ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

184

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα στήλη (Β) ιδιότητες ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ύο απέναντι πλευρές είναι παράλληλες και άνισες τραπέζιο Οι διαγώνιοι είναι ίσες και τέµνονται κάθετα ρόµβος Είναι παραλληλόγραµµο και όλες οι πλευρές του είναι ίσες Το άθροισµα των γωνιών του είναι 400 Οι διαγώνιοί του είναι ίσες. 185

2. Να συµπληρώσετε τον πίνακα µε δύο οµοιότητες που αφορούν πλευρές, γωνίες ή διαγωνίους [στήλη (Β)] και δύο διαφορές [στήλη (Γ)] µεταξύ των ζευγών των σχηµάτων που αναγράφονται στη στήλη (Α). στήλη (Α) σχήµατα στήλη (Β) οµοιότητες στήλη (Γ) διαφορές Τετράγωνο - ρόµβος i)...... ii)...... i)..... ii)...... Τετράγωνο-ορθογώνιο i)...... ii)...... i)...... ii)...... Ορθογώνιο - ρόµβος i)...... ii)....... i).... ii). 186

3. Το ΑΒΓ είναι ένα τραπέζιο. Ένα άλλο τραπέζιο, ΕΖΗΘ (το οποίο δεν φαίνεται), είναι ίσο (έχει ίδιο σχήµα και µέγεθος) µε το ΑΒΓ. Οι γωνίες Ε και Θ είναι 70 η καθεµιά. Ποιο από τα παρακάτω θα µπορούσε να είναι το σωστό; α) ΕΖ = ΑΒ β) Η γωνία Ζ είναι ορθή γ) Όλες οι πλευρές του ΕΖΗΘ έχουν το ίδιο µήκος δ) Η περίµετρος του ΕΖΗΘ είναι 3 φορές η περίµετρος του ΑΒΓ. ε) Οι γωνίες Ζ και Η είναι παραπληρωµατικές. όθηκε στην 3 η ιεθνή Έρευνα για τα Μαθηµατικά και τις Φυσικές Επιστήµες (Ι.Ε.Α.). 4. Στο τραπέζιο ΑΒΓ είναι Α = = 90 και Β = 60. Αν Γ = 2x και ΒΓ = 8x, η διάµεσος ΕΖ του τραπεζίου ισούται µε: α) 3x β) 4x γ) 5x δ) 6x ε) 7x 5. Στο ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 5x, Γ = 3x και Α = 60. Η περίµετρος του τραπεζίου είναι: α) 10x β) 11x γ) 12x δ) 13x ε) 14x 187

6. Για να είναι ένα τετράπλευρο ορθογώνιο παραλληλόγραµµο πρέπει: α) Να έχει δύο γωνίες ορθές β) Οι διαγώνιοί του να διχοτοµούνται γ) Να είναι παραλληλόγραµµο µε µια γωνία ορθή δ) Να έχει τις απέναντι γωνίες του ίσες ε) Να έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες. 7. Ένα παραλληλόγραµµο δεν είναι ρόµβος όταν: α) ύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες β) Οι διαγώνιοί του τέµνονται καθέτως γ) Οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες δ) ύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες ε) Όλες οι πλευρές του είναι ίσες. 8. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α = 90 και Β = 35. Αν ΑΜ διάµεσος του ΑΒΓ τότε η γωνία ΑΜΒ ισούται µε: α) 55 β) 70 γ) 110 δ) 100 ε) 125 9. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α και το Α ύψος του. Αν Μ είναι µέσο της ΑΒ και Ν µέσο της ΑΓ τότε η περίµετρος του τετραπλεύρου ΑΜ Ν ισούται µε: α) ΑΓ + ΒΓ β) ΑΒ + ΒΓ γ) ΑΒ + ΑΓ δ) 2ΑΜ ε) ΑΒ + ΑΓ + ΒΓ 188

10. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α και Α ΒΓ, Ζ ΑΓ, Ε ΑΒ, τότε: α) ΕΖ = Ζ β) ΕΖ = ΑΖ γ) ΕΖ = ΖΓ δ) ΕΖ = Α ε) ΕΖ = Γ 11. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι σκαληνό. Το είναι τυχαίο σηµείο της ΒΓ. Αν Ε ΑΒ, Ζ ΑΓ και Μ µέσο της Α, τότε το πλήθος των ισοσκελών τριγώνων που ορίζονται από τα πέντε σηµεία Α, Ε,, Ζ, Μ είναι: α) 2 β) 3 γ) 4 δ) 5 ε) 6 12. Αν στο διπλανό σχήµα το ΑΒΓ είναι τετράγωνο και ΒΕ = Ζ, τότε το πλήθος των παραλληλογράµµων του σχήµατος είναι: α) 1 β) 2 γ) 3 δ) 4 ε) 5 189

