f (x ) f (x ) f (x )f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 1 f (x )f (x )

Transcript

1 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 2 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 76 A2 Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 74 2 Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδες 7-7 Α α) Λ, β) Σ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Λ ΘΕΜΑ Β Έστω,2 με Παίρνουμε τη διαφορά f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) f ( 2) f ( ) f ( ) f ( 2) f ( ) f ( ) f ( )f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( )f ( ) 2 f ( ) f ( 2) f ( ) f ( 2) αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο και 2 θα έχουμε: f( 2) f( ) f( 2) f( ), επίσης έχουμε f ( ), f( 2) f( )f( 2), οπότε η διαφορά f( 2) f ( ) f( 2)f ( ) g( ) g( ) g( ) g( ) f ( ) f ( 2) 2 Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Oμοίως αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο, η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο Άρα έχουν οι f,g το ίδιο είδος μονοτονίας στο Σελίδα από 6

2 2 Έστω ότι οι συναρτήσεις f,g, έχουμε: g f είναι γνησίως αύξουσες στο Tότε αν 2,2 g g f g f g fog fog με Άρα η fog είναι γνησίως αύξουσα στο Έστω ότι οι συναρτήσεις f,g,2 R 2, έχουμε: g f είναι γνησίως φθίνουσες στο Tότε αν g( ) g( ) f (g( )) f(g( )) (fog)( ) (fog)( ) 2 Άρα η fog είναι γνησίως αύξουσα στο Αφού η fog είναι γνησίως αύξουσα στο θα είναι και - Η εξίσωση f (g( )) f (g(4 2)) γίνεται f g:' ' (f g)( ) (f g)(4 2) Θεωρούμε τη συνάρτηση πολυωνυμική Εφαρμόζουμε το Θ Bolzano στο διάστημα, h ή [,] ( ή) h(), h( ) 2 h() 4 2, η οποία είναι συνεχής στο σαν Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) : h( ) Εφαρμόζουμε το Θ Bolzano στο διάστημα, h ή [,] ( ή) h(), h() 4 Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα 2 (,) : h( 2) Εφαρμόζουμε το Θ Bolzano στο,5 h ή [,5] ( ή) h() 4, h(5) 6 Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα (,5) : h( ) και επειδή η εξίσωση h() 4 2 είναι πολυωνυμική ου θα έχει το πολύ τρεις ρίζες, άρα έχει ακριβώς τρεις τις, 2, Σελίδα 2 από 6

3 Επίσης έχουμε 2 5, δηλαδή έχουμε δύο θετικές και μια αρνητική Σχόλιο: ένας τρόπος για την επιλογή των κατάλληλων διαστημάτων είναι με δοκιμές 4 Από το ερώτημα (2) η συνάρτηση fog είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η ανίσωση γίνεται: f g: 2 2 fog 4 fog Άρα, 2 2, ΘΕΜΑ Γ Πρέπει: Άρα A f (, ) 2 f () ln( ) ln( ) ln ln( ) ln ln f () ln Όμως ln ln f (), για κάθε (, ) Από τα προηγούμενα έχουμε: Έστω, 2(, ) Τότε: f () ln, για κάθε (, ) ln ln f ( ) f ( 2) Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) 4 Επειδή η συνάρτηση f σημαίνει ότι είναι αντιστρέψιμη με είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) θα είναι -, που f : f (A) A H συνάρτηση f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων ln και στο A (, ), οπότε το σύνολο τιμών της (πεδίο ορισμού της f f ) είναι: Σελίδα από 6

4 f (A) lim f (), lim f () (,) γιατί: Θέτουμε Τότε u και έχουμε lim u lim lim f () lim ln lim ln u u Θέτουμε u και έχουμε Τότε lim u lim lim f () lim ln lim ln u u Mε y (,) η εξίσωση y y y ln ln y y y y ln ln Άρα f () ln, 5 Θεωρούμε τη συνάρτηση t() f() h() ln ln ln ln, t Η συνάρτηση είναι συνεχής, ως άθροισμα των συνεχών f (), ln και γνησίως αύξουσα στο (, ), οπότε το σύνολο τιμών της θα είναι t( ) lim t(), lim t() (, ) γιατί: lim t() lim f () ln ( ) ( ) και lim t() lim f () ln ( ) Επειδή το (, ) t(b) υπάρχει τέτοιο ώστε t( ) f( ) h( ) 6 Από το 2 ο ερώτημα έχουμε f() για κάθε (, ) Τότε f (), αφού f() και f(2) f (2) f () 2 f () f () f () lim lim lim ( ) f (2) f (2) f (2) f (2) 2 2 Σελίδα 4 από 6

5 ΘΕΜΑ Δ 2, (2), Έστω,2 με f( ) f( 2) 2f( ) 2f( 2), () και f ( ) f ( ) προσθέτουμε τις () και (2), έτσι έχουμε 2 2, άρα η συνάρτηση f 2 Θα αποδείξουμε ότι η ευθεία y δηλαδή η εξίσωση f() 2 f ( ) 2f ( ) f ( ) 2f ( ), οπότε έχει με τη έχει για κάθε είναι - C f ένα τουλάχιστον κοινό σημείο, λύση στο f () f() f () f () f() 2 f () 2f () 2 f () 2 f() δηλαδή για κάθε έχουμε λύση, άρα το σύνολο τιμών είναι το Θέτουμε όπου Άρα f () y y 2y y 2y f () 2, ος τρόπος: Στην f () 2, για έχουμε f () f () f( ) 2 ος τρόπος: Αφού η συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών το και είναι - θα υπάρχει μοναδικό :f( ) έχουμε: Θέτουμε στην f 2f όπου και f 2f 2, οπότε f( ) Άρα η C f τέμνει τον άξονα στο σημείο A(,) 4 ος τρόπος: Έστω ότι υπάρχουν,2 με 2 και έστω f( ) f( 2) Τότε: f( ) f( 2) 2f( ) 2f( 2) () και Προσθέτοντας τις (), (4) έχουμε: 2 (4) f ( ) f ( ) f ( ) 2f ( ) f ( 2) 2f ( 2) 2 2 Άτοπο γιατί 2 Άρα για κάθε 2 f( ) f( 2), δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο 2 ος τρόπος: Η συνάρτηση αυξουσών συναρτήσεων Οι συναρτήσεις f, f () 2 είναι γνησίως αύξουσα σαν άθροισμα των, 2 f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y, άρα έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας, δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο Σελίδα 5 από 6

6 2 f 2 5 f 2f f f 2 f f, 2 f 2 έτσι έχουμε f() f() και επειδή lim ( ) lim, από το κριτήριο της παρεμβολής έχουμε: lim f f, άρα συνεχής στο 6 Έστω Έχουμε Αρκεί να αποδείξουμε ότι f () 2 f(), (5) και lim f () f( ) f ( ) 2f( ), (6), αφαιρούμε κατά μέλη τις σχέσεις (5) και (6) Έτσι έχουμε f f 2 f f f f f f f f 2 f f f f f f f f 2 f f f f f f 2 f f f f f f 2 f f f f και επειδή lim ( ) lim, τότε από το κριτήριο παρεμβολής lim f f lim f f, άρα η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Η επιμέλεια των θεμάτων πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και Μοτσάκο Βασίλειο Σελίδα 6 από 6