Κεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης"

Transcript

1 Κεφάλαιο 1 Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις του. Οι προτιµήσεις του καταναλωτή εκφράζονται από τη σχέση προτίµησης που τον χαρακτηρίζει. Βέβαια οι τιµές στο κεφάλαιο αυτό παίζουν πολύ σηµαντικό ϱόλο γιατί η αξία του αγαθού που ϑα επιλέξει δεν πρέπει να υπερβαίνει το πλούτο του καταναλωτή. Συχνά στην οικονοµία υποθέτουµε ότι ο καταναλωτής δια- ϑέτει αρχικό αγαθό ω το οποίο ϑέλει να ανταλλάξει µε κάποιο άλλο αγαθό σύµφωνα µε τις προτιµήσεις του, οπότε η αξία αυτού του αγαθού σε τρέχουσες τιµές είναι ο πλούτος w του καταναλωτή. Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι ο χώρος αγαθών είναι µερικά διατεταγµένος χώρος µε norm E, και X = E + είναι το σύνολο κατανάλωσης. Επίσης υποθέτουµε ότι ο E + είναι κλειστός και διάφορος του {0}. Ως χώρος τιµών ϑεωρείται ο τοπολογικός δυϊκός E του E και τα διανύσµατα τιµών είναι µη µηδενικά στοιχεία του E+. Το δυϊκό εύγος E, E, εκφράζει τη δυϊκότητα αγαθών-τιµών. Η υπόθεση ότι τα διανύσµατα τιµών είναι µη µηδενικά στοιχεία του E+ σηµαίνει ότι δεν έχουµε αγαθά µε αρνητικές τιµές. Επίσης υποθέτουµε συνήθως ότι οι τιµές είναι αυστηρά ϑετικά και συνεχή γραµµικά συναρτησιακά του E, δηλαδή ότι p(x) > 0 1

2 2 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης για κάθε x E + µε x 0. Η υπόθεση αυτή σηµαίνει ότι στην οικονοµία δεν έχουµε ελεύθερα αγαθά. Τέλος τονίζουµε ότι τα σύνολα προϋπολογισµού που ορίζουµε αµέσως µετά είναι ϐάσεις κώνων. Ειδικότερα υπάρχει αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία µεταξύ των συνόλων προϋπολογισµού και των ϐάσεων του συνόλου κατανάλωσης E Σύνολο Προϋπολογισµού Στη παράγραφο αυτή υποθέτουµε ότι αρχικός πλούτος του καταναλωτή είναι ο πραγµατικός αριθµός w > 0. Αν υποθέσουµε ότι p E +, είναι το διάνυσµα τιµών, ο καταναλωτής µπορεί να επιλέξει ένα οποιοδήποτε διάνυσµα αγαθών x E + που η αξία του δεν υπερβαίνει τον αρχικό πλούτο, δηλαδή να ισχύει p(x) w. Συχνά υποθέτουµε ότι ο καταναλωτής διαθέτει αρχικό αγαθό ω E +. Τότε η αξία του αρχικού αγαθού w = p(ω) υπό την τιµή p είναι ο αρχικός πλούτος του καταναλωτή. Το σύνολο B p,w = {x E + p(x) w}, ονοµάζεται σύνολο προϋπολογισµού του καταναλωτή υπό την τιµή p και πλούτο w και το σύνολο {x E + p(x) = w}, εισοδηµατικός περιορισµός του καταναλωτή υπό τη τιµή p και πλούτο w. Το σύνολο προϋπολογισµού είναι κλειστό και κυρτό ως τοµή των κλειστών και κυρτών σύνολων, του ηµιχώρου {x E p(x) w},

3 1.1. Σύνολο Προϋπολογισµού 3 και του ϑετικού κώνου E + του E. Επίσης εύκολα αποδεικνύεται ότι για κάθε πραγµατικό αριθµό α έχουµε B p,w = αb αp,w, B p,w = B αp,αw και αb p,w = B p,αw. Από τις σχέσεις αυτές έπεται ότι αν το διάνυσµα τιµών πολλαπλασιαστεί µε τον αριθµό α και ο αρχικός πλούτος παραµένει σταθερός το σύνολο προϋπολογισµού πολλαπλασιάζεται µε 1, δηλαδή συρρικνώνεται κατά α α, ενώ όταν ο αρχικός πλούτος πολλαπλασιαστεί µε τον αριθµό α και το διάνυσµα τιµών παραµαίνει σταθερό το σύνολο προϋπολογισµού πολλαπλασιάζεται µε τον αριθµό α. Αντίθετα αν ο αρχικός πλούτος προέρχεται από αρχικό αγαθό η µεταβολή του διανύσµατος τιµών δεν επηρεάζει το σύνολο προϋπολογισµού. Οπως αναφέραµε στην εισαγωγή του κεφαλαίου, υπάρχει αµφιµονοσή- µαντη αντιστοιχία µεταξύ των συνόλων προϋπολογισµού και των ϐάσεων του συνόλου κατανάλωσης E +. Ειδικότερα στην περίπτωση όπου δεν έχουµε ελεύθερα αγαθά, κάθε διάνυσµα τιµών p είναι συνεχές γραµµικό συναρτησιακό του E, αυστηρά ϑετικό στο κώνο E +, οπότε ο εισοδηµατικός περιορισµός {x E + p(x) = w} είναι η ϐάση του E + που ορίζεται από το γραµµικό συναρτησιακό p. w Παράδειγµα 1.1. Υποθέτουµε ότι E = R m είναι ο χώρος αγαθών, w ο αρχικός πλούτος και p το διάνυσµα τιµών. Το σύνολο προϋπολογισµού είναι B p,w = {x R m + p x w}, και το σύνολο {x R m + p x = w}, είναι ο εισοδηµατικός περιορισµός. Στην οικονοµία υποθέτουµε συνήθως ότι οι τιµές είναι αυστηρά ϑετικά διανύσµατα. Στην περίπτωση όπου το p είναι ένα απλά ϑετικό διάνυσµα του R m και w αυστηρά ϑετικός πραγµατικός αριθµός ορίζουµε επίσης το σύνολο B p,w µε τον ίδιο τρόπο και χρησιµοποιούµε την ίδια ορολογία. ηλαδή το σύνολο B p,w = {x R m + p x w}, ϑα αναφέρεται ως σύνολο προϋπολογισµού και το σύνολο {x R m + p x = w},

4 4 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης y y B p,w B p,w (α ) p 0 x (ϐ ) p > 0, p 2 = 0 x ως εισοδηµατικός περιορισµός. Πρόταση 1.2. Αν E = R m, και το διάνυσµα τιµών p είναι αυστηρά ϑετικό, το σύνολο προϋπολογισµού είναι κυρτό και συµπαγές. Το διάνυσµα τιµών είναι κάθετο στον εισοδηµατικό περιορισµό, υπό την έννοια ότι p (x 1 x 2 ) = 0, για κάθε ευγάρι σηµείων x 1, x 2 του εισοδηµατικού περιορισµού. Απόδειξη. Αποδείξαµε παραπάνω ότι το σύνολο προϋπολογισµού είναι κλειστό και κυρτό. Αν το διάνυσµα τιµών p είναι αυστηρά ϑετικό τότε µ = min{p i } > 0, εποµένως για κάθε x B p,w έχουµε w p x µ x 1, άρα x 1 w µ. Εποµένως το σύνολο B p,w είναι ϕραγµένο και επειδή είναι και κλειστό είναι συµπαγές. Εστω x 1, x 2 σηµεία του εισοδηµατικού περιορισµού. Τότε p x 1 = p x 2 = w, άρα p (x 1 x 2 ) = 0, εποµένως το διάνυσµα p είναι κάθετο στον εισοδηµατικό περιορισµό. Άρα ισχύει η πρόταση.

