Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Transcript

1 Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος συνάρτηση έχει παρόµοια σηµασία Το επόµενο, ίσως απλοϊκό, αλλά διδακτικό παράδειγµα θα µας βοηθήσει να αντιληφθούµε καλύτερα την ακριβή έννοια του όρου 4 Παράδειγµα Υποθέτουµε ότι έχουµε ένα αυτοκίνητο που κινείται σε ευθεία γραµµή µε σταθερή ταχύτητα 0m/sec Κατά την εκκίνηση του αυτοκινήτου το ρολόι µας δείχνει χρόνο t = 0 Αν συµβολίσουµε µε s το διάστηµα (σε µέτρα) που διανύει το αυτοκίνητο σε χρόνο t (σε δευτερόλεπτα), τότε θα έχουµε τη σχέση: s = 0 t Έτσι, σε χρόνο sec το αυτοκίνητο διανύει διάστηµα 0m, σε χρόνο 7sec το αυτοκίνητο διανύει διάστηµα 70m κοκ t=sec υ=0m/sec t=7sec 0m 70m Η σχέση s = 0 t µας δίνει το διάστηµα s ως συνάρτηση του χρόνου t ηλαδή, αν ξέρουµε πόσος χρόνος πέρασε από την εκκίνηση του αυτοκινήτου µπορούµε να υπολογίσουµε το αντίστοιχο διάστηµα που το αυτοκίνητο διένυσε Για να δηλώσουµε ότι το διάστηµα s εξαρτάται από τον χρόνο t γράφουµε s() t αντί s και διαβάζουµε «s του t» Ο χρόνος t είναι η ανεξάρτητη µεταβλητή και το διάστηµα s η εξαρτηµένη Αν παραστήσουµε σε ένα σύστηµα αξόνων s τα ζεύγη (, t s()) t για τις διάφορες τιµές του 50m t, παίρνουµε µια ηµιευθεία γραµµή 40m Η ηµιευθεία αυτή αποτελεί τη γραφική 30m παράσταση της συνάρτησης µε τύπο 0m s() t = 0t Ο χρόνος t θεωρητικά µπορεί να πάρει 0m sec sec 3sec 4sec 5sec t

2 οποιαδήποτε τιµή, από µηδέν έως άπειρο (Αν δεχτούµε ότι το αυτοκίνητο έχει άπειρη ποσότητα βενζίνης!) Λέµε λοιπόν ότι το πεδίο ορισµού της συνάρτησής µας είναι το διάστηµα [0, + ) Ας δούµε τώρα ένα άλλο παράδειγµα παρµένο πάλι από τη φυσική: 4 Παράδειγµα Έχουµε ένα ηλεκτρικό κύκλωµα που αποτελείται από έναν συσσωρευτή (µπαταρία) µε συνεχή τάση U = 0 Volt Στο κύκλωµα υπάρχει µια µεταβλητή αντίσταση R (Μετριέται σε Ω=hm) Με ένα αµπερόµετρο µετράµε σε Ampere την ένταση I του ηλεκτρικού ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα Σύµφωνα µε τον νόµο του hm έχουµε: U 0 I = R = R Με τον ροοστάτη (µεταβλητή αντίσταση) I R U=0V A I δίνουµε διάφορες τιµές στο R Προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας: + - ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ R ΣΕ HM (Ω) 5 0 Ένταση Ι σε Ampere (Α) 0 5 Παρατηρούµε ότι η ένταση Ι εξαρτάται από την τιµή της αντίστασης R, είναι δηλαδή συνάρτηση του R Το R είναι η ανεξάρτητη µεταβλητή, που µπορούµε να το µεταβάλλουµε όσο θέλουµε ή καλύτερα, µπορούµε να το µεταβάλλουµε µεταξύ δύο τιµών, πχ R = Ω< R = 0Ω και το Ι η εξαρτηµένη I σε Amperes Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης 0 I( R) = είναι το διάστηµα [ R, R ] R 0 Αν παραστήσουµε σε ένα σύστηµα αξόνων 5 τα ζεύγη ( R, I( R )) για τις διάφορες τιµές του R, παίρνουµε µια καµπύλη γραµµή Η καµπύλη αυτή αποτελεί τη γραφική παράσταση της συνάρτησης µε τύπο 5 0 R σε hms

3 3 I( R) 0 = R Ας συνοψίσουµε τώρα όσα είδαµε στα προηγούµενα παραδείγµατα: Μια συνάρτηση είναι µια διαδικασία ή µια σχέση εξάρτησης στην οποία εµπλέκονται δύο µεταβλητές ποσότητες Η µία ποσότητα είναι η ανεξάρτητη µεταβλητή, η οποία µεταβάλλεται ελεύθερα, παίρνοντας τιµές από ένα σύνολο (που εµείς έχουµε προκαθορίσει) και το οποίο λέγεται πεδίο ορισµού Η άλλη ποσότητα είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή, η οποία όµως δεν µεταβάλλεται ελεύθερα Η τιµή που παίρνει κάθε φορά η µεταβλητή εξαρτάται από την τιµή που έχει η ανεξάρτητη µεταβλητή τη συγκεκριµένη στιγµή Έτσι, σε κάθε τιµή της µεταβλητής αντιστοιχεί µία µόνον τιµή της µεταβλητής 0 Έτσι, στη συνάρτηση I( R) =, αν η ανεξάρτητη µεταβλητή R πάρει την τιµή, η R εξαρτηµένη µεταβλητή Ι θα πάρει αναγκαστικά την τιµή 0 5 = 43 Παραδείγµατα συναρτήσεων Η συνάρτηση =a+b, όπου a και b είναι σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί Εδώ το πεδίο ορισµού της συνάρτησης (το σύνολο στο οποίο παίρνει τιµές η ανεξάρτητη µεταβλητή ) είναι όλο το R Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αποτελείται από όλα τα ζεύγη της µορφής (, a + b), R Τα σηµεία αυτά είναι τα πέρατα των διανυσµάτων M = u + w, όπου 0 u = και w = b a Καθώς το παίρνει τιµές στο R, το διάνυσµα w «σαρώνει» µια ευθεία γραµµή (διακεκοµµένη) Το διάνυσµα M = u + w «σαρώνει» και αυτό µια ευθεία γραµµή, η οποία είναι η γραφική =a+b b a u w u+ w w παράσταση της συνάρτησής µας Η ευθεία αυτή προκύπτει από την πρώτη µε παράλληλη µετατόπιση κατά το διάνυσµα 0 u = b

4 4 Επειδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης = a+ b είναι ευθεία γραµµή, η συνάρτηση αυτή λέγεται γραµµική Η συνάρτηση =a +b+c, όπου a, b και c είναι σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί µε a 0 Ας εξετάσουµε πρώτα την ειδική περίπτωση = Είναι προφανές ότι το πεδίο ορισµού είναι όλο το R Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αποτελείται από όλα τα ζεύγη της µορφής (, ), R και είναι µια καµπύλη γραµµή = Παρατηρούµε ότι η καµπύλη αυτή «κατέρχεται» αριστερά του άξονα των και «ανέρχεται» δεξιά του Παρατηρούµε ακόµη ότι η καµπύλη αυτή είναι συµµετρική ως προς τον άξονα των Αυτό είναι απόρροια του γεγονότος ότι τα σηµεία (, ) και (, ) της καµπύλης έχουν αντίθετες τετµηµένες και την ίδια τεταγµένη Μια συνάρτηση µε αυτή την ιδιότητα λέγεται άρτια - = Αν τώρα δώσουµε διάφορες τιµές στο a, παίρνουµε µια οικογένεια καµπυλών που είναι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων = a Οι καµπύλες αυτές ονοµάζονται γενικά = =(/) παραβολές Αν a > 0, τότε η καµπύλη αυτή «κατέρχεται» αριστερά του άξονα των και «ανέρχεται» δεξιά του Αν a < 0, τότε η καµπύλη αυτή «ανέρχεται» αριστερά του άξονα των και «κατέρχεται» δεξιά του = - = - (/) = -

5 5 Ας δούµε τώρα τη γενική περίπτωση Γράφουµε το τριώνυµο b b = a + + = a + a 4a 4a a b (βλ παράγρ 7) Θέτουµε X = + και a Y = + Το νέο σύστηµα αξόνων 4a XY προκύπτει από το αν µετατοπίσουµε τους άξονες ώστε η αρχή = a + b+ c στη µορφή Y = a του νέου συστήµατος να είναι το σηµείο b =, a 4a Στο νέο σύστηµα αξόνων η εξίσωση της καµπύλης είναι Y = ax, δηλαδή µια = a +b+c ή Y = ax - a b Ο - 4a X παραβολή 3 Η συνάρτηση = Εδώ το πεδίο ορισµού είναι το R {0} = (, 0) (0, + ) καθώς, το δεν µπορεί να είναι µηδέν Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής είναι η ακόλουθη: = Αποτελείται από δύο κλάδους οι οποίοι βρίσκονται στο ο και 3 ο τεταρτηµόριο Η καµπύλη αυτή ανήκει σε µια κατηγορία καµπυλών µε το όνοµα υπερβολές

6 6 Πριν προχωρήσουµε σε νέα παραδείγµατα ας συµπληρώσουµε την ορολογία και το συµβολισµό που θα χρησιµοποιούµε Συνήθως, για να ξεχωρίζουµε τις συναρτήσεις, συµβολίζουµε την κάθε µια µε ένα σύµβολο, συνήθως f, g, h κτλ Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το υποσύνολο A του συνόλου των πραγµατικών, τότε γράφουµε f : A R, δείχνοντας µ αυτόν τον τρόπο ότι κάθε τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής (που την παίρνουµε από το σύνολο Α) µας δίνει ή αλλιώς απεικονίζεται σε µια µοναδική τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής (που είναι πραγµατικός αριθµός) Για να δηλώσουµε αυτήν την εξάρτηση γράφουµε Αν, για παράδειγµα, f : R R µε f ( ) = f( ) =, τότε f ( ) = ( ) = 4, f ( ) =, f (5) = 5 κτλ Ο µαθηµατικός τύπος f ( ) = που µας δίνει τη διαδικασία µέσω της οποίας το (ανεξάρτητη µεταβλητή) απεικονίζεται στο (εξαρτηµένη µεταβλητή), λέγεται τύπος της συνάρτησης Έτσι, αν ονοµάσουµε g τη συνάρτηση του παραδείγµατος 433, έχουµε g :(,0) (0, + ) R και g ( ) = Αν δεν δίνεται το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης f αλλά µόνον ο τύπος της, τότε σαν πεδίο ορισµού θεωρούµε το σύνολο όλων των R για τα οποία έχει νόηµα η παράσταση f ( ) Το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης f θα συµβολίζεται µε παράδειγµα: D f Ας δούµε το ακόλουθο 44 Παραδείγµατα Να βρεθούν τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων: 3+ (i) f( ) = και (ii) g( ) = Λύση: (i) Για να ορίζεται το f ( ) θα πρέπει ο παρονοµαστής του κλάσµατος να µην είναι µηδέν Λύνουµε την εξίσωση + 3= 0 Αυτή έχει ρίζες τους αριθµούς 3 και Εποµένως, D f = R { 3,} = (, 3) ( 3,) (, + )

7 7 Παρατηρούµε ότι αν 3,, τότε 3+ ( )( ) f( ) = = = Είναι όµως + 3 ( )( + 3) + 3 λάθος να πούµε ότι η συνάρτηση f έχει το ίδιο πεδίο ορισµού µε αυτό της συνάρτησης h ( ) = Γιατί η συνάρτηση h ορίζεται στο σηµείο, ενώ η f δεν ορίζεται σ αυτό + 3 (ii) Για να ορίζεται το g( ) θα πρέπει οι υπόρριζες ποσότητες και + 3+ να µην είναι αρνητικές Εποµένως 0 και Αν θέσουµε στην παράσταση + 3+, όπου το t, θα πάρουµε t + 3+ t 0 Βρίσκουµε τις ρίζες του τριωνύµου t + 3+ t Αυτές είναι οι αριθµοί και 3 Εποµένως, t 3 Επειδή t = 0 θα έχουµε: Συνεπώς, D = [0, 9] Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης: Λύση: Θα πρέπει και f( ) = Το τριώνυµο g έχει ρίζες τους αριθµούς και 4 Άρα πρέπει 4 Επειδή, το πεδίο ορισµού είναι το (, 4] Μια άλλη χρήσιµη έννοια είναι αυτή του συνόλου τιµών µιας συνάρτησης 45 Ορισµός Σαν σύνολο τιµών µιας συνάρτησης f : Df R ορίζουµε το σύνολο f ( D ) = { R = f( ) για κάποιο D } f ηλαδή, το σύνολο τιµών αποτελείται από όλες τις δυνατές τιµές που µπορεί να πάρει η εξαρτηµένη µεταβλητή f Θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι το σύνολο τιµών δεν είναι (εν γένει) όλο το R Έτσι, το σύνολο τιµών της συνάρτησης f : Πράγµατι, f ( ) 0 συνάρτησης, αφού f ( ) = R R µε f ( ) + = είναι το διάστηµα [0, ) =, για κάθε R Αντίστροφα, κάθε [0, + ) είναι τιµή της 46 Παραδείγµατα Να βρεθούν τα σύνολα τιµών των συναρτήσεων του παραδείγµατος 44 Λύση: (i) Είδαµε ότι f( ) = µε 3, Έστω = Τότε ( ) = Αν =, τότε παίρνουµε 0= 5, άτοπο

8 8 3 + Έστω Τότε = f, πρέπει 3 + 3, Έχουµε 3 + = 4 = = Άρα το 4 Αν 3 + = 3, τότε παίρνουµε = 3, άτοπο Εποµένως το κλάσµα 3 + Αφού οι αριθµοί 3 και δεν ανήκουν στο πεδίο ορισµού της ποτέ την τιµή 3 που δεν ανήκει στο πεδίο ορισµού της f Τώρα, για κάθε έχουµε f = = Άρα το σύνολο τιµών της f είναι το R δεν ανήκει στο σύνολο τιµών της f 4 { } =,, (ii) Θέτουµε = g( ) = + 3+ Παρατηρούµε ότι 0 δεν παίρνει Ακόµη, = = 0 και, θέτοντας t = 0 παίρνουµε την εξίσωση (ως προς t) t t 3+ = 0 Η εξίσωση αυτή θα πρέπει να έχει ρίζα που να ανήκει στο διάστηµα [0, 3] (γιατί το πεδίο ορισµού της g είναι το διάστηµα [0, 9] ) Η διακρίνουσά της είναι = 6 4 Εποµένως, Οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθµοί Παρατηρούµε ότι ± = ± +, για κάθε [0, ] Πράγµατι, , που ισχύει Άρα το σύνολο τιµών της g είναι το διάστηµα [0, ] Να βρεθούν τα σύνολα τιµών των επόµενων συναρτήσεων: 3 (i) f( ) = + και (ii) g( ) = Λύση: (i) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού όλο το σύνολο R των πραγµατικών (ο παρονοµαστής δεν µηδενίζεται) 3 3 Θέτουµε = και λύνουµε ως προς : = 3+ = 0 Αν = 0, τότε + + και = 0 Πράγµατι, f (0) = 0 Έστω ότι 0 Τότε η δευτεροβάθµια εξίσωση 3 + = 0 πρέπει να έχει µη αρνητική διακρίνουσα Εποµένως,

9 , Το τελευταίο διάστηµα περιέχει το µηδέν που 3 3 βρήκαµε προηγουµένως Άρα D g =, (ii) Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g είναι το διάστηµα [-, ] στο οποίο η υπόρριζη ποσότητα γίνεται µη αρνητική Θέτουµε τώρα = 3 Επειδή 0 = 3 Έχουµε:, θα πρέπει 3 Εποµένως, = 3 3 = 3 0 = (3 ) = [0, ] Εποµένως, Λύνουµε την ανίσωση Το τριώνυµο έχει ρίζες τους αριθµούς και 4 Εποµένως πρέπει 4 Λύνουµε µετά την ανίσωση Το τριώνυµο 6+ 9 είναι πάντα µεγαλύτερο ή ίσο του µηδενός, γιατί g [, 4] D = 6+ 9 = ( 3) Εποµένως Γενικά, αν το σύνολο τιµών µιας συνάρτησης f : A R, όπου A= Df, περιέχεται σε ένα υποσύνολο Β των πραγµατικών, τότε µπορούµε να γράψουµε f : A B Μια συνάρτηση f : A B λέγεται επί του Β αν B = f( A) 47 Και άλλα παραδείγµατα συναρτήσεων Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις: (i) Η συνάρτηση του ηµιτόνου: Θεωρούµε τη συνάρτηση sin : R [,] που σε κάθε τιµή του αντιστοιχεί το ηµίτονο των ακτινίων Η γραφική παράσταση της συνάρτησης sin είναι η ακόλουθη: -4π -7π/ -3π -5π/ -π -π/ -3π/ -π π 3π/ 3π 7π/ 4π π/ π 5π/ - Παρατηρούµε ότι η γραφική παράσταση επαναλαµβάνεται κατά π, δηλαδή ισχύει: sin( + π) = sin= sin( π), για κάθε R Μια τέτοια συνάρτηση λέγεται περιοδική Έχουµε τον ακόλουθο ορισµό:

10 0 48 Ορισµός Έστω f : A R µια συνάρτηση Υποθέτουµε ότι υπάρχει θετικός αριθµός Τ µε τις εξής ιδιότητες: (i) Αν A, τότε + T A και T A και (ii) f ( + T) = f( ) = f( T) Τότε η f λέγεται περιοδική και ο αριθµός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f Είναι προφανές πως η περίοδος δεν είναι µοναδική Αν Τ είναι µια περίοδος της συνάρτησης f, τότε και οι αριθµοί Τ, 3Τ κτλ είναι επίσης περίοδοι της f (ii) Η συνάρτηση του συνηµιτόνου: Θεωρούµε τη συνάρτηση cos : R [,] που σε κάθε τιµή του αντιστοιχεί το συνηµίτονο των ακτινίων Η γραφική παράσταση της συνάρτησης cos είναι η ακόλουθη: -4π -7π/ -3π -5π/ -π -3π/ -π -π/ π 3π/ 3π 7π/ π/ π 5π/ 4π - Είναι και αυτή περιοδική συνάρτηση µε περίοδο π (iii) Η συνάρτηση της εφαπτοµένης: Θεωρούµε τη συνάρτηση tan : R { kπ k Z} R που σε κάθε τιµή του αντιστοιχεί την εφαπτοµένη των ακτινίων Η συνάρτηση αυτή δεν ορίζεται στα σηµεία της µορφής kπ, όπου k Z Η γραφική παράσταση της συνάρτησης tan είναι η ακόλουθη: -7π/ -3π -5π/ -π -π -π/ -3π/ π/ π 3π/ π 5π/ 3π 7π/ 4π Είναι και αυτή περιοδική συνάρτηση αλλά µε περίοδο π

11 Παρόµοια συµπεριφορά έχει και η συνάρτηση της συνεφαπτοµένης cot Η συνάρτηση του ακέραιου µέρους Στην παράγραφο 4 (ορισµός 45) είδαµε ότι το ακέραιο µέρος ενός πραγµατικού αριθµού είναι ο µοναδικός ακέραιος, που συµβολίζεται µε [ ], µε την ιδιότητα: [ ] [ ] + Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = [ ] έχει κλιµακωτή µορφή και αποτελείται από µοναδιαία ευθύγραµµα τµήµατα χωρίς το δεξιό τους άκρο Πράγµατι, για κάθε [ k, k + ) έχουµε [ ] = k, δηλαδή η συνάρτηση του ακεραίου µέρους είναι σταθερή στο διάστηµα [ k, k + ) 3 Οι ακολουθίες ως συναρτήσεις Κάθε ακολουθία ( a n ) είναι στην ουσία µία συνάρτηση a : N R µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών Εδώ η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι ο δείκτης n και η εξαρτηµένη ο n-στός όρος a n Η γραφική παράσταση µιας ακολουθίας αποτελείται από τα σηµεία ( na, n ), n N Στο επόµενο σχήµα απεικονίζεται η γραφική παράσταση της ακολουθίας a = n n +, n = 0,,,

12 / /4 /3 /5 / Οι εκθετικές συναρτήσεις Στην παράγραφο ορίσαµε την έννοια της δύναµης µε εκθέτη πραγµατικό αριθµό Συγκεκριµένα, αν a > 0 και R, ορίσαµε την δύναµη a Η συνάρτηση ep a : R R µε ep ( a ) = a λέγεται εκθετική συνάρτηση µε βάση το a Ξέρουµε ότι a > 0 για κάθε R Εποµένως, είναι προτιµότερο να γράφουµε ep a : R (0, + ) Όπως θα δούµε στο κεφάλαιο 5, αν a τότε η ep a : R (0, + ) είναι επί του (0, + ) Στο παρακάτω σχήµα παριστάνονται οι γραφικές παραστάσεις εκθετικών συναρτήσεων για τις διάφορες τιµές του a > 0 a = / a =/e a = e a = a = /3 a = 3/ a = Η εκθετική συνάρτηση µε βάση το e έχει ιδιαίτερη σηµασία και συµβολίζεται απλά µε ep Σ όλα τα παραπάνω παραδείγµατα οι συναρτήσεις δίνονταν µέσω κάποιου ενιαίου µαθηµατικού τύπου Κάτι τέτοιο είναι πολύ δεσµευτικό και δεν ανταποκρίνεται στην πραγµατικότητα Έτσι, η συνάρτηση του επόµενου παραδείγµατος δεν περιγράφεται µε έναν ενιαίο τύπο 49 Παράδειγµα Ορίζουµε τη συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το σύνολο [,3] {4} ως εξής:

13 3 +, αν < 0 f( ) = +, αν 0 3, αν = 4 ηλαδή, στον ορισµό της f έχουµε διακρίνει περιπτώσεις ανάλογα µε την τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής Η γραφική παράσταση της f είναι ένωση τριών κοµµατιών, του ευθυγράµµου τµήµατος που αντιστοιχεί στη γραµµική συνάρτηση = +, του τόξου της παραβολής και του µεµονωµένου σηµείου (4, ) = +, Αν και αυτές οι περιπτώσεις αρκούν για να καλύψουν τα θέµατα που θα διαπραγµατευτούµε στη συνέχεια, θα ήταν εν τούτοις παράλειψη να µην αναφέρουµε το γεγονός ότι υπάρχουν συναρτήσεις που δεν µπορούν, έστω και µε διάκριση περιπτώσεων, να περιγραφούν µέσω συγκεκριµένων µαθηµατικών τύπων Στα µαθηµατικά, πολλές φορές, αποδεικνύουµε την ύπαρξη συναρτήσεων µε συγκεκριµένες ιδιότητες, αλλά που, είτε δεν µπορούµε είτε δεν µας ενδιαφέρει να βρούµε κάποιους συγκεκριµένους µαθηµατικούς τύπους που να τις περιγράφουν 4 Μονοτονία, ακρότατα και φράγµατα συναρτήσεων Ας θεωρήσουµε τη συνάρτηση f : R [0, + ) µε f ( ) = Όπως έχουµε παρατηρήσει, η γραφική της παράσταση «κατέρχεται» στο διάστηµα (,0] και «ανέρχεται» στο διάστηµα [0, + ) f( ) f( )

14 4 Πράγµατι, αν < 0, τότε > 0, δηλαδή, > και, µε βάση την πρόταση 4, παίρνουµε = > = Λέµε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Στο διάστηµα [0, + ) η κατάσταση αντιστρέφεται Έτσι, αν 0 <, τότε < Λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [0, + ) f( ) Έχουµε τον επόµενο ορισµό: f( ) 4 Ορισµός Έστω f : A R µια συνάρτηση και Β ένα υποσύνολο που περιέχεται στο πεδίο ορισµού της Α Θα λέµε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Β αν για κάθε, f ( ) > f( ) Αν Β = A, τότε η f λέγεται γνησίως φθίνουσα Θα λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Β αν για κάθε, f ( ) < f( ) Αν Β = A, τότε η f λέγεται γνησίως αύξουσα Αν η f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα, τότε λέγεται γνησίως µονότονη µε < ισχύει µε < ισχύει 4 Σχόλιο Αν οι σχέσεις f ( ) > f( ) και f ( ) < f( ) αντικατασταθούν στον προηγούµενο ορισµό από τις σχέσεις f ( ) f( ) και f ( ) f( ) αντίστοιχα, παίρνουµε την έννοια της αύξουσας και της φθίνουσας συνάρτησης, αντίστοιχα Η επόµενη έννοια είναι πολύ βολική στη διατύπωση των αποτελεσµάτων µας 43 Ορισµός Έστω f : A R µια συνάρτηση και Β ένα υποσύνολο που περιέχεται στο πεδίο ορισµού της Α Θεωρούµε τη συνάρτηση g: B R µε g( ) = f( ) για κάθε B

15 5 Τότε η g λέγεται περιορισµός της f στο Β και συµβολίζεται µε f B Έτσι, ο περιορισµός της συνάρτησης f : R [0, + ) µε f ( ) = στο διάστηµα (,0] είναι µια συνάρτηση, ας την πούµε g, µε γραφική παράσταση το αριστερό τόξο της παραβολής = Η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα Ο περιορισµός της f στο διάστηµα [0, + ) είναι µια συνάρτηση, ας την πούµε h, µε γραφική παράσταση το δεξιό τόξο της παραβολής = Η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα 43 Παραδείγµατα Η συνάρτηση του ηµιτόνου (παράδειγµα 47) δεν είναι γνησίως µονότονη αλλά ταλαντεύεται κατά τρόπο περιοδικό µε ταξύ των τιµών - και Αν όµως θεωρήσουµε τον π π περιορισµό της σε ένα διάστηµα της µορφής kπ,kπ +, όπου k ακέραιος, θα πάρουµε µια γνησίως αύξουσα συνάρτηση kπ- π kπ kπ+ π - Στα διαστήµατα όµως της µορφής π 3π kπ +,kπ +, όπου k ακέραιος, είναι γνησίως φθίνουσα kπ+ π (k+)π kπ+ 3π -

16 6 Η συνάρτηση g :(,0) (0, + ) R του παραδείγµατος 433, µε g ( ) αποτελείται από δύο κλάδους Ο περιορισµός σε κάθε ένα από τα υποδιαστήµατα (,0) και (0, + ) είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση = Είναι όµως λάθος να πούµε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα, γιατί τότε θα έπρεπε να είναι πχ g( ) > g(), δηλαδή >, άτοπο 3 Η συνάρτηση f : αύξουσα, γιατί R R µε τύπο f ( ) = [ ] είναι αύξουσα εν είναι όµως γνησίως f = f = 0 4 και < 4 4 Η συνάρτηση f : R R µε τύπο f ( ) = είναι γνησίως αύξουσα Πράγµατι, έστω < ιακρίνουµε περιπτώσεις: (i) < 0 Τότε > 0 και υψώνοντας στο τετράγωνο, ( ) < ( ) < = ( ) > ( ) = Εποµένως, (ii) 0 < Τότε < < (iii) < 0 < Τότε < 0 < < Οι µέγιστη και η ελάχιστη τιµή (αν υπάρχουν) που µπορεί να πάρει µια συνάρτηση παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον Έχουµε τον επόµενο ορισµό:

17 7 44 Ορισµός Έστω f : A R µια συνάρτηση, όπου A R και 0 A (i) Αν f ( 0 ) f( ), για κάθε A, τότε η µέγιστη τιµή f ( 0) της συνάρτησης ονοµάζεται ολικό µέγιστο αυτής Το σηµείο 0 ονοµάζεται θέση ολικού µεγίστου (ii) Αν f ( 0 ) f( ), για κάθε A, τότε η ελάχιστη τιµή f ( 0) της συνάρτησης ονοµάζεται ολικό ελάχιστο αυτής Το σηµείο 0 ονοµάζεται θέση ολικού ελαχίστου Οι έννοιες του ολικού µεγίστου και του ολικού ελαχίστου χαρακτηρίζονται µε τον γενικότερο όρο ολικό ακρότατο 45 Ορισµός Έστω f : A R µια συνάρτηση, όπου A διάστηµα και 0 A (i) Αν f ( 0 ) f( ), για κάθε A ( 0 δ, 0 + δ ), όπου δ > 0, τότε η τιµή f ( 0) της συνάρτησης ονοµάζεται τοπικό µέγιστο αυτής Το σηµείο 0 ονοµάζεται θέση τοπικού µεγίστου (ii) Αν f ( 0 ) f( ), για κάθε A ( 0 δ, 0 + δ ), τότε η τιµή f ( 0) της συνάρτησης ονοµάζεται τοπικό ελάχιστο αυτής Το σηµείο 0 ονοµάζεται θέση τοπικού ελαχίστου Οι έννοιες του τοπικού µεγίστου και του τοπικού ελαχίστου χαρακτηρίζονται µε τον γενικότερο όρο τοπικό ακρότατο 46 Παραδείγµατα Να µελετηθούν ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα οι συναρτήσεις: (i) f ( ) = 4+ 3, (ii) g ( ) = και (iii) h ( ) = + 4 Λύση: (i) Έχουµε <, τότε f( ) = 4+ 3= 4+ 4 = ( ) Παρατηρούµε ότι αν < 0 ( ) > ( ) ( ) > ( ), δηλαδή f ( ) > f( ) Η συνάρτηση λοιπόν f : R R είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,] Ακόµη, αν <, τότε ( ) 0 < ( ) < ( ) ( ) < <, δηλαδή f ( ) < f( ) Η συνάρτηση λοιπόν f : R R είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, + ) Το είναι λοιπόν θέση ολικού ελαχίστου που είναι το f () =

18 (ii) Έχουµε g ( ) = = = 5+ Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g είναι το σύνολο R {4} Έστω < < 4 Τότε 4< 4< 0 > 5+ > f ( ) > f( ) Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (, 4) Έστω 4 < < Τότε 0< 4< 4 > 5+ > f ( ) > f( ) Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (4, + ) (iii) Η συνάρτηση h έχει πεδίο ορισµού το σύνολο R {0} Έστω < < 0 Έχουµε 4 4 > < Αν προσθέσουµε κατά µέλη την < µε την τελευταία, παίρνουµε h( ) h( ) < + <, δηλαδή η h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (, 0) 4 4 4( + ) Έστω 0 < < Τότε h ( ) h ( ) = + = ( ) Αν + <, τότε < Αλλά, + = = 4 4 = Αλλά < και εποµένως > > = (Αν 6 0< θ <, τότε + 4( + ) θ > θ > θ ) Άρα > < 0 Επειδή < 0, 4 6 έπεται ότι h ( ) h ( ) > 0, ήτοι h ( ) > h ( ) Άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (0, ] Έστω τώρα ότι < Τότε ( ) ( ) =, ήτοι > > + Εποµένως 4> 4( + ) Αλλά = > > 4 Εποµένως 4( + ) > 4( + ) > 0 Εφόσον < 0, παίρνουµε h ( ) h ( ) = 4( + ) = ( ) 0 < Άρα h ( ) < h ( ), δηλαδή η h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, + ) Το είναι λοιπόν θέση τοπικού ελαχίστου 3 = h()

19 9 Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση f : 3 f( ) = 3 + R R µε τύπο Υπόδειξη: Εξετάστε τη συµπεριφορά της στα διαστήµατα (,0], [0, ] και [, + ) 3 3 Λύση: Έστω < 0 Τότε f( ) f( ) = = ( )( + + ) 3( )( + ) = ( )( + + 3( + )) = ( ) + + ( + ) ) 3( + ) Επειδή < 0, η ποσότητα 3( + ) είναι θετική Εποµένως, + ( ) + + 3( + ) ) > 0 Εφόσον < 0, έπεται f ( ) < f( ), δηλαδή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (,0] Έστω 0 < Τότε f( ) f( ) = ( )( + + 3( + )) = = ( )( ( + 4) + ( ) + ) Επειδή <, έπεται ότι + 4< 0 και συνεπώς ( + 4) 0 (επειδή 0 ) Ακόµη, < 0 και άρα ( ) < 0 Τέλος, < 0 Από τα προηγούµενα συµπεραίνουµε ότι ( + 4) + ( ) + + < 0 και επειδή < 0, προκύπτει ότι f ( ) > f( ), ήτοι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [0, ] Τέλος, εξετάζουµε την περίπτωση < Έχουµε f( ) f( ) = + 3( + )) = ( )( ( + ) + 3( + )) Παρατηρούµε ότι ( )( + + ( + ) + 3( + ) ( + ) + 3( + ) = ( + ) > > ( + ) = = ( ) > 0, γιατί > Εποµένως f ( ) < f( ), δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, + ) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το 0 είναι θέση τοπικού µεγίστου και το θέση τοπικού ελαχίστου Η γραφική παράσταση της f είναι η ακόλουθη: = f() -3

20 0 Όπως στις ακολουθίες, έτσι και στις συναρτήσεις ορίζουµε την έννοια του φράγµατος 47 Ορισµός (i) Μια συνάρτηση f : f ( ) A R λέγεται άνω φραγµένη αν υπάρχει αριθµός s µε την ιδιότητα s, για κάθε A Ο αριθµός s λέγεται άνω φράγµα της f (ii) Μια συνάρτηση f : A R λέγεται κάτω φραγµένη αν υπάρχει αριθµός m µε την ιδιότητα m f( ), για κάθε A Ο αριθµός m λέγεται κάτω φράγµα της f (iii) Μια συνάρτηση f : A R λέγεται φραγµένη αν είναι άνω και κάτω φραγµένη Όπως στις ακολουθίες, έτσι και στις συναρτήσεις αποδεικνύεται εύκολα ότι µια συνάρτηση είναι φραγµένη αν υπάρχει ένας θετικός αριθµός r µε την ιδιότητα f ( ) r, για κάθε A 48 Παραδείγµατα Οι συναρτήσεις των παραδειγµάτων 46, πλην της πρώτης, είναι φραγµένες γιατί τα σύνολα τιµών τους είναι φραγµένα sin Να εξεταστεί αν η συνάρτηση f : R R µε τύπο f( ) = είναι φραγµένη + sin Λύση: Παρατηρούµε ότι f( ) = Αν τώρα + +, τότε f( ) + Αν >, τότε < < +, οπότε f( ) < Σε κάθε περίπτωση λοιπόν + παίρνουµε f( ) και εποµένως η f είναι φραγµένη 43 Σύνθεση συναρτήσεων Θεωρούµε τη συνάρτηση f µε τύπο f ( ) = και τη συνάρτηση g µε τύπο g ( ) = + Το πεδίο ορισµού της f είναι το διάστηµα [, ] Το σύνολο τιµών της g περιέχεται στο διάστηµα [, ], γιατί g ( ) = + ( ) 0 (Συγκεκριµένα, + ταυτίζεται µε το [, ] )

21 Μπορούµε λοιπόν στον τύπο της f, να αντικαταστήσουµε το µε το g( ) και να πάρουµε 4 ( + ) 4 την παράσταση f( g( )) = = = Η παράσταση αυτή ( ) ( ) είναι ο τύπος µιας νέας συνάρτησης, η οποία συµβολίζεται µε f σύνθεση g» 43 Ορισµός g και διαβάζεται «f Έστω g: A R και f : B R δύο συναρτήσεις Υποθέτουµε ότι το σύνολο τιµών g( A ) της g περιέχεται στο πεδίο ορισµού Β της f Τότε ορίζεται µια νέα συνάρτηση που συµβολίζεται µε f f g ( ) = f( g ( )), για κάθε A Η f g λέγεται σύνθεση των f και g A g g(a) g() B f f g g µε πεδίο ορισµού το Α, ως εξής: f(g()) f(b) 43 Παραδείγµατα Θεωρούµε τις συναρτήσεις f : βρεθούν οι τύποι των συναρτήσεων f R R και g : R R µε g και g f f ( ) = e και g( ) sin = Να Λύση: g( ) sin f g( ) = f( g( )) = e = e και g f g f f e ( ) = ( ( )) = sin ( ) = sin ( ) Να ορίσετε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g στις ακόλουθες περιπτώσεις ώστε να ορίζεται η συνάρτηση f g : (i) f ( ) = 4, (, 4] και (ii) f ( ) = tan, R { kπ k Z } και g( ) = g( ) 3 = + και Λύση: Θα πρέπει το σύνολο τιµών της g να περιέχεται στο πεδίο ορισµού της f Έχουµε: (i) g ( ) (,4] Το τριώνυµο έχει ρίζες τους αριθµούς 4 και Εποµένως, θα πρέπει 4 Είναι λοιπόν D = [ 4,] g (ii) Θα πρέπει g ( ) kπ, k = Z Αν k < 0 τότε προφανώς g( ) kπ = Έστω k 0, δηλαδή k {0,,,3, } Τότε ± kπ Εποµένως, το πεδίο ορισµού της g είναι το σύνολο D = R { ± kπ k = 0,, } g 3 θεωρούµε δύο γνησίως µονότονες συναρτήσεις g: A B R και f : B R Να αποδειχθεί ότι η σύνθεση f g είναι: (i) Γνησίως αύξουσα αν και µόνον αν οι δύο

22 συναρτήσεις έχουν το ίδιο είδος µονοτονίας (ii) Γνησίως φθίνουσα αν και µόνον αν οι δύο συναρτήσεις έχουν διαφορετικό είδος µονοτονίας Λύση: Υποθέτουµε ότι και οι δυο είναι γνησίως αύξουσες Έστω < δύο σηµεία του Α Επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα, g ( ) < g ( ) και, επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, θα έχουµε f ( g ( )) < f( g ( )), ήτοι f g ( ) < f g ( ) Εποµένως η f g είναι γνησίως αύξουσα Όλες οι άλλες περιπτώσεις προκύπτουν κατά τον ίδιο τρόπο 44 Συναρτήσεις - Αντίστροφη συνάρτησης Ας θεωρήσουµε τη συνάρτηση f : R [0, + ) µε f ( ) = Όπως έχουµε παρατηρήσει (σχόλιο µετά τον ορισµό 45), το σύνολο τιµών της είναι το διάτηµα [0, + ) Ας πάρουµε ένα µη µηδενικό σηµείο 0 του συνόλου τιµών Υπάρχουν δύο διαφορετικά σηµεία = 0 και = = του πεδίου ορισµού µε την ιδιότητα 0 f ( ) = f( ) = Γεωµετρικά, αυτό σηµαίνει ότι 0 0 = 0 η οριζόντια ευθεία = 0 τέµνει τη γραφική παράσταση σε δύο σηµεία, τα σηµεία (, 0) και (, 0) Ας δούµε τώρα µια άλλη περίπτωση Θεωρούµε τη συνάρτηση g : R R µε g( ) 3 = Το σύνολο τιµών της συνάρτησης αυτής είναι όλο το R Πιο συγκεκριµένα, αν 0 R, τότε υπάρχει µοναδικό 0 R µε την ιδιότητα 0 = 0 g( ) = = Πράγµατι, αν 0 < 0, τότε = και αν 0 0, τότε = = 3 0 Γεωµετρικά αυτό σηµαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέµνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα ακριβώς σηµείο 44 Ορισµός

23 3 Μια συνάρτηση f : A f( A) R λέγεται «ένα προς ένα» (συντ «-») αν, για κάθε f( A) υπάρχει µοναδικό A µε την ιδιότητα = f( ) Γεωµετρικά, αυτό σηµαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέµνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα το πολύ σηµείο Η έκφραση «το πολύ» προστίθεται για να καλύψει την περίπτωση που το σηµείο δεν ανήκει στο σύνολο τιµών της συνάρτησης Από τον ορισµό προκύπτουν άµεσα τα εξής: (i) Η f είναι - αν και µόνον αν ισχύει: f ( ) = f( ) =, για κάθε, A (ii) Η f είναι - αν και µόνον αν ισχύει: f( ) f( ), για κάθε, A 44 Παράδειγµα Να εξεταστεί ποιες από τις ακόλουθες συναρτήσεις είναι -: (i) (ii) g ( ) = 4+ 3 και (iii) h ( ) = f( ) =, Λύση: (i) Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι το σύνολο R {} Υποθέτουµε ότι , R {} µε f ( ) = f( ) Τότε = (4 3)( ) = (4 3) ( ) = ( ) = 0 = Εποµένως, η f είναι - (ii) Το πεδίο ορισµού της g είναι όλο το R Παρατηρούµε ότι g ( ) ( ) = Εποµένως, g () = ( ) = 0 και g (3) = (3 ) = 0 Άρα η g δεν είναι - (iii) Το πεδίο ορισµού της h είναι όλο το R Υποθέτουµε ότι, R µε h ( ) = h ( ) Τότε + + = + + = + + ( ) = + ) ( )( ) 0 ( ) = = ( + )( + ) ( + )( + ) = + ( + )( + ) = = = = = Εποµένως, η h είναι - ( Αν f : A f( A) R είναι µια - συνάρτηση τότε µπορούµε να ορίσουµε µια συνάρτηση, την οποία συµβολίζουµε µε f, µε πεδίο ορισµού το f ( A ) και σύνολο τιµών το Α, ως εξής:

24 4 Αν f( A), τότε υπάρχει µοναδικό A µε = f( ) Το µοναδικό αυτό σηµείο ορίζουµε να είναι το f ( ) 443 Ορισµός Έστω f : A f( A) R µια - συνάρτηση Η συνάρτηση f : f( A) A, η οποία ορίζεται µε βάση τον κανόνα = f ( ) = f( ) λέγεται αντίστροφη της f 444 Παράδειγµα Να βρεθούν οι αντίστροφες των συναρτήσεων του παραδείγµατος 44, οι οποίες είναι - Λύση: Οι συναρτήσεις που αντιστρέφονται είναι οι f και h Θα βρούµε πρώτα τα σύνολα τιµών τους 4 3 Θέτουµε = f( ) = Παίρνουµε = 4 3 ( 4) = 3 Αν = 4, τότε 0= 5, άτοπο Άρα το 4 δεν ανήκει στο σύνολο τιµών της f 3 Έστω 4 Τότε = 4 Γνωρίζουµε ότι το δεν ανήκει στο πεδίο ορισµού της f Αν 3 =, τότε 3= 4 = 8 3= 8, άτοπο Άρα, για κάθε 4, υπάρχει ιδιότητα: f ( ) = f = = = = Εποµένως, f ( ) =, για κάθε R {4} 4 3 = R {} µε την 4 Σηµείωση: Επειδή την ανεξάρτητη µεταβλητή την παριστάνουµε συνήθως µε το σύµβολο, 3 είναι προτιµότερο να γράψουµε f ( ) =, για κάθε R {4} 4 Για την h τώρα: Από τη σχέση + > = παίρνουµε + + > 0 Εποµένως το σύνολο τιµών της h περιέχεται στο διάστηµα (0, + ) Αντίστροφα, έστω (0, + ) Αναζητούµε R µε την ιδιότητα Έχουµε: = + + = + + = + ( ) = + + = + > 0 = Παρατηρούµε ότι h = + + = +

25 5 4 + ( ) = + = + = 4 4 Εποµένως, h ( ) =, για κάθε (0, + ) η καλύτερα, h ( ) =, για κάθε (0, + ) 445 Πρόταση Έστω f : A f( A) R µια συνάρτηση Τότε η f είναι - αν και µόνον αν υπάρχει συνάρτηση g : f( A) A µε τις ακόλουθες ιδιότητες: (i) g f( ) =, για κάθε A και (ii) f g( ) =, για κάθε f( A) Η συνάρτηση g είναι τότε η f Απόδειξη: Αν η f είναι -, τότε προφανώς η f ικανοποιεί τις συνθήκες (i) και (ii) Αντιστρόφως, υποθέτουµε ότι υπάρχει µια συνάρτηση g που ικανοποιεί τις ιδιότητες (i) και (ii) Θα δείξουµε ότι η f είναι - Έστω ότι f ( ) = f( ), όπου, A Τότε g( f( )) = g( f( )) και, µε βάση την ιδιότητα (i), παίρνουµε = Θα δείξουµε τώρα ότι g = f Έστω f( A) Τότε υπάρχει µοναδικό A µε την ιδιότητα = f( ) Από τον ορισµό της f προκύπτει ότι f ( ) = Αλλά, g( ) = g( f( )) = g f( ) =, σύµφωνα µε την ιδιότητα (i) Σηµείωση: Στην απόδειξη της προηγούµενης πρότασης δεν χρησιµοποιήσαµε πουθενά τη συνθήκη (ii) Εποµένως ισχύει: Έστω f : A f( A) R µια συνάρτηση Τότε η f είναι - αν και µόνον αν υπάρχει συνάρτηση g : f( A) A µε την ακόλουθη ιδιότητα: g f( ) =, για κάθε A Η συνάρτηση g είναι τότε η f Θα ασχοληθούµε τώρα µε τη σχέση που υπάρχει µεταξύ των γραφικών παραστάσεων µιας - συνάρτησης f και της αντίστροφής της f Αν το σηµείο ( ab, ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f, τότε θα έχουµε b= f( a) Εποµένως, συνάρτησης a= f ( b), δηλαδή το σηµείο (, ba ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f Αλλά τα σηµεία ( ab, ) και (, ba ) είναι συµµετρικά ως προς της ευθεία

26 6 = (διχοτόµος της ης και 3 ης γωνίας των αξόνων) Εποµένως =f() = καταλήγουµε στο επόµενο b συµπέρασµα: a =f - () a b 446 Πρόταση Έστω f : A f( A) R µια - συνάρτηση και f : f( A) A η αντίστροφή της Τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f είναι συµµετρικές ως προς της ευθεία =