ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΚΥΜΑΤΑ-ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ-ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΚΥΜΑΤΑ-ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ-ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Χαρακτηριστικά Μεγέθη Περιοδικών Φαινομένων N t 1 f και T, f t N T Συχνότητα-Περίοδος Ν: αριθμός επαναλήψεων Γωνιακή Συχνότητα Α. Μηχανικές Ταλαντώσεις και f T ( φ ο =0) Χρονική Εξίσωση Απομάκρυνσης x At Χρονική Εξίσωση Ταχύτητας maxt όπου max Χρονική Εξίσωση Επιτάχυνσης maxt όπου όπου x A( t max 0, αρχική φάση Χρονική Εξίσωση Απομάκρυνσης ) Χρονική Εξίσωση Ταχύτητας max ( t ) Χρονική Εξίσωση Επιτάχυνσης max ( t ) Δύναμη Επαναφοράς F Dx Περίοδος T m D Ενέργεια Ταλάντωσης και χρόνος φ ο =0 Κινητική Ενέργεια 1 K m ή K t 1 Δυναμική Ενέργεια U Dx ή U t Μηχανική (ολική) Ενέργεια Ταλάντωσης 1 1 DA m max ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ( Α.Δ.Ε.) 1 1 1 1 Ε ολ = Κ + U=Κ max ή Κ 1 + U 1 =Κ + U ή DA m Dx m Σχέση επιτάχυνσης και απομάκρυνσης a x Σχέση ταχύτητας και απομάκρυνσης max x (με απόδειξη από Α.Δ.Ε. ή χρον. εξισώσεις) παίδων μάθημα - 1 -

Β. Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις Χρονική Εξίσωση Φορτίου πυκνωτή q Qt Χρονική Εξίσωση έντασης ρεύματος iit C παίδων μάθημα - - Q Περίοδος T LC Ενέργεια Ηλεκτρικού Πεδίου Πυκνωτή 1 q U ή U E t E E Ενέργεια Μαγνητικού Πεδίου Πηνίου U B 1 Li ή U E t (χρον. εξίσωση) Χρον. Εξίσωση Φορτίου πυκνωτή- έντασης ρεύματος q Qt και i It (εάν την t=0 q=0 και i=ι) ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ( Α.Δ.Ε.) U U U U ή E(max) E B B(max) Σχέση έντασης ρεύματος-φορτίου i Q q (με απόδειξη από Α.Δ.Ε.) Γ.Φθίνουσες Μηχανικές Ταλαντώσεις Q q Li C C 1 1 1 1 AA e t Πλάτος μετά από n πλήρεις Ταλαντώσεις 0 Όπου t=nt n=0,1,, Λόγος Διαδοχικών Πλατών προς την ίδια κατεύθυνση A A A A A A o 1... n e t = σταθ. 1 n1 Ενέργεια μετά από n πλήρεις Ταλαντώσεις 1 DA ή n n Όπου t=nt n=0,1,, 1 DAe t ή n n E e LI t (με απόδειξη)

Εργο Δύναμης Αντίστασης(F =-bυ) W F E E n Ε ο : Η ενέργεια την χρονική στιγμή t=0 Ε n : Η ενέργεια την χρονική στιγμή t=nt Φθίνουσες Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις Με ωμική αντίσταση R t Mέγιστο Φορτίο Qn Qoe Όπου t=nt n=0,1,,... Δ. Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις Συνθήκη Συντονισμού με b=0 : f = f o Ε. Σύνθεση Ταλαντώσεων 1. Σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, ίδιας συχνότητας γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις: x1 A1 t και x A ( t) Συνισταμένη Αρμονική Ταλάντωση xa( t ) Πλάτος Συνισταμένης Ταλάντωσης 1 1 1. Σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, ίδιου πλάτους με ελάχιστα διαφορετικές συχνότητες ( ) γύρω από 1 την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις: x1 A1t και x At Συνισταμένη Αρμονική Ταλάντωση Πλάτος και x A t t ( 1 ) ( 1 ) A A A t 1 ( ) παίδων μάθημα - 3 -

