ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ΔΙΑΛΕΞΗ 3: Αλγοριθµική Ελαχιστοποίηση (Quine-McCluskey, tabular method) ΧΑΡΗΣ ΘΕΟΧΑΡΙΔΗΣ Επίκουρος Καθηγητής, ΗΜΜΥ (ttheocharides@ucy.ac.cy)
Επανάληψη q Δυαδική Λογική και Πύλες q Άλγεβρα Boole Βασικές ιδιότητες Αλγεβρικός Χειρισµός/Μετασχηµατισµός q Κανονικές (Canonical) και Πρότυπες (Standard) µορφές Ελαχιστόροι (minterms) και Μεγιστόροι (maxterms) SOP and POS (κανονικές και πρότυπες µορφές) Χάρτες Karnaugh (K-χάρτες) Xάρτες 2, 3ων, 4ων, και 5 µεταβλητών Απλοποίηση χρησιµοποιώντας K-χάρτες q Επεξεργασία K-χαρτών Implicants: Primes (κύριοι), Essentials (ουσιώδεις) Αδιάφοροι όροι (don t cares) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.2
Αλγοριθµική Ελαχιστοποίηση q Τι κάνουµε για συναρτήσεις που έχουν περισσότερες από 4-5 µεταβλητές; q Χρησιµοποιούµε διαδικασίες/αλγόριθµους ελαχιστοποίησης που µπορούν να προγραµµατιστούν = Computer-Aided Design (CAD) π.χ. Αλγόριθµος Quine-McCluskey (βλέπε σηµειώσεις) π.χ. Espresso ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.3
Μέθοδος Κατάταξης σε Πίνακα q Επίσης γνωστή ως: Μέθοδος Quine-McCluskey (από τους επινοητές) Tabular Method q Μπορεί να αυτοµατοποιηθεί (CAD) q Μπορεί να υποστηρίξει µεγαλύτερο αριθµό µεταβλητών (από Κ-χάρτες) q 2 βασικά µέρη: Προσδιορισµός ΟΛΩΝ των prime implicants (PIs) Επιλογή ελάχιστου αριθµού prime implicants (PIs) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.4
1 ο Μέρος: Προσδιορισµός ΟΛΩΝ των PIs q Βήµα 1: Βρίσκουµε τις δυαδικές αναπαραστάσεις των ελαχιστόρων και τις κατατάσσουµε σε οµάδες, ανάλογα µε τον αριθµό των 1 ων που περιέχουν. q Π.χ. F(w,x,y,z) = m(0,1,2,8,10,11,14,15) Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) 0 0000 0 1 0001 2 0010 1 8 1000 Αρ. Άσσων 10 1010 2 11 1011 3 14 1110 15 1111 4 Βήµα 1 ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.5
1 ο Μέρος: Προσδιορισµός ΟΛΩΝ των PIs q Βήµα 2: Συνδυάζουµε όρους που διαφέρουν µόνο κατά µία µεταβλητή. Σηµειώνουµε µε X τους όρους του προηγούµενου βήµατος που συµµετέχουν τουλάχιστον σε ένα συνδυασµό. q Π.χ. F(w,x,y,z) = m(0,1,2,8,10,11,14,15) Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) x 0 0000 0 x 1 0001 x 2 0010 1 x 8 1000 x 10 1010 2 x 11 1011 3 x 14 1110 x 15 1111 4 Βήµα 1 Αρ. Άσσων ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.6 Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) 0, 1 000-0,2 00-0 0,8-000 2,10-010 8,10 10-0 10,11 101-10,14 1-10 11,15 1-11 14,15 111- Βήµα 2 Αρ. Άσσων 0 1 2 3
1 ο Μέρος: Προσδιορισµός ΟΛΩΝ των PIs q Βήµα 3: Επαναλαµβάνουµε το Βήµα 2, µέχρι να µην µπορεί να γίνει κανένας συνδυασµός όρων. q Π.χ. F(w,x,y,z) = m(0,1,2,8,10,11,14,15) Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) X 0 0000 0 X 1 0001 X 2 0010 1 X 8 1000 X 10 1010 2 X 11 1011 3 X 14 1110 X 15 1111 4 Βήµα 1 Αρ. Άσσων ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.7 Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) 0, 1 000- X 0,2 00-0 X 0,8-000 X 2,10-010 X 8,10 10-0 X 10,11 101- X 10,14 1-10 X 11,15 1-11 X 14,15 111- Βήµα 2 Αρ. Άσσων 0 1 2 3 Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) 0,2,8,10-0-0 0,8,2,10-0-0 10,11,14,15 1-1- 10,14,11,15 1-1- Βήµα 3 Αρ. Άσσων 0 1 2
1 ο Μέρος: Προσδιορισµός ΟΛΩΝ των PIs q Βήµα 4: Κρατούµε ΟΛΟΥΣ τους όρους που ΔΕΝ έχουν σηµειωθεί µε X == ΟΛΟΙ οι PIs q Π.χ. F(w,x,y,z) = m(0,1,2,8,10,11,14,15) = w x y +x z +wy Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) 0 0000 0 1 0001 2 0010 1 8 1000 10 1010 2 11 1011 3 14 1110 15 1111 4 Βήµα 1 Αρ. Άσσων ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.8 Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) 0, 1 000-0,2 00-0 0,8-000 2,10-010 8,10 10-0 10,11 101-10,14 1-10 11,15 1-11 14,15 111- Βήµα 2 Αρ. Άσσων 0 1 2 3 Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) 0,2,8,10-0-0 0,8,2,10-0-0 10,11,14,15 1-1- 10,14,11,15 1-1- Βήµα 3 Αρ. Άσσων 0 1 2
2 ο Μέρος: Επιλογή Eλάχιστου Aριθµού PIs q Βήµα 1: Δηµιουργία Πίνακα των Prime Implicants q Π.χ. F(w,x,y,z) = m(0,1,2,8,10,11,14,15) µε PIs = w x y +x z +wy (από το 1 ο Μέρος) Ελαχιστόροι στον PI PIs 0,1 000-0,2,8,10-0-0 10,11,14,15 1-1- Ελαχιστόροι wxyz 0 1 2 8 10 11 14 15 ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.9
2 ο Μέρος: Επιλογή Eλάχιστου Aριθµού PIs q Βήµα 2: Προσδιορισµός Essential Prime Implicants q Π.χ. F(w,x,y,z) = m(0,1,2,8,10,11,14,15) Ελαχιστόροι στον PI PIs 0,1 000-0,2,8,10-0-0 10,11,14,15 1-1- Ο ελαχιστόρος 1 καλύπτεται µόνο µία φορά, από τον PI 000- = w x y Ελαχιστόροι wxyz 0 1 2 8 10 11 14 15 Essential PIs = w x y +x z +wy ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.10
2 ο Μέρος: Επιλογή Eλάχιστου Aριθµού PIs q Βήµα 3: Σηµειώνουµε µε τους Essential PIs όσους ελαχιστόρους καλύπτονται από q Π.χ. F(w,x,y,z) = m(0,1,2,8,10,11,14,15) Ελαχιστόροι στον PI PIs 0,1 000-0,2,8,10-0-0 10,11,14,15 1-1- Ο ελαχιστόρος 1 καλύπτεται µόνο µία φορά, από τον PI 000- = w x y Ελαχιστόροι wxyz 0 1 2 8 10 11 14 15 Essential PIs = w x y +x z +wy ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.11
2 ο Μέρος: Επιλογή Eλάχιστου Aριθµού PIs q Βήµα 4: Για όσους ελαχιστόρους έχουν µείνει ακάλυπτοι, βρίσκουµε τον µικρότερο αριθµό από PIs που µπορεί να τους καλύψει q Π.χ. F(w,x,y,z) = m(0,1,2,8,10,11,14,15) Ελαχιστόροι στον PI PIs 0,1 000-0,2,8,10-0-0 10,11,14,15 1-1- Ο ελαχιστόρος 1 καλύπτεται µόνο µία φορά, από τον PI 000- = w x y Ελαχιστόροι wxyz 0 1 2 8 10 11 14 15 Essential PIs = w x y +x z +wy ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.12
Παράδειγµα Μέρος 1 ο q F(w,x,y,z) = m(1,4,6,7,8,9,10,11,15) Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) Αρ. Άσσων Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) Αρ. Άσσων Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) Αρ. Άσσων 1 0001 4 0100 1 8 1000 1,9-001 4,6 01-0 8,9 100-1 8,9,10,11 10-- 8,10,9,11 10-- 1 2 6 0110 8,10 10-0 3 9 1001 10 1010 2 6,7 011-9,11 10-1 2 Βήµα 3 7 0111 3 11 1011 15 1111 4 10,11 101-7,15-111 11,15 1-11 3 Βήµα 1 Βήµα 2 ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.13
Παράδειγµα Μέρος 1 ο q F(w,x,y,z) = m(1,4,6,7,8,9,10,11,15) Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) Αρ. Άσσων Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) Αρ. Άσσων Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) Αρ. Άσσων 1 0001 4 0100 1 8 1000 1,9-001 4,6 01-0 8,9 100-1 8,9,10,11 10-- 8,10,9,11 10-- 1 2 6 0110 8,10 10-0 3 9 1001 10 1010 2 6,7 011-9,11 10-1 2 Βήµα 3 7 0111 3 11 1011 15 1111 4 10,11 101-7,15-111 11,15 1-11 3 Υπάρχουν 6 PIs Βήµα 1 Βήµα 2 ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.14
Παράδειγµα Μέρος 2 ο q PIs = {(1,9), (4,6), (6,7), (7,15), (11,15), (8,9,10,11)} = {x y z, w xz, w xy, xyz, wyz, wx } Ελαχιστόροι στον PI PIs 1,9 x y z 4,6 w xz 6,7 w xy 7,15 xyz 11,15 wyz 8,9,10,11 wx Ελαχιστόροι wxyz 1 4 6 7 8 9 10 11 15 Κάνουν τον PI essential Καλύπτονται από EPI Καλύπτονται από όχι EPI ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.15
Παράδειγµα Μέρος 2 ο q PIs = {(1,9), (4,6), (6,7), (7,15), (11,15), (8,9,10,11)} = {x y z, w xz, w xy, xyz, wyz, wx } Ελαχιστόροι στον PI PIs 1,9 x y z 4,6 w xz Ελαχιστόροι wxyz 1 4 6 7 8 9 10 11 15 EPIs 6,7 w xy 7,15 xyz 11,15 wyz 8,9,10,11 wx Κάνουν τον PI essential Καλύπτονται από EPI Καλύπτονται από όχι EPI ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.16
