ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Αντικείμενο του άρθρου αποτελεί η κατανόηση της διάδοσης των διατμητικών

Αναλυτική Προσομοίωση Πειραματικής Απόκρισης Άμμου σε Διέγερση με Πιεζοηλεκτρικά Στοιχεία Analytical Simulation of the Experimental Response of Sand to Bender Element Excitation Ιωάννης ΠΑΝΟΣ 1, Βασιλική ΓΕΩΡΓΙΑΝΝΟΥ 2, Ιωάννης ΑΝΑΣΤΑΣΟΠΟΥΛΟΣ 3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Αντικείμενο του άρθρου αποτελεί η κατανόηση της διάδοσης των διατμητικών κυμάτων εντός κυψέλης συμπιεσομέτρου στην οποία έχουν ενσωματωθεί δύο πιεζοηλεκτρικά στοιχεία. Η πειραματική αυτή διάταξη εξυπηρετεί την μέτρηση της ταχύτητας των διατμητικών κυμάτων και κατά συνέπεια του G 0. Για την επίτευξη αυτού δημιουργήθηκαν τρισδιάστατα προσομοιώματα της πειραματικής διάταξης με την χρήση της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων. Επίσης, δημιουργήθηκαν πλευρικώς απειρομήκη προσομοιώματα για την διερεύνηση του ρόλου των ανακλάσεων, ενώ ερευνήθηκε και η επίδραση του λόγου του Poisson. Αφού δείχνεται ότι υπάρχει ικανοποιητική σύγκλιση μεταξύ πειραματικών μετρήσεων και των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης, γίνεται χρήση της μεθόδου cross correlation για τον υπολογισμό του χρόνου διάδοσης και άρα του G 0. Προτείνεται βελτιωμένη μεθοδολογία με εφαρμογή της μεθόδου cross correlation μεταξύ των καταγραφών σε δοκίμια διαφορετικού ύψους ή μεταξύ δύο καταγραφών στο ίδιο μεγάλου ύψους δοκίμιο. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης δείχνουν ότι η ακρίβεια υπολογισμού του G 0 βελτιώνεται αισθητά. ABSTRACT : In the last years, piezoelectric elements have been extensively used for the determination of the maximum Shear Modulus (G 0 ) of soil samples. The bender elements are usually fitted in standard laboratory equipment, such as odeometers. This study attempts to clarify the wave propagation within the odeometer cell. For the achievement of this goal, threedimensional (3D) models of the device were created and analyzed through use of the finite element method. Comparing the results of the finite element model of the devise with an equivalent lateral infinite-boundary (half-space) model, it is shown that the influence of the rigid boundaries of the device is crucial. The cross-correlation method is applied as an alternative to compute G 0. Two different methodologies are investigated numerically. It is shown that the measurement of G 0 can be drastically improved through cross-correlation of the measured signals of two specimens of different height, or through cross-correlation of two measured signals at different heights in the same specimen. 1 Πολ. Μηχανικός, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, email: cv01147@yahoo.com 2 Αν. Καθηγήτρια, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, email: vngeor@civil.ntua.gr 3 Λέκτορας ΠΔ407, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, email: ianast@civil.ntua.gr

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το μέτρο διάτμησης G αποτελεί σημαντική παράμετρο για τον υπολογισμό της δυναμικής απόκρισης του εδάφους και την σεισμική απόκριση συστημάτων εδάφους κατασκευής. Λόγω της μή-γραμμικής συμπεριφοράς του εδάφους, το μέτρο διάτμησης G εξαρτάται από το επίπεδο της επιβαλλόμενης παραμόρφωσης. Μια αδρή κατηγοριοποίηση της τάξης μεγέθους της παραμόρφωσης για διαφόρους τύπους έργων παρουσιάζεται στο Σχήμα 1. Στις μικρές έως πολύ μικρές παραμορφώσεις (χαρακτηριστικές των σεισμικών φορτίζεων) η επίδραση της μη γραμμικότητας του εδάφους είναι έντονη [Burland, 1989] απαιτώντας συχνά την διενέργεια μή-γραμμικής ανάλυσης [π.χ. Jardine et al., 1991; Stallebrass & Taylor, 1997]. Προς τούτο, πέρα από τις καμπύλες G γ του εδάφους [π.χ Dobry, 1991 ; Ishibashi & Zhang, 1993], απαραίτητη είναι και η αρχική ελαστική δυστμησία (G max ή G 0 ), η οποία αποτελεί την αφετηρία της καμπύλης G γ. Σχήμα 1. Αδρή κατηγοριοποίηση της τάξης μεγέθους των παραμορφώσεων σε σχέση με το G max. H εργαστηριακή μέτρηση του G 0 είναι σχετικά δυσχερής καθότι αναφέρεται σε πολύ μικρές παραμορφώσεις. Η εν λόγω μέτρηση είναι εφικτή με χρήση πιεζοηλεκτρικών στοιχείων, προσαρμοσμένων στην τριαξονική συσκευή [Viggiani & Atkinson, 1995]. Η μέτρηση του G max γίνεται με έμμεσο τρόπο, μετρώντας την ταχύτητα διάδοσης του διατμητικού κύματος V s : G = ρ V (1) 2 0 s όπου ρ είναι η πυκνότητα του εδαφικού δείγματος.

Η μέτρηση της ταχύτητας διάδοσης διατμητικών κυμάτων V s επιτυγχάνεται με την χρήση ενός πιεζοηλεκτρικού στοιχείου ως πομπού σημάτων από την μία πλευρά του δοκιμίου και ενός δεύτερου πιεζοηλεκτρικού στοιχείου ως δέκτη στο άλλο άκρο του δοκιμίου. Τα διατμητικά κύματα που δημιουργούνται με αυτόν τον τρόπο παράγουν πολύ μικρές παραμορφώσεις στο εδαφικό δοκίμιο, επιτρέποντας τον υπολογισμό του G 0. Η εγκυρότητα του εν λόγω υπολογισμού εξαρτάται άμεσα από τον θεωρούμενο χρόνο άφιξης του διατμητικού κύματος στον δέκτη. Ο χρόνος άφιξης του κύματος εξαρτάται σημαντικά από τις ανακλάσεις των κυμάτων εντός του δοκιμίου. Στο παρόν άρθρο διερευνάται αριθμητικά η εγκυρότητα της εν λόγω εργαστηριακής μέτρησης μέσω της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων. Προς τούτο, δημιουργήθηκε τρισδιάστατο προσομοίωμα της πειραματικής διάταξης καθώς και ισοδύναμο πλευρικά απειρομήκες προσομοίωμα (με χρήση στοιχείων ελευθέρου πεδίου) για την διερεύνηση του ρόλου των ανακλάσεων. Αφού δείχνεται ότι υπάρχει ικανοποιητική σύγκλιση μεταξύ των πειραματικών μετρήσεων και των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης, αναπτύσσεται βελτιωμένη μεθοδολογία με χρήση της μεθόδου cross-correlation για τον ρεαλιστικότερο υπολογισμό του χρόνου διάδοσης και άρα του G ο. Η προτεινόμενη μεθοδολογία με εφαρμογή της μεθόδου cross-correlation μεταξύ των καταγραφών σε δοκίμια διαφορετικού ύψους ή μεταξύ δύο καταγραφών στο ίδιο δοκίμιο, βελτιώνει αισθητά την ακρίβεια υπολογισμού του G ο. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ Όπως δείχνεται σκαριφηματικά στο Σχήμα 2, η πειραματική διάταξη μέτρησης του G ο αποτελείται από ένα ζεύγος πιεζοηλεκτρικών στοιχείων, μια γεννήτρια σήματος, έναν ενισχυτή, και έναν ψηφιακό παλμογράφο. Η γεννήτρια σήματος, ο ενισχυτής και ο ψηφιακός παλμογράφος μπορούν να συμπληρωθούν από έναν υπολογιστή με μια κάρτα καταγραφής δεδομένων και ένα λογισμικό ελέγχου εργαστηριακού εξοπλισμού. Σχήμα 2. Διάρθρωση εργαστηριακού εξοπλισμού [Wichtmann and Triantafyllidis, 2004]

Όπως προαναφέρθηκε, το G ο υπολογίζεται άμεσα από την ταχύτητα διατμητικού κύματος. Στο εργαστήριο, τα διατμητικά κύματα μπορούν να παραχθούν και να παραληφθούν χρησιμοποιώντας διατμητικούς δίσκους [Lawrence, 1963 ; 1965] ή πιεζοηλεκτρικά στοιχεία bender elements [Shirley & Hampton, 1977; Shirley, 1978]. Στην περίπτωση των πιεζοηλεκτρικών στοιχείων, τα οποία αφορά η παρούσα εργασία, η μέγιστη παραγόμενη διατμητική παραμόρφωση είναι < 10-5 [Dyvik & Madshus, 1985] οπότε και το μετρούμενο μέτρο διάτμησης μπορεί να θεωρηθεί ίσο με το G 0 [Atkinson & Sallfors, 1991]. Παρότι η μέτρηση του G 0 με τον τρόπο αυτόν είναι πολλά υποσχόμενη, η υποκειμενικότητα στον εντοπισμό του χρόνου άφιξης των κυμάτων [Viggiani & Atkinson, 1995 ; Sully & Campanella, 1995 ; Jovicic et al., 1996 ; Arulnathan, R. 1999] υποβαθμίζει την εγκυρότητά της. Για τον λόγο αυτό έχουν γίνει πολλές μελέτες ώστε να βρεθεί η καταλληλότερη μέθοδος εύρεσης αυτής της χρονικής διαφοράς. Η αναπόφευκτη ύπαρξη των φαινομένων εγγύς πεδίου (λόγω των ορίων του δοκιμίου) δυσκολεύει την αναγνώριση του ακριβούς χρόνου άφιξης των διατμητικών κυμάτων. Αν και έχει αμφισβητηθεί από αρκετούς ερευνητές, η πλέον κοινή πρακτική είναι η θεώρηση του σημείου πρώτης αντιστροφής του λαμβανόμενου σήματος ως χρονικής στιγμής άφιξης του διατμητικού κύματος. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Προκειμένου να διερευνηθεί η εγκυρότητα των εν λόγω πειραματικών μετρήσεων, στην παρούσα εργασία γίνεται προσομοίωση της πειραματικής διάταξης με χρήση της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων. Για την επίτευξη αυτού του στόχου δημιουργήθηκαν : (α) τρισδιάστατο προσομοίωμα της συσκευής συμπιεσομέτρου, και (β) ισοδύναμο απειρομήκες προσομοίωμα. Δεδομένου ότι στην αριθμητική προσομοίωση το G 0 είναι γνωστό (σε αντίθεση με τις πειρματικές μετρήσεις), είναι εφικτή η αξιολόγηση της ακρίβειας του έμμεσου υπολογισμού του G 0 με βάση την προαναφερθείσα λογική του χρόνου άφιξης των διαμτητικών κυμάτων. Επίσης, συγκρίνοντας τα αποτελέσματα των δύο προσομοιωμάτων (συσκευή και ισοδύναμο απειρομήκες) είναι εφικτή η αξιολόγηση της επιρροής των ανακλάσεων. Το προσομοίωμα πεπερασμένων στοιχείων της συσκευής συμπιεσομέτρου δείχνεται στο Σχήμα 3. Τόσο το έδαφικό δοκίμιο όσο και η συσκευή προσομοιώνονται με 3-Δ εξαεδρικά πεπερασμένα στοιχεία, θεωρούνται δε αμφότερα γραμμικώς ελαστικά υλικά. Η πυκνότητα του εδάφους ρ θεωρήθηκε ίση με 1,8 Mgr/m 3, το δε μέτρο διατμήσεως G 0 ελήφθη ίσο με 200 MPa (που αντιστοιχεί σε V s = 333.33 m/sec), τυπικές τιμές που απαντώνται στην πειραματική πραγματικότητα. Αυτό εξυπηρετεί ώστε το σήμα που θα παραχθεί να είναι μέχρι ενός σημείου συγκρίσιμο με τα πραγματικά αποτελέσματα.

Οι αναλύσεις διεξήχθησαν αρχικά για ύψος δοκιμίου ίσο με 20 mm. Προκειμένου να επιτευχθεί ικανοποιητική διακριτοποίηση (για τις ιδιαίτερα υψηλές συχνότητες που εφαρμόζονται στο εργαστήριο), το μέγεθος των πεπερασμένων στοιχείων ετέθη ίσο με 4 mm. (α) (β) Σχήμα 3. (α) Σχηματική απεικόνιση της συσκευής συμπιεσομέτρου, (β) γεωμετρική απεικόνιση του προσομοιώματος, και (γ) προσομοίωμα πεπερασμένων στοιχείων. (γ) Όπως προαναφέρθηκε, προκειμένου να διερευνηθεί η επιρροή των πλευρικών συνόρων της συσκευής δημιουργήθηκαν επίσης ισοδύναμα πλευρικώς απειρομήκη προσομοιώματα (Σχήμα 4), με χρήση στοιχείων ελευθέρου πεδίου (infinite elements). Ακόμη και σ αυτή την περίπτωση, το σήμα εξακολουθεί να δέχεται επιρροές τύπου εγγύς πεδίου : τα κύματα P που αναπόφευκτα δημιουργούνται μαζί με τα κύματα S, λόγω της μικρής απόστασης διάδοσης δεν

προλαβαίνουν να διαχωριστούν πλήρως, παρότι κινούνται με μεγαλύτερη ταχύτητα. Σύμφωνα με τους περισσότερους ερευνητές, όταν ο λόγος R d = d / λ (όπου d η απόσταση που διανύει το κύμα και λ το μήκος κύματος) είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 4, τα φαινόμενα εγγύς πεδίου έχουν μειωθεί αρκετά ώστε να είναι ευδιάκριτο το σήμα. Για τον λόγο αυτόν δημιουργήθηκαν δύο επιπλέον προσομοιώματα στα οποία το εδαφικό δείγμα έχει ύψος 180 mm (Σχήμα 4). (α) (β) (γ) Σχήμα 4. Σύνολο προσομοιωμάτων πεπερασμένων στοιχείων : (α) προσομοιώμα συσκευής συμπιεσομέτρου ύψος δοκιμίου 20 mm, (β) πλευρικώς απειρομήκες προσομοίωμα ύψος 20 mm, (γ) προσομοίωμα ύψους 180 mm, και (δ) πλευρικώς απειρομήκες προσομοίωμα ύψος 180mm. (δ) ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΓΚΥΡΟΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Προκειμένου να επαληθευτεί η εγκυρότητα της αριθμητικής προσομοίωσης, συγκρίνουμε τις καταγραφείσες πειρματικές κυματομορφές με τα αποτελέσματα της αριθμητικής προσομοίωσης. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται για κατακόρυφες τάσεις 600 kpa και 800 kpa, για τις οποίες το μέτρο διάτμησης Ο λόγος που περιορίζει τις συγκρίσεις σε αυτές τις δύο τάσεις είναι ότι για αυτές τις τάσεις το μέτρο διάτμησης G 0 είναι περίπου ίσο με 200 MPa (όσο δηλαδή έχουμε θεωρήσει στο προσομοίωμα πεπερασμένων στοιχείων). Όπως δείχνεται στο Σχήμα 5, τα αποτελέσματα της αριθμητικής ανάλυσης συγκρίνονται ικανοποιητικά με τα αντίστοιχα πειραματικά αποτελέσματα. Οι διαφορές μεταξύ των

