Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε"

Transcript

1 Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

2 Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµενο»: παίρνει τιµές αλήθειας, Α ή Ψ. ιαφορετικά, «µη λογικό αντικείµενο», π.χ. αριθµοί, σύνολα,... Κατηγορηµατική (ή Πρωτοβάθµια) Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για: «Μη λογικά αντικείµενα» (αριθµούς, σύνολα, γραφήµατα). Πράξεις (συναρτήσεις) και σχέσεις (κατηγορήµατα) µεταξύ τους. Άπειρο πλήθος αντικειµένων: ποσοδείκτες. «Κάθε φυσικός αριθµός είναι είτε άρτιος είτε περιττός». «Υπάρχει σύνολο που είναι υποσύνολο κάθε συνόλου». Τύποι ΚΛ είναι «λογικά αντικείµενα» που µπορεί να αφορούν / αναφέρονται σε «µη λογικά αντικείµενα». ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 2

3 Συντακτικό Πρωτοβάθµιας Γλώσσας «Λογικά Σύµβολα»: έχουν συγκεκριµένη ερµηνεία, λειτουργούν πάντα µε τον ίδιο τρόπο: Λογικοί σύνδεσµοι:,,,, Ποσοδείκτες: και (για κάθε): σύζευξη για όλα στοιχεία δοµής (δυνάµει άπειρη). (υπάρχει): διάζευξη για όλα στοιχεία δοµής (δυνάµει άπειρη). Σηµεία στίξης και παρενθέσεις. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 3

4 Συντακτικό Πρωτοβάθµιας Γλώσσας «Μη Λογικά Σύµβολα»: ερµηνεία καθορίζει λειτουργία τους. Ορισµός γλώσσας και έλεγχος αλήθειας απαιτούν ερµηνεία τους (πολυσηµία, εκφραστικότητα!). Μεταβλητές x, y, z, Ερµηνεία καθορίζει πεδίο ορισµού µεταβλητών: σύµπαν. Ελεύθερες: τιµή τους καθορίζεται µε αποτίµηση. εσµευµένες: ποσοδείκτες καθορίζουν «συµπεριφορά» τους. Σύµβολα σταθερών c, c 1, c 2, Αναπαριστούν συµβολικά συγκεκριµένες τιµές σύµπαντος. Ερµηνεία καθορίζει τιµή κάθε συµβόλου σταθεράς. Πρόκειται για 0-θέσια συναρτησιακά σύµβολα. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 4

5 Συντακτικό Πρωτοβάθµιας Γλώσσας «Μη Λογικά Σύµβολα»: ερµηνεία καθορίζει λειτουργία τους. Συναρτησιακά σύµβολα f, g, h,, µε αντίστοιχο πλήθος ορισµάτων. Π.χ. f είναι 2-θέσιο συναρτησιακό σύµβολο. Εκφράζουν «πράξεις» µεταξύ στοιχείων σύµπαντος. Ερµηνεία καθορίζει πεδίο ορισµού, πεδίο τιµών, και λειτουργία. Κατηγορηµατικά σύµβολα P, Q, R,, µε αντίστοιχο πλήθος ορισµάτων. Π.χ. Q είναι 2-µελές κατηγορηµατικό σύµβολο. Εκφράζουν «σχέσεις» µεταξύ στοιχείων σύµπαντος. Ερµηνεία καθορίζει πεδίο ορισµού και λειτουργία. Ισότητα = : ελέγχει ταύτιση (λειτουργεί ως κατηγόρηµα), αλλά έχει δεδοµένη ερµηνεία. Κατηγορηµατικά σύµβολα υλοποιούν «µετάβαση» από «µη λογικό» σε «λογικό» κόσµο. Q(x, y) δέχεται δύο στοιχεία σύµπαντος (π.χ. αριθµούς), «ελέγχει» αν σχετίζονται µε συγκεκριµένο τρόπο, και «απαντά» Α ή Ψ. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 5

6 οµή Τύπων Πρωτοβάθµιας Γλώσσας: Όροι Όροι παίρνουν τιµές στο σύµπαν. Μεταβλητές x, y, z,... Σταθερές c, c 1, c 2,.. Οτιδήποτε προκύπτει από (σωστή) εφαρµογή συναρτησιακού συµβόλου σε ήδη σχηµατισµένους όρους. Π.χ. f(x, y), f(g(x), c), g(f(x, g(y)), c f(x, y), οµή αναπαρίσταται µε δενδροδιάγραµµα, ιδιότητες αποδεικνύονται µε δοµική επαγωγή. Όροι δεν µπορούν να συνδέονται µε λογικούς συνδέσµους! ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 6

