ISBN K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔ Û ÁÁÚ ÊÂ ÙÔÓ ÂÎ fiùë

K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔ Û ÁÁÚ Ê ÙÔÓ ÂÎ fiùë ISBN 960-31-679-6 Copyright,.-X.. B ÛÈÏ Ô,. TÛ ÎÏ Ë, N. TÛ ÓÙ, EÎ fiûâè Z ÙË, ÂÎ Ì ÚÈÔ 000 Aπαγορε εται η με κάθε τρ πο αντιγραφή ή αναπαραγωγή μέρους ή λου του βιβλίου χωρίς την έγγραφη άδεια των συγγραφέων και του εκδ τη ºˆÙÔÛÙÔÈ ÂÈÔıÂÛ EÎÙ appleˆûë BÈ ÏÈÔappleˆÏÂ Ô www.ziti.gr. ZHTH & È OE 18Ô ÏÌ ÂÛ/Ó ÎË - ÂÚ T.. 171 ñ N ÔÈ EappleÈ Ù ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË ñ T.K. 570 19 TËÏ.: 039-7. (3 ÁÚ Ì.) - Fax: 039-7.9 e-mail: info@ziti.gr AÚÌÂÓÔappleÔ ÏÔ 7 ñ 56 35 ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË TËÏ. (031) 03.70, Fax 11.305 e-mail: sales@ziti.gr

3 TÔ È Ï Ô ÊÈÂÚÒÓÂÙ È ÛÙË ÌÓ ÌË ÙÒÓ appleô Ê Á Ó ÙfiÛÔ Û ÓÙÔÌ applefi ÎÔÓÙ Ì ÙÔÓ apple Ù Ú ÌÔ MÈ ÏË TÛ ÎÏ Ë ÙÔ Ê ÏÔ ÌÔ P Ô K. M ÓÈÎ ÙÔ Ê ÏÔ ÌÔ KÒÛÙ M Á

«Tα πνεύματά μας, δέκτες και πομποί παιρνούν και στέλνουν των καιρών το πνεύμα σε μιαν αρχαία και νέα ζωής πομπή που ακολουθεί της ιστορίας το νεύμα» Γιάννης Pίτσος

5 ΠPOΛOΓOΣ Στους δ ο τ μους αυτο του βιβλίου δίνεται μια συλλογή ασκήσεων (+50 ασκήσεις) για λα σχεδ ν τα θέματα Eπιχειρησιακής Έρευνας. Στον πρώτο τ μο οι ασκήσεις αφορο ν το Γραμμικ Προγραμματισμ. Για τις περισσ τερες απ αυτές δίνεται και ο τρ πος λ σης του απ κάποιο λογισμικ (LINDO, WinQSB+ ή EXCEL) οι οδηγίες λειτουργίας των οποίων υπάρχουν σε ειδικ παράρτημα του βιβλίου. O ενδιαφερ μενος αναγνώστης μπορεί να αποκτήσει τα αρχεία δεδομένων τους απ την ιστοσελίδα (http://users.auth.gr/~tsantas) Στο δε τερο τ μο έχουν συγκεντρωθεί ασκήσεις Δυναμικο Προγραμματισμο κι Aκέραιου Προγραμματισμο, καθώς επίσης και ασκήσεις απ τη θεωρία των μη Γραμμικών Mεθ δων Bελτιστοποίησης, των Mαρκοβιανών Aλυσίδων, τη θεωρία Oυρών, τις HμιMαρκοβιανές Aλυσίδες, τη θεωρία Aνανέωσης και τη θεωρία των Mαρκοβιανών Διαδικασιών. O συμβολισμ ς και η ορολογία που χρησιμοποιείται είναι απ τα βιβλία των Tσάντα και Bασιλείου (1996), Bασιλείου (1990, 1991, 1996). ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË, ÂÎ Ì ÚÈÔ 000. - X. B ÛÈÏÂ Ô. TÛ ÎÏ Ë N. TÛ ÓÙ

Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 7 1 Μια βιοτεχνία παιγνιδιών διαθέτει σε πανελλήνια βάση δ ο διαφορετικά είδη νεροπίστολων, το Space Ray και το Super X-Ray. Τα δ ο παιγνίδια, αποδείχτηκαν ιδιαίτερα δημοφιλή μεταξ των παιδιών, κυρίως για παιγνίδια στη θάλασσα, ώστε να μην παρατηρείται κανένα απολ τως πρ βλημα στην απορροφητικ τητά τους απ την αγορά: σα παιγνίδια κατασκευάζονται διατίθενται αμέσως. Και τα δ ο παιγνίδια γίνονται αποκλειστικά απ κάποιο ειδικ μείγμα πλαστικο και πωλο νται σε συσκευασίες των 1. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι κατασκευαστικές απαιτήσεις των δ ο προϊ ντων σε πρώτες λες: Προϊ ν Μείγμα Πλαστικο (Kr ανά 1-άδα) Πρώτες Ύλες Χρ νος Παραγωγής (min ανά 1-άδα) Space Ray 3 Super X-Ray 1 Σε ημερήσια βάση, η βιοτεχνία μπορεί να έχει 1,00 Kr απ το πλαστικ μείγμα και 0 ανθρωποώρες για την κατασκευαστική διαδικασία. Το τμήμα προώθησης πωλήσεων της βιοτεχνίας, στην προσπάθεια δημιουργίας συνεχο ς ζήτησης των δ ο προϊ ντων που κάνει, έχει επιβάλλει δ ο απλο ς καν νες: (i) η συνολική ημερήσια παραγωγή τους να μην ξεπερνά τις 800 1-άδες, (ii) η ημερήσια παραγωγή του πιο κερδοφ ρου Space Ray να μην ξεπερνά τις 50 1-άδες εκείνης του Super X-Ray. Αν το κέρδος απ την κάθε 1-άδα Space Ray και Super X-Ray ανέρχεται αντίστοιχα στις 8 και 5 χρηματικές μονάδες υποδείξτε ένα π.γ.π. για την ε ρεση της γραμμής παραγωγής η οποία μεγιστοποιεί τα συνολικά ημερήσια κέρδη. ΛYΣH ŒÛÙˆ fiùè x 1, x Â Ó È ( ÓÙ ÛÙÔÈ ) Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ 1- ˆÓ Space Ray Î È Super X-Ray appleô Î Ù ÛΠÔÓÙ È Û ÌÈ ËÌ Ú. ΔfiÙÂ, ÙÔ Û ÓÔÏÈÎfi Î Ú- Ô ÙË ÈÔÙÂ Ó appleô ı appleú appleâè Ó ÌÂÁÈÛÙÔappleÔÈËıÂ Ó Ú ÂÙ È Û z = 8x 1 +5x ( ÚËÌ ÙÈÎ ÌÔÓ Â ). È appleâúèôúèûìô ÙÔ appleúô Ï Ì ÙÔ appleúôî appleùô Ó applefi ÙË È ıâûèìfiùëù ÙˆÓ appleúòùˆó ÏÒÓ:

8 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα x 1 + x 100 ( È ı ÛÈÌË appleôûfiùëù appleï ÛÙÈÎÔ, Û Kr) 3x 1 +x 00 ( È ı ÛÈÌÔ ÚfiÓÔ ÁÈ Î Ù ÛÎÂ, Û min) ÙË Û ÓÔÏÈÎ apple Ú ÁˆÁ : x 1 + x 800 Î È ÙËÓ ÈÛÔÚÚÔapple Ë ÔappleÔ appleú appleâè Ó apple Ú ÂÈ ÌÂÙ Í ÙÔ ÚÈıÌÔ ÙˆÓ apple - Ú ÁfiÌÂÓˆÓ 1- ˆÓ ÙÔ Î ıâ apple ÈÁÓÈ ÈÔ : x 1 x + 50 fi x 1 x 50 º ÛÈÎ Â Ó È Î È x 1, x 0. ÂÊÈÎÙ appleâúèô ÙÔ ÓˆÙ Úˆ apple.á.apple. ÔÚ ÂÙ È applefi ÙÔ appleôï ÁˆÓÔ μ x 100 800 3 1 1 x 1 + x 100 3x 1 + x 00 3 x 1 + x 800 x 1 x 50 600 E F A 0 50 600 800 B x 1 z = 500

Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 9 (Ô appleâúèôúèûìfi Â Ó È appleïâôó ˆÓ) ÙÔ ÔappleÔ Ô ÔÈ ÎÔÚ Ê Ô Ó Û ÓÙÂÙ Á- Ì Ó (0, 0), μ(50, 0), (550, 100), (80, 0) Î È (0, 600). ÕÚÈÛÙË Ï ÛË Â Ó È ÙÔ ÛËÌ Ô. Î Ù ÛΠ80 1- ˆÓ Space Ray Î È 0 1- ˆÓ Super X-Ray Ô ËÁ ÛÙÔ Ì ÁÈÛÙÔ Ó Ùfi ËÌÂÚ ÛÈÔ Î Ú Ô Ô 5,00 ÚË- Ì ÙÈÎÒÓ ÌÔÓ ˆÓ. O Γιώργος, ένας πρωτοετής φοιτητής του A.Π.Θ., πιστε ει τι διασκέδαση και διάβασμα πρέπει να πηγαίνουν μαζί. Για το λ γο αυτ προσπαθεί να κατανείμει ένα χρ νο 10 ωρών την ημέρα ανάμεσά τους. Aρχικά εκτίμησε τι η διασκέδαση του προσφέρει δ ο φορές περισσ τερη χαρά απ τι το διάβασμα. Παρ λα αυτά επιθυμεί να διαβάζει τουλάχιστον ση ώρα διασκεδάζει. Στη συνέχεια βρήκε τι για να κάνει λη τη δουλειά που του αναθέτουν δεν μπορεί να διασκεδάζει περισσ τερο απ ώρες την ημέρα. Π σες ώρες την ημέρα πρέπει να διαβάζει και π σες να διασκεδάζει ώστε να έχει τη μέγιστη δυνατή χαρά; ΛYΣH A Â Ó È x 1 Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ˆÚÒÓ appleô ı È ÛΠÂÈ Ô ÈÒÚÁÔ, x Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ˆÚÒÓ appleô ı È ÂÈ. Œ Ô Ì ÙfiÙ χαρά = x 1 +x appleôûfiùëù appleô ı ÏÔ ÌÂ Ó μεγιστοποιήσουμε. OÈ appleâúèôúèûìô ÙÔ appleúô Ï Ì ÙÔ ÊÔÚÔ Ó ÙÔ È ı ÛÈÌÔ ËÌÂÚ ÛÈÔ ÚfiÓÔ x 1 +x 10 ÙËÓ ÂappleÈı Ì ÙÔ ÈÒÚÁÔ Ó È ÂÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ fiûë ÒÚ È ÛÎÂ- ÂÈ x x 1 0 ÙÔ Ì ÁÈÛÙÔ ÚfiÓÔ ÁÈ È ÛÎ ÛË x 1. EappleÂÈ ÙÔ appleúfi ÏËÌ ÂÈ ÌfiÓÔ Ô ÁÓÒÛÙÔ ı ÙÔ Ï ÛÔ Ì ÁÚ ÊÈÎ :

10 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα x 10 3 1 x 1 + x 10 x x 1 0 3 x 1 F B 1 A 0 10 x 1 + x = 1 x 1 H ÂÊÈÎÙ appleâúèô ÔÚ ÂÙ È applefi ÙÔ appleôï ÁˆÓÔ A(0, 0), B(, ), (, 6) Î È (0, 10). ÕÚÈÛÙË Ï ÛË Â Ó È ÙÔ ÛËÌ Ô. O ÈÒÚÁÔ ı appleú appleâè ËÏ Ó È ÛΠÂÈ ÒÚÂ Î È Ó È ÂÈ 6 ÒÛÙÂ Ó ÂÈ ÙË Ì ÁÈÛÙË Ó Ù Â - Ú ÛÙËÛË 1 ÌÔÓ ˆÓ. 3 H WavesHellas είναι μια εταιρεία συναρμολ γησης δ ο διαφορετικών τ πων φο ρνων μικροκυμάτων. Eξ αυτών, ο πρώτος τ πος αφήνει ένα καθαρ κέρδος 0 χ.μ. ενώ ο δε τερος 30 χ.μ. H λη κατασκευαστική διαδικασία μπορεί χοντρικά να θεωρηθεί τι αποτελείται απ δ ο στάδια, της συναρμολ γησης και του ελέγχου: Συναρμολ γηση Έλεγχος T πος A 1 T πος B 3 H WavesHellas είναι μια μικρο μεγέθους εταιρεία: το προσωπικ της εταιρείας επαρκεί για την εβδομαδιαία παρξη 0 ωρών συναρμολ γησης και 10 ωρών ελέγχου. Aν τα συμβ λαια που έχει υπογράψει η εταιρεία την αναγκάζουν να παραδίδει εβδομαδιαία τουλάχι-

Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 11 στον 15 φο ρνους τ που A υποδείξτε ένα π.γ.π. για την ε ρεση της γραμμής παραγωγής η οποία θα μεγιστοποιήσει το κέρδος. ΛYΣH OÚ Ô ÌÂ Ó Â Ó È x 1, x Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÊÔ ÚÓˆÓ Ù appleô A Î È B appleô ı Û Ó ÚÌÔÏÔÁËıÔ Ó ÛÂ Ì Â ÔÌ. TfiÙ ÙÔ Û ÓÔÏÈÎfi ( ÔÌ È Ô) Î Ú Ô ÙË WavesHellas ÙÔ ÔappleÔ Ô ÂappleÈı ÌÔ ÌÂ Ó ÌÂÁÈÛÙÔappleÔÈ ÛÔ ÌÂ Ó Ú Â- Ù È ÛÂ: z = 0x 1 +30x EÍ ÈÙ ÙˆÓ appleâúèôúèûì ÓˆÓ È ı ÛÈÌˆÓ ˆÚÒÓ ÁÈ ÙË Û Ó ÚÌÔÏfiÁËÛË Î È ÙÔÓ ÏÂÁ Ô ÙˆÓ Ô Ù appleˆó ÊÔ ÚÓˆÓ ı Ô Ì ( ÓÙ ÛÙÔÈ ): x 1 + 3x 0 x 1 + x 10 H apple ÙËÛË ÁÈ ÙËÓ apple Ú ÔÛË ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ 15 ÊÔ ÚÓˆÓ ÌÈÎÚÔÎ Ì ÙˆÓ Ù appleô A ÙËÓ Â ÔÌ ÂÎÊÚ ÂÙ È applefi ÙËÓ ÓÈÛfiÙËÙ : x 1 15 T ÏÔ, Ô ÌÂ Î È ÙÔ appleâúèôúèûìô ÙË ÌË- ÚÓËÙÈÎfiÙËÙ ÙˆÓ ÌÂÙ ÏË- ÙÒÓ x 1, x appleô ÔÚ Û ÌÂ: x 1, x 0 TÔ Û Ì appleô ÎÔÏÔ ıâ ÓÂÈ ÁÚ ÊÈÎ ÙËÓ Âapple Ï ÛË ÙÔ appleúô Ï Ì ÙÔ : x 80 1 x 1 +3x 0 x 1 +x 10 3 x 1 15 70 (15, 60) 3 1 F A B 0 15 60 10 0x 1 +30x =100 x 1

1 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα H ÂÊÈÎÙ appleâúèô ÔÚ ÂÙ È applefi ÙÔ ÙÚ ÁˆÓÔ AB Î È ÚÈÛÙË Ï ÛË Â Ó È ÙÔ ÛËÌÂ Ô (15, 60). H Û Ó ÚÌÔÏfiÁËÛË 15 ÊÔ ÚÓˆÓ Ù appleô A Î È 60 Ù appleô B ı ÒÛÂÈ (ÙÔ Ì ÁÈÛÙÔ Ó ÙfiÓ)  ÔÌ È Ô Î Ú Ô ÛÔ Ì 100.Ì. Ú - ÙËÚ ÛÙ fiùè Ô appleâúèôúèûìfi appleô ÊÔÚ ÙÈ È ı ÛÈÌ ÒÚ ÁÈ ÏÂÁ Ô Â Ó È appleïâôó ˆÓ. H ÂÈÎfiÓ appleô ÎÔÏÔ ıâ  ÓÂÈ ÙÔ ÌÔÓÙ ÏÔ Á.apple. ÁÈ ÙÔ appleúfi ÏËÌ Ùfi ÛÙÔ apple Ú ı ÚÔ ÂÚÁ Û ÙÔ LINDO. T Ùfi ÚÔÓ Ê ÓÂÙ È Î È Ë Ï ÛË ÙÔ fiappleˆ Ù appleúôî appleùâè applefi ÙÔ Û ÁÎÂÎÚÈÌ ÓÔ ÏÔÁÈÛÌÈÎfi. LP OPTIMUM FOUND AT STEP OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 100.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST TYPE_A 15.000000 0.000000 TYPE_B 60.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES ASSEBLHR) 0.000000 10.000000 TESTHR) 5.000000 0.000000 A_DEMAND) 0.000000-0.000000 NO. ITERATIONS = O διευθυντής πωλήσεων μιας βιομηχανίας γάλακτος προσπαθεί να προσδιορίσει τον αριθμ των τηλεοπτικών σποτ και ολοσέλιδων καταχωρήσεων σε περιοδικά που μπορεί να "αγοράσει" με τον προϋπολογισμ των 100,000 χ.μ. που διαθέτει. Kάθε τηλεοπτικ σποτ κοστίζει,000 χ.μ. κι αναμένεται να αυξήσει τις πωλήσεις στα καινο ργια τ που γιαο ρτια της εταιρείας κατά 30,000 κεσεδάκια. Aπ την άλλη μεριά, μια ολοσέλιδη διαφημιστική καταχώρηση σ ένα περιοδικ κοστίζει 5,000 χ.μ. ενώ αναμένεται να αυξήσει τις πωλήσεις κατά 100,000 κεσεδάκια. H επικρατο σα άποψη στο τμήμα του (την οποία σκέφτεται και να υιοθετήσει) είναι, τι για λ γους ισορροπίας στην αγορά, δεν πρέπει να δαπανήσει περισσ τερο απ 70,000 χ.μ. στις διαφημίσεις που θα δώσει στα περιοδικά, αλλά ο τε περισσ τερο απ 50,000 χ.μ. στα τηλεοπτικά σποτ. Aν τα αναμεν μενα ακαθάριστα κέρδη απ το κάθε κεσεδάκι γιαουρτιο που θα πωληθεί λ γω της διαφημιστικής καμπάνιας υπολογίζονται σε 0.10 χ.μ., υποδείξτε ένα π.γ.π. για την ε ρεση της κατανομής των διαφημίσεων στην τηλε ραση και τα περιοδικά η οποία θα μεγιστοποιήσει τη συνολική καθαρή α ξηση των κερδών της βιομηχανίας.

Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 13 ΛYΣH ÌÊˆÓ Ì ٠ ÔÌ Ó ÙË ÛÎËÛË, Ù Î ı Ú Ó ÌÂÓfiÌÂÓ Î Ú Ë Ó Ù appleô È Ê ÌÈÛË appleô ı ÂappleÈÏÂÁ ÙÂÏÈÎ Ó Ú ÔÓÙ È ÛÂ: 0.10*(30,000),000 = 1,000.Ì. applefi ÙÔ Î ıâ ÙËÏÂÔappleÙÈÎfi ÛappleÔÙ 0.10*(100,000) 5,000 = 5,000.Ì. applefi ÙËÓ Î ıâ È Ê ÌÈÛË Û appleâúèô ÈÎfi OÚ Ô ÌÂ Ó Â Ó È x 1 Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÙËÏÂÔappleÙÈÎÒÓ ÛappleÔÙ Î È x Ô ÚÈı- Ìfi ÙˆÓ È ÊËÌÈÛÙÈÎÒÓ Î Ù ˆÚ ÛÂˆÓ Û appleâúèô ÈÎ. TfiÙÂ, Ë Û ÓÔÏÈÎ Î - ı Ú ÍËÛË ÙˆÓ ÎÂÚ ÒÓ ÙË ÈÔÌË Ó Á Ï ÎÙÔ ÙËÓ ÔappleÔ Î È ÂappleÈı - ÌÔ ÌÂ Ó ÌÂÁÈÛÙÔappleÔÈ ÛÔ ÌÂ Â Ó È ÛË Ì z = 1,000x 1 +5,000x Ó Û Ó appleâè ÙÔ appleâúèôúèûì ÓÔ appleúô appleôïôáèûìô ı appleú appleâè,000x 1 +5,000x 100,000 ÂÓÒ, Ë ÂappleÈ ÈˆÎfiÌÂÓË Î Ù ÓÔÌ ÛÙ Ô È ÊËÌÈÛÙÈÎ Ì Û Ì ÓÂÈ,000x 1 50,000 5,000x 70,000 T ÏÔ, Ô ÌÂ Î È ÙÔ appleâúèôúèûìô ÙË ÌË- ÚÓËÙÈÎfiÙËÙ ÙˆÓ ÌÂÙ ÏË- ÙÒÓ x 1, x appleô ÔÚ Û ÌÂ: x 1, x 0 TÔ Û Ì appleô ÎÔÏÔ ıâ ÓÂÈ ÁÚ ÊÈÎ ÙËÓ Âapple Ï ÛË ÙÔ appleúô Ï Ì ÙÔ : x 0 1,000x 1 +5,000x 100,000,000x 1 50,000 3 5,000x 70,000 17 1 E (15, 1) 3 F 1 z=85,000 A B 0 5 50 x 1

1 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα H ÂÊÈÎÙ appleâúèô ÔÚ ÂÙ È applefi ÙÔ appleôï ÁˆÓÔ A(0, 0), B(5, 0), (5, 10), (15, 1) Î È E(0, 1). ÕÚÈÛÙË Ï ÛË Â Ó È ÙÔ ÛËÌ Ô. 15 ÙËÏÂÔappleÙÈÎ ÛappleÔÙ Î È 1 Î Ù ˆÚ ÛÂÈ Û appleâúèô ÈÎ ı ÒÛÔ Ó (ÙË Ì ÁÈÛÙË Ó Ù ) Î ı Ú ÍËÛË ÙˆÓ ÎÂÚ ÒÓ Ô 85,000.Ì. 5 H εταιρεία υπολογιστών MICRO προσπαθεί να προγραμματίσει τη γραμμή παραγωγής για τους επιτραπέζιους και φορητο ς προσωπικο ς υπολογιστές που θα διαθέσει στην αγορά τη χρονιά που έρχεται. O επεξεργαστής και των δ ο μοντέλων είναι ο PII-500 και ο χρ νος κατασκευής για το επιτραπέζιο μοντέλο ανέρχεται στην 1.5 ώρα ενώ για το φορητ στις 3 ώρες. Για τη συνολική παραγωγή η εταιρεία είναι έτοιμη να διαθέσει 300 επεξεργαστές και 6000 ώρες εργασίας, ενώ οι πωλητές της απαιτο ν τουλάχιστον το 5% της συνολικής παραγωγής να είναι φορητοί υπολογιστές. Aν το κέρδος απ κάθε επιτραπέζιου υπολογιστή ανέρχεται στις 50,000 χρηματικές μονάδες και απ κάθε φορητ στις 75,000 υποδείξτε ένα π.γ.π. για την ε ρεση της γραμμής παραγωγής η οποία θα μεγιστοποιήσει το συνολικ κέρδος της MICRO. ΛYΣH A Â Ó È x 1 Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÂappleÈÙÚ apple ÈˆÓ appleôïôáèûùòó appleô ı Î Ù ÛΠ- ÛÙÔ Ó Î È x Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÊÔÚËÙÒÓ. AÊÔ ÔÈ x appleôïôáèûù appleú appleâè Ó Â Ó È ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ ÙÔ 5% ÙË Û ÓÔ- ÏÈÎ apple Ú ÁˆÁ ı ÈÛ ÂÈ: x 0.5 (Û ÓÔÏÈÎ apple Ú ÁˆÁ ) fi x 0.5(x 1 +x ) fi 0.5x 1 +0.75x 0 ÎÈ ÂappleÔÌ Óˆ ÙÔ appleúfi ÏËÌ Ì ÊÔÚ ÙËÓ Â ÚÂÛË ÙÔ Ì appleâúèôúèûìô max z = (50000x 1 +75000x ) x 1 + x 300 (ÂappleÂÍÂÚÁ ÛÙ ) 1.5x 1 + 3x 6000 ( ÚfiÓÔ ÂÚÁ Û ) 0.5x 1 + 0.75x 0 (% apple ÙËÛË) x 1, x 0

Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 15 H ÂÊÈÎÙ appleâúèô F Ê ÓÂÙ È ÛÙÔ Û Ì appleô ÎÔÏÔ ıâ (o appleâúèôúèûìfi 1 Â Ó È appleïâôó ˆÓ) applefi ÙÔ ÔappleÔ Ô ÌappleÔÚÔ ÌÂ Â ÎÔÏ Ó ÚÔ ÌÂ Î È ÙËÓ ÚÈ- ÛÙË Ï ÛË x 1 = 00, x = 800 Ë ÔappleÔ ÓÂÈ Î Ú Ô 180,000,000 ÚËÌ ÙÈ- ÎÒÓ ÌÔÓ ˆÓ. x 3000 1 1 x 1 + x 300 1.5x 1 + 3x 6000 3 0.5x 1 + 0.75x 0 000 1000 F άριστη λ ση (00, 800) 3 0 1000 000 3000 000 x 1 6 Σ ένα ξυλουργείο υπάρχουν δ ο μηχανήματα: ένα τρυπάνι και μια πλάνη. Tο ξυλουργείο κατασκευάζει σε μ νιμη βάση δ ο προϊ ντα A και B, κάθε κομμάτι των οποίων απαιτεί χρ νο επεξεργασίας (σε λεπτά) ο οποίος δίνεται στον πιο κάτω πίνακα Προϊ ν Mηχάνημα Tρυπάνι Πλάνη A 3 B 5 3 O ξυλουργ ς δεν επιθυμεί κανένα απ τα δ ο είδη μηχανημάτων να δουλε ει περισσ τερο απ 30 λεπτά την ημέρα απ το άλλο, αλλά ο τε και ο ίδιος περισσ τερο απ οκτώ ώρες. Aν το κέρδος του ανέρχεται σε 50 δρχ. απ το προϊ ν A και σε 180 δρχ. απ το B, υποδείξτε ένα π.γ.π. για την ε ρεση του αριθμο των προϊ ντων που πρέπει να κατασκευάζει ημερησίως ώστε να μεγιστοποιεί το κέρδος του.

16 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα ΛYΣH ŒÛÙˆ fiùè Î Ù ÛΠÔÓÙ È x 1 ÎÔÌÌ ÙÈ ÙÔ appleúô fióùô A Î È x ÙÔ B. TfiÙ ÙÔ ÙÚ apple ÓÈ Ô Ï  3x 1 +5x ÏÂappleÙ, ÂÓÒ Ë appleï ÓË x 1 +3x. AÊÔ Ô Í ÏÔ ÚÁfi  ı ÏÂÈ Ó Ô Ï ÂÈ apple Óˆ applefi 8 ÒÚ (= 8 60 = 80 ÏÂappleÙ ), ı appleú appleâè (3x 1 +5x )+(x 1 +3x ) 80 ÈÛÔ Ó Ì 7x 1 +8x 80 MÈ Î È Ë È ÊÔÚ ÙÔ ÚfiÓÔ ÏÂÈÙÔ ÚÁ ÙÚ apple ÓÈÔ - appleï ÓË ÂÓ appleú appleâè Ó ÍÂappleÂÚÓ Ù 30 ÏÂappleÙ, ı Â Ó È (x 1 +3x ) (3x 1 +5x ) 30 ËÏ. x 1 x 30 EappleÔÌ Óˆ, ÙÔ appleúfi ÏËÌ ÊÔÚ ÙËÓ Â ÚÂÛË ÙÔ max (50x 1 +180x ) fiù Ó 7x 1 +8x 80 x 1 x 30 x 1 +x 30 x 1, x 0 ÕÚÈÛÙË Ï ÛË ÁÈ ÙÔ appleúfi ÏËÌ Ùfi Â Ó È Ë x 1 = 5.556, x = 1.773 appleô Ô ËÁ ÛÙÔ Ì ÁÈÛÙÔ ËÌÂÚ ÛÈÔ Î Ú Ô ÙË Ù ÍË ÙˆÓ 1585.5 Ú. 7 Βιοτεχνία λευκών ηλεκτρικών συσκευών, έχει αναλάβει υπερεργολαβικά, για λογαριασμ γνωστής εταιρεία της αγοράς, την κατασκευή πλυντηρίων ρο χων και πιάτων. Για το σκοπ αυτ, η βιοτεχνία δημιο ργησε τέσσερα διαφορετικά τμήματα: (1) συναρμολ γησης, () τελικής επεξεργασίας που χρησιμοποιο νται και απ τα δ ο προϊ ντα, (3) κατασκευής του μοτέρ και λοιπών μηχανικών/ηλεκτρονικών μερών του πλυντηρίου ρο χων, () κατασκευής του μοτέρ και λοιπών μηχανικών/ηλεκτρονικών μερών του πλυντηρίου πιάτων. Αν οι εβδομαδιαίες κατασκευαστικές δυνατ τητες του κάθε τμήματος φτάνουν για την κατασκευή Τμήματα επεξεργασίας Πλυντήριο Ρο χων Προϊ ν Πλυντήριο Πιάτων Κατασκευή των μερών του πλυντ. ρο χων,000 Κατασκευή των μερών του πλυντ. πιάτων 1,500 Συναρμολ γηση 3,500,500 Τελική επεξεργασία (φινίρισμα) 1,500 3,500

Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 17 συσκευών (για παράδειγμα, αν το τμήμα συναρμολ γησης συναρμολογο σε μ νο πλυντήρια ρο χων, τ τε θα συναρμολογο σε 3,500 συσκευές, κοκ) και το κέρδος της εταιρείας είναι 50 χρηματικές μονάδες απ ένα πλυντήριο ρο χων και 375 απ ένα πλυντήριο πιάτων, υποδείξτε ένα π.γ.π. για την ε ρεση της γραμμής παραγωγής που αφήνει στη βιοτεχνία τα περισσ τερα κέρδη. ΛYΣH appleôı ÛÔ Ì fiùè  ÔÌ È Î Ù ÛΠÔÓÙ È x 1, x appleï ÓÙ ÚÈ ÚÔ - ˆÓ Î È appleè ÙˆÓ ÓÙ ÛÙÔÈ. ΔfiÙ ÙÔ Û ÓÔÏÈÎfi Î Ú Ô ÙË ÈÔÙÂ Ó appleô appleú appleâè È Ó ÌÂÁÈÛÙÔappleÔÈËıÂ Ó Ú ÂÙ È Û 75x 1 +375x ÚËÌ ÙÈÎ ÌÔÓ Â. È appleâúèôúèûìô ÙÔ appleúô Ï Ì ÙÔ appleú appleâè Ó ÓÙÈÎ - ÙÔappleÙÚ Ô Ó ÙÈ Ó ÙfiÙËÙ ÂappleÂÍÂÚÁ Û appleô apple Ú Ô Ó ÛÙÔ Î ı Ó applefi Ù Ù ÛÛÂÚ ÙÌ Ì Ù ÙË ÁÚ ÌÌ apple Ú ÁˆÁ. ÌÊˆÓ Ì ٠ ÔÌ Ó ÙÔ appleúô Ï Ì ÙÔ ÙÔ ÙÌ Ì Î Ù ÛÎÂ ÙˆÓ ÌË ÓÈÎÒÓ/ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎÒÓ ÌÂÚÒÓ ÁÈ Ù appleï - ÓÙ ÚÈ ÚÔ ˆÓ Âapple ÚΠÙËÓ Â ÔÌ ÁÈ,000 Û ÛΠ: x 1,000 ÙÔ ÙÌ Ì Î Ù ÛÎÂ ÙˆÓ ÌË ÓÈÎÒÓ/ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎÒÓ ÌÂÚÒÓ ÁÈ Ù appleï - ÓÙ ÚÈ appleè ÙˆÓ Âapple ÚΠÙËÓ Â ÔÌ ÁÈ 1,500 Û ÛΠ: x 1,500 ÊÔ Û ÌÈ Â ÔÌ ÌappleÔÚÔ Ó Ó Û Ó ÚÌÔÏÔÁËıÔ Ó 3,500 appleï ÓÙ ÚÈ ÚÔ ˆÓ, ÁÈ Ù x 1 appleô ı Î Ù ÛΠÛÙÔ Ó apple ÈÙÂ Ù È ÙÔ x 1 3500 ÙË x  ÔÌ. ŸÌÔÈ Ú ÛÎÔ Ì fiùè apple ÈÙÂ Ù È ÙÔ ÙË Â ÔÌ ÁÈ 500 ÙË Û Ó ÚÌÔÏfiÁËÛË ÙˆÓ x appleï ÓÙËÚ ˆÓ appleè ÙˆÓ: x 1 3500 + x 500 1 fi 10x 1+1x 35000 Ó ÏÔÁ ÁÈ ÙÔ ÙÌ Ì ÙÔ ÊÈÓÈÚ ÛÌ ÙÔ ÙˆÓ Û ÛΠÒÓ Ú ÛÎÔ Ì fiùè ı appleú appleâè: x 1 1500 + x 3500 1 fi 7x 1+3x 10500 Ó È ÎfiÌË x 1, x 0. ÂÊÈÎÙ appleâúèô ÙÔ ÓˆÙ Úˆ apple.á.apple. ÔÚ ÂÙ È applefi ÙÔ appleôï ÁˆÓÔ μ (ÔÈ appleâúèôúèûìô Î È Â Ó È appleïâôó ÔÓÙ ) ÙÔ ÔappleÔ Ô ÔÈ ÎÔÚ Ê Ô Ó Û ÓÙÂÙ ÁÌ Ó (0, 0), μ(1500, 0), (857.13, 1500) Î È (0, 1500).

18 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα ÕÚÈÛÙË Ï ÛË Â Ó È ÙÔ ÛËÌ Ô. Î Ù ÛΠ857.13 appleï ÓÙËÚ ˆÓ ÚÔ ˆÓ Î È 1500 appleï ÓÙËÚ ˆÓ appleè ÙˆÓ Ô ËÁ ÛÙÔ Ì ÁÈÛÙÔ Ó Ùfi  ÔÌ È Ô Î Ú Ô ÛÔ appleâú appleô Ì 776,786 ÚËÌ ÙÈÎ ÌÔÓ Â. x 3500 1 10x 1 + 1x 35000 7x 1 + 3x 10500 3 x 1 000 A x 1500 500 3 1500 F 1 A B 0 1500 000 3500 x 1 z = 776785.8 8 Ένα πολυ-κατάστημα παιδικών παιγνιδιών προσπαθεί να τοποθετήσει στην μήκους 50 m βιτρίνα του, ποδήλατα για μεγάλα (με δ ο ρ δες) και μικρά παιδιά (με τέσσερις ρ δες). Κατά το διακοσμητή του καταστήματος θα πρέπει στη βιτρίνα να παρουσιάζονται τουλάχιστον 8 μεγάλα και τουλάχιστον 10 μικρά ποδήλατα. Κάθε μεγάλο ποδήλατο που τοποθετείται εκεί δεσμε ει χώρο.5 m κι εκτιμάται τι έχει πιθαν τητα πώλησης τη συγκεκριμένη ημέρα έκθεσής του 0.1. Το κέρδος που αφήνει στο κατάστημα μια τέτοια πώληση ανέρχεται σε 80 χρηματικές μονάδες. Ανάλογα, κάθε μικρ ποδήλατο δεσμε ει

Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 19 χώρο 1.5 m, αποκτά πιθαν τητα πώλησης 0.10, κι αφήνει κέρδος 0 χ.μ. Βρείτε τον αριθμ των μεγάλων και μικρών ποδηλάτων που θα πρέπει να τοποθετηθο ν στη βιτρίνα του καταστήματος μια τυχαία ημέρα σε τρ πο ώστε: 1. να μεγιστοποιο νται τα συνολικά αναμεν μενα κέρδη.. να μεγιστοποιείται ο συνολικ ς αναμεν μενος αριθμ ς πωλήσεών τους. 3. να ελαχιστοποιείται ο συνολικ ς τους αριθμ ς. ΛYΣH Â Ó È x 1 Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÌÂÁ ÏˆÓ (ÌÂ Ô Úfi  ) Î È x Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÌÈÎÚÒÓ (Ì ٠ÛÛÂÚÈ Úfi  ) appleô ËÏ ÙˆÓ appleô ı ÙÔappleÔıÂÙËıÔ Ó ÛÙË È- ÙÚ Ó ÙÔ Î Ù ÛÙ Ì ÙÔ ÙËÓ fiappleôè Ù ËÌ Ú. ÌÊˆÓ Ì ٠ ÔÌ Ó appleô Ô ÌÂ: ı appleú appleâè Ó ÙÔappleÔıÂÙËıÔ Ó ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ 8 ÌÂÁ Ï appleô Ï Ù : x 1 8 ı appleú appleâè Ó ÙÔappleÔıÂÙËıÔ Ó ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ 10 ÌÈÎÚ appleô Ï Ù : x 10 Î ıâ ÌÂÁ ÏÔ appleô Ï ÙÔ ÚÂÈ ÂÙ È.5 m, Î ıâ ÌÈÎÚfi 1.5 m, ÂÓÒ ÔÏfi- ÎÏËÚË Ë ÈÙÚ Ó ÂÈ Ì ÎÔ 50 m:.5x 1 +1.5x 50 Î È È : x 1, x 0 1. Δ Û ÓÔÏÈÎ Ó ÌÂÓfiÌÂÓ ËÌÂÚ ÛÈ Î Ú Ë applefi ÙËÓ ÎıÂÛË ÙˆÓ x 1 ÌÂÁ - ÏˆÓ Î È x ÌÈÎÚÒÓ appleô ËÏ ÙˆÓ Ó Ú ÔÓÙ È Û 80 (0.1x 1 ) + 0 (0.10x ) ÚËÌ ÙÈÎ ÌÔÓ Â. ÓÂappleÒ, ÙÔ ÌÔÓÙ ÏÔ ÙÔ Á.apple. ÁÈ ÙÔ appleúfi ÏËÌ Ì ÛÙËÓ appleâú appleùˆûë Ù Â Ó È ÙÔ maximize z = 9.6x 1 +x Î Ùˆ applefi ÙÔ appleâúèôúèûìô x 1 8 x 10.5x 1 +1.5x 50 x 1, x 0 μ ÏÙÈÛÙË Ï ÛË ÛÙÔ appleúfi ÏËÌ Ùfi Â Ó È Ë x 1 =1, x =10, z=17..

0 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα. Û ÓÔÏÈÎfi Ó ÌÂÓfiÌÂÓÔ ÚÈıÌfi appleˆï ÛÂˆÓ ÌÂÁ ÏˆÓ Î È ÌÈÎÚÒÓ appleô- ËÏ ÙˆÓ Â Ó È ÛÔ Ì 0.1x 1 +0.10x, ÔapplefiÙ ÌÔÓÙ ÏÔ Á.apple. ÁÈ ÙÔ appleúfi- ÏËÌ Ì Â Ó È ÙÔ maximize z = 0.1x 1 +0.10x Î Ùˆ applefi ÙÔ appleâúèôúèûìô x 1 8 x 10.5x 1 +1.5x 50 x 1, x 0 ÎÈ ÂÈ ˆ ÏÙÈÛÙË ÙË Ï ÛË x 1 =8, x =0, z=.96. x 9x 1 +x = 17. 1 3 1 x 1 8 x 10 3.5x 1 + 1.5x 50 18 x 1 +x = 18 F 10 8 18 0 0.1x 1 + 0.10x =.96 x 1

Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 1 3. ÙËÓ appleâú appleùˆûë Ù Ô ÌÂ ÙÔ appleúfi ÏËÌ minimize z = x 1 +x Î Ùˆ applefi ÙÔ appleâúèôúèûìô x 1 8 x 10.5x 1 +1.5x 50 x 1, x 0 appleô ÂÈ ˆ ÏÙÈÛÙË Ï ÛË ÙË x 1 =8, x =10, z=18. 9 Ο Νίκος Τσάντας, πλασιέ του σκευάσματος τροφής για αγελάδες «Moo Buffet», επισκέπτεται τον Παναγιώτη Βασιλείου επιτυχημένο παραγωγ γάλακτος, που έχει στην κατοχή του ένα κοπάδι 1000 αγελάδων. Μέρος της επιτυχίας του Βασιλείου οφείλεται και στην αυστηρή δίαιτα την οποία ακολουθο ν οι αγελάδες του. Ειδικ τερα, κάθε αγελάδα λαμβάνει ημερήσια τουλάχιστον 100 μονάδες ασβέστιο, 0,000 θερμίδες και 1,500 μονάδες πρωτε νης. Για το σκοπ αυτ ο Βασιλείου χρησιμοποιεί το σκε ασμα τροφής «Cow Feed», 1 Kr του οποίου κοστίζει 0.015 χρηματικές μονάδες και παρέχει 1 μονάδα ασβεστίου, 00 θερμίδες και 0 μονάδες πρωτε νης. Σε αντιδιαστολή, 1 Kr «Moo Buffet» θα κοστίσει στον Βασιλείου 0.00 χρηματικές μονάδες παρέχοντας μονάδες ασβεστίου, 50 θερμίδες και 0 μονάδες πρωτε νης. 1. Σε ποιο ποσ ανέρχονται τα τρέχοντα (: με το σκε ασμα «Cow Feed») ημερήσια έξοδα τροφής για μια αγελάδα του κοπαδιο Βασιλείου;. Για ποιο λ γο ο Τσάντας δεν κατάφερε να πείσει τον Βασιλείου να αντικαταστήσει το σκε ασμα «Cow Feed» με το «Moo Buffet»; 3. Ο Τσάντας, ως πολυμήχανος πλασιέ που είναι, ταν κατάλαβε τι απέτυχε στη βασική του επιδίωξη, πρ τεινε ως εναλλακτική λ ση ένα μείγμα των δ ο σκευασμάτων «Cow Feed» και «Moo Buffet» το οποίο με χαμηλ τερο κ στος ικανοποιεί τις ανάγκες της δίαιτας. Ποιο είναι αυτ ;. Π σα χρήματα εξοικονομεί ημερήσια ο Βασιλείου τα ζοντας το κοπάδι των 1000 αγελάδων του με το προτειν μενο μείγμα;

Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα ΛYΣH 1. ÌÊˆÓ Ì ٠ ÔÌ Ó ÙË ÛÎËÛË, 1 Kr ÙÔ ÛΠÛÌ ÙÔ «Cow Feed» apple Ú ÂÈ 1 ÌÔÓ Û ÂÛÙ Ô, 00 ıâúì Â Î È 0 ÌÔÓ Â appleúˆ- Ù ÓË. ÓÂappleÒ, Î ıâ ÁÂÏ ÚÂÈ ÂÙ È ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ 100/1 = 100 Kr ÙÚÔÊ ÁÈ Ó ÂÍ ÛÊ Ï ÛÂÈ ÙÈ apple ÈÙ ÛÂÈ ÙË ÈÙ ÙË ÛÂ Û ÛÙÈÔ, ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ 0000/00 = 50 Kr ÁÈ Ó ÂÍ ÛÊ Ï ÛÂÈ ÙÈ apple ÈÙ ÛÂÈ Û ıâúì Â Î È ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ 1500/0 = 75 Kr ÁÈ Ó ÂÍ ÛÊ Ï ÛÂÈ ÙÈ apple È- Ù ÛÂÈ Û appleúˆùâ ÓÂ. apple ÈÙÔ ÓÙ È ÂappleÔÌ Óˆ ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ 100 Kr ÙÔ ÛΠÛÌ ÙÔ «Cow Feed» Ì ÎfiÛÙÔ 100 0.015 = 1.50 ÚËÌ ÙÈÎÒÓ ÌÔ- Ó ˆÓ ÁÈ ÙË È ÙÚÔÊ ÙË Î ıâ ÁÂÏ ÙÔ ÎÔapple ÈÔ.. Ó ÏÔÁ appleô ÂÈÎÓ ÂÙ È fiùè apple ÈÙÔ ÓÙ È 80 Kr ÙÔ ÛΠÛÌ ÙÔ «Moo Buffet» ÁÈ Ó ÂÍ ÛÊ ÏÈÛÙÔ Ó ÔÈ apple ÈÙ ÛÂÈ ÙË ÈÙ appleô ÎÔÏÔ ıâ - Ù È. ÙËÓ appleâú appleùˆûë Ù Ô ÌÂ Ó ÎfiÛÙÔ 1.60 ÚËÌ ÙÈÎÒÓ ÌÔÓ ˆÓ Ó ÁÂÏ, appleô Â Ó È ÌÂÁ Ï ÙÂÚÔ applefi ÙÔ appleúôëáô ÌÂÓÔ ÎÈ Ú Û Ì- ÊÔÚÔ. 3. Ì ÔÏ Ô Ì Ì x 1, x ÙËÓ appleôûfiùëù (Kr) appleô ı apple Ú ÂÈ ÛÙÔ Ì ÁÌ applefi Ù Ô ÛΠÛÌ Ù ÙÚÔÊ «Cow Feed» Î È «Moo Buffet» ÓÙ - ÛÙÔÈ. ΔfiÙ ÙÔ Û ÓÔÏÈÎfi ÎfiÛÙÔ ÁÈ ÙË È ÙÚÔÊ ÙË Î ıâ ÁÂÏ, ÙÔ ÔappleÔ Ô ı ÏÔ ÌÂ Ó ÂÏ ÈÛÙÔappleÔÈ ÛÔ ÌÂ, Ó Ú ÂÙ È Û 0.015x 1 + 0.00x x 80 75 1 x 1 + x 100 00x 1 + 50x 0,000 3 0x 1 + 0x 1,500 50 1 B 0 3 A 50 75 100 z = 1.5 x 1

Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 3 μ È, ı appleú appleâè Ó ÂÍ ÛÊ Ï ÛÔ ÌÂ ÙÈ apple ÈÙ ÛÂÈ ÙË ÈÙ ÛÂ Û ÛÙÈÔ, ıâúì Â Î È appleúˆùâ ÓÂ : x 1 + x 100 ( apple ÈÙ ÛÂÈ ÛÂ Û ÛÙÈÔ) 00x 1 + 50x 0,000 ( apple ÈÙ ÛÂÈ ÛÂ ıâúì Â ) 0x 1 + 0x 1500 ( apple ÈÙ ÛÂÈ ÛÂ appleúˆùâ ÓÂ ) ÂÓÒ Â Ó È Î È x 1, x 0. ÂÊÈÎÙ appleâúèô ÙÔ ÓˆÙ Úˆ apple.á.apple. ÔÚ ÂÙ È applefi Ù ÛËÌÂ (100, 0), μ(50, 5), (8.333, 66.667), (0, 80) Î È ÙÔ ıâùèîô ËÌÈ ÍÔÓÂ, Â Ó È Â ÌË ÊÚ ÁÌ ÓË. ÕÚÈÛÙË Ï ÛË Â Ó È ÙÔ ÛËÌÂ Ô μ. ËÌÈÔ ÚÁ ÂÓfi ÌÂ - ÁÌ ÙÔ ÙÚÔÊ applefi 50 Kr «Cow Feed» Î È 5 Kr «Moo Buffet» ÂÍ ÛÊ - Ï ÂÈ ÙÈ apple ÈÙ ÛÂÈ ÙË ÈÙ ÌÂ ÎfiÛÙÔ ÌfiÏÈ 1.5 ÚËÌ ÙÈÎÒÓ ÌÔÓ - ˆÓ.. ÓÙÈÎ Ù ÛÙ ÛË ÙÔ ÛÎÂ ÛÌ ÙÔ ÙÚÔÊ «Cow Feed» applefi ÙÔ apple Ú - apple Óˆ ÌÂ ÁÌ Ô ËÁÂ ÙÔÓ μ ÛÈÏÂ Ô Û Ó ËÌÂÚ ÛÈÔ Î Ú Ô ÁÈ ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ ÎÔapple È ÙÔ Ô 1000 (1.50 1.5) = 50 ÚËÌ ÙÈÎÒÓ ÌÔÓ ˆÓ. 10 Εταιρεία προμηθε εται απ δ ο διαφορετικές πηγές ορυκτά, τα οποία στη συνέχεια επεξεργάζεται με σκοπ τη δημιουργία διαφ ρων μεταλλευμάτων. Οι τρέχουσες ανάγκες της ανέρχονται σε 800 Kr χαλκο, 600 Kr ψευδάργυρου και 500 Kr σιδήρου. Η ποσ τητα που το καθένα μετάλλευμα υπάρχει ανά 100 Kr ορυκτο μαζί με το κ στος αγοράς του δίνονται στον πιο κάτω πίνακα: Ορυκτ (100 Kr) Χαλκ ς (Kr) Ψευδάργυρος (Kr) Σίδηρος (Kr) Απώλειες (Kr) Κ στος (χ.μ.) Α 0 0 0 0 100 Β 0 5 10 5 10 1. Προσδιορίστε τις ποσ τητες που πρέπει να αγοραστο ν απ το κάθε ορυκτ σε τρ πο ώστε να ικανοποιο νται οι ανάγκες της εταιρείας με το μικρ τερο δυνατ κ στος.. Υποθέστε επιπλέον τι η συνολική απώλεια δεν πρέπει να ξεπερνά τα 1000 Kr. Δώστε το νέο (;) βέλτιστο σχέδιο αγοράς. ΛYΣH 1. Ì ÔÏ Ô ÌÂ ÌÂ x 1, x ÙËÓ appleôûfiùëù (100 Kr) ÙÔ ÔÚ ÎÙÔ, μ ÓÙ - ÛÙÔÈ appleô appleúôìëıâ ÂÙ È Ë ÂÙ ÈÚÂ. ΔÔ Û ÓÔÏÈÎfi ÎfiÛÙÔ ÙfiÙÂ ÁÔÚ ÙÔ ÔappleÔ Ô ı ÏÔ ÌÂ Ó ÂÏ ÈÛÙÔappleÔÈ ÛÔ ÌÂ Ó Ú ÂÙ È ÛÂ

Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα 100x 1 + 10x ÚËÌ ÙÈÎ ÌÔÓ Â. È appleâúèôúèûìô ÙÔ appleúô Ï Ì ÙÔ ÊÔÚÔ Ó ÙÈ Ë- ÙÔ ÌÂÓ appleôûfiùëùâ ÏÎÔ,  ÚÁ ÚÔ Î È ÛÈ ÚÔ : 0x 1 + 0x 800 ( ËÙÔ ÌÂÓË appleôûfiùëù ÏÎÔ ) 0x 1 + 5x 600 ( ËÙÔ ÌÂÓË appleôûfiùëù  ÚÁ ÚÔ ) 0x 1 + 10x 500 ( ËÙÔ ÌÂÓË appleôûfiùëù ÛÈ ÚÔ ) appleèappleï ÔÓ, x 1, x 0. x 50 1 0x 1 + 0x 800 0x 1 + 5x 600 3 0x 1 + 10x 500 3 0 B 1 A 0 30 0 z = 300 x 1 ÂÊÈÎÙ appleâúèô ÙÔ ÓˆÙ Úˆ apple.á.apple. ÔÚ ÂÙ È applefi Ù ÛËÌ (0, 0), μ(0, 10), (0, 50) Î È ÙÔ ıâùèîô ËÌÈ ÍÔÓÂ, Â Ó È Â ÌË ÊÚ ÁÌ ÓË ÂÓÒ Ô appleâúèôúèûìfi Â Ó È appleïâôó ˆÓ. ÕÚÈÛÙË Ï ÛË Â Ó È ÙÔ ÛËÌÂ Ô μ. ÁÔÚ,000 Kr ÙÔ ÔÚ ÎÙÔ Î È 1,000 Kr ÙÔ ÔÚ ÎÙÔ ÂÍ ÛÊ Ï ÂÈ ÙÈ apple ÈÙ ÛÂÈ ÙË ÂÙ ÈÚ Ì ÎfiÛÙÔ 300 ÚËÌ ÙÈÎÒÓ ÌÔÓ ˆÓ.

Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 5. appleúôûı ÎË ÙÔ appleâúèôúèûìô «0x 1 +5x 1000» ÛÙÔ appleúfi ÏËÌ, Î ıè- ÛÙ ÙËÓ ÂÊÈÎÙ appleâúèô ÙÔ ÎÂÓfi Û ÓÔÏÔ, F=Δ. TÔ Ó Ô apple.á.apple. ÂÓ ÂÈ ÂÊÈÎÙ Ï ÛÂÈ ( Ó ÙÔ apple.á.apple.). x 50 0 3 1 0x 1 + 0x 800 0x 1 + 5x 600 3 0x 1 + 10x 500 0x 1 + 5x 1000 0 1 0 5 30 0 x 1 11 Nα βρεθεί γραφικά η εφικτή περιοχή των πιο κάτω π.γ.π.: i) x + y 5 ii) x + y 8 iii) x + 5y +5z 0 x + y 8 3x + y 6 x + y + z 8 x, y 0 x, y 0 x, y, z 0 iv) x + y v) x + y 3 vi) 6x + y +9z 36 x + y 3x + y 6 x + 5y + z 0 x, y 0 x, y 0 x, y, z 0

6 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα ΛYΣH y 8 i) 6 1 x+y 5 x+y 8 F 1 6 x ii) y 8 6 1 x+ y 8 3x+y 6 1 F x

Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 7 z 8 iii) y 10 x

8 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα y 6 1 1 x+y x+y iv) F x y 1 x+ y 3 3x+y 6 v) F 1 x

Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 9 z 5 vi) 9 y 6 10 x 1 Δίνεται το π.γ.π. ταν max (x 1 +x ) x 1 3x 1 + 8x x 1 + x 6 x 1, x 0 1. Nα λυθεί γραφικά.. Ποια είναι η άριστη λ ση αν η αντικειμενική συνάρτηση είναι συνάρτηση ελαχιστοποίησης κι χι μεγιστοποίησης; ΛYΣH 1. ÙÔ Û Ì appleô ÎÔÏÔ ıâ ÓÂÙ È Ë ÁÚ ÊÈÎ apple Ú ÛÙ ÛË ÙË ÂÊÈÎÙ appleâúèô ÙÔ appleúô Ï Ì ÙÔ :