13. Αν το διπλανό τραπέζιο είναι ισοσκελές τότε το ύψος του ισούται µε: α) 4x β) 3x γ) 2x δ) x x ε) 2 14. Να αποδείξετε ότι: α) τα µέσα των πλευρών ρόµβου είναι κορυφές ορθογωνίου. β) τα µέσα των πλευρών τετραγώνου είναι κορυφές άλλου τετραγώνου 15. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνουµε τις διαµέσους ΒΜ και ΓΝ και στις προεκτάσεις τους παίρνουµε ευθύγραµµα τµήµατα Μ = ΒΜ και ΝΕ = ΓΝ. Να αποδείξετε ότι: α) Α = ΑΕ, β) τα σηµεία Α,, Ε βρίσκονται στην ίδια ευθεία. 16. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και από τις απέναντι κορυφές του Α και Γ φέρνουµε καθέτους ΑΕ και ΓΖ στη διαγώνιο Β. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα Α Ε και ΓΒΖ είναι ίσα. β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραµµο. 17. Να αποδείξετε ότι η διχοτόµος της ορθής γωνίας ορθογωνίου τριγώνου διχοτοµεί τη γωνία που σχηµατίζεται από το ύψος και τη διάµεσο που αντιστοιχούν στην υποτείνουσα. 18. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Από το µέσο Μ της ΒΓ γράφουµε ευθύγραµµο τµήµα Μ ίσο και παράλληλο προς την ΒΑ και ένα άλλο ΜΕ ίσο και παράλληλο προς την ΓΑ (τα σηµεία και Ε βρίσκονται στο ηµιεπίπεδο που ορίζεται από τη ΒΓ και το σηµείο Α). Να αποδείξετε ότι: α) Τα σηµεία, Α, Ε βρίσκονται στην ίδια ευθεία β) Α = ΑΕ γ) Η περίµετρος του τριγώνου Μ Ε ισούται µε την περίµετρο του ΑΒΓ. 190

19. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α. Από τυχαίο σηµείο Μ της βάσης του γράφουµε ΜΕ παράλληλη προς την ΑΓ και Μ παράλληλη προς την ΑΒ (τα σηµεία Ε και ανήκουν στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα). Να αποδείξετε ότι: α) Καθεµιά από τις ίσες πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου ισούται µε το άθροισµα δύο διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράµµου που σχηµατίζεται. β) Το άθροισµα των περιµέτρων των δύο τριγώνων ΕΒΜ και ΜΓ ισούται µε την περίµετρο του ΑΒΓ. 20. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α. Στην προέκταση της ΒΓ παίρνουµε σηµείο Μ από το οποίο γράφουµε ευθείες παράλληλες προς τις ΑΒ και ΑΓ που τέµνουν τις προεκτάσεις των ΑΓ και ΑΒ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι η διαφορά δύο πλευρών του σχηµατιζόµενου παραλληλογράµµου ισούται µε καθεµιά από τις ίσες πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ. 21. Τα µήκη των πλευρών ενός παραλληλογράµµου είναι: 15 - x, x + 5, 2x + 10, x + 15. Να υπολογισθεί ο x. 22. Τα µέτρα των διαδοχικών γωνιών ενός τετραπλεύρου είναι: 4x, 3x, 2x, x. α) Να υπολογιστούν οι γωνίες του τετραπλεύρου. β) Να προσδιοριστεί το είδος του τετραπλεύρου. 23. Τέµνουµε ένα τρίγωνο µε µια ευθεία. Πώς πρέπει να γίνει η τοµή ώστε τα δύο σχήµατα που θα προκύψουν τοποθετούµενα το ένα δίπλα στο άλλο κατάλληλα να δίνουν ένα παραλληλόγραµµο; ικαιολογήστε την απάντησή σας. 191

