ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση 1. Κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Οχ διαδίδεται αρμονικό κύμα. H εξίσωση ταάντωσης του σημείου Ο της θέσης x = 0 (πηγή) είναι y= Aηµω t. Το υικό σημείο Α που απέχει από την πηγή x = Α. έχει γραφική παράσταση απομάκρυνσης σε σχέση με το χρόνο όπως στο διάγραμμα α1) α) α3) 1
Β. το σημείο Α έχει φάση β1) μεγαύτερη από το σημείο της θέσης x = 0. β) μικρότερη από το σημείο της θέσης x = 0 κατά ακέραιο ποαπάσιο του π. β3) μικρότερη από το σημείο της θέσης x = 0 κατά π. Να επιέξετε τις σωστές απαντήσεις. Να αιτιοογήσετε τις επιογές σας. Λύση Α. Σωστή απάντηση είναι η α. x Τ Το υικό σημείο Α αρχίζει να τααντώνεται τη χρονική στιγμή t 1 = = =. υ υ Φυσικά, για t < t1 ισχύει y= 0 Β. Σωστή απάντηση είναι η β3. Το υικό σημείο Α απέχει από την πηγή x = και η φάση του είναι: t t 1 ϕ A = π ϕ A = π T T Άρα η διαφορά φάσης με την πηγή είναι: πt t 1 ϕo-ϕ A = π π ϕo-ϕ A =π ϕ A =ϕo-π T T
Ερώτηση. Κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Οχ διαδίδεται αρμονικό κύμα. Το σημείο της θέσης x = 0 τη χρονική στιγμή t = 0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα. Τη 5T χρονική στιγμή t = το σημείο της θέσης x = έχει ταχύτητα με μέτρο 4 1) υ= 0. ) υ=υ max (μέγιστη). 3) 0 <υ<υ max. Να επιέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Λύση Σωστή απάντηση η 1. Το κύμα για να φτάσει στη θέση x Τ = χρειάζεται χρόνο ίσο με. Άρα το υικό σημείο αυτό αρχίζει να τααντώνεται τη χρονική στιγμή Τ, με θετική ταχύτητα. Συνεπώς, τη χρονική στιγμή 5T T 3T ίσο με t = =. 4 4 5T t' = έχει τααντωθεί για χρονικό διάστημα 4 Άρα το υικό σημείο αυτό θα βρίσκεται σε αρνητική απομάκρυνση με μέγιστο μέτρο (y = A) και η ταχύτητά του θα είναι μηδέν. Β Τρόπος: Με αντικατάσταση των δεδομένων: x t x y= Aηµ π T παίρνουμε: = και 5T t = στη γενική εξίσωση του κύματος 4 5T 5 1 3 3π y= Aηµ π y= Aηµ π y= Aηµ π y= Aηµ 4T 4 4 y = A Άρα, αφού το υικό σημείο βρίσκεται σε ακραία θέση θα έχει ταχύτητα μηδέν. 3
Ερώτηση 3. Κατά μήκος ενός γραμμικού εαστικού μέσου διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα με φορά προς την κατεύθυνση του θετικού ημιάξονα Οχ. Το σημείο της θέσης x = 0 τααντώνεται σύμφωνα με τη σχέση y = 0, 05 ηµ (8π t) (S.I.). Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t 1, κατά την οποία το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση 3m. Η ταχύτητα ( υ ) διάδοσης του κύματος στο εαστικό μέσο, είναι 1) m υ= 8. s ) m υ= 1. s 3 m 3) υ=. 4 π s Να επιέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η 1. Από τη σύγκριση της σχέσης y = 0,05 ηµ (8π t), με τη γενική εξίσωση των απών αρμονικών τααντώσεων, y = A ηµ (π ft) προκύπτει: π ft = 8π t, συνεπώς, f = 4Hz, και 1 T= s. 4 3 Σύμφωνα με το διάγραμμα, το κύμα έχει διανύσει απόσταση x = ή x = 3m, που T 1 1 3 αντιστοιχεί σε χρονικό διάστημα t = T+ ή t = s+ s t = s 4 8 8 4
Άρα x m υ= υ= 8. t s Συνεπώς η απάντηση 1 είναι η σωστή. 5
Ερώτηση 4. Κατά μήκος του χ Οχ διαδίδεται αρμονικό κύμα. Το σημείο της θέσης x = 0 τααντώνεται σύμφωνα με τη σχέση y= Aηµω t. Η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων που βρίσκονται στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος 1) αυξάνεται σε σχέση με το χρόνο. ) είναι ανεξάρτητη από το χρόνο. 3) μειώνεται σε σχέση με το χρόνο. Να επιέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Λύση Σωστή είναι η πρόταση. Οι εξισώσεις των φάσεων για τα δύο σημεία A και B είναι: x A t ϕ Α = π( ) και T x B t ϕ Β = π( ) T Με αφαίρεση προκύπτει: t x t x x x ϕα ϕ B = π( ) π( ) ϕ ϕ = π T T A B B A Α B Άρα η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο σημείων είναι ανεξάρτητη του χρόνου. 6
Ερώτηση 5. Το διάγραμμα 1 παριστάνει το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος μια δεδομένη χρονική στιγμή t, ενώ το διάγραμμα παριστάνει την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση µε το χρόνο, ενός δεδομένου σημείου Α του εαστικού μέσου, στο οποίο διαδίδεται το παραπάνω κύμα. Από τη μεέτη των δύο διαγραμμάτων προκύπτει ότι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι α) cm 0,1 s. β) cm 1 s. γ) cm s. Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιοογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Από το 1 ο διάγραμμα προκύπτει: 5 = 5cm = cm Από το ο διάγραμμα προκύπτει: s 1s = T T = 1s f = 1Hz Από τη θεμειώδη εξίσωση της κυματικής προκύπτει: υ= f = cm / s 7
8
Ερώτηση 6. Το διάγραμμα 1 παριστάνει το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος μια δεδομένη χρονική στιγμή t, ενώ το διάγραμμα παριστάνει την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση µε το χρόνο, ενός δεδομένου σημείου Α του εαστικού μέσου, στο οποίο διαδίδεται το παραπάνω κύμα. Τη χρονική στιγμή t που αντιστοιχεί το παραπάνω στιγμιότυπο, η πηγή και το υικό σημείο Α περνούν από τη θέση ισορροπίας τους με α) αρνητική ταχύτητα. β) αντίθετες ταχύτητες. γ) θετική ταχύτητα. Να επιέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η α. Από το διάγραμμα παρατηρούμε ότι το υικό σημείο Α άρχισε να τααντώνεται τη χρονική στιγμή t = T, οπότε απέχει από την πηγή απόσταση x =. Άρα σημείο Α και πηγή είναι σε συμφωνία φάσης. Το στιγμιότυπο του διαγράμματος 1 δείχνει ότι το κύμα έχει διαδοθεί κατά +, άρα T το στιγμιότυπο αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή t = + T. Αυτή τη χρονική στιγμή η πηγή έχει κάνει δύο πήρεις τααντώσεις και μισή επί πέον ταάντωση, άρα διέρχεται 9
από τη θέση ισορροπίας με αρνητική ταχύτητα. Την ίδια χρονική στιγμή, το ίδιο κάνει και το σημείο Α, εφόσον είναι σε συμφωνία φάσης με την πηγή, όπως προαναφέρθηκε. 10
Ερώτηση 7. Στο διπανό σχήμα η πηγή Ο παράγει αρμονικό κύμα που διαδίδεται πάνω σε γραμμικό U εαστικό μέσο με ταχύτητα υ. Δύο σημεία Α,Β του μέσου βρίσκονται πάνω στη ευθεία Ο Β Α χ διάδοσης και έχουν φάσεις 4 ϕ = π A και 3 ϕ = π B. 3 Α. Να βρείτε αν υπάρχει άθος στο σχήμα ως προς τις θέσεις των σημείων Α και Β σε σχέση με την πηγή Ο, και αν ναι να το διορθώσετε φτιάχνοντας το σωστό σχήμα. Να δικαιοογήσετε την απάντησή σας. Β. Τη χρονική στιγμή που το σημείο Α βρίσκεται στη μέγιστη θετική του απομάκρυνση, το σημείο Β θα βρίσκεται στη θέση α) y = Α. β) y = Α. γ) y= 0. Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Λύση A. Πιο κοντά στην πηγή είναι το υικό σημείο Α. t x Από τη σχέση ϕ= π( - ), φαίνεται ότι όσο πιο μακριά από την πηγή είναι ένα υικό T σημείο τόσο μικρότερη φάση έχει. Συνεπώς το σημείο με τη μεγαύτερη φάση θα είναι πιο κοντά στην πηγή. Η σωστή θέση των σημείων Α και Β φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: U Ο Α Β x 11