5 1.2. Μεγιστοποίηση της χρησιµότητας Μεγιστοποίηση της χρησιµότητας Στην οικονοµική ϑεωρία ο καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε αρχικό πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί (εξυπηρετεί) µε τον καλύτερο τρόπο τις προτιµήσεις του. Ετσι καλείται να µεγιστοποιήσει τη σχέση προτίµησης στο σύνολο προϋπολογισµού B p,w, δηλαδή έχει να επιλύσει το πρόβληµα : Μεγιστοποίησε την σχέση προτίµησης στο σύνολο B p,w. Υπενθυµίζουµε ότι η παίρνει µέγιστη τιµή (µεγιστοποιείται) στο B p,w στο σηµείο x 0 αν x 0 B p,w και x 0 x, για κάθε x B p,w. Από το Θεώρηµα ;;, έχουµε το παρακάτω αποτέλεσµα : Θεώρηµα 1.3. Αν το σύνολο προϋπολογισµού B p,w είναι συµπαγές και η σχέση προτίµησης είναι λογική και άνω ηµισυνεχής, η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w, σε ένα τουλάχιστον σηµείο του B p,w. Τα στοιχεία στα οποία µεγιστοποιείται η ανήκουν στο ίδιο σύνολο αδιαφορίας της. Αν επιπλέον η είναι αυστηρά κυρτή, το µέγιστο λαµβάνεται ακριβώς σ ένα σηµείο του B p,w. Οπως έχουµε αποδείξει, σε πεπερασµένες οικονοµίες αν το διάνυσµα τιµών είναι αυστηρά ϑετικό, το σύνολο προϋπολογισµού είναι συµπαγές, εποµένως το παρακάτω πόρισµα είναι αληθές. Πόρισµα 1.4. Εστω E = R m, και το διάνυσµα τιµών p είναι αυστηρά ϑετικό. Αν η σχέση προτίµησης είναι λογική και άνω ηµισυνεχής, η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w, σε ένα τουλάχιστον σηµείο του B p,w. Τα στοιχεία στα οποία µεγιστοποιείται η ανήκουν στο ίδιο σύνολο αδιαφορίας της. Αν επιπλέον η είναι αυστηρά κυρτή, το µέγιστο είναι µοναδικό. Πρόταση 1.5. Εστω x 0 B p,w και η σχέση προτίµησης είναι πλήρης. Η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x 0 αν και µόνο αν ισχύει η συνεπαγωγή. x E +, x x 0 p(x) > w. Απόδειξη. Εστω ότι η παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο x 0. Τότε για κάθε x x 0 έχουµε ότι p(x) > w γιατί διαφορετικά ϑα είχαµε p(x) w,

6 6 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης άρα x B p,w, άτοπο. Εποµένως x x 0 p(x) > w. Για το αντίστροφο υποθέτουµε ότι x x 0 p(x) > w και ότι η δεν παίρνει µέγιστη τιµή στο x 0. Τότε υπάρχει x B p,w ώστε x x 0, εποµένως p(x) > w, άτοπο γιατί x B p,w. Άρα η παίρνει µέγιστη τιµή στο x 0. Πρόταση 1.6. Εστω ότι η σχέση προτίµησης παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x 0. Αν η σχέση είναι τοπικά µη κορεσµένη, τότε p(x 0 ) = w, δηλαδή το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού. y L y x 0 B p,w x Σχήµα 1.1: Πρόταση 1.6 Απόδειξη. Εστω ότι το x 0 δεν ανήκει στον εισοδηµατικό περιορισµό. Τότε p(x 0 ) < w. Αν L = {x E p(x) < w} είναι ο αρνητικός ανοικτός ηµίχωρος που ορίζει το υπερεπίπεδο p(x) = w έχουµε ότι x 0 L, εποµένως υπάρχει σφαίρα B(x 0, r) µε κέντρο x 0 και ακτίνα r που περιέχεται στον L. Επειδή η σχέση είναι τοπικά µη κορεσµένη, υπάρχει y B(x 0, r) E + ώστε y x 0. Εποµένως y B p,w γιατί y L E +, άτοπο γιατί η παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο x 0. Άρα το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού.

7 1.2. Μεγιστοποίηση της χρησιµότητας 7 Πόρισµα 1.7. Αν ισχύει τουλάχιστον µια από τις παρακάτω προτάσεις (i) η σχέση είναι γνησίως µονότονη, (ii) η σχέση έχει άκρως επιθυµητό στοιχείο, (iii) η σχέση είναι αυστηρά κυρτή και για κάθε x E +, υπάρχει y E + ώστε y x και y x, τότε σχέση είναι τοπικά µη κορεσµένη, εποµένως αν η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x 0, το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισ- µού. Από την Πρόταση 1.3, 1.6 και το Πόρισµα 1.7 έχουµε Πόρισµα 1.8. Αν το σύνολο προϋπολογισµού B p,w είναι συµπαγές, η σχέση προτίµησης είναι λογική, άνω ηµισυνεχής και τοπικά µη κορεσµένη, η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w σε ένα τουλάχιστον σηµείο του B p,w. Τα σηµεία του B p,w στα οποία η παίρνει µέγιστη τιµή ανήκουν στον εισοδηµατικό περιορισµό και στο ίδιο σύνολο αδιαφορίας της. Αν επιπλέον η είναι αυστηρά κυρτή, η παίρνει µέγιστη τιµή ακριβώς σε ένα σηµείο του B p,w. Εστω η σχέση προτίµησης, x 0 E + και διάνυσµα p E, p 0. Αν για κάθε x E + ισχύει η συνεπαγωγή x x 0 p(x) p(x 0 ), λέµε ότι το διάνυσµα (τιµή) p στηρίζει τη σχέση στο x 0. Θεώρηµα 1.9. Εστω ότι η σχέση προτίµησης που ορίζεται στο κυρτό υποσύνολο X του R m, αναπαρίσταται από τη συνάρτηση χρησιµότητας u : R m + R. Αν x 0 είναι εσωτερικό σηµείο του X, η u έχει συνεχείς µερικές παραγώγους πρώτης τάξης σε µια περιοχή του x 0 και gradu(x 0 ) 0 και επίσης το p (x 0 ) είναι κυρτό, τότε το gradu(x 0 ) στηρίζει την σχέση στο σηµείο x 0. Απόδειξη. Το σύνολο p (x 0 ) είναι το άνω τµήµα της u στο σηµείο x 0, εποµένως από το Θεώρηµα ;;, έχουµε ότι το gradu(x 0 ) στηρίζει τη σχέση στο x 0.

8 8 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης Ασκηση Εστω η σχέση προτίµησης του R 2 + που ορίζεται από τη συνάρτηση χρησιµότητας u(x, y). Να ϐρεθεί η καµπύλη αδιαφορίας της που περνά από το (x 0, y 0 ) και ένα διάνυσµα p >> 0 που στηρίζει την στο σηµείο (x 0, y 0 ), όταν (i) u(x, y) = xy 2, (x 0, y 0 ) = (2, 3), (ii) u(x, y) = min{x, y}, (x 0, y 0 ) = (3, 3). Απόδειξη. (i) Η καµπύλη αδιαφορίας της που περνά από το σηµείο (x 0, y 0 ) µε x 0 y 0 > 0 είναι η ισοσταθµική καµπύλη της u στο σηµείο (x 0, y 0 ). ηλαδή είναι η καµπύλη c = {(x, y) R 2 + xy 2 = x 0 y0}. 2 Επειδή η y = y 0 x0 x είναι κυρτή η είναι κυρτή. Η u έχει συνεχείς µερικές παραγώγους πρώτης τάξης άρα για κάθε εσωτερικό σηµείο (x 0, y 0 ) του R 2 +, το διάνυσµα gradu(x 0, y 0 ) = (y0 2, 2x 0y 0 ) στηρίζει τη σχέση στο (x 0, y 0 ). Άρα το (9, 12) στηρίζει τη σχέση στο (2, 3). (ii) Η καµπύλη αδιαφορίας της που περνά από το σηµείο (3, 3) είναι η ισοσταθµική c = {(x, y) R 2 +, min{x, y} = 3}. Εχουµε c = {(x, y) R 2 + y x, x = 3} {(x, y) R 2 + x > y, y = 3}. Παρατηρούµε ότι δεν υπάρχουν οι µερικές παράγωγοι της u στο σηµείο (3, 3). Θα δείξουµε ότι κάθε διάνυσµα p = (p 1, p 2 ) > (0, 0) στηρίζει την στο (3, 3). Πραγµατικά για κάθε (x, y) (3, 3) έχουµε x 3 και y 3, άρα p 1 x + p 2 y 3p 1 + 3p 2. Πρόταση Αν η είναι µονότονη και το διάνυσµα p στηρίζει την σχέση προτίµησης στο σηµείο x 0, τότε p E +. Απόδειξη. Αρκεί να δείξουµε ότι p(x) 0 για κάθε x E +. Για κάθε x E + έχουµε x + x 0 x 0, εποµένως x + x 0 x 0, γιατί η είναι µονότονη. Επειδή το p στηρίζει την στο x 0 έχουµε ότι p(x + x 0 ) p(x 0 ), εποµένως p(x) 0. Άρα p E +.

9 1.2. Μεγιστοποίηση της χρησιµότητας 9 Πρόταση Εστω ότι η σχέση προτίµησης είναι µονότονη και αυστη- ϱά κυρτή. Αν η παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο x 0 του συνόλου B p,w, τότε το p είναι αυστηρά ϑετικό και το x 0 ανήκει τον εισοδηµατικό περιορισµό. Επίσης ισχύουν : (i) x x 0 p(x) > p(x 0 ), (ii) x x 0 p(x) p(x 0 ). Απόδειξη. Εστω ότι το p δεν είναι αυστηρά ϑετικό. Τότε υπάρχει x E +, x > 0 ώστε p(x) = 0, άρα x 0 + λx B p,w, για κάθε λ R +. Επειδή x 0 +λx > x 0 και η σχέση είναι µονότονη έχουµε ότι x 0 +λx x 0. Άρα η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w και στο σηµείο x 0 + λx. Άρα έχουµε x 0 = x 0 + λx γιατί η σχέση είναι αυστηρά κυρτή. Αυτό είναι άτοπο, άρα το p είναι αυστηρά ϑετικό. Εστω ότι το x 0 δεν ανήκει στον εισοδηµατικό περιορισµό. Τότε p(x 0 ) < w. Αν L = {x E p(x) < w} είναι ο αρνητικός ανοικτός ηµίχωρος που ορίζει το υπερεπίπεδο p(x) = w έχουµε ότι x 0 L, εποµένως υπάρχει σφαίρα B(x 0, r) µε κέντρο x 0 και ακτίνα r που περιέχεται στον L. Τότε υπάρχει t > 1 ώστε tx 0 B p,w. Άρα tx 0 x 0 γιατί η σχέση είναι µονότονη. Εποµένως η µεγιστοποιείται και στο σηµείο tx 0, άρα x 0 = tx 0, άτοπο. Εποµένως το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού. (i) Αν υποθέσουµε ότι x x 0, τότε x B p,w, άρα p(x) > w, εποµένως p(x) > p(x 0 ). (ii) Εστω x x 0. Αν υποθέσουµε ότι p(x) < p(x 0 ) = w, έχουµε ότι x B p,w, άρα η σχέση προτίµησης παίρνει επίσης µέγιστη τιµή και στο σηµείο x, εποµένως x = x 0, άρα p(x) = p(x 0 ), άτοπο. Άρα p(x) p(x 0 ). Πρόταση Εστω ότι η σχέση προτίµησης είναι αυστηρά µονότονη και παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο x 0 του συνόλου B p,w. Τότε το p είναι αυστηρά ϑετικό, το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού και ισχύουν (i) x x 0 p(x) > p(x 0 ),

10 10 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης y B p,w tx 0 x 0 B(x 0, r) Σχήµα 1.2: Πρόταση 1.12 x (ii) x x 0 p(x) p(x 0 ). Απόδειξη. Εστω ότι το p δεν είναι αυστηρά ϑετικό. Τότε υπάρχει x E +, x > 0 ώστε p(x) = 0, άρα x 0 + λx B p,w, για κάθε λ R +. Επειδή x 0 + λx > x 0 και η σχέση είναι αυστηρά µονότονη έχουµε ότι x 0 + λx x 0. Οµως p(x 0 + λx) = p(x 0 ) + λp(x) = p(x 0 ) w, άρα x 0 + λx B p,w άτοπο, γιατί υποθέσαµε ότι η παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο x 0. Άρα p είναι αυστηρά ϑετικό. Η σχέση είναι αυστηρά µονότονη, άρα είναι τοπικά µη κορεσµένη. Από τη Πρόταση 1.6 το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού, δηλαδή p(x 0 ) = w. Αν υποθέσουµε ότι x x 0, τότε x B p,w, άρα p(x) > w, εποµένως p(x) > w p(x 0 ), άρα ισχύει η (i). Για την απόδειξη της (ii) έχουµε : Εστω x x 0. Αν υποθέσουµε ότι p(x) < p(x 0 ) = w, έχουµε ότι x B p,w, άρα η σχέση προτίµησης παίρνει επίσης µέγιστη τιµή και στο σηµείο x, εποµένως έχουµε ότι x είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού, δηλαδή p(x) = w, άτοπο. Άρα p(x) p(x 0 ). Πρόταση Εστω x 0 B p,w, και έστω ότι η σχέση προτίµησης είναι