Γων. Συχνότητα-Περίοδος Ταλάντωσης Περίοδος Διακροτήματος Εξισώσεις Συνισταμένης Ταλάντωσης 1 και ή 1 T 1 f f 1 Απομάκρυνση xat Ταχύτητα t με max A Επιτάχυνση ΣΤ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1 max a a t με a max ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ max A Λύση τριγωνομετρικών Εξισώσεων ημx=ημθ x=κπ+θ Ή x=κπ+(π-θ) ημx= 1 τότε x=(κ+1)π/ Κ=0,1,,3,... ημx= 0 τότε x=κπ Κ=0,1,,3,.. συνx=συνθ x=κπ+θ Ή x=κπ -θ συνx= 1 τότε x=κπ Κ=0,1,,3,... συνx= 0 τότε x=(κ+1)π/ Κ=0,1,,3,.. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες ημ α= ημα συνα συν α=συν α-ημ α = συν α 1 = 1 ημ α ( ) ( ) ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ y 1. ln x y e x ορισμός ln x. e x παίδων μάθημα - 4 -

3. e lnx 1 x 4. xlna lna x 5. ln log ln a a 6. ln( ) ln a ln 7. ln( ) ln a ln a Ζ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ d Ρυθμός Μεταβολής Ταχύτητας Ταλαντούμ. Σώματος: x dt dp Ρυθμός Μεταβολής Ορμής Ταλαντούμ. Σώματος: F Dx dt Ρυθμ. Μεταβ.Κινητ.Ενέργειας Tαλάντωσης: dk dw Fdx F dt dt dt du dk Ρυθμ Μεταβ.Δυναμ.Ενέργειας Ταλάντωσης: F dt dt du dk du dk (Κ+U=E=σταθ. άρα 0 ή ) dt dt dt dt ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ dq Ρυθμός Μεταβολής Φορτίου Πυκνωτή: dt i dvc d q 1 dq 1 Ρυθμός Μεταβολής Τάσης Πυκνωτή: ( ) i dt dt C C dt C di E 1 Ρυθμ. Μεταβολής Έντασης Ρεύματος: AYT V C q dt L L L C Ρυθμ. Μεταβ.Ενέργειας Ηλεκτρ. Πεδίου Πυκνωτή (Ισχύς): παίδων μάθημα - 5 -

du dt E P V i C Ρυθμ Μεταβ.Ενέργειας Μαγν.Πεδίου Πηνίου (Ισχύς): du B du E VC i VL i dt dt du E du B du B du E ( U B +U E =E ολ =σταθ. άρα 0 ή ) dt dt dt dt V C, i, q : στιγμιαίες τιμές τάσης,,έντασης, φορτίου C ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 (ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ) παίδων μάθημα - 6 -

Α. Μηχανικές ταλαντώσεις Ι) Γραφικές παραστάσεις των χρονικών εξισώσεων της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης. Οι προηγούμενες γραφικές παραστάσεις αντιστοιχούν στην περίπτωση όπου η ταλάντωση δεν έχει αρχική φάση. Στην περίπτωση όπου η ταλάντωση έχει αρχική φάση, οι γραφικές παραστάσεις έχουν διαφορετική μορφή, ανάλογα με την τιμή της αρχικής φάσης. ) Γραφικές παραστάσεις της επιτάχυνσης α και της συνισταμένης δύναμης ΣF σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x: 3) Γραφικές παραστάσεις της κινητικής ενέργειας Κ, της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης U και της ενέργειας ταλάντωσης Ε σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x: Η γραφική παράσταση Κ=f(x) είναι παραβολή που στρέφει τα κοίλα κάτω. Ο τύπος της προκύπτει εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας για την ταλάντωση: Κ+U=Ε ή Κ=Ε-D x / παίδων μάθημα - 7 -

