Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μεγαλύτερο των 90 ο και μικρότερο των 180 ο 4. Ευθεία γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 180 ο. Οι πλευρές της ευθείας γωνίας είναι αντικείμενες ημιευθείες. 5. Μη κυρτή γωνία λέγεται κάθε γωνία ω με 180 ο < ω < 360 ο 6. Μηδενική γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 0 ο. 7. Πλήρης γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 360 ο. - Η ημιευθεία της τελικής πλευράς μιας μηδενικής και μιας πλήρους γωνίας ταυτίζεται με αυτή της αρχικής πλευράς. 8. Δύο ευθείες είναι κάθετες όταν οι γωνίες που σχηματίζουν αυτές τεμνόμενες, είναι ορθές. - Για να δηλώσουμε ότι δύο ευθείες ε 1 και ε 2 είναι κάθετες χρησιμοποιούμε το σύμβολο,γράφουμε ε 1 ε 2 και διαβάζουμε «η ε 1 είναι κάθετη στην ε 2». Β.1.7. Εφεξής και διαδοχικές γωνίες Άθροισμα γωνιών 1. Εφεξής γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν την ίδια κορυφή, μία κοινή πλευρά και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο. 2. Διαδοχικές γωνίες λέγονται περισσότερες από δύο γωνίες, που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και καθεμιά από αυτές είναι εφεξής γωνία με την προηγούμενη ή την επόμενή της. Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες 1. Παραπληρωματικές γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 180 ο. Η κάθε μία από αυτές λέγεται παραπληρωματική της άλλης. 2. Συμπληρωματικές γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 90 ο. Η κάθε μία από αυτές λέγεται συμπληρωματική της άλλης. 3. Κατακορυφήν γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν την κορυφή τους κοινή και τις πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες. Δύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. Β.1.9. Θέσεις ευθειών στο επίπεδο 1. Δύο ευθείες του ιδίου επιπέδου λέγονται παράλληλες, αν δεν έχουν κοινό σημείο όσο κι αν προεκταθούν. 2. Δύο ευθείες του ιδίου επιπέδου που έχουν ένα κοινό σημείο ονομάζονται τεμνόμενες και το κοινό τους σημείο λέγεται σημείο τομής των δύο ευθειών. 3. Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή θα είναι παράλληλες ή θα τέμνονται. Για να δηλώσουμε ότι δύο ευθείες ε 1, και ε 2 είναι παράλληλες, χρησιμοποιούμε το σύμβολο // και γράφουμε ε 1 //ε 2. 4. Δύο ευθύγραμμα τμήματα που βρίσκονται πάνω σε δύο παράλληλες ευθείες, θα λέγονται παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα και γράφουμε ΑΒ//ΓΔ. 5. Δεχόμαστε ότι ισχύει η πρόταση: Από ένα σημείο Α, εκτός ευθείας ε, διέρχεται μία και μοναδική ευθεία ε 1 παράλληλη στην ε.
Β.1.10. Απόσταση σημείου από ευθεία - Απόσταση παραλλήλων 1. Απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε ονομάζεται το μήκος του κάθετου ευθυγράμμου τμήματος ΑΑ Ο από το σημείο Α προς την ευθεία ε. 2. Απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών λέγεται το μήκος οποιουδήποτε ευθυγράμμου τμήματος που είναι κάθετο στις δύο παράλληλες ευθείες και έχει τα άκρα του σ αυτές. Β.1.11. Κύκλος και στοιχεία του κύκλου 1. Κύκλος λέγεται το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που απέχουν την ίδια απόσταση από ένα σταθερό σημείο Ο. Η απόσταση αυτή συμβολίζεται με ρ και λέγεται ακτίνα του κύκλου. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο του κύκλου. Ένας κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ, συμβολίζεται με συντομία (Ο, ρ). Δύο κύκλοι με ακτίνες ίσες είναι ίσοι. 2. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, που συνδέει δύο σημεία Α και Β του κύκλου, λέγεται χορδή του κύκλου. 3. Η χορδή που περνάει από το κέντρο του κύκλου λέγεται διάμετρος του κύκλου. Η διάμετρος είναι η μεγαλύτερη χορδή του κύκλου, είναι διπλάσια από την ακτίνα του κύκλου και χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα μέρη (ημικύκλια). 4. Δύο σημεία Α και Β του κύκλου τον χωρίζουν σε δύο μέρη που το καθένα λέγεται τόξο του κύκλου με άκρα τα Α και Β. 5. Κυκλικός δίσκος (Ο, ρ) είναι ο κύκλος (Ο, ρ) μαζί με το μέρος του επιπέδου που περικλείει. Όλα τα σημεία του κυκλικού δίσκου απέχουν από το κέντρο Ο απόσταση μικρότερη ή ίση με την ακτίνα ρ. Β.1.12. Επίκεντρη γωνία Σχέση επίκεντρης γωνίας και τόξου Μέτρηση τόξου 1. Επίκεντρη λέγεται η γωνία xoy της οποίας η κορυφή συμπίπτει με το κέντρο Ο του κύκλου. 2. Αν η πλευρά Οx της γωνίας xoy τέμνει τον κύκλο στο σημείο Α και η πλευρά Οy στο σημείο Β, τότε το τόξο ΑΓΒ που βρίσκεται στο εσωτερικό της κυρτής γωνίας xoy λέγεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας xoy. 3. Ως μέτρο ενός τόξου ορίζεται το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας, δηλαδή το μέτρο ενός τόξου το μετράμε σε μοίρες. 4. Σε έναν κύκλο ή σε ίσους κύκλους, δυο ίσες επίκεντρες γωνίες έχουν ίσα αντίστοιχα τόξα, και αντίστροφα : δυο ίσα τόξα έχουν ίσες τις επίκεντρες γωνίες. 5. α) ένας κύκλος έχει 360 0 β) ένα ημικύκλιο 180 0 και γ) καθένα από τα τόξα στα οποία χωρίζεται ένας κύκλος από δύο κάθετες διαμέτρους έχει 90 0. Β.1.13. Θέσεις ευθείας και κύκλου 1. Όταν ευθεία και κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο λέμε ότι η ευθεία είναι εξωτερική του κύκλου. Aυτό συμβαίνει όταν η απόσταση ΟΜ του κέντρου Ο από την ευθεία ε είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα ρ. 2. Όταν ευθεία και κύκλος έχουν ένα μόνο κοινό σημείο Λ, η ευθεία λέγεται εφαπτόμενη του κύκλου στο σημείο Λ. Aυτό συμβαίνει όταν η απόσταση ΟΛ του κέντρου Ο από την ευθεία ε είναι ίση με την ακτίνα ρ. 3. Όταν ευθεία και κύκλος έχουν δύο κοινά σημεία Α και Β, η ευθεία λέγεται τέμνουσα του κύκλου ή λέμε ότι η ευθεία τέμνει τον κύκλο στα Α και Β. Aυτό συμβαίνει όταν η απόσταση ΟΚ του κέντρου Ο από την ευθεία ε είναι μικρότερη από την ακτίνα ρ.
Β.2.3. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος λέγεται η ευθεία που είναι κάθετη προς αυτό και διέρχεται από το μέσον του. 2. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος έχει ίσες αποστάσεις (ισαπέχει) από τα άκρα του. 3. Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετό του. 4. Η μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι άξονας συμμετρίας του. Β 2.6. Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία 1. Οι γωνίες που βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείες ε 1, και ε 2 ονομάζονται «εντός» (των ευθειών) και όλες οι άλλες «εκτός». 2. Οι γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της ευθείας δ ονομάζονται επί τα αυτά 3. Δύο γωνίες που βρίσκονται η μία στο ένα κι η άλλη στο άλλο ημιεπίπεδο της ευθείας δ, λέγονται μεταξύ τους εναλλάξ. 4. Μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι οι γωνίες που σχηματίζονται και στα δύο σημεία τομής Α και Β, είναι δύο ειδών: Οι οξείες γωνίες, που είναι μεταξύ τους ίσες και Οι αμβλείες γωνίες, που είναι κι αυτές μεταξύ τους ίσες. ΚΕΦ 3 Τρίγωνα Παραλληλόγραμμα Τραπέζια Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων Κύρια στοιχεία τριγώνου Κάθε τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ και τρεις γωνίες Τα ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, εκτός από τις πλευρές, συμβολίζουν και τα μήκη των αντίστοιχων ευθυγράμμων τμημάτων. Χαρακτηρισμοί τριγώνων Μία γωνία ορθή Ορθογώνιο Μία γωνία μεγαλύτερη της ορθής Αμβλυγώνιο Όλες οι γωνίες μικρότερες της ορθής Οξυγώνιο Τρεις πλευρές ίσες Ισόπλευρο Δύο πλευρές ίσες Ισοσκελές Όλες οι πλευρές άνισες Σκαληνό Δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου 1. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει την κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς, λέγεται διάμεσος. 2. Το ευθύγραμμο τμήμα που φέρνουμε από μία κορυφή ενός τριγώνου κάθετο στην ευθεία της απέναντι πλευράς, λέγεται ύψος του τριγώνου. 3. Το ευθύγραμμο τμήμα της διχοτόμου μιας γωνίας ενός τριγώνου που φέρνουμε από μια κορυφή και καταλήγει στην απέναντι πλευρά, λέγεται διχοτόμος του τριγώνου.
Β.3.2. Άθροισμα γωνιών τριγώνου - Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου - Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: Α + Β + Γ = 180 ο - Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο ισχύει ότι: Η ευθεία της διαμέσου, που αντιστοιχεί στη βάση είναι άξονας συμμετρίας του ισοσκελούς τριγώνου. Η διάμεσος, που αντιστοιχεί στη βάση είναι ύψος και διχοτόμος. Οι προσκείμενες γωνίες στη βάση του ισοσκελούς είναι ίσες. - Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει ότι: Οι ευθείες των διαμέσων είναι άξονες συμμετρίας του ισοπλεύρου τριγώνου. Κάθε διάμεσος είναι ύψος και διχοτόμος. Όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες του ισοπλεύρου τριγώνου είναι ίσες. Β.3.3. Παραλληλόγραμμο Ορθογώνιο Ρόμβος Τετράγωνο - Τραπέζιο 1. Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες, δηλαδή ΑΒ // ΓΔ και ΑΔ // ΒΓ. Κάθε πλευρά του παραλληλογράμμου μπορεί να ονομαστεί βάση του παραλληλογράμμου. Η απόσταση της βάσης από την απέναντι πλευρά λέγεται ύψος του παραλληλογράμμου. 2. Ειδικές περιπτώσεις παραλληλογράμμων Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές λέγεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ή απλά ορθογώνιο. Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες λέγεται ρόμβος. Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές και όλες τις πλευρές του ίσες λέγεται τετράγωνο. 3. Τραπέζιο Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ του οποίου μόνο δύο πλευρές είναι παράλληλες λέγεται τραπέζιο. Οι παράλληλες πλευρές ΑΒ, ΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) του τραπεζίου λέγονται βάσεις του τραπεζίου. Η απόσταση των βάσεων λέγεται ύψος του τραπεζίου. Αν ένα τραπέζιο έχει τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες λέγεται ισοσκελές τραπέζιο. Β.3.4. Ιδιότητες Παραλληλογράμμου - Ορθογωνίου - Ρόμβου -Τετραγώνου - Τραπεζίου 1. Ιδιότητες του πλάγιου παραλληλογράμμου Σε κάθε παραλληλόγραμμο το σημείο τομής των διαγωνίων του είναι κέντρο συμμετρίας του. Οι διαγώνιές του διχοτομούνται (κάθε μία περνάει από το μέσον της άλλης). Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες. 2. Ιδιότητες του ορθογώνιου: Οι μεσοκάθετοι των πλευρών του είναι άξονες συμμετρίας. Οι διαγώνιές του είναι ίσες και διχοτομούνται.
3. Ιδιότητες του ρόμβου Εκτός των ιδιοτήτων του παραλληλογράμμου έχει ακόμα και τις εξής: Οι ευθείες των διαγωνίων είναι άξονες συμμετρίας. Οι διαγώνιες είναι κάθετες (και διχοτομούνται). Οι διαγώνιές του είναι και διχοτόμοι των γωνιών του. 4. Ιδιότητες του τετραγώνου Εκτός των ιδιοτήτων του παραλληλογράμμου έχει ακόμα και τις εξής: Οι ευθείες των διαγωνίων του και οι μεσοκάθετοι των πλευρών του είναι άξονες συμμετρίας. Οι διαγώνιές του είναι ίσες, κάθετες (και διχοτομούνται) Οι διαγώνιές του είναι και διχοτόμοι των γωνιών του. 5. Ιδιότητες του ισοσκελούς τραπεζίου Η ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των βάσεων είναι άξονας συμμετρίας και μεσοκάθετος στις βάσεις του. Οι προσκείμενες σε κάθε βάση γωνίες του είναι ίσες.