Θεµέλια των Μαθηµατικών Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό Επιµέλεια: Νίκος Σκούταρης, nskoutaris@gmail.com Φεβρουάριος 2014
ii
Θεµέλια των Μαθηµατικών Το κείµενο αυτό περιέχει συνοπτικά µία σειρά εννοιών που χρησιµοποιούνται στον Απειροστικό Λογισµό και αφορούν έννοιες από τη Θεωρία Συνόλων και τη Λογική, όπως τρόποι απόδειξης, ποσοδείκτες και αρνήσεις, σύνολα κ.α. Προτάσεις και Ποσοδείκτες Σε πλήθος Μαθηµατικών Προτάσεων χρησιµοποιούµε τον καθολικό ποσοδείκτη για κάθε, συµβ., και τον υπαρξιακό ποσοδείκτη υπάρχει, συµβ.. Αν P, Q είναι προτάσεις που περιέχουν τη µεταβλητή x, τότε αρνούµαστε σύµφωνα µε τους πίνακες (µε P ϑα συµβολίζουµε την άρνηση της πρότασης P): Πρόταση Άρνηση xp x P xp x P Πρόταση Άρνηση P ή Q P και Q P και Q P ή Q αν P τότε Q P και Q P ανν Q (P και Q) ή (Q και P) Παράδειγµα 1. (i) (άρνηση της σύγκλισης ακολουθίας στο R) Θα λέµε ότι η ακολουθία πραγµατικών αριθµών (x n ) συγκλίνει στο x 0 αν για κάθε ε > 0 υπάρχει ϕυσικός n 0 ώστε για κάθε n > n 0 να είναι x n x 0 < ε. Ωστε η ακολουθία (x n ) δεν συγκλίνει στο x 0 αν υπάρχει ε > 0 ώστε για κάθε iii
iv ϕυσικό n να υπάρχει ϕυσικός m > n µε x m x 0 ε. Αυτό σηµαίνει ότι άπειροι όροι της ακολουθίας ϐρίσκονται εκτός κάποιας περιοχής του x 0. (ii) (άρνηση της σύγκλισης ακολουθίας στο + ) Θα λέµε ότι η ακολουθία πραγ- µατικών αριθµών (x n ) τείνει στο + αν για κάθε M > 0 υπάρχει ϕυσικός n 0 ώστε για κάθε n > n 0 να είναι x n > M. Ωστε η ακολουθία (x n ) δεν τείνει στο + ανν υπάρχει M > 0 ώστε για κάθε ϕυσικόnνα υπάρχει ϕυσικός m > n µε x m M. Αυτό σηµαίνει ότι άπειροι όροι της ακολουθίας ϐρίσκονται σε κάποιο διάστηµα (,M). (iii) (άρνηση της συνέχειας συνάρτησης στο x 0 ) Θα λέµε ότι η συνάρτηση f : A R R είναι συνεχής στο x 0 αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε για κάθε x A µε x x 0 < δ να είναι f(x) f(x 0 ) < ε. Ωστε η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο x 0 αν υπάρχει ε > 0 ώστε για κάθε δ > 0 υπάρχει x δ A µε x δ x 0 < δ και f(x δ ) f(x 0 ) ε. Αποδεικτικές µεθόδοι - Αντίστροφη Ροή Οι Μαθηµατικές Προτάσεις που καλούστε να αποδείξουµε είναι της µορφής Υ Σ, όπου µε Υ, Σ συµβολίζουµε τις υποθέσεις και τα συµπεράσµατα, αντίστοιχα. Μέθοδοι απόδειξης είναι η ευθεία απόδειξη, η πλάγια απόδειξη (απόδειξη