Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Σχετικά έγγραφα
Αρχή του Περιστερώνα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αρχή του Περιστερώνα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου

Συνάρτηση: διμελής σχέση R A B όπου για κάθε α Α, υπάρχει μοναδικό β Βτ.ω. (α, β) R. Α: πεδίο ορισμού. Β: πεδίο τιμών. R(α) = β: βεικόναα(ως προς R).

Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Σχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Σχέσεις Μερικής ιάταξης

Σχέση Μερικής ιάταξης Σχέση Μερικής ιάταξης (ή µερική διάταξη): ανακλαστική, αντισυµµετρική, και µεταβατική. Αριθµοί: α β (αλλά όχι α < β), α β, Σύνολ

Συνδυαστική Απαρίθμηση

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

( ( )) ( 3 1) 2( 3 1)

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Σύνολα. Ορισμός Συνόλου. Υποσύνολα και Κενό Σύνολο. Στοιχεία ενός συνόλου:

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 14/4/2016

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Συνδυαστική Απαρίθμηση

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.

Φροντιστήριο #6 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 4/4/2019

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα

Αρχή Εγκλεισµού-Αποκλεισµού

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα

Συνδυαστική Απαρίθµηση

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Σχέσεις Μερικής Διάταξης

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις

ιακριτές Μέθοδοι για την Επιστήμη των Υπολογιστών

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Σχέσεις Μερικής ιάταξης

f (x ) f (x ) f (x )f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 1 f (x )f (x )

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

f (x ) f (x ) f (x )f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 1 f (x )f (x )

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

jτο πλήθος των ταξιδιών που κάνει η αεροσυνοδός µέχρι την j ηµέρα. Σχηµατίζω µία ακολουθία που αποτελείται από τα a.

... a b c d. b d a c

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία

F 5 = (F n, F n+1 ) = 1.

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

Σχέσεις Μερικής ιάταξης

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός

Φροντιστήριο #9 Ασκήσεις σε Γράφους 18/5/2018

Gutenberg

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση. Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Συνδυασμοί C(n, k): #επιλογών k από n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε ένα «αντίγραφο»).

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε

Αναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε»

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης

Transcript:

Αρχή του Περιστερώνα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Συναρτήσεις Συνάρτηση: διμελής σχέση R A B όπου για κάθε α Α, υπάρχει μοναδικό β Βτ.ω. (α, β) R. Α: πεδίο ορισμού. Β: πεδίο τιμών. R(α) = β: βεικόναα(ως προς R). f συνάρτηση 1-1: α 1 α 2 f(α 1 ) f(α 2 ). Δεν υπάρχουν δύο στοιχεία με ίδια εικόνα. f συνάρτηση επί: για κάθε β Β, υπάρχει α Αμεf(α) = β. Κάθε στοιχείο του Β είναι εικόνα κάποιου στοιχείου του Α. f αμφιμονοσήμαντη: 1-1 και επί. f αντιστοιχία μεταξύ στοιχείων Α και Β. Αντίστροφη f 1 είναι συνάρτηση ανν f αμφιμονοσήμαντη. Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Αρχή του Περιστερώνα 2

Αρχή Περιστερώνα Αν Α > Β, δεν υπάρχει 1-1 συνάρτηση από Α στο Β. Για κάθε συνάρτηση f, υπάρχουν α 1, α 2 Α τ.ω. f(α 1 ) = f(α 2 ). Αν n περιστέρια σε m φωλιές και n > m, φωλιά με 2 περιστέρια. Για κάθε συνάρτηση f από A στο Β, υπάρχουν α 1, α 2,..., α k Αμεf(α 1 ) = f(α 2 ) =... = f(α k ). Αν n περιστέρια σε m φωλιές, φωλιά με περιστέρια. Τετριμμένα παραδείγματα: Σε κάθε σύνολο 13 ανθρώπων, υπάρχουν 2 γεννημένοι ίδιο μήνα. Στον κόσμο ζουν 2 άνθρωποι γεννημένοι το ίδιο δευτερόλεπτο. Στην Ελλάδα ζουν 2 άνθρωποι γεννημένοι το ίδιο πεντάλεπτο. Σε κάθε πάρτυ, υπάρχουν δύο καλεσμένοι με τον ίδιο αριθμό φίλων στο πάρτυ (υποθ: σχέση φίλος συμμετρική, όχι ανακλαστική). Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Αρχή του Περιστερώνα 3

σύνολο 1000 διαφ. φυσικών, υπάρχουν x y: 573 (x y). Ποσότητες που αντιστοιχούν σε «περιστέρια» και «φωλιές»; «Περιστέρια»: 1000 φυσικοί. «Φωλιές»: 573 διαφορετικές τιμές για n mod 573. Αν επιλέξουμε n+1 διαφορετικούς φυσικούς υπάρχουν δύο που η διαφορά τους διαιρείται από το n. «Περιστέρια»: n+1 επιλεγμένοι αριθμοί. «Φωλιές»: n υπόλοιπα διαίρεσης με n ({0, 1,, n-1}). Δύο αριθμοί σε ίδια «φωλιά»: διαφορά τους διαιρείται από n. Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Αρχή του Περιστερώνα 4

Για κάθε σύνολο 10 (διαφορετικών) φυσικών < 100, υπάρχουν δύο διαφορετικά υποσύνολα με ίδιο άθροισμα. «Περιστέρια»: 2 10 1 = 1023 διαφορετικά μη κενά υποσύνολα. «Φωλιές»: Πιθανές τιμές για αθροίσματα υποσυνόλων ( 946). Αν θεωρήσουμε 26 διαφορετικά υποσύνολα του {1,..., 9} με 3 στοιχεία το πολύ, δύο από αυτά έχουν το ίδιο άθροισμα. «Περιστέρια»: 26 διαφορετικά υποσύνολα. «Φωλιές»: Πιθανές τιμές για αθροίσματα υποσυνόλων ( 25). Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Αρχή του Περιστερώνα 5

Αν 7 διαφορετικοί αριθμοί επιλεγούν από το {1, 2,..., 11}, 2 από αυτούς αθροίζονται στο 12. «Περιστέρια»: 7 επιλεγμένοι αριθμοί. «Φωλιές»: 6 «ζευγάρια» αριθμών που αθροίζονται στο 12. {1, 11}, {2, 10}, {3, 9}, {4, 8}, {5, 7}, {6}. {6} «δέχεται» έναν αριθμό το πολύ (μόνο το 6). Επιλέγουμε και τους δύο αριθμούς κάποιου άλλου ζευγαριού. Αν n+1 διαφορετικοί αριθμοί επιλεγούν από το {1,..., 2n 1}, 2 από αυτούς αθροίζονται στο 2n. «Περιστέρια»: n+1 επιλεγμένοι αριθμοί. «Φωλιές»: n «ζευγάρια» αριθμών που αθροίζονται στο 2n. {n} «δέχεται» έναν αριθμό το πολύ (μόνο το n). Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Αρχή του Περιστερώνα 6

Αν επιλέξουμε n+1 διαφορετικούς φυσικούς από {1, 2,..., 2n}, υπάρχουν δύο που είναι σχετικά πρώτοι. Αρκεί νδο υπάρχουν δύο αριθμοί α, β: β = α+1. «Περιστέρια»: n+1 επιλεγμένοι αριθμοί. «Φωλιές»: n ζεύγη «διαδοχικών» αριθμών στο {1, 2,..., 2n}. {1, 2}, {3, 4},..., {2n 1, 2n}. Αν επιλέξουμε n+1 φυσικούς από {1, 2,..., 2n}, υπάρχουν δύο που οέναςδιαιρείτονάλλο. «Περιστέρια»: n+1 επιλεγμένοι αριθμοί. «Φωλιές»: n περιττοί αριθμοί στο {1, 2,..., 2n}. Αριθμός x στη «φωλιά» mανν m μεγαλύτερος περιττός διαιρέτης του x (x = 2 k m, για κάποιο k 0). Αριθμοί x και y στην ίδια «φωλιά»: x = 2 k m και y = 2 s m, άρα είτε x y είτε y x. Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Αρχή του Περιστερώνα 7

Σε κάθε ακολουθία n 2 +1 διαφορετικών αριθμών, είτε αύξουσα υπακολουθία μήκους n+1 είτε φθίνουσα υπακολ. μήκους n+1. Υπακολουθία προκύπτει με διαγραφή κάποιων αριθμών. Αντιστοιχούμε αριθμό α k στο (x k, y k ). x k (y k ): μήκους μεγαλύτερης αύξουσας (φθίνουσας) υπακολουθίας που αρχίζει στη θέση k. Αν όλα x k n και όλα y k n, #ζευγών n 2. Αρχή περιστερώνα: υπάρχουν δύο αριθμοί α k και α s (k < s) που αντιστοιχούνται στο ίδιο ζεύγος (x, y). Άτοπο: αν α k < α s, τότε x k > x s, ενώ αν α k > α s, τότε y k > y s. Διακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Αρχή του Περιστερώνα 8