Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση. Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση. Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα"

Transcript

1 Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα

2 Συνδυαστική ανάλυση - μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση: μέτρηση αντικειμένων με ορισμένες ιδιότητες Για τη λύση πολλών διαφορετικών ειδών προβλημάτων πρέπει να μετράμε αντικείμενα Καθορισμός πολυπλοκότητας αλγορίθμων Προσδιορισμός του αν υπάρχουν αρκετοί τηλεφωνικοί αριθμοί ή διευθύνσεις Internet για την ικανοποίηση της ζήτησης Υπολογισμός πιθανοτήτων γεγονότων Εκτίμηση των διαφορετικών passwords σε σύστημα υπολογιστών Διαφορετικές κατατάξεις τερματισμού δρομέων σε αγώνα δρόμου

3 Βασικές τεχνικές απαρίθμησης

4 Βασικές τεχνικές απαρίθμησης

5 Κανόνας γινομένου 3 επιλογές 2 επιλογές Συνολικά: 3 x 2 = 6 επιλογές ντυσίματος

6 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 1 Τα καθίσματα σε ένα αμφιθέατρο πρόκειται να ονομαστούν με ένα γράμμα του λατινικού αλφαβήτου που θα ακολουθείται από έναν θετικό ακέραιο όχι μεγαλύτερο από το 100. Ποιο είναι το μεγαλύτερο πλήθος καθισμάτων που μπορούν να ονομαστούν με διαφορετικό τρόπο; Γράμμα Θετικός ακέραιος εκδοχές 100 εκδοχές Συνολικά: 26 * 100 = 2600 εκδοχές

7 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 2 Πόσες διαφορετικές ακολουθίες bit με μήκος 7; Θέση 7 Θέση 6 Θέση 5 Θέση 4 Θέση 3 Θέση 2 Θέση 1 2 εκδοχές Συνολικά: 2*2*2*2*2*2*2 = 2 7 = 128 εκδοχές

8 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 3 Πόσες διαφορετικές πινακίδες αυτοκινήτων υπάρχουν αν κάθε πινακίδα περιέχει 3 (λατινικά) γράμματα ακολουθούμενα από 3 ψηφία (και δεν υπάρχουν απαγορευμένες ακολουθίες γραμμάτων); Γράμματα Αριθμοί 26 εκδοχές 10 εκδοχές Συνολικά: 26*26*26*10*10*10 = 26 3 *10 3 = εκδοχές

9 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 4 Πόσες συναρτήσεις υπάρχουν από σύνολο με m στοιχεία σε σύνολο με n στοιχεία; Πεδίο ορισμού με m στοιχεία Σύνολο τιμών με n στοιχεία Συνάρτηση: Σε κάθε ένα από τα στοιχεία του «πράσινου» συνόλου, πρέπει να αντιστοιχηθεί 1 στοιχείο του «πορτοκαλί» συνόλου Για κάθε ένα από τα m στοιχεία του «πράσινου» συνόλου υπάρχουν n πιθανές εικόνες Συνολικά: n*n* *n (m φορές) = n m εκδοχές

10 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 4* Πόσες συναρτήσεις υπάρχουν από σύνολο με 3 στοιχεία σε σύνολο με 5 στοιχεία; Πεδίο ορισμού με 3 στοιχεία Σύνολο τιμών με 5 στοιχεία Συνάρτηση: Σε κάθε ένα από τα στοιχεία του «πράσινου» συνόλου, πρέπει να αντιστοιχηθεί 1 στοιχείο του «πορτοκαλί» συνόλου Για κάθε ένα από τα 3 στοιχεία του «πράσινου» συνόλου υπάρχουν 5 πιθανές εικόνες Συνολικά: 5*5*5 = 5 3 = 125 εκδοχές

11 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 5 Πόσες συναρτήσεις ένα-προς-ένα υπάρχουν από σύνολο με m στοιχεία σε σύνολο με n στοιχεία; Πεδίο ορισμού με m στοιχεία Σύνολο τιμών με n στοιχεία Συνάρτηση ένα-προς-ένα: Σε κάθε ένα από τα στοιχεία του «πράσινου» συνόλου, πρέπει να αντιστοιχηθεί 1 μοναδικό στοιχείο του «πορτοκαλί» συνόλου Αν τα στοιχεία του «πράσινου» συνόλου > στοιχεία του «πορτοκαλί» συνόλου δε μπορεί να οριστεί συνάρτηση ένα-προς-ένα από το «πράσινο» στο «πορτοκαλί» σύνολο Διαφορετικά, γιατοπρώτοαπόταm στοιχεία υπάρχουν n εκδοχές, για το δεύτερο από τα m στοιχεία υπάρχουν n-1 εκδοχές,, για το m-στό στοιχείο υπάρχουν n-m+1 εκδοχές Συνολικά: n*(n-1)*(n-2) *(n-m+1) εκδοχές

