Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
|
|
- Ἀριστομάχη Πρωτονοτάριος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος
2 Σχετικά με το Μάθημα Ώρες γραφείου: Δευτέρα Παρασκευή (9:00 5:00) Ώρες επικοινωνίας: Οποιαδήποτε ώρα Ώρες Μαθήματος: Δευτέρα 3:00-6:00 (Αίθουσα I2) Τρίτη 3:00-4:00 (Αίθουσα Ι2) - Δικτυακός Τόπος: stavros@cs.uoi.gr Τρόπος Εξέτασης: Περίοδος Φεβρουαρίου 2
3 Ιστορικά 1736 Euler, γέφυρες Koenigsburg Leonhard Euler ( ) o Μεγάλος μαθηματικός o 73 τόμοι δημοσιεύσεων 3
4 Ιστορικά 1736 Euler, γέφυρες Koenigsburg 1847 Kirchoff, δένδρα, ηλεκτρικά δίκτυα 1847 Cayley, δένδρα, ισομερή υδρογονανθράκων C n H 2n Cayley - De Morgan - Moebius, χρωματισμός με 4 χρώματα 1859 Hamilton, δωδεκάεδρο 1936 Tο πρώτο βιβλίο 4
5 Ιστορικά Γέφυρες Konigsberg 1736 Euler, γέφυρες Koenigsburg Σημερινό Ρωσικό Kaliningrad (στη Βαλτική μεταξύ Λιθουανίας και Πολωνίας) Χάρτης των επτά γεφυρών του Konigsberg (χρονολογείται τον 17ο αιώνα) 5
6 Ιστορικά Γέφυρες Konigsberg Μπορούμε να ξεκινήσουμε από ένα σημείο Α και να επιστρέψουμε στο Α, έχοντας περάσει από κάθε γέφυρα μία και μόνο-μία φορά 6
7 Ιστορικά Γέφυρες Konigsberg 7 Γέφυρες 7
8 Μοντελοποίηση Προβλήματος 8
9 Μοντελοποίηση Προβλήματος Παρατήρηση Το γράφημα έχει τρεις (3) κόμβους περιττού βαθμού 9
10 Γραφήματα Euler 10
11 Γραφήματα Euler 11
12 Γραφήματα Euler Χωρίς να το υπολογίσεις, βρες αν το παρακάτω γράφημα έχει διαδρομή Euler 12
13 Γραφήματα Euler Γράφημα έχει μόνο δύο (2) κόμβους περιττού βαθμού, επομένως ΝΑΙ έχει διαδρομή Euler 2 κόμβοι περιττού βαθμού 13
14 Μη κατευθυνόμενα Γραφήματα G = (V, E) V = {1, 2, 3, 4} 4 E = {(1,2), (1,4), (2,3), (2,4)} 14
15 Μη κατευθυνόμενα Γραφήματα 2 1 G = (V, E) 3 4 V = {1, 2, 3, 4} E = {(1,2), (1,4), (2,3), (2,4)} 15
16 Κατευθυνόμενα Γραφήματα G = (V, E) V = {1, 2, 3, 4} 4 E = {(1,2), (2,3), (2,4), (4,1), (4,2)} 16
17 Κατευθυνόμενα Γραφήματα V = {1, 2, 3, 4} G = (V, E) 4 E = {(1,2), (2,3), (2,4), (4,1), (4,2)} 17
18 Κατευθυνόμενα Γραφήματα V = {1, 2, 3, 4} G = (V, E) 4 E = {(1,2), (2,3), (2,4), (4,1), (4,2)} 18
19 Έμβαρα Γραφήματα (weighted)
20 Γραφήματα Τομής Έστω μια οικογένεια F μη-κενών συνόλων S 1, S 2,, S n Το γράφημα τομής V της οικογένειας F (intersection graph) είναι ένα γράφημα τάξης n με σύνολο κόμβων V(G) = {v 1, v 2,, v n }, και σύνολο ακμών E(G), το οποίο δημιουργείται: αντιστοιχώντας κάθε κόμβο του G σε ένα σύνολο της οικογένειας και ενώνοντας δύο κόμβους και με ακμή εάν και μόνο εάν η τομή των αντίστοιχων συνόλων και είναι μη-κενή, δηλαδή, (v i, v j ) Ε(G) S i S j 20
21 Γραφήματα Τομής Γραφήματα διαστημάτων 21
22 Γραφήματα Τομής Γραφήματα κυκλικών-τόξων 22
23 Γραφήματα Τομής Τριγωνικά γραφήματα 23
24 Γραφήματα Τομής Μεταθετικά γραφήματα 24
25 Εφαρμογές Θεωρία Γραφημάτων 1 Συνδεσμικότητα A B Μπορώ να πετάξω από την πόλη Α στην πόλη Β με την εταιρεία X; Υπάρχει μονοπάτι από την πόλη Α στην πόλη Β στο δίκτυο της; 25
26 Εφαρμογές Θεωρία Γραφημάτων 2 Λειτουργία δικτύων A B A B C D C D Μπορώ να πάω από κάθε κόμβο σε κάθε άλλον; Βλάβη 26
27 Εφαρμογές Θεωρία Γραφημάτων 3 Συντομότερη διαδρομή A B Ποια είναι η συντομότερη διαδρομή από την πόλη Α στην πόλη Β με την εταιρεία; Ποιο μονοπάτι από την πόλη Α στην πόλη Β έχει το μικρότερο βάρος; 27
28 Εφαρμογές Θεωρία Γραφημάτων 4 GPS Navigation Εύρεση Ελαχίστων Διαδρομών 28
29 Εφαρμογές Θεωρία Γραφημάτων 5 Επιπεδικότητα Σύνδεσε όλα τα σπίτια με τις παροχές χωρίς να διασταυρωθούν οι συνδέσεις ΔΕΗ ΟΤΕ ΔΕΥΑΙ 29
30 Εφαρμογές Θεωρία Γραφημάτων 5 Επιπεδικότητα Σπίτι 2 με ΟΤΕ; 30
31 Εφαρμογές Θεωρία Γραφημάτων 5 Επιπεδικότητα Σπίτι 2 με ΟΤΕ; 31
32 Εφαρμογές Θεωρία Γραφημάτων 5 Επιπεδικότητα Μπορεί ένα γράφημα να σχεδιασθεί ώστε να μην υπάρχουν τεμνόμενες ακμές; 32
33 Εφαρμογές Θεωρία Γραφημάτων 6 Ελάχιστα Γενετικά Δένδρα Ποιο δίκτυο διαδρομών είναι το ασφαλέστερο; (κίνδυνος από μεγάλες διαδρομές στη θάλασσα) 33
34 Εφαρμογές Θεωρία Γραφημάτων Ελάχιστα Γενετικά Δένδρα 6 A 4 10 D 3 G B C E F 1 34
35 Εφαρμογές Θεωρία Γραφημάτων 6 Ελάχιστα Γενετικά Δένδρα A D G C B F E 35
36 Εφαρμογές Θεωρία Γραφημάτων 7 Περίπατος του Ιππότη/Αλόγου (διαδρομή Hamilton) 36
37 Εφαρμογές Θεωρία Γραφημάτων 8 Χάρτες (χρωματισμός) Πως μπορώ να χρωματίσω κάθε χώρα (νομό) ώστε γειτονικοί νομοί να μην έχουν ίδιο χρώμα; Πόσα χρώματα χρειάζονται στο ελάχιστο; 37
38 Εφαρμογές Θεωρία Γραφημάτων 9 Κοινωνικά δίκτυα (small-world Phenomena) 38
39 Εφαρμογές Θεωρία Γραφημάτων 10 Έστω ότι έχουμε C 1, C 2,, C n φάρμακα, και έστω [x i, x i ] είναι η θερμοκρασία συντήρησης του φαρμάκου C i, 1 i n; Θέλουμε η θερμοκρασία Τ του ψυγείου για την συντήρηση max πλήθος φαρμάκων Έστω ότι στο πλανήτη Γη έχουν εμφανιστεί έως σήμερα Π 1, Π 2,, Π n πολιτισμοί, και έστω [t i, t i ] είναι η χρονική περίοδος εμφάνισης του πολιτισμού Π i, 1 i n; Θέλουμε το έτος Χ στο οποίο εμφανίστηκε max πλήθος πολιτισμών πάνω στη Γη 39
40 Αλγόριθμοι Θεωρίας Γραφημάτων Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι (Γραμμικοί) Προβλήματα: NP-Πλήρη Επιλογές Προσέγγιση Λύσης Περιορισμοί Ιδιοτήτων Τέλεια Γραφήματα, 40
41 Κλάσεις Τέλειων Γραφημάτων 41 41
42 Κλάσεις Τέλειων Γραφημάτων 42
43 Αλγόριθμοι και Γραφήματα Αλγοριθμική θεωρία γραφημάτων Πολυπλοκότητα χώρου και χρόνου Συμβολισμός Ο Ανάλυση μέσης και χειρότερης περίπτωσης 43
44 Αλγόριθμοι και Γραφήματα Αλγοριθμική θεωρία γραφημάτων Πολυπλοκότητα χώρου και χρόνου Συμβολισμός Ο Ανάλυση μέσης και χειρότερης περίπτωσης 44
45 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων Βασικοί Αλγόριθμοι Γραφημάτων Πολυπλοκότητα χώρου και χρόνου: Ο και Ω Τέλεια Γραφήματα Κλάσεις Ιδιότητες Προβλήματα Coloring Max Clique Max Stable Set Clique Cover Matching Hamiltonian Path Hamiltonian Cycle Τεχνικές Διάσπασης (modular decomposition, ) Αλγόριθμοι Προβλημάτων Αναγνώρισης και Βελτιστοποίησης Triangulated Comparability Interval Permutation Split Cographs Threshold graphs QT graphs 45
46 Μοντελοποίηση 46
47 Πρόβλημα - Γράφημα 47
48 Πρόβλημα - Γράφημα 48
49 Γράφημα - Αλγόριθμος
50 NP-πλήρη Προβλήματα Δύσκολα & Εύκολα Προβλήματα Δύσκολα Προβλήματα Εύκολα Προβλήματα 3SAT TSP ΜΕΓΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ ΣΑΚΙΔΙΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ILP ΔΙΑΔΡΟΜΗ HAMILTON 2SAT MST EΛΑΧΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ ΜΟΝΑΔΙΑΙΟ ΣΑΚΙΔΙΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕ ΔΕΝΔΡΑ LP ΔΙΑΔΡΟΜΗ EULER 50
51 NP-πλήρη Προβλήματα Δύσκολα & Εύκολα Προβλήματα Δύσκολα Προβλήματα Εύκολα Προβλήματα 3SAT TSP ΜΕΓΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ ΣΑΚΙΔΙΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ILP ΔΙΑΔΡΟΜΗ HAMILTON Όλα τα προβλήματα εδώ λύνονται αποδοτικά με αλγορίθμους: Δυναμικού προγραμματισμού Αναζήτησης σε γραφήματα Άπληστων τεχνικών Ροών Γραμμικού προγραμματισμού 51
52 NP-πλήρη Προβλήματα Δύσκολα & Εύκολα Προβλήματα Δύσκολα Προβλήματα 3SAT TSP ΜΕΓΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ ΣΑΚΙΔΙΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ILP ΔΙΑΔΡΟΜΗ HAMILTON 3SAT Μας δίδεται ένας λογικός τύπος (Boolean formula) σε συζευκτική μορφή: (x y z) (w y) (y z) (x y z) και μας ζητείται είτε να βρούμε μια ικανοποιούσα ανάθεση τιμών αληθείας (satisfying truth assignment) ή να αναφέρουμε ότι δεν υπάρχει καμία 52
53 NP-πλήρη Προβλήματα Δύσκολα & Εύκολα Προβλήματα Δύσκολα Προβλήματα ΔΙΑΔΡΟΜΗ HAMILTON 3SAT TSP ΜΕΓΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ ΣΑΚΙΔΙΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ILP ΔΙΑΔΡΟΜΗ HAMILTON 53
54 NP-πλήρη Προβλήματα Δύσκολα & Εύκολα Προβλήματα Δύσκολα Προβλήματα ΔΙΑΔΡΟΜΗ HAMILTON 3SAT TSP ΜΕΓΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ ΣΑΚΙΔΙΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ILP ΔΙΑΔΡΟΜΗ HAMILTON 54
55 NP-πλήρη Προβλήματα Δύσκολα & Εύκολα Προβλήματα Δύσκολα Προβλήματα Εύκολα Προβλήματα Θλιβερή Αντίθεση Τα προβλήματα εδώ είναι όλα δύσκολα, όλα για τον ίδιο λόγο Στη βάση τους είναι όλα το ίδιο πρόβλημα με διαφορετικές μεταμφιέσεις Όλα τα προβλήματα εδώ λύνονται αποδοτικά με αλγορίθμους: Δυναμικού προγραμματισμού Αναζήτησης σε γραφήματα Άπληστων τεχνικών Ροών Γραμμικού προγραμματισμού 55
56 NP-πλήρη Προβλήματα Δύσκολα & Εύκολα Προβλήματα Δύσκολα Προβλήματα Εύκολα Προβλήματα Θλιβερή Αντίθεση Τα προβλήματα εδώ είναι όλα δύσκολα, όλα για τον ίδιο λόγο Στη βάση τους είναι ίδιο πρόβλημα NP-πλήρη όλα το Όλα τα προβλήματα εδώ λύνονται αποδοτικά με αλγορίθμους: Δυναμικού προγραμματισμού Αναζήτησης σε γραφήματα Άπληστων τεχνικών Ροών Γραμμικού προγραμματισμού 56
57 NP-πλήρη Προβλήματα P και NP Γνωρίζουμε τι είναι ένα Πρόβλημα Αναζήτησης Χαρακτηριστικό: Οποιαδήποτε προτεινόμενη λύση μπορεί να ελεγχθεί γρήγορα για την ορθότητά της 57
58 NP-πλήρη Προβλήματα P και NP Γνωρίζουμε τι είναι ένα Πρόβλημα Αναζήτησης Χαρακτηριστικό: Οποιαδήποτε προτεινόμενη λύση μπορεί να ελεγχθεί γρήγορα για την ορθότητά της NP Συμβολίζουμε την κλάση ΌΛΩΝ των ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ που μια Λύση τους Ελέγχεται σε ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟ ΧΡΟΝΟ με NP 58
59 NP-πλήρη Προβλήματα P και NP ΠΟΛΛΑ πρόβλημα αναζήτησης NP μπορούν να λυθούν σε πολυωνυμικό χρόνο NP 59
60 NP-πλήρη Προβλήματα P και NP ΠΟΛΛΑ πρόβλημα αναζήτησης NP μπορούν να λυθούν σε πολυωνυμικό χρόνο NP P Συμβολίζουμε την κλάση ΌΛΩΝ των ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ που Μπορούν να Λυθούν σε ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟ ΧΡΟΝΟ με P 60
61 NP-πλήρη Προβλήματα P και NP ΕΡΩΤΗΜΑ Πόσα ΠΟΛΛΑ πρόβλημα αναζήτησης NP υπάρχουν που μπορούν να λυθούν σε πολυωνυμικό χρόνο NP NP NP NP NP NP 61
62 NP-πλήρη Προβλήματα P και NP ΕΡΩΤΗΜΑ Πόσα ΠΟΛΛΑ πρόβλημα αναζήτησης NP υπάρχουν που μπορούν να λυθούν σε πολυωνυμικό χρόνο NP P 62
63 NP-πλήρη Προβλήματα P και NP ΕΡΩΤΗΜΑ Μήπως ΟΛΑ τα πρόβλημα αναζήτησης NP μπορούν να λυθούν σε πολυωνυμικό χρόνο NP P 63
64 NP-πλήρη Προβλήματα P και NP ΕΡΩΤΗΜΑ Μήπως ΟΛΑ τα πρόβλημα αναζήτησης NP μπορούν να λυθούν σε πολυωνυμικό χρόνο P = NP Το Μεγάλο Ερώτημα της Επιστήμης μας 64
65 NP-πλήρη Προβλήματα Το Μεγάλο Ερώτημα Ισχύει P NP P NP Οι περισσότεροι ερευνητές αλγορίθμων πιστεύουν πως Ναι Ωστόσο... δεν υπάρχει απόδειξή... και η απόδειξη φαίνεται εξαιρετικά δύσκολη 65
66 NP-πλήρη Προβλήματα P και NP Εάν δεχθούμε ότι ισχύει : P NP NP P Αύξουσα Δυσκολία 66
67 NP-πλήρη Προβλήματα P και NP Εάν δεχθούμε ότι ισχύει : P NP Τι ισχύει για τα προβλήματα αναζήτησης του αριστερού πίνακα 3SAT 2SAT Υπάρχουν ενδείξεις ότι αυτά είναι ιδιαίτερα προβλήματα και ότι δεν έχουν αποδοτικούς αλγορίθμους επίλυσης TSP ΜΕΓΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ ΣΑΚΙΔΙΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ILP ΔΙΑΔΡΟΜΗ HAMILTON MST EΛΑΧΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ ΜΟΝΑΔΙΑΙΟ ΣΑΚΙΔΙΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕ ΔΕΝΔΡΑ LP ΔΙΑΔΡΟΜΗ EULER Τέτοιες ενδείξεις παρέχουν οι Αναγωγές 67
68 NP-πλήρη Προβλήματα Αναγωγές Α Β Α Β Αλγόριθμος για το Α x προεπεξεργασία y Αλγόριθμος για το Β Β(y) μετεπεξεργασία Α(x) ΤΕΛΕΙΑ-ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗ-ΡΟΗ ΤΙΜΗ-ΚΥΚΛΩΜΑΤΟΣ LP
69 NP-πλήρη Προβλήματα NP και NP-πλήρη Εάν δεχθούμε ότι ισχύει : P NP, τότε ορίζουμε την κλάση των δυσκολότερων προβλημάτων αναζήτησης P NP ΝP-πλήρη Αύξουσα Δυσκολία Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι NP-πλήρες (NP-complete) εάν ΌΛΑ ΤΑ ΆΛΛΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤA ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ σε αυτό 69
70 NP-πλήρη Προβλήματα NP και NP-πλήρη Αυτή είναι μια πολύ ισχυρή απαίτηση NP Για να είναι ένα πρόβλημα NP-πλήρες πρέπει να είναι Χρήσιμο για την επίλυση κάθε προβλήματος στον Κόσμο P Αύξουσα Δυσκολία ΝP-πλήρη Είναι εντυπωσιακό, αλλά... Υπάρχουν τέτοια προβλήματα (3SAT, TSP, MΕΓΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ, ) 70
71 NP-πλήρη Προβλήματα NP και NP-πλήρη Ισχύει : NP Όλα τα NP-πλήρη πρόβλημα ανάγονται το ένα στο άλλο P Αύξουσα Δυσκολία ΝP-πλήρη SAT Q R Και, όλα τα NP προβλήματα ανάγονται στα NP-πλήρη ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP SAT 71
72 NP-πλήρη Προβλήματα P, NP και NP-πλήρη Εάν P NP NP P ΝP-πλήρη Αύξουσα Δυσκολία Μια Σχηματική Παρουσίαση 72
73 NP-πλήρη Προβλήματα P, NP και NP-πλήρη Εάν P NP NP P ΝP-πλήρη Αύξουσα Δυσκολία ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP SAT Q R 73
74 NP-πλήρη Προβλήματα P, NP και NP-πλήρη Εάν P NP NP P ΝP-πλήρη Αύξουσα Δυσκολία ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP SAT Q R 74
75 NP-πλήρη Προβλήματα P, NP και NP-πλήρη Εάν P NP NP P ΝP-πλήρη Αύξουσα Δυσκολία ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP SAT Q R 75
76 Αναγωγές Προβλημάτων NP Α Β Α Β ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP SAT 3 SAT ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ-ΣΥΝΟΛΟ ΖΟΕ ΚΟΜΒΙΚΗ-ΚΑΛΥΨΗ ΚΛΙΚΑ AΘΡΟΙΣΜΑ-ΥΠΟΣΙΝΟΛΟΥ ILP ΚΥΚΛΟΣ-HAMILTON TSP Θα Δείξουμε μέσω Αναγωγών 76
77 Αναγωγές Προβλημάτων NP Α Β Α Β ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP SAT 3 SAT ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ-ΣΥΝΟΛΟ ΖΟΕ ΚΟΜΒΙΚΗ-ΚΑΛΥΨΗ ΚΛΙΚΑ AΘΡΟΙΣΜΑ-ΥΠΟΣΙΝΟΛΟΥ ILP ΚΥΚΛΟΣ-HAMILTON TSP Θα Δείξουμε μέσω Αναγωγών 77
78 Αναγωγές Προβλημάτων NP Α Β Α Β ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP SAT 3 SAT ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ-ΣΥΝΟΛΟ ΖΟΕ ΚΟΜΒΙΚΗ-ΚΑΛΥΨΗ ΚΛΙΚΑ AΘΡΟΙΣΜΑ-ΥΠΟΣΙΝΟΛΟΥ ILP ΚΥΚΛΟΣ-HAMILTON TSP Θα Δείξουμε μέσω Αναγωγών 78
79 Αναγωγές Προβλημάτων NP Α Β Α Β ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP SAT 3 SAT ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ-ΣΥΝΟΛΟ ΖΟΕ ΚΟΜΒΙΚΗ-ΚΑΛΥΨΗ ΚΛΙΚΑ AΘΡΟΙΣΜΑ-ΥΠΟΣΙΝΟΛΟΥ ILP ΚΥΚΛΟΣ-HAMILTON TSP Θα Δείξουμε μέσω Αναγωγών 79
80 Αναγωγές Προβλημάτων NP Α Β Α Β ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP SAT 3 SAT ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ-ΣΥΝΟΛΟ ΖΟΕ ΚΟΜΒΙΚΗ-ΚΑΛΥΨΗ ΚΛΙΚΑ AΘΡΟΙΣΜΑ-ΥΠΟΣΙΝΟΛΟΥ ILP ΚΥΚΛΟΣ-HAMILTON TSP Θα Δείξουμε μέσω Αναγωγών 80
81 Αναγωγές Προβλημάτων NP Α Β Α Β ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP SAT 3 SAT ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ-ΣΥΝΟΛΟ ΖΟΕ ΚΟΜΒΙΚΗ-ΚΑΛΥΨΗ ΚΛΙΚΑ AΘΡΟΙΣΜΑ-ΥΠΟΣΙΝΟΛΟΥ ILP ΚΥΚΛΟΣ-HAMILTON TSP Θα Δείξουμε μέσω Αναγωγών 81
82 Αναγωγές Προβλημάτων NP Α Β Α Β ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP SAT 3 SAT ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ-ΣΥΝΟΛΟ ΖΟΕ ΚΟΜΒΙΚΗ-ΚΑΛΥΨΗ ΚΛΙΚΑ AΘΡΟΙΣΜΑ-ΥΠΟΣΙΝΟΛΟΥ ILP ΚΥΚΛΟΣ-HAMILTON TSP Θα Δείξουμε μέσω Αναγωγών 82
83 Αναγωγές Προβλημάτων NP Α Β Α Β ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP SAT 3 SAT ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ-ΣΥΝΟΛΟ ΖΟΕ ΚΟΜΒΙΚΗ-ΚΑΛΥΨΗ ΚΛΙΚΑ AΘΡΟΙΣΜΑ-ΥΠΟΣΙΝΟΛΟΥ ILP ΚΥΚΛΟΣ-HAMILTON TSP Θα Δείξουμε μέσω Αναγωγών
Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών Μετασχηματισμοί Υπολογιστικών Προβλημάτων Αναγωγές και Πληρότητα Προσαρμογή από
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10.0 Μετασχηματισμοί Υπολογιστικών Προβλημάτων Αναγωγές NP-πληρότητα Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage:
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.1 Βασικοί Αλγόριθμοι Γραφημάτων Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Αλγοριθμική Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΚλάσεις Πολυπλοκότητας
Κλάσεις Πολυπλοκότητας Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Κλάσεις Πολυπλοκότητας 1 Οι κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP P: Polynomial ΗκλάσηP περιλαμβάνει όλα τα υπολογιστικά προβλήματα που μπορούν
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 1: Εισαγωγή στη Θεωρία Γράφων Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 7 ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Χρωματισμός κορυφών-ακμών-περιοχών. Χρωματική τάξη (color class):
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 3 ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ & ΚΥΚΛΟΙ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Περίπατος Ίχνος - Διαδρομή Περίπατος (walk) Ίχνος (trail) Διαδρομή
Διαβάστε περισσότεραNP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
NP-πληρότητα Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πολυωνυμικός μετασχηματισμός Ένας πολυωνυμικός μετασχηματισμός από την L 1 Σ 1 * στην L 2 Σ 2 * είναι μια συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 6 Γραμμικός Προγραμματισμός Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο
Διαβάστε περισσότεραΚατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π
Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός
Διαβάστε περισσότεραβασικές έννοιες (τόμος Β)
θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 1 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.4, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα 1. Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 9 P vs NP 1 / 13 Δυσκολία επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων Κάποια προβλήματα είναι εύκολα να λυθούν με
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα
Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 8 ΤΕΛΕΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Βασικοί Αλγόριθμοι Γραφημάτων Πολυπλοκότητα χώρου και χρόνου:
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι: κατευθυνόμενοι και μη
Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη (V,E ) (V,E ) Γράφος (ή γράφημα): ζεύγος (V,E), V ένα μη κενό σύνολο, Ε διμελής σχέση πάνω στο V Μη κατευθυνόμενος γράφος: σχέση Ε συμμετρική V: κορυφές (vertices), κόμβοι
Διαβάστε περισσότεραΚλάση NP, NP-Complete Προβλήματα
Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα Βαγγέλης ούρος douros@aueb.gr 1 11/6/2012 Αλγόριθμοι, Εαρινό Εξάμηνο 2012, Φροντιστήριο #14 Προβλήματα Απόφασης & Βελτιστοποίησης 2 Πρόβλημα Απόφασης: Κάθε πρόβλημα που
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 2005 Σύνολο μονάδων: 91
Ε.Μ.Πoλυτεχνείο ΣΗΜΜΥ, ΣΕΜΦΕ Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Διδάσκων: Ε.Ζαχος Ονοματεπώνυμο:... Αριθμός Μητρώου:... Σχολή:... εξάμηνο:... ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 005 Σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Ενότητα 7.0 Αλγόριθμοι Γραφημάτων Διερεύνηση Γραφημάτων
Διαβάστε περισσότεραChapter 9: NP-Complete Problems
Θεωρητική Πληροφορική Ι: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Chapter 9: NP-Complete Problems 9.3 Graph-Theoretic Problems (Συνέχεια) 9.4 Sets and Numbers Γιώργος Αλεξανδρίδης gealexan@mail.ntua.gr Κεφάλαιο 9:
Διαβάστε περισσότεραΤομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα
Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα ΔΕΝΔΡΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Ένα γράφημα G είναι δένδρο αν: 1. Είναι συνδεδεμένο και δεν έχει κύκλους.
Διαβάστε περισσότεραNP-complete problems. IS, 4-Degree IS,CLIQUE, NODE COVER, MAX CUT, MAX BISECTION, BISECTION WIDTH. NP-complete problems 1 / 30
NP-complete problems IS, 4-Degree IS,CLIQUE, NODE COVER, MAX CUT, MAX BISECTION, BISECTION WIDTH Καλογερόπουλος Παναγιώτης (ΜΠΛΑ) NP-complete problems 1 / 30 Independent Set is NP-complete Ορισμός. Εστω
Διαβάστε περισσότεραγια NP-Δύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΜη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ Ενότητα : Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβληµα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβληµα αναζήτησης είναι ένα πρόβληµα στο
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 11 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 11 Λύσεις Να αποδείξετε ότι η κλάση Ρ είναι κλειστή ως προς τις πράξεις της ένωσης, της συναρμογής και του συμπληρώματος. Θα πρέπει να δείξουμε ότι: (α) Ένωση: Αν οι Λ 1 και Λ 2 είναι
Διαβάστε περισσότερα4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38
4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 7 Φεβρουαρίου 2017 1 / 38 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 6 ΕΠΙΠΕΔΙΚΟΤΗΤΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Εφαρμογές Θεωρίας Γραφημάτων Επιπεδικότητα ΔΕΗ ΟΤΕ ΔΕΥΑΙ Σύνδεσε όλα τα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 5 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότερα4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 3/2/ / 37
4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 3/2/2019 1 / 37 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον i ανάμεσα σε όλους
Διαβάστε περισσότεραΜη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 7ο εξάμηνο ΣHMΜY Εισαγωγή Διδάσκοντες: Άρης Παγουρτζής, Δώρα Σούλιου Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Σακαβάλας Επιμέλεια διαφανειών: Άρης Παγουρτζής www.corelab.ntua.gr/courses/algorithms
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 5 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Συνεκτικότητα Έννοια της συνδεσμικότητας: «Ποσότητα συνδεσμικότητας»...
Διαβάστε περισσότεραΓραφήματα 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ
Γραφήματα 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 1.1 Εισαγωγή 1.2 Τύποι Γραφημάτων 1.3 Βασικές Έννοιες Γραφημάτων 1.4 Θεμελιώδεις Αριθμοί και Ιδιότητες 1.5 Γραφήματα Τομής 1.6 Τέλεια Γραφήματα Προαπαιτούμενη Γνώση Βασικές
Διαβάστε περισσότεραΠολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης
Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι
Διαβάστε περισσότεραΜη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και P-Πληρότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική Μηχ. Turing (ΝTM)
Διαβάστε περισσότεραΤο πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)
Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα
Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων/ γραφήματα. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Συνεκτικότητα. 25 -Γράφοι
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Θεωρία γράφων/ γραφήματα Πέμπτη, 17/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 17-May-18 1 1 17-May-18 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.
Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. 25 -Γράφοι. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Παρασκευή, 12/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Υπογράφημα Συμπληρωματικά γραφήματα Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική πολυπλοκότητα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγόριθμους. Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας
Εισαγωγή στους Αλγόριθμους Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr 1 Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στου Αλγόριθμους Πολυπλοκότητα Αλγορίθμων Ασυμπτωτική Ανάλυση Θεωρία Γράφων Κλάσεις Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικό Πρόβληµα
Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις
Διαβάστε περισσότεραChapter 7, 8 : Completeness
CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές Έννοιες. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Εισαγωγικές Έννοιες ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ Ιστότοπος Βιβλίου http://www.iep.edu.gr/ και «Νέα Βιβλία ΙΕΠ ΓΕΛ και ΕΠΑΛ» 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.
Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα. Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης Γράφοι Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 13: Πολυωνυμική αναγωγή Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθµου Α: Ποσότητα υπολογιστικών πόρων που απαιτεί Α ως αύξουσα συνάρτηση µεγέθους στιγµιότυπου εισόδου. Χρόνος, µνήµη, επεξεργαστές, επικοινωνία,
Διαβάστε περισσότερα4.3 Ορθότητα και Πληρότητα
4.3 Ορθότητα και Πληρότητα Συστήματα αποδείξεων όπως η μορφολογική παραγωγή και η κατασκευή μοντέλων χρησιμοποιούνται για να δείξουμε την εγκυρότητα εξαγωγών συμπερασμάτων. Ένα σύστημα αποδείξεων μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κλάσεις P, NP NP-πληρότητα 15 Απριλίου 2008 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf6/ Άνοιξη 06 - I. ΜΗΛΗΣ P NP και NP-complete προβλήματα (Κλάσεις Πολυπλοκότητας) ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 06 - Ι. ΜΗΛΗΣ 5 NP-COMPLETENESS I Γιατί για πολλά προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 12/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 12-May-17 1 1 Θεωρία γράφων / γραφήματα 12-May-17 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Υπογράφημα Συμπληρωματικά
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 17/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 17-May-18 1 1 Θεωρία γράφων/ γραφήματα 17-May-18 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Εισαγωγή Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Βιβλιογραφία Jon Kleinberg και Éva Tardos, Σχεδιασμός αλγορίθμων, Εκδόσεις Κλειδάριθμος,
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΔρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026
Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων
Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ ΣΤΑΥΡΟΣ Δ. ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΛΟΥΚΑΣ ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΠΑΛΗΟΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ ΣΤΑΥΡΟΣ Δ. ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΛΟΥΚΑΣ ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΠΑΛΗΟΣ 2 Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων ΣΤΑΥΡΟΣ Δ. ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΟΥΚΑΣ ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.
Διαβάστε περισσότεραΤαιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του
Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα
Διαβάστε περισσότερα(elementary graph algorithms)
(elementary graph algorithms) Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα γραφήματα αναπαραστάσεις οριζόντια διερεύνηση καθοδική διερεύνηση 2 ΓΡΑΦΉΜΑΤΑ 3 αναπαράσταση δύο καθιερωμένοι τρόποι: πίνακας γειτνίασης συλλογή
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΛΑΣΕΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΛΑΣΕΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ Υποβάλλεται στην ορισθείσα από την Γενική Συνέλευση Ειδικής Σύνθεσης του Τμήματος
Διαβάστε περισσότεραΧρωματισμός γραφημάτων
Χρωματισμός γραφημάτων Χρωματισμός γραφημάτων Έστω γράφημα G Αποδίδουμε 1 ακριβώς χρώμα σε κάθε κορυφή του G έτσι ώστε κορυφές που συνδέονται με ακμή να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα Χρωματισμός γραφημάτων
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΟΡΙΣΜΟΙ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Βασικές Έννοιες Ορισμός: σύνολο κόμβων (κορυφών) και ακμών
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)
Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,
Διαβάστε περισσότεραΚουτσιούμπας Αχιλλέας U. Adamy, C. Ambuehl, R. Anand, T. Erlebach
Κουτσιούμπας Αχιλλέας ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΛΗΣΕΩΝ ΣΕ ΑΚΤΥΛΙΟ U. Adamy, C. Ambuehl, R. Anand, T. Erlebach ΜΠΛΑ 1 Δομή παρουσίασης Γενικά Ορισμός προβλήματος Σχετιζόμενη δουλειά Εισαγωγικά Αλγόριθμος Παράδειγμα εκτέλεσης
Διαβάστε περισσότεραΔυσεπίλυτα Προβλήματα σε Γραφήματα και Παίγνια
Δυσεπίλυτα Προβλήματα σε Γραφήματα και Παίγνια Σ Π Υ Ρ Ι Δ Ω Ν Τ Ζ Ι Μ Α Σ Δ Τ Ο Μ Ε Α Σ Τ Μ Η Μ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Σ Χ Ο Λ Η Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ω Ν Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Ι Ω Α Ν Ν Ι Ν
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων/ γραφήματα. Τι έχουμε δει μέχρι τώρα. Ισομορφισμός γράφων: Μία σχέση ισοδυναμίας μεταξύ γράφων.
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Θεωρία γράφων/ γραφήματα Τρίτη, 15/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 16-May-18 1 1 16-May-18 2 2 Τι έχουμε δει μέχρι τώρα Κατευθυνόμενοι μη κατευθυνόμενοι
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθμου Α: Ποσότητα
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf6/ Άνοιξη 26 - I. ΜΗΛΗΣ NP-complete προβλήματα ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II Tree of reductions (partial) Cook s Th. Π NP SAT 3-SAT
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠαραμετρική Πολυπλοκότητα και Αλγόριθμοι
Παραμετρική Πολυπλοκότητα και Αλγόριθμοι Πληροφορίες Βιβλίο: e-class: MATH278 Βαθμολογία 2 Πακέτα ασκήσεων Παρουσίαση Βαθμολογία 2 Πακέτα ασκήσεων 2 μονάδες Παρουσίαση Βαθμολογία 2 Πακέτα ασκήσεων 2 μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Διαβάστε περισσότεραΜελέτη Πολυωνυμικών και ΝΡ-πλήρων Προβλημάτων σε Κλάσεις Τέλειων Γραφημάτων
Μελέτη Πολυωνυμικών και ΝΡ-πλήρων Προβλημάτων σε Κλάσεις Τέλειων Γραφημάτων Ειρήνη Μαντζέλου ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ Ι ω ά ν ν ι ν α, Φ ε β ρ ο υ ά ρ ι ο ς 2 0 1 2 Τ Μ Η Μ Α Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Θεωρία Γράφων
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εισαγωγή στη Θεωρία Γράφων Υλικό βασισμένο στις εξής πηγές: Βιβλίο «Μαθήματα Θεωρίας Γράφων», Γιάννη Μανωλόπουλου, Εκδόσεις Νέων
Διαβάστε περισσότεραΥποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 14. Χρονική Πολυπλοκότητα 17, 20, 24 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να
Διαβάστε περισσότερα