ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

Transcript

1 ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 8/6/1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ατοκίνητο μάζας 1 Kg ξεκινώντας με μηδενική ταχύτητα επιταχύνει ομαλά σε οριζόντιο και λείο δρόμο χωρίς αντιστάσεις έτσι ώστε σε διάστημα 1 s να φθάνει σε ταχύτητα 18 /hr. α) Να πολογίσετε την επιτάχνση το κινητήρα. (.5 μονάδα) β) Να πολογίσετε την ισχύ το κινητήρα στο διάστημα των 1 s σε W. (.5 μονάδα) Στη σνέχεια, δηλαδή από τα 1 s και μετά, το ατοκίνητο κινείται με επιβράδνση πο δίνεται από τον τύπο α = -bx, όπο b θετική σταθερά και x η απόσταση. γ) να πολογίσετε τη διάσταση της σταθεράς b (.5 μονάδα) δ) αν το ατοκίνητο σταματά αφού έχει διανύσει απόσταση 1 μέτρων να βρείτε την τιμή της σταθεράς b. ε) να προσδιορίσετε τη σνάρτηση πο δίνει την απόσταση το ατοκινήτο σε σχέση με την ταχύτητα και την επιτάχνση το από τα 1 s και μετά. α) Αφού έχομε εθύγραμμη ομαλά επιταχνόμενη κίνηση ισχύει ότι: 1 = + αt, όπο =, = 18 = 18 = 3 και t = 1 s hr 36s s Τελικά βρίσκομε ότι α = 3 s β) Η ισχύς, Ρ, δίνεται από τη σχέση: W P = t όπο W το έργο στο διάστημα των 1 s. Για να βρούμε το W εφαρμόζομε το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας: T A W = E - E = - = 1Kg9 = J K K s Επομένως: J W P = = = 45W t 1s Εναλλακτικά: 1 1 W = F x = α α t = α t και W 1 1 t s P = = α t = 1Kg9 4 1s = 45W

2 γ) από τη σχέση α = -b x έχομε: - [α] L T [α] = [b][x] [b] = = = T [x] L - δ) ξεκινάμε από τη σχέση α = -b x πο γράφεται ως: d d dx d -b x -b x = -b x d = -b x dx dt dx dt dx x d = -b x dx x όπο = 3 /s η ταχύτητα στο τέλος των πρώτων 1s και θέτομε ως αρχή των αξόνων το σημείο x όπο βρίσκεται το ατοκίνητο τη χρονική στιγμή 1s, δηλαδή x =. Έτσι, η σχέση γίνεται: - = -b x () με = αφού το ατοκίνητο σταματά αφού έχει διανύσει απόσταση x = 1. Επομένως: 9 b = = s =.9s 4 x 1 - ε) Η σχέση () δίνει: - - = -b x - = α x x = α ΑΣΚΗΣΗ Σώμα μάζας ολισθαίνει στην εσωτερική επιφάνεια κάθετο και A λείο ημικύκλιο ακτίνας, όπως στο διπλανό σχήμα. Το σώμα ξεκινά από την ηρεμία όταν βρίσκεται στο σημείο Α. Η θέση το φ Γ σώματος προσδιορίζεται μέσω της γωνίας φ πο σχηματίζεται όπως απεικονίζεται στο σχήμα. Να βρείτε: α) Την κάθετη αντίδραση στο σημείο Β, όπο φ = π/. β) Να δείξετε ότι η γωνιακή ταχύτητα το σώματος δίνεται από τη B σχέση: ω gsin φ / γ) Να δείξετε ότι η κάθετη αντίδραση δίνεται από τη σχέση: Ν = 3gsinφ (1.5 μονάδες) δ) Να πολογίσετε τη δναμική ενέργεια το σώματος σε σνάρτηση με τη γωνία φ. ε) Να προσδιορίσετε ποιοτικά τις πιθανές θέσεις ισορροπίας και το είδος τος. (1.5 μονάδες) α) Στο σημείο Β, όπο φ = π/, οι δνάμεις πο ασκούνται στο σώμα είναι η κάθετη αντίδραση από την επιφάνεια, N, και το βάρος το, g. Οι δύο ατές δνάμεις έχον κατακόρφη διεύθνση και

3 αντίθετες φορές. Επίσης, αφού το σώμα εκτελεί κκλική κίνηση θα ισχύει ότι: N + g = F N - g = F όπο F η κεντρομόλος δύναμη με μέτρο: F = () Άρα, πρέπει να πολογίσομε την ταχύτητα στο σημείο Β. Εφαρμόζομε αρχή διατήρησης ενέργειας με επίπεδο μηδενικής δναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο πο περνά από το Β: 1 g = = g (3) B B Από τις σχέσεις -(3) παίρνομε: N = F + g = B + g = 3 g β) Σε τχαίο σημείο γωνίας φ, το σώμα βρίσκεται σε ύψος h ίσο με: h = cos(φ - π / ) = cos(π / - φ) = sinφ (4) φ Ν h π/ - φ g g sinφ με την ταχύτητα το,, να βρίσκεται από την αρχή διατήρησης ενέργειας με επίπεδο μηδενικής δναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο πο περνά από το σώμα: 1 g h = = g h g sinφ (5) Όμως, = ω οπότε έχομε ότι: ω = = gsinφ / γ) Από το παραπάνω σχήμα έχομε ότι: N - gsinφ = (6)

4 Σνδάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) λαμβάνομε: N - g sinφ = g sinφ N = 3 gsinφ δ) Η δναμική ενέργεια, με επίπεδο μηδενικής δναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο πο περνά από το Β, δίνεται από τη σχέση: U(φ) = g - g h = g ( - h) = g (1- sinφ) (7) όπο h το ύψος το σώματος σε τχαία θέση όπως δίνεται από τη σχέση (4). ε) Τα σημεία ισορροπίας προκύπτον από τα ακρότατα της σνάρτησης U(φ): du = -g cosφ = cosφ = φ = π / dφ Στο σημείο φ=π/ η δναμική ενέργεια παροσιάζει ελάχιστο (μάλιστα μηδενίζεται) άρα το σημείο ατό πο αντιστοιχεί στο Β είναι σημείο εσταθούς ισορροπίας. Σημείωση: ο όρος ποιοτικά αναφέρεται στο γεγονός ότι η ανάλση γίνεται για τη σνάρτηση U(φ) ενώ η θεωρία ισχύει για τη σνάρτηση U(x) όπο x η θέση το σώματος. Είναι φανερό ότι η U(x) είναι αρκετά πολύπλοκη σνάρτηση και σίγορα πάνω από τος στόχος της εξέτασης. ΑΣΚΗΣΗ 3 Δο σώματα με μάζα 1 και σνδέονται με ιδανικό νήμα μέσω μιας πραγματικής τροχαλίας όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Οι επιφάνειες είναι λείες και η τροχαλία μπορεί να θεωρηθεί ως δακτύλιος ακτίνας και μάζας Μ. Ζητείται: α) η επιτάχνση το σστήματος. (1.5 μονάδες) β) η σνολική ροπή το σστήματος.. ( μονάδες) Mg 1 g Το σύστημα κινείται όπως φαίνεται στο σχήμα και δεν πάρχον αντιστάσεις. g α) Σχεδιάζομε τα διαγράμματα ελεθέρο σώματος για τις μάζες 1, και την τροχαλία: N 1 N T 1 T T 1 1 g T Mg g Μάζα 1 Τροχαλία Μάζα

5 Προσέξτε ότι αφού η τροχαλία είναι πραγματική, οι τάσεις στο οριζόντιο και στο κάθετο τμήμα το ιδανικού νήματος είναι διαφορετικές κατά μέτρο, δηλαδή Τ 1 Τ. Όμως σε κάθε τμήμα το νήματος (οριζόντιο η κάθετο) οι τάσεις στα άκρα πρέπει να είναι ίσο μέτρο και αντίθετης φόρας αφού το μήκος το νήματος δεν μπορεί να μεταβληθεί (μη εκτατό νήμα). Ακριβώς γι ατό το λόγο οι οριζόντιες τάσεις πο ασκούνται στο σώμα 1 και στην τροχαλία σμβολίζονται με Τ 1 και έχον αντίθετη φορά. Ίδια λογική ισχύει και για τις τάσεις Τ με σημεία εφαρμογής το σώμα μάζας και την τροχαλία. Οι δνάμεις στην τροχαλία είναι: το βάρος της Mg και η κάθετη αντίδραση από το σημείο στήριξης, Ν, πο εφαρμόζονται στο κέντρο της, Ο. Επίσης, οι δο τάσεις νήματος Τ 1 και Τ, πο εφαρμόζονται σε σημεία της περιφέρειας το δακτλίο (θμηθείτε ότι η τροχαλία θεωρείται δακτύλιος). Εφαρμόζομε τος νόμος της δναμικής και έχομε: T = α 1 1 g - T = α () T - T = Iα (3) 1 γ α = α / (4) γ Με δεδομένο ότι για την τροχαλία-δακτύλιο I = M από τις σχέσεις (3) και (4) προκύπτει ότι: α (T - T ) = M => α M = T - T 1 1 (5) Αντικαθιστώντας στη σχέση (5) τις τιμές για τα μεγέθη Τ 1 κι Τ των εξισώσεων και () λαμβάνομε: α M = (g - α) - α => α (M + + ) = g => α = 1 1 M g (6) β) Υπολογίζομε τη σνολική ροπή των εξωτερικών δνάμεων πο για το σύστημα μάζες 1, και τροχαλία είναι οι εξής: 1 g, N 1, Mg,N και g. Σημειώστε ότι οι τάσεις Τ 1 και Τ είναι εσωτερικές δνάμεις το σστήματος. Ως προς το κέντρο της τροχαλίας, Ο, η ροπή των δνάμεων Mg και Ν είναι μηδενική. Επίσης, τ = -τ (αφού N + g = και έχον κοινό σημείο εφαρμογής) επομένως παραμένει μόνο η N1 1g 1 1 ροπή το βάρος g, δηλαδή θα έχομε ότι: τ = g εξ με διεύθνση κάθετη στη σελίδα και φορά προς τα έξω