Παράδειγµα Μέρος 2 ο q PIs = {(1,9), (4,6), (6,7), (7,15), (11,15), (8,9,10,11)} = {x y z, w xz, w xy, xyz, wyz, wx } Ελαχιστόροι στον PI PIs 1,9 x y z 4,6 w xz Ελαχιστόροι wxyz 1 4 6 7 8 9 10 11 15 EPIs 6,7 w xy 7,15 xyz 11,15 wyz 8,9,10,11 wx Κάνουν τον PI essential Καλύπτονται από EPI F(w,x,y,z) = x y z + w xz + wx + xyz Καλύπτονται από όχι EPI ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.17
Μέθοδος Κατάταξης σε Πίνακα q Υποστηρίζει και συνθήκες αδιαφορίας (don t care terms) Οι αδιάφοροι όροι λαµβάνονται υπόψη στο 1 ο µέρος, όπου παράγονται όλοι οι PI Δεν περιλαµβάνονται στον 2 ο µέρος, αφού οι αδιάφοροι όροι δεν είναι ανάγκη να καλυφθούν q Π.χ. f(a,b,c,d) = m(1,2,4,5,6,8,9) και f(a,b,c,d) = d(10,11,14,15) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.18
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Q-M Method (I) F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) q Transform the given Boolean function into a canonical SOP function q Convert each Minterm into binary format q Arrange each binary minterm in groups All the minterms in one group contain the same number of 1 ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.19
Q-M Method: Grouping minterms F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) A B C D E (0) 0 0 0 0 0 (2) 0 0 0 1 0 (4) 0 0 1 0 0 (8) 0 1 0 0 0 (16) 1 0 0 0 0 (6) 0 0 1 1 0 (10) 0 1 0 1 0 (12) 0 1 1 0 0 (18) 1 0 0 1 0 (7) 0 0 1 1 1 (11) 0 1 0 1 1 (13) 0 1 1 0 1 (14) 0 1 1 1 0 (19) 1 0 0 1 1 (29) 1 1 1 0 1 (30) 1 1 1 1 0 ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.20
Q-M Method (II) q Combine terms with Hamming distance=1 from adjacent groups q Check ( ) the terms being combined The checked terms are covered by the combined new term q Keep doing this till no combination is possible between adjacent groups ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.21
Q-M Method: Grouping minterms A B C D E (0,2) 0 0 0 0 (0,4) 0 0-0 0 (0,8) 0-0 0 0 (0,16) - 0 0 0 0 (2,6) 0 0-1 0 (2,10) 0-0 1 0 (2,18) - 0 0 1 0 (4,6) 0 0 1-0 (4,12) 0-1 0 0 (8,10) (8,12) 0 1 0-0 0 1-0 0 (16,18) 1 0 0-0 (6,7) 0 0 1 1 - (6,14) 0-1 1 0 (10,11) 0 1 0 1 - (10,14) 0 1-1 0 (12,13) 0 1 1 0 - (12,14) 0 1 1-0 (18,19) 1 0 0 1 - (13,29) - 1 1 0 1 (14,30) - 1 1 1 0 F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) A B C D E (0,2,4,6) 0 0-0 (0,2,8,10) 0-0 0 (0,2,16,18) - 0 0 0 (0,4,8,12) 0 - - 0 0 (2,6,10,14) 0 - - 1 0 (4,6,12,14) 0-1 - 0 (8,10,12,14) 0 1 - - 0 A B C D E (0,2,4,6 0 - - - 0 8,10,12,14) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.22
Prime Implicants F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) A B C D E (6,7) 0 0 1 1 - (10,11) 0 1 0 1 - (12,13) 0 1 1 0 - (18,19) 1 0 0 1 - (13,29) - 1 1 0 1 (14,30) - 1 1 1 0 (0,2,16,18) - 0 0 0 (0,2,4,6 0 - - - 0 8,10,12,14) Unchecked terms are prime implicants ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.23
Prime Implicants F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) A B C D E (6,7) 0 0 1 1 - (10,11) 0 1 0 1 - (12,13) 0 1 1 0 - (18,19) 1 0 0 1 - (13,29) - 1 1 0 1 (14,30) - 1 1 1 0 (0,2,16,18) - 0 0 0 (0,2,4,6 0 - - - 0 8,10,12,14) = ABCD = ABCD = ABCD = ABCD = BCDE = BCDE = BCE = AE Unchecked terms are prime implicants ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.24
Q-M Method (III) q Form a Prime Implicant Table X-axis: the minterm Y-axis: prime implicants q An is placed at the intersection of a row and column if the corresponding prime implicant includes the corresponding product (term) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.25
Q-M Method: Prime Implicant Table F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30 (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.26
Q-M Method (IV) q Locate the essential row from the table These are essential prime implicants The row consists of minterms covered by a single q Mark all minterms covered by the essential prime implicants q Find non-essential prime implicants to cover the rest of minterms q Form the SOP function with the prime implicants selected, which is the minimal representation ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.27
Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30 (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.28
Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30 (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.29
Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30 (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.30
Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30 (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.31
Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30 (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.32
Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30 (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.33
Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30 (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.34
Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30 (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.35
Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30 (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.36
Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30 (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18), (18,19) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.37
Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30 (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18), (18,19) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.38
Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30 (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18), (18,19), (13,29) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.39
Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30 (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18), (18,19), (13,29) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.40
Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30 (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18), (18,19), (13,29), (14,30) Now all the minterms are covered by selected prime implicants! ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.41
Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30 (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18), (18,19), (13,29), (14,30) Now all the minterms are covered by selected prime implicants! Note that (12,13), a non-essential prime implicant, is not needed ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.42
Q-M Method Result 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30 (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X F(A,B,C, D,E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) = (6,7) + (10,11) + (18,19) + (13,29) + (14,30) + (0,2,16,18) + (0,2,4,6,8,10,12,14) = ABCD + ABCD + ABCD + BCDE + BCDE + BCE + AE ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.43
Q-M Method Example 2 q Sometimes, simplification by K- map method could be less than optimal due to human error q Quine-McCluskey method can guarantee an optimal answer F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) CD AB 00 01 11 10 00 1 1 0 0 01 1 X X 1 11 1 0 0 X 10 1 1 0 1 ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.44
Grouping minterms F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) A B C D (0) 0 0 0 0 (1) 0 0 0 1 (4) 0 1 0 0 (8) 1 0 0 0 (5) 0 1 0 1 (6) 0 1 1 0 (9) 1 0 0 1 (10) 1 0 1 0 (12) 1 1 0 0 (7) 0 1 1 1 (14) 1 1 1 0 A B C D (0,1) 0 0 0 - (0,4) 0-0 0 (0,8) - 0 0 0 (1,5) 0-0 1 (1,9) - 0 0 1 (4,5) 0 1 0 (4,6) 0 1 0 (4,12) 1 0 0 (8,9) 1 0 0 (8,10) 1 0 0 (8,12) 1 0 0 (5,7) 0 1-1 (6,7) 0 1 1 - (6,14) - 1 1 0 (10,14) 1 1 0 (12,14) 1 1-0 A B C D (0,1,4,5) 0-0 - (0,1,8,9) - 0 0 (0,4,8,12) - - 0 0 (4,5,6,7) 0 1 - - (4,6,12,14) - 1-0 (8,10,12,14) 1 - - 0 ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.45