κυματομορφών θεωρούνται λογικές, δεδομένων των απλοποιήσεων που έχουν γίνει στην αριθμητική προσομοίωση. Αναφέρουμε ενδεικτικά μόνον ως πιθανές αιτίες των εν λόγω διαφορών : (α) την ανομοιομορφία του εδαφικού δοκιμίου η οποία δεν έχει ληφθεί υπόψιν στην προσομοιώση, και (β) την μικρή μεν αλλά ενδεχομένως όχι αμελητέα μή γραμμικότητα του εδαφικού υλικού (η οποία επίσης δεν έχει ληφθεί υπόψιν στην προσομοιώση). 6.00E-03 4.00E-03 Απόκριση για 600MPa Απόκριση μοντέλου Απόκριση για 800MPa 2.00E-03 Μετατόπιση 0.00E+00-2.00E-03-4.00E-03-6.00E-03 0.00E+00 5.00E-05 1.00E-04 1.50E-04 2.00E-04 2.50E-04 Χρόνος Σχήμα 5. Σύγκριση καταγραφών πειράματος προσομοιώματος. ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΓΚΥΡΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΠΡΩΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ Η εγκυρότητα του κριτηρίου πρώτης αντιστροφής γίνεται με βάση τα αποτελέσματα της αριθμητικής ανάλυσης της συσκευής συμπιεσομέτρου. Με βάση τα αποτελέσματα της ανάλυσης (κυματομορφές στον δέκτη) υπολογίζουμε την V s με βάση το κριτήριο πρώτης αντίστροφης, και την συγκρίνουμε με την πραγματική της τιμή, η οποία είναι εκ των προτέρων γνωστή καθότι πρόκειται για παράμετρο την οποία εμείς έχουμε ορίσει (V s = 333,33 m/sec). Στα Σχήματα 6 και 7 δείχνονται χαρακτηριστικά αποτελέσματα της εν λόγω σύγκρισης. Σε αμφότερες τις περιπτώσεις σημειώνεται στο διάγραμμα το θεωρητικό χρονικό σημείο άφιξης t = 0.02 m / 333.33 m/sec = 6 x 10-5 sec (για την πραγματική V s = 333,33 m/sec). Με τον τρόπο αυτόν είναι δυνατή η διερεύνηση της ακρίβειας του υπολογισμού με βάση το συγκεκριμένο κριτήριο. Είναι εμφανές ότι ο υπολογιζόμενος χρόνος άφιξης με βάση το κριτήριο πρώτης αντιστροφής διαφέρει σημαντικά από τον θεωρητικό, και άρα το υπολογιζόμενο μέτρο διατμήσεως G 0 διαφέρει από το πραγματικό.

Σημειώνεται επίσης ότι το υπολογιζόμενο G 0 εξαρτάται σημαντικά από την εφαρμοζόμενη συχνότητα διέγερσης, καταλήγοντας άλλες φορές σε υπο-εκτίμηση και άλλες φορές σε υπερεκτίμηση. Μετατόπιση (m) 0.0000002 0.00000015 0.0000001 0.00000005 0-0.00000005 1000 Hz 2000 Hz 3000 Hz 4000 Hz 5000 Hz 6000 Hz 7000 Hz 8000 Hz 9000 Hz 10000 Hz Θεωρητική άφιξη -0.0000001-0.00000015 0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.001 Χρόνος (sec) Σχήμα 6. Σύγκριση των καταγραφών του αριθμητικού προσομοιώματος της συσκευής συμπιεσομέτρου με ύψος δοκιμίου 20 mm για εύρος συχνοτήτων 1 khz έως 10 khz, με τον θεωρητικό χρόνο άφιξης για την πραγματική V s = 333,33 m/sec. Μετατόπιση (m) 0.00000012 0.0000001 0.00000008 0.00000006 0.00000004 0.00000002 0-0.00000002 10000 Hz 20000 Hz 30000 Hz 40000 Hz 50000 Hz 60000 Hz 70000 Hz 80000 Hz Θεωρητική άφιξη -0.00000004-0.00000006-0.00000008 0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 Χρόνος (sec) Σχήμα 7. Σύγκριση των καταγραφών του αριθμητικού προσομοιώματος της συσκευής συμπιεσομέτρου με ύψος δοκιμίου 20 mm για εύρος συχνοτήτων 10 khz έως 80 khz, με τον θεωρητικό χρόνο άφιξης για την πραγματική V s = 333,33 m/sec.

Ο Ρόλος των Ανακλάσεων Στο Σχήμα 8 δείχνεται η ίδια σύγκριση για την περίπτωση του πλευρικώς απειρομήκους προσοιώματος. Και σε αυτή την περίπτωση, όπου έχουμε τεχνητά ακυρώσει την επιρροή των πλευρικών συνόρων της συσκευής, ο υπολογιζόμενος χρόνος άφιξης (και άρα το υπολογιζόμενο G 0 ) με βάση το κριτήριο πρώτης αντιστροφής διαφέρει σημαντικά από τον θεωρητικό πραγματικό. Στο Σχήμα 9 συνοψίζονται τα αποτελέσματα όλων των προσομοιωμάτων για συχνότητα διέγερσης 10 khz. Γίνεται εμφανές ότι η επιρροή των συνόρων είναι καθοριστική και αποτελεί τον ισχυρότερο παράγοντα παρεμβολών στο σήμα. Παρόλο που στην περίπτωση του δοκιμίου μεγάλου ύψους η επίδρασή τους μειώνεται αισθητά, δεν παύει να είναι εμφανής. Σε κάθε περίπτωση, ο υπολογιζόμενος χρόνος άφιξης (και άρα το υπολογιζόμενο G 0 ) με βάση το κριτήριο πρώτης αντιστροφής διαφέρει σημαντικά από τον θεωρητικό πραγματικό. Μετατόπιση (m) 0.00000065 0.00000055 0.00000045 0.00000035 0.00000025 10000 Hz 20000 Hz 30000 Hz 40000 Hz Θεωρητική άφιξη 0.00000015 0.00000005 0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 Χρόνος (sec) Σχήμα 8. Σύγκριση των καταγραφών του πλευρικώς απειρομήκους αριθμητικού προσομοιώματος ύψους 20 mm για εύρος συχνοτήτων 10 khz έως 40 khz, με τον θεωρητικό χρόνο άφιξης για την πραγματική V s = 333,33 m/sec.

κανονικοποιημένη μετατόπιση (m) 0.00000007 0.00000005 0.00000003 0.00000001-0.00000001-0.00000003 Π.Σ. πεπερασμένα Συσκευή Συμπι. 20 mm στοιχεία 2cm Πλευρικώς Απειρ. προσ. μη-πεπερασμένα 20 mm στοιχεία 2cm Π.Σ. πεπερασμένα Συσκευή Συμπι. 180 mm στοιχεία 18cm Πλευρικώς μη-πεπερασμένα Απειρ. Προσ. 20 mm στοιχεία 18cm άφιξη-2cm άφιξη-18cm -0.00000005 0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012 0.0014 χρόνος (sec) Σχήμα 9. Σύγκριση όλων των προσομοιωμάτων για συχνότητα διέγερσης 10 khz σε σχέση με τον θεωρητικό χρόνο άφιξης για την πραραγματική V s = 333,33 m/sec. Επίδραση του λόγου του Poisson Δεδομένου ότι τα φαινόμενα εγγύς πεδίου εξαρτώνται κυρίως από τα κύματα P, η διερεύνηση της επιρροής του λόγου του Poisson v είναι εύλογη : η αύξησή του οδηγεί σε αύξηση της V p (ταχύτητα των κυμάτων P) σε σχέση με την V S, και άρα ευκολότερο διαχωρισμό τους. Προς τούτο, διεξήθησαν οι ίδιες αναλύσεις και συγκρίσεις για ν = 0.49 (παραδοχή πλήρως κορεσμένου δοκιμίου). Στο Σχήμα 10 συγκρίνονται τα αποτελέσματα της αριθμητικής ανάλυσης για το προσομοίωμα της συσκευής συμπιεσομέτρου με ύψος δοκιμίου 20 mm, για ν = 0.30 και 0.49. Όπως θα αναμένονταν, για ν = 0.49 η άφιξη των P κυμάτων εντοπίζεται αρκετά νωρίτερα. Παρόλα αυτά, το σήμα εξακολουθεί να μην είναι αρκετά καθαρό ούτε στην άφιξη του διατμητικού κύματος αλλά ούτε και στη συνέχεια αφού μειώνεται και ο χρόνος στον οποίο φθάνουν και οι ανακλάσεις των κυμάτων P. Στο Σχήμα 11 συγκρίνονται τα αποτελέσματα της αριθμητικής ανάλυσης για το πλευρικώς απειρομήκες προσομοίωμα ύψους 180 mm, για ν = 0.30 και 0.49. Σε αυτή την περίπτωση, στην οποία η απόσταση διάδοσης των κυμάτων είναι μεγάλη, θα μπορούσαμε να υποθέσουμε ότι η άφιξη των κυμάτων S είναι πρακτικά διαχωρισμένη από αυτήν των κυμάτων P. Δυστυχώς, δεν ισχύει το ίδιο για την ανάλυση της συσκευής συμπιεσομέτρου (λόγω της επιρροής των πλευρικών συνόρων). Ως εκ τούτου, η μέτρηση του G 0 σε πλήρως κορεσμένα δοκίμια (ακόμη και μεγάλου ύψους) δεν αποτελεί λύση του προβλήματος.

1.00E-07 8.00E-08 6.00E-08 v=0.30 - f=5000hz v=0.30 - f=10000hz v=0.49 - f=5000hz v=0.49 - f=10000hz Μετατόπιση (m) 4.00E-08 2.00E-08 0.00E+00 0.00E+00 1.00E-04 2.00E-04 3.00E-04 4.00E-04 5.00E-04 6.00E-04 7.00E-04 8.00E-04 9.00E-04 1.00E-03-2.00E-08-4.00E-08-6.00E-08-8.00E-08-1.00E-07 Χρόνος (sec) Σχήμα 10. Σύγκριση αποτελεσμάτων του αριθμητικού προσομοιώματος της συσκευής συμπιεσομέτρου με ύψος δοκιμίου 20 mm για ν = 0.30 και 0.49. 0.00000003 0.00000002 ν=0.30 - f=10000 Hz ν=0.49 - f=10000 Hz Μετατόπιση (m) 0.00000001 0-0.00000001-0.00000002-0.00000003 0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012 0.0014 0.0016 0.0018 0.002 Χρόνος (sec) Σχήμα 11. Σύγκριση αποτελεσμάτων του πλευρικώς απειρομήκους προσομοιώματος ύψους δοκιμίου 180 mm για ν = 0.30 και 0.49. ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΟΥ G 0 Έχοντας καταλήξει στο συμπέρασμα ότι η έμμεση μέτρηση του G 0 με βάση το κριτήριο της πρώτης αντιστροφής δεν είναι πάντα ακριβής, προχωρούμε στην ανάπτυξη μιας εναλλακτικής βελτιωμένης μεθοδολογίας υπολογισμού με χρήση της μεθόδου cross correlation. Η μέθοδος αυτή αρχικά εφαρμόστηκε ξεχωριστά σε κάθε προσομοίωμα, στην συνέχεια δε συνδυάζοντας τα αποτελέσματα δύο προσομοιωμάτων με εδαφικά δοκίμια διαφορετικού ύψους.

Η εν λόγω τεχνική επεξεργασίας σήματος συσχετίζει τις κορυφές και τις κοιλίες δύο σημάτων με σκοπό την εύρεση της διαφοράς φάσης μεταξύ τους. Η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημάτων εντοπίζεται ως το μέγιστο της συνάρτησης cross correlation των τιμών τους. Η απόσταση στον άξονα των χρόνων μεταξύ του μηδενός και του μεγίστου αποτελεί την χρονική διαφορά των σημάτων, και εν προκειμένω του χρόνου διάδοσης του διατμητικού κύματος. Έστω δύο καθ όλα όμοιες πραγματικές συναρτήσεις f και g, οι οποίες διαφέρουν μόνον ως προς μια μετατόπιση κατά τον άξονα του χρόνου. Η συνάρτηση cross-correlation μπορεί να εφαρμοστεί προκειμένου να εξακριβωθεί κατά πόσο πρέπει να μετατοπιστεί η συνάρτηση g κατά τον άξονα x ώστε να ταυτιστεί με την f. Αυτό επιτυγχάνεται μετατοπίζοντας κατά απειροστά διαστήματα την συνάρτηση g κατά τον άξονα x, και υπολογίζει το ολοκλήρωμα για κάθε απειροστή μετακίνηση : Όταν οι συναρτήσεις ταυτιστούν, η τιμή της εξίσωσης μεγιστοποιείται. (2) Η εν λόγω τεχνική εφαρμόστηκε μεταξύ του σήματος της διέγερσης (πομπός) και του ληφθέντος σήματος στον δέκτη. Τα αποτελέσματα όμως (όπως δείχνεται παρακάτω, βλ. Σχήμα 12) για την περίπτωση του αριθμητικού προσομοιώματος της συσκευής συμπιεσομέτρου (όπου η επίδραση των συνόρων έχει βαρύνοντα ρόλο) δεν ήταν ικανοποιητικά, σε αντίθεση με αυτά των πλευρικώς απειρομήκων προσομοιωμάτων. Κατά συνέπεια προχωρήσαμε στην ανάπτυξη μιας βελτιωμένης μεθοδολογίας έμμεσης μέτρησης του G 0, σύμφωνα με την οποία εφαρμόζουμε την συνάρτηση cross correlation μεταξύ των καταγραφών στους δέκτες δύο δοκιμίων διαφορετικού ύψους. Αντί δηλαδή να χρησιμοποιήσουμε για τον υπολογισμό της ταχύτητας διάδοσης (και άρα του G 0 ) την κυματομορφή της διέγερσης (πομπός) και την καταγραφή στον δέκτη, χρησιμοποιούμε τις καταγραφές στους δέκτες δύο διαφορετικών δοκιμίων με ύψη 20 mm (συμβατικό) και 180 mm (μεγάλου ύψους), υποβαλλόμενα στην ίδια ακριβώς διέγερση. Με τον τρόπο αυτόν, αντί να υπολογίσουμε τον χρόνο διάδοσης από τον πομπό στον δέκτη του ενός δοκιμίου, υπολογίζουμε την νοητή ταχύτητα διάδοσης από τον δέκτη του κοντού (20 mm) στον δέκτη του υψηλού δοκιμίου (180 mm). Εναλλακτικά, η ίδια μεθοδολογία μπορεί να εφαρμοστεί σε δύο δέκτες του ιδίου μεγάλου ύψους δοκιμίου. Στο Σχήμα 12 συγκρίνονται τα αποτελέσματα των υπολογισμών με την μέθοδο cross-correlation για το προσομοίωμα της συσκευής συμπιεσομέτρου με ύψη δοκιμίου 20 mm και 180 mm. Πιο συγκεκριμένα, συγκρίνονται οι εξής περιπτώσεις : (α) cross correlation μεταξύ πομπού και δέκτη σε δοκίμιο ύψους 20 mm, (β) cross correlation μεταξύ πομπού και δέκτη σε δοκίμιο ύψους 180 mm, και (γ) cross correlation μεταξύ δέκτη δοκιμίου ύψους 20 mm και δέκτη δοκιμίου

ύψους 180 mm. Είναι σαφές ότι η βελτιωμένη μεθοδολογία (περίπτωση γ) παρέχει ικανοποιητικά αποτελέσματα, σε αντίθεση με τις απλούστερες εφαρμογές της μεθόδου. Με αυτό τον τρόπο, ο έμμεσος υπολογισμός του G 0 μπορεί να καταστεί αξιόπιστος υπό τον όρο ότι η συχνότητα διέγερσης θα είναι μεγαλύτερη των 5 khz. Πάντως, ακόμη και σε αυτή την περίπτωση η υπολογιζόμενη V S δεν είναι ακριβώς ίση με την θεωρητική πραγματική, κάτι που οφείλεται στα φαινόμενα εγγύς πεδίου και πιο συγκεκριμένα στις ανακλάσεις των συνόρων. Στο Σχήμα 13 συγκρίνονται τα αποτελέσματα των υπολογισμών με την μέθοδο cross-correlation για το πλευρικά απειρομήκες προσομοίωμα (ιδεατή περίπτωση) με ύψη δοκιμίου 20 mm και 180 mm. Συγκρίνονται οι εξής περιπτώσεις : (α) cross correlation μεταξύ πομπού και δέκτη σε δοκίμιο ύψους 20 mm, (β) cross correlation μεταξύ πομπού και δέκτη σε δοκίμιο ύψους 180 mm, (γ) cross correlation μεταξύ δέκτη δοκιμίου ύψους 20 mm και δέκτη δοκιμίου ύψους 180 mm, και (δ) cross correlation μεταξύ δύο δεκτών στα 20 mm και 180 mm εντός του ίδιου υψηλού δοκιμίου 180 mm. Στην περίπτωση αυτήν, όπου οι ανακλάσεις των συνόρων έχουν τεχνητά εξαλειφθεί, η βελτιωμένη μεθοδολογία (περιπτώσεις γ και δ) προβλέπει την θεωρητικήπραγματική ταχύτητα με απόλυτη ακρίβεια. Ταχύτητα (m/s) 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 Θεωρητική ταχύτητα Ύψος πομπός δοκιμίου δέκτης δοκίμιο 2cm 20 mm Ύψος πομπός δοκιμίου δέκτης δοκίμιο 18cm 180 mm Σύγκριση δέκτης 20 mm δοκιμίων δέκτης 2-18cm 180 mm 100 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Συχνότητα (Hz) Σχήμα 12. Σύγκριση αποτελεσμάτων υπολογισμού με την βελτιωμένη μεθοδολογία για το προσομοίωμα της συσκευής συμπιεσομέτρου.

Ταχύτητα (m/s) 1000 900 800 700 600 500 400 300 Θεωρητική ταχύτητα Ύψος πομπός δοκιμίου δέκτης δοκίμιο 2cm 20 mm Ύψος πομπός δοκιμίου δέκτης δοκίμιο 18cm 180 mm Σύγκριση δέκτης 20 mm δοκιμίων δέκτης 2-18cm 180 mm Ύψος 2 δέκτες δοκιμίου (20 και 180 18cm mm) (δύο ίδιο μετρήσεις) δοκίμιο 200 100 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Συχνότητα (Hz) Σχήμα 13. Σύγκριση αποτελεσμάτων Μη-Πεπερασμένων στοιχείων με τη θεωρητική ταχύτητα. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Τα κυριότερα συμπεράσματα συνοψίζονται ως εξής : Η αύξηση της συχνότητας του σήματος της διέγερσης οδηγεί σε βελτίωση της ποιότητας του λαμβανόμενου σήματος. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης πεπερασμένων στοιχείων συγκρίνονται ικανοποιητικά με τις πειραματικές μετρήσεις. Το σύνολο των αριθμητικών αναλύσεων δείχνει ότι η επίδραση των συνόρων είναι καθοριστικής σημασίας και αποτελεί τον ισχυρότερο παράγοντα παρεμβολών στο σήμα. Το ύψος του εδαφικού δοκιμίου διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στη μείωση των ανακλάσεων και των φαινομένων εγγύς πεδίου. Τα αποτελέσματα της παρούσης εργασίας δείχνουν ότι το κριτήριο της πρώτης αναστροφής του σήματος δεν δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα. Η προτεινόμενη βελτιωμένη μεθοδολογία με εφαρμογή της μεθόδου cross correlation μεταξύ των καταγραφών σε δοκίμια διαφορετικού ύψους ή μεταξύ δύο καταγραφών στο ίδιο δοκίμιο, βελτιώνει αισθητά την ακρίβεια υπολογισμού του G 0. Η εργαστηριακή εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας απαιτεί την δημιουργία δύο δοκιμίων διαφορετικού ύψους τα οποία διεγείρονται με το ίδιο ακριβώς σήμα, στην κορυφή του καθενός καταγράφεται η απόκριση. Εναλλακτικά, η ίδια μεθοδολογία μπορεί να εφαρμοστεί σε δύο δέκτες του ιδίου μεγάλου ύψους δοκιμίου.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Arulnathan, R. 1999. Dynamic properties and site response of organic soils. Ph.D. thesis, Dept. of Civil & Envir. Engrg., Univ. of California, Davis,CA Atkinson, J.H., and Sallfors, G. 1991. Experimental determination of stress-strain-time characteristics in laboratory and in situ tests. 111 Deformation of Soils and Displacements of Structures, Proceedings of the 10th European Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Florence, Italy, May 26-30, 1991. Edited by Associazione Geotecnica Italians. A.A. Balkema, Rotterdam, The Netherlands. Vol. 3. pp. 915-956. Bates, C. R. (1989), Dynamic soil property measurements during triaxial testing, Geotechnique, Vol. 39, No. 4, pp. 721-726. Burland, J. B. (1989), Ninth Laurits Bjerrum Memorial Lecture: Small is beautiful the stiffness of soils at small strains. Dyvik, R. and Madshus, C.(1985), Lab measurements of G max using bender elements, Advances in the Art of Testing Soils Under Cyclic Conditions, ASCE Conference, Detroit, MI, Geotechnical Engineering Division, New York, 186-196. Ishibashi I. & Zhang X. (1993), Unified dynamic shear moduli and damping ratios of sand and clay, Soils and Foundations, Vol. 33, No.1, pp. 182-191. Lawrence, F. V., Jr. (1963), Propagation Velocity of Ultrasonic Wave Through Sand, MIT Research Report R63-8, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA. Lawrence, F. V, Jr., (1965), "Ultrasonic Shear Wave Velocities in Sand and Clay," Report R65-05 by M.I.T. Dept. of Civil Eng. to U. S. Army Engineer Waterways Experiment Station. Jardine, A.P. et al., "Cavitation-Erosion Resistance of Thick-Film Thermally Sprayed NiTi," M.R.S. Symp. Proc., vol. 213, p. 815, (1991) Jovicic, V., Coop, M. R. and Simic, M. (1996), Objective criteria for determining G max from Bender Element tests, Geotechnique, Vol. 46, No. 2, pp. 357-362. Shirley, D. J. and L.D. Hampton 1978. Shear-wave measurements in laboratory sediments. Journal of the Acoustical Society of America, 63 (2) Feb., pp. 607-613. Shirley, D. J. 1978. An improved shear wave transducer. Journal of the Acoustical Society of America, 63 (5) May, pp. 1643-1645. S. Stallebrass and R. Taylor, "The development and evaluation of a constitutive model for the prediction of ground movements in overconsolidated clay", Géotechnique, 47(2), 235-253, 1997. Sully, J.P. and Campanella, R.G. (1995). Evaluation of in situ anisotropy from crosshole and downhole shear wave velocity measurements. Géotechnique 45, No. 2, pp. 267-282. Viggiani, G. and Atkinson, J. H. (1995), Interpretation of Bender Element tests, Geotechnique, Vol. 45, No. 1, pp. 149-154. Vucetic, M., Dobry, R. (1991), Effect of soil plasticity on cyclic response, Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, Vol. 117, No. 1, pp. 89-107. Wichtmann, T. and Triantafyllidis, Th. (2004), Influence of a cyclic and dynamic loading history on dynamic properties of dry sand, part II: cyclic axial preloading, Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol. 24, pp. 789 803.