B. Σωστή απάντηση είναι η β. Επειδή η διαφορά φάσης των δύο σημείων είναι ίση με π, θα βρίσκονται σε αντίθεση φάσης. Συνεπώς το σημείο Β θα βρίσκεται σε απομάκρυνση y = Α. 1
Ερώτηση 8. Μια πηγή κυμάτων Ο αρχίζει την χρονική στιγμή t = 0, να εκτεεί απή αρμονική ταάντωση, πάτους Α, περιόδου T και αρχικής φάσης ϕ 0 = 0. Το στιγμιότυπο του κύματος, τη χρονική στιγμή t = T, είναι όπως το διάγραμμα Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. 13
Σε χρόνο μιας περιόδου το κύμα διαδίδεται κατά ένα μήκος κύματος. Αυτό συμβαίνει στα στιγμιότυπα β, γ. Σε ένα κύμα κάθε υικό σημείο επανααμβάνει την κίνηση του προηγούμενού του. Στο διάγραμμα β, το σημείο της θέσης x = δείχνεται να ξεκινά ταάντωση προς τα κάτω, ενώ στο διάγραμμα γ, δείχνεται να ξεκινά προς τα πάνω. Επειδή η πηγή τααντώνεται σύμφωνα με τη σχέση y= Aηµω t, αυτό σημαίνει ότι σε κάθε σημείο που φτάνει η διαταραχή αυτό ξενικά αρμονική ταάντωση προς τα θετικά. Άρα σωστό διάγραμμα είναι το γ. 14
Ερώτηση 9. Δύο μεγάφωνα Μ 1 και Μ τροφοδοτούνται από την ίδια γεννήτρια συχνοτήτων και τοποθετούνται όπως στο σχήμα. Ένας ανιχνευτής ήχου τοποθετείται στο σημείο Α. Μ 1 40m A 90 0 9m 41m Μ Καθώς η συχνότητα της γεννήτριας αυξάνεται σιγά - σιγά από 00Hz 1000Hz διαπιστώνεται ότι ο ανιχνευτής Α καταγράφει σειρά ενισχύσεων και αποσβέσεων. Οι 40m M A = 41m, ενώ η αποστάσεις του ανιχνευτή από τις πηγές είναι ( M1A) ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι πρώτη απόσβεση είναι α) 00Hz. β) 510Hz. γ) 850Hz. = και ( ) m 340 s. Η συχνότητα για την οποία παρατηρείται η Να επιέξτε τη σωστή απάντηση. Να αιτιοογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η β. Για να συμβαίνει απόσβεση πρέπει για τα κύματα που φτάνουν από τα δύο μεγάφωνα ( K + 1) υ στον ανιχνευτή να ισχύει η σχέση : r1 r =. Αντικαθιστώντας, =, f m r1 = 41m, r = 40m και υ= 340 παίρνουμε: s υ 340m / s 41m 40m = ( K + 1) 1m = ( K + 1) f = ( K + 1) 170 Hz f f Για K = 0 βρίσκουμε f = 170Hz η οποία απορρίπτεται γιατί είναι μικρότερη από 00Hz. Για K = 1 βρίσκουμε f = 510Hz που είναι η ζητούμενη, ενώ για K = βρίσκουμε f = 850Hz κπ. 15
Ερώτηση 10. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π 1 και Π τααντώνονται κάθετα στην επιφάνεια ενός υγρού με το ίδιο πάτος Α, παράγοντας αρμονικά κύματα συχνότητας f και μήκους κύματος. Ένα σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού απέχει r 1 = 4 από την πηγή Π 1 και r = 7 από την πηγή Π. Το πάτος ταάντωσης του υικού σημείου Σ, αφού συμβάουν σε αυτό τα κύματα, ισούται με: α) Α. β) Α. γ) 3Α. Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η β. Η διαφορά των αποστάσεων του σημείου από την πηγή είναι 1 r r r 3 = =, δηαδή ακέραιο ποαπάσιο μήκους κύματος. Συνεπώς έχουμε ενισχυτική συμβοή και πάτος ταάντωσης ίσο με Α. 16
Ερώτηση 11. Κατά μήκος χορδής μήκους L, που η μια της άκρη είναι ακόνητα στερεωμένη, έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, με το εεύθερο άκρο της να είναι κοιία. Α. Το μήκος της χορδής μπορεί να είναι α) L κ =. κ β) L = +. 4 γ) L = κ. Β. Αν Α είναι το πάτος των αρμονικών κυμάτων που συμβάουν και παράγεται το στάσιμο κύμα, τότε η σχέση που δίνει τη μέγιστη ταχύτητα με την οποία τααντώνονται οι κοιίες, είναι: α) υ max = ωα. β) υ max = ωα. γ) υ max = ωασυνω t. Να επιέξετε τις σωστές απαντήσεις. Να δικαιοογήσετε τις επιογές σας. Λύση Α. Σωστή απάντηση είναι η β. Το ένα άκρο της χορδής είναι ακόνητο, οπότε εκεί θα υπάρχει δεσμός. Στο άο άκρο, σύμφωνα με την εκφώνηση, δημιουργείται κοιία. Η απόσταση μεταξύ μιας κοιίας και ενός δεσμού είναι 4, άρα το μήκος της χορδής θα πρέπει να είναι περιττό ποαπάσιο του 4. Διαιρώντας το μήκος χορδής με το 4 βρίσκουμε περιττό αριθμό μόνο στο β. K (K + 1) L = + = 4 4 Β. Σωστή η απάντηση είναι η β. 17
Η μέγιστη ταχύτητα ενός υικού σημείου που εκτεεί αρμονική ταάντωση δίνεται από τη σχέση = ωα, με A, να δηώνει το πάτος ταάντωσής του. Οι κοιίες υ max τααντώνονται με πάτος Α 0 = Α. Με αντικατάσταση εύκοα προκύπτει υ max = ωα. 18
Ερώτηση 1. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Ο 1 και Ο δημιουργούν κύματα ίδιου πάτους Α και μήκους κύματος Σ από τις πηγές ισχύει r 1 r = 4cm, τότε το σημείο Σ α) τααντώνεται με πάτος Α. β) τααντώνεται με πάτος A. γ) παραμένει ακίνητο. = 0,5cm. Αν για τις αποστάσεις r 1 και r ενός σημείου Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η α. Γνωρίζουμε ότι για να συμβεί ενισχυτική συμβοή πρέπει να ισχύει η σχέση r 1 r = Ν. Αυτό πράγματι ισχύει γιατί r1 r = 4cm r 1 r = 8 0,5cm r 1 r = 8, όπου = 0,5cm. Συνεπώς το υικό σημείο Σ εκτεεί σύνθετη ταάντωση μεγίστου πάτους. 19
Ερώτηση 13. Κατά μήκος χορδής, που έχει στερεωμένο το ένα της άκρο, διαδίδεται ο παμός του σχήματος. Όταν ο παμός φτάσει στο σημείο Κ, τότε ο τοίχος θα ασκήσει δύναμη στο σχοινί που θα έχει την κατεύθυνση της α) F 1. β) F. γ) F 3. δ) F 4. Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Σε ένα κύμα (ή παμό) κάθε υικό σημείο επανααμβάνει την κίνηση του προηγούμενού του. Ο παμός του σχήματος κινείται προς τα δεξιά και η μορφή του δηώνει ότι σε κάθε σημείο που φθάνει αυτό κινείται προς τα πάνω. Έτσι, όταν ο παμός φτάσει στο σημείο Κ θα τραβήξει προς τα πάνω το πρώτο μόριο του σημείου στήριξης. Σύμφωνα με τον 3 ο νόμο του Νεύτωνα το σημείο στήριξης θα ασκήσει στο άκρο του σχοινιού αντίθετη δύναμη. 0
Ερώτηση 14. Κατά μήκος ομογενούς εαστικής χορδής αποκαθίσταται στάσιμο κύμα που πx περιγράφεται από την εξίσωση : y= 4 συν( ) ηµ 6π t, όπου x, y σε cm και t σε s. 10 Α. Η συχνότητα των κυμάτων που συμβάουν είναι α) 6Hz. β) 3Hz. γ) 10Hz. Β. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών είναι α) 5cm. β) 1 cm. 5 γ) 10cm. Να επιέξετε τις σωστές απαντήσεις. Να δικαιοογήσετε τις επιογές σας. Λύση Α. Σωστή απάντηση είναι η β. πx Από τη σύγκριση της εξίσωσης y= 4 συν( ) ηµ 6π t με τη γενική εξίσωση των 10 πx πt στάσιμων κυμάτων y = A συν( ) ηµ ( ), έχουμε: T π t = 6 π t π f = 6 π f = 3Hz T Β. Σωστή απάντηση είναι η γ. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών σε ένα στάσιμο είναι. 1
πx Από τη σύγκριση της εξίσωσης y= 4 συν( ) ηµ 6π t με τη γενική εξίσωση των 10 πx πt στάσιμων κυμάτων y = A συν( ) ηµ ( ), έχουμε: T πx πx =, από όπου προκύπτει = 0cm. Συνεπώς η απόσταση μεταξύ δύο 10 διαδοχικών δεσμών είναι d = = 10cm.
Ερώτηση 15. Δύο κύματα που διαδίδονται πάνω στην ίδια ευθεία έχουν εξισώσεις: π π y1 = 4 ηµ (10π t - x) και y = 5 ηµ (10π t + x). 6 6 Από τη συμβοή των δύο παραπάνω κυμάτων: α) δεν μπορεί να προκύψει στάσιμο κύμα. β) θα δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, γιατί τα δύο κύματα διαδίδονται στην ίδια διεύθυνση με αντίθετες φορές, έχουν ίδιες συχνότητες και ίδιο μήκος κύματος. γ) θα δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, γιατί τα δύο κύματα έχουν ίδιες συχνότητες, και διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιοογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η α. Για να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, είναι απαραίτητο τα κύματα που συμβάουν να διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις και να έχουν όα τα άα στοιχεία τους (πάτος, συχνότητα, ταχύτητα) ίσα. Τα εν όγω κύματα διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις, έχουν ίσες συχνότητες, ίσες ταχύτητες διάδοσης αά δεν έχουν ίσα πάτη. Συνεπώς θα συμβάουν, αά δεν θα προκύψουν σημεία που να παραμένουν ακίνητα, δηαδή στάσιμο κύμα. 3
Ερώτηση 16. Το ηεκτρικό πεδίο ενός ηεκτρομαγνητικού κύματος περιγράφεται από την εξίσωση ( ) 10 E 60 (1 10 t 4 10 x) SI = ηµ π. Η σχέση που περιγράφει το μαγνητικό πεδίο του παραπάνω ηεκτρομαγνητικού κύματος είναι 7 10 ) B 10 (1 10 t - 4 10 x)(s.i.) α = ηµ π β = ηµ π 7 10 ) B 4 10 (1 10 t - 4 10 x)(s.i.) γ = ηµ π 8 10 ) B 3 10 (1 10 t - 4 10 x)(s.i.) Λύση Σωστή απάντηση είναι η α. Η διαφορά μεταξύ των απαντήσεων είναι η τιμή του Β 0, άρα αρκεί να υποογίσουμε το Β 0. Η εξίσωση του μαγνητικού πεδίου θα είναι: 10 B = B0ηµ π(1 10 t - 4 10 x) Ισχύει E c 0 B =. 0 Η ταχύτητα του φωτός βρίσκεται από τα στοιχεία της δοθείσας εξίσωσης. 10 Από τη σύγκριση της εξίσωσης E 60 (1 10 t 4 10 x) ( S.I. ) = ηµ π με τη γενική εξίσωση του ηεκτρικού πεδίου του ηεκτρομαγνητικού κύματος x E = E ηµ π(f t ) S.I. έχουμε: 0 ( ) f 1 = m. 4 10 10 = 1 10 Hz και Με εφαρμογή της θεμειώδους εξίσωσης της κυματικής βρίσκουμε την ταχύτητα διάδοσης του ηεκτρομαγνητικού κύματος. 1 m υ= = ( ) υ= = 4 10 m s 10 8 f 1 10 Hz 3 10 c Άρα, E c 60V / m 3 10 m / s 0 7 B0 = = B 8 0 = 10 T 4
Ερώτηση 17. (Η άσκηση δόθηκε από τον κ. Αντώνιο Παόγο) Ένα ηεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του οριζοντίου άξονα. Σε ένα σημείο του χώρου η φάση του ηεκτρικού πεδίου περιγράφεται από τη ϕ= π f t 1 (S.I). σχέση ( ) Στο σημείο του χώρου, όπου το ηεκτρικό πεδίο του ηεκτρομαγνητικού κύματος παρουσιάζει την παραπάνω φάση, η ένταση του ηεκτρικού πεδίου α) είναι σε συμφωνία φάσης με την ένταση του μαγνητικού πεδίου. β) παρουσιάζει διαφορά φάσης π με την ένταση του μαγνητικού πεδίου. γ) είναι χρονικά σταθερή. Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιοογήσετε την επιογή σας. Λύση Σωστή είναι η απάντηση β. Σε ένα ηεκτρομαγνητικό κύμα, κοντά στην πηγή η ένταση του ηεκτρικού πεδίου παρουσιάζει διαφορά φάσης π με την ένταση του μαγνητικού, ενώ μακριά από την πηγή οι δύο εντάσεις είναι σε συμφωνία φάσης. Από τη σύγκριση της δοθείσας εξίσωσης t x ϕ= π( ft 1) με την γενική εξίσωση της φάσης φ= π, προκύπτει ότι: T x = 1 x = Όμως απόσταση ίση με ένα μήκος κύματος δηώνει θέση πού κοντά στην πηγή δημιουργίας του ηεκτρομαγνητικού κύματος. Άρα οι δύο εντάσεις παρουσιάζουν διαφορά φάσης π. 5
Ερώτηση 18. Μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός συχνότητας f, στην πορεία της συναντά και διαπερνά κάθετα δύο διαφανή πακίδια Α και Β, τα οποία έχουν ίδιο πάχος και δείκτες διάθασης αντίστοιχα n A και n B, για τους οποίους ισχύει na > nb. Α. Για τα μήκη κύματος Α, α) Α = Β. Β του φωτός στα δύο πακίδια ισχύει β) Α > Β. γ) Α < Β. Β. Για τους χρόνους διέευσης του φωτός t A, t B από το κάθε πακίδιο θα ισχύει t = t. α) A B t > t. β) A B t < t. γ) A B Να επιέξετε τις σωστές απαντήσεις. Να αιτιοογήσετε τις επιογές σας. Λύση Α. Σωστή απάντηση είναι η γ. c c Από τη σχέση n = υ=, προκύπτει ότι στο υικό με μεγάο δείκτη διάθασης η υ n ταχύτητα διάδοσης του φωτός είναι μικρότερη. n > n υ <υ A B A B Εφαρμόζοντας στην τεευταία σχέση τη θεμειώδη εξίσωση της κυματικής και παίρνοντας υπόψη ότι η συχνότητα δεν αάζει, προκύπτει: υ <υ f < f < A B A B A B Άρα, το φως στο πακίδιο Β έχει μεγαύτερο μήκος κύματος, γιατί διαδίδεται με μεγαύτερη ταχύτητα. Β. Σωστή απάντηση είναι η β. 6
Ο χρόνος διέευσης του φωτός από το κάθε πακίδιο είναι d t = υ (όπου d το πάχος του πακιδίου). Δεδομένου ότι τα πακίδια έχουν το ίδιο πάχος, το φως θα περάσει σε μικρότερο χρονικό διάστημα από το πακίδιο όπου διαδίδεται με μεγαύτερη ταχύτητα. c Όμως υ=, άρα θα περάσει πιο γρήγορα από το πακίδιο που έχει μικρότερο δείκτη n διάθασης, δηαδή το οπτικώς αραιότερο υικό. 7
Ερώτηση 19. Ακτίνα φωτός εισέρχεται από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο. Αν συμβοίσουμε με θ a τη γωνία πρόσπτωσης και θ b τη γωνία διάθασης, τότε ισχύει α) θ a =θ b. β) θ a >θ b. γ) θ a <θ b. Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιοογήσετε την επιογή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Συμβοίζουμε με n Α το δείκτη διάθασης του οπτικά πυκνότερου μέσου και με n Β το δείκτη διάθασης του οπτικά αραιότερου, άρα nb < na Από το νόμο του Snell έχουμε: naηµθ α = nbηµθ b. Έτσι, αφού nb < na πρέπει ηµθ α < ηµθ b. Επειδή οι γωνίες είναι οξείες προκύπτει ότι: θ <θ. α b 8
Ερώτηση 0. Όταν μονοχρωματικό φως μεταβαίνει από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο, τότε α) η συχνότητά του μειώνεται. β) το μήκος κύματος μειώνεται. γ) η ταχύτητά του αυξάνεται. Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιοογήσετε την επιογή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Η συχνότητα δεν αάζει ποτέ γιατί είναι ίδια με τη συχνότητα της πηγής. Όταν το φως μεταβαίνει από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο, τότε μεταβαίνει από μεγαύτερο σε μικρότερο δείκτη διάθασης. Από τη σχέση αυξάνεται. υ= f προκύπτει ότι επειδή η ταχύτητα αυξάνεται το μήκος κύματος 9
Ερώτηση 1. Μονοχρωματικό φως κινούμενο στο εσωτερικό διαφανούς υικού με δείκτη διάθασης na =, προσπίπτει σε διαχωριστική επιφάνεια και εισέρχεται σε δεύτερο διαφανές υικό με δείκτη διάθασης nb = 3. Α. Για τις γωνίες πρόσπτωσης θ a και διάθασης θ b ισχύει α) ηµθ a < ηµθ b. β) ηµθ a = ηµθ b. γ) ηµθ a > ηµθ b. Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιοογήσετε την επιογή σας. π Β. Αν η γωνία πρόσπτωσης είναι θ a = και 3 ακτίνας του μονοχρωματικού φωτός. 3 ημ π = 3, να σχεδιάσετε τη πορεία μιας Λύση Α. Σωστή απάντηση είναι η α. Με εφαρμογή του νόμου του Snell προκύπτει ηµθ n 3 n ηµθ = n ηµθ = = < 1 ηµθ < ηµθ. a b b b a a a b ηµθb na Β. Με αντικατάσταση στο νόμο του Snell παίρνουμε: 3 π nb ηµθ b = na ηµθa 3ηµθ b = ηµθ b = 1 θ b =, συνεπώς η ακτίνα θα έχει πορεία παράηα στη διαχωριστική επιφάνεια. 30
31
Ερώτηση. Μονοχρωματική ακτινοβοία που διαδίδεται στο γυαί προσπίπτει στη διαχωριστική π επιφάνεια του γυαιού µε τον αέρα, µε γωνία πρόσπτωσης θ a = rad. Ο δείκτης 3 διάθασης του γυαιού είναι na = και του αέρα είναι n = 1. Η ακτινοβοία θα α) διαθαστεί και θα εξέθει στον αέρα. β) κινηθεί παράηα προς τη διαχωριστική επιφάνεια. γ) ανακαστεί οικά από τη διαχωριστική επιφάνεια. Να επιέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιοογήσετε την επιογή σας. Δίνεται π 3 ηµ =. 3 Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ (θα γίνει οική ανάκαση). Για να κρίνουμε ποια θα είναι η πορεία της ακτίνας μετά την πρόσπτωσή της στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων, πρέπει να υποογίσουμε την κρίσιμη γωνία. Με εφαρμογή του νόμου του Snell για την κρίσιμη γωνία παίρνουμε π 1 1 π ηµθ n = ηµ n ηµθ = ηµθ = θ = rad n 4 crit a αερα crit crit crit a Η γωνία πρόσπτωσης είναι π θ a = rad 3 Επειδή η γωνία πρόσπτωσης, θ a, είναι μεγαύτερη από την κρίσιμη γωνία, φωτεινή ακτίνα θα υποστεί οική ανάκαση. θ crit, η 3
Ερώτηση 3. Α. Μονοχρωματική ακτινοβοία μήκους κύματος 0 περνάει από τον αέρα σε διαφανές υικό, μέσα στο οποίο το μήκος κύματός της μειώνεται κατά το 1 3 της αρχικής του τιμής. Ο δείκτης διάθασης του διαφανούς υικού είναι α) 3. β) 3. γ). Β. Ο όγος της περιόδου της ακτινοβοίας στο διαφανές υικό προς την περίοδό της στον αέρα, είναι: α) 1 3. β) 3. γ) 1. Να επιέξετε τις σωστές απαντήσεις. Να δικαιοογήσετε τις επιογές σας. Λύση Α. Σωστή απάντηση είναι η α. 1 Επειδή το μήκος κύματος μειώνεται κατά 0, το νέο μήκος κύματος είναι 3 1 = = 3 3 0 0 0 Από τον ορισμό του δείκτη διάθασης παίρνουμε n c f 3 n. υ f 0 3 0 0 = = = = Β. Σωστή απάντηση είναι η γ. 33
Η συχνότητα (και η περίοδος του κύματος) είναι ίδια με της πηγής, συνεπώς δε μεταβάονται. 34
ΘΕΜΑ Γ Άσκηση 1. Κατά μήκος μιας εαστικής χορδής μεγάου μήκους που το ένα άκρο της είναι ακόνητα στερεωμένο, διαδίδονται δύο κύματα, των οποίων οι εξισώσεις είναι αντίστοιχα: y1 = 10ηµ π(5t x) και y = 10ηµ π (5t + x), όπου y και x είναι μετρημένα σε cm και το t σε s. Στη θέση x = 0, που είναι το εεύθερο άκρο της χορδής δημιουργείται κοιία. α) Να βρείτε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στη χορδή. β) Να βρείτε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που θα δημιουργηθεί από τη συμβοή των δύο αυτών κυμάτων και το πάτος ταάντωσης κάθε υικού σημείου της χορδής, συναρτήσει της απόστασής του από το εεύθερο άκρο της. γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης - χρόνου, για τα σημεία Α, Β και Γ, τα οποία απέχουν από το εεύθερο άκρο αντίστοιχα, xa =, xb = και 4 x Γ =, αφού δημιουργηθεί το στάσιμο. δ) Να βρείτε τη σχέση που δίνει τη μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης κάθε υικού σημείου της χορδής. Μεταξύ ποιών τιμών κυμαίνεται το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας των υικών σημείων της χορδής; ε) Ποιά είναι η απόσταση από το εεύθερο άκρο της χορδής των σημείων που παραμένουν ακίνητα και των σημείων που πάονται με μέγιστο πάτος; Λύση t x α) Η γενική εξίσωση του αρμονικού κύματος είναι y= Aηµ π T. Συγκρίνοντάς την με μία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυμάτων, έστω την εξίσωση y1 = 10ηµ π(5t x), προκύπτει: t 1 5t = T = s και x = x = 1cm T 5 Με αντικατάσταση στη θεμειώδη εξίσωση της κυματικής προκύπτει: 1cm cm υ= = υ= 5 Τ 1 s s 5 β) Η γενική εξίσωση του στάσιμου κύματος δίνεται από τη σχέση 35
πx πt y = Aσυν ηµ T. Με αντικατάσταση των τιμών των Α, και Τ προκύπτει: y = 0 συν(πx) ηµ (10π t), όπου y και x είναι μετρημένα σε cm και το t σε s. Άρα το πάτος ταάντωσης συναρτήσει της απόστασης είναι: A ' = 0 συνπ x ( cm) γ) Αντικαθιστούμε στην εξίσωση του στάσιμου τις τιμές του x των τριών σημείων. Για το υικό σημείο Α: A ya 0 ( ) (10 t) cm,s ya 0 (10 t) cm,s A x π = συν π π ( ) = συν π ( ) ( ) y = 0 0 (10πt) cm,s y = 0cm Το σημείο Α παραμένει ακίνητο, άρα είναι δεσμός. Για το υικό σημείο Β: x A ( ) ( ) B yb = 0 συν( π ) ηµ (10π t) cm,s = 0 συν( π) ηµ (10πt) cm,s, δηαδή yb = 0 ηµ 10π t (cm,s).άρα το υικό σημείο Β πάεται με μέγιστο πάτος, επομένως είναι κοιία. Για το υικό σημείο Γ: xγ yγ = 0 συν( π ) ηµ (10πt) cm,s yγ = 0 συν( π) ηµ (10πt) cm,s y = 0 ηµ 10 π Γ t ( cm,s). ( ) ( ) δηαδή Άρα και το υικό σημείο Γ πάεται με μέγιστο πάτος, επομένως είναι κοιία. Σχόιο: To αρνητικό πρόσημο στην εξίσωση ταάντωσης του σημείου Β σημαίνει ότι το Β βρίσκεται στη μέγιστη αρνητική απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του όταν το σημείο Γ βρίσκεται στη μέγιστη θετική απομάκρυνση. Λέμε ότι τα δύο σημεία τααντώνονται με διαφορά φάσης Δϕ=π. Οι γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης χρόνου φαίνονται στα διαγράμματα που ακοουθούν. 36
δ) Το τυχαίο υικό σημείο της χορδής τααντώνεται με βάση την εξίσωση y = A ' ηµ (10π t) ( cm,s), όπου A ' 0 ( x) ( cm) = συν π. Η μέγιστη ταχύτητα με την οποία τααντώνεται κάθε υικό σημείο θα είναι: υ max = ω Α ' = 00 π συν(π x) ( cm / s) Επειδή 0 συν(πx) 1, το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας των υικών σημείων cm κυμαίνεται μεταξύ της εάχιστης τιμής υ= 0 και της μέγιστης υ max = 00π s ε) Tα σημεία που παραμένουν ακίνητα απέχουν από το εεύθερο άκρο της χορδής, ( K + 1) ( K + 1) x = = cm, όπου K = 0,1,,3 4 4 K K Για τα σημεία που πάονται με μέγιστο πάτος ισχύει: x = = cm, όπου K = 0,1,,3... 37
Άσκηση. Κατά μήκος ενός γραμμικού εαστικού μέσου και κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα πx x'0x διαδίδεται αρμονικό κύμα με εξίσωση: y = 0,1 ηµ (4πt ) (S.I.). Κάποια χρονική στιγμή t οι φάσεις δυο σημείων (Μ) και (Ν) του μέσου, τα οποία βρίσκονται δεξιά της 10π 17π πηγής (Ο), είναι ϕ Μ = rad και ϕ Ν = rad αντίστοιχα. 3 6 α) Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του κύματος. β) Να βρείτε ποιο από τα δυο σημεία (Μ), (Ν) είναι πιο κοντά στην πηγή (Ο), καθώς και την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων. γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t = 1s. δ) Να βρείτε την απομάκρυνση του σημείου (Ν) από τη θέση ισορροπίας του, κάθε φορά που το σημείο (Μ) αποκτά τη μέγιστη θετική απομάκρυνση. Λύση α) Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος θα βρεθεί από τη θεμειώδη εξίσωση της κυματικής υ= f. Συγκρίνοντας την εξίσωση t x y= Aηµ π( - ) T έχουμε ότι: πt 4π t = T = 0,5s f = Hz T πx y = 0,1 ηµ (4π t - ) με τη γενική εξίσωση των κυμάτων, πx πx = = 4m Συνεπώς υ= f = 8m / s t x β) Όπως φαίνεται από τη σχέση που δίνει τη φάση του κύματος ϕ= π( - ), όσο πιο T μακριά είναι ένα σημείο από την πηγή τόσο μικρότερη είναι η φάση του. 10π 0π H φάση του σημείου Μ, ϕ Μ = rad = rad, είναι μεγαύτερη από τη φάση του 3 6 17π σημείου Ν, ϕ Ν = rad. Συνεπώς πιο κοντά στην πηγή είναι το σημείο Μ. 6 38
Ο υποογισμός της απόστασης μεταξύ των σημείων Μ και Ν γίνεται με αφαίρεση των δύο φάσεων. ( x x ) t xμ t x Ν Ν Μ ϕμ ϕ Ν = π - -π - ϕμ ϕ Ν = π T T 0π 17π ( xν xμ) 3π ( xν xμ) = π = π ( x Ν x Μ) = 1m 6 6 6 4m γ) Υποογίζουμε σε πόση απόσταση θα έχει διαδοθεί το κύμα σε χρονικό διάστημα 1s. Σε χρόνο t 1s T = =, το κύμα θα έχει διαδοθεί απόσταση ίση με δύο μήκη κύματος ( ) Βρίσκουμε την κίνηση χαρακτηριστικών υικών σημείων. Τα υικά σημεία στις θέσεις x = 0, x = και x =, θα βρίσκονται σε απομάκρυνση y= 0 και είναι έτοιμα να κινηθούν κατά τη θετική φορά. δ) Επειδή τα σημεία Μ, Ν, απέχουν μεταξύ τους 1m 4 =, παρουσιάζουν διαφορά φάσης π, με το σημείο Μ να προηγείται. Έτσι, όταν το Μ είναι στη θέση μέγιστης θετικής απομάκρυνσης, τότε το Ν περνά από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. 39
Άσκηση 3. Κατά μήκος μιας εαστικής χορδής μήκους L = 16, 5cm διαδίδεται αρμονικό κύμα της πx μορφής: y = 8 ηµ (10πt ) όπου x, y σε cm και t σε s. Το ένα άκρο της χορδής 5 είναι στερεωμένα ακόνητα, με αποτέεσμα το κύμα να ανακαστεί και να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Το άο άκρο της χορδής είναι εεύθερο, δημιουργείται σε αυτό κοιία και θεωρούμε ότι βρίσκεται στη θέση x = 0. Η κοιία της θέσης x = 0 εκτεεί απή αρμονική ταάντωση χωρίς αρχική φάση. α) Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του αρμονικού κύματος. β) Να βρείτε τον αριθμό των κοιιών που δημιουργούνται. γ) Να βρείτε την εξίσωση της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου για την κοιία Κ που απέχει από το σημείο x = 0. δ) Αν ένα σημείο Μ του θετικού ημιάξονα τααντώνεται με πάτος Α 0 = 8 3cm, να υποογίσετε την απόσταση του σημείου αυτού από τον πησιέστερο δεσμό. Λύση α) Για να υποογίσουμε την ταχύτητα θα εφαρμόσουμε τη θεμειώδη εξίσωση της κυματικής. Γράφουμε τη δοθείσα εξίσωση σε μορφή αντίστοιχη της γενικής εξίσωσης του x αρμονικού κύματος y = Aηµ π(f t ) Έχουμε πx y = 8 ηµ (10πt ) 5 x y = 8ηµ π(5t ) (cm,s) 5 Από τη σύγκριση των δύο εξισώσεων παίρνουμε: π f = 10π, συνεπώς f = 5Hz και π π =, συνεπώς = 5cm 5 Άρα cm υ= f = 5 s β) Το σημείο ανάκασης είναι ακόνητο, άρα σε αυτό δημιουργείται δεσμός. Στο εεύθερο άκρο δημιουργείται κοιία. Επειδή σε ένα στάσιμο, ο δεσμός από την κοιία 40
απέχουν 4 το μήκος της χορδής L συνδέεται με το μήκος κύματος με τη σχέση: κ L = + 4 Με αντικατάσταση του L και του προκύπτει ότι κ= 6. Συνεπώς μεταξύ πρώτου και τεευταίου δεσμού οι κοιίες είναι 6 και δεδομένου ότι στη θέση x = 0 υπάρχει κοιία στο σύνοο δημιουργούνται 7 κοιίες. γ) Η απομάκρυνση των υικών σημείων του μέσου σε ένα στάσιμο δίνονται από τη σχέση πx y= Ασυν ηµωt. Έτσι η κοιία Κ της θέσης x = θα τααντώνεται σύμφωνα με τη σχέση π yκ = 8 συν ηµ 10πt yκ = 16 ηµ 10πt (cm,s) και η ταχύτητα ταάντωσής της θα δίνεται από τη σχέση: υ K = 10 π( 16) συν(10πt) (cm / s) υ K = 160 π συν(10πt) (cm / s) δ) Το πάτος συναρτήσει της απόστασης από τη θέση x = 0, δίνεται από τη σχέση: x A' = A συν π συνεπώς συνπx 8 3 = 16 δηαδή 5 πx 3 συν ( ) = ± 5 Άρα π x π = κπ + ή π x π 5κ 5 = κπ, οπότε x = ± cm, όπου x η απόσταση από το 5 6 5 6 1 εεύθερο άκρο της χορδής που πάεται με μέγιστο πάτος (κοιία). Οι κοιίες απέχουν από το εεύθερο άκρο απόσταση x κ κ 5κ = = (cm) Συνεπώς κάθε σημείο που πάεται με πάτος 8 3cm, θα απέχει από την πησιέστερη 5 κοιία απόσταση d1 = cm. 1 Οι δεσμοί απέχουν από το εεύθερο άκρο απόσταση x (κ+ 1) 5κ 5 = = + (cm). 4 4 41
Συνεπώς κάθε σημείο που πάεται με πάτος 8 3cm, θα απέχει από τον πησιέστερο δεσμό απόσταση d για την οποία ισχύει: 5 5 10 d1+ d = d = d1 d = cm cm d = cm 4 4 4 1 1 4
Άσκηση 4. Μονοχρωματική ακτινοβοία συχνότητας f 14 π = 5 10 Hz προσπίπτει υπό γωνία στην 3 έδρα ΑΒ τριγωνικού ισοπεύρου γυάινου πρίσματος ΑΒΓ. Η διαθώμενη ακτίνα μέσα στο πρίσμα είναι παράηη στη πευρά ΒΓ. α) Να βρεθεί ο δείκτης διάθασης του υικού του πρίσματος. β) Να βρεθεί το μήκος κύματος και η ταχύτητα της ακτινοβοίας μέσα στο πρίσμα. γ) Να σχεδιασθεί η πορεία της ακτίνας και να βρεθεί η γωνία με την οποία βγαίνει από το πρίσμα. Δίνεται η ταχύτητα του φωτός στο κενό 8 m c = 3 10, ο δείκτης διάθασης του αέρα s na = 1, π 1 ηµ = και 6 π 3 ηµ =. 3 Λύση α) Ο υποογισμός του δείκτη διάθασης, n b γίνεται με βάση το νόμο του Snell, αρκεί πρώτα να υποογίσουμε τη γωνία διάθασης θ b. Επειδή η διαθώμενη ακτίνα ΚΛ είναι παράηη στη πευρά ΒΓ, η γωνία διάθασης π π π μέσα στο πρίσμα θα είναι θ b = =. 3 6 θb (Το τρίγωνο ΑΚΛ θα είναι επίσης ισόπευρο) 43
Με εφαρμογή του νόμου του Snell στο σημείο Κ που συμβαίνει το φαινόμενο της διάθασης παίρνουμε: π 3 1 ηµ na ηµθa nb ηµθ b = n 3 a ηµθa nb = nb = = nb = 3 ηµθ π 1 b ηµ 6 β) Από τον ορισμό του δείκτη διάθασης έχουμε: n 3 10 8 c c 3 10 m / s 8 m b = υ b = = υ b = υb nb 3 s Συνεπώς από τη σχέση υ f 5 10 s υ= f προκύπτει ότι: 8 b 3 10 m / s 7 b = = 14 1 b = 3 10 m γ) Εφαρμόζουμε το νόμο του Snell στο σημείο Λ που συμβαίνει εκ νέου διάθαση της ακτίνας, καθώς η ακτίνα εξέρχεται από το πρίσμα. Η νέα γωνία πρόσπτωσης είναι θ 1 = γωνία διάθασης θ παίρνουμε: π 6. Με εφαρμογή του νόμου του Snell για τη νέα n ηµθ 3 1/ 3 π n ηµθ = n ηµθ ηµθ = = ηµθ = θ =. n 1 3 b 1 a b 1 a 44
Άσκηση 5. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα πάτους 10cm και μήκους κύματος = 1m διαδίδεται κατά τη θετική φορά σε οριζόντια εαστική χορδή που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x x. Θεωρούμε ότι το σημείο της χορδής στη θέση x = 0 τη χρονική στιγμή t = 0 έχει μηδενική απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του και θετική ταχύτητα. Η ταχύτητα m διάδοσης του κύματος είναι υ= 100. s α) Να υποογίσετε την περίοδο ταάντωσης των υικών σημείων της χορδής. β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος στο S.I. και να κάνετε τη γραφική παράσταση απομάκρυνσης συναρτήσει του χρόνου, για ένα υικό σημείο Α της χορδής, το οποίο 3 βρίσκεται στη θέση x =. 4 γ) Να υποογίσετε την ενέργεια της ταάντωσης στοιχειώδους τμήματος της χορδής μάζας 0,001 kg. (Να θεωρήσετε το στοιχειώδες τμήμα της χορδής ως υικό σημείο.) δ) Στην παραπάνω χορδή διαδίδεται ταυτόχρονα άο ένα κύμα πανομοιότυπο με το προηγούμενο, αά αντίθετης φοράς, με αποτέεσμα τη δημιουργία στάσιμου κύματος με κοιία στη θέση x = 0. Να υποογίσετε στο θετικό ημιάξονα τη θέση του 5 ου δεσμού του στάσιμου κύματος. Δίνεται: π = 10. Λύση α) Με βάση τη σχέση: υ= βρίσκουμε ότι: T υ 1m 100m / s T = = T = 10 s. β) Η γενική εξίσωση κύματος είναι: t x y= Aηµ π( ) T Η συχνότητα είναι rad f = 100Hz, άρα ω= π f = 00π, και = 1m. s Η εξίσωση του αρμονικού κύματος προκύπτει με αντικατάσταση και είναι: y = 0,1ηµ π(100t x) (S.I.) το οποίο βρίσκεται στη θέση 3 x =. 4 45
Η απομάκρυνση του υικού σημείου Α, που βρίσκεται στη θέση 3 3 x = = m 4 4, θα δίνεται από τη σχέση 3 ya = 0,1ηµ π(100t ) (S.I.) 4 Για να φθάσει το κύμα στο σημείο Α, που απέχει από τη πηγή 3/4 χρειάζεται χρόνο ίσο x 0, 75m με t1 = = t1 = 0,75 10 s. Άρα για t < t1 το σημείο Α είναι ακίνητο. Έτσι η υ 100m / s παραπάνω εξίσωση ισχύει για t t1 ή t 0,75 10 s γ) Η ενέργεια της ταάντωσης θα είναι ίση με τη μέγιστη κινητική ενέργεια του υικού 1 σημείου δηαδή: E= Kmax = mυ max rad m υ =ω A = 00π 0,1m υ = 0π s s Όμως, max max Με αντικατάσταση παίρνουμε K = J δ) Από τον τύπο x (k 1) 4 = + που δίνει τις θέσεις των δεσμών σε ένα στάσιμο, βέπουμε ότι ο πρώτος δεσμός προκύπτει για k = 0, οπότε η θέση του πέμπτου δεσμού θα προκύψει για k = 4: x 5 = ( 4 + 1) = 9 x5 =, 5m 4 4 46
Άσκηση 6. Ένα αρμονικό ηεκτρομαγνητικό κύμα συχνότητας αέρα σε ορθογώνιο διαφανές πακίδιο πάχους d f 14 = 6 10 Hz εισέρχεται από τον =, 4 8cm, με γωνία πρόσπτωσης 0 θ= 30. Κατά τη διάδοση του κύματος στον αέρα, το πάτος της έντασης του 1 V ηεκτρικού πεδίου είναι Emax = 18 10. Κατά την είσοδο του κύματος στο πακίδιο m παρατηρείται εάττωση του μήκους κύματος κατά 0%, σε σχέση με την τιμή του στο κενό. α) Να υποογίσετε το μήκος κύματος στο κενό και να γράψετε τις εξισώσεις που περιγράφουν το ηεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο του κύματος αυτού στον αέρα, κατά τη διάδοση του στον άξονα χ. Β) Να υποογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος αυτού στο διαφανές πακίδιο και να βρείτε τον δείκτη διάθασης του πακιδίου. γ) Να βρείτε τη γωνία με την οποία εξέρχεται η ακτίνα από την απέναντι πευρά του πακιδίου. δ) Να βρείτε σε πόσο χρόνο η παραπάνω παράηη επτή δέσμη θα διαπεράσει το πακίδιο. Δίνεται: 8 m c = 3 10. s Λύση α) Με αντικατάσταση στη σχέση: c= 0f βρίσκουμε το μήκος κύματος στο κενό, προκύπτει: = =. 7 0 5 10 m 500nm Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι: 1 V E E 18 10 = = = m = 3 10 s max max 9 c Bmax Bmax 6 10 T Bmax c 8 m Συνεπώς οι ζητούμενες εξισώσεις θα είναι: t T x ( ) 1 14 6 E = Emaxηµ π( ) E = 18 10 ηµ π(6 10 t- 10 x) SI t T x 9 14 6 B = Bmaxηµ π( ) B = 6 10 ηµ π(6 10 t- 10 x)(si) 47
β) 0 100 0 7 =0 = 500nm 100nm = 400nm = 4 10 m Η ταχύτητα στο πακίδιο θα είναι: υ= = υ= 7 14 8 f (4 10 m) (6 10 Hz),4 10 m / s Ο δείκτης διάθασης θα είναι c 5 10 υ 4 10 7 n = = 0 = 7 n = 1, 5 γ) Εφαρμόζουμε το νόμο του Snell στο σημείο εισόδου Α και το σημείο εξόδου Β: Σημείο Α: ηµ ηµ ηµθ o o 30 n 30 = ηµθ 1 = 1 1 n ηµθ Σημείο Β: ηµϕ 1 ηµϕ = ηµθ = n n Από τη γεωμετρία του σχήματος προκύπτει θ 1 =θ, έτσι στις δύο παραπάνω σχέσεις τα πρώτα μέη είναι ίσα, οπότε εύκοα παίρνουμε o ηµϕ = ηµ 30, και επειδή οι γωνίες είναι οξείες, προκύπτει ότι 0 ϕ= 30. δ) Ο ζητούμενος χρόνος είναι (AB) t= υ Υποογισμός της διαδρομής (ΑΒ). Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε: d d συνθ 1 = (AB) =. Άρα (AB) συνθ 1 d t = υ συνθ (1) 1 48
Από το νόμο του Snell για το σημείο εισόδου Α με αντικατάσταση, βρίσκουμε το ηµθ 1. ηµ ηµ ηµθ 1 n 5 / 4 10 o o 30 n 30 1/ 4 = ηµθ 1 = = ηµθ 1 = 1 Από τη σχέση ηµ θ + συν θ = 1, βρίσκουμε το 1 αντικατάσταση στη σχέση (1) προκύπτει: συνθ. Προκύπτει συνθ 1 = 84 10. Με d, 4 10 8 m 10 10 3 9 t = = = 10 s t = 10 s υ συνθ1 m 84 3 3 8, 4 10 s 10 Άρα ο ζητούμενος χρόνος θα είναι 3 9 t = 10 s. 3 49
Άσκηση 7. Το σημείο Ο ομογενούς εαστικής χορδής μεγάου μήκους, τη χρονική στιγμή t = 0, αρχίζει να εκτεεί απή αρμονική ταάντωση με εξίσωση y = 0,05ηµ 8π t (S.I.) κάθετα στη διεύθυνση της χορδής. Το αρμονικό κύμα που παράγεται διαδίδεται με ταχύτητα μέτρου m / s, κατά τη θετική φορά του άξονα x Οx, κατά μήκος της χορδής. α) Να βρεθούν ο χρόνος που χρειάζεται ένα υικό σημείο του εαστικού μέσου για να εκτεέσει μια πήρη ταάντωση καθώς και το μήκος κύματος του αρμονικού κύματος. β) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος που παράγεται και να βρεθούν οι θέσεις όων των σημείων που βρίσκονται σε συμφωνία φάσης με την πηγή. γ) Να γράψετε και να σχεδιάσετε την εξίσωση της ταχύτητας συναρτήσει του 3 χρόνου για ένα υικό σημείο Α που απέχει απόσταση x = από την πηγή. T δ) Να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα του κύματος τις χρονικές στιγμές t1 = και 4 3T t =. 4 Λύση α) Από την εξίσωση y = 0,05ηµ 8π t (S.I.) βρίσκουμε: Α= 0,05m, ω= 8 π rad / s. H π περίοδος προκύπτει από τη σχέση ω=, άρα T = 0, 5s και συνεπώς η συχνότητα T είναι f = 4Hz. Ο χρόνος που χρειάζεται ένα υικό σημείο να κάνει μια πήρη ταάντωση, είναι η περίοδος ταάντωσης του, δηαδή είναι ίσος με 0, 5s. Το μήκος κύματος προκύπτει από τη θεμειώδη εξίσωση της κυματικής. υ m / s υ=f = = = 0,5m. f 4Hz β) Η γενική εξίσωση του κύματος είναι: των μεγεθών A, T και γίνεται: t x y= Aηµ π( - ), η οποία με αντικατάσταση, T y = 0,05ηµ π(4t x) ( SI) Τα σημεία που είναι σε συμφωνία φάσης με την πηγή απέχουν από αυτή ακέραιο αριθμό μηκών κύματος, δηαδή βρίσκονται σε θέσεις για τις οποίες ισχύει x = k= k 0,5m k = 1,,3,... 50
γ) Η μέγιστη ταχύτητα θα είναι: υ max =ω A = 0, 4 π m / s, ενώ η εξίσωση ταχύτητας ταάντωσης των υικών σημείων είναι: υ = υ max t x συν π( - ) T. Άρα υ = 0,4πσυν π (4t -x) στο (S.I.). Η γενική εξίσωση της ταχύτητας ταάντωσης των υικών σημείων είναι t x υ = υmaxσυν π( - ) T Η μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης θα είναι: υ max =ω A = 0, 4 π m / s Με αντικατάσταση στη γενική εξίσωση της ταχύτητας ταάντωσης: T = 0, 5s, 3 3 3 = 0,5m, x = = m παίρνουμε υ A = 0, 4πσυν π (4t - )( SI) 4 3 xa 3 Το κύμα φθάνει στο Α (xa = m) τη χρονική στιγμή ta = = s. Για t < ta το σημείο 4 υ 8 Α παραμένει ακίνητο. Άρα η εξίσωση ταχύτητας χρόνου είναι: υ A = 0,4πσυν π (4t -x) για 3 t s στο S.I. 8 δ) Για να σχεδιάσουμε το στιγμιότυπο, βρίσκουμε την εξίσωση της απομάκρυνσης συναρτήσει της απόστασης και υποογίζουμε που έχει φθάσει το κύμα την κάθε χρονική στιγμή. Τη χρονική στιγμή T 4, η εξίσωση απομάκρυνσης θέσης είναι: 1 y = 0,05ηµ π ( - x). 4 Τη χρονική στιγμή αυτή το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση 51
T x =υ t =υ = = 0,15m, ενώ τη χρονική στιγμή 3T 4 4 4 3 θέσης, είναι: y = 0,05ηµ π ( - x). 4, η εξίσωση απομάκρυνσης Τη χρονική στιγμή αυτή το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση 3T 3 x =υ t =υ = = 0,375m. 4 4 5
Άσκηση 8. (Η άσκηση δόθηκε από τον εθεοντή κ. Αθανάσιο Παπαδημητρίου) Η εικόνα παριστάνει το στιγμιότυπο ενός γραμμικού αρμονικού κύματος μια χρονική στιγμή t 1, το οποίο διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x σε ένα ομογενές εαστικό μέσο. Το σημείο της θέσης x = 0 άρχισε να τααντώνεται χωρίς αρχική φάση τη χρονική στιγμή t 0 = 0. Η ταχύτητα διάδοσης του παραπάνω κύματος είναι υ= m / s. α) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t 1. β) Να βρείτε την εξίσωση του κύματος. γ) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της φάσης σε σχέση με τη θέση, ϕ= f( x), για τη χρονική στιγμή t 1. δ) Να βρείτε τη χρονική στιγμή που το σημείο Μ, που βρίσκεται στη θέση x = Μ 3,3m, θα απέχει για πρώτη φορά 0,1m από τη θέση ισορροπίας του. ε) Να γίνουν τα διαγράμματα της φάσης και της απομάκρυνσης σε σχέση με το χρόνο, ϕ= f( t) και y= f( t), για το Ν που βρίσκεται στη θέση x = Ν, 4m. Λύση α) Από το διάγραμμα του στιγμιότυπου φαίνεται ότι το κύμα διαδόθηκε, από την χρονική στιγμή t 0 = 0 μέχρι την t 1, κατά x =,7m. x,7m Άρα t 1 = = t 1 = 1, 35 s υ m / s 53
β) Από εκφώνηση η εξίσωση ταάντωσης της πηγής είναι y A ηµω t, οπότε η εξίσωση του (τρέχοντος) κύματος θα είναι της μορφής π = t x y= Aηµ π( ). T - Από το διάγραμμα φαίνεται ότι το πάτος του κύματος είναι Α= 0, m. - Από το διάγραμμα φαίνεται ότι το κύμα διαδόθηκε, από την χρονική στιγμή t0 = 0 μέχρι την t 1, κατά + = 9, όπου το μήκος κύματος. 4 4 Άρα 9 =, 7m = 1, m. 4 - Από τη θεμειώδη εξίσωση της κυματικής παίρνουμε υ m / s 1 υ= = = = = 1, m 0, 6 1 f f f s T 0, 6s Οπότε η εξίσωση του κύματος θα έχει την μορφή t x y = 0, ηµ π( ) (SI). 0, 6 1, γ) Η φάση του κύματος, για την χρονική στιγμή t1 1, 35 x πx ϕ= π ϕ= π ( 0 x,7m ) 0,6 1, 0,6 συνάρτηση ( ) 4,5 ( SI) = 1, 35s περιγράφεται από τη Το ζητούμενο διάγραμμα είναι: δ) Από την εξίσωση του κύματος, για x = 3,3m και y = 0,1m έχουμε: t 3,3 t 3,3 1 0,1 = 0, ηµ π( ) ηµ π( ) = οπότε: 0, 6 1, 0, 6 1, t 3,3 π π( ) = kπ+ ή 0, 6 1, 6 t 3,3 5π π( ) = kπ+ 0, 6 1, 6 54
Αφού, για το σημείο Μ, αυτό συμβαίνει για πρώτη φορά, δεκτή γίνεται η πρώτη ύση t 3,3 π και με k = 0. Δηαδή π( ) = από την οποία προκύπτει t = 1,7s. 0, 6 1, 6 ε) Για το σημείο Ν (x Ν =, 4m) η φάση θα δίνεται από τη σχέση: t, 4 ϕ N = π( ) = 0, 6 1, t π( ), με 0,6 x, 4 t = s t 1, s υ Το ζητούμενο διάγραμμα είναι: Για το Ν (x =, 4m) Η εξίσωση της ταάντωσης του σημείου Ν θα είναι: t, 4 t yn = 0, ηµ π( ) = 0, ηµ π( ) ( SI) με 0,6 1, 0,6 x, 4 t = s t 1, s υ Το ζητούμενο διάγραμμα είναι: 55
Άσκηση 9. Μια πηγή κυμάτων Ο αρχίζει να τααντώνεται την χρονική στιγμή t = 0, σύμφωνα με την εξίσωση y = A ηµ (π ft). Το εγκάρσιο κύμα που δημιουργείται διαδίδεται σε ομογενές, γραμμικό εαστικό μέσο κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x'οx. Στο σχήμα 1 παριστάνεται το στιγμιότυπο του κύματος μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t', ενώ στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση απομάκρυνσης συναρτήσει του χρόνου για ένα υικό σημείο Σ του εαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται το εν όγω κύμα. Να βρείτε: α) την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και τη διαφορά φάσης μεταξύ του υικού σημείου Σ και της πηγής κυμάτων. β) τη χρονική στιγμή t' στην οποία αντιστοιχεί το στιγμιότυπο του κύματος. γ) την απομάκρυνσή από τη θέση ισορροπίας του υικού σημείου Σ και της πηγής κυμάτων την δεδομένη χρονική στιγμή t'. δ) τη μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης και τη μέγιστη επιτάχυνση του υικού σημείου Σ. ε) Nα σχεδιάσετε το διάγραμμα της φάσης του υικού σημείου Σ συναρτήσει του χρόνου. Δίνεται το πάτος ταάντωσης της πηγής Α= 4 cm και π = 10. (Σχήμα 1) (Σχήμα ) 56
Λύση Από τα διαγράμματα προκύπτουν τα παρακάτω: Στο σχήμα 1, παρατηρούμε ότι την χρονική στιγμή t' το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση x = 5cm (1). Από το ίδιο σχήμα επίσης προκύπτει ότι η απόσταση αυτή αντιστοιχεί σε 5 x = () Εξισώνοντας τις σχέσεις (1) και () προκύπτει = cm. Στο σχήμα παρατηρούμε ότι η περίοδος ταάντωσης του υικού σημείου Σ είναι T = 1s, άρα και η συχνότητα θα είναι f = 1Hz. Άρα η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι: υ= f = cm / s. Επίσης παρατηρούμε ότι το κύμα για να φτάσει στο υικό σημείο Σ έκανε χρόνο t 1 Ο χρόνος αυτός είναι ίσος με την περίοδο του κύματος ( T 1s) = 1s. =, άρα η απόσταση πηγής και σημείου Σ είναι ίση με ένα μήκος κύματος και η διαφορά φάσης μεταξύ της πηγής Ο και του σημείου Σ είναι π, δηαδή ϕ ϕ = π. Ο Σ β) Τη χρονική στιγμή t' το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση x = 5cm με ταχύτητα υ= cm / s. Άρα x 5cm 5 t' = = t' = s. υ cm / s 5 T γ) Η πηγή τη χρονική στιγμή t' έχει τααντωθεί για χρονικό διάστημα t = s = T +. Άρα περνά από τη θέση ισορροπίας της κινούμενη κατά την αρνητική φορά. Το υικό σημείο Σ, ξεκινά να τααντώνεται τη χρονική στιγμή t 1 5 3 T t' έχει τααντωθεί για χρόνο: t = t '- t1 = s 1s = s = T +. = 1s. Tη χρονική στιγμή Άρα το υικό σημείο Σ τη χρονική στιγμή αυτή έχει κάνει μια πήρη ταάντωση και μισή δηαδή περνά από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο και αυτό κατά την αρνητική φορά. Αυτό ήταν αναμενόμενο, αφού τα δύο σημεία παρουσιάζουν διαφορά φάσης π. δ) Η μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης δίνεται από τη σχέση: cm υ max =ω A = πf A υ max = π 1Hz 4cm υ max = 8π s 57
Η μέγιστη επιτάχυνση στη ταάντωση δίνεται από τη σχέση cm α max =ω A = 160 s ε) Η φάση του κύματος δίνεται από τη σχέση ( x = ) θα ισχύει ϕ= π(t 1). H φάση έχει νόημα για t 1s. Διάγραμμα φάσης - χρόνου για το υικό σημείο Σ: t x ϕ= π( ). Για το υικό σημείο Σ T 58
Άσκηση 10. Κατά μήκος ενός γραμμικού, ομογενούς, εαστικού μέσου διαδίδεται στη θετική κατεύθυνση του άξονα χ'οχ ένα αρμονικό κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση: 10πx y = 4 10 ηµ ( 00πt) 17 (S.I.). Δύο σημεία Α και Β βρίσκονται πάνω στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος, απέχουν μεταξύ τους 17m, και γνωρίζουμε ότι το πιο κοντινό σημείο στην πηγή Ο είναι το σημείο Α. α) Nα βρείτε τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β) Να δείξετε ότι η διαφορά φάσης των σημείων Α και Β είναι ανεξάρτητη του χρόνου και ότι τα σημεία αυτά είναι σε συμφωνία φάσης. γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης χρόνου για τα δύο αυτά υικά σημεία Α και Β, αν γνωρίζουμε ότι το σημείο Α βρίσκεται στη θέση x A = 6,8m. δ) Να βρείτε τη μεταβοή της φάσης του υικού σημείου Α σε χρονική διάρκεια t = 1s. ε) Να βρείτε την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του σημείου Γ της θέσης x = Γ 3, 4m, τη χρονική στιγμή t που το υικό σημείο Β έχει απομάκρυνση yb =, cm, και αρνητική ταχύτητα. Λύση α) Συγκρίνοντας την εξίσωση του συγκεκριμένου κύματος 10πx y = 4 10 ηµ [(00πt) ] με τη γενική εξίσωση του κύματος έχουμε: 17 πx 10πx 17 = = m = 3, 4m 17 5 π f t = 00πt f = 100Hz Με αντικατάσταση στη θεμειώδη εξίσωση της κυματικής έχουμε: m υ=f υ= 340 s t β) Οι φάσεις των υικών σημείων Α και Β, δίνονται από τις σχέσεις: ϕ Α = π( ) T t x και ϕ ( B Β = π ), αντίστοιχα. Αφαιρώντας τις δύο παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε τη T διαφορά φάσης των δύο αυτών σημείων: x A 59
π(xb x A) π(17m) ϕa ϕ B = = ϕa ϕ B = 10π rad 3, 4m Άρα η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο σημείων είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Επειδή ϕa ϕ B = 10π rad = 5 π rad (ακέραιο ποαπάσιο του π) ή x = 5 (ακέραιο ποαπάσιο του μήκους κύματος) τα σημεία αυτά βρίσκονται σε συμφωνία φάσης μεταξύ τους. γ) Το κύμα φτάνει στο σημείο Α τη χρονική στιγμή xa 6,8m 3, 4m t1 = = = t1 = s = T, ενώ το σημείο Β αρχίζει να υ 340m / s 3,4 100m / s 100 τααντώνεται τη χρονική στιγμή xb 17 + 6,8m 7 3, 4m 7 t = = = t = s = 7T υ 340m / s 3,4 100m / s 100 Και τα δύο σημεία εκτεούν απή αρμονική ταάντωση με εξίσωση ταάντωσης ya 4 10 [(00 t) 4 ] = ηµ π π, όπου yb 4 10 [(00 t) 14 ] = ηµ π π, όπου t s και 100 7 t s, αντίστοιχα. 100 60
δ) ϕ = π f t ϕ = 00πrad Α Α ε) Το σημείο Β βρίσκεται στη θέση xb = 6,8m + 17m = 3,8m και απέχει από το σημείο Γ x B x Γ = 3,8m 3, 4m x B xγ = 0, 4m x B xγ = 6 3,4m x B xγ = 6 Τα δύο σημεία βρίσκονται σε συμφωνία φάσης και έχουν κάθε στιγμή ίδια απομάκρυνση και ίδια ταχύτητα, άρα η απομάκρυνση του σημείου Γ είναι y = Γ, cm. 61
ΘΕΜΑ Δ Πρόβημα 1. Το πιο πάνω σχήμα παριστά το στιγμιότυπο ενός οδεύοντος αρμονικού κύματος σε ομογενές γραμμικό εαστικό μέσο κατά τη χρονική στιγμή t 0. Τη χρονική στιγμή t = 0 το σημείο Ο της θέσης x = 0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. Για τις σημειωμένες στο σχήμα αποστάσεις ισχύει: (OK) = 0,1m, (OZ) = 0,3m. Ζητούνται: α) Η χρονική στιγμή t 0 και η μέγιστη ταχύτητα με την οποία τααντώνονται τα υικά σημεία του εαστικού μέσου. β) Να χαραχθεί πάνω σε βαθμοογημένους άξονες το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t 1 = t 0 + 0, 01s. Την ίδια χρονική στιγμή να βρεθεί η απομάκρυνση ενός σημείου Β αν γνωρίζετε ότι το σημείο αυτό απέχει από το O απόσταση, OB = 1, 4m. γ) Το πιο πάνω οδεύον κύμα μεταφέρει ενέργεια 4,5 10 J, σε κάθε υικό σημείο του γραμμικού εαστικού μέσου. Πόση είναι η σταθερά ταάντωσης κάθε υικού σημείου, δεδομένου ότι όα εκτεούν απή αρμονική ταάντωση; δ) Αν το πιο πάνω στιγμιότυπο παρίστανε στάσιμο κύμα τη χρονική στιγμή t 0, κατά την οποία όα τα σημεία του γραμμικού εαστικού μέσου, έχουν μηδενική ταχύτητα, τότε, να σχεδιάσετε το στιγμιότυπό του τη χρονική στιγμή t 1, όπου t 1 = t 0 + 0, 01s. Δίνεται ότι η συχνότητα των οδευόντων κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα είναι: f = 5Hz. Λύση α) Δίνεται ότι το στιγμιότυπο είναι οδεύοντος κύματος. Συνεπώς σε αυτό φαίνονται οι θέσεις των υικών σημείων του μέσου τη δεδομένη χρονική στιγμή. Από το διάγραμμα έχουμε ( ΟΚ ) = = 0,1 συνεπώς = 0, 4m. 4 Επίσης, το πάτος ταάντωσης είναι το (OZ), δηαδή η μεγαύτερη απόσταση από τη θέση ισορροπίας. Συνεπώς το πάτος ταάντωσης κάθε σημείου θα είναι A 0 = (OZ) = 0,3m. 6
H ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι υ= f = 0,4m 5s υ= 10. s 1 m Από το στιγμιότυπο του κύματος φαίνεται ότι τη χρονική στιγμή t o, το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση 5. 5 5 Άρα, 5 0, m = x =υ t 0 t 0 = = t 0 = 0,1s υ 10m / s Άρα t 0 = 0,1s. Η μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης των μορίων θα είναι: rad m υ max =ωα 0 = 50π 0,3m υ max = 15π s s 1 β) Δεδομένου ότι η περίοδος της ταάντωσης είναι T = = 0, 04s, η χρονική στιγμή f t 0 = 0,1s αντιστοιχεί σε 5T = T + T. Από την παραπάνω παρατήρηση προκύπτει ότι η πηγή, την χρονική στιγμή t 0 = 0,1s περνά από τη θέση ισορροπίας με αρνητική φορά, T (δηαδή προς τα κάτω). Συνεπώς σε χρόνο t = = 0, 01s μετά τη χρονική στιγμή t 0, 4 βρίσκεται στη μέγιστη αρνητική απομάκρυνση, ενώ το κύμα έχει διαδοθεί απόσταση επιπέον = 0,1m και έχει φτάσει μέχρι τη θέση 4 x = 5 + = 5 0,m + 0,1m x = 1,1m 4 Με δεδομένο ότι το τεευταίο σημείο που έχει φτάσει ένα κύμα είναι ακόμα στη θέση ισορροπίας και έτοιμο να κινηθεί όπως το προηγούμενό του, το στιγμιότυπο θα είναι το παρακάτω: Το σημείο Β θα παραμένει ακίνητο στη θέση ισορροπίας του, δεδομένου ότι το κύμα δεν έχει φτάσει ακόμα εκεί. 63
γ) Η ενέργεια της ταάντωσης κάθε υικού σημείου του υικού μέσου δίνεται από τη 1 N σχέση: E = DA. Με αντικατάσταση προκύπτει D= 1. m δ) Παρατηρούμε ότι τα ακραία σημεία Ο και Α είναι δεσμοί. Γνωρίζουμε ότι στο στάσιμο κύμα όα τα σημεία περνούν από τη θέση ισορροπίας την ίδια χρονική στιγμή. Οι χρονικές στιγμές t 1 και t 0 διαφέρουν κατά T. Επειδή, σύμφωνα με την εκφώνηση, 4 όα τα σημεία του γραμμικού εαστικού μέσου τη χρονική στιγμή t 0 έχουν μηδενική ταχύτητα και βρίσκονται στη μέγιστη απομάκρυνσή τους, μετά από χρόνο T 4 θα βρίσκονται στη θέση ισορροπίας από όπου διέρχονται με τη μέγιστη ταχύτητά τους. Το στιγμιότυπο του γραμμικού εαστικού μέσου δίνεται στο παρακάτω σχήμα, στο οποίο έχουν σχεδιασθεί και οι ταχύτητες που έχουν διάφορα υικά σημεία. 64
Πρόβημα. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π 1 και Π δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού που ηρεμεί cm εγκάρσια κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ= 80. Οι δύο πηγές τη χρονική s στιγμή t = 0 αρχίζουν να εκτεούν απή αρμονική ταάντωση, σε διεύθυνση κάθετη πt στην επιφάνεια του υγρού και η εξίσωση ταάντωσής τους είναι y= A ηµ ( ). T Με την επίδραση των δύο κυμάτων ένα μικρό κομμάτι φεού που βρίσκεται στην επιφάνεια του υγρού τααντώνεται, