ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 10//10/01 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας 1 Kg βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης 45º. Μεταξύ του σώματος και του κεκλιμένου επιπέδου ο συντελεστής κινηματικής τριβής είναι μ. Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα έχει μηδενική ταχύτητα και ασκείται πάνω του μεταβλητή δύναμη = t, όπως στο διπλανό σχήμα, όπου θετική σταθερά. Το σώμα ολισθαίνει με την ταχύτητά του να δίνεται από τη σχέση υ(t) = 0 t -10 t στο διεθνές σύστημα μονάδων. α) Να κάνετε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για το σώμα όπου οι δυνάμεις που εμφανίζονται να εξηγούνται αναλυτικά. Οι δυνάμεις να συμβολίζονται με γράμματα. (0.5 μονάδα) β) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώματος, α(t). (0.5 μονάδα) γ) Να υπολογίσετε τη θέση του σώματος, x(t). (0.5 μονάδα) δ) να υπολογίσετε τη διάσταση των σταθερών 0 και 10 της συνάρτησης υ(t). (0.5 μονάδα) ε) να υπολογίσετε την τιμή της σταθεράς στο διεθνές σύστημα μονάδων και το συντελεστή κινηματικής τριβής μ. (1.5 μονάδα) στ) να προσδιορίσετε το χρονικό διάστημα όπου το σώμα κινείται προς τα πάνω. (0.5 μονάδα) Δίνεται ότι g=10 m/s α) Οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα είναι: το βάρος του Β, η τριβή Τ, η κάθετη αντίδραση από το κεκλιμένο επίπεδο Ν και η δύναμη. o διάγραμμα ελεύθερου σώματος για το σώμα είναι: 45º B β) Η επιτάχυνση, α(t), δίνεται από τη σχέση: Εικόνα 1 dυ(t) α(t) = = 40 t -10 γ) Η θέση του σώματος, x(t). δίνεται από τη σχέση:
t t 0 t x(t) = υ = (0 t -10 t) = 5 t 0 0 δ) Συμβολίζουμε με Α = 0 και Β = 10. -1 [υ] L [A][t ] = [υ] [A] = = = L [t ] - -1 [υ] L - [B][t] = [υ] [B] = = = L [t] ε) αναλύουμε τις δυνάμεις στο σύστημα που φαίνεται παρακάτω: y x B Άξονας x: - - Bsin 45 = mα () Άξονας y: - Bcos 45 = 0 () και = μ = μ mg cos 45 = 5 μ, αφού m=1 Kg, cos 45º= / και g=10 m/s (4) Από τις σχέσεις () και (4) λαμβάνουμε: - 5 μ - 5 = α - 5 (μ + 1) = α (5) Συγκρίνοντας τις σχέσεις και (5) βλέπουμε ότι: = 40 t επομένως = 40 Kg / (ms ) και μ=1. στ) Το σώμα κινείται προς τα πάνω όταν υ>0. Άρα, από τη σχέση ότι: υ(t) = 0 t -10 t > 0 t -1 > 0 t > 0.5s υ(t) = 0 t -10 t έχουμε ΑΣΚΗΣΗ A A Η δυναμική ενέργεια ενός σώματος είναι ίση με U(x) = - +, όπου Α θετική σταθερά. Να x x βρείτε: α) Τη δύναμη που ασκείται στο σώμα. (0.5 μονάδα)
β) Τις θέσεις ισορροπίας του σώματος. (0.5 μονάδα) γ) Το είδος ισορροπίας του σώματος για τις θέσεις του ερωτήματος β. (1 μονάδες) α) Η δύναμη, F(x), δίνεται από τη σχέση: du A A A A F(x) = - = - - = - 1- dx x x x x β) Στις θέσεις ισορροπίας ισχύει ότι F(x)=0, οπότε από τη σχέση λαμβάνουμε: A A A - 1 - = 0 1 - = 0 x = A x x x γ) Για το είδος ισορροπίας της θέσης x=a, ελέγχουμε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης U(x) στη θέση αυτή: du A A U'(x) = = - dx x x du' A 6A U''(x) = = - () 4 dx x x Η σχέση () για x=a δίνει: A 6A 1 U''(A) = - > 0, αφού το Α είναι θετική σταθερά. 4 8A 16A 8A Άρα η συνάρτηση U(x) στο σημείο x=a παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο και επομένως η θέση x=a είναι θέση ευσταθούς ισορροπίας. ΑΣΚΗΣΗ Σε σώμα μάζας m = Kg που βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι και είναι αρχικά σε ηρεμία, ασκείται η οριζόντια δύναμη =10 t (σε Ν), όπου t o χρόνος. Να βρεθεί το έργο που παράγεται στα δύο πρώτα δευτερόλεπτα της κίνησής του α) από τη δύναμη.. (1 μονάδα) β) από το βάρος του. (1 μονάδα) α) Η μόνη οριζόντια δύναμη είναι η, οπότε: F m F = mα α = = 5t m s Η ταχύτητα του σώματος, χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες, είναι:
υ = 5/ t οπότε για t = s, υ(s) = 10 m/s. Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας: 1 W = m υ (s) - 0 = 100 J Εναλλακτικά: W = dx = dx = υ(t) οπότε από τις σχέσεις και =10 t το έργο που παράγεται στα δύο πρώτα δευτερόλεπτα της κίνησής του είναι: 4 5t t W = 10 t = 5 = 100J 0 4 0 Προσοχή: το έργο που υπολογίζεται από το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας συμπίπτει με εκείνο της δύναμης διότι οι υπόλοιπες δυνάμεις δεν παράγουν έργο! β) Το έργο του βάρους είναι μηδενικό αφού το βάρος είναι κάθετο στη μετατόπιση. ΑΣΚΗΣΗ 4 Ομογενής δακτύλιος μάζας m και ακτίνας R αφήνεται να κυλήσει σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ: α) Να βρείτε τη ροπή αδράνειας του δακτυλίου ως προς το κέντρο μάζας του. (0.5 μονάδα) β) Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στο δακτύλιο προσδιορίζοντας το σημείο εφαρμογής τους. (1 μονάδα) γ) Να υπολογίσετε τη συνολική ροπή ως προς το κέντρο μάζας του δακτυλίου. (1 μονάδα) δ) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του δακτυλίου. (1.5 μονάδα) α) Κάθε τμήμα του δακτυλίου απέχει απόσταση R από το κέντρο μάζας του,, επομένως, I = m R. β) Οι δυνάμεις που ασκούνται στο δακτύλιο είναι: το βάρος του, Β, με σημείο εφαρμογής το κέντρο μάζας του,. η κάθετη αντίδραση από το κεκλιμένο επίπεδο, Ν, με σημείο εφαρμογής το κέντρο μάζας του,. η τριβή κύλισης, Τ, με σημείο εφαρμογής το σημείο επαφής του δακτυλίου με το κεκλιμένο επίπεδο, Α.
Α Β φ γ) Ως προς το κέντρο μάζας του δακτυλίου,, οι δυνάμεις Β και Ν έχουν μηδενική ροπή δεδομένου ότι το σημείο εφαρμογής τους είναι το ίδιο το. Απομένει η ροπή της τριβής, Τ ως προς, : () τ τ () = Α = R ẑ αφού Α=R, και Α. Το διάνυσμα ẑ παριστάνει το μοναδιαίο διάνυσμα με διεύθυνση κάθετη στη σελίδα και φορά προς τα έξω. δ) Ισχύει ότι: Νόμος δυναμικής για την περιστροφική κίνηση τ = I α τ I α R = m R α = m R α () γ γ γ γ () Σχέση γωνιακής και γραμμικής επιτάχυνσης α α = () R γ Νόμος δυναμικής για τη μεταφορική κίνηση mgsinφ - = mα (4) Αντικαθιστώντας στη σχέση (5) τις τιμές για τα μεγέθη Τ και α γ των εξισώσεων () και () λαμβάνουμε: mgsinφ - mα = mα α = g sinφ / -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------