2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

Transcript

1 . ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Η γνησίως αύξουσα Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε x, x µε x < x ισχύει : f ( x ) < f ( x ). Η γνησίως φθίνουσα Συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε x, x µε x < x ισχύει : f ( x ) > f ( x ) 3. Η γνησίως µονότονη Συνάρτηση f λέγεται γνησίως µονότονη σε διάστηµα, όταν είναι γνησίως αύξουσα η γνησίως φθίνουσα στο. 4. Η µονοτονία της συνάρτησης f(x) = αx + β Όταν α >, τότε f γνησίως αύξουσα στο R Όταν α <, τότε f γνησίως φθίνουσα στο R 5. Το ελάχιστο Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α, λέµε ότι παρουσιάζει στο x Α ελάχιστο όταν : f (x) f ( x ), για κάθε x A 6. Το µέγιστο Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α, λέµε ότι παρουσιάζει στο x Α µέγιστο όταν : f (x) f ( x ), για κάθε x A

2 7. Η άρτια Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α, θα λέγεται άρτια, όταν για κάθε x A ισχύει : x A Παρατήρηση. Η f και f ( x) = f (x) C µιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συµµετρίας τον άξονα y y. 8. Η περιττή Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α, θα λέγεται περιττή, όταν για κάθε x A ισχύει : x A και f ( x) = f (x) Παρατήρηση. Η C f µιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων. ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Στη γραφική παράσταση. f γνησίως αύξουσα σηµαίνει ότι, αυξανοµένου του x αυξάνεται και το f(x).. Η γραφική παράσταση γνησίως αύξουσας συνάρτησης σχεδιάζεται δεξιά και πάνω. 3. Στη γραφική παράσταση. f γνησίως φθίνουσα σηµαίνει ότι, αυξανοµένου του x ελαττώνεται το f(x). 4. Η γραφική παράσταση γνησίως φθίνουσας συνάρτησης σχεδιάζεται δεξιά και κάτω. 5. Παρατήρηση Αν f γνησίως µονότονη σε δύο διαστήµατα, δε σηµαίνει ότι είναι και στην ένωσή τους.

3 3 6. Μέθοδος Για να αποδείξουµε ότι f γνησίως αύξουσα : Υποθέτουµε x < x και αποδεικνύουµε f( x ) < f( x ) 7. Μέθοδος Για να αποδείξουµε ότι f γνησίως φθίνουσα : Υποθέτουµε x < x και αποδεικνύουµε f( x ) > f( x ) 8. Ιδιότητα Αν x, x σε διάστηµα µε x < x και f γνησίως αύξουσα στο, τότε f( x ) < f( x ) Αν x, x σε διάστηµα µε x < x και f γνησίως φθίνουσα στο, τότε f( x ) > f( x ) 9. Οι αριθµοί x και f ( x ) στο ακρότατο Ο x καθορίζει τη θέση του ακρότατου (ως προς το αριστερά δεξιά) Ο f( x ) καθορίζει το πόσο πάνω ή κάτω συµβαίνει το ακρότατο.. Η συµµετρικότητα του πεδίου ορισµού Στην άρτια και στην περιττή συνάρτηση το πεδίο ορισµού είναι συµµετρικό ως προς την αρχή των αξόνων.. Μέθοδος Για να αποδείξουµε ότι συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή, αποδεικνύουµε ότι : Για κάθε x D f ισχύει α) x D f β) f( x) = f(x) ή f( x) = f(x)

4 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = 3x είναι γνησίως αύξουσα στο R g(x) = 3x είναι γνησίως φθίνουσα στο R D f = R Έστω x, x R µε x < x 3 x < 3 x 3 x < 3 x f( x ) < f( x ) f γνησίως αύξουσα στο R D = R g Έστω x, x R µε x < x 3 x > 3 x 3 x > 3 x g( x ) > g( x ) g γνησίως φθίνουσα στο R Θα µπορούσαµε να απαντήσουµε µε το «Θεωρία 4». Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = 3x είναι γνησίως αύξουσα στο, + 3 ) Πρέπει 3x 3x x 3, άρα D f =, + 3 ) Έστω x, x, + 3 ) µε x < x 3 x < x 3 x < 3 x Μέθοδος 6 3 x < 3 x 3 x < 3 x 3x < 3x f( x ) < f( x ) Άρα f γνησίως αύξουσα στο, + 3 )

5 5 3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = 3x είναι γνησίως φθίνουσα στο (, 3 Πρέπει 3x 3x x 3, άρα D f = (, 3 Έστω x, x (, 3 µε x < x x < x 3 3 x < 3 x Μέθοδος 7 3 x + < 3 x + 4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = 3 x > 3 x 3x < 3x f( x ) > f( x ) Άρα f γνησίως φθίνουσα στο (, 3 x 3 είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, + ). Έστω x, x (, ] µε x < x x < x Μέθοδος 7 x > x x 3 > x 3 f( x ) > f( x ) Έστω x, x [, + ) µε x < x x < x Άρα f γνησίως φθίνουσα στο (, ] Μέθοδος 6 x < x x 3 < x 3 f( x ) < f( x ) Άρα f γνησίως αύξουσα στο [, + )

6 6 5. ίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x µε πεδίο ορισµού το διάστηµα [, 4]. Ποιο είναι το είδος της µονοτονίας της ; Αποδείξτε ότι παρουσιάζει ελάχιστο στο x ο = και µέγιστο στο i Βρείτε το min f(x) και το max f(x) Επειδή η f είναι της µορφής στο R, άρα και στο [, 4] x [, 4] x x [, 4] x 4 f f i min f(x) = f( ) = 3( ) = 7 max f(x) = f(4) = 3. 4 = ' x ο = 4 f(x) = αx + β µε α = 3 >, είναι γνησίως αύξουσα f(x) f( ) Άρα το f( ) είναι ελάχιστο f(x) f(4) Άρα το f(4) είναι µέγιστο Μέθοδος 8

7 7 6. ίνεται η συνάρτηση f(x) = (x ) + 3 Αποδείξτε ότι f γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) Αποδείξτε ότι παρουσιάζει ελάχιστο στο x ο = i Βρείτε το min f(x) Έστω x, x (, ] µε x < x x < x x < x ( x ) > ( x ) ( x ) + 3 > ( x ) + 3 f( x ) > f( x ) Έστω x, x [, + ) µε x < x x < x Άρα f γνησίως φθίνουσα στο (, ] x < x ( x ) < ( x ) ( x ) + 3 < ( x ) + 3 f( x ) < f( x ) Για x (, ] x Άρα f γνησίως αύξουσα στο [, + ) f f(x) f() () Μέθοδος 8 Για x [, + ) x Από τις (), () i min f(x) = f() = ( ) + 3 = 3 f f(x) f() () f(x) f() για κάθε x R Άρα το f() είναι ελάχιστο Μέθοδος 8

8 8 7. ίνεται η συνάρτηση f(x) = x + Αποδείξτε ότι f γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) Αποδείξτε ότι παρουσιάζει ελάχιστο στο x ο = i Βρείτε το min f(x) Η συνάρτηση γράφεται f(x) = = ( x ), αν x x, αν x x+, αν x x, αν x Έστω x, x (, ] µε x < x x < x x < x Έστω x, x [, + ) µε x < x x < x Για x (, ] x Για x [, + ) x Από τις (), () i min f(x) = f() = + = x + > x + f( x ) > f( x ) Άρα f γνησίως φθίνουσα στο (, ] x < x f( x ) < f( x ) Άρα f γνησίως αύξουσα στο (, ] f f(x) f() () f f(x) f() () f(x) f() για κάθε x R Άρα το f() είναι ελάχιστο Μέθοδος 8 Μέθοδος 8

9 9 8. Έστω η συνάρτηση f(x) = x Να βρείτε το πεδίο ορισµού Να αποδείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, ] και γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [, ] i Να αποδείξετε ότι παρουσιάζει µέγιστο στο x ο = Πρέπει x x x x άρα D f = [, ] Έστω x, x [, ] µε x < x x < x x > x x < x x < x x < f( x ) < f( x ) Έστω x, x [, ] µε x < x x < x i Έστω x [, ], τότε και x [, ] Αρκεί να αποδείξουµε ότι f(x) f() x x x που ισχύει x Άρα f γνησίως αύξουσα στο [, ] x < x x > x x > x x > f( x ) > f( x ) x Άρα f γνησίως φθίνουσα στο [, ]

10 9. Συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το R και για κάθε α, β R ισχύει f(α + β) = f(α) + f(β) () Να αποδείξετε ότι f () = f περιττή Η (), για α = β = γίνεται f( + ) = f() + f() f() = f() f() = () Έστω τυχαίο x R, τότε και x R Η (), για α = x και β = x γίνεται f(x + ( x)) = f(x) + f( x) f() = f(x) + f( x) = f(x) + f( x) f( x) = f(x) ( ) άρα f περιττή. Συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το R και για κάθε α, β R ισχύει f(α + β) = f(α) f(β) () Να αποδείξετε ότι f () = f άρτια Η (), για α = β = γίνεται f( + ) = f() f() f() = () Έστω τυχαίο x R, τότε και x R Η (), για α = x και β = x γίνεται f(x + ( x)) = f(x) f( x) f() = f(x) f( x) = f(x) f( x) f( x) = f(x) ( ) άρα f άρτια