7 οµή Τύπων Πρωτοβάθµιας Γλώσσας: Τύποι Ατοµικοί τύποι προκύπτουν εφαρµόζοντας ισότητα ή κατηγορηµατικό σύµβολο σε όρους. Π.χ. x = c, f(x, y) = g(c), Q(x, y), R(f(x, y)), «Λογικές» τιµές Α ή Ψ, βασικά («λογικά») δοµικά στοιχεία τύπων. Τύπος: Ατοµικός τύπος (βάση επαγωγικού ορισµού). Εφαρµογή λογικών συνδέσµων σε τύπους φ, ψ: φ, φ ψ, φ ψ, φ ψ, φ ψ. Εφαρµογή ποσοδεικτών σε τύπο φ: xφ, xφ. οµή αναπαρίσταται µε δενδροδιάγραµµα, ιδιότητες αποδεικνύονται µε µαθηµατική επαγωγή. Τύποι: τιµή Α ή Ψ. Όροι: τιµές στο σύµπαν. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 7

8 οµή Τύπων Πρωτοβάθµιας Γλώσσας ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 8

9 Παράδειγµα Ποια από τα παρακάτω είναι όροι ή τύποι (ή συντακτικό λάθος); Q(f(c, y), P(x)) Q(f(c, y), P(x)) x P(g(x)) x P(g(x)) (τ) g(q(c, y), P(y)) g(q(c, y), P(y)) x g(p(x)) x g(p(x)) x = y c x = f(y, c) x = y c x = f(y, c) (ατ) x P(P(x)) x Q(x, c 1 ) x P(P(x)) x Q(x, c 1 ) (τ) x (P(x) x P(x, x)) x (P(x) x P(x, x)) x(x = y Q(x, y)) x(x = y Q(x, y)) (τ) ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 9

10 Παράδειγµα Ποια από τα παρακάτω είναι όροι ή τύποι (ή συντακτικό λάθος); P(x) g(x) y x (Q(x, g(y)) P(g(x))) P(x) g(x) y x (Q(x, g(y)) P(g(x))) (τ) x Q(x, c) x Q(x, y) x Q(x, c) (τ) x Q(x, y) x + y = x y (3 + 1) + 10 x + y = x y (ατ) (3 + 1) + 10 (ορ) x y (x + y = x y) x y (x + y = x y) (τ) x y (P(x) (Q(x, y) P(x))) x y (P(x) (Q(x, y) P(x))) (τ) ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 10

11 Ελεύθερες και εσµευµένες Μεταβλητές εσµευµένη εµφάνιση µεταβλητής: εµπίπτει σε πεδίο εφαρµογής ποσοδείκτη. Ποσοδείκτης καθορίζει πως αποτιµάται η µεταβλητή. ( ): σύζευξη (διάζευξη) για όλες τιµές σύµπαντος. εσµευµένες εµφανίσεις µεταβλητής x που εµπίπτουν στον ίδιο ποσοδείκτη: «ίδια» δεσµευµένη µεταβλητή. εσµευµένες εµφανίσεις µεταβλητής x που εµπίπτουν σε διαφορετικό ποσοδείκτη: «διαφορετικές» δεσµευµένες µεταβλητές. Ελεύθερη εµφάνιση µεταβλητής: δεν εµπίπτει σε πεδίο εφαρµογής κάποιου ποσοδείκτη. Μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιµή, η οποία καθορίζεται από αποτίµηση. Όλες οι ελεύθερες εµφανίσεις µεταβλητής x: «ίδια» µεταβλητή. x(p(x) Q(x, y)) P(y) και xp(x) xq(x, y) P(y) ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 11

12 Ελεύθερες και εσµευµένες Μεταβλητές Ελεύθερη µεταβλητή αν εµφανίζεται ελεύθερη (τουλ. µία φορά), διαφορετικά δεσµευµένη. Πρόταση: τύπος χωρίς ελεύθερες µεταβλητές. Τιµή αλήθειας πρόταση δεν εξαρτάται από αποτίµηση. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 12

13 Ελεύθερες και εσµευµένες Μεταβλητές Ποιές εµφανίσεις µεταβλητών είναι ελεύθερες και ποιές δεσµευµένες; y x(p(x, f(y)) Q(x)) y x(p(x, f(y)) Q(x)) x y(q(x) P(x, y)) Q(x) x y(q(x) P(x, y)) Q(x) xp(x, y) zp(z, x) Q(z) x yp(x, y) xp(x, y) zp(z, x) Q(z) x yp(x, y) xq(x) yp(x, y) x y z(x > y y > z) w(x > w) xq(x) yp(x, y) x y z(x > y y > z) w(x > w) y + x = x + y y(x + x = x y) y + x = x + y y(x + x = x y) Μετονοµασία όλων εµφανίσεων της «ίδιας» µεταβλητής διατηρεί απαράλλακτο τον τύπο: αλφαβητική παραλλαγή. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 13

14 Ελεύθερες και εσµευµένες Μεταβλητές Ελεύθερη µεταβλητή αν εµφανίζεται ελεύθερη (τουλ. µία φορά), διαφορετικά δεσµευµένη. Πρόταση: τύπος χωρίς ελεύθερες µεταβλητές. Τιµή αλήθειας πρόταση δεν εξαρτάται από αποτίµηση. Ελεύθερες µεταβλητές χρειάζονται «αρχικοποίηση». Όλες οι ελεύθερες εµφανίσεις µιας µεταβλητής «αρχικοποιούνται» στην ίδια τιµή (αυτή που καθορίζεται από αποτίµηση). εσµευµένες εµφανίσεις µεταβλητών δεν χρειάζονται «αρχικοποίηση». Ποσοδείκτης που τις δεσµεύει καθορίζει αποτίµηση. Μεταβλητές που δεσµεύονται από διαφορετικούς ποσοδείκτες είναι «διαφορετικές» (ακόµη και αν έχουν το ίδιο όνοµα). ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 14

15 Ερµηνεία (ή οµή) Ορισµός Πρωτοβάθµιας Γλώσσας απαιτεί ερµηνεία «µη λογικών» συµβόλων. Ερµηνεία (ή δοµή) A καθορίζει: Σύµπαν Α : πεδίο ορισµού σταθερών, µεταβλητών, συναρτήσεων, και κατηγορηµάτων. Α είναι το σύνολο αντικειµένων στα οποία αναφερόµαστε. Ορισµός συναρτησιακών συµβόλων: «πράξη» που αντιστοιχούν. Τι «επιστρέφει» κάθε συναρτησιακό σύµβολο. Ορισµός κατηγορηµατικών συµβόλων: «σχέση» που αντιστοιχούν. Πότε κατηγορηµατικό σύµβολο «επιστρέφει» Α και πότε Ψ. Ορισµός τιµής για κάθε σύµβολο σταθεράς. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 15

16 Παραδείγµατα Ερµηνείας Γλώσσα Θεωρίας Αριθµών: Σύµπαν Ν (φυσικοί αριθµοί) Σταθερά 0 (αποτ. στο 0), συναρτησιακά (πρόσθεση), (πολλαπλασιασµός), και (επόµενος φυσικός), κατηγορηµατικό < (αντ. σε σχέση x < y). Γλώσσα Θεωρίας Συνόλων: Σύµπαν δυναµοσύνολο συνόλου U (ή σύνολο µε στοιχεία σύνολα) Σταθερά (αποτ. στο ), κατηγορηµατικό (αντ. σε σχέση x y). ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 16

17 Εναλλαγή Ποσοδεικτών P(x, y): ο x θαυµάζει τον y P(x, y): x y όλοι θαυµάζουν κάποιον (όχι αναγκαία όλοι τον ίδιο, µπορεί τον εαυτό τους). όλοι θαυµάζονται από κάποιον (όχι αναγκαία όλοι από τον ίδιο, µπορεί από εαυτό τους). όλοι θαυµάζουν τους πάντες (και τον εαυτό τους). υπάρχει κάποιος που τους θαυµάζει όλους (και εαυτό του). υπάρχει κάποιος που τον θαυµάζουν όλοι (και εαυτός του). υπάρχει ζευγάρι (όχι αναγκαία διαφορετικών) που ο ένας θαυµάζει τον άλλο. κάθε αριθµός έχει κάποιον µεγαλύτερο ή ίσο του. κάθε αριθµός έχει κάποιον µικρότερο ή ίσο του. για κάθε ζευγάρι αριθµών, ο ένας είναι µικρότερος ή ίσος του άλλου. υπάρχει αριθµός µικρότερος ή ίσος όλων (κάτω φράγµα). υπάρχει αριθµός µεγαλύτερος ή ίσος όλων (άνω φράγµα) υπάρχουν αριθµοί που ο ένας είναι µικρότερος ή ίσος του άλλου. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 17

18 Εκφραστικότητα Πρωτοβάθµιας Γλώσσας εδοµένης ερµηνείας (π.χ. φυσικοί αριθµοί, σύνολα, γραφήµατα), διατύπωση προτάσεων ιδιοτήτων σε πρωτοβάθµια γλώσσα. Όλοι οι άνθρωποι θαυµάζουν κάποιον άλλο. Υπάρχει κάποιος που δεν θαυµάζει κανέναν άλλο. Υπάρχει κάποιος που θαυµάζει τον εαυτό του και µόνον αυτόν. Όλοι θαυµάζονται από κάποιον άλλο. Υπάρχει κάποιος που θαυµάζει όλους τους άλλους. Υπάρχει κάποιος που δεν θαυµάζει κανέναν. εν υπάρχει κανένας άνθρωπος που να τον θαυµάζουν όλοι οι άλλοι. Νόµοι Άρνησης Ποσοδεικτών: ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 18

19 Εκφραστικότητα Απλές γλωσσικές δοµές συνήθως επαρκούν. Κάθε αντικείµενο µε ιδιότητα P έχει ιδιότητα Q. Ο επόµενος κάθε περιττού αριθµού είναι άρτιος. Κάθε πολλαπλάσιο του 4 είναι άρτιος. Υπάρχει αντικείµενο µε ιδιότητα P και ιδιότητα Q εν είναι όλοι οι άρτιοι πολλαπλάσια του 4. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 19

20 Εκφραστικότητα Υπάρχει µοναδικό αντικείµενο µε ιδιότητα Ρ. Υπάρχει µέγιστο (ελάχιστο) στοιχείο µε ιδιότητα Ρ. Υπάρχει µοναδικός φυσικός που είναι µικρότερος του 1. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 20

21 Εκφραστικότητα: Αριθµοί Το άθροισµα δύο περιττών είναι άρτιος. Ο x διαιρεί ακριβώς τον y: O x είναι µικρότερος ή ίσος του y: Ο x είναι πρώτος αριθµός: ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 21

22 Εκφραστικότητα: Αριθµοί Κάθε άρτιος µεγαλύτερος του 4 γράφεται ως άθροισµα δύο περιττών πρώτων αριθµών (εικασία του Goldbach). Για κάθε φυσικό αριθµό (έστω n), υπάρχει άλλος (έστω m) που είναι ο µέγιστος µεταξύ εκείνων που το διπλάσιό τους δεν ξεπερνά τον αρχικό (δηλ. το n). ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 22

23 Εκφραστικότητα: Σύνολα Ερµηνεία µε σύµπαν δυναµοσύνολο πεπερασµένου συνόλου S, 2-µελές κατηγορηµατικό σύµβολο Q µε ερµηνεία Q(x, y) x y, και σταθερά c που ερµηνεύεται ως το κενό σύνολο ( ). Υπάρχει σύνολο που περιέχει (ως υποσύνολα) κάθε σύνολο. Το κενό σύνολο έχει µόνο ένα υποσύνολο, τον εαυτό του. Για κάθε ζευγάρι συνόλων υπάρχει κοινό υποσύνολο που είναι το µεγαλύτερο δυνατό (τοµή συνόλων). Για κάθε ζευγάρι συνόλων υπάρχει κοινό υπερσύνολο που είναι το ελάχιστο δυνατό (ένωση συνόλων). ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 23

24 Εκφραστικότητα Τύπος φ(x) µε ελεύθερη µεταβλητή x ορίζει σύνολο Α φ = { α Α : φ(α) αληθεύει στην Α } φ(x): ιδιότητα στοιχείων της δοµής (όπως κατηγορήµατα). Πρόταση ψ: ιδιότητα της ίδιας της δοµής. Να ορίσετε έτσι (i) το, (ii) το {1}, και (iii) το {0, 1, 2, 3, }. (i) x = x + 1, (ii) x = 1, (iii) x = x. Να ορίσετε έτσι τα {0} και {1} (χωρίς σταθερά 0, συνάρτηση ). x είναι ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης: y(x + y = y). Η δοµή έχει ουδέτερο στοιχείο για την πρόσθεση: x y(x + y = y). x είναι ουδέτερο στοιχείο του πολ/µού: y(x y = y). Η δοµή έχει ουδέτερο στοιχείο για τον πολ/µό: x y(x y = y). ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 24

25 Εκφραστικότητα Τύπος φ(x) µε ελεύθερη µεταβλητή x ορίζει σύνολο Α φ = { α Α : φ(α) αληθεύει στην Α } φ(x): ιδιότητα στοιχείων της δοµής (όπως κατηγορήµατα). Αντίστοιχη πρόταση, π.χ. x φ 1 (x), x φ 0 (x), x φ 0 (x): ιδιότητα της ίδιας της δοµής. Ερµηνεία ακεραίων µε συναρτήσεις +,. Να ορίσετε έτσι το {1}, το {2}, το {1,, n}, το {-1} φ 1 (x) y(x y = y) φ 2 (x) y(φ 1 (y) x = y + y) φ [n] (x) y(φ 1 (y) (x = y x = y + y x = y + + y)) φ 0 (x) y(x + y = y) φ -1 (x) y z(φ 1 (y) φ 0 (z) x + y= z) ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 25

26 Σηµασιολογική Προσέγγιση Α = φ[v] : στην ερµηνεία Α, η αποτίµηση v επαληθεύει (ή ικανοποιεί) τον φ. Αποτίµηση v καθορίζει τιµές ελεύθερων µεταβλητών του φ και µόνο. Α = φ : ο φ ικανοποιείται από κάθε αποτίµηση στην ερµηνεία Α. Ο φ αληθής στην Α ή η ερµηνεία Α αποτελεί µοντέλο για τον φ. = φ : ο φ ικανοποιείται σε κάθε ερµηνεία. Ο φ είναι (λογικά) έγκυρος (αντίστοιχο ταυτολογίας). Ταυτολογίες «δίνουν» λογικά έγκυρους τύπους µε συντακτική αντικατάσταση. Εγκυρότητα / ικανοποιησιµότητα / αλήθεια φ ελέγχεται µε εφαρµογή του ορισµού αλήθειας του Tarski. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 26

27 Ορισµός Tarski Ερµηνεύει λογικούς συνδέσµους και ποσοδείκτες. Ορίζει ότι ένας τύπος φ αληθεύει (σε µια ερµηνεία Α, για µια αποτίµηση v) ανν το νόηµα του εκφράζει µια αλήθεια στην Α. Η έννοια Α = φ[v] ορίζεται αναδροµικά ως εξής: Α = (x = y)[v] ανν ( v(x) = v(y) ). A = Q(x 1,, x n )[v] ανν ( (v(x 1 ),, v(x n )) Q A ). A = ψ[v] ανν ( δεν ισχύει ότι A = ψ[v] ). A = (ψ χ)[v] ανν ( A = ψ[v] και A = χ[v] ). A = (ψ χ)[v] ανν ( A = ψ[v] ή A = χ[v] ). A = (ψ χ)[v] ανν ( όταν A = ψ[v], τότε A = χ[v] ). A = (ψ χ)[v] ανν ( A = ψ[v] ανν A = χ[v] ). A = xψ[v] ανν ( για κάθε α Α, Α = ψ[v(x α)] ). A = xψ[v] ανν ( υπάρχει α Α τέτοιο ώστε Α = ψ[v(x α)] ). ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 27

28 Παραδείγµατα εν ακολουθούµε τον φορµαλισµό του ορισµού Tarski, αλλά την ουσία του. Ελέγχουµε αν πρόταση αληθεύει σε συγκεκριµένη ερµηνεία. Απλά «αποκωδικοποιούµε» την πρόταση (στην συγκεκριµένη ερµηνεία) και εξηγούµε πειστικά αν αληθεύει ή όχι. Αληθεύουν οι παρακάτω προτάσεις στη δοµή των φυσικών για c = 0 και P(x, y) x y; Στην δοµή των ακεραίων; (α) αληθεύει σε φυσικούς και ακέραιους, (β) µόνο σε φυσικούς. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 28

29 Παραδείγµατα ίνεται συγκεκριµένη πρόταση και ζητείται δοµή που να (µην) την ικανοποιεί. οµή που ικανοποιεί παρακάτω προτάσεις ταυτόχρονα: οκιµάζουµε φυσικούς, µε c = 0, Q(x, y) x < y, και f(x) = x+1. Νδο παρακάτω πρόταση δεν είναι λογικά έγκυρη περιγράφοντας ερµηνεία της Γλώσσας Θ. Αριθµών που δεν την ικανοποιεί. Αν Q(x, y) x < y, υπόθεση αληθής και συµπέρασµα ψευδές! ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 29

30 Παραδείγµατα Ελάχιστο και µέγιστο πλήθος στοιχείων µιας δοµής που αποτελεί µοντέλο για τις παρακάτω προτάσεις: x y(x y) x y(x = y) x y z w(x y x z x w) y z w(y z z w y w) x y w(x = y y = w x = w) ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 30

31 Λογική Εγκυρότητα Να εξετάσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι λογικά έγκυρες: Ότι µια πρόταση δεν είναι λογικά έγκυρη αποδεικνύεται µε «αντιπαράδειγµα» (ερµηνεία που δεν την ικανοποιεί): Για την (i), φυσικοί αριθµοί, P(x) δηλώνει ότι x άρτιος, Q(x) δηλώνει ότι x περιττός. Λογική εγκυρότητα αποδεικνύεται µε εφαρµογή ορισµού Tarski. Για αυθαίρετη ερµηνεία Α, πρόταση (ii) δηλώνει ότι: αν για κάθε στοιχείο α Α, Α = P(α) και Α = Q(α), τότε για κάθε στοιχείο α Α, Α = P(α) ή Α = Q(α). Αυτό αληθεύει για κάθε δοµή Α. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 31

32 Λογική Εγκυρότητα Νδο = φ(c) xφ(x) Θεωρούµε αυθαίρετη δοµή Α. Α = φ(c) xφ(x) ανν όταν Α = φ(c), υπάρχει α A τ.ω. Α = φ(α). Ισχύει, αφού φ αληθεύει για στοιχείο όπου έχει αποτιµηθεί c. Νδο = x yp(x, y) y xp(x, y) Έστω αυθαίρετη δοµή Α. Α = x yp(x, y) y xp(x, y)... ανν όταν (i) υπάρχει α A τ.ω. για κάθε β A, Α = Ρ(α, β), τότε (ii) για κάθε γ A, υπάρχει δ A τ.ω. Α = Ρ(δ, γ). Ισχύει, αφού για κάθε γ A, Α = Ρ(α, γ) λόγω υπόθεσης. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 32

33 Λογική Εγκυρότητα Νδο = x(p(x) Q(x)) ( xp(x) xq(x)) Θεωρούµε αυθαίρετη δοµή Α. Πρέπει νδο: Αν (i) υπάρχει α Α : Α = P(α) Q(α), τότε (ii) αν για κάθε β Α, Α = Ρ(β), τότε (iii) υπάρχει γ Α : Α = Q(γ). Αρκεί νδο αν ισχύουν τα (i) και (ii), τότε ισχύει και το (iii). Λόγω (i): υπάρχει α Α : Α = P(α) Q(α). Λόγω (ii): A = P(α). Άρα Α = Q(α). Συνεπώς, αν ισχύουν τα (i) και (ii), υπάρχει στοιχείο του Α για το οποίο αληθεύει το Q στην ερµηνεία Α. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 33

34 Λογική Συνεπαγωγή Έστω οι τύποι (1) x(f(x) = x Q(x)), και (2) x(f(x) = x) xq(x). (α) Να βρείτε ποιος τύπος συνεπάγεται λογικά τον άλλο, και (β) νδο οι τύποι δεν είναι λογικά ισοδύναµοι. Θδο (1) = (2) (αλλά όχι το αντίστροφο). Έστω αυθαίρετη ερµηνεία Α. Από ορισµό Tarksi, αρκεί νδο: Αν (i) για κάθε α A, A = f(α) = α ανν A = Q(α), τότε (ii.1) για κάθε β A, A = f(β) = β ανν (ii.2) για κάθε γ A, A = Q(γ). ιακρίνουµε 2 περιπτώσεις: Ισχύει (ii.2), δηλ. για κάθε γ A, Α = Q(γ) ανν, λογω (i), για κάθε β A, Α = f(β) = β, ανν ισχύει (ii.1). εν ισχύει (ii.2), δηλ. υπάρχει δ A, Α = Q(δ), ανν, λόγω (i), υπάρχει δ A, Α = f(δ) δ, ανν δεν ισχύει (ii.2). ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 34

35 Λογική Συνεπαγωγή Έστω οι τύποι (1) x(f(x) = x Q(x)), και (2) x(f(x) = x) xq(x). (α) Να βρείτε ποιος τύπος συνεπάγεται λογικά τον άλλο, και (β) νδο οι τύποι δεν είναι λογικά ισοδύναµοι. Ερµηνεία Α που επαληθεύει τον (2) αλλά όχι τον (1). Α = {α, β}, f(α) = α, f(β) = α, και Q(α) Ψ, Q(β) Α. Α µοντέλο για τον (2): Α = x(f(x) = x) και Α = xq(x) A όχι µοντέλο για τον (1): Υπάρχει στοιχείο του Α, το α, για το οποίο f(α) = α αλλά Q(α) δεν αληθεύει. ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 35

36 Παράδειγµα Επιλογής Ερµηνείας Συνολοθεωρητική ερµηνεία µε κατηγορηµατικό συµβολο Q(x, y) που αληθεύει ανν x y (δηλ. το σύνολο y περιέχει ως στοιχείο το σύνολο x). Να ορίσετε το σύµπαν Α ώστε να αληθεύει η 1 η από τις παρακάτω προτάσεις και να µην αληθεύει η 2 η. Για να αληθεύει η 1 η, αρκεί να υπάρχει στο σύµπαν σύνολο που δεν περιέχει (ως στοιχείο) κανένα σύνολο που ανήκει στο σύµπαν. Αυτό αληθεύει αν π.χ. Α. Για να µην αληθεύει η 2 η, αρκεί να υπάρχουν στο σύµπαν δύο διαφορετικά σύνολα που να περιέχουν (ως στοιχεία) τα ίδια ακριβώς σύνολα του σύµπαντος. Π.χ. Α = {, {{ }}, {, { }} } ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 36

37 Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή Για κάθε τύπο φ, µπορούµε να βρούµε λογικά ισοδύναµο τύπο όπου Q i ποσοδείκτες και φ (x 1,, x n ) ανοικτός τύπος. φ * αποτελεί Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή (ΚΠΜ) φ. Για υπολογισµό ΚΠΜ, χρησιµοποιούµε: Νόµους µετακίνησης ποσοδεικτών (µόνο αν x δεν εµφανίζεται ελεύθερη στον φ): Νόµους άρνησης ποσοδεικτών: Νόµους κατανοµής ποσοδεικτών: ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 37

38 Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή Να βρείτε µια ΚΠΜ του τύπου ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 38

39 Ερώτηση Τι δηλώνουν οι παρακάτω προτάσεις; Αληθεύουν σε πεπερασµένο σύµπαν; Αληθεύουν σε άπειρο σύµπαν; ιακριτά Μαθηµατικά (Άνοιξη 2014) Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής 39

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα (

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος. Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση

Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής Χειμερινό Εξάμηνο 2011-2012 Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 2 Προτασιακή Λογική 3 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σύνολα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ορισμός Συνόλου Σύνολο είναι μια συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. Ορισμός Συνόλου. Υποσύνολα και Κενό Σύνολο. Στοιχεία ενός συνόλου:

Σύνολα. Ορισμός Συνόλου. Υποσύνολα και Κενό Σύνολο. Στοιχεία ενός συνόλου: Ορισμός Συνόλου Σύνολα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σύνολο είναι μια συλλογή διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή Μαθηματική Επαγωγή Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5

Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5 Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Αρχή του Περιστερώνα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συναρτήσεις Συνάρτηση: διµελής

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 20/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 20-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β):

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 16/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 17-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Τελική εξέταση Ιούλιος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1

ψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1 Ασκήσεις στο μάθημα της Λογικής 15 Οκτωβρίου 2015 Άσκηση 1. Να δειχτεί ότι δεν υπάρχουν τύποι μήκους 2,3,6 αλλά κάθε άλλο (θετικό ακέραιο) μήκος είναι δυνατό (άσκηση 2, σελίδα 39) Απόδειξη. Δείχνουμε πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Λύσεις Άσκηση 1 [30 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα χρησιμοποιώντας τα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/23/2017

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Σχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιμελής Σχέση ιατεταγμένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/24/2017

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον Κατηγορηματικό Λογισμό. (α) Δεν υπάρχουν δύο διαφορετικές πτήσεις με τον ίδιο αριθμό. x 1, d 1, a 1, s 1, t 1, x 2, d 2, a 2,

Διαβάστε περισσότερα

Αρχή Εγκλεισµού-Αποκλεισµού

Αρχή Εγκλεισµού-Αποκλεισµού Αρχή Εγκλεισµού-Αποκλεισµού ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου, Θ. Λιανέας Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πληθικός Αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2016 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/02/2018 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 15-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική A Ενδιάμεση εξέταση Μάρτιος 2014 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2017 Οργάνωση Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες Συνεπαγωγή Αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Αρχή του Περιστερώνα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αρχή του Περιστερώνα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αρχή του Περιστερώνα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συναρτήσεις Συνάρτηση: διμελής σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κανονικές Γλώσσες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κανονικές Γλώσσες Κανονική γλώσσα αν

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αρχή του Περιστερώνα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συναρτήσεις Συνάρτηση:

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Πέμπτη, 30 Οκτωβρίου 2014 Διάρκεια : 10:30 12.00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου ΠΡΟΤΥΠΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγίες:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική)

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 1 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα (μ.ο.: 7.09). Πολλά

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2018 Οργάνωση και περιεχόμενα Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ύο προτάσεις που έχουν την ίδια σηµασία λέγονται ταυτόσηµες. 2. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται αληθής όταν περιγράφει µια πραγµατική κατάσταση του κόσµου µας.

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Ένα παράδειγµα... Έχουµε δει. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Πέµπτη, 23/02/2017

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Ένα παράδειγµα... Έχουµε δει. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Πέµπτη, 23/02/2017 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχέσεις Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διμελής Σχέση Διατεταγμένο ζεύγος (α, β):

Διαβάστε περισσότερα

\5. Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus)

\5. Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) \5 Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) 51 Αντικείμενα Ιδιότητες και Σχέσεις Θεωρείστε την παρακάτω εξαγωγή συμπεράσματος: Κανένας ακέραιος δεν είναι μεγαλύτερος από το τετράγωνό του Το 1 2 είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική)

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 1 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ καλή εικόνα με εξαιρετική βαθμολογία

Διαβάστε περισσότερα

Αρχή του Περιστερώνα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αρχή του Περιστερώνα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αρχή του Περιστερώνα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συναρτήσεις Συνάρτηση: διμελής σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 12/5/2012, στις 06:52. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις

Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις Άσκηση 1 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον προτασιακό λογισμό. (α) Κάθε ενεργός χρήστης είναι είτε διαχειριστής είτε κανονικός χρήστης του συστήματος. x [Ενεργός (x) Διαχειριστής(x)

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε

Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση

Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αριθμήσιμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γλώσσες Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Κανονική γλώσσα αν παράγεται από κανονική γραμματική. Παραγωγές P (V Σ) Σ * ((V Σ) ε) Παραγωγές μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Σχέση Μερικής ιάταξης Σχέση Μερικής ιάταξης (ή µερική διάταξη): ανακλαστική, αντισυµµετρική, και µεταβατική. Αριθµοί: α β (αλλά όχι α < β), α β, Σύνολ

Σχέση Μερικής ιάταξης Σχέση Μερικής ιάταξης (ή µερική διάταξη): ανακλαστική, αντισυµµετρική, και µεταβατική. Αριθµοί: α β (αλλά όχι α < β), α β, Σύνολ Σχέσεις Μερικής ιάταξης ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχέση Μερικής ιάταξης

Διαβάστε περισσότερα

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Διακριτά Μαθηματικά 3 η γραπτή εργασία, Σχέδιο Λύσεων Επιμέλεια: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου ΘΕΜΑ (Συνδυαστική,.6 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Σκελετοί Λύσεων Ημερομηνία : Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Διάρκεια : 11:00 13:00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ME ΠΟΛΛΕΣ ΚΑΙ ΕΓΚΑΡΔΙΕΣ ΕΥΧΕΣ ΓΙΑ ΚΑΛΕΣ ΓΙΟΡΤΕΣ, ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΡΟΟΔΟ ΣΕ ΕΣΑΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΣΑΣ Φυλλάδιο 2: Σχεσιακή Λογική ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2006 ΠΑΡΑΔΟΣΗ: 12/11/2006

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 01/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18

Διαβάστε περισσότερα

1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-180: Λογική Εαρινό Εξάµηνο 2016 Κ. Βάρσος Πρώτο Φροντιστήριο 1 Συνοπτική ϑεωρία 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού 1. Νόµος ταυτότητας : 2. Νόµοι αυτοπάθειας

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηµατική Λογική

Κατηγορηµατική Λογική Προβλήµατα της Προτασιακής Λογικής Γιατί δεν µας αρκεί η Προτασιακή Λογική; Εστω ότι ισχύουν τα P και Q: P : «Ο Σωκράτης είναι άνθρωπος» Q : «Κάθε άνθρωπος είναι ϑνητός» R : «Ο Σωκράτης είναι ϑνητός» Μπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Για τον προτασιακό λογισμό παρουσιάσαμε την αποδεικτική θεωρία (natural deduction/λογικό συμπέρασμα) τη σύνταξη (ορίζεται με γραμματική χωρίς συμφραζόμενα και εκφράζεται με συντακτικά

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/7/2017

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Την προηγούµενη φορά Τρόποι απόδειξης Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter,

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πεπερασμένα Αυτόματα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πεπερασμένα Αυτόματα είναι απλούστερες

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Ιουλίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ : Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Σκελετοί Λύσεων Άσκηση [0 μονάδες] α Να αναφέρετε τρεις μεθόδους μέσω των οποίων μπορούμε να αποφασίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία προτασιακής λογικής

Στοιχεία προτασιακής λογικής Σ. Κοσμαδάκης Στοιχεία προτασιακής λογικής Λογικές πράξεις and, or, not Για οποιεσδήποτε τιμές αλήθειας s, t στο σύνολο {true, false}, οι γνωστές πράξεις s and t, s or t, not s δίνουν αποτελέσματα στο

Διαβάστε περισσότερα

το σύνολο των πολυωνυµικών συναρτήσεων βαθµού d στους φυσικούς και µε P= U P το σύνολο των πολυωνυµικών συναρτήσεων. Να εξετάσετε αν τα σύνολα P

το σύνολο των πολυωνυµικών συναρτήσεων βαθµού d στους φυσικούς και µε P= U P το σύνολο των πολυωνυµικών συναρτήσεων. Να εξετάσετε αν τα σύνολα P Θέµα ( ιαδικασίες Απαρίθµησης 0 µονάδες) (α) Μια συνάρτηση p : N N είναι πολυωνυµική βαθµού όταν υπάρχουν φυσικοί ( a a a ) τέτοιοι ώστε 0 l = 0 l p( n) = a l n για κάθε n N Συµβολίζουµε µε P το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα