ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ (8 ΠΕΡΙΟΔΟΙ)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Κατηγορία Α ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ (8 ΠΕΡΙΟΔΟΙ) 1. Ποια στάση και ποιο άξονα θα επιλέγατε για να δώσετε στο σώμα σας τη μικρότερη ροπή αδρανείας; Τη μεγαλύτερη;. Οι κύλινδροι του σχήματος είναι κατασκευασμένοι από το ίδιο υλικό, είναι ομογενείς, έχουν την ίδια μάζα και περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Να εξηγήσετε ποιον από τους δυο κυλίνδρους μπορείτε να σταματήσετε πιο εύκολα. Α ω Β ω 3. Δυο σφαίρες έχουν την ίδια ακτίνα και την ίδια μάζα. Ωστόσο η μια είναι συμπαγής και η άλλη είναι κούφια. Πώς μπορείτε να ξεχωρίσετε την κούφια; 4. Δυο σφαιρίδια Σ 1 και Σ, με μάζες 3kg και 5kg αντίστοιχα, είναι συνδεδεμένα μεταξύ τους με αβαρή ράβδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Θεωρώντας τα σφαιρίδια ως υλικά σημεία, να υπολογίσετε τη ροπή αδρανείας του συστήματος ως προς άξονες Α, Β, Γ και Δ. Β Α Γ Σ 1 Σ 1m m Δ 5. Ποια είναι η φορά της στροφορμής της Γης που οφείλεται στην περιστροφή της γύρω από τον άξονά της; 6. Πιστεύεται ότι ο Ήλιος σχηματίστηκε από τη βαρυτική κατάρρευση ενός σύννεφου σκόνης που βρισκόταν στο χώρο που σήμερα καταλαμβάνει το ηλιακό σύστημα (και πέρα από αυτό). Αν υποθέσουμε ότι το σύννεφο αυτό ήταν σφαιρικό με ακτίνα R 0, και περιστρεφόταν με γωνιακή ταχύτητα ω 0, πόση είναι η σημερινή γωνιακή ταχύτητα του Ήλιου; Να θεωρήσετε ότι ο ήλιος είναι σφαιρικός με ακτίνα R, και να αγνοήσετε τις μάζες των πλανητών. (Η μάζα του Ήλιου αποτελεί το 99,85% της μάζας του ηλιακού συστήματος ενώ όλοι μαζί οι πλανήτες μόνο το 0,135%) Δίνεται I mr 5 7. Να εξηγήσετε πότε η Γη έχει μεγαλύτερη γραμμική ταχύτητα καθώς περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο, όταν βρίσκεται στο αφήλιο ή στο περιήλιο; 8. Όταν ένας κολυμβητής καταδύσεων θέλει να κάνει αναστροφές στον αέρα, μαζεύει τα πόδια του κοντά στο στήθος του. Γιατί κάνει την αναστροφή του πιο γρήγορη; Τι πρέπει να κάνει για να επιβραδύνει την αναστροφή; 9. Χορεύτρια στον πάγο με ανοικτά χέρια περιστρέφεται γύρω από τον εαυτό της με ρυθμό,4 στροφές ανά δευτερόλεπτο. Όταν κλείσει τα χέρια της, η ροπή αδράνειας της ελαττώνεται στα 6/10 της αρχικής τιμής. Με ποιο ρυθμό περιστρέφεται τότε; (Απάντηση: 4 στρ./s) 1

Κατηγορία Β 10. Οριζόντιος κυκλικός δίσκος περιστρέφεται ελεύθερα με συχνότητα 1Ηz γύρω από κατακόρυφο άξονα περιστροφής που περνά από το κέντρο του. Ένα κομμάτι πλαστελίνης μάζας 8g αφήνεται να πέσει και να κολλήσει στο δίσκο σε απόσταση 0,5m από τον άξονα περιστροφής. Τότε η συχνότητα του δίσκου γίνεται 0,8Ηz. α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του δίσκου. (Απάντηση: 0,008 kg. m ) β. Να υπολογίσετε την αρχική κινητική ενέργεια του δίσκου και την τελική κινητική ενέργεια του συστήματος μετά την πτώση της πλαστελίνης. Να σχολιάσετε τα αποτελέσματα. (Απάντηση: 0,158 J, 0,16 J) 11. Μαθητής κάθεται πάνω σε κάθισμα που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα και έχει τα χέρια του ανοικτά σε οριζόντια θέση. Η ροπή αδράνειας του συστήματος είναι kg. m. Το κάθισμα και ο μαθητής περιστρέφονται με γωνιακή ταχύτητα 1,5rad/s. i. Ο μαθητής φέρνει τα χέρια στο στήθος του οπότε η ροπή αδράνειας του συστήματος ελαττώνεται στα 1,kg. m. ii. α. Να υπολογίστε τη η νέα τιμή της γωνιακής ταχύτητας. (Απάντηση:,5 rad/s) β. Να υπολογίστε τη μεταβολή στην κινητική ενέργεια του συστήματος. Που οφείλεται η μεταβολή αυτή; (Απάντηση: 1,5 J) Στη συνέχεια ο μαθητής ανοίγει λίγο τα χέρια του και η ροπή αδράνειας του συστήματος γίνεται 1,8kg. m. Να υπολογίσετε τη νέα κινητική ενέργεια, να τη συγκρίνετε με τις προηγούμενες τιμές και να εξηγήσετε τα αποτελέσματα των υπολογισμών σας. (Απάντηση:,5 J) 1. Οριζόντιος δίσκος μάζας 10kg και ακτίνας 1m περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο του. Ένας άνθρωπος μάζας 60kg βρίσκεται στην περιφέρεια του περιστρεφόμενου δίσκου και έχει γραμμική ταχύτητα 10m/s. Αν μετακινηθεί στο κέντρο του δίσκου, ποια θα είναι η μεταβολή στο μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου και ποια θα είναι η μεταβολή στην κινητική ενέργεια του συστήματος; Σημείωση: Οι διαστάσεις του ανθρώπου θεωρούνται αμελητέες συγκρινόμενες με αυτές του δίσκου. Ροπή 1 αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής : I mr. (Απάντηση: 10 rad/s, 6000 J) 13. Μαθητής, μάζας 60kg βρίσκεται στην άκρη μιας πλατφόρμας ακτίνας m. Η πλατφόρμα είναι αρχικά ακίνητη και έχει τη δυνατότητα να περιστρέφεται οριζόντια χωρίς τριβές με ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής της 360 kg. m. Ο μαθητής αρχίζει να περπατά δεξιόστροφα (όπως φαίνεται από πάνω) στην περιφέρεια της πλατφόρμας με γραμμική ταχύτητα 1,5m/s ως προς το έδαφος. α. Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα της πλατφόρμας; (Απάντηση: 0,5 rad/s) β. Στη συνέχεια περπατά προς το κέντρο της πλατφόρμας και παραμένει εκεί. Ποια είναι τώρα η γωνιακή ταχύτητα της πλατφόρμας; (Απ: 0 rad/s)

Κατηγορία Γ 14. Κύλινδρος με ροπή αδράνειας Ι 1 περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω 0 γύρω από κατακόρυφο άξονα χωρίς τριβή. Δεύτερος κύλινδρος, με ροπή αδράνειας Ι που αρχικά είναι ακίνητος, πέφτει πάνω στον πρώτο και τελικά αποκτούν και οι δύο την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω. 0 α. Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα ω. (Απάντηση: ) I β. Να υπολογίσετε το λόγο της τελικής προς την αρχική κινητική ενέργεια. Να εξηγήσετε πού οφείλεται η απώλεια που παρατηρείται. (Απάντηση: ) I γ. Ποια θα ήταν η απώλεια στην κινητική ενέργεια αν ο δεύτερος κύλινδρος περιστρεφόταν αρχικά και αυτός όπως ο πρώτος με γωνιακή ταχύτητα ω 0 γύρω από κατακόρυφο άξονα χωρίς τριβή; (Απάντηση: 0 J) 15. Υλικό σημείο μάζας m βρίσκεται στην περιφέρεια οριζόντιου δίσκου μάζας Μ και ακτίνας r. Ο δίσκος περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω 1 γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο του στο σημείο Κ. Με εσωτερικό μηχανισμό το υλικό σημείο εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα υ. Σαν αποτέλεσμα ο δίσκος περιστρέφεται αντίστροφα με γωνιακή ταχύτητα ω. α. Να εκφράσετε τη στροφορμή του συστήματος, i. μόλις πριν την εκτόξευση, (Απ: L ω r (M m) 1 πριν ) ) ii. αμέσως μετά την εκτόξευση. (Απ: Mr ω mυ r )) Lμετ ά M M Κ ω Κ ω 1 m r r m υ Αν Μ=kg, r=1m, ω 1 =10rad/s, ω =15rad/s m=0,1kg, διάρκεια εκτόξευσης Δt=0,1s 1 και ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής I Mr, β. Η ταχύτητα υ. (Απ: υ =60 m/s) γ. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος. (Απ: ΔΕ κ =+3437,5J) δ. Να παραστήσετε γραφικά στο ίδιο διάγραμμα τη στροφορμή του δίσκου και τη στροφορμή του υλικού σημείου ως προς το Κ συναρτήσει του χρόνου (από t=0s ως t=0,5s, θεωρώντας ότι η εκτόξευση αρχίζει τη χρονική στιγμή t=0,s. 3

16. Ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους 0,3m και μάζας m=0,kg μπορεί να περιστρέφεται κατακόρυφα, χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο Α. Η ράβδος αφήνεται ελεύθερη από την οριζόντια θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως 1 προς το άκρο Α είναι I A m. 3 Α κ.μ. 0,3m m=0,kg Γ α. Να δείξετε ότι το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου τη στιγμή που περνά από την κατακόρυφη θέση είναι ω 1 =10rad/s. Γ Σφαίρα από πλαστεσίνη, ίσης μάζας με αυτή της ράβδου, ισορροπεί σε οριζόντια επιφάνεια. Τη στιγμή που η ράβδος περνά από την κατακόρυφη θέση το κάτω άκρο της Γ συγκρούεται με τη σφαίρα και στη συνέχεια τα δύο σώματα περιστρέφονται μαζί. Η κρούση έχει αμελητέα διάρκεια. β. Να διατυπώσετε την αρχή διατήρησης της στροφορμής. γ. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήματος των σωμάτων ως προς το Α μετά την κρούση. (Απ: 0,04kgm ) δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του συστήματος αμέσως μετά την κρούση. (Απ:,5rad/s) 17. Η τροχαλία του σχήματος έχει ροπή αδράνειας 0,05kg. m, ακτίνα 0,0m, είναι στερεωμένη στον τοίχο και στην περιφέρεια της είναι τυλιγμένο λεπτό νήμα. Στην άλλη άκρη του νήματος είναι στερεωμένο σώμα μάζας 0,50kg το οποίο συγκρατούμε σε ύψος h=1,50m από το έδαφος. Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα οπότε αυτό κατεβαίνει, το νήμα ξετυλίγεται και η τροχαλία περιστρέφεται. Με ποια ταχύτητα το σώμα κτυπά στο έδαφος; (g=10 m/s ) (Απάντηση:,93 m/s) 18. Στη διάταξη του σχήματος κρατάμε το σώμα Σ σε ύψος 1m από το έδαφος, ώστε η επιμήκυνση του ελατηρίου να είναι μηδέν. Στη συνέχεια αφήνουμε το Σ ελεύθερο. Οι τριβές και οι αντιστάσεις θεωρούνται αμελητέες. α. Η ταχύτητα του Σ όταν αυτό βρίσκεται σε ύψος 80cm από το έδαφος. (Απ. υ=1m/s) β. Το μικρότερο ύψος από το έδαφος, στο οποίο θα κατέβει το Σ. (Απ. 0,6 m) K=100N/m h=1m R=0,15m I=0,045kgm Σ m=kg 4 Έδαφος

19. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε για να μελετήσουμε την αρχή διατήρησης της στροφορμής. Να συμπληρώσετε τα κενά στο πιο κάτω κείμενο. Ζυγίζουμε την πλατφόρμα και καταχωρούμε στο Calculate τη μισή μάζα που βρίσκουμε επειδή..... Καταχωρούμε επίσης στο Calculate τα ακόλουθα: α β γ δ Τοποθετούμε το χαρτονάκι λίγο πριν τη... Πατούμε Start και περιστρέφουμε το δίσκο. Μόλις εκτελέσει τα 3/4 της πρώτης του περιστροφής αφήνουμε τα να πέσουν. Περιμένουμε να εμφανιστούν στην οθόνη οι γωνιακές ταχύτητες πριν και μετά την πτώση και πατούμε stop. Μετρούμε την απόσταση.. και την καταχωρούμε στο Calculate.,0 1,5.10-3 5.10-3 8,00,0 Με τη βοήθεια των δεδομένων που φαίνονται στην οθόνη του υπολογιστή υπολογίζουμε τις στροφορμές L 1 και L ως ακολούθως: L 1 =.. L =.. Υπολογίζουμε το % σφάλμα επί της αρχικής τιμής της στροφορμής: %σφάλμα= Τα σφάλματα οφείλονται κυρίως στους πιο κάτω παράγοντες α. β... 5