4) Γραφικές παραστάσεις της κινητικής ενέργειας Κ, της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης U και της ενέργειας ταλάντωσης Ε σε συνάρτηση με την ταχύτητα υ. Η U=f(υ) είναι και αυτή παραβολή που στρέφει τα κοίλα κάτω. Ο τύπος της προκύπτει εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας για την ταλάντωση: Κ+U=Ε ή U=Ε-mυ / Οι παραπάνω γραφικές παραστάσεις δεν εξαρτώνται από την αρχική φάση της ταλάντωσης. 5) Γραφικές παραστάσεις της κινητικής ενέργειας Κ, της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης U και της ενέργειας ταλάντωσης Ε σε συνάρτηση με το χρόνο t. Η μορφή των παραπάνω γραφικών παραστάσεων εξαρτώνται από το αν έχει αρχική φάση η ταλάντωση ή όχι. Για να σχεδιάσουμε τις προηγούμενες γραφικές παρα στάσεις, υποθέσαμε ταλάντωση χωρίς αρχική φάση, οπότε είναι x=aημωt και υ=υ max συνωt. Προσοχή πρέπει να δώσουμε επίσης στο γεγονός ότι η περίοδος της ταλάντωσης δεν επιτυγχάνεται στην πρώτη μεγιστοποίηση της κινητικής ενέργειας μετά την t= 0 (ή στον πρώτο μηδενισμό της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης), αλλά στη δεύτερη. Συνεπώς η περίοδος μεταβολής της κινητικής ή της δυναμικής ενέργειας ισούται με T =Τ/. Β. Ηλεκτρικές ταλαντώσεις 6) Γραφικές παραστάσεις του φορτίου q του πυκνωτή και της έντασης i του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο t. παίδων μάθημα - 8 -

q=qσυνωt I=Ιημωt Οι γραφικές αυτές παραστάσεις εξαρτώνται από τις αρχικές τιμές των μεγεθών q και i.. Στην προκείμενη περίπτωση, για να τις σχεδιάσουμε, υποθέσαμε ότι την t = 0 είναι q=+ Q και i=0. 7) Γραφικές παραστάσεις της ενέργειας του ηλεκτρικού εδίου του πυκνω τή U E της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου U B και της ενέργειας ταλάντω σης Ε ολ σε συνάρτηση με το φορτίο q. H γραφική παράσταση U B =f(q) είναι και αυτή παραβολή, που όμως στρέφει τα κοίλα κάτω U E +U B =Ε ολ ή U B =Ε ολ -q /C. 8) Γραφικές παραστάσεις της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή U E, της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου U Β και της ενέργειας ταλάντωσης Ε ολ σε συνάρτηση με την ένταση i του ρεύματος. H γραφική παράσταση U E =f(i) είναι παραβολή, που όμως στρέφει τα κοίλα κάτω U E +U B =Ε ολ ή U E =Ε ολ -Li /. 9) Γραφικές παραστάσεις της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή U E της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου U B και της ενέργειας ταλάντωσης Ε ολ σε συνάρτηση με το χρόνο t παίδων μάθημα - 9 -

Οι γραφικές αυτές παραστάσεις έγιναν έχοντας υποθέσει ότι οι χρονικές εξισώσεις του φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος είναι της μορφής q=qσυνωt I=Ιημωt αντίστοιχα. Είναι προφανές ότι, εάν οι εξισώσεις q=f(t) και i=f(t) δεν ήταν της μορφής αυτής, οι παραπάνω γραφικές παραστάσεις θα είχαν άλλη μορφή. Γ Φθίνουσες ταλαντώσεις (Κατά τη διάρκεια των οποίων η δύναμη αντίστασης στην κίνηση είναι της μορφής F'=-bυ ). 10) Γραφική παράσταση της απομάκρυνσης x σε συνάρτηση με το χρόνο t. 11) Γραφική παράσταση τον πλάτους A της ταλάντωσης σε συνάρτηση με το Οι ίδιες γραφικές παραστάσεις προκύπτουν και στην περίπτωση του μη ιδανικού κυκλώματος LC. Στη θέση της μεταβλητής x τοποθετούμε το φορτίο q του πυκνωτή και στη θέση του πλάτους Α ο τοποθετούμε το μέγιστο φορτίο Q ο του πυκνωτή. 1) Γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσης x σε συνάρτηση με το χρόνο t για διαφορετικές σταθερές απόσβεσης b. παίδων μάθημα - 10 -

Οι ίδιες γραφικές παραστάσεις προκύπτουν και στην περίπτωση του μη ιδανικού κυκλώματος LC. Στη θέση της μεταβλητής x τοποθετούμε το φορτίο q του πυκνωτή, στη θέση του πλάτους Α ο το μέγιστο φορτίο Q 0 και στη θέση της σταθεράς απόσβεσης b την αντίσταση R του κυκλώματος. Δ. Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις 13) Γραφική παράσταση του πλάτους Α της ταλάντωσης σε συνάρτηση με τη συχνότητα f δ του διεγέρτη για διάφορες τιμές της σταθεράς απόσβεσης b. παίδων μάθημα - 11 -

παίδων μάθημα - 1 -

14) Γραφική παράσταση του πλάτους I της έντασης του ρεύματος σε συνάρτη ση με τη συχνότητα f δ του διεγέρτη σε κύκλωμα RLC που εκτελεί εξαναγκα σμένη ταλάντωση, για διάφορες τιμές της αντίστασης R. Ε. Σύνθεση ταλαντώσεων 15)Γραφική παράσταση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο για τις συνιστώσες και τη συνισταμένη ταλάντωση, όταν οι δύο συνιστώσες ταλαντώσεις έχουν ίσες συχνότητες, ίδια διεύθυνση, εξελίσσονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και η διαφορά φάσης τους ισούται με μηδέν ή με π rad. παίδων μάθημα 13

16) Γραφική παράσταση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο για τις συνιστώσες και τη συνισταμένη ταλάντωση, όταν οι συνιστώσες ταλα ντώσεις εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορ ροπίας και έχουν ίσα πλάτη και παραπλήσιες συχνότητες. παίδων μάθημα 14

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΚΥΜΑΤΑ-ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΚΡΟΥΣΕΙΣ παίδων μάθημα 15

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΚΥΜΑΤΑ ή Α. Θεμελιώδης Εξίσωση Κυματικής f Εξίσωση Αρμονικού Κύματος (Οταν η απομάκρυνση της πηγής Ο είναι t x y A t ) ya ( ) (θετικά) T t x Διάδοση κατά αντίθετη φορά ya ( ) (αρνητικά) T Ταχύτητας ταλάντωσης ενός υλικού σημείου Κ του μέσου t x A ( ) x x T Επιτάχυνση ταλάντωσης ενός υλικού σημείου Κ του μέσου t x A ( ) x x T t x Φάση αρμονικού κύματος ( ) T tt και k tt και k Εύρεση χρόνου (t κ ) έναρξης ταλάντωσης ενός υλικού σημείου Κ του μέσου που βρίσκεται σε θέση x=x κ. (Χρησιμοποιούμε τη εξίσωση φάσης) x Για x=x κ θέτω φ=0 και υπολογίζω την χρον.στιγμή t κ.(ή t αν φ ο =0) Εύρεση θέσης (x) στο ελαστικό μέσο που έχει φθάσει η διαταραχή την χρο νική t 1 (Στιγμιότυπο). (Χρησιμοποιούμε τη εξίσωση φάσης) Για t=t 1 θέτω φ=0 και υπολογίζω την θέση x.(ή x t αν φ 1 ο=0) Διαφορά φάσης δύο σημείων,την ίδια χρονική στιγμή t x Δx η απόσταση των δύο σημείων του ελαστικού μέσου Συμφωνία φάσης Αν Δφ=κπ ή Δx=κλ κ=1,,3... Τα σημεία του ελαστικού μέσου που έχουν ίσες απομακρύνσεις (y 1 =y ) και ίσες ταχύτητες (υ 1 =υ ) κάθε χρονική στιγμή. Αντίθεση φάσης Αν Δφ=(κ+1)π ή Δx=(κ+1) λ/ κ=0,1,,3... Τα σημεία του ελαστικού μέσου που έχουν αντίθετες απομακρύνσεις (y 1 = -y ) και αντίθετες ταχύτητες (υ 1 = -υ ) κάθε χρονική στιγμή. παίδων μάθημα 16

Μεταβολή φάσης ενός σημείου σε χρόνο Δ t t T Β. Συμβολή δύο όμοιων κυμάτων στην επιφάνεια υγρού Απομάκρυνση ενός σημείου του υγρού Πλάτος ( r1 r ) t r1 r ya ( ) T ( r1 r ) t r 1r A Φάση ( ) T r r με Ν=0,1,,... 1. Συνθήκη Ενίσχυσης (Α = Α ) 1.Συνθήκη Απόσβεσης (Α = 0 ) r1 r ( 1) με Ν=0,1,,.. ( r1 r ) 3.Ενδιάμεσο Πλάτος (0< Α <Α ) A t r1 r Ταχύτητα ( ) T t r1 r Επιτάχυνση a ( ) T Γ. Στάσιμα κύματα Εξίσωση στάσιμου κύματος(στη θέση x=o σχηματίζεται κοιλία) y t ή ya x t Πλάτος A x Ταχύτητα t Επιτάχυνση a t Θέσεις κοιλιών x 0,,,..., Κ=0,1,,... παίδων μάθημα 17

Θέσεις δεσμών 3 x,,...,( 1) Κ=0,1,,... 4 4 4 Απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών( ή διαδοχικών κοιλιών) d Απόσταση μεταξύ δεσμού-κοιλίας d x x (με απόδειξη) 4 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ (ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ) Ι.ΕΥΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΔΕΣΜΩΝ Ή ΚΟΙΛΙΩΝ ΜΕΤΑΞΥ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Χ Α και Χ Β Από την σχέση Χ Α < Κ λ/ < Χ Β υπολογίζω τα Κ (αριθμός κοιλιών). Από την σχέση Χ Α < (Κ+1) λ/4 < Χ Β υπολογίζω τα Κ (αριθμός δεσμών). ΙΙ.ΕΥΡΕΣΗ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΦΑΣΗΣ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Χ Α και Χ Β i) Η διαφορά φάσης είναι μηδέν όταν μεταξύ των δύο σημείων υπάρχει άρτιος αριθμός δεσμών, (οπότε βρίσκουμε τον αριθμό των δεσμών μεταξύ των σημείων). ii) Η διαφορά φάσης είναι π όταν μεταξύ των δύο σημείων υπάρχει περιττός αριθμός δεσμών.(οπότε βρίσκουμε τον αριθμό των δεσμών μεταξύ των σημείων). Δ. Ηλεκτρομαγνητικά κύματα t x Ηλεκτρικό Πεδίο max ( ) T t x ( ) max T max c και c Μαγνητικό Πεδίο Σχέση μέτρων Εντάσεων παίδων μάθημα 18 max Ε. Ανάκλαση και Διάθλαση του Φωτός. Όταν αλλάζει το μέσο διάδοσης του κύματος παραμένει σταθερή η συχνότητα f,,αλλάζει η ταχύτητα διάδοσης υ,άρα αλλάζει το μήκος κύματος λ.

Νόμος της ανάκλασης ( γωνία πρόσπτωσης=γωνία ανάκλασης) r Νόμος της διάθλασης(snell) Δείκτης διάθλασης ενός υλικού n n 1 1 c n ή n n crit n Κρίσιμη Γωνία (Ολική Εωτερική Ανάκλαση) 1 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Όταν φωτεινή ακτίνα προσπίπτει στην διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων με κατεύθυνση από το πυκνότερο στο αραιότερο οπτικά μέσο, τότε: i) αν θ πρ <θ crit η ακτίνα διαθλάται, (και ανακλάται) ii)αν θ πρ =θ crit η ακτίνα κινείται στην διαχωριστική επιφάνεια των δυο οπτικών μέσων, iii)αν θ πρ >θ crit η ακτίνα ανακλάται. (μόνο) ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ (ΚΥΜΑΤΑ) Α. Γραφικές παραστάσεις της εξίσωσης του αρμονικού κύματος 1) Στιγμιότυπο του κύματος = Γραφική παράσταση y=f(x) παίδων μάθημα 19

Το στιγμιότυπο του κύματος είναι η γραφική παράσταση y=f(x) για δεδομένη χρονική στιγμή t. Είναι δηλαδή μια φωτογραφία του κύματος που δείχνει την απομάκρυνση από τη θέση ισορ ροπίας όλων των υλικών σημείων του μέσου που έχουν τεθεί σε ταλάντωση τη χρονική αυτή στιγμή. Η Θέση του πιο απομακρυσμένου σημείου του ελαστικού μέσου από την αρχή μέτρησης των αποστά σεων Ο(x=0) στο οποίο έχει φτάσει το κύμα βρίσκεται μηδενίζοντας τη φάση του κύματος για τη χρονική στιγμή t 1. Στα παρακάτω σχήματα φαίνονται τρία στιγμιότυπα ενός κύματος, στο Θετικό ημιάξονα Οx, για κύμα που διαδίδεται προς τη Θετική κατεύθυνση του άξονα. ) Γραφική παράσταση y=f(t) Η συνάρτηση y=f(t) προκύπτει αν θέσουμε στην εξίσωση του αρμονικού κύματος όπου x=x 1 Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση που παίρνουμε δεν είναι τίποτε άλλο παρά η χρονική εξίσωση ταλάντωσης ενός υλικού σημείου που βρίσκεται στη θέση x=x 1.Η χρονική στιγμή t 1 εκκίνησης ταλάντωσης του υλικού σημείου που βρίσκεται στη θέση x=x 1 υπολογίζεται μηδενίζοντας τη φάση του κύματος για x=x 1. Στα επόμενα σχήματα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις y=f(t) για δύο διαφορετικά υλικά σημεία του ελαστικού μέσου τα οποία βρίσκονται στις θέσεις; x 1 = +λ και x = +3λ, για κύμα που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα. παίδων μάθημα 0

Β. Γραφικές παραστάσεις της φάσης του αρμονικού κύματος 1) Γραφική παράσταση φ=f(x) Για κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά,η εξίσωση φάσης του κύματος είναι t T x ( ). Για τις τιμές του x, όπου το κύμα δεν έχει φτάσει ακόμη, δεν ορίζεται η έννοια της φάσης. Στο επόμενο σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις της φάσης σε συνάρτηση με το x (για κύμα που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του θετικού ημιάξονα Οx), για δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές t 1 και t. Οι τιμές των x 1 και x είναι οι θέσεις των πιο μακρινών σημείων από την αρχή Ο του άξονα στα οποία έχει φτάσει το κύμα τις αντίστοιχες χρονικές στιγμές ( t 1 και t. Οι τιμές των x 1 και x βρίσκονται μηδενίζοντας τη φάση για τις χρονικές στιγμές t 1 και t αντίστοιχα. φ ) Γραφική παράσταση φ = f(t) t x Αν στην εξίσωση της φάσης ( ) θέσουμε όπου x=x 1 προκύπτει η T χρονική εξίσωση της φάσης ταλάντωσης του υλικού σημείου του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση x 1. Στο επόμενο σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις φ = f(t) για δύο διαφορετικά υλι κά σημεία του ελαστικού μέσου τα οποία βρίσκονται στις θέσεις x 1 και x (με x > x 1 ) του θετικού ημιάξονα, για κύμα που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα. παίδων μάθημα 1

Γ. Γραφική παράσταση του στιγμιότυπου του στάσιμου κύματος x t Γράφοντας την εξίσωση του στάσιμου κύματος y A έχουμε θεωρήσει ότι τη χρονική στιγμή t=0 έχει συμβεί η συμβολή των δύο κυμάτων σε όλο το ελαστικό μέσο το οποίο εξετάζουμε. Θέτοντας x=0 στην παραπάνω εξίσωση, προκύπτει y t A Αυτό σημαίνει ότι το υλικό σημείο που βρίσκεται στη θέση Ο(x= 0) εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση, δηλαδή τη χρονική στιγμή t=0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. Όταν φτιάχνουμε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος πρέπει να έχουμε υπόψιν μας τα ακόλουθα: i) Όλα τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου που ταλαντώνονται περνούν ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους και φτάνουν ταυτόχρονα στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης τους. ii) Όλα τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου που βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, δηλαδή βρίσκονται στην ίδια άτρακτο, κινούνται με την ίδια φορά, ενώ τα υλικά σημεία που βρίσκονται σε διαδοχικές ατράκτους κινούνται με αντίθετη φορά. Στο επόμενο σχήμα φαίνονται τρία στιγμιότυπα ενός στάσιμου κύματος. Στο στιγμιό τυπο (Ι) όλα τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου που ταλαντώνονται διέρχονται τη στιγμή εκείνη από τη θέση ισορροπίας τους, με το σημείο Ο(x = 0) να έχει θετική ταχύ τητα. Στο στιγμιότυπο (II) όλα τα υλικά σημεία βρίσκονται στις ακραίες θέσεις τους, ενώ στο στιγμιότυπο (III) όλα τα υλικά σημεία που ταλαντώνονται βρίσκονται σε κάποια ενδιάμεση θέση της ταλάντωσης τους. παίδων μάθημα

Δ. Γραφική παράσταση του στιγμιότυπου του ηλεκτρομαγνητικού κύματος Το ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι εγκάρσιο κύμα και όπως είναι γνωστό αποτελείται από δύο πεδία, το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο, που είναι κάθετα μεταξύ τους και τα οποία διαδίδονται με την ίδια ταχύτητα.: Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο του ηλεκτρομαγνητικού κύματος τη χρονική στιγμή t 1 =T. παίδων μάθημα 3

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΚΥΜΑΤΑ-ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ-ΚΡΟΥΣΕΙΣ παίδων μάθημα 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Α. ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων Σχέση γραμμικής ταχύτητας και γωνιακής ταχύτητας Γωνιακή ταχύτητα Γωνιακή επιτάχυνση R d dt d dt Σχέση τόξου με επίκεντρη γωνία ds Rd Εξισώσεις κίνησης στην περιστροφική κίνηση στερεού (α γων =σταθ.) Εξίσωση ταχύτητας Εξίσωση θέσης (γωνίας) t 1 t N t Σχέση γωνίας με αριθμό περιστροφών Εξισώσεις κίνησης στην μεταφορική κίνηση του Κ.Μ.(CM) στερεού Εξίσωση ταχύτητας cm cmt Εξίσωση μετατόπισης 1 x t t Κύλιση τροχού ακτίνας R (Συνθήκες Κύλισης) Σχέση μετατόπισης, τόξου με επίκεντρη γωνία Ταχύτητα κέντρου μάζας cm R Επιτάχυνση κέντρου μάζας cm a R cm ds Rd 1 η Συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση η Συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση 3 η Συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση Β.ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ Ροπή δύναμης Ροπή δύναμης ως προς τον άξονα Fl Ροπή δύναμης ως προς σημείο Fl Fd Ροπή ζεύγους δυνάμεων όπου d η απόσταση των φορέων των δύο δυνάμεων. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Η ροπή δύναμης είναι μηδέν όταν: i) η δύναμη διέρχεται από τον άξονα περιστροφής ιι) ο φορέας της δυναμης διέρχεται από τον άξονα περιστροφής ιιι)η δύναμη είναι παράλληλη στον άξονα περιστροφής παίδων μάθημα 5

Ισορροπία στερεού σώματος Συνθήκες ισορροπίας 1. F 0. 0 F x ή ( 0 και 0 ) Γ.ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ- ος ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ Ροπή Αδράνειας F y Ροπή αδράνειας ως προς κάποιο άξονα Θεώρημα Παράλληλων Αξόνων (Steiner) mr p m r 1 1... cm I I Md ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Η ροπή αδράνειας εξαρτάται από : i) από τη μάζα του σώματος ii)από τον άξονα περιστροφής iii)από την κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής Θεμελιώδης Νόμος της Στροφικής Κίνησης Θεμελιώδης Νόμος της Στροφικής Κίνησης a Γενικότερη Διατύπωση του Θεμελιώδους Νόμου της Στροφικής Κίνησης dl dt Δ.ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ-ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ Στροφορμή Στροφορμή υλικού σημείου L pr ή L m r Στροφορμή στερεού σώματος ως προς άξονα L I Στροφορμή συστήματος σωμάτων ως προς τον ίδιο άξονα L L L 1... Διατήρηση της Στροφορμής Σε ένα σώμα Αν Στ=0,τότε έχουμε L=σταθ. δηλαδή I1 1 I Σε σύστημα σωμάτων Αν Στ εξ =0,τότε έχουμε L ολ =σταθ. δηλαδή ( ) ( ) L L παίδων μάθημα 6

Ε. ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗΝ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Κινητική Ενέργεια Στροφική κίνηση Μεταφορική κίνηση Σύνθετη Εργο κατά την στροφική κίνηση Εργο δύναμης με σταθερή ροπή Στιγμιαία Ισχύς ροπής Θεώρημα Εργου Ενέργειας 1 1 cm 1 1 cm I W F P Μέση Ισχύς F W 1 I 1 I 1 W P t (Θ.Μ.Κ.Ε.) Ρυθμός Μεταβολής Κινητ ενέργειας (περιστροφική) dk dt Ρυθμός Μεταβολής Κινητ ενέργειας (μεταφορική) dk dt Αρχή Διατήρησης Μηχανικής Ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.) F Εάν σε στερεό ασκούνται μόνο συντηρητικές δυνάμεις ή W μη συντ δυν =0 Ε μηχ =σταθερή ή Κ Α +U A = Κ B +U B τότε παίδων μάθημα 7

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΤIΣΤΟIΧΙΣΗ ΜΕΓΕΘΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΩΝ ΜΕΤΑΞΥ ΤΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΤΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ παίδων μάθημα 8

Μεταφορική Κίνηση Περιστροφική κίνηση Θέση x Ταχύτητα Eπιτάχυνση Δύναμη F x t t Γωνία θ Γωνιακή ταχύτητα Γωνιακή επιτάχυνση t Ροπή δύναμης τ t Μάζα ηι Ροπή αδράνειας Ι=m 1 r 1 + m r + Ορμή p=m υ Θεμελιώδης νόμος της Μηχανικής ΣF=mα Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα p F t Αρχή διατήρησης της ορμής Αν ΣF εξ =0 τότε p ολ (αρχ) = p ολ (τελ) Κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής κίνησης 1 K m cm Έργο σταθερής δύναμης W=F x Ισχύς δύναμης P = Fυ Στροφορμή L=Ιω Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης Στ=Ια γων Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για τη στροφική κίνηση L t Αρχή διατήρησης της στροφορμής Αν Στ εξ =0 τότε L ολ (αρχ) = L ολ (τελ) Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφικής κίνησης 1 K Έργο δύναμης που προκαλεί σταθερή ροπή W=τθ Ισχύς δύναμης που δημιουργεί ροπή Ρ=τω (στιγμιαία ισχύς) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΚΥΜΑΤΑ-ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ-ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER A. ΚΡΟΥΣΕΙΣ παίδων μάθημα 9

Διατήρηση της ορμής συστήματος σωμάτων(α.δ.ο.) p ( ) p ( ) Κεντρική (ή μετωπική) ελαστική κρούση δύο σφαιρών Ισχύει η Α.Δ.Ο. και η Α.Δ.Κ.Ε. Κ ολ(αρχ) = Κ ολ(τελ) Ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση m1 m m Γενική μορφή m m m m m m m 1 1 1 1 1 1 1 m1 m m1 m Ειδικές μορφές 1. Αν m 1 =m τότε 1 και 1(Ανταλλάσσουν ταχύτητες). Αν υ =0 τότε m m 1 1 1 m1 m και 3. Αν υ =0 και m >> m 1 τότε 1 1 και 0 m 1 1 m1 m Ανελαστική κρούση δύο σωμάτων Ισχύει η Α.Δ.Ο. p ( ) p ( ) Απώλεια Ενέργειας κατά την κρούση (θερμότητα) Q ( ) ( ) Ποσοστό Απώλειας Ενέργειας κατά την κρούση: % 100% Β.Φαινόμενο DOPPLER f A : συχνότητα ηχητικών κυμάτων που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής, f S : συχνότητα ηχητικών κυμάτων πηγής, υ S : ταχύτητα πηγής (ως προς τον αέρα), υ Α : ταχύτητα παρατηρητή (ως προς τον αέρα), υ : ταχύτητα ηχητικού κύματος (ως προς τον αέρα), υ : ταχύτητα ηχητικού κύματος ως προς τον παρατηρητή, λ A : μήκος κύματος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής, παίδων μάθημα 30

λ : μήκος κύματος πηγής, Τ : περίοδος ηχητικών κυμάτων πηγής. 1. Ακίνητη Πηγή-Ακίνητος Παρατηρητής f A = f S, λ A =λ, υ =υ,.ακίνητη Πηγή-Κινούμενος Παρατηρητής f A ( ) fs, λ A = λ, υ =υ υ Α Το (+),όταν ο παρατηρητής πλησιάζει προς την πηγή και το (-),όταν ο παρατηρητής απομακρύνεται από την πηγή. 3. Κινούμενη Πηγή-Ακίνητος Παρατηρητή f A ( ) f S S, λ A =λ υ S Τ, υ =υ Το (-),όταν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή και το (+), όταν απομακρύνεται από αυτόν. 4. Κινούμενη Πηγή-Κινούμενος Παρατηρητής f A ( ) f S S, λ A =λ υ S Τ, Το (+),όταν ο παρατηρητής πλησιάζει προς την πηγή και το (-),όταν ο παρατηρητής απομακρύνεται από την πηγή. (αριθμητής) Το (-),όταν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή και το (+), όταν απομακρύνεται από αυτόν.(παρονομαστής) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ παίδων μάθημα 31