µε αντιθετοαντιστρο- ϕή) και η απαγωγή σε άτοπο. Αναφορικά µε την ευθεία απόδειξη της Υ Σ, συχνά χρησιµοποιούµε κάποιους κανόνες που µπορούµε να αποκαλέσουµε µέθοδο της Αντιστροφης Ροής: ξεκινούµε από το συµπέρασµα Σ, αναδιατυπώνοντας την προς απόδειξη ιδιότητα, εισάγοντας τους σχετικούς ποσοδείκτες υπάρχει και για κάθε. Στη συνέχεια προχωρούµε σύµφωνα µε τους κανόνες που ορίζει ο πίνακας 1 (η P είναι πρόταση που αφορά τη µεταβλητή x): Θα δείξουµε ότι Γράφουµε οπότε xp(x) Εστω x και ϑ.δ.ο. P(x) ξεδιπλώνουµε την P xp(x) Βρίσκουµε x ώστε P(x) οδηγούµαστε στα δεδοµένα Μόνο κάτω από την πίεση ενός υπαρξιακού ποσοδείκτη αναγόµαστε στις υποθέσεις, προκειµένου να αναζητήσουµε την ποσότητα που χρειαζόµαστε. Συχνά οι έννοιες που
εµφανίζονται στις υποθέσεις εµπλέκουν µε την σειρά τους ποσοδείκτες, που χρησιµοποιούνται σύµφωνα µε τον πίνακα 2: v Γνωρίζουµε ότι xp(x) xp(x) οπότε χρησιµοποιούµε κατάλληλο x, χρήσιµο στην απόδειξη χρησιµοποιούµε αυτό το x Ας υποθέσουµε, για παράδειγµα, ότι ϑέλουµε να αποδείξουµε το ευθύ της γνωστής πρότασης του ιανυσµατικού Απειροστικού Λογισµού, σύµφωνα µε την οποία: η ακολουθία ( (x n,y n ) ) του R 2 συγκλίνει στο (x 0,y 0 ) ανν συγκλίνει κατά συντεταγµένες: οι (x n ) και (y n ) συγκλίνουν στα x 0, y 0, αντίστοιχα, είναι δηλαδή: lim (x n,y n ) = (x 0,y 0 ) lim x n = x 0 και lim y n = y 0. n n n (ϑα χρησιµοποιήσουµε την Ευκλείδεια απόσταση: ρ 2 ((x,y),(x,y )) = (x x ) 2 +(y y ) 2 του R 2 ). Ξεκινούµε κατά κανόνα από αυτό που ϑέλουµε να αποδείξουµε, δηλαδή το lim n x n = x 0 και αναδιατυπώνουµε, ϑέλωντας να δείξουµε ότι για κάθεε > 0 υπάρχει ϕυσικόςn 0 ώστε για κάθε n n 0 να είναι x n x 0 < ε. Χρησιµοποιώντας τον πίνακα 1, ο ποσοδείκτης για κάθε µεταφράζεται ως έστω ε > 0. Πλέον, ϑα δείξουµε ότι (για αυτό το ε > 0) υπάρχει ϕυσικός n 0 ώστε για κάθε n n 0 να είναι x n x 0 < ε. Σύµφωνα πάλι µε τον πίνακα 1, ο ποσοδείκτης υπάρχει µας αναγκάζει να στραφούµε στα δεδοµένα, ώστε να εντοπίσουµε τον ϕυσικό n 0 που αναζητούµε. Τονίζουµε ότι το σηµαντικό πλέον στην απόδειξη είναι η εύρεση του n 0 και κάθε τι άλλο, όπως η απόδειξη της ανισότητας x n x 0 < ε είναι δευτερεύον. Πλέον ϐρισκόµαστε στα δεδοµένα, δηλαδή στην πρόταση lim n (x n,y n ) = (x 0,y 0 ). Σύµφωνα λοιπόν µε τον ορισµό της σύγκλισης, γνωρίζουµε