ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Γρηγόριος ΜΑΝΟΥΚΑΣ 1, Ασημίνα ΑΘΑΝΑΤΟΠΟΥΛΟΥ 2, Ιωάννης ΑΒΡΑΜΙΔΗΣ 3

3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας 5 7 Νοεμβρίου, 008 Άρθρο 795 Αξιολόγηση Στατικής Υπερωθητικής Ανάλυσης Βασισμένης σε Εργικά Ισοδύναμο Μονοβάθμιο Σύστημα Evaluation of Static Pushover Analysis Based on an Energy-Equivalent Single Degree of Freedom System Γρηγόριος ΜΑΝΟΥΚΑΣ, Ασημίνα ΑΘΑΝΑΤΟΠΟΥΛΟΥ, Ιωάννης ΑΒΡΑΜΙΔΗΣ 3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Αντικείμενο της παρούσας εργασίας είναι η παρουσίαση και αξιολόγηση μιας νέας παραλλαγής της Στατικής Υπερωθητικής Ανάλυσης (ΣΥΑ). Η προτεινόμενη μεθοδολογία ακολουθεί τα βήματα της γνωστής μεθόδου τροποποίησης της μετακίνησης (Ανελαστική Στατική Μέθοδος κατά ΚΑΝ.ΕΠΕ., Coefficient Method κατά FEMA 356/440), διαφοροποιείται όμως στη διαδικασία υπολογισμού των χαρακτηριστικών του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Συγκεκριμένα, ο υπολογισμός βασίζεται στην εξίσωση του έργου των επιβαλλόμενων στο πολυβάθμιο προσομοίωμα οριζόντιων φορτίων με την ενέργεια παραμόρφωσης του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Μετά από μια σύντομη παρουσίαση της μεθόδου, ακολουθεί μια σειρά αριθμητικών εφαρμογών σε επίπεδα μη κανονικά πλαίσια. Θεωρώντας ως λύση αναφοράς τα αποτελέσματα που προκύπτουν από ανελαστική δυναμική ανάλυση, γίνεται σύγκριση με την κλασική ΣΥΑ των προαναφερθέντων κανονιστικών κειμένων, από την οποία προκύπτει σαφής υπεροχή της προτεινόμενης μεθόδου. ABSTRACT : In this paper a new enhanced Nonlinear Static Procedure (NSP) is presented and evaluated. The steps of the proposed methodology are quite similar to those of the wellknown Coefficient Method (FEMA 356/440). However, the determination of the characteristics of the equivalent single degree of freedom (E-SDOF) system is based on a different philosophy. Specifically, the E-SDOF system is determined by equating the external work of the lateral loads acting on the MDOF system under consideration to the strain energy of the E-SDOF system. After a brief outline of the method, a series of applications to planar irregular frames is presented. Considering the results obtained by nonlinear time-history analysis as the reference solution, a comparison between the proposed and the conventional NSPs is conducted, which shows that the proposed method gives much better results. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Την τελευταία δεκαετία καταβλήθηκαν προσπάθειες για την ανάπτυξη μεθόδων προσεγγιστικής εκτίμησης της ανελαστικής σεισμικής συμπεριφοράς κατασκευών, προκειμένου να αποφευχθεί το αυξημένο υπολογιστικό κόστος και οι λοιπές εγγενείς αδυναμίες της ακριβούς ανελαστικής δυναμικής ανάλυσης. Καρπός αυτών των προσπαθειών Υποψήφιος Διδάκτορας, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠΘ, email: grman7@otenet.gr Αναπληρώτρια Καθηγήτρια, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠΘ, email: minak@civil.auth.gr 3 Καθηγητής, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠΘ, email: avram@civil.auth.gr

ήταν η ανάπτυξη της Στατικής Υπερωθητικής Ανάλυσης (ΣΥΑ) όπως προσφυώς αποδίδεται ο αγγλικός όρος pushover analysis, παραλλαγές της οποίας υιοθετήθηκαν τα τελευταία χρόνια από σύγχρονα κανονιστικά κείμενα με την ονομασία Ανελαστική Στατική Μέθοδος. Η ΣΥΑ αποτελεί ένα εύχρηστο εργαλείο για την αντιμετώπιση προβλημάτων της πράξης, παρουσιάζει όμως σοβαρά μειονεκτήματα που επισημάνθηκαν ήδη προ πολλού από διάφορους ερευνητές (π.χ. Krawinkler et al. 998). Γι αυτό, με στόχο την άρση αυτών των μειονεκτημάτων, αναπτύχθηκαν διάφορες «προχωρημένες» παραλλαγές της ΣΥΑ, όπως π.χ. η Πολύ-Ιδιομορφική Ανελαστική Ανάλυση (Chopra et al. 00) και οι προσαρμοστικές μέθοδοι (π.χ. Pinho et al. 005). Στόχος της παρούσας εργασίας είναι η παρουσίαση και αξιολόγηση μιας νέας παραλλαγής της ΣΥΑ. Η προτεινόμενη μεθοδολογία ακολουθεί τα βήματα της γνωστής μεθόδου τροποποίησης της μετακίνησης (Ανελαστική Στατική Μέθοδος κατά ΚΑΝ.ΕΠΕ., Coefficient Method κατά FEMA 356/440), διαφοροποιείται όμως στη διαδικασία υπολογισμού των χαρακτηριστικών του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Συγκεκριμένα, ο υπολογισμός βασίζεται στην εξίσωση του έργου των επιβαλλόμενων στο πολυβάθμιο προσομοίωμα οριζόντιων φορτίων με την ενέργεια παραμόρφωσης του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Καταρχάς γίνεται μια σύντομη παρουσίαση του θεωρητικού υποβάθρου της μεθόδου. Λαμβάνοντας υπόψη κάποιες βασικές παραδοχές και εφαρμόζοντας γνωστές αρχές της Δυναμικής των Κατασκευών εξάγονται ορισμένα θεμελιώδη συμπεράσματα, στα οποία βασίζεται η διατύπωση ενός εναλλακτικού, εργικά ισοδύναμου, μονοβάθμιου συστήματος (ΕΙΜΣ), μέσω του οποίου υπολογίζεται η μετακίνηση στόχος και τα άλλα μεγέθη απόκρισης που ενδιαφέρουν το μηχανικό, όπως οι διαφορικές μετακινήσεις των ορόφων και τα εντασιακά μεγέθη. Ακολουθεί η περιγραφή της διαδικασίας εφαρμογής της μεθόδου βήμα προς βήμα. Εν συνεχεία αξιολογείται η ακρίβεια των αποτελεσμάτων μέσα από μια σειρά αριθμητικών εφαρμογών σε επίπεδα μη κανονικά πλαίσια από οπλισμένο σκυρόδεμα. Για κάθε ένα από τα πλαίσια αυτά διενεργείται στατική υπερωθητική ανάλυση δύο φορές (μια φορά με την προτεινόμενη μέθοδο και μία με την κλασική διαδικασία που προτείνουν οι κανονισμοί), χρησιμοποιώντας τα φάσματα επιλεγμένων επιταχυνσιογραφημάτων. Ακολουθεί συστηματική σύγκριση των αποτελεσμάτων των παραπάνω αναλύσεων, τόσο μεταξύ τους, όσο και με αυτά που προκύπτουν από ανελαστική δυναμική ανάλυση, η οποία θεωρείται εδώ ως λύση αναφοράς. Τα μεγέθη που συγκρίνονται είναι οι μετακινήσεις των ορόφων των πλαισίων για τους εξεταζόμενους σεισμούς. Τέλος, η εργασία κλείνει με κριτική των αποτελεσμάτων και συμπεράσματα. ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Ανάλυση σε Αποκρίσεις Ισοδύναμων Μονοβάθμιων Συστημάτων Έστω τυχαίο γενικά χωρικό ελαστικό Ν-βάθμιο σύστημα που υποβάλλεται σε διέγερση ü g(t) της βάσης του. Η κίνησή του περιγράφεται από το παρακάτω σύστημα εξισώσεων (Αναστασιάδης 004): Μü (t) + C u& (t) + Ku (t) = -Mδü g(t) ()

όπου, κατά τα γνωστά, Μ το ΝxN διαγώνιο μητρώο μάζας, C και K τα ΝxN συμμετρικά μητρώα απόσβεσης και δυσκαμψίας αντίστοιχα, δ το διάνυσμα των στερεοστατικών μετακινήσεων (που εξαρτάται από τη διεύθυνση της διέγερσης) και u (t) το Νx διάνυσμα των σχετικών ως προς τη βάση μετακινήσεων των Ν βαθμών ελευθερίας (Σημ.: Ακολούθως ο δείκτης (t) παραλείπεται χάριν ευκολίας). Το μητρώο u μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα των Ν ιδιομορφικών του συνιστωσών: N N iqi iuu = = i = = iφ() όπου φ i το ιδιοδιάνυσμα της ιδιομορφής i και q i η κύρια συντεταγμένη (που εξαρτάται από το χρόνο και τη διέγερση). Ομοίως και το μητρώο των ελαστικών δυνάμεων επαναφοράς F μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα ιδιομορφικών συνιστωσών (Σημ.: Ο όρος δύναμη χρησιμοποιείται υπό γενικευμένη έννοια, δηλ. μπορεί να περιλαμβάνει και ροπές): N N N ifkφn qωμφiiιiif = = = = (3) i = i = i = Kuiqi = Η ποσότητα: V i = δ Τ F i = ω i q i δ Τ Μφ i = ω i q i L i (4) όπου L i ο συντελεστής διέγερσης της ιδιομορφής i, παριστάνει το άθροισμα των ιδιομορφικών φορτίων που αντιστοιχούν σε μη μηδενικούς όρους του διανύσματος δ. Δηλαδή, στην περίπτωση οριζόντιας μεταφορικής διέγερσης είναι η ιδιομορφική τέμνουσα βάσης κατά τη διεύθυνση της διέγερσης. Εισάγοντας τις Εξισώσεις και 3 στην Εξίσωση Τ, πολλαπλασιάζοντας από αριστερά με φ i και εκμεταλλευόμενοι τις σχέσεις ορθογωνικότητας των ιδιομορφών, καταλήγουμε σε Ν ανεξάρτητες εξισώσεις της μορφής: Μ i.. iq+ Μ i ω i ζ i. iq+ Μ i ω i iq= - L i ü g (5) ή ισοδύναμα:..iq+ ω i ζ i. iq+ ω i iq= - ν i ü g (6) όπου Μ i και ν i = L i /Μ i η γενικευμένη μάζα και ο συντελεστής συμμετοχής της ιδιομορφής i αντίστοιχα. Θέτοντας στις Εξισώσεις 4 και 6 iq= ν i idκαι πολλαπλασιάζοντας τα δύο μέλη της Εξίσωσης 6 με L i έχουμε: V i = ω i ν i idl i = ω i Μ i * id(7) Μ i *.. id+ Μ i * ω i ζ i. id+ ω i Μ i * id= Μ i *.. id+ Μ i * ω i ζ i. id+ V i = - Μ i * ü g (8) όπου Μ i * = ν i L i η δρώσα μάζα της ιδιομορφής i. Από τις Εξισώσεις 7 και 8 προκύπτει το συμπέρασμα ότι η απόκριση του Ν-βάθμιου συστήματος μπορεί να προκύψει με επαλληλία των αποκρίσεων Ν μονοβάθμιων συστημάτων, το καθένα από τα οποία αντιστοιχεί σε μια ιδιομορφή και έχει μάζα ίση με τη δρώσα μάζα της ιδιομορφής και ελαστική δύναμη επαναφοράς ίση με την ποσότητα V i, που στη συνήθη περίπτωση οριζόντιας μεταφορικής διέγερσης ταυτίζεται με την ιδιομορφική τέμνουσα βάσης κατά τη διεύθυνση της διέγερσης. Τα ισοδύναμα μονοβάθμια συστήματα θα μπορούσαν βέβαια να οριστούν και 3

FjijiddiMdδιαφορετικά, με μάζα κάποια άλλη ποσότητα και ελαστική δύναμη επαναφοράς μια αντίστοιχη συνάρτηση της V i. Έργο Ιδιομορφικών Φορτίων Έστω ότι το τυχόν Ν-βάθμιο σύστημα, που υποβάλλεται στη διέγερση ü g στο στοιχειώδες N dn iφdqχρονικό διάστημα dt, παρουσιάζει τις στοιχειώδεις μετακινήσεις du = = = N ii i = iui = ii = iφvdd. Το έργο των ιδιομορφικών φορτίων της ιδιομορφής i λόγω των στοιχειωδών ιδιομορφικών μετακινήσεων du i είναι: dε i = N j = u d(9) όπου το du ji συμβολίζει τον όρο της j γραμμής του μητρώου du i και το F ji τον όρο της j γραμμής του μητρώου των ιδιομορφικών φορτίων F i. Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφεί και σε μητρωική διατύπωση ως εξής: dε i = du i Τ F i ddε i = φ Τ i ν i Diω idi ν i Μφ i dε i = ω i ν i ν i (φ i Τ Μφ i ) iddi dε i = ω i ν i LDiΜ i idi dε i = ω i Μ i * iddi ddε i = V i Di(0) Παρατηρούμε ότι το έργο των ιδιομορφικών ddφορτίων της ιδιομορφής i λόγω των στοιχειωδών iιδιομορφικών μετακινήσεων du i = ν i φ i ταυτίζεται με το έργο της ελαστικής δύναμης επαναφοράς (ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης) ddτου ισοδύναμου μονοβάθμιου iσυστήματος λόγω της στοιχειώδους μετακίνησης. ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Ανάλυση σε Αποκρίσεις Ισοδύναμων Μονοβάθμιων Συστημάτων Για τη μη γραμμική περιοχή συμπεριφοράς γίνεται η παραδοχή ότι η απόκριση ενός Ν- βάθμιου συστήματος μπορεί να αναλυθεί, όπως και στην ελαστική περιοχή, σε επαλληλία αποκρίσεων Ν «ιδιομορφών» με «ιδιοδιανύσματα» φ i (Σημ.: Τα εισαγωγικά υποδηλώνουν ότι οι όροι χρησιμοποιούνται καταχρηστικά, αφού προέρχονται από τη γραμμική ανάλυση). Οι 4

μετακινήσεις u i θεωρούνται ανάλογες των φ i και οι δυνάμεις επαναφοράς Fs i ανάλογες του γινομένου Μφ i. Τα φ i μάλιστα θεωρούνται χρονικώς αμετάβλητα, παρά τη διαδοχική πλαστικοποίηση διατομών του συστήματος. Η κίνηση του συστήματος περιγράφεται από το παρακάτω σύστημα εξισώσεων (Αναστασιάδης 004): Μü + C u& + Fs = -Mδü g () Η μόνη διαφορά του Συστήματος Εξισώσεων από το είναι ότι οι δυνάμεις επαναφοράς Fs δεν είναι πλέον γραμμικές συναρτήσεις των μετακινήσεων με σταθερούς συντελεστές τους όρους του μητρώου δυσκαμψίας Κ. Πάντως, χάρη στις παραπάνω παραδοχές, οι Fs μπορούν να αναλυθούν σε «ιδιομορφικές» συνιστώσες: N Fs = = i iφ sn αμi= () Fιi = όπου α i είναι μια υστερητικού τύπου συνάρτηση που εξαρτάται από τη γενικευμένη συντεταγμένη iqκαι την ιστορία της φόρτισης. Η ποσότητα Vs i = δ Τ Fs i = α i L i (3) παριστάνει, όπως και στην ελαστική περιοχή, το άθροισμα των «ιδιομορφικών» φορτίων που αντιστοιχούν σε μη μηδενικούς όρους του διανύσματος δ. Δηλαδή, στη συνήθη περίπτωση οριζόντιας μεταφορικής διέγερσης είναι η «ιδιομορφική» τέμνουσα βάσης κατά τη διεύθυνση της διέγερσης. Εισάγοντας τις Εξισώσεις και στο Σύστημα Εξισώσεων, πολλαπλασιάζοντας από αριστερά με φ i Τ και εκμεταλλευόμενοι τις σχέσεις ορθογωνικότητας των «ιδιομορφών», καταλήγουμε σε Ν ανεξάρτητες εξισώσεις της μορφής:.. iq+ ω i ζ i. iq+ α i = - ν i ü g (4) Θέτοντας στην Εξίσωση 4 iq= ν i idκαι πολλαπλασιάζοντας τα δύο μέλη της με L i έχουμε: L i ν i.. id+ L i ω i ζ i ν i. id+ L i α i = - L i ν i ü g (5) ή ισοδύναμα: Μ i *.. id+ Μ i * ω i ζ i. id+ Vs i = - Μ i * ü g (6) Από την Εξίσωση 6 προκύπτει το συμπέρασμα ότι η μη γραμμική απόκριση ενός Ν- βάθμιου συστήματος χάρη στις παραδοχές που αναφέρθηκαν προηγουμένως μπορεί να προκύψει με επαλληλία των αποκρίσεων Ν μονοβάθμιων συστημάτων το καθένα από τα οποία αντιστοιχεί σε μια «ιδιομορφή» και έχει μάζα ίση με τη δρώσα μάζα της «ιδιομορφής» και μη γραμμική δύναμη επαναφοράς ίση με την ποσότητα Vs i, που στη συνήθη περίπτωση οριζόντιας μεταφορικής διέγερσης ταυτίζεται με την «ιδιομορφική» τέμνουσα βάσης κατά τη διεύθυνση της διέγερσης. 5