Prime Implicants F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) A B C D (0,1,4,5) 0-0 - (0,1,8,9) - 0 0 (0,4,8,12) - - 0 0 (4,5,6,7) 0 1 - - (4,6,12,14) - 1-0 (8,10,12,14) 1 - - 0 Don t Care 0 1 4 6 8 9 10 12 5 7 14 (0,1,4,5) X X X X (0,1,8,9) X X X X (0,4,8,12) X X X X (4,5,6,7) X X X X (4,6,12,14) X X X X (8,10,12,14) X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.46
Prime Implicants F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) A B C D (0,1,4,5) 0-0 - (0,1,8,9) - 0 0 (0,4,8,12) - - 0 0 (4,5,6,7) 0 1 - - (4,6,12,14) - 1-0 (8,10,12,14) 1 - - 0 Don t Care 0 1 4 6 8 9 10 12 5 7 14 (0,1,4,5) X X X X (0,1,8,9) X X X X (0,4,8,12) X X X X (4,5,6,7) X X X X (4,6,12,14) X X X X (8,10,12,14) X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.47
Prime Implicants F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) A B C D (0,1,4,5) 0-0 - (0,1,8,9) - 0 0 (0,4,8,12) - - 0 0 (4,5,6,7) 0 1 - - (4,6,12,14) - 1-0 (8,10,12,14) 1 - - 0 Don t Care 0 1 4 6 8 9 10 12 5 7 14 (0,1,4,5) X X X X (0,1,8,9) X X X X (0,4,8,12) X X X X (4,5,6,7) X X X X (4,6,12,14) X X X X (8,10,12,14) X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.48
Prime Implicants F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) (0,1,4,5) A B C D 0-0 - (0,1,8,9) - 0 0 (0,4,8,12) - - 0 0 (4,5,6,7) 0 1 - - (4,6,12,14) - 1-0 (8,10,12,14) 1 - - 0 Don t Care 0 1 4 6 8 9 10 12 5 7 14 (0,1,4,5) X X X X (0,1,8,9) X X X X (0,4,8,12) X X X X (4,5,6,7) X X X X (4,6,12,14) X X X X (8,10,12,14) X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.49
Prime Implicants F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) A B C D (0,1,4,5) 0-0 - (0,1,8,9) - 0 0 (0,4,8,12) - - 0 0 (4,5,6,7) 0 1 - - (4,6,12,14) - 1-0 (8,10,12,14) 1 - - 0 Don t Care 0 1 4 6 8 9 10 12 5 7 14 (0,1,4,5) X X X X (0,1,8,9) X X X X (0,4,8,12) X X X X (4,5,6,7) X X X X (4,6,12,14) X X X X (8,10,12,14) X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.50
Prime Implicants F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) A B C D (0,1,4,5) 0-0 - (0,1,8,9) - 0 0 (0,4,8,12) - - 0 0 (4,5,6,7) 0 1 - - (4,6,12,14) - 1-0 (8,10,12,14) 1 - - 0 Essential PI Non-Essential PI Essential PI Don t Care 0 1 4 6 8 9 10 12 5 7 14 (0,1,4,5) X X X X (0,1,8,9) X X X X (0,4,8,12) X X X X (4,5,6,7) X X X X (4,6,12,14) X X X X (8,10,12,14) X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.51
Q-M Method Solution F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) A B C D (0,1,4,5) 0-0 - (0,1,8,9) - 0 0 (0,4,8,12) - - 0 0 (4,5,6,7) 0 1 - - (4,6,12,14) - 1-0 (8,10,12,14) 1 - - 0 = BC + AD + AB Don t Care 0 1 4 6 8 9 10 12 5 7 14 (0,1,4,5) X X X X (0,1,8,9) X X X X (0,4,8,12) X X X X (4,5,6,7) X X X X (4,6,12,14) X X X X (8,10,12,14) X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.52
Yet Another Q-M Method Solution F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) A B C D (0,1,4,5) 0-0 - (0,1,8,9) - 0 0 (0,4,8,12) - - 0 0 (4,5,6,7) 0 1 - - (4,6,12,14) - 1-0 (8,10,12,14) 1 - - 0 = BC + AD + BD Don t Care 0 1 4 6 8 9 10 12 5 7 14 (0,1,4,5) X X X X (0,1,8,9) X X X X (0,4,8,12) X X X X (4,5,6,7) X X X X (4,6,12,14) X X X X (8,10,12,14) X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.53
K-Map Ισοδύναµη µέθοδος CD AB 00 01 11 10 00 1 1 0 0 01 1 X X 1 11 1 0 0 X 10 1 1 0 1 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 0 0 01 1 X X 1 11 1 0 0 X 10 1 1 0 1 F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) = BC + AD + AB F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) = BC + AD + BD ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.54