24. Έχουµε τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα. Αν τα τοποθετήσουµε κατάλληλα το ένα δίπλα στο άλλο, τι είδους τετράπλευρα κατασκευάζουµε; Να γίνουν τα σχήµατα. 25. Σε τραπέζιο ΑΒΓ είναι ΑΒ // Γ και ΑΒ = Α. είξτε ότι η Β είναι διχοτόµος της γωνίας. 26. Το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο. Στην προέκταση της ΑΒ παίρνουµε τµήµα ΒΕ = ΑΒ και στην προέκταση της Α τµήµα Ζ = Α. Αποδείξτε ότι η ΕΖ διέρχεται από το Γ. 27. Το ΑΒΓ του σχήµατος είναι παραλληλόγραµµο µε Ο σηµείο τοµής των διαγωνίων του. Αν ΟΕ = ΟΖ, αποδείξτε ότι: α) Ε = ΒΖ β) το ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο. 28. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Η σηµείο της πλευράς ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΗ = ΒΓ. 4 Αν Ε είναι το µέσο της διαµέσου Β, αποδείξτε ότι ΗΕ = // AB. 4 29. Οι διαγώνιοι ενός τετραπλεύρου ΑΒΓ είναι ίσες. Αν Κ, Λ, Μ, Ν είναι τα µέσα των πλευρών του, αποδείξτε ότι το ΚΛΜΝ είναι ρόµβος. 30. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε γωνία Β = 45. Από το µέσο Μ της ΒΓ φέρνουµε κάθετη πάνω στη ΒΓ και έστω Ε και Ζ τα σηµεία στα οποία αυτή τέµνει τις ΑΒ και Γ (ή τις προεκτάσεις τους) αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι το ΕΒΖΓ είναι τετράγωνο. 192

31. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ µε βάσεις ΑΒ, Γ και ΑΒ = 2 3 Γ. Αν Ε, Ζ, Η είναι τα µέσα των Γ, ΒΕ, Α αντιστοίχως, να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΗΖΓ είναι παραλληλόγραµµο. Αν Θ είναι το σηµείο τοµής της ΑΒ και της προέκτασης της ΓΖ, να αποδειχθεί ότι το ΘΒ ισούται µε τη διαφορά των βάσεων του τραπεζίου. 32. ίνεται το τραπέζιο ΑΒΓ µε βάσεις ΑΒ και Γ και ΑΒ < Γ. Παίρνουµε τυχαίο σηµείο Μ της Γ και το ενώνουµε µε τα µέσα Ε και Ζ των Α και ΒΓ αντιστοίχως. Στις προεκτάσεις των ΜΖ και ΜΕ παίρνουµε αντιστοίχως ευθύγραµµα τµήµατα ΖΗ = ΖΜ και ΕΘ = ΕΜ. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Θ, Α, Β, Η είναι συνευθειακά. 33. Σε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ είναι Α = 120 και η διχοτόµος της γωνίας τέµνει την ΑΒ στο µέσον της Ε. Ι. Η γωνία είναι: α) 30 β) 40 γ) 50 δ) 60 ε) 70 ΙΙ. Αποδείξτε ότι το τρίγωνο Α Ε είναι ισοσκελές ΙΙΙ. Αν ΑΒ = κ.α το κ ισούται µε: 1 1 α) 1 β) 2 γ) δ) 3 ε) 2 3 ΙV. Αν ΕΖ Γ αποδείξτε ότι Ε = 2ΕΖ. 34. Κατασκευάστε κυρτό τετράπλευρο µε ΑΒ // Γ (ΑΒ < Γ ) και Α = ΒΓ. Από το φέρνουµε Ζ κάθετη στη ΒΓ και από τυχαίο σηµείο της βάσης του Γ, έστω Η, φέρνουµε κάθετη ΗΘ στην Α, την ΗΕ κάθετη στη ΒΓ και την ΗΙ κάθετη στη Ζ. α) Το τετράπλευρο ΑΒΓ λέγεται... β) Το τετράπλευρο ΗΙΖΕ είναι... γ) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΗΘ και ΙΗ. δ) Να συµπληρώσετε την ισότητα: Θ =... =... ε) Αποδείξτε ότι το άθροισµα Θ + ΓΕ είναι σταθερό. 193

35. Κατασκευάστε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ µε ΑΒ // Γ. Έστω Ε το µέσον της Α και Ζ το µέσον της ΒΓ. Η διχοτόµος της γωνίας Β τέµνει την ΕΖ στο Η. α) Το τετράπλευρο ΑΒΓ λέγεται... β) Η ΕΖ λέγεται... και ισούται µε... γ) Αποδείξτε ότι το τρίγωνο ΒΗΖ είναι ισοσκελές. ) Συµπληρώσετε τις ισότητες: ΗΖ =... =... ε) είξτε ότι η ΓΗ είναι διχοτόµος της γωνίας Γ. 36. Σε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ προεκτείνουµε την πλευρά του Α κατά τµήµα ΑΗ = Α. Φέρνουµε τη διχοτόµο της που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Αποδείξτε ότι το τρίγωνο Α Ζ είναι ισοσκελές β) Συµπληρώστε τις ισότητες: Α =... =... γ) Αποδείξτε ότι η γωνία ΖΗ είναι ορθή. 37. Οι γωνίες Β και τετραπλεύρου ΑΒΓ είναι ορθές. Αν Κ και Λ είναι τα µέσα των διαγωνίων ΑΓ και Β, να δείξετε ότι ΚΛ Β. Λύση: (Γράψτε τις παρακάτω προτάσεις στη σωστή σειρά ώστε να προκύψει η λύση του προβλήµατος). Ενώνουµε το Κ µε τα Β και ΑΓ Όµοια Κ = 2 Επειδή ΒΚ ισοσκελές και ΚΛ διάµεσος Το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και επειδή ΚΑ = ΚΓ θα είναι ΚΒ = θα είναι και ύψος δηλαδή ΚΛ Β Άρα ΚΒ = Κ και το ΒΚ ισοσκελές ΑΓ 2 194

38. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε το ύψος ΑΗ. Αν, Ε, Ζ είναι τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι το ΕΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Λύση: (Γράψτε τις παρακάτω προτάσεις στη σωστή σειρά ώστε να προκύψει η λύση του προβλήµατος). Άρα αποµένει να αποδείξουµε ακόµη ότι ΕΖ = Η ΑB Όµως είναι και Η =, γιατί Η είναι διάµεσος του ορθογωνίου ΑΗΒ 2 και ισούται µε το µισό της υποτείνουσας Άρα έχουµε ΖΕ = Η ΑB Το τµήµα ΕΖ συνδέει τα µέσα των ΑΓ και ΓΒ και είναι ΕΖ = 2 Επειδή το Ε συνδέει τα µέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ, θα είναι Ε // ΒΓ και το ΕΖΗ θα είναι τραπέζιο 39. ίνονται οι προτάσεις: α) Σε κάθε παραλληλόγραµµο οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωµατικές. β) Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο αν οι δύο πλευρές του είναι ίσες. γ) Σε κάθε παραλληλόγραµµο οι διαγώνιοί του διχοτοµούνται. Από αυτές µία µόνο είναι σωστή. Επιλέξτε τη σωστή και αποδείξτε τη. 40. Σε καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις υπάρχει κάποιο λάθος. Βρείτε το και δικαιολογήστε την απάντησή σας. α) Η µεγαλύτερη διαγώνιος ενός παραλληλογράµµου µπορεί να είναι ίση µε το άθροισµα δύο διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράµµου. β) Αν δύο γωνίες ενός τετραπλεύρου είναι ίσες, τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο. γ) ύο διαδοχικές γωνίες ενός παραλληλογράµµου είναι οξείες. 195

41. Συµπληρώστε τις προτάσεις: α) Το παραλληλόγραµµο που έχει ίσες διαγωνίους λέγεται. β) Το παραλληλόγραµµο που είναι ορθογώνιο και ρόµβος λέγεται. γ) Στο τετράγωνο οι διαγώνιοι έχουν τις παρακάτω ιδιότητες: i)... ii)... iii)... 42. Από τις παρακάτω προτάσεις η µία είναι λανθασµένη. Ποια είναι αυτή; Πώς πρέπει να διατυπωθεί για να γίνει σωστή; α) Οι διαγώνιοι ενός τετραγώνου σχηµατίζουν µε τις πλευρές του γωνία 45. β) Το τετράγωνο είναι και ρόµβος. γ) Κάθε παραλληλόγραµµο που η µια γωνία του είναι ορθή είναι τετράγωνο. 43. Εξετάστε αν ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει δύο γωνίες ορθές β) έχει τις διαγώνιούς του κάθετες γ) είναι παραλληλόγραµµο και έχει τις διαγώνιούς του ίσες. ικαιολογήστε την απάντησή σας. 44. Μια ευθεία (ε) τέµνει τις πλευρές ενός τριγώνου και χωρίζει το τρίγωνο σε ένα τετράπλευρο και σε ένα τρίγωνο. Να γράψετε τις προϋποθέσεις, που αφορούν το είδος του τριγώνου και τη σχετική θέση της ευθείας, ώστε το τετράπλευρο να είναι: α) τραπέζιο, β) ισοσκελές τραπέζιο. 196