ότι για κάθε ϑετική ποσότητα (ας την ονοµάσουµε ε > 0, µόνο που δεν είναι το ε > 0 παραπάνω!) υπάρχει ϕυσικός n 0 ώστε για κάθε ϕυσικό n n 0 να είναι ρ 2 ( (xn,y n ),(x 0,y 0 ) ) < ε. Σύµφωνα λοιπόν µε τον πίνακα 2, οφείλουµε να χρησιµοποιήσουµε κάποια κατάλληλη ϑετική ποσότητα, χρήσιµη για αυτό που ϑέλουµε να αποδείξουµε. Χρησιµοποιούµε το ε > 0 που καλέσαµε στην αρχή της απόδειξης. Τότε εντοπίζουµε (για αυτό το ε > 0) ϕυσικό n 0 για κάθε ϕυσικό n n 0 να είναι ρ 2 ( (xn,y n ),(x 0,y 0 ) ) < ε. Πλέον χρειάζεται να αναλάβει δράση η Μαθηµατική µας δεινότητα, κάνοντας την εξής κρίσιµη παρατήρηση: ισχυριζόµαστε
vi ότι ο ϕυσικός n 0 που ϐρήκαµε στο σηµείο αυτό είναι εκείνος ο ϕυσικός που αναζητούσαµε. Πράγµατι, για να αποδείξουµε τον ισχυρισµό µας ϑεωρούµε n n 0 τυχόν και παρατηρούµε ότι: x n x 0 ( x n x 0 2 + y n y 0 2 = ρ 2 (xn,y n ),(x 0,y 0 ) ) < ε. Η απόδειξη λοιπόν, η οποία σιωπηλά ακολουθεί τα παραπάνω, είναι η εξής: Απόδειξη. (για το ευθύ) Εστω ε > 0, οπότε αφού lim n (x n,y n ) = (x 0,y 0 ), ϐρίσκουµε ϕυσικό n 0 ώστε για κάθε ϕυσικό n n 0 να είναι ρ 2 ( (xn,y n ),(x 0,y 0 ) ) < ε. Τότε για κάθε ϕυσικό n n 0 είναι x n x 0 ρ 2 ( (xn,y n ),(x 0,y 0 ) ) < ε. Θα προχωρήσουµε και στη γνωστή µας πρόταση από τις ακολουθίες πραγµατικών αριθµών, σύµφωνα µε την οποία: το όριο µιας συγκλίνουσας ακολουθίας πραγµατικών αριθµών είναι µοναδικό. Πρώτα από όλα, καταγράφουµε την πρόταση σε µαθηµατικούς όρους: Εστω (x n ) R και x, y R ώστε x n x και x n y. Τότε x = y. Ο τρόπος που ϑα αποδείξουµε το Ϲητούµενο είναι η απαγωγή σε άτοπο. Υποθέτουµε λοιπόν ότι x y και επειδή η έκφραση αυτή δεν ϕέρει ποσοδείκτες, µπορούµε να οδηγηθούµε στις υποθέσεις µας. Από την υπόθεση γνωρίζουµε ότι x n x, δηλαδή για κάθε ϑετική ποσότητα ε > 0 υπάρχει ϕυσικός n 0 ώστε για κάθε n n 0 να είναι x n x < ε. Εφόσον γνωρίζουµε ότι κάτι συµβαίνει για κάθε ε > 0, οφείλουµε σύµφωνα µε τον δεύτερο πίνακα να χρησιµοποιήσουµε κατάλληλο ε. Εδώ είναι ίσως και το δυσκολότερο κοµµάτι της άσκησης, µιας που ϑα πρέπει να κατασκευάσουµε µια κατάλληλη ϑετική ποσότητα, που ϑα µας οδηγήσει σε άτοπο. Σκόπιµο είναι στο σηµείο αυτό να ϕτιάξουµε ένα σχήµα. Επιλέγοντας για ε την µισή της απόστασης x y του x από το y, τότε υπάρχει κάποιος ϕυσικός n 1 ώστε για κάθε n n 1 οι όροι x n, n n 1 να συγκεντρώνονται στην ε αυτή περιοχη του x, που είναι η (x ε,x + ε). Κατά ανάλογο τρόπο και χρησιµοποιώντας το ίδιο ε > 0 ϐρίσκουµε ένα ϕυσικό n 2 ώστε οι όροι x n, n n 2 να συγκεντρώνονται στην ε αυτή περιοχή του y, που είναι η (y ε,y + ε). Τότε ο όρος x n0 µε n 0 = max{n 1,n 2 } ϐρίσκεται στην περιοχή(x ε,x+ε), αλλά και στην(y ε,y+ε). Επειδή όµως οι περιοχές αυτές δεν τέµνονται, οδηγούµαστε σε άτοπο. Η απόδειξη λοιπόν, η οποία σιωπηλά ακολουθεί τα παραπάνω και ϑα µπορούσαµε να συναντήσουµε σε ενα ϐιβλίο Ανάλυσης, είναι η εξής:
Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι x y. Επειδή x n x, υπάρχει ϕυσικός n 1 ώστε για n n 1 να είναι x n x < x y /2 και επειδή x n y, υπάρχει ϕυσικός n 2 ώστε για n n 2 να είναι x n y < x y /2. Τότε είναι x n0 x < x y /2 και x n0 y < x y /2 και καταλήγουµε σε αντίφαση, διότι: x y x x n0 + x n0 y < x y 2 + x y 2 = x y. vii Σύνολα Ολα τα σύνολα περιέχουν στοιχεία (εκτός του κενού συνόλου, συµβ. ). Για να δηλώσουµε ότι ένα στοιχείο x ανήκει σε ένα σύνολο A ϑα γράφουµε x A. συµβολισµός διαβάζουµε Ορισµός A B A περιέχεται B x : αν x A τότε x B A = B A ίσο µε B A B και B A ισοδ. x : x A x B συµβολισµός διαβάζουµε Ορισµός X \A συµπλήρωµα x : x X \A x / A A B γινόµενο (x,y) : (x,y) A B x A και y B A B ένωση x : x A B x A ή x B i ένωση (στο I) x : x A A i i I : x A i A B τοµή x : x A B x A και x B i τοµή (στο I) x : x A A i i I : x A i Σηµειώνουµε τα παρακάτω υποσύνολα των πραγµατικών, τα οποία χρησιµοποιούµε συχνά στον Απειροστικό Λογισµό:
viii : το κενό σύνολο, δεν έχει κανένα στοιχείο N : οι ϕυσικοί αριθµοί = {1,2,3,...} Z : οι ακέραιοι αριθµοί = {..., 2, 1,0,1,2,...} Q : οι ϱητοί αριθµοί R\Q : οι άρρητοι αριθµοί R : οι πραγµατικοί αριθµοί Πληθικότητα: Θα χρειαστεί συχνά να µετρήσουµε τα στοιχεία ενός συνόλου. Η έννοια του πεπερασµένου συνόλου µας είναι οικεία, όµως από την άλλη υπάρχουν πολλές κλάσεις απειρίας. Ειδικότερα, το σύνολο A ϑα καλείται: απειροσύνολο, ή απλά άπειρο, αν δεν είναι πεπερασµένο, αριθµήσιµο (countable) αν υπάρχει f : N A που είναι 1 1 και επί (δηλαδή µπορούµε να γράψουµε A = {x n : n N} για κάποια στοιχεία x n, n N στο A όπου x n x m για n m), π.χ. Q (ϱητοί), N (ϕυσικοί), Z (ακέραιοι) κ.τ.λ. υπεραριθµήσιµο (uncountable) αν είναι άπειρο και δεν είναι αριθµήσιµο (δηλαδή τα στοιχεία του A δεν µπορούν να ονοµαστούν µέσω του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών), π.χ. R\ Q (άρρητοι), R (πραγµατικοί), το διάστηµα [0, 1] κ.τ.λ. Επίσης, τα σύνολα A, B ϑα καλούνται ισοπληθικά ανν υπάρχει 1 1 και επί απεικόνιση f : A B. Τέλος, χρήσιµα είναι τα παρακάτω: (1) Πεπερασµένη ένωση πεπερασµένων συνόλων είναι πεπερασµένο σύνολο. (2) Πεπερασµένη ένωση αριθµήσιµων συνόλων είναι αριθµήσιµο σύνολο. (3) Αριθµήσιµη ένωση αριθµήσιµων συνόλων είναι αριθµήσιµο σύνολο. [συνολοθεωρητική διαφορά] συµβολίζουµε µε B \ A το σύνολο B (X \ A) και ισχύουν: X \(X \A) = A και A B X \B X \A. ( ) ( [τύποι De Morgan] (X \A i ) = X \ A i και (X \A i ) = X \ A i ). [επιµεριστικές ιδιότητες] A (B C) = (A B) (A B), A (B C) = (A B) (A B),
( ( ) A i ) B i = (A i B i ), ( ( ) A i ) B i = (A i B i ). ix Συναρτήσεις Εστω X, Y µη κενά σύνολα. Ο συµβολισµός f : X Y δηλώνει ότι η απεικόνιση f έχει πεδίο ορισµού το σύνολο X και πεδίο τιµών f(x) που περιέχεται στο Y. Η f : X Y ϑα καλείται 1 1 αν για κάθε x, y X µε x y είναι f(x) f(y), ισοδύναµα για κάθε x, y X αν f(x) = f(y), τότε x = y. Η f ϑα καλείται επί του Y αν είναι f(x) = Y, ισοδύναµα για κάθε y Y υπάρχει x X ώστε f(x) = y. Ισχύουν τα ακόλουθα: f(a B) = f(a) f(b) για κάθε A, B X, ( ) f A i = f(a i ) για κάθε οικογένεια συνόλων A i X, i I, f(a B) f(a) f(b) για κάθε A, B X και ισότητα αν f είναι 1 1, ( ) f A i f(a i ) για κάθε οικογένεια συνόλων A i X, i I µε I, f(a)\f(b) f(a\b) για κάθε A, B X και ισότητα αν f είναι 1 1, Επίσης, ϑα λέµε ότι η f είναι ίση µε τη g, συµβ. f oρσ = g, αν είναι f(x) = g(x) για κάθε x X. Αντίστοιχα ορίζονται τα < και µεταξύ συναρτήσεων µε πραγµατικές τιµές. Αντίστροφη συνάρτηση: Ας ϑεωρήσουµε τα µη κενά σύνολα X, Y και την απεικόνιση f : X Y. Τότε για κάθε y f(x) υπάρχει x X ώστε f(x) = y. Φυσικά αυτό τοxδεν είναι απαραίτητα µοναδικό. Αν όµως υποθέσουµε ότι ηf είναι επιπλέον 1 1, τότε το παραπάνω x είναι µοναδικό. Εχει λοιπόν νόηµα να ορίσουµε τη συνάρτηση g : f(x) X : f(x) x. Την απεικόνιση g ϑα την ονοµάζουµε αντίστροφη συνάρτηση της f και ϑα τη συµβολίζουµε µε f 1, µε κανόνα: f 1 : f(x) X : y = f(x) x. Ειδικά αν η f είναι επί του Y, τότε η f 1 ορίζεται σύµφωνα µε τον κανόνα: f 1 : Y X : f 1 (y) = x oρσ f(x) = y.
x Θα καλούµε την f αντιστρέψιµη αν υπάρχει η αντίστροφή της, ισοδύναµα αν η f είναι 1 1 στο πεδίο ορισµού της. Παρατηρήστε ότι η αντίστροφη συνάρτηση, αν υπάρχει, είναι µοναδική. Αντίστροφη εικόνα: Εστω X, Y σύνολα και f : X Y συνάρτηση. Για A Y ορίζουµε την αντίστροφη εικόνα (inverse image) του συνόλου A µέσω της f, συµβ. f 1 (A), ως το σύνολο των σηµείων του X που απεικονίζονται µέσω της f εντός του A: f 1 (A) oρσ = { x X : f(x) A }. 1 ( ) f 1 A i = f 1 (A i ) για κάθε οικογένεια συνόλων A i Y, i I, ( ) f 1 A i = f 1 (A i ) για κάθε οικογένεια συνόλων A i Y, i I, f 1 (X \A) = Y \f 1 (A) για κάθε A X, f 1 (Y) = X, f 1 ( ) =. f ( f 1 (B) A ) = B f(a) για κάθε A X και B Y. Ειδικότερα είναι f ( f 1 (B) ) = B f(x) B για κάθε B Y [και ισότητα αν f επι ] A f 1( f(a) ) για κάθε A X [και ισότητα αν f 1 1 ] Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών (1) ε - αρχή µηδενισµού: για x 0 ισχύει το ακόλουθο: x = 0 ε > 0 : x < ε ε > 0 : x ε. (2) ε - αρχή ανίσοσης: για x, y R είναι: x y ε > 0 : x < y +ε ε > 0 : x y +ε. (3) Αρχιµήδεια ιδιότητα: για κάθε ε > 0 υπάρχει ϕυσικός n ώστε 1/n < ε (µάλιστα είναι άπεροι αυτοί οι ϕυσικοί). 1 [Προσοχή]: δεν ϑα πρέπει να συγχέει κανείς την παράσταση f 1 (A) µε την εικόνα του A µέσω της αντίστροφης συνάρτησης f 1 {, δηλαδή το σύνολο f 1 (y) : y A }, αφού δεν γνωρίζουµε καν αν η συνάρτηση f είναι 1 1, ώστε να πούµε ότι αντιστρέφεται (αν όµως η f αντιστρέφεται, τότε τα παραπάνω σύνολα ταυτίζονται, γιατί;).
xi (4) Πυκνότητα των ϱητών στο R: για κάθε α, β R µε α < β υπάρχει ϱητός q Q ώστε α < q < β (µάλιστα υπάρχουν άπειροι τέτοιοι ϱητοί). Ισοδύναµα, για κάθε πραγµατικό αριθµό α υπάρχει ακολουθία ϱητών (q n ) που συγκλίνει στο α. (5) Πυκνότητα των αρρήτων στο R: για κάθε α, β R µε α < β υπάρχει άρρητος r R\Q ώστε α < r < β (µάλιστα υπάρχουν άπειροι τέτοιοι άρρητοι). Ισοδύναµα, για κάθε πραγµατικό αριθµό α υπάρχει ακολουθία αρρήτων (r n ) που συγκλίνει στο α. (6) Supremum και Infimum ϕραγµένου υποσυνόλου του R: έστω µη κενό υποσύνολο A του R. Ενα α R ϑα καλείται άνω ϕράγµα του A αν για κάθε x A είναι x α. Το A ϑα καλείται άνω ϕραγµένο αν έχει άνω ϕράγµα. Για A µη κενό, ένα α R ϑα καλείται ελάχιστο άνω ϕράγµα ή supremum του A αν α είναι άνω ϕράγµα του A και επιπλέον µία τουλάχιστον από τις παρακάτω (ισοδύναµες µεταξύ τους) προτάσεις ισχύει: (i) για κάθε α 1 άνω ϕράγµα του A είναι α α 1, (ii) για κάθε ε > 0 υπάρχει α A ώστε α ε < α, (iii) υπάρχει ακολουθία (α n ) του A που συγκλίνει στο α. Αν το A είναι άνω ϕραγµένο, τότε έχει supremum, αποδεικνύεται ότι είναι