Οι συνθήκες ισορροπίας του στερεού σώματος και η λανθασμένη ερώτηση.3 της Φυσικής των Πανελλαδικών εξετάσεων 04.. ερεό που ισορροπεί μεταφορικά και στροφικά. Έστω ένα στερεό που ισορροπεί μεταφορικά και στροφικά ως προς ακίνητο παρατηρητή με την δράση ενός πλήθους ομοεπιπέδων δυνάμεων. Επειδή δεν μεταφέρεται ( ή μεταφέρεται Aμε σταθερή ταχύτητα) η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν... που σημαίνει ότι οι ασκούμενες 5 δυνάμεις ισοδυναμούν με ζεύγος δυνάμεων. Επειδή όμως το στερεό ισορροπεί και στροφικά θα είναι μηδέν και το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων,. Οι ασκούμενες όμως δυνάμεις έχουν ισοδυναμία ζεύγους και αν έχουν ως 4 προς κάποιο σημείο θα έχουν συνολική ροπή 3 μηδέν και ως οποιοδήποτε άλλο σημείο του επιπέδου των δυνάμεων. Σ και Σχόλιο: Η ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων με μοχλοβραχίονα d είναι τ = d 0... εδώ προφανώς πρόκειται για "εκφυλισμένο" ζεύγος δυνάμεων...που οι δυνάμεις του έχουν τον ίδιο φορέα... d. Συμπέρασμα: Ένα στερεό σώμα ισορροπεί με την δράση ενός πλήθους ομοεπιπέδων δυνάμεων όταν:. η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν Σ ή ( Σx και Σy ) και. το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου των δυνάμεων να είναι μηδέν,. Β. ερεό που επιταχύνεται μεταφορικά και ισορροπεί στροφικά. Έστω τώρα ένα στερεό σώμα που με την δράση ενός πλήθους n ομοεπιπέδων μεταφέρεται με επιτάχυνση (ως προς ακίνητο παρατηρητή), χωρίς να στρέφεται. ην περίπτωση αυτή η συνισταμένη των δυνάμεων για = -M Σ = M αδρανειακό παρατηρητή είναι Σ = M και δεν ισοδυναμεί με ζεύγος δυνάμεων. Ένας κινούμενος με το σώμα μη αδρανειακός παρατηρητής προφανώς "βλέπει" ισορροπία και για να την ερμηνεύσει γράφει την εξίσωση Σ = M του αδρανειακού παρατηρητή ως εξής : Σ - M Σ +. Δηλαδή επί της ουσίας πρόσθεσε στο του σώματος μια υποθετική δύναμη α = -M αντίθετη της συνισταμένης δύναμης των n πραγματικών δυνάμεων. Η υποθετική αυτή δύναμη ονομάζεται αδρανειακή δύναμη D' Aembert και είναι χρηστική στον Βασίλης Τσούνης www.btsouns.gr m@btsouns.gr
κινούμενο παρατηρητή για να μελετήσει -ερμηνεύσει την μεταφορική κίνηση ως ισορροπία. Τώρα το πλήθος των n πραγματικών δυνάμεων μαζί με την δύναμη D' Aembert αέχουν συνισταμένη μηδέν και ισοδυναμούν με ζεύγος δυνάμεων. φού δε το στερεό σώμα δεν στρέφεται και υπάρχει για τις δυνάμεις ισοδυναμία ζεύγους ( μαζί με την α ) το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των και της α θα είναι μηδέν ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου των δυνάμεων. Για το στερεό του σχήματος Aας πάρουμε ένα τυχαίο σημείο Ο του επιπέδου των δυνάμεων. ο σχήμα φαίνονται οι ασκούμενες δυνάμεις, τα διανύσματα r που έχουν αρχή το Ο και τέλος τις αρχές των διανυσμάτων 3, η δύναμη ακαι το διάνυσμα r r r = -M 3 που έχει αρχή το Ο και τέλος το. Για όλες αυτές τις r r O δυνάμεις η συνολική ροπή ως 5 προς το Ο είναι μηδέν. υτή την συνθήκη ας την γράψουμε 4 διανυσματικά με την μορφή εξωτερικών γινομένων. (Ο) (Ο) = (O) +Σ (O) =Σ(r X )+ r X () πό τη σχέση () παρατηρούμε ότι αν r που σημαίνει ότι το τυχαίο σημείο Ο ταυτίζεται με το κέντρο μάζας οι ροπές των πραγματικών δυνάμεων ως προς το κέντρο μάζας είναι μηδέν... () = () ( ) =Σ(r X )+ r X () =Σ(r X ) Συμπέρασμα: Όταν ένα στερεό σώμα επιταχύνεται μεταφορικά και ισορροπεί στροφικά με την δράση ενός πλήθους ομοεπιπέδων δυνάμεων,. η συνισταμένη δύναμη είναι Σ =Μα και. το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των πραγματικών δυνάμεων που ασκούνται στο στερεό ως προς το κέντρο μάζας του στερεού ( και μόνο ως προς αυτό) είναι μηδέν,. () Γ. Το.3 των Πανελλαδικών εξετάσεων Σε ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις έτσι ώστε αυτό να εκτελεί μόνο επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση. Για τη συνισταμένη των δυνάμεων Σ που του ασκούνται και για το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο του, ισχύει: α) Σ, β) Σ 0, 0 γ) Σ 0, δ) Σ, 0 Βασίλης Τσούνης www.btsouns.gr m@btsouns.gr
Σχόλιο. φού το στερεό επιταχύνεται μεταφορικά και ισορροπεί στροφικά σύμφωνα με τα ανωτέρω θα ισχύει Σ =Μ 0 και () μόνο ως προς το και όχι προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου των δυνάμεων... [ακόμη και εδώ υπήρχε και άλλο λάθος γιατί ακόμη και αν ίσχυε " ως προς οποιοδήποτε σημείο" αυτό θα ήταν σημείο του επιπέδου των δυνάμεων και όχι τυχαίο σημείο του στερεού!!!.] η Εφαρμογή: ο σχήμα τα δύο παιδιά κρατάνε σε κάποιο ύψος σε οριζόντια θέση μια ομογενή σανίδα Γ μάζας Μ Kg και μήκους = m με την βοήθεια δύο τροχαλιών αμελητέας ροπής αδράνειας. Σε κάποια στιγμή τα παιδιά αφήνουν πιο χαλαρά τα νήματα και η σανίδα πέφτει με Κ σταθερή επιτάχυνση α = 4m / s Γ ευρισκόμενη συνεχώς σε οριζόντια θέση (χωρίς να περιστρέφεται). α υπολογισθεί η συνολική ροπή Β που δέχεται η σανίδα α) A+ ( ) ως προς το κέντρο μάζας της, β)ως προς το ένα άκρο της. - g ms πάντηση φού η ράβδος μεταφέρεται με σταθερή επιτάχυνση γράφουμε Σ y = m Mg - - = M () και αφού δεν στρέφεται K() = () M( g - ) = Mg - = M = 0Kg( 0-4) ms = = = 60N. α) K() Β K() + (AK) - (ΓK) K() +60N.m - 60N.m K()...αναμενόμενο... β) Β A =Μg(KA)+0 - (ΓA) - A Kg.0m.s.m - 60N.m A = 80Nm 0!!! 3 Δηλαδή εδώ που η ράβδος δεν περιστρέφεται αλλά μεταφέρεται με επιτάχυνση έχουμε μόνο ως προς το!. K() Βασίλης Τσούνης www.btsouns.gr m@btsouns.gr
η Εφαρμογή: Ένα ομογενές κυβικό κιβώτιο μάζας M = 50Kg με τετράγωνη βάση πλευράς = m είναι πάνω σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ,4. Ένας άνθρωπος ασκεί στο κιβώτιο οριζόντια δύναμη = 50N της οποίας ο φορέας είναι σε ύψος =,8m πάνω από το έδαφος και βρίσκεται σε κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο μάζας του κιβωτίου. Κ ) Εξηγείστε ότι το σώμα μεταφέρεται με σταθερή επιτάχυνση χωρίς να ανατρέπεται. Β) α υπολογίσετε τη συνολική ροπή που δέχεται το κιβώτιο ως προς το σημείο εφαρμογής της δύναμης στήριξης. 4 ) Οι ασκούμενες στο κιβώτιο δυνάμεις είναι: το βάρος του κιβωτίου Β =Μg = 500N η δύναμη του ανθρώπου = 50N η δύναμη στήριξής και η δύναμη της τριβής Τ. Η μέγιστη στατική τριβή είναι Τ =μ =μmg,4.50κg.0m / s mx Τ 0N mx Επειδή A N Κ x mx - 50N - 00N - = M = = M 50Kg = 50N >Τ 0N το σώμα επιταχύνεται μεταφορικά... Σx = M = m / s. ην κατάσταση της ισορροπίας αλλά και της ολίσθησης (χωρίς ανατροπή) η δύναμη στήριξης δεν μπορεί να διέρχεται από το κέντρο μάζας Κ γιατί τότε η συνολική ροπή ως προς αυτό θα ήταν διαφορετική από το μηδέν και προφανώς θα υπήρχε ανατροπή = ( - )+ 0 Ο φορέας της δύναμης στήριξης πρέπει να είναι μετατοπισμένος πιο δεξιά, ώστε να δημιουργείται ροπή από την αντίθετη των ροπών της και. πάντηση Βασίλης Τσούνης www.btsouns.gr m@btsouns.gr
Η ακραία θέση που μπορεί να έχει ο φορέας της είναι να διέρχεται από το και να απέχει από το Κ μέγιστη απόσταση x mx =. Άρα για να μην υπάρχει ανατροπή πρέπει ( - )+ Nx= 0 (). ον κατακόρυφο άξονα όσο δεν υπάρχει ανατροπή υπάρχει ισορροπία, Σy N = Mg= 500N και με αντικατάσταση στην () έχουμε () 50(,8 - )+ 00. 500x A ν θέλουμε στην περίπτωση αυτή να μελετήσουμε την στροφική ισορροπία του κιβωτίου θέτοντας ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου των δυνάμεων πρέπει να θεωρήσουμε "σχετική ισορροπία " για το κιβώτιο προσθέτοντας N στο CM του κιβωτίου την "αδρανειακή Κ δύναμη" D Aembert = M που στην περίπτωσή μας έχει μέτρο = M = 50.= 50N και φορά x ( + ) αντίθετη της επιτάχυνσης...δοκιμάστε... x,8m <...άρα δεν υπάρχει ανατροπή. Β) = -Mgx + = -500.0,8 + 50.,8 =+50Nm 0!!! και όμως ισορροπεί μεταφορικά! ην περίπτωση που το κιβώτιο επιταχύνεται μεταφορικά Σx 0 αλλά ισορροπεί στροφικά η συνολική ροπή είναι μηδέν ( ) μόνο ως προς το κέντρο μάζας του κιβωτίου Κ! N Κ x ( + ) = - Mgx - () = 50.,8-500.0,8-50. ()! 5 Βασίλης Τσούνης www.btsouns.gr m@btsouns.gr