πολλά κυκλώματα σε ένα γράφημα, π.χ.., το Kn έχει C(n,i) (i 1)! Κυκλώματα μεγέθους i Πάντως, πρέπειναεντοπίσουμεκυκλώματαστογράφημαμόνομετάαπότοπικέςαλλαγέςσεπροηγούμενα γραφήματα

γ perfect graphs Στις ενδιαφέρουσες κατηγορίες γραφημάτων που είναι γ perfect περιέχονται διμερή γραφήματα, transitively orientable graphs, rigid circuit graphs και επομένως και interval graphs και indifference graphs Κάθε rigid circuit graph είναι γ perfect Cutset ή σύνολο άρθρωσης/articulation σε συνεκτικό γράφημα G: σύνολο κορυφών U τέτοιο ώστε το υπογράφημα που παράγεται από τις κορυφές V(G) U να είναι μη συνεκτικό Οι κορυφές a και c αποτελούν articulation set στο διπλανό γράφημα

γ perfect graphs [Hajnal and Surányi (1958)] Σε συνεκτικό άκαμπτο κυκλικό γράφημα (rigid circuit graph) G, κάθε ελάχιστο σύνολο άρθρωσης (minimal articulation set) είναι κλίκα ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω U ελάχιστο articulation set και H το υπογράφημα που παράγεται από τις κορυφές στο σύνολο V(G) U το H περιέχει συνεκτικές συνιστώσες K 1, K 2,, K p με p 2 Δεδομένων κορυφών u και v του U, θα δείξουμε ότι συνδέονται με ακμή στο G Κάθε κορυφή a στο U συνδέεται με ακμή με κάθε K i διαφορετικά το U {a} αποτελεί articulation set που περιέχεται στο U Υπάρχουν κορυφές x και y στο K 1 έτσι ώστε {u,x} και {v,y} να είναι ακμές στο G Επειδή το K 1 είναι συνεκτικό υπάρχει αλυσίδα x 1, x 2,, x r από την x στην y στο K 1 υπάρχει αλυσίδα u, x 1, x 2,, x r,v με x 1, x 2,, x r στο K 1 Έστω C μιατέτοιααλυσίδαμεελάχιστομήκος Έστω C' μια ίδια ελάχιστου μήκους αλυσίδα u, y 1, y 2,, y s v με y 1, y 2,, y s στο K 2 η C ακολουθούμενη από την C' είναι κύκλωμα στο G Επειδή το G είναι rigid circuit graph δενμπορείναπεριέχειτέτοιουπογράφημα πρέπει να υπάρχει κάποια ακμή μεταξύ δύο κορυφών σε αυτό το κύκλωμα Εξαιτίας του ότι οι C και C είναι ελάχιστες δεν υπάρχουν ακμές που να συνδέουν κορυφές στη C εκτός πιθανώς από ακμή από τη u στη v το ίδιο και για την αλυσίδα C Επιπλέον, επειδή K 1 και K 2 διαφορετικέςσυνιστώσεςτουh, δεν υπάρχουν ακμές μεταξύ κορυφών x i και y j η μόνη δυνατή ακμή σε αυτό το κύκλωμα είναι η {u,v}

γ perfect graphs ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ [Berge] Κάθε άκαμπτο κυκλικό γράφημα (rigid circuit graph) G είναι γ perfect ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αρκεί να δείξουμε ότι το G είναι weakly y perfect αφού κάθε υπογράφημα ενός rigid circuit graph είναι επίσης κύκλωμα Αρκεί επίσης να υποθέσουμε ότι το G είναι συνεκτικό ΑποδεικνύουμεμεεπαγωγήστοπλήθοςτωνκορυφώντουG Βασική περίπτωση: G έχει μόνον 1 κορυφή trivial Επαγωγική υπόθεση: έστω ότι το συμπέρασμα ισχύει για γραφήματα με λιγότερες κορυφές από το G Αν το G είναι πλήρες: το συμπέρασμα ισχύει πάντα Αν το G δεν είναι πλήρες υπάρχει ζεύγος κορυφών a και b χωρίς ακμή μεταξύ τους και επομένως όλες οι υπόλοιπες κορυφές αποτελούν articulation set Έστω U ένα ελάχιστο articulation set Έστω K1, K2,, Kp οι συνεκτικές συνιστώσες στο υπογράφημα που παράγεται από τις κορυφές V(G) U και έστω Gi το γράφημα που παράγεται από τις κορυφές των U και Ki Επειδή το U είναι κλίκα δείχνουμε ότι χ(g) = max χ(gi) και ω(g) = max ω(gi) Λόγω της επαγωγικής υπόθεσης χ(gi)=ω(gi) για κάθε i θαπρέπειναισχύεικαιχ(g)=ω(g) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Κάθε γράφημα διαστημάτων (interval graph) είναι γ perfect