µοναδικό και συµβολίζεται supa. Εστω µη κενό υποσύνολο A του R. Ενα α R ϑα καλείται κάτω ϕράγµα του A αν για κάθε x A είναι x α. Το A ϑα καλείται κάτω ϕραγµένο αν έχει κάτω ϕράγµα. Για A µη κενό, ένα α R ϑα καλείται µέγιστο κάτω ϕράγµα ή infimum του A αν α είναι κάτω ϕράγµα του A και επιπλέον µία τουλάχιστον από τις παρακάτω (ισοδύναµες µεταξύ τους) προτάσεις ισχύει: (i) για κάθε α 1 κάτω ϕράγµα του A είναι α 1 α, (ii) για κάθε ε > 0 υπάρχει α A ώστε α < α+ε, (iii) υπάρχει ακολουθία (α n ) του A που συγκλίνει στο α. Αν το A είναι κάτω ϕραγµένο, τότε έχει infimum, αποδεικνύεται ότι είναι µοναδικό και συµβολίζεται infa. Το το supremum και το infimum ενός µη κενού και ϕραγµένου συνόλου A δεν είναι υποχρεωτικά στοιχεία του A. (7) Ανισότητες και όρια: Εστω οι ακολουθίες (α n ), (β n ) του R που συγκλίνουν
xii στα α και β αντίστοιχα. Υποθέτουµε ακόµη ότι α n β n για κάθε n N. Τότε είναι α β. Προσοχή: αν υποθέσουµε ότια n < β n για κάθεn N, τότεα β και δεν διατηρείται αναγκαστικά η γνήσια ανισότητα σε οριακές διαδικασίες (γιατί;). (8) Κριτήριο παρεµβολής για ακολουθίες: Εστω οι ακολουθίες (x n ), (α n ) και (β n ). Υποθέτουµε ότι οι ακολουθίες (α n ) και (β n ) συγκλίνουν στο x 0 και ότι α n x n β n για κάθε ϕυσικό n. Τότε η ακολουθία (x n ) συγκλίνει και επιπλέον, το όριό της είναι το x 0. (9) Θεώρηµα Σύγκλισης Μονότονων Ακολουθιών: Εστω (x n ) αύξουσα και άνω ϕραγµένη (αντ. ϕθίνουσα και κάτω ϕραγµένη) ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Τότε η (x n ) συγκλίνει στο sup { x n : n N } (αντ. στο inf { x n : n N } ). (10) Θεώρηµα Bolzano Weierstrass: Κάθε ϕραγµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών (αντ. διανυσµάτων) έχει συγκλίνουσα υπακολουθία στο R (αντ. στο R n ). (11) Πληρότητα του R: µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών καλείται ϐασική ή Cauchy αν για κάθε ε > 0 υπάρχει ϕυσικός n 0 ώστε για κάθε m > n > n 0 να είναι x m x n < ε. Ισχύει: µία ακολουθία πραγµατικών αριθµών είναι συγκλίνουσα αν και µόνο αν είναι Cauchy. (12) Σειρές πραγµατικών αριθµών: Εστω (α n ) ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Η ακολουθία πραγµατικών αριθµών (s n ) µε s n = α 1 +... + α n, n N καλείται ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της σειράς α n. Θα λέµε ότι η σειρά της (α n ) συγκλίνει στοα, γράφουµε n=1 α n = α <, αν η ακολουθία(s n ) των µερικών n=1 αθροισµάτων συγκλίνει στο α. Ισχύει: αν η σειρά α κ συγκλίνει (στο α), τότε η ακολουθία (α n ) συγκλίνει στο 0. κ=1 Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών και η επαγωγή (1) Αρχή της καλής διάταξης: Κάθε µη κενό υποσύνολο του N έχει ελάχιστο στοιχείο (minimum), ισοδύναµα δεν υπάρχει γνησίως ϕθίνουσα ακολουθία ϕυσικών αριθµών. (2) Αρχή της Επαγωγής: Τα επόµενα είναι ισοδύναµα: (i) η πρόταση Π(n) ισχύει για κάθε n N, (ii) η πρόταση Π(1) ισχύει και υποθέτοντας ότι ισχύει η Π(n), τότε αποδεικνύεται
xiii ότι ισχύει η Π(n+1), (iii) η πρόταση Π(1) ισχύει και υποθέτοντας ότι ισχύουν οι Π(1),... Π(n), τότε αποδεικνύεται ότι ισχύει η Π(n+1). Κατασκευή ακολουθιών µε χρήση της Αρχής της Επαγωγής: µία διαδικασία που συναντούµε συχνά είναι η κατασκευή (υπ)ακολουθιών που ϕέρουν επιθυµητές ιδιότητες. Στην περίπτωση αυτή καταφεύγουµε στην Αρχή της Επαγωγής: επιλέγουµε τον πρώτο όρο κατάλληλα, και υποθέτωντας ότι έχουµε κατασκευάσει κατάλληλα n το πλήθος όρους, κατασκευάζουµε τον επόµενο όρο της ακολουθίας. ίνουµε δύο σχετικά παραδείγµατα από τον Απειροστικό Λογισµό. Ορισµός 2. Η (x n ) ϑα καλείται: άνω ϕραγµένη αν υπάρχει M R ώστε x n < M για κάθε n N, γνησίως αύξουσα αν για κάθε n, m µε n < m είναι x n < x m, ισοδύναµα για κάθε n N είναι x n < x n+1. Παράδειγµα 3. Εστωα R και(x n ) ακολουθία τουr\{α}. Ανα = inf{x n : n N}, τότε υπάρχει γνησίως ϕθίνουσα υπακολουθία (x κn ) της (x n ) που συγκλίνει στο α. Κάνοντας χρήση της Αρχής της Επαγωγής, ϑα κατασκευάσουµε ϕθίνουσα υπακολου- ϑία (x κn ) της (x n ) ώστε για κάθε n N να είναι: α < x κn < α+ 1 n. Υπάρχει ϕυσικός κ 1 ώστε α < x κ1 < α + 1 (γιατί;). Εστω ότι έχουµε ϐρει ϕυσικούς κ 1 <... < κ n ώστε α < x κi < α + 1 i για κάθε i = 1,...,n. Θέτουµε s = min{x 1,...,x κn,α+ 1 1 n+1 } οπότε s α+ n+1 > α και άρα υπάρχει x κ n+1 ώστε α < x κn+1 < s (γιατί;). ιαπιστώνουµε λοιπόν ότι α < x κn+1 < α+ 1 n+1 και επιπλέον ότι κ n+1 > κ n : διαφορετικά x κn+1 {x 1,...,x κn } και άρα x κn+1 < s x κn+1, αντίφαση. Επιπλέον είναι x κn+1 < s x κn και άρα η (x κn ) είναι γνησίως ϕθίνουσα. Παράδειγµα 4. Εστω(x n ) ακολουθία πραγµατικών αριθµών που δεν είναι άνω ϕραγ- µένη. Τότε υπάρχει υπακολουθία (x κn ) της (x n ) που τείνει στο +. Κάνοντας χρήση της Αρχής της Επαγωγής ϑα κατασκευάσουµε υπακολουθία (x κn ) της (x n ) ώστε για κάθε n N να είναι x κn > n. Αφού η (x n ) δεν είναι άνω ϕραγµένη, υπάρχει ϕυσικός κ 1 ώστε x κ1 > 1. Εστω ότι έχουµε ϐρεί ϕυσικούς κ 1 <... < κ n ώστε x κi > i για κάθε i = 1,...,n. Θέτουµε s = max{x 1,...,x κn,n+1}, που δεν
xiv είναι άνω ϕράγµα της (x n ), άρα υπάρχει ϕυσικόςκ n+1 ώστεx κn+1 > s. ιαπιστώνου- µε λοιπόν ότι x κn+1 > n+1 και ότι x κn+1 > x i για κάθε i = 1,...,κ n, που σηµαίνει ότι κ n+1 > κ n.