12 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 5* Πόσες συναρτήσεις ένα-προς-ένα υπάρχουν από σύνολο με 3 στοιχεία σε σύνολο με 5 στοιχεία; Πεδίο ορισμού με 3 στοιχεία Σύνολο τιμών με 5 στοιχεία Συνάρτηση ένα-προς-ένα: Σε κάθε ένα από τα στοιχεία του «πράσινου» συνόλου, πρέπει να αντιστοιχηθεί 1 μοναδικό στοιχείο του «πορτοκαλί» συνόλου Tα στοιχεία του «πράσινου» συνόλου < στοιχεία του «πορτοκαλί» συνόλου μπορεί να οριστεί συνάρτηση ένα-προς-ένα από το «πράσινο» στο «πορτοκαλί» σύνολο Για το πρώτο από τα 3 στοιχεία υπάρχουν 5 εκδοχές, για το δεύτερο από τα 3 στοιχεία υπάρχουν 4 εκδοχές, γιατοτρίτοαπότα3 στοιχεία υπάρχουν 3 εκδοχές Συνολικά: 5*4*3 = 60 εκδοχές

13 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 6 Υποθέστε ότι η μορφή των τηλεφωνικών αριθμών καθορίζεται από ένα σχέδιο αριθμοδότησης. Ο τηλεφωνικός αριθμός αποτελείται από 10 ψηφία που χωρίζονται σε: Κωδικό Περιοχής με 3 ψηφία Κωδικό Κομβικού Τηλεφωνικού Κέντρου με 3 ψηφία Αριθμό Τερματικού Τηλεφωνικού Κέντρου με 4 ψηφία Επιπλέον, υπάρχουν οι εξής περιορισμοί: Χ: συμβολίζει ψηφίο που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε από τις τιμές 0 έως 9 Ν: συμβολίζει ψηφίο που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε από τις τιμές 2 έως 9 Υ: συμβολίζει ψηφίο που μπορεί να είναι 0 ή 1 Εξετάζουμε 2 σχέδια αριθμοδότησης Σχέδιο 1: Οι τηλεφωνικοί αριθμοί έχουν τη μορφή ΝΥΧ-ΝΝΧ-ΧΧΧΧ Σχέδιο 2: Οι τηλεφωνικοί αριθμοί έχουν τη μορφή ΝΧΧ-ΝΧΧ-ΧΧΧΧ Πόσοι τηλεφωνικοί αριθμοί είναι δυνατοί με κάθε σχέδιο; Σχέδιο 1: ΝΥΧ-ΝΝΧ-ΧΧΧΧ : 8*2*10*8*8*10*10*10*10*10 = 160*640* = Σχέδιο 2: ΝΧΧ-ΝΧΧ-ΧΧΧΧ : 8*10*10*8*10*10*10*10*10*10 = 800*800* =

14 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 7 Με χρήση του κανόνα γινομένου, δείξτε ότι το πλήθος διαφορετικών υποσυνόλων πεπερασμένου συνόλου S είναι 2 S αυθαίρετο υποσύνολο συνόλου S Σύνολο S Για κάθε στοιχείο του S υπάρχουν 2 εκδοχές: Να περιλαμβάνεται ή να μην περιλαμβάνεται σε κάθε υποσύνολο που φτιάχνουμε Συνολικά: 2*2* *2 ( S φορές) = 2 S εκδοχές

15 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 8 Υπάρχουν n γλυκά σε μια σακούλα, έξι από τα γλυκά είναι πορτοκαλί και τα υπόλοιπα είναι κίτρινα. Η Χάνα πήρε ένα γλυκό από τη σακούλα και το έφαγε, μετά πήρε ένα ακόμα γλυκό. Η πιθανότητα η Χάνα να έφαγε δυο πορτοκαλί γλυκά είναι 1/3. Αποδείξτε το n²-n-90=0. 1/3 = 6/n * 5/(n-1) 1/3 = 30 / n(n-1) n(n 1)/3 = 30 n(n -1) = 90 n² -n = 90 n² n 90 = 0

16 Βασικές τεχνικές απαρίθμησης

17 Κανόνας αθροίσματος 3 επιλογές 2 επιλογές Συνολικά: = 5 επιλογές ρούχου

18 Κανόνας αθροίσματος: παράδειγμα 1 Υποθέστε ότι επιλέγεται είτε ένα μέλος ΔΕΠ είτε ένας τελειόφοιτος φοιτητής ενός Τμήματος για να εκπροσωπηθεί το Τμήμα σε Επιτροπή. Πόσες επιλογές υπάρχουν για τον εκπρόσωπο αυτόν όταν υπάρχουν 37 μέλη ΔΕΠ και 83 τελειόφοιτοι φοιτητές στο Τμήμα; Συνολικά: = 120 εκδοχές

19 Κανόνας αθροίσματος: παράδειγμα 2 Υποθέστε ότι πρέπει να επιλέξετε ένα project από ένας από 3 διαθέσιμους καταλόγους, Α, Β καιγ, καθένας από τους οποίους περιέχει 23, 15 και 19 εργασίες, αντίστοιχα. Από πόσες εργασίες μπορείτε να επιλέξετε συνολικά; 23 εργασίες 15 εργασίες 19 εργασίες Συνολικά: = 57 εκδοχές

20 Συνδυασμός κανόνων γινομένου και αθροίσματος: παράδειγμα 1 Σε μία βιβλιοθήκη, οι διαθέσιμες αίθουσες λαμβάνουν ετικέτες που είναι συμβολοσειρές με έναν ή δύο αλφαριθμητικούς χαρακτήρες Αλφαριθμητικοί χαρακτήρες: τα 26 γράμματα του λατινικού αλφαβήτου (κεφαλαία και μικρά θεωρούνται ίδια) και τα 10 ψηφία Κάθε συμβολοσειρά ετικέτας πρέπει να ξεκινάει με γράμμα Κάθε συμβολοσειρά ετικέτας για τις αίθουσες πρέπει να είναι διαφορετική από 5 συγκεκριμένες ετικέτες των 2 χαρακτήρων που έχουν αποδοθεί σε γραφεία διοίκησης Πόσες διαφορετικές ετικέτες υπάρχουν διαθέσιμες; 26 * 36 = 936 διαφορετικές εκδοχές 26 διαφορετικές εκδοχές 5 ετικέτες είναι δεσμευμένες Συνολικά: = 957 εκδοχές

21 Συνδυασμός κανόνων γινομένου και αθροίσματος: παράδειγμα 2 Κάθε χρήστης ενός υπολογιστικού συστήματος έχει ένα password με μήκος από 6 έως 8 χαρακτήρες όπου κάθε χαρακτήρας είναι κεφαλαίο γράμμα του λατινικού αλφαβήτου ήψηφίο καιπρέπειναπεριέχειτουλάχιστον1 ψηφίο Πόσα δυνατά passwords υπάρχουν; πρέπει να περιέχει τουλάχιστον 1 ψηφίο αποκλείονται λέξεις που έχουν μόνο γράμματα passwords με 6 χαρακτήρες: 36*36*36*36*36*36=36 6 passwords με 6 χαρακτήρες που περιέχουν μόνο γράμματα: 26*26*26*26*26*26=26 6 passwords με 6 χαρακτήρες που περιέχουν τουλάχιστον 1 ψηφίο: Κατ αναλογία: passwords με 7 που περιέχουν τουλάχιστον 1 ψηφίο: passwords με 8 που περιέχουν τουλάχιστον 1 ψηφίο: Συνολικά: = εκδοχές

22

23

24

25

26

27

28

29 Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού Όταν δύο εργασίες μπορούν να γίνουν ταυτόχρονα, ΔΕ μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον κανόνα αθροίσματος γιανααπαριθμούμετουςτρόπουςεκτέλεσηςμιαςαπό τις 2 εργασίες Πόσες συμβολοσειρές bit με μήκος 8 είτε αρχίζουν από 1 είτε τελειώνουν σε 00; Ενδιαφέρομαι για 8-bit συμβολοσειρές που αρχίζουν με 1: 2 7 που τελειώνουν σε 00: 2 6 που αρχίζουν με 1 και τελειώνουν σε 00: 2 5 ΠΡΟΣΕΧΩ ΝΑ ΜΗ ΔΙΠΛΟΜΕΤΡΑΩ Αυτές τις έχω μετρήσει 2 φορές από μία σε καθεμία από τις προηγούμενες κατηγορίες πρέπει να απομακρύνω τη μία φορά Συνολικά, οι ζητούμενες συμβολοσειρές είναι: = =160

30 Ασκήσεις 18*325= =

31 Ασκήσεις έξι 6*7= = *10 2 =500 3*9= =

32 Ασκήσεις (26-5) 8 21*20*19*18*17*16*15*14 5*26 7 5*8* *25*24*23*22*21*20*19

33 έξι Ασκήσεις

34 Ασκήσεις έξι a) 5! + 5! = 240

35 Ασκήσεις έξι b) Όλες οι δυνατές τοποθετήσεις 6 ατόμων: 6! Τοποθετήσεις στις οποίες γαμπρός και νύφη κάθονται δίπλα: 240 Η απάντηση είναι το αποτέλεσμα της αφαίρεσης: 6!-240=480

36 Ασκήσεις έξι Καμία τοποθέτηση c) 1 εκδοχή για νύφη * 4! για τους υπόλοιπους 2 εκδοχές για νύφη * 4! για τους υπόλοιπους 3 εκδοχές για νύφη * 4! για τους υπόλοιπους εκδοχές 4 εκδοχές για νύφη * 4! για τους υπόλοιπους 5 εκδοχές για νύφη * 4! για τους υπόλοιπους

37 Αρχή Περιστεριώνα Αν υπάρχουν περισσότερα περιστέρια (k+1) από φωλιές (k), τότε υπάρχει τουλάχιστον μία φωλιά με τουλάχιστον δύο περιστέρια Αν k+1 ή περισσότερα αντικείμενα τοποθετηθούν σε k κουτιά, τότε τουλάχιστον ένα κουτί θα περιέχει τουλάχιστον δύο αντικείμενα Ονομάζεται και Αρχή του Dirichlet (19 ος αιώνας)

38 Αρχή Περιστεριώνα f όχι ένα-προς-ένα

39 Παράδειγμα 1 Σε οποιαδήποτε ομάδα με 367 ανθρώπους υπάρχουν τουλάχιστον 2 που έχουν γεννηθεί την ίδια μέρα οι 367 άνθρωποι f οι 366 δυνατές ημέρες γέννησης όχι ένα-προς-ένα

40 Παράδειγμα 2 Σε οποιαδήποτε ομάδα 27 λέξεων στα αγγλικά υπάρχουν τουλάχιστον 2 που αρχίζουν με το ίδιο γράμμα οι 27 αγγλικές λέξεις f τα 26 γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου όχι ένα-προς-ένα

41 Παράδειγμα 3 Πόσοι φοιτητές θα πρέπει να υπάρχουν σε μία τάξη για να εξασφαλιστεί ότι τουλάχιστον 2 θα πάρουν τον ίδιο βαθμό στην τελική εξέταση, αν η βαθμολογία είναι από 0 έως 100; Χρειαζόμαστε τουλάχιστον 101+1=102 φοιτητές f οι 101 δυνατές βαθμολογίες όχι ένα-προς-ένα

42 ΓενικευμένηΑρχήτου Περιστεριώνα Αν Ν αντικείμενα τοποθετηθούν σε k κουτιά, τότε θα υπάρχει τουλάχιστον ένα κουτί που θα περιέχει τουλάχιστον N αντικείμενα k Ο συμβολισμός διαβάζεται «άνω ακέραιο μέρος» Σημαίνει ότι στρογγυλοποιώ έναν δεκαδικό αριθμό στον αμέσως μεγαλύτερό του ακέραιο Π.χ., άνω ακέραιο μέρος του 3,17 είναι το ο 4 άνω ακέραιο μέρος του 7,27 είναι το ο 8 Ισχύει άνω ακέραιο μέρος x x+1 Παράδειγμα: Μεταξύ 100 ατόμων υπάρχουν τουλάχιστον άνω ακέραιο μέρος του 100/12 = άνω ακέραιο μέρος του 8,39333 = 9 που γεννήθηκαν τον ίδιο μήνα

43 ΓενικευμένηΑρχήτου Περιστεριώνα: παράδειγμα 1 Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος φοιτητών που χρειάζεται να βρίσκονται στο μάθημα για να είναι σίγουρο ότι τουλάχιστον 6 από αυτούς θα λάβουν την ίδια βαθμολογία, αν υπάρχουν 5 δυνατές βαθμολογίες, οι Α, Β, C, D, F; Ουσιαστικά μας ζητείται το ελάχιστο πλήθος αντικειμένων, Ν, που πρέπει να τοποθετήσουμε σε 5 κουτιά ώστε τουλάχιστον 1 κουτί να περιέχει τουλάχιστον 6 αντικείμενα άνω ακέραιο μέρος Ν/5 Ν/5+1 6 Ν 25 Αν έχουμε 25 φοιτητές μπορεί ανά 5 να λάβουν μία από τις 5 δυνατές βαθμολογίες οπότε δεν εξασφαλίζεται το ζητούμενο Αν όμως έχουμε 26 φοιτητές τότε ισχύει ότι τουλάχιστον 6 από αυτούς θα λάβουν την ίδια βαθμολογία ΔΗΛ., μετά την επιλογή του 25 ου φοιτητή δεν υπάρχει τρόπος να αποφύγουμε 6 φοιτητές με ίδια βαθμολογία

44 ΓενικευμένηΑρχήτου Περιστεριώνα: παράδειγμα 2 Πόσα χαρτιά πρέπει να επιλέξουμε από μια τράπουλα με 52 χαρτιάγιαναεξασφαλιστείότιθαεπιλέξουμε3 χαρτιά το ίδιου «χρώματος»; Ουσιαστικά μας ζητείται το ελάχιστο πλήθος αντικειμένων, Ν, που πρέπει να τοποθετήσουμε σε 4 κουτιά (τα χρώματα) ώστε τουλάχιστον 1 κουτί να περιέχει τουλάχιστον 3 αντικείμενα άνω ακέραιο μέρος Ν/4 Ν/4+1 3 Ν 8 Αν έχουμε 8 χαρτιά μπορεί ανά 2 να έχουν το ίδιο «χρώμα» οπότε δεν εξασφαλίζεται το ζητούμενο Αν όμως έχουμε 9 χαρτιά τότε ισχύει ότι τουλάχιστον 3 από αυτούς θα έχουν το ίδιο «χρώμα» ΔΗΛ., μετά την επιλογή του 8 ου χαρτιού δεν υπάρχει τρόπος να αποφύγουμε 3 χαρτιά του ίδιου «χρώματος»

45 ΓενικευμένηΑρχήτου Περιστεριώνα: παράδειγμα 3 Πόσα χαρτιά πρέπει να επιλέξουμε από μια τράπουλα με 52 χαρτιάγιαναεξασφαλιστείότιθαεπιλέξουμε τουλάχιστον 3 «κούπες»; Μπορεί να είμαστε τόσο «άτυχοι» και να διαλέξουμε όλαταυπόλοιπαχαρτιάπριν«πετύχουμε κούπα» Πόσα είναι τα υπόλοιπα χαρτιά; 39 Άρα, αν επιλέξουμε τουλάχιστον 39+3=42 χαρτιά, σίγουραθαέχουμεεπιλέξεικαι3 «κούπες»

46 ΓενικευμένηΑρχήτου Περιστεριώνα: παράδειγμα 4 Υποθέστε ότι σε μια ομάδα 6 ατόμων, κάθε ζεύγος ατόμων αποτελείται από 2 φίλους ή από 2 εχθρούς. Τότε, στην ομάδα υπάρχουν είτε 3 φίλοι μεταξύ τους είτε 3 εχθροί μεταξύ τους. Έστω Α αυθαίρετο από τα 6 άτομα Από τα υπόλοιπα 5 άτομα, υπάρχουν 3 ή περισσότερα που είναι φίλοι του Α, ή 3 ή περισσότερα που είναι εχθροί του Α ΓΙΑΤΙ; Τα 5 αντικείμενα (άτομα) τοποθετούνται σε 2 κουτιά (φίλοι / εχθροί του Α) τουλάχιστον 1 κουτί περιέχει τουλάχιστον άνω ακέραιο μέρος 5/2 = 3 αντικείμενα Αν το σύνολο με τα τουλάχιστον 3 αντικείμενα είναι φίλοι του Α Και τουλάχιστον 2 από αυτούς είναι φίλοι μεταξύ τους ΟΚ Αλλιώς, όλοι (3) είναιεχθροίμεταξύτουςοκ Αν το σύνολο με τα τουλάχιστον 3 αντικείμενα είναι εχθροί του Α Και τουλάχιστον 2 από αυτούς είναι εχθροί μεταξύ τους ΟΚ Αλλιώς, όλοι (3) είναι φίλοι μεταξύ τους ΟΚ

47 Ο αριθμός του Ramsey Συμβολίζεται με R(m,n) m,nθετικοί ακέραιοι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 2 Συμβολίζει το ελάχιστο πλήθος ατόμων σε συγκέντρωση έτσι ώστε να υπάρχουν ή m φίλοι μεταξύ τους ή n εχθροί μεταξύ τους Με την υπόθεση ότι κάθε ζεύγος ατόμων στη συγκέντρωση είναι φίλοι ή εχθροί

48 Ασκήσεις 1. Σε οποιοδήποτε σύνολο 6 μαθημάτων, θα πρέπει να υπάρχουν 2 που πραγματοποιούνται την ίδια μέρα (δε γίνονται μαθήματα Σαββατοκύριακα) 3. Ένα συρτάρι περιέχει 12 καφέ και 12 μαύρες κάλτσες και κάποιος διαλέγει τυχαία κάλτσες στο σκοτάδι Πόσες κάλτσες πρέπει να πάρει για να έχει σίγουρα ζευγάρι του ίδιου χρώματος; 3 Πόσες τουλάχιστον κάλτσες πρέπει να πάρει για να έχει σίγουρα 2 μαύρες κάλτσες; 12+2=14 5. Σε οποιαδήποτε ομάδα 5 ακεραίων (όχι απαραίτητα διαδοχικών) υπάρχουν 2 με το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρούνται με 4 9. Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος ατόμων (καθένα τους προέρχεται από τις 28 χώρες της ΕΕ) που φοιτούν σε πανεπιστήμιο για να εξασφαλιστεί ότι υπάρχουν τουλάχιστον 100 από την ίδια χώραμέλος; άνω ακέραιο μέρος Ν/28=100 Ν 2773

49 Ασκήσεις 19. Υποθέστε ότι σε τάξη 25 φοιτητών κάθε άτομο είναι στο 3, στο 2, ή στο1 έτος. Αποδείξτε ότι: στο μάθημα υπάρχουν τουλάχιστον 9 τριτοετείς, τουλάχιστον 9 δευτεροετείς, ή τουλάχιστον 9 πρωτοετείς φοιτητές Τοποθετώ 25 αντικείμενα (φοιτητές) σε 3 κουτιά (μαθήματα) οπότε τουλάχιστον 1 κουτί έχει τουλάχιστον άνω ακέραιο μέρος 25/3=9 αντικείμενα στο μάθημα υπάρχουν τουλάχιστον 3 τριτοετείς, τουλάχιστον 19 δευτεροετείς, ή τουλάχιστον 5 πρωτοετείς φοιτητές Αν δεν ισχύει η δήλωση, πρέπει να έχουμε το πολύ 2 τριτοετείς και το πολύ 18 δευτεροετείς και το πολύ 4 πρωτοετείς φοιτητές, δηλ., συνολικά το πολύ =24 φοιτητές Άτοπο!

50 Ασκήσεις 35. Υποθέστε ότι έχουμε 100 υπολογιστές και 20 εκτυπωτές. Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος καλωδίων που χρειάζονται για να υπάρχει απευθείας σύνδεση 20 υπολογιστών σε διαφορετικούς εκτυπωτές; 1620 καλώδια είναι αρκετά. ΓΙΑΤΙ; Δίνουμε ετικέτες στους υπολογιστές: Υ1, Υ2, Υ100 Δίνουμε ετικέτες στους εκτυπωτές: Ε1, Ε2, Ε20 20 καλώδια για να συνδέσουμε τον υπολογιστή Υ1 με τον εκτυπωτή Ε1, τον υπολογιστή Υ2 με τον εκτυπωτή Ε2, τον υπολογιστή Υ20 με τον εκτυπωτή Υ20 Τους υπόλοιπους 80 υπολογιστές τους συνδέουμε με όλους τους εκτυπωτές, δηλ., άλλα 80*20=1600 καλώδια Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο με λιγότερα από 1620 καλώδια; Ας δούμε αν μπορούμε με =1619 καλώδια Τοποθετούμε 1619 αντικείμενα σε 20 κουτιά Κάθε κουτί λαμβάνει κατά μέσο όρο 80,95 < 81 καλώδια Υπάρχει εκτυπωτής που συνδέεται με λιγότερους από 81 υπολογιστές δηλ., συνδέεται με 80 ή λιγότερους εκτυπωτές υπάρχουν 20 υπολογιστές που δε συνδέονται στον εκτυπωτή αυτόν Αν αυτοί οι 20 υπολογιστές χρειαστεί να τυπώσουν ταυτόχρονα αυτό ΔΕΝ είναι εφικτό αφού συνδέονται μόνο σε 19 εκτυπωτές

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία

Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Συνδυαστική ανάλυση - μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση: μέτρηση αντικειμένων με ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 3: Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 3: Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

Εγκλεισμός Αποκλεισμός

Εγκλεισμός Αποκλεισμός Εγκλεισμός Αποκλεισμός Αρχή Εγκλεισμού Αποκλεισμού (Ι) Όταν δύο εργασίες μπορούν να γίνουν ταυτόχρονα, ΔΕN μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον κανόνα αθροίσματος για να απαριθμούμε τους τρόπους εκτέλεσης μιας

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός- Αποκλεισμός

Διακριτά Μαθηματικά. Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός- Αποκλεισμός Διακριτά Μαθηματικά Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός- Αποκλεισμός Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού (Ι) Όταν δύο εργασίες μπορούν να γίνουν ταυτόχρονα, ΔΕ μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον κανόνα αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Gutenberg

Gutenberg Διακριτά Μαθηματικά * Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Φροντιστήριο: Α. Κόλλια (akollia@ceid.upatras.gr) * Οι διαφάνειες (πλην αυτών για τις σχέσεις αναδρομής) έχουν παραχθεί από τη Δρ. Ε. Παπαϊωάννου,

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός Αποκλεισμός

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός Αποκλεισμός Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός Αποκλεισμός Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και Συνδυασμοί

Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Μεταθέσεις (permutations) Μετάθεση διακεκριμένων στοιχείων ενός συνόλου = Ανακάτεμα κάποιων ή όλων των στοιχείων του συνόλου S={1,2,3} Μεταθέσεις των στοιχείων του S 3,1,2 1,3,2

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί Μεταθέσεις (permutations) Μετάθεση διακεκριμένων στοιχείων ενός συνόλου = Ανακάτεμα κάποιων ή όλων των στοιχείων του συνόλου S={1,2,3} Μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Διατάξεις Μεταθέσεις Συνδυασμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1

Διακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1 Διακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Διατάξεις r αντικειμένων επιλεγμένων από n αντικείμενα χωρίς επανατοποθέτηση: P(n, r) = n! (n r)! Αντιμεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 5: Μεταθέσεις & Συνδυασμοί

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 5: Μεταθέσεις & Συνδυασμοί Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Μεταθέσεις & Συνδυασμοί Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή Στοιχειώδης συνδυαστική Συνδυασμοί και διατάξεις με επανάληψη Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων;

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός

Διαβάστε περισσότερα

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 8 Αυγούστου 2012 Η Αρχή του Dirichlet ή της περιστεροφωλιάς Aν γνωρίζουμε πως σε κάποια μέτρηση στις n ϕωλιές καταμετρήθηκαν συνολικά

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 19/4/2018 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραμα/ Συνδυαστική Πείραμα: Οποιαδήποτε διαδικασία που μπορεί να οδηγήσει σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

P( n, k) P(5,5) 5! 5! 10 q! q!... q! = 3! 2! = 0! 3! 2! = 3! 2!

P( n, k) P(5,5) 5! 5! 10 q! q!... q! = 3! 2! = 0! 3! 2! = 3! 2! HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Φροντιστήριο στη Συνδυαστική (#8) Άσκηση 1 Με πόσους τρόπους µπορούµε να δηµιουργήσουµε συµβολοσειρές που αποτελούνται από τρεις παύλες και δύο τελείες; Άσκηση 1, 1 η προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί όταν υπάρχουν πολλαπλά αντίγραφα των αντικειμένων Μέχρι τώρα Μετράγαμε τρόπους να διαλέξουμε (συνδυασμούς)

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Εύη Παπαϊωάννου. papaioan@ceid.upatras.gr papaioan@upatras.gr

Διακριτά Μαθηματικά. Εύη Παπαϊωάννου. papaioan@ceid.upatras.gr papaioan@upatras.gr Διακριτά Μαθηματικά Εύη Παπαϊωάννου papaioan@ceid.upatras.gr papaioan@upatras.gr https://www.ceid.upatras.gr/webpages/faculty/papaioan/dchmnt/2014-2015/dm/index.html Πότε και πού; Παρασκευή, 15.00 18.00,

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 7 Αυγούστου 2012 Η είναι ένα κομμάτι των Μαθηματικών που επικεντρώνεται στη "μέτρηση" του πλήθους των αντικειμένων ενός συνόλου. Η ασχολείται

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί με απλά ή πολλαπλά αντίγραφα στοιχείων Διατάξεις Διάλεξε και βάλε σε σειρά 1 αντίγραφο κάθε στοιχείου n*n-1*n-2*

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί

Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί όταν υπάρχουν πολλαπλά αντίγραφα των αντικειμένων Μέχρι τώρα Μετράγαμε τρόπους να διαλέξουμε (συνδυασμούς) ή να διαλέξουμε και να βάλουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Απαρίθμηση: Μεταθέσεις και Συνδυασμοί

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Απαρίθμηση: Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Απαρίθμηση: Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών Σκοποί

Διαβάστε περισσότερα

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0 Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Η ύλη συνοπτικά... Γεννήτριες συναρτήσεις Τι είναι η γεννήτρια Στην

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Ασκήσεις στη Στοιχειώδη Συνδυαστική 1 / 12 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

(n + r 1)! (n 1)! (n 1)!

(n + r 1)! (n 1)! (n 1)! Στοιχειώδης συνδυαστική Διανομή αντικειμένων σε υποδοχές Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές Με πόσους τρόπους μπορούμε να διανείμουμε r αντικείμενα (διακεκριμένα ή όχι) σε n υποδοχές. Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 17/04/2018 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραμα Πείραμα: Οποιαδήποτε διαδικασία που μπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθμό παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Ι Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙΙ 1 / 16 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 2 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ Εισαγωγή. Η αρχή του εγκλεισμού αποκλεισμού είναι ένα ισχυρό μέσο απαρίθμησης με το οποίο υπολογίζεται ο αριθμός των στοιχείων της ένωσης και της τομής των συμπληρωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

N(F I G) = = N N(F ) N(I ) N(G)+N(FI ) + N(FG)+N(IG) N(FIG) = = = 200

N(F I G) = = N N(F ) N(I ) N(G)+N(FI ) + N(FG)+N(IG) N(FIG) = = = 200 Διακριτά Μαθηματικά Ι Φροντιστήριο Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού 1 / 9 Σε ένα σχολείο υπάρχουν 1000 μαθητές. Απ αυτούς οι 400 μιλάνε Γαλλικά, οι 300 Ιταλικά και 200 μιλάνε Γερμανικά. Εάν υπάρχουν 200 μαθητές,που

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις Προσοχή: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές, μπορεί να υπάρχουν και άλλες που επίσης να είναι σωστές. Θέμα 1: [16 μονάδες]

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2016

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2016 ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 6 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 6.1 [1 μονάδα] Πόσοι 3ψήφιοι αριθμοί σχηματίζονται από τα ψηφία 2,3,5,6,7 και 9, τέτοιοι που να διαιρούνται με το 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/2016

Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/2016 Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/206 Ο κανόνας του Pascal + = +,0 ή ισοδύναμα, = +,0 + Απόδειξη + =!!! +!!! = =!!! + =!!!! =!!!! = =!!!! = +!!! =!! = Το τρίγωνο του Pascal = + Για

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθµηση

Συνδυαστική Απαρίθµηση Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου, Θ. Λιανέας Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Διακριτά Μαθηματικά 3 η γραπτή εργασία, Σχέδιο Λύσεων Επιμέλεια: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου ΘΕΜΑ (Συνδυαστική,.6 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ. Ισότητα συνόλων Έστω C = A i= B i και D = i= A B i. Θα αποδείξουμε ότι τα C, D ταυτίζονται,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα

Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική. Σύνθετο Πείραμα. Πείραμα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά, Άνοιξη Τρίτη, 17/04/2018

Συνδυαστική. Σύνθετο Πείραμα. Πείραμα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά, Άνοιξη Τρίτη, 17/04/2018 HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 17/04/2018 Συνδυαστική Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 2 Πείραμα Σύνθετο Πείραμα Πείραμα:Οποιαδήποτε διαδικασίαπου μπορεί να οδηγήσει σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων Θέμα 1: [14 μονάδες] 1. [5] Έστω Y(x): «Το αντικείμενο x είναι ηλεκτρονικός υπολογιστής», Φ(y):

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/04/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/21/2015

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 28/4/2017

Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 28/4/2017 Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 28/4/207 Ο κανόνας του Pascal + = +, 0 ή ισοδύναμα, = +, 0 + Απόδειξη + =!!( )! +! ( )!( )! = = ( )! ( )!( )! + = ( )!!!( )!! ( )!( )! = = ( )!!!( )! (

Διαβάστε περισσότερα

(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4

(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 Συνδυαστική Ανάλυση και Εισαγωγή στις ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 3 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική. Που το πάμε. Πείραμα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά, Άνοιξη Πέμπτη, 27/4/2017