Πολυχρωματισμοί Multicolorings Ένα n tuple coloring για γράφημα G είναι μια ανάθεση χρώματος από ένα σύνολο S(x) με n διαφορετικά χρώματα σε κάθε κορυφή του G έτσι ώστε αν {x,y} ακμή του G τότε τα S(x) και S(y) είναι ξένα μεταξύ τους Αν US(x) είναι σύνολο με k στοιχεία, το n tuple coloring χρησιμοποιεί k χρώματα Δεδομένου του n, το μικρότερο k ώστε να υπάρχει n tuple coloring με k χρώματα για το G λέγεται n χρωματικός αριθμός (n chromatic number) του G και συμβολίζεται X n (G) Έχει μελετηθεί από Clarke & Jamison (1976), Garey & Johnson (1976), Scott (1975), Stahl (1976), Chvátal, Garey & Johnson (1976) Παράδειγμα: Αν I p είναι το γράφημα που αποτελείται από p απομονωμένες κορυφές τότε χ n (I p )=n αφού κάθε κορυφή μπορεί να λάβει το ίδιο σύνολο n χρωμάτων Αν G είναι διμερές γράφημα με τουλάχιστον 1 ακμή τότε χ n (G)=2n αφούκάθεκορυφήστην ίδια κλάση μπορεί να λάβει τα ίδια n χρώματα αλλά κορυφές που συνδέονται με ακμή πρέπει να λάβουν ξένα μεταξύ τους σύνολα χρωμάτων Σχήμα: 2 tuple coloring με 5 χρώματα για το γράφημα Z 5

Πολυχρωματισμοί Multicolorings Ηιδέατουn tuple coloring προέκυψε από το πρόβλημα ανάθεσης συχνοτήτων στην κινητή τηλεφωνία Αρχικά κατασκευάζεται ένα conflict graph όπου κορυφές = ζώνες, ακμές = παρεμβολές μεταξύ ζωνών Ζητούμενο: ανάθεση δέσμης συχνοτήτων B(i) σεκάθεζώνηi έτσι ώστε αν υπάρχει ακμή μεταξύ των i και j τότε θα πρέπει B(i) B(j) = Φανταζόμαστε τις δέσμες συχνοτήτων σαν διαστήματα ή σαν ένωση διαστημάτων και απαιτούμαι να έχουν συγκεκριμένο ελάχιστο μέγεθος Αν υποθέσουμε ότι τα διαστήματα έχουν το ίδιο μήκος ή το ίδιο άθροισμα μηκών μπορούμε να τα χειριστούμε σαν διακριτά σύνολο, π.χ., n ακεραίων Τότε η ανάθεση δεσμών συχνοτήτων χωρίς παρεμβολές αντιστοιχεί σε ένα n tuple coloring του conflict graph

Πολυχρωματισμοί Multicolorings Έχει ενδιαφέρον ο συσχετισμός του n χρωματικού αριθμού με το χρωματικό αριθμό [Harary (1959b)] lexicographic product G[H] of two graphs Σύνολο κορυφών: καρτεσιανό γινόμενο V(G) x V(H) Υπάρχει ακμή από την (a,b) στην (c,d) αν και μόνον αν {a,c} είναι ακμή του G ή a = c and {b, d} είναι ακμή του H [Stahl (1976)] χ n (G) = χ(g[k n ])

Πολυχρωματισμοί Multicolorings Παρατηρήσεις για το G[H] α(g): μέγεθος του μέγιστου ανεξάρτητου συνόλου (independent set) κορυφών του G Ισχύουν τα εξής: (1) G[H] c = G c [H c ] (2) ω(g[h]) = ω(g)ω(h) (3) α(g[h]) = α(g)α(h) (4) χ(g[h]) χ(g)χ(h)