FjisjiiMΈργο «Ιδιομορφικών» Φορτίων Έστω ότι το τυχόν Ν-βάθμιο σύστημα, που υποβάλλεται στη διέγερση ü g στο στοιχειώδες N dn iφdqχρονικό διάστημα dt, παρουσιάζει τις στοιχειώδεις μετακινήσεις du = = = N ii i = iui = ii = iφvdd. Το έργο των «ιδιομορφικών» φορτίων της «ιδιομορφής» i λόγω των στοιχειωδών «ιδιομορφικών» μετακινήσεων du i είναι: dε i = N j = u d(7) όπου το du ji συμβολίζει τον όρο της j γραμμής του μητρώου du i και το Fs ji τον όρο της j γραμμής του μητρώου των «ιδιομορφικών» φορτίων Fs i. Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφεί και σε μητρωική διατύπωση ως εξής: dε i = du Τ i Fs i dddε i = φ Τ ii ν i α i Μφ i ddidε i = α i ν i (φ Τ i Μφ i ) dε i = α i LdDiiΜ i ddε i = α i L i ddε i = Vs i Di Di(8) Παρατηρούμε ότι το έργο των «ιδιομορφικών» φορτίων Dτης «ιδιομορφής» i λόγω των στοιχειωδών «ιδιομορφικών» μετακινήσεων du i = ν i φ i idταυτίζεται με το έργο της μη γραμμικής δύναμης επαναφοράς (ενέργεια παραμόρφωσης) ddτου ισοδύναμου μονοβάθμιου iσυστήματος λόγω της στοιχειώδους μετακίνησης. Είναι προφανές ότι τα παραπάνω συμπεράσματα είναι αποτέλεσμα των παραδοχών που έγιναν και στην πράξη δεν μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα. Δηλαδή, όταν στα πλαίσια μιας στατικής υπερωθητικής ανάλυσης χρησιμοποιούμε ένα ισοδύναμο μονοβάθμιο σύστημα με δύναμη επαναφοράς Vs i, δεν ισχύει η τελευταία ισότητα των έργων. Αντίστροφα, dαν Dχρησιμοποιήσουμε ένα μονοβάθμιο σύστημα του dοποίου Dτο έργο παραμόρφωσης λόγω ταυτίζεται με το έργο των Fs i λόγω du i = ν i φ i, η δύναμη επαναφοράς του θα διαφέρει από την Vs i. Οι μέχρι τώρα γνωστές μέθοδοι στατικής υπερωθητικής ανάλυσης βασίζονται στην πρώτη προσέγγιση. ii6

mdvysyχαρακτηριστικα ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Ένα ανελαστικό μονοβάθμιο σύστημα με μάζα m και ελαστική δυσκαμψία k περιγράφεται συνήθως από ένα διάγραμμα δύναμης - μετακίνησης V-D όπως του Σχήματος, βάσει του οποίου προσδιορίζονται και τα χαρακτηριστικά του. Για την εφαρμογή της στατικής υπερωθητικής ανάλυσης τα χαρακτηριστικά που ενδιαφέρουν το μηχανικό είναι η ελαστική ιδιοπερίοδος Τ και ο συντελεστής συμπεριφοράς R ( Εξισώσεις 9 ). Σχήμα. Διάγραμμα δύναμης - μετακίνησης V-D μονοβάθμιου συστήματος. T = π ym Sα R = Va(9) Εναλλακτικά, η συμπεριφορά του ανελαστικού μονοβάθμιου συστήματος μπορεί να περιγραφεί και από ένα διάγραμμα ενέργειας παραμόρφωσης - μετακίνησης Ε-D, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Σχήμα. Διάγραμμα ενέργειας παραμόρφωσης - μετακίνησης Ε-D μονοβάθμιου συστήματος. 7

SyDEΤο διάγραμμα αυτό στην ελαστική περιοχή είναι μια παραβολή ου βαθμού (Ε = k D ), ενώ στην ανελαστική είναι επαλληλία μιας παραβολής και μιας ευθείας [Ε = Ε el + αk (D-Dy) + V y (D-Dy)]. Στην ειδική περίπτωση ελαστοπλαστικού συστήματος (α=0) η καμπύλη στην ανελαστική περιοχή εκφυλίζεται σε ευθεία με κλίση V y (διακεκομμένη γραμμή στο σχήμα ). Τα χαρακτηριστικά του συστήματος υπολογίζονται από τις Εξισώσεις 0. Ε el = Vy D y = k Dy (0α) mt = π yel Sα Sd R = Dd(0β) Οι δύο παραπάνω τρόποι περιγραφής της συμπεριφοράς του ανελαστικού μονοβάθμιου συστήματος είναι απόλυτα ισοδύναμοι και η σχέση των δύο διαγραμμάτων αμφιμονοσήμαντη. Δηλαδή, με γνωστό το διάγραμμα V-D μπορούμε να προσδιορίσουμε ένα και μόνο ένα διάγραμμα Ε-D και αντίστροφα. Σημειώνεται ότι κατά την εφαρμογή των διαφόρων παραλλαγών της στατικής υπερωθητικής ανάλυσης το διάγραμμα τέμνουσας βάσης - μετακίνησης κορυφής V-u N μετατρέπεται σε ένα εξιδανικευμένο διγραμμικό διάγραμμα δύναμης - μετακίνησης V-D. Η μετατροπή γίνεται με διάφορες τεχνικές που έχουν κοινό σημείο την εξίσωση των εμβαδών μεταξύ κάθε καμπύλης και του άξονα των μετακινήσεων. Στην περίπτωση του μονοβάθμιου συστήματος το εμβαδόν αυτό έχει φυσική σημασία και ισούται με την ενέργεια παραμόρφωσης (ελαστικής και ανελαστικής). Αντίθετα, στην περίπτωση της καμπύλης V-u N ενός πολυβάθμιου συστήματος το εμβαδόν αυτό δεν έχει καμία απολύτως φυσική σημασία, αφού μεταξύ της τέμνουσας βάσης του V και της μετακίνησης κορυφής του u N δεν υφίσταται εργική ανταπόκριση. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ Παρακάτω γίνεται μια βήμα προς βήμα περιγραφή της προτεινόμενης μεθόδου. Βήμα : Μορφώνουμε το γενικά χωρικό προσομοίωμα του εξεταζόμενου φορέα, όπως και στην κλασική στατική υπερωθητική ανάλυση. Βήμα : Επιβάλλουμε στο προσομοίωμα οριζόντια επαυξητική φόρτιση με κατανομή ανάλογη με το διάνυσμα Mφ i της ελαστικής ιδιομορφής i και σχεδιάζουμε το διάγραμμα ενέργειας παραμόρφωσης - μετακίνησης Ε-u N. Η μετακίνηση u N θα μπορούσε να αντιστοιχεί σε οποιονδήποτε βαθμό ελευθερίας, αλλά συμβατικά λαμβάνεται ως u N η μετακίνηση κατά τη διεύθυνση της διέγερσης του Κ.Β. του ανώτατου ορόφου (μετακίνηση κορυφής). Η ενέργεια παραμόρφωσης Ε ισούται με το άθροισμα των έργων όλων των εξωτερικών δυνάμεων, συμπεριλαμβανομένων τόσο των δυνάμεων που είναι κάθετες στη διεύθυνση διέγερσης, όσο και των ροπών στρέψης. Η μορφή του διαγράμματος Ε-u N στην ελαστική περιοχή είναι 8

παραβολική. Στην περίπτωση μάλιστα που το ιδιοδιάνυσμα φ i είναι κανονικοποιημένο ως προς u N (δηλ. φ Νi =) η ενέργεια παραμόρφωσης δίνεται από την εξίσωση: Ε = ui T Κu i = un φ i T Κ φ i u N = ki u N () όπου k i η γενικευμένη δυσκαμψία της ιδιομορφής i. Στην ανελαστική περιοχή το διάγραμμα Ε-u N είναι επαλληλία ευθειών και παραβολών που στα σημεία σχηματισμού πλαστικών αρθρώσεων παρουσιάζουν αλλαγές καμπυλότητας. Βήμα 3: Διαιρούμε τις τετμημένες του διαγράμματος Ε-u N με την ποσότητα ν i φ Νi = u Νi / idκαι λαμβάνουμε το διάγραμμα Ε-D του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος (Σχήμα 3) που αφορά στη θεωρούμενη ελαστική ιδιομορφή. Στο σημείο αυτό θα μπορούσαμε με κάποια γραφική προσεγγιστική μέθοδο να εξιδανικεύσουμε το διάγραμμα Ε-D σε ένα ιδανικό διάγραμμα χωρίς αλλαγές καμπυλότητας στην ανελαστική περιοχή και να υπολογίσουμε τα χαρακτηριστικά του ισοδύναμου συστήματος άμεσα από τις Εξισώσεις 0. Λόγω της πολυπλοκότητας όμως του διαγράμματος Ε-D, κάτι τέτοιο είναι δύσκολο, οπότε ακολουθούμε τη διαδικασία του παρακάτω βήματος. Σχήμα 3. Διάγραμμα ενέργειας παραμόρφωσης - μετακίνησης Ε-D ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Βήμα 4: Υπολογίζουμε το έργο Ε λ των εξωτερικών φορτίων σε καθένα από τα λ διακριτά διαστήματα μεταξύ του διαδοχικού σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων. Το τμήμα του Ε λ που δίνεται από την εξίσωση: dε λ = Ε λ V λ- dd λ = Ε λ V λ- (D λ - D λ- ) () μπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την εξίσωση μιας παραβολής: dε λ = kλ dd λ k λ = dε λ / dd λ (3) 9

Η παράμετρος k λ ισοδυναμεί με τη δυσκαμψία του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος κατά το διακριτό διάστημα λ. Η αντίστοιχη δύναμη προκύπτει από την εξίσωση: V λ = V λ- + k λ dd λ (4) Για λ =, δηλ. τη στιγμή σχηματισμού της πρώτης πλαστικής άρθρωσης, αποδεικνύεται ότι η δύναμη V ισούται με την τέμνουσα βάσης του πολυβάθμιου συστήματος κατά τη διεύθυνση της διέγερσης. Με τον τρόπο αυτό προκύπτει το διάγραμμα V-D του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος (Σχήμα 4) που αφορά στη θεωρούμενη ελαστική ιδιομορφή. Σχήμα 4. Διάγραμμα δύναμης - μετακίνησης V-D ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Βήμα 5: Με κάποια από τις γνωστές τεχνικές διγραμμικοποιούμε το διάγράμμα V-D και υπολογίζουμε από τις Εξισώσεις 9 τα χαρακτηριστικά του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Υπενθυμίζεται ότι ως μάζα χρησιμοποιείται η δρώσα μάζα Μ i * της ιδιομορφής i. Βήμα 6: Υπολογίζουμε με τη χρήση κάποιου φάσματος σχεδιασμού ή απόκρισης τη μετακίνηση στόχο που αφορά στη θεωρούμενη ελαστική ιδιομορφή, καθώς και τα αντίστοιχα εντασιακά και παραμορφωσιακά μεγέθη που ενδιαφέρουν τον μηχανικό. Βήμα 7: Επαναλαμβάνουμε τα παραπάνω βήματα έως 6 για επαρκή αριθμό ιδιομορφών. (Προφανώς αυτό δεν είναι υποχρεωτικό, αφού μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο λαμβάνοντας υπόψη μόνο μία ιδιομορφή). Βήμα 8: Με κάποιο κανόνα ιδιομορφικής επαλληλίας (SRSS ή CQC) υπολογίζουμε τα τελικά εντασιακά και παραμορφωσιακά μεγέθη. (Σημ.: Παρατηρούμε ότι βάσει των αρχικών παραδοχών διατηρείται η ανεξαρτησία των «ιδιομορφικών» αποκρίσεων όπως αυτή ισχύει στη γραμμική περιοχή). Όπως προκύπτει από την παραπάνω περιγραφή, η προτεινόμενη μέθοδος μπορεί εύκολα να προγραμματιστεί για χρήση σε ηλεκτρονικό υπολογιστή και μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιονδήποτε φορέα, επίπεδο ή χωρικό, κανονικό ή μη. Επίσης, είναι συμβατή με πολλές από τις λεγόμενες «προχωρημένες» παραλλαγές της ΣΥΑ. 0

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Γενικά Για την αξιολόγηση της ακρίβειας των αποτελεσμάτων που παρέχει η προτεινόμενη μέθοδος, έγινε εφαρμογή σε μια σειρά επίπεδων μη κανονικών πλαισίων από οπλισμένο σκυρόδεμα χρησιμοποιώντας τα φάσματα απόκρισης δώδεκα σχετικά πρόσφατων καταγραφών του ελληνικού χώρου. Συγκεκριμένα, για κάθε ένα από τα πλαίσια αυτά διενεργήθηκε στατική υπερωθητική ανάλυση δύο φορές, μια φορά με την προτεινόμενη μέθοδο και μία με την κλασική διαδικασία (μέθοδος τροποποίησης της μετακίνησης κατά ΚΑΝ.ΕΠΕ. και FEMA 356/440). Και στις δύο περιπτώσεις ελήφθη υπόψη μόνο η πρώτη ιδιομορφή ταλάντωσης. Ο συντελεστής που εκφράζει το λόγο της απαιτούμενης ανελαστικής μετακίνησης προς την απαιτούμενη μετακίνηση ενός απεριόριστα ελαστικού μονοβάθμιου συστήματος (C σύμφωνα με ΚΑΝ.ΕΠΕ. και FEMA 356/440) υπολογίστηκε ξεχωριστά για κάθε μια από τις σεισμικές διεγέρσεις που χρησιμοποιήθηκαν, με δυναμικές αναλύσεις ελαστοπλαστικών μονοβάθμιων συστημάτων για διάφορες τιμές ιδιοπεριόδων και συντελεστών συμπεριφοράς. Αυτό κρίθηκε αναγκαίο, γιατί οι τιμές που προτείνουν οι κανονισμοί βασίζονται σε στατιστική επεξεργασία δεδομένων με μεγάλη διασπορά και σε περιπτώσεις εφαρμογής της ΣΥΑ για φάσματα απόκρισης πραγματικών σεισμών (όπως στην παρούσα εργασία) ενδέχεται να εμφανιστούν μεγάλες ανακρίβειες (Μανούκας κ.α. 006). Τα αποτελέσματα που προέκυψαν συγκρίθηκαν τόσο μεταξύ τους, όσο και με αυτά που προκύπτουν από ανελαστική δυναμική ανάλυση, η οποία θεωρείται εδώ ως λύση αναφοράς. Τα μεγέθη που συγκρίθηκαν είναι οι μετακινήσεις των ορόφων των πλαισίων για τους εξεταζόμενους σεισμούς. Δεδομένα Πλαισίων Τα πλαίσια που χρησιμοποιήθηκαν διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες, ανάλογα με το είδος της μη κανονικότητας που παρουσιάζουν (Σχήματα 5 ως 0): Πλαίσια με ανομοιόμορφη κατανομή μάζας καθ ύψος (συμβολίζονται με το γράμμα Μ): σ αυτά οι μάζες των ορόφων μεταβάλλονται εναλλάξ από όροφο σε όροφο, ώστε να μην ικανοποιείται το αντίστοιχο κριτήριο κανονικότητας που θέτει ο Ελληνικός Αντισεισμικός Κανονισμός (ΕΑΚ 000/003). Πλαίσια με ανομοιόμορφη κατανομή δυσκαμψίας καθ ύψος (συμβολίζονται με το γράμμα Δ): σ αυτά τα ύψη των ορόφων μεταβάλλονται εναλλάξ από όροφο σε όροφο (ενώ οι διατομές παραμένουν σταθερές), ώστε να μην ικανοποιείται το αντίστοιχο κριτήριο κανονικότητας που θέτει ο Ελληνικός Αντισεισμικός Κανονισμός (ΕΑΚ 000/003). Πλαίσια με μαλακό ισόγειο (συμβολίζονται με το γράμμα Ι): σ αυτά το ύψος του ισογείου είναι αυξημένο σε σχέση με τους άλλους ορόφους (ενώ οι διατομές παραμένουν σταθερές καθ ύψος). Από κάθε κατηγορία εξετάστηκαν δύο επίπεδα πλαίσια: τετράστυλο έξι ορόφων και δίστυλο δώδεκα ορόφων. Το μήκος όλων των ανοιγμάτων είναι 5m, ενώ το ύψος των ορόφων 3m και για τους ορόφους που επιδιώκεται μείωση της δυσκαμψίας 5m. Όλα τα πλαίσια είναι από οπλισμένο σκυρόδεμα και πληρούν τις ελάχιστες απαιτήσεις διαστασιολόγησης των ελληνικών κανονισμών.

5,00m 5,00m 5,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m Σχήμα 5. Πλαίσιο Μ6 (Υποστυλώματα 50Χ50, Δοκοί 5Χ40) 5,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m Σχήμα 6.Πλαίσιο Μ (Υποστυλώματα 60Χ60, Δοκοί 5Χ50)

5,00m 5,00m 5,00m 5,00m 3,00m 5,00m 3,00m 5,00m 3,00m Σχήμα 7. Πλαίσιο Δ6 (Υποστυλώματα 50Χ50, Δοκοί 5Χ40) 5,00m 5,00m 3,00m 5,00m 3,00m 5,00m 3,00m 5,00m 3,00m 5,00m 3,00m 5,00m 3,00m Σχήμα 8. Πλαίσιο Δ (Υποστυλώματα 60Χ60, Δοκοί 5Χ50) 3

5,00m 5,00m 5,00m 5,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m Σχήμα 9.Πλαίσιο Ι6 (Υποστυλώματα 50Χ50, Δοκοί 5Χ40) 5,00m 5,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m 3,00m Σχήμα 0. Πλαίσιο Ι (Υποστυλώματα 60Χ60, Δοκοί 5Χ50) 4

Σεισμικές Διεγέρσεις Οι δυναμικές και στατικές αναλύσεις των πλαισίων έγιναν με τα επιταχυνσιογραφήματα και τα αντίστοιχα φάσματα απόκρισης δώδεκα σεισμικών διεγέρσεων του ελληνικού χώρου. Στον Πίνακα δίνονται οι μέγιστες εδαφικές (PGA) και φασματικές (PSA) επιταχύνσεις τους. Πίνακας. Σεισμικές Διεγέρσεις Σεισμική Διέγερση PGA(m/sec ) PSA (m/sec ) Αίγιο 995 (διαμήκης) 4.98.099 Αίγιο 995 (εγκάρσια) 5.36 4.57 Θεσσαλονίκη 978 (διαμήκης).389 4.477 Θεσσαλονίκη 978 (εγκάρσια).430 4.809 Αλκυονίδες 98 (διαμήκης).336 6.03 Αλκυονίδες 98 (εγκάρσια).989 8.55 Καλαμάτα 986 (διαμήκης).70 6.648 Καλαμάτα 986 (διαμήκης).93 0.5 Πάτρα 993 (διαμήκης).40 4.455 Πάτρα 993 (εγκάρσια) 3.936.5 Πύργος 993 (διαμήκης).466 5.887 Πύργος 993 (εγκάρσια) 4.455 7.705 Αποτελέσματα Στα παρακάτω σχήματα δίνεται το μέσο σφάλμα (ως προς τα αποτελέσματα της ανελαστικής δυναμικής ανάλυσης) των μετακινήσεων των ορόφων κάθε πλαισίου για τις δώδεκα εξεταζόμενες σεισμικές διεγέρσεις. Σε κάθε σχήμα υπάρχουν δύο καμπύλες: η μία αναφέρεται στην προτεινόμενη μέθοδο (Εργικά Ισοδύναμο Μονοβάθμιο Σύστημα, ΕΙΜΣ) και η άλλη στη συμβατική ΣΥΑ (Conventional Pushover Analysis, CPA). Κάθε πλαίσιο συμβολίζεται με ένα διψήφιο αλφαριθμητικό χαρακτήρα που δηλώνει την κατηγορία μη κανονικότητας που ανήκει και τον αριθμό των ορόφων του. Σημειώνεται ότι το θετικό πρόσημο σημαίνει ότι οι μετακινήσεις που προκύπτουν από τη ΣΥΑ είναι μεγαλύτερες από αυτές της ανελαστικής δυναμικής ανάλυσης. Αντίθετα, το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι οι μετακινήσεις υποεκτιμούνται. 6 5 Όροφος 4 3 0 0 5 0 5 0 5 30 Μέσο Σφάλμα (%) CPA ΕΙΜΣ Σχήμα. Μέσο σφάλμα μετακινήσεων ορόφων (%) Πλαίσιο Μ6 5

Όροφος 0 9 8 7 6 5 4 3 0-0 -0 0 0 0 30 Μέσο Σφάλμα (%) CPA ΕΙΜΣ Σχήμα. Μέσο σφάλμα μετακινήσεων ορόφων (%) Πλαίσιο Μ 6 5 Όροφος 4 3 CPA ΕΙΜΣ 0 0 0 0 30 40 50 Μέσο Σφάλμα (%) Σχήμα 3. Μέσο σφάλμα μετακινήσεων ορόφων (%) Πλαίσιο Δ6 Όροφος 0 9 8 7 6 5 4 3 0-0 0 0 40 60 CPA ΕΙΜΣ Μέσο Σφάλμα (%) Σχήμα 4. Μέσο σφάλμα μετακινήσεων ορόφων (%) Πλαίσιο Δ 6

Όροφος 6 5 4 3 CPA ΕΙΜΣ 0 0 5 0 5 0 5 30 35 Μέσο σφάλμα (%) Σχήμα 5. Μέσο σφάλμα μετακινήσεων ορόφων (%) Πλαίσιο Ι6 Όροφος 0 9 8 7 6 5 4 3 0-0 -0 0 0 0 30 Μέσο σφάλμα (%) CPA ΕΙΜΣ Σχήμα 6. Μέσο σφάλμα μετακινήσεων ορόφων (%) Πλαίσιο Ι ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΑ Με βάση τα παραπάνω σχήματα προκύπτουν τα εξής συμπεράσματα: Και οι τρεις κατηγορίες μη κανονικών πλαισίων εμφανίζουν παρόμοια εικόνα. Σε ό,τι αφορά στα εξαώροφα πλαίσια, προκύπτει ότι η προτεινόμενη μέθοδος είναι ελαφρά συντηρητική, με τα σφάλματα να κυμαίνονται από 5 ως 5% περίπου. Σε κάθε περίπτωση υπερέχει της κλασικής ΣΥΑ, η οποία εμφανίζει σφάλματα από 0 ως 40% περίπου. Σε ό,τι αφορά στα δωδεκαώροφα πλαίσια, και πάλι η προτεινόμενη μέθοδος (σφάλματα -5 ως 0%) υπερτερεί γενικά της συμβατικής διαδικασίας (σφάλματα -5 ως 55%). Αρνητικό στοιχείο αποτελεί η υποεκτίμηση των μετακινήσεων των κατώτερων και σε μία περίπτωση του ανώτερου ορόφου. Πιθανώς αυτό οφείλεται στην επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών, η οποία ως γνωστόν αυξάνεται με την 7

αύξηση του αριθμού των ορόφων. Έτσι, αν ληφθούν υπόψη περισσότερες της μιας ιδιομορφές αναμένεται σημαντική βελτίωση των αποτελεσμάτων. Παρόμοια συμπεράσματα προέκυψαν και από ανάλογες εφαρμογές σε κανονικά επίπεδα πλαίσια (Manoukas et al. 008). Ωστόσο η γενίκευσή τους είναι παρακινδυνευμένη, καθώς αυτό θα απαιτούσε εκτεταμένες έρευνες με τη χρήση μεγάλης ποικιλίας φορέων και σεισμικών διεγέρσεων. Επιπλέον, η επίτευξη ικανοποιητικής ακρίβειας σε ό,τι αφορά σε μια παράμετρο σχεδιασμού (όπως εδώ οι μετακινήσεις των ορόφων), δεν εξασφαλίζει ανάλογη ακρίβεια και σε άλλες παραμέτρους που ενδιαφέρουν το μηχανικό, όπως π.χ. οι διαφορικές μετακινήσεις των ορόφων (drifts) και οι απαιτούμενες πλαστικές παραμορφώσεις των κρίσιμων διατομών (Μανούκας κ.α. 006). ΑΝΑΦΟΡΕΣ ή ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Αναστασιάδης Κ.Κ., (004), Προσεγγιστικές μέθοδοι εκτίμησης ανελαστικής απόκρισης κτιρίων, Πανεπιστημιακές σημειώσεις Μ.Π.Σ. Α.Π.Θ. Αντισεισμικός Σχεδιασμός Τεχνικών Έργων. Chopra A.K., and Goel R.K., (00), A Modal Pushover Analysis Procedure to estimating seismic demands of buildings: theory and preliminary evaluation, PEER Report 00/03, Pacific Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley. Federal Emergency Management Agency, (000), Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings (FEMA 356). Federal Emergency Management Agency - Applied Technology Council, (004), Improvement of Nonlinear Static Seismic Analysis Procedures (FEMA 440). Krawinkler H., and Seneviratna G.D.P.K., (998), Prons and cons of a pushover analysis of seismic performance evaluation, Engineering Structures, Vol. 0, Nos 4-6, pp. 45 464. Manoukas G.E., Athanatopoulou A.M., and Avramidis I.E. (008), Static pushover analysis based on an energy-equivalent SDOF system, Proceedings of the 4th World Conference on Earthquake Engineering, Beijing, China. Μανούκας Γ.Η., Αθανατοπούλου Α.Μ., και Αβραμίδης Ι.Ε. (006), Συγκριτική διερεύνηση παραλλαγών της στατικής υπερωθητικής ανάλυσης βάσει σύγχρονων κανονιστικών κειμένων (FEMA 356-440, EC-8, ΚΑΝ.ΕΠΕ.), Πρακτικά 5 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Οπλισμένου Σκυροδέματος, Αλεξανδρούπολη. Οργανισμός Αντισεισμικού Σχεδιασμού και Προστασίας, (000/003), Ελληνικός Αντισεισμικός Κανονισμός (ΕΑΚ 000/003). Οργανισμός Αντισεισμικού Σχεδιασμού και Προστασίας, (004), Κανονισμός Επεμβάσεων (ΚΑΝ.ΕΠΕ.) Σχέδιο Κειμένου. Pinho R., and Antoniou S. (005), Α displacement-based adaptive pushover algorithm for assessment of vertically irregular frames, Proceedings of the 4th European Workshop on the Seismic Behavior of Irregular and Complex Structures, Thessaloniki, Greece, Paper No 30. 8