11 1.2. Μεγιστοποίηση της χρησιµότητας 11 πλήρης και κάτω ηµισυνεχής. Αν ισχύει η συνεπαγωγή x E +, x x 0 p(x) w, τότε η σχέση παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x 0 και το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού. Απόδειξη. Θα δείξουµε πρώτα ότι το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού. Επειδή x 0 x 0 έχουµε ότι p(x 0 ) w, εποµένως p x 0 = w γιατί το x 0 ως σηµείο του συνόλου προϋπολογισµού, ικανοποιεί την σχέση p(x 0 ) w. Υποθέτουµε ότι η δεν παίρνει την µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x 0. Τότε υπάρχει x B p,w τέτοιο ώστε x x 0. Επειδή η είναι κάτω ηµισυνεχής το σύνολο P (x 0 ) των γνησίως προτιµότερων στοιχείων του x 0 είναι ανοικτό. y x 0 P (x0 ) x tx B p,w x Σχήµα 1.3: Πρόταση 1.14 Εποµένως υπάρχει περιοχή B(x, ρ) του x που περιέχεται στο P (x 0 ), άρα υπάρχει t (0, 1) τέτοιο ώστε tx B(x, ρ). Τότε έχουµε tx x 0, εποµένως tp(x) w = p(x 0 ). Επειδή w > 0 έχουµε ότι tp(x) > 0,

12 12 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης εποµένως p(x) > tp(x), γιατί t (0, 1). Άρα έχουµε p(x) > w, άτοπο γιατί x B p,w. Άρα η παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο x 0. Πρόταση Εστω ότι η σχέση προτίµησης είναι πλήρης και κάτω ηµισυνεχής και x 0 B p,w. Αν η είναι αυστηρά µονότονη ή η είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες : (i) Η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x 0, (ii) το διάνυσµα p είναι αυστηρά ϑετικό και ισχύει η συνεπαγωγή x x 0 p(x) > w, (iii.) το διάνυσµα p είναι αυστηρά ϑετικό και ισχύει η συνεπαγωγή x x 0 p(x) w. Απόδειξη. Εστω ότι ισχύει η (i). Από τη Πρόταση 1.12 και 1.13, έ- χουµε ότι το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού, δηλαδή p(x 0 ) = w. Επίσης από τις ίδιες προτάσεις έχουµε ότι το p είναι αυστηρά ϑετικό, ότι x x 0 p(x) > p(x 0 ) = w και ότι x x 0 p(x) p(x 0 ) = w. Εποµένως (i) (ii) και (i) (iii). Επίσης από τη Πρόταση 1.14 έχουµε ότι (iii) (i). Θα δείξουµε τώρα ότι (ii) (iii). για το σκοπό αυτό υποθέτουµε ότι ισχύει η (ii) και ότι x x 0. Θα δείξουµε ότι p(x) w. Η µεγιστοποιείται στο x 0. Πραγµατικά αν υποθέσουµε ότι υπάρχει x B p,w ώστε x x 0, από τη (ii) έχουµε p(x) > w, άτοπο. Άρα η µεγιστοποιείται στο x 0. Από τη Πρόταση 1.12 και 1.13, έχουµε ότι (ii) = (iii). Ασκηση Σε οικονοµία ανταλλαγής µε τρία αγαθά και έναν καταναλωτή µε συνάρτηση χρησιµότητας u(x, y, z) = 2x + 3y + z, προσδιορίστε τα σηµεία του συνόλου προϋπολογισµού B p,w στα οποία η u παίρνει µέγιστη τιµή όταν (i) p = (2, 3, 1), w = 10, (ii) p = (2, 3, 1 ), w = 10 και (iii) 2 p = (2, 3, 4), w = 10. Λύση (i) B p,w = {(x, y, z) R 3 + 2x + 3y + z 10} και είναι εύκολο να δούµε ότι η u παίρνει µέγιστη τιµή στα σηµεία του εισοδηµατικού περιορισµού L = {(x, y, z) R 3 + 2x + 3y + z = 10}.

13 1.3. Αντιστοιχία ήτησης 13 (ii) B p,w = {(x, y, z) R 3 + 2x + 3y + 1 z 10}. Επειδή η u είναι 2 τοπικά µη κορεσµένη (γνησίως µονότονη) το µέγιστο (x, y, z) λαµβάνεται στον εισοδηµατικό περιορισµό. Ο περιορισµός της u στον εισοδηµατικό περιορισµό είναι u(x, y, z) = 2x + 3y + z = 10 z 2 + z = 10 + z 2. Επειδή (x, y, z) R 3 + έχουµε x 0, y 0, z 0, άρα 2x + 3y = 10 z 2 0 z 20. Άρα η µέγιστη τιµή της u λαµβάνεται για z = 20, οπότε 2x + 3y = 0, άρα x = y = 0. Άρα η u παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο (0, 0, 20). (iii) B p,w = {(x, y, z) R 3 + 2x +3y+4z 10} και η u µεγιστοποιείται στον εισοδηµατικό περιορισµό 2x +3y+4z = 10. Άρα z = 10 (2x+3y) 0. 4 Εποµένως 0 2x + 3y 10. Στα σηµεία του εισοδηµατικού περιορισµού έχουµε u(x, y, z) = 2x + 3y + z = 2x + 3y + 10 (2x + 3y) 4 = 3 4 (2x + 3y) Από τη σχέση αυτή έπεται εύκολα ότι η u παίρνει µέγιστη τιµή στα σηµεία του ευθυγράµµου τµήµατος {(x, y, 0) R 3 + 2x + 3y = 10}. 1.3 Αντιστοιχία ήτησης Στη παράγραφο αυτή υποθέτουµε ότι είναι λογική σχέση προτίµησης. Για κάθε αυστηρά ϑετικό διάνυσµα τιµών p προσδιορίζουµε τα διανύσµατα του B p,w στα οποία µεγιστοποιείται η σχέση προτίµησης, αν τέτοια διανύσµατα υπάρχουν. Η διαδικασία αυτή ορίζει µια αντιστοιχία µεταξύ των διανυσµάτων τιµών και των σηµείων του B p,w στα οποία η παίρνει µέγιστη τιµή. Την αντιστοιχία αυτή ϑα µελετήσουµε παρακάτω.

14 14 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης Για κάθε p E+, αυστηρά ϑετικό και κάθε πραγµατικό αριθµό w > 0 συµβολίζουµε µε φ(p, w) το σύνολο των σηµείων του B p,w στα οποία η παίρνει µέγιστη τιµή (στο B p,w ). Από το Θεώρηµα 1.3 έχουµε ότι αν το σύνολο προϋπολογισµού B p,w είναι συµπαγές και η σχέση προτίµησης λογική και άνω ηµισυνεχής, τότε φ(p, w). Αν επιπλέον η σχέση προτίµησης είναι τοπικά µη κορεσµένη, ή είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή, κάθε στοιχείο του φ(p, w) ανήκει στον εισοδηµατικό περιορισµό. Αν η σχέση προτίµησης είναι αυστηρά κυρτή και φ(p, w), το φ(p, w) είναι µονοσύνολο. Το σύνολο φ(p, w) ονοµάζεται σύνολο ήτησης και κάθε στοιχείο του φ(p, w) ητούµενο αγαθό. Η αντιστοιχία (p, w) φ(p, w), όπου p E+, αυστηρά ϑετικό και w > 0 ονοµάζεται αντιστοιχία ήτησης ή συνάρτηση ήτησης αν η αντιστοιχία είναι µονότιµη. Αν φ(p, w) για κάθε (p, w) λέµε ότι υπάρχει η αντιστοιχία ήτησης. Σε πεπερασµένες οικονοµίες αν η σχέση προτίµησης είναι λογική και άνω ηµισυνεχής, υπάρχει η αντιστοιχία ήτησης. Αν ο αρχικός πλούτος w είναι σταθερός, αντί φ(p, w) γράφουµε φ(p). Η αντιστοιχία ήτησης έχει τις παρακάτω ιδιότητες. Πρόταση Αν φ(p, w), τότε (i) φ(p, w) = φ(αp, αw) για κάθε α > 0 (η αντιστοιχία ήτησης είναι οµογενής µηδενικού ϐαθµού), (ii) αν η σχέση προτίµησης είναι τοπικά µη κορεσµένη, ή είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή έχουµε x φ(p, w) = p(x) = w (κανόνας του Walras). Απόδειξη. (i) Επειδή B αp,αw = B p,w, έχουµε ότι φ(αp, αw) = φ(p, w) για κάθε p και w. (ii) Από τη Πρόταση 1.6 και 1.12, το x είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού, άρα p(x) = w.

15 1.3. Αντιστοιχία ήτησης Η µονότιµη περίπτωση Στην υποενότητα αυτή, για λόγους απλότητας, µελετούµε τη περίπτωση όπου η αντιστοιχία ήτησης είναι µονότιµη, δηλαδή είναι συνάρτηση. Για τους ίδιους λόγους υποθέτουµε επίσης ότι ο χώρος αγαθών είναι ο R m και το σύνολο κατανάλωσης ο ϑετικός κώνος R m + του Rm, δηλαδή έχουµε E = R m και E + = R m +. Επίσης υποθέτουµε ότι ο καταναλωτής έχει αρχικό αγαθό ω > 0, οπότε w = p x p ω είναι ο αρχικός πλούτος του καταναλωτή και ϑα συµβολίζουµε µε B ω (p) το σύνολο προϋπολογισµού του καταναλωτή, όπου B ω (p) = {x R + p p p ω}. Επειδή το p είναι αυστηρά ϑετικό το B ω (p) είναι συµπαγές, εποµένως αν η σχέση προτίµησης είναι άνω ηµισυνεχής, έχουµε φ(p). Σηµειώνουµε επίσης αν η σχέση προτίµησης του καταναλωτή είναι αυστηρά κυρτή έχουµε ότι το φ(p) είναι µονοσύνολο και η αντιστοιχία ήτησης είναι συνάρτηση. Παρακάτω όταν λέµε ϋπάρχει η συνάρτηση ήτησης ϑα υποθέτουµε ότι για κάθε p >> 0, το σύνολο ήτησης είναι µονοσύνολο και στη περίπτωση αυτή µε φ(p) ϑα συµβολίζουµε το µοναδικό στοιχείο του B ω (p) στο οποίο µεγιστοποιείται η σχέση προτίµησης, και η φ(p), p >> 0, είναι η συνάρτηση ήτρησης. Υπό τις παραπάνω προϋποθέσεις έχουµε : Πρόταση Αν η σχέση προτίµησης είναι συνεχής και τοπικά µη κορεσµένη και υπάρχει η συνάρτηση ήτησης, τότε η συνάρτηση ήτησης έχει κλειστό γράφηµα. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι p n p και Φ(p n ) x, όπου p n, p R m +, p n, p 0. Θα δείξουµε ότι Φ(p) = x, όπότε η η συνάρτηση ήτησης έχει κλειστό γράφηµα. Από τον ορισµό της συνάρτησης ήτησης έχουµε ότι, για κάθε n, η σχέση προτίµησης µεγιστοποιείται στο B ω (p n ) στο σηµείο Φ(p n ), και το σηµείο αυτό ανήκει στόν εισοδηµατικό περιορισµό, επειδή υποθέσαµε ότι η είναι τοπικά µη κορεσµένη. Εποµένως έχουµε p n Φ(p n ) = p n ω p ω > 0.

16 16 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης Από την συνέχεια του εσωτερικού γινοµένου έχουµε ότι p n Φ(p n ) p x, και απο αυτά τα δυο συµπεράσµατα έπεται ότι x B ω (p). Θα δείξουµε ότι η παίρνει µέγιστη τιµή στο σύνολο B ω (p) στο σηµείο Φ(p). Για κάθε y B ω (p) έχουµε p y p ω εποµένως, για κάθε λ (0, 1), έχουµε p (λy) < p ω και ϑεωρούµε ένα σταθερό λ (0, 1). Επειδή p n (λy) p (λy) < p ω, υπάρχει δείκτης n 0 τέτοιο ώστε p n (λy) < p ω, για κάθε n n 0. Θα δείξουµε ότι ότι υπάρχει n 1 N ώστε p n (λy) < p n ω, γιά κάθε n n 1. ( ) Αν υποθέσουµε ότι ο ισχυρισµός αυτός δεν είναι αληθής, υπάρχει ακολου- ϑία n r του N ώστε p nr (λy) p nr ω, γιά κάθε r και αν πάρουµε όρια και έχουµε p (λy) p ω, που είναι άτοπο. Άρα ισχύει η ( ). Εποµένως έχουµε άρα λy B ω (p n ) γιά κάθε n n 1, Φ(p n ) λy, γιά κάθε n n 1. Επειδή η σχέση προτίµησης είναι συνεχής έχουµε ότι το σύνολο P (λy) των προτιµότερων ή ισοδύναµων στοιχείων του λy είναι κλειστό, άρα έχουµε ότι x λy. Εποµένως για κάθε λ (0, 1) έχουµε ότι x λy. Ανάλογα, επειδή η σχέση προτίµησης είναι συνεχής έχουµε ότι το σύνολο P (x) των

17 1.3. Αντιστοιχία ήτησης 17 χειρότερων ή ισοδύναµων στοιχείων του x είναι κλειστό και αν στη σχέση x λy, πάρουµε όρια όταν λ συγκλίνει στο 1, έχουµε ότι x y. Αρα η παίρνει µέγιστη τιµή στό B ω (p) στό σηµείο x. Από τον ορισµό της συνάρτησης ήτησης, η σχέση προτίµησης παίρνει µέγιστη τιµή στό B ω (p) ακριβώς στο σηµείο Φ(p), εποµένως έχουµε ότι Φ(p) = x. Άρα η συνάρτηση ήτησης έχει κλειστό γράφηµα. Θεώρηµα Αν η σχέση προτίµησης είναι συνεχής και τοπικά µη κορεσµένη και υπάρχει η συνάρτηση ήτησης, τότε η συνάρτηση ήτησης είναι συνεχής. Απόδειξη. Εστω p 0 >> 0. Θα δείξουµε ότι η συνάρτηση ήτησης Φ(p), p >> 0, είναι συνεχής στο σηµείο p 0. Εστω α η µικρότερη και ϐ η µεγαλύτερη συντεταγµένη του p 0. Τότε α > 0 και είναι εύκολο να δείξουµε ότι το p 0 είναι εσωτερικό σηµείο του διατεταγµένου διαστήµατος [ 1 2 αe, 2ϐe] του Rm + του R m. Θα δείξουµε ότι ο περιορισµός Φ της Φ στο µετρικό χώρο D = [ 1 αe, 2ϐ e] 2 είναι συνεχής οπότε, επειδή στη τοπολογία του R m, το p 0 είναι εσωτερικό σηµείο του D ϑα έχουµε τότε ότι η συνάρτηση ήτησης είναι συνεχής στο p 0. Εστω p D. Τότε p 1 αe και επειδή το Φ(p) είναι ϑετικό διάνυσµα 2 του R m, για κάθε p D έχουµε p Φ(p) 1 2 αe Φ(p) = 1 2 α Φ(p) 1. Επειδή το Φ(p) ανήκει στο εισοδηµατικό περιορισµό έχουµε p Φ(p) = p ω, άρα για κάθε p D έχουµε p Φ(p) = p ω 2ϐ e ω = 2ϐ ω 1.

18 18 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης Εποµένως Φ(p) 1 4 ϐ α ω 1. και επειδή στον R m, οι.,. 1 είναι ισοδύναµες, υπάρχει M > 0 ώστε Φ(p) Ω για κάθε p D, όπου Ω = {z R m + z M}. Αρα η συνάρτηση Φ απεικονίζει το µετρικό χώρο D στο συµπαγή µετρικό χώρο Ω. Απο τη προηγούµενη πρόταση έχουµε ότι η Φ, άρα και η Φ έχει κλειστό γράφηµα. Άρα από το ϑεώρηµα του κλειστού γραφήµατος έχουµε ότι η Φ είναι συνεχής, εποµένως η συνάρτηση ήτησης είναι συνεχής στο p 0 και το ϑεώρηµα αποδείχθηκε Η πλειότιµη περίπτωση Επιστρέφουµε τώρα στη γενική περίπτωση, όπως ορίστηκε στην αρχή της παραγράφου. ηλαδή υποθέτουµε ότι ο χώρος αγαθών είναι ένας µερικά διατεταγµένος χώρος µε norm E το σύνολο κατανάλωσης ο ϑετικός κώνος E + του E, και E είναι ο χώρος τιµών. Για κάθε p E+, αυστηρά ϑετικό και κάθε πραγµατικό αριθµό w > 0 συµβολίζουµε µε φ(p, w) το σύνολο των σηµείων του B p,w στα οποία η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w. Πρόταση Εστω ότι η σχέση προτίµησης είναι λογική και συνεχής και έστω ότι υπάρχει η αντιστοιχία ήτησης. Αν η είναι αυστηρά µονότονη, ή η είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή, έχουµε : (ι) αν p n p, w n w και x n φ(p n, w n ) µε x n x, όπου για κάθε n, το p n E + είναι αυστηρά ϑετικό και w n > δ > 0, τότε p είναι αυστηρά ϑετικό και x φ(p, w), (ιι) για κάθε πραγµατικό αριθµό δ > 0, η αντιστοιχία ήτησης φ(p, w), όπου p E+ αυστηρά ϑετικό και w δ, έχει κλειστό γράφηµα. Απόδειξη. (ι) Υποθέτουµε ότι p n p, w n w και x n φ(p n, w n ) µε x n x, όπου p n E +, αυστηρά ϑετικό και w n > δ > 0. Τότε p E +.

19 1.3. Αντιστοιχία ήτησης 19 Θα δείξουµε ότι το p είναι αυστηρά ϑετικό και ότι x φ(p, w). Από τις υποθέσεις για τη σχέση προτίµησης έχουµε το x n του B pn,w n ανήκει στον εισοδηµατικό περιορισµό, Πρόταση 1.12 και Εποµένως έχουµε p n (x n ) = w n w > 0. Επίσης έχουµε p n (x n ) p(x), εποµένως p(x) = w, άρα x B p,w. Θα δείξουµε ότι η παίρνει µέγιστη τιµή στο σύνολο B p,w στο σηµείο x. Για κάθε y B p,w έχουµε p(y) w. Επειδή w > 0, έχουµε p(λy) < w, για κάθε λ (0, 1). Υποθέτουµε ότι λ (0, 1) και ότι το λ είναι σταθερό. Επειδή p n p υπάρχει n 0 τέτοιο ώστε p n (λy) < w, για κάθε n n 0. Θα δείξουµε ότι υπάρχει n 1 N ώστε p n (λy) < w n, για κάθε n n 1. Αν υποθέσουµε ότι ο ισχυρισµός αυτός δεν είναι αληθής, υπάρχει ακολου- ϑία n r του N ώστε p nr (λy) w nr, για κάθε r. Παίρνουµε όρια και έχουµε p(λy) w, άτοπο. Άρα ο ισχυρισµός είναι αληθής. Εποµένως άρα λy B pn,w n για κάθε n n 1, λy x n, για κάθε n n 1. Επειδή η σχέση προτίµησης είναι συνεχής έχουµε ότι x λy. Εποµένως για κάθε λ (0, 1) έχουµε ότι x λy. Αν πάρουµε όρια όταν λ συγκλίνει στο 1, από την συνέχεια της έχουµε ότι x y. Άρα η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x και εποµέµως x φ(p, w). Επίσης από τη Πρόταση 1.12 και 1.13 έχουµε ότι το p είναι αυστηρά ϑετικό, άρα ισχύει η (i). Από την (i) έχουµε επίσης ότι η αντιστοιχία ήτησης έχει κλειστό γράφη- µα.

20 20 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης Πρόταση Εστω E = R m, και έστω ότι η σχέση προτίµησης είναι λογική και συνεχής. Υποθέτουµε ότι x n φ(p n, w n ), όπου p n >> 0 και w n > δ > 0 για κάθε n και υποθέτουµε επίσης ότι p n q. Αν η είναι αυστηρά µονότονη ή η είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή, έχουµε : (i) αν q i > 0, όπου q i η i-συντεταγµένη του q, η ακολουθία {x i n} της i-συντεταγµένης των x n είναι ϕραγµένη, (ii) αν το q δεν είναι αυστηρά ϑετικό, η ακολουθία {x n } δεν έχει ϕραγ- µένη υπακολουθία. Απόδειξη. (i) Από τη Πρόταση 1.12 και 1.13, έχουµε ότι το x n είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού, εποµένως p n x n = w n w. Άρα για κάθε n > n 0. Εποµένως p n x n < 2w, p i n x i n < 2w για κάθε n > n 0, όπου p i n είναι η i-συντεταγµένη του p n. Επειδή p i n q i > 0 έχουµε ότι p i n > 1 2 q i για κάθε n > n 1 από όπου έχουµε 0 < x i n < 4w q i, τελικά για κάθε n. Άρα ισχύει η (i). Αν υποθέσουµε ότι δεν ισχύει η (ii), η {x n } έχει συγκλίνουσα υπακολου- ϑία που συµβολίζουµε πάλι µε {x n }. Ετσι αν υποθέσουµε ότι x n x, µπορούµε να υποθέσουµε ότι w n w > 0, γιατί διαφορετικά περνούµε πάλι σε υπακολουθία. Από την Πρόταση 1.20, έχουµε ότι q >> 0, άτοπο, άρα ισχύει η (ii). Θεώρηµα Εστω ότι E = R m και έστω ότι η σχέση προτίµησης είναι λογική και συνεχής. Αν η είναι αυστηρά µονότονη ή η είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή, η αντιστοιχία ήτησης είναι upper hemicontinuous.