Πολυχρωματισμοί Multicolorings Παρατηρήσεις για το G[H] α(g): μέγεθος του μέγιστου ανεξάρτητου συνόλου (independent set) κορυφών του G Ισχύουν τα εξής: (1) G[H] c = G c [H c ] (2) ω(g[h]) = ω(g)ω(h) (3) α(g[h]) = α(g)α(h) (4) χ(g[h]) χ(g)χ(h) ΑΠΟΔΕΙΞΗ (1) προκύπτει από τον ορισμό (3) προκύπτει από τα (1) και (2) δεδομένου ότι για κάθε γράφημα Γ ισχύει α(γ) = ω(γ c )

Πολυχρωματισμοί Multicolorings Απόδειξη για (2) ω(g[h]) = ω(g)ω(h) Αν K είναι μέγιστη κλίκα στο G και L μέγιστη κλίκα στο H K x L είναι κλίκα στο G[H] οπότε ω(g[h]) ω(g)ω(h) Αντίστροφα, έστω C κλίκα στο G[H] Έστω K = {α: (α,b) C για κάποιο b} αν a c ανήκει στο K υπάρχουν b και d τέτοια ώστε (α,b) και (c,d) να ανήκουν στο C Αφού C είναι κλίκα η {α,c} είναι ακμή του G K είναι κλίκα του G Για κάθε α στο K, τοπλήθοςτωνφορώνπουέναζεύγοςτηςμορφής(α,x) εμφανίζεται στο C είναι το πολύ ω(h) ICI IKI x ω(h) ω(g)ω(h)

Πολυχρωματισμοί Multicolorings Απόδειξη για (4) χ(g[h]) χ(g)χ(h) Θα χρησιμοποιήσουμε το ότι χ = γ και θα αποδείξουμε το αποτέλεσμα για το γ Έστω I1, I2,, Ip και J1, J2,, Jq ανεξάρτητα σύνολα που διαμερίζουν τα σύνολα V(G) και V(H) αντίστοιχα και ισχύει p = γ(g), q = γ(h) τα I α xj β είναι ανεξάρτητα σύνολα στο G[H] και διαμερίζουν το V(G[H]) Παρατήρηση: μπορεί να ισχύει αυστηρή ανισότητα στο (4) Π.χ., αν G είναι το Z 5 και H είναι το K 2 τότε χ(g[h]) = 5 που είναι μικρότερο απότοχ(g)χ(h)=6

Πολυχρωματισμοί Multicolorings Αν G είναι weakly γ perfect τότε χ n (G) = nχ(g) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ισχύει ω(g[k n ]) = nω(g) Ισχύει χ(g[k n ]) nχ(g) Αφού G είναι weakly γ perfect ισχύει χ(g) = ω(g) X(G[K n ]) nχ(g) = nω(g) = ω(g[k n ]) Επειδή για κάθε γράφημα ισχύει χ ω προκύπτει η δήλωση ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Αν G είναι weakly γ perfect τότε και το G[K n ] είναι επίσης weakly γ perfect Το πρώτο ενδιαφέρον γράφημα που δεν είναι γ perfect και επομένως δεν ισχύει για τον n χρωματικό αριθμό του ότι χ n (G) = nχ(g) είναι το Z 5 [Stahl (1976)] χ n (Z 2p+1 ) = 2n+1+[(n 1)/p] [x] είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος μικρότερος ή ίσος με το x

Πολυχρωματικός αριθμός Multichromatic number [Hilton, Rado, Scott (1973)] ο πολυχρωματικός αριθμός χ*(g) ορίζεται ως χ*(g) = inf {k/r: υπάρχει r tuple coloring με k χρώματα για το G } Ισχύει χ*(g) = inf {χ r (G)/r} [Stahl (1976)] ένα n tuple coloring του G με k χρώματα είναι αποδοτικό αν k/n χ r (G)/r για r 1 Ένας χρωματισμός είναι αποδοτικός αν ο λόγος των χρωμάτων που χρησιμοποιούνται προς τα χρώματα που χρησιμοποιεί η κάθε κορυφή είναι ελάχιστος σε έναν αποδοτικό χρωματισμό k/n = χ*(g) [Clarke & Jamison (1976)] πάντα υπάρχει αποδοτικός χρωματισμός, δηλ., πάντα είναι εφικτό το ελάχιστο στη σχέση χ*(g) = inf {χ r (G)/r} Αν το γράφημα G είναι weakly y perfect τότε χ*(g)=χ(g) και υπάρχει αποδοτικό 1 tuple coloring για το G