Συνδυαστική. Που το πάμε. Πείραμα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά, Άνοιξη Πέμπτη, 27/4/2017 HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 27/4/2017 Συνδυαστική Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 2 Πείραμα Πείραμα:Οποιαδήποτε διαδικασίαπου μπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθμό παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΜΥ 3: Διακριτή Ανάλυση και Δομές Χειμερινό Εξάμηνο 26 Σειρά Ασκήσεων 5: Απαρίθμηση, Αρχή της Θυρίδας, Συνδυασμοί και Μεταθέσεις, Γραφήματα και Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Εξεταστέα ύλη. Ιανουάριος και Σεπτέμβριος 2016

Διακριτά Μαθηματικά. Εξεταστέα ύλη. Ιανουάριος και Σεπτέμβριος 2016 Διακριτά Μαθηματικά Εξεταστέα ύλη Ιανουάριος και Σεπτέμβριος 2016 Διακριτά Μαθηματικά Λογική, Αποδείξεις, Σύνολα, Συναρτήσεις Λογική δήλωση σημασία κανόνες λογικής: διαχωρίζουν τα επιχειρήματα σε έγκυρα

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #7 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 24/4/2018

Φροντιστήριο #7 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 24/4/2018 Φροντιστήριο #7 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 24/4/2018 Ο κανόνας του Pascal ( n + 1 k ) = (n k ) + ( n ), 0 k n k 1 ή ισοδύναμα, ( n k ) = (n 1 k ) + (n 1 ), 0 k n + 1 k 1 Απόδειξη ( n k ) + ( n k

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική-Θέματα & Ασκήσεις 03/11/ / 13

Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική-Θέματα & Ασκήσεις 03/11/ / 13 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική-Θέματα & Ασκήσεις 03/11/2016 1 / 13 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = (

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Παραδείγματα Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο n θρανία στη σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Απαρίθμηση: Γενικευμένες μεταθέσεις και συνδυασμοί Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3,

#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3, Κεφάλαιο 4 Πιθανότητες και συνδυαστική Οπως είδαμε σε κάποια παραδείγματα των προηγουμένων κεφαλαίων, συχνά συναντάμε καταστάσεις όπου όλες οι δυνατές εκφάνσεις ενός τυχαίου πειράματος έχουν την ίδια πιθανότητα.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πληροφορίας. Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Θεωρία Πληροφορίας. Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Θεωρία Πληροφορίας Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη Ποσότητα πληροφορίας της πηγής Κωδικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

5. 1 ΣΥΝΟΛΑ. Η έννοια του συνόλου

5. 1 ΣΥΝΟΛΑ. Η έννοια του συνόλου ΜΕΡΟΣ Α 5.1 ΣΥΝΟΛΑ 359 5. 1 ΣΥΝΟΛΑ Η έννοια του συνόλου Ονομάζουμε σύνολο στα Μαθηματικά κάθε ομάδα αντικειμένων τα οποία διακρίνονται μεταξύ τους με απόλυτη σαφήνεια Κάθε αντικείμενο που περιέχεται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π. Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα:

Συνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: Συνδυαστική Ανάλυση Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: P( A) N( A) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του Ω Χρειαζόμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Ακολουθίες Γεννήτριες Συναρτήσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ακολουθία: αριθμητική

Διαβάστε περισσότερα

t = (iv) A B (viii) (B Γ) A

t = (iv) A B (viii) (B Γ) A Διακριτά Μαθηματικά Review για τα Διακριτά Μαθηματικά 1. Να κατασκευάσετε το δένδρο ανάλυσης και τον πίνακα αλήθειας για τις παρακάτω προτάσεις: (i) (ϕ = ψ) ( ( ψ) ϕ ) (ii) (p q) = ( (p q) ) (iii) ( a

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αρχή του Περιστερώνα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συναρτήσεις Συνάρτηση:

Διαβάστε περισσότερα

Προχωρημένη απαρίθμηση

Προχωρημένη απαρίθμηση Κεφάλαιο 4 Προχωρημένη απαρίθμηση Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C L Liu ad C Liu 1985, Graham, Kuth, ad Patashi 1994, Camero 1994 και Staley 1986 41 Διαμερίσεις και συνδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 19/04/2016 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραµα Πείραµα: Οποιαδήποτε διαδικασία που µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων

Διαβάστε περισσότερα

1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations

1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations .7 Διατάξεις Είναι το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν όταν επιλέγονται υποσύνολα που περιέχουν διακεκριμένα στοιχεία από ένα υπερσύνολο διακεκριμένων στοιχείων. Εδώ δεν ενδιαφέρουν οι θέσεις

Διαβάστε περισσότερα

και η εκλογή του ενός αποκλείει την ταυτόχρονη εκλογή του άλλου, ΤΟΤΕ

και η εκλογή του ενός αποκλείει την ταυτόχρονη εκλογή του άλλου, ΤΟΤΕ 7/10/010 ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΝ ένα αντιείμενο A1 μπορεί να επιλεγεί με k1 αι ένα αντιείμενο A μπορεί να επιλεγεί με k αι η ελογή του ενός απολείει την ταυτόχρονη ελογή του άλλου, ΤΟΤΕ ένα οποιοδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n! Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Κ Ε Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Εξέταση Ιούνιος 206 Σελ. από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας

Διαβάστε περισσότερα