21 1.3. Αντιστοιχία ήτησης 21 Απόδειξη. Γνωρίζουµε ότι σε πεπερασµένες οικονοµίες αν η σχέση προτίµησης είναι άνω ηµισυνεχής, υπάρχει η αντιστοιχία ήτησης. Εστω p 0 εσωτερικό σηµείο του R m και w 0 > 0. Θα δείξουµε ότι η συνάρτηση φ(p, w) είναι upper hemicontinuous στο σηµείο (p 0, w 0 ). Εστω α η µικρότερη και ϐ η µεγαλύτερη συντεταγµένη του p 0. Τότε α > 0 και το p 0 είναι εσωτερικό σηµείο του διατεταγµένου διαστήµατος [ 1 αe, 2ϐe] του 2 R m +, όπου e = (1, 1,..., 1). Επίσης υποθέτουµε ότι 0 < γ < w 0 < 2γ. Θα δείξουµε ότι η φ(p, w) είναι upper hemicontinuous στο σύνολο D = [ 1 2 αe, 2ϐe] [γ, 2γ]. Επειδή το (p 0, w 0 ) είναι εσωτερικό σηµείο του D ϑα έχουµε τότε ότι η αντιστοιχία ήτησης είναι upper hemicontinuous στο (p 0, w 0 ). Για κάθε (p, w) D και κάθε x φ(p, w) έχουµε Επίσης έχουµε ότι Εποµένως p(x) = w 2γ. p(x) 1 2 αe(x) = 1 2 α x 1. x 1 4γ α. Άρα η αντιστοιχία ήτησης, περιορισµένη στο D, παίρνει τιµές στο συµπαγές σύνολο Ω = {z R m + z 1 4γ α } του R m +. Από τη Πρόταση 1.20 έχουµε επίσης ότι το γράφηµα της αντιστοιχίας ήτησης περιορισµένης στο D είναι κλειστό, άρα από το ϑεώρηµα του κλειστού γραφήµατος για πλειότιµες απεικονίσεις, έχουµε ότι η αντιστοιχία ήτησης είναι upper hemicontinuous στο D και το ϑεώρηµα αποδείχθηκε. Γνωρίζουµε ότι κάθε upper hemicontinuous συνάρτηση είναι συνεχής, εποµένως έχουµε : Πόρισµα Εστω ότι E = R m και έστω ότι η σχέση προτίµησης είναι λογική και συνεχής. Αν η είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή, η συνάρτηση ήτησης είναι συνεχής.

22 22 Κεφάλαιο1. Θεωρία Ζήτησης ίνουµε παρακάτω µια εφαρµογή σε πεπερασµένες οικονοµίες. Ασκηση Εστω οικονοµία ανταλλαγής µε δύο αγαθά και έναν καταναλωτή µε αρχικό αγαθό ω = (3, 9) και συνάρτηση χρησιµότητας u(x, y) = xy 2. Προσδιορίστε τη συνάρτηση ήτησης του καταναλωτή. Απόδειξη. Εστω p >> 0. Το σύνολο προϋπολογισµού είναι B ω (p) = {(x, y) R 2 + p 1 x + p 2 y 3p 1 + 9p 2 }. Εχουµε το πρόβληµα : µεγιστοποίησε τη συνάρτηση u 1 (xy) = xy 2 όταν (x, y) B ω (p). Επειδή η u είναι συνεχής και αυστηρά µονότονη, το πρόβληµα έχει λύση (x, y) που λαµβάνεται στον εισοδηµατικό περιορισµό, εποµένως έχουµε να µεγιστοποιήσουµε τη συνάρτηση u(xy) = xy 2 υπό τους περιορισµούς p 1 x + p 2 y = 3p 1 + 9p 2, x, y 0. Λύνουµε ως προς y και έχουµε το πρόβληµα : Μεγιστοποιήσουµε τη συνάρτηση Εχουµε f (x) = x( 3p 1 + 9p 2 p 1 x p 2 ) 2, όταν x [0, 3p 1 + 9p 2 p 1 ]. f (x) = (3p 1 + 9p 2 p 1 x)(3p 1 + 9p 2 3p 1 x) p2 2, άρα x 1 = 3p 1+9p 2 p 1, x 2 = 3p 1+9p 2 3p 1 είναι οι ϱίζες της f (x) µε x 2 < x 1. Το τριώνυµο είναι αρνητικό εντός των ϱιζών, άρα η f (x) είναι αύξουσα στο [0, x 2 ] και ϕθίνουσα στο [x 2, x 1 ], δηλαδή µεγιστοποιείται στο x 2. Άρα η u(x, y) µεγιστοποιείται στο σηµείο ( 3p 1+9p 2 3p 2, 2p 1+6p 2 p 2 ), που είναι το ητού- µενο αγαθό. Εποµένως η συνάρτηση ήτησης είναι φ(p) = ( 3p 1 + 9p 2 3p 2, 2p 1 + 6p 2 p 2 ), όπου p = (p 1, p 2 ) >> 0.

23 1.3. Αντιστοιχία ήτησης 23 Ασκηση Σε οικονοµία µε δύο αγαθά και έναν καταναλωτή µε συνά- ϱτηση χρησιµότητας u(x, y) = x + y και αρχικό αγαθό ω = (3, 2) προσδιορίστε την αντιστοιχία ήτησης και εξετάστε αν έχει συνεχή επιλογή. x(p), p R 2, p >> 0 Απόδειξη. Εστω p = (p 1, p 2 ) >> 0. Τότε τα σηµεία τοµής του εισοδηµατικού περιορισµού {(x, y) R 2 + : p 1 x + p 2 y = 3p 1 + 2p 2 } µε τις ευθείες x = 0, y = 0 είναι τα σηµεία (0, 3p 1 + 2p 2 p 2 ), ( 3p 1 + 2p 2 p 1, 0). Παρατηρούµε ότι η αντιστοιχία ήτησης είναι η ακόλουθη x(p) = (3 + 2 p 2 p 1, 0), αν p 2 > p 1, x(p) = (0, p 1 p 2 ), αν p 1 > p 2, x(p) = {(x, y) R 2 +, x + y = 5} αν p 1 = p 2. Εστω f (p) τυχαία επιλογή της x(p). Τότε f (p) x(p) για κάθε p >> 0. Υποθέτουµε ότι η f είναι συνεχής. Παρατηρούµε ότι οι ακολουθίες p n = (1 + 1 n, 1), q n = (1, n ) συγκλίνουν στο (1, 1) και οι ακολουθίες των τιµών τους f (p n ) = (0, 2 + 3(1 + 1 )) (0, 5), n f (q n ) = (3 + 2(1 + 1 ), 0) (5, 0). n συγκλίνουν σε διαφορετικά όρια. Άρα η f δεν είναι συνεχής στο (1, 1) και η x(p) δεν έχει συνεχή επιλογή.

Ατοµική Θεωρία Ζήτησης

Ατοµική Θεωρία Ζήτησης Κεφάλαιο 1 Ατοµική Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανταγωνιστικές Οικονοµίες Ανταλλαγής

Ανταγωνιστικές Οικονοµίες Ανταλλαγής Κεφάλαιο 1 Ανταγωνιστικές Οικονοµίες Ανταλλαγής 1.1 Οικονοµία Ανταλλαγής Οπως και στο προηγουµενο κεφάλαιο, υποθέτουµε ότι ο χώρος αγα- ϑών είναι διατεταγµένος χώρος µε norm E και το σύνολο κατανάλωσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν :

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y,

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πλειότιµες απεικονίσεις. 1.1 Ορισµοί

Κεφάλαιο 1. Πλειότιµες απεικονίσεις. 1.1 Ορισµοί Κεφάλαιο 1 Πλειότιµες απεικονίσεις 1.1 Ορισµοί Εστω X,Y µη κενά σύνολα. Μία (πλειότιµη) απεικόνιση φ : X Y, από το X στο Y είναι ένας κανόνας που σε κάθε σηµείο x του X αντιστοιχεί ένα υποσύνολο φ(x) του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Ατοµική Θεωρία Λήψης Αποφάσεων. 1.1 Χώρος αγαθών. a = (3, 4, 2), a = (0, 2, 0).

Κεφάλαιο 1. Ατοµική Θεωρία Λήψης Αποφάσεων. 1.1 Χώρος αγαθών. a = (3, 4, 2), a = (0, 2, 0). Κεφάλαιο 1 Ατοµική Θεωρία Λήψης Αποφάσεων 1.1 Χώρος αγαθών Αρχίζουµε τη µελέτη πρώτα µε πεπερασµένες οικονοµίες. Υποθέτουµε ότι στην οικονοµία έχουµε πεπερασµένο πλήθος αγαθών (m αγαθά) που αριθµούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. ιατεταγµένοι χώροι. 1.1 Κώνοι και διάταξη

Κεφάλαιο 1. ιατεταγµένοι χώροι. 1.1 Κώνοι και διάταξη Κεφάλαιο 1 ιατεταγµένοι χώροι 1.1 Κώνοι και διάταξη Εστω E γραµµικός χώρος. Ενα κυρτό, µη κενό υποσύνολο P του E είναι κώνος αν λ P για κάθε λ R +. Αν επιπλέον ισχύει P ( P) = {0} το P είναι οξύς κώνος

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Πολυράκης Καθηγητής ΕΜΠ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ και Θεωρία Γενικής Ισορροπίας στην Οικονοµία ΑΘΗΝΑ 2009 2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 7 1.1 Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών.................. 8 1.1.1 Λήψη αποφασεων...................

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί. Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {,, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3,,, 0,,, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς ανάλογα αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ 1β. 2n + 1 n(n + 1) xn. n=1. 2n + 1 ln(1 x)(1 + x) + x. a n = 2n + 1 n(n + 1) = 1 n + 1. a n+1 x n+1 a n x n.

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ 1β. 2n + 1 n(n + 1) xn. n=1. 2n + 1 ln(1 x)(1 + x) + x. a n = 2n + 1 n(n + 1) = 1 n + 1. a n+1 x n+1 a n x n. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ β 4 Ιανουαρίου 005 Τα ϑέµατα,, και 4 είναι υποχρεωτικά. Από τα ϑέµατα 5 και 6 ϑα επίλέξετε ϑέµα. ηλαδή ϑα γράψετε ΜΟΝΟ 5 ϑέµατα. ΘΕΜΑ o.5 + 0.5 = ϐ.) α) Να αποδειχθεί ότι η δυναµοσειρά

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Μονοτονία Ακολουθίας Φραγµένη Ακολουθία Υπακολουθίες Σύγκλιση - Απόκλιση Ακολουθιών N = {1, 2,

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας

Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας - Πρόβλημα Καταναλωτή: Επιλογή καταναλωτικού συνδυασμού x=(x, x ) υπό ένα σύνολο φυσικών, θεσμικών και οικονομικών περιορισμών κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ισορροπία-Ευηµερία. 2ο Θεµελιώδες Θεώρηµα των Οικονοµικών της ευηµερίας. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς.

Γενική Ισορροπία-Ευηµερία. 2ο Θεµελιώδες Θεώρηµα των Οικονοµικών της ευηµερίας. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. Γενική Ισορροπία-Ευηµερία Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 19 Απριλίου 2013 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία-Ευηµερία 19 Απριλίου 2013 1 / 20 Το πρώτο Θ.Θ.Ο.Ε. µας λέει ότι κάθε Βαλρασιανή

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014 Θεµέλια των Μαθηµατικών Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό Επιµέλεια: Νίκος Σκούταρης, nskoutaris@gmail.com Φεβρουάριος 2014 ii Θεµέλια των Μαθηµατικών Το κείµενο αυτό περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ 8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov Το ϑεώρηµα του Alexandrov Γιώργος Γιανναράκης και αυιδούλα ηµοπούλου Περίληψη Το 1939, ο Alexandr Alexandrov απέδειξε το ακόλουθο ϑεώρηµα : Εστω C R d ανοιχτό και κυρτό, f : C R µια κυρτή συνάρτηση. Τότε,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Πρώτου Πακέτου Ασκήσεων

Λύσεις Πρώτου Πακέτου Ασκήσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι 2016-17 Λύσεις Πρώτου Πακέτου Ασκήσεων Άσκηση 1 1. α) Αν βάλουµε την ποσότητα του αγαθού X στον οριζόντιο και την ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes. C = p x x 1 + p y y 1. pxx + pyy = 160

Notes. Notes. Notes. Notes. C = p x x 1 + p y y 1. pxx + pyy = 160 Ελαχιστοποίηση κόστους Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου 2012 1 / 36 Κόστος Το πρόβλημα εύρεσης ενός άριστου καλαθιού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονοµική Θεωρία. Τιµές και εισόδηµα. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 22 Σεπτεµβρίου 2014

Μικροοικονοµική Θεωρία. Τιµές και εισόδηµα. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. 22 Σεπτεµβρίου 2014 Μικροοικονοµική Θεωρία Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 22 Σεπτεµβρίου 2014 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Μικροοικονοµική Θεωρία 22 Σεπτεµβρίου 2014 1 / 30 Τιµές και εισόδηµα Η συνάρτηση χρησιµότητας

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Θα ϑέλαµε να ορίσουµε το «µήκος» κάθε υποσυνόλου A του R, δηλαδή να αντιστοιχίσουµε σε κάθε A R έναν µη αρνητικό αριθµό λ(a) (ή το + ). Είναι λογικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα