ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι ( )

Transcript

1 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι ( ) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

2 2

3 Περιεχόµενα 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ Η έννοια της ακολουθίας Σύγκλιση ακολουθιών Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης σειρών µε ϑετικούς όρους Σειρές εναλλασσοµένου προσήµου υναµοσειρές Ασκήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Συνάρτηση Βασικές έννοιες Οριο και συνέχεια συνάρτησης Ασκήσεις ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Η έννοια της παραγώγου Παράγωγος συνάρτησης Κανόνες Παραγώγισης Παραγώγιση σύνθετης, αντίστροφης και πεπλεγµένης συνάρτησης Παράγωγοι ανώτερης τάξης ιαφορικό συνάρτησης - Προσεγγίσεις Βασικά ϑεωρήµατα του διαφορικού λογισµού Ακρότατα - Σηµεία καµπής Ασκήσεις ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώµατα

4 4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4.2 Κανόνες ολοκλήρωσης Ολοκλήρωση µε αντικατάσταση - Αλλαγή µεταβλητής Ολοκλήρωση κατά παράγοντες Ολοκλήρωση ϱητών συναρτήσεων Ολοκλήρωση των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων Το ορισµένο ολοκλήρωµα Εµβαδά επίπεδων χωρίων Ασκήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Συστήµατα συντεταγµένων Οριο συνάρτησης δύο µεταβλητών Μερική παράγωγος Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων, ολικό διαφόρικο Ακρότατα συναρτήσεων δύο µεταβλητών ιπλό ολοκλήρωµα Πολλαπλό ολοκλήρωµα

5 Κεφάλαιο 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ 1.1 Η έννοια της ακολουθίας Ορισµός Η απεικόνιση των ϕυσικών αριθµών N στους πραγµατικούς αριθµούς R, δηλαδή ϕ : N R, καλείται πραγµατική ακολουθία. Στην ουσία πρόκειται για µία διαδοχή άπειρου πλήθους αριθµών a 1, a 2, a 3,..., a n,... και συµβολίζεται µε (a n ), n N. Παραδείγµατα ακολουθιών : 1) (a n ) = ( 1 ), n N. n Αποτελείται από τους διαδοχικούς όρους : Για n = 1: a 1 = 1 1 Για n = 2: a 2 = 1 2 Για n = 3: a 3 = 1 3 Για n = n: a n = 1 n Για n = n + 1: a n+1 = 1 n + 1 (Οι όροι της ακολουθίας είναι άπειροι) 2) (a n ) = (1 1 ), n N. n Αποτελείται από τους διαδοχικούς όρους : 5

6 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ Για n = 1: a 1 = = 0 Για n = 2: a 2 = = 1 2 Για n = 3: a 3 = = 2 3 Για n = n: a n = 1 1 n Για n = n + 1: a n+1 = 1 1 n + 1 3) (a n ) = (n), n N. Αποτελείται από τους διαδοχικούς όρους : Για n = 1: a 1 = 1 Για n = 2: a 2 = 2 Για n = 3: a 3 = 3 Για n = n: a n = n Για n = n + 1: a n+1 = n + 1 Ορισµός Μία ακολουθία (a n ), n N, καλείται άνω ϕραγµένη, (αντίστοιχα κάτω ϕραγµένη), αν και µόνο αν, υπάρχει πραγµατικός αριθµός L τέτοιος ώστε : a n L, n N, (a n L, n N). Ο αριθµός αυτός καλείται άνω ϕράγµα (αντίστοιχα κάτω ϕράγµα). Μία ακολουθία (a n ), n N, ϑα ονοµάζεται ϕραγµένη αν και µόνο αν είναι συγχρόνως άνω και κάτω ϕραγµένη. Παράδειγµα : Να εξετάσετε αν οι ακολουθίες : είναι ϕραγµένες. i) a n = 1 n n, n N, ii) a n = ( 1) n, n N Ορισµός Μία ακολουθία (a n ), n N, καλείται αύξουσα (αντίστοιχα ϕθίνουσα), αν και µόνο αν : a n a n+1, (a n a n+1 ), n N,

7 1.2. ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ 7 ενώ καλείται αυστηρώς ή γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα αυστηρώς ή γνησίως ϕθίνουσα), αν και µόνο αν : a n < a n+1, (a n > a n+1 ), n N. Παράδειγµα : Να εξετάσετε αν οι ακολουθίες : είναι γνησίως αύξουσες ή ϕθίνουσες. i) a n = 1 n 2, n N, ii) a n = n 3 + 1, n N 1.2 Σύγκλιση ακολουθιών Από τα ϐασικότερα ενδιαφέροντα µας σε µια ακολουθία ϑεωρείται η σύγκλιση ή απόκλιση αυτής. Σύγκλιση ακολουθίας : Μία ακολουθία λέµε ότι συγκλίνει όταν το όριο του n-οστού όρου της συγκεκριµένης ακολουθίας ισούται µε έναν πραγµατικό αριθµό. ηλαδή όταν lim a n = k, n όπου k R. Απόκλιση ακολουθίας : Μία ακολουθία λέµε ότι αποκλίνει (ή συγκλίνει στο ± ) όταν το όριο του n-οστού όρου της συγκεκριµένης ακολουθίας ισούται µε ±. ηλαδή όταν lim a n = ±. n Για να αντιληφθούµε τις έννοιες ϑα εξετάσουµε τις ακολουθίες των παραδειγµάτων που παρουσιάστηκαν στην πρώτη παράγραφο. 1) (a n ) = ( 1 ), n N. n Οπως είδαµε ο n-οστός όρος της ακολουθίας είναι ο a n = 1 n.

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ Στην συνέχεια πρέπει να υπολογίσουµε το όριο µε n να τείνει στο του n-οστού όρου. Είναι lim a 1 n = lim n n n = 0. Αφού το όριο υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός συνεπάγεται ότι η ακολουθία (a n ) = ( 1 ), n N συγκλίνει. n 2) (a n ) = (1 1 ), n N. n Ο n-οστός όρος της ακολουθίας είναι Τότε a n = 1 1 n. lim a n = lim (1 1 n n n ) = 1 0 = 1. Συνεπώς η ακολουθία αυτή συγκλίνει. 3) (a n ) = (n), n N. Ο n-οστός όρος της ακολουθίας είναι Τότε Άρα η ακολουθία αυτή αποκλίνει. a n = n. lim a n = lim n =. n n 1.3 Η έννοια της σειράς Θεωρούµε µία ακολουθία (a n ), n N. Εστω ότι αυτή απαρτίζεται από τους όρους a 1, a 2, a 3,..., a n,.... Για κάθε n σχηµατίζω µε τη σειρά τα ακόλουθα αθροίσµατα : Για n = 1: s 1 = a 1 Για n = 2: s 2 = a 1 + a 2 Για n = 3: s 3 = a 1 + a 2 + a 3 Για n = n: s n = a 1 + a a n Για n = n + 1: s n+1 = a 1 + a a n + a n+1

9 1.3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΕΙΡΑΣ 9 Αν στο σηµείο αυτό ϕέρουµε στο µυαλό µας την έννοια της ακολουθίας µπορούµε εύκολα να αντιληφθούµε ότι µε τη διαδικασία των αθροισµάτων στη ουσία έχουµε κατασκευάσει µία καινούργια ακολουθία (s n ), n N µε όρους τους s 1, s 2, s 3,..., s n,.... Ορισµός Μία ακολουθία (s n ), n N, καλείται σειρά µε όρους a n και συµβολίζεται a n. Τα αθροίσµατα s n λέγονται µερικά αθροίσµατα της σειράς. Συνηθίζουµε να γράφουµε a n = a 1 + a a n Οσον αφορά τη σύγκλιση και την απόκλιση των σειρών ισχύει ότι έχουµε αναφέρει για τις ακολουθίες, αφού κάθε σειρά είναι µία ακολουθία. Παράδειγµα : Εστω η σειρά ω n 1. Η σειρά αυτή είναι γνωστή ως γεωµετρική σειρά. Θα εξετάσουµε τη σειρά αυτή ως προς τη σύγκλιση. Ο n-οστός όρος αυτής είναι s n = 1 + ω + ω ω n 1. (1.1) Αν πολλαπλασιάσουµε και τα δύο µέλη της (1.1) µε ω έχουµε ωs n = ω + ω 2 + ω ω n 1 + ω n. (1.2) Αφαιρώντας στη συνέχεια κατά µέλη τις (1.1), (1.2) προκύπτει ή s n ωs n = 1 ω n s n = 1 ωn 1 ω. Για να εξετάσουµε αν η σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει πρέπει να υπολογίσουµε το όριο lim s 1 ω n n = lim n n 1 ω. (1.3) Επειδή δεν γνωρίζουµε ποιες τιµές παίρνει το ω διακρίνουµε περιπτώσεις. 1η περίπτωση : ω < 1. Τότε lim n ωn = 0,

10 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ οπότε από την (1.3) ϑα έχουµε δηλαδή η σειρά συγκλίνει. 2η περίπτωση : ω > 1. Τότε οπότε από την (1.3) ϑα έχουµε δηλαδή η σειρά αποκλίνει. 3η περίπτωση : ω = 1. Τότε Εποµένως ϑα έχουµε δηλαδή η σειρά αποκλίνει. lim s n = 1 n 1 ω, lim n ωn =, lim s n =, n s n = n. lim s n = +, n 4η περίπτωση : ω 1. Τότε lim n s n δεν υπάρχει, άρα η σειρά αποκλίνει αόριστα. Εποµένως η γεωµετρική σειρά συγκλίνει µόνο για ω < 1. Εκτός από την γεωµετρική σειρά, στη συνέχεια ϑα χρησιµοποιήσουµε και τη σειρά 1 n. p Η σειρά αυτή είναι γνωστή ως αρµονική σειρά p-τάξης. Γι αυτήν αποδεικνύεται ότι συγκλίνει για p > 1 και αποκλίνει για p 1. Πριν προχωρήσουµε στη διατύπωση µίας πρότασης για τη σύγκλιση των σειρών, παραθέτουµε κάποια γνωστά όρια : 1. lim n (1 + 1 n )n = e 2. lim n n n = 1

11 1.4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΣΕΙΡΩΝ ΜΕ ΘΕΤΙΚΟΥΣ ΟΡΟΥΣ lim n n a = 1, a R + 4. lim n a n = +, a > 1 5. lim n a n = 0, a < 1. Πρόταση Αν µία σειρά a n συγκλίνει, τότε ο γενικός της όρος τείνει στο µηδέν, δηλαδή τότε είναι lim a n = 0. n Από την πρόταση αυτή προκύπτει ένα χρήσιµο πόρισµα. Πόρισµα Αν δεν υπάρχει το όριο lim n a n ή αν υπάρχει και είναι lim n a n 0, τότε η σειρά αποκλίνει. Προσοχή δεν ισχύει το αντίστροφο. Για παράδειγµα η σειρά 1 n (αρµονική σειρά) αποκλίνει και είναι lim a 1 n = lim n n n = 0. Παράδειγµα : Χρησιµοποιώντας το Πόρισµα να δείξετε ότι οι σειρές αποκλίνουν. ii) i) n 2, n + 1 n 1.4 Κριτήρια σύγκλισης σειρών µε ϑετικούς όρους 1ο κριτήριο σύγκλισης (κριτήριο σύγκρισης): Ας είναι a n και β n δύο σειρές µε ϑετικούς όρους τέτοιες ώστε να είναι a n β n, n N. α) Αν η σειρά β n συγκλίνει, τότε συγκλίνει και η a n. ϐ) Αν η σειρά a n αποκλίνει, τότε αποκλίνει και η β n.

12 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ Παρατήρηση: Η σύγκριση µιας σειράς γίνεται µε γνωστή σειρά, δηλαδή µε σειρά για την οποία γνωρίζουµε ότι συγκλίνει ή αποκλινει. Συχνά σαν γνωστή σειρά χρησιµοποιούµε : τη γεωµετρική σειρά ϑετικών όρων ωn 1, για την οποία γνωρί- Ϲουµε ότι συγκλίνει για 0 < ω < 1 και αποκλίνει για ω 1, την αρµονική σειρά p-τάξης 1, η οποία συγκλίνει για p > 1 και np αποκλίνει για p 1. Παράδειγµα : Να εξεταστεί αν συγκλίνει ή αποκλίνει η σειρά 1 n(n + 2)(n + 3). 2ο κριτήριο σύγκλισης (κριτήριο D Alembert): Ας είναι a n µία σειρά µε ϑετικούς όρους τέτοια ώστε η ακολουθία ( a n+1 a n ), n N να συγκλίνει στο λ R, δηλαδή ( ) an+1 = λ R. Τότε : lim n a n 1. αν λ < 1, η σειρά a n συγκλίνει 2. αν λ > 1, η σειρά a n αποκλίνει 3. αν λ = 1, η σειρά a n µπορεί να συγκλίνει αλλά και να αποκλίνει (δεν µπορούµε να ϐγάλουµε συµπέρασµα). Παράδειγµα : Να εξεταστεί αν συγκλίνει ή αποκλίνει η σειρά n n n!. 3ο κριτήριο σύγκλισης (κριτήριο Cauchy): Ας είναι a n µία σειρά µε ϑετικούς όρους τέτοια ώστε η ακολουθία της n-οστής ϱίζας του γενικού της όρου να συγκλίνει στο λ R, δηλαδή Τότε : lim n n an = λ R.

13 1.5. ΣΕΙΡΕΣ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟΥ αν λ < 1, η σειρά a n συγκλίνει 2. αν λ > 1, η σειρά a n αποκλίνει 3. αν λ = 1, η σειρά a n µπορεί να συγκλίνει αλλά και να αποκλίνει (δεν µπορούµε να ϐγάλουµε συµπέρασµα). Παράδειγµα : Να εξεταστεί αν συγκλίνει ή αποκλίνει η σειρά ( ) n 3 n Σειρές εναλλασσοµένου προσήµου Ορισµός Μία σειρά της µορφής ( 1)n+1 a n, όπου a n > 0, n N, λέγεται σειρά εναλλασσοµένου προσήµου ή εναλλασσοµένου σηµείου. Λέµε ότι µία σειρά a n συγκλίνει απολύτως αν συγκλίνει η σειρά a n. Αν µία σειρά συγκλίνει απολύτως, τότε συγκλίνει και απλά, δηλαδή αν a n συγκλίνει τότε και a n συγκλίνει. Θεώρηµα (Leibnitz) Αν η ακολουθία ϑετικών όρων a n, n N είναι ϕθίνουσα και µηδενική, δηλαδή αν a n > a n+1, n N και lim n a n = 0, τότε η σειρά εναλλασσοµένου προσήµου ( 1)n+1 a n συγκλίνει. Παράδειγµα : Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά ( 1) n+1 1 n. 1.6 υναµοσειρές Ορισµός Μία σειρά της µορφής a n 1(x x 0 ) n 1 = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) , όπου x 0, a i R, i = 0, 1, 2,..., λέγεται δυναµοσειρά η σειρά δυνάµεων. Για κάθε τιµή της µεταβλητής x, η δυναµοσειρά ταυτίζεται µε µια αρι- ϑµητική σειρά. Αν η σειρά αυτή συγκλίνει, το x ϑα λέγεται σηµείο σύγκλισης της δυναµοσειράς. Για κάθε δυναµοσειρά, µία από τις τρεις παρακάτω προτάσεις ισχύει :

14 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ Η δυναµοσειρά συγκλίνει µόνο για x = x 0. (Τότε λέµε ότι η δυναµοσειρά έχει ακτίνα σύγκλισης ίση µε µηδέν) Η δυναµοσειρά συγκλίνει x R. (Τότε λέµε ότι η δυναµοσειρά έχει ακτίνα σύγκλισης ίση µε + ) Υπάρχει ρ R, ρ > 0, τέτοιος ώστε η δυναµοσειρά συγκλίνει απολύτως για κάθε x R µε x x 0 < ρ και αποκλίνει για κάθε x R µε x x 0 > ρ.(τότε λέµε ότι η δυναµοσειρά έχει ακτίνα σύγκλισης ίση µε ρ) Θεώρηµα Αν υπάρχει το όριο lim n n a n, τότε η ακτίνα σύγλισης ρ της δυναµοσειράς n=0 a n(x x 0 ) n δίνεται από τον τύπο ρ = 1 lim n n a n. Αν lim n n a n = 0 τότε ρ = + και αν lim n n a n = + τότε ρ = 0. Παρατήρηση: Αφού lim a n+1 = λ = lim n a n = λ, n n a n στο παραπάνω ϑεώρηµα αντί του lim n n a n µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το lim n a n+1 a n. Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το διάστηµα σύγκλισης της δυναµοσειράς 1.7 Ασκήσεις ( 1) n 1 xn Ασκηση 1.1. Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τις παρακάτω σειρές, χρησι- µοποιώντας το κριτήριο της σύγκρισης : 1. 1 n2, n 2. 1 n(n + 1), n.

15 1.7. ΑΣΚΗΣΕΙΣ n!. Ασκηση 1.2. Οµοια, χρησιµοποιώντας το κριτήριο του Cauchy: n, n ( 1 + n) 1 n a n, 3. n ( 2 3) n, 4. ( ) 2n n. 3n 1 Ασκηση 1.3. Οµοια, χρησιµοποιώντας το κριτήριο του D Alembert: 1. n n 2 n n!, 2. n! 10, n 3. 2n sin 4. 2 n n ( π 3 n ), Ασκηση 1.4. Να ϐρεθεί το διάστηµα σύγκλισης των δυναµοσειρών 1. 3 n x n, n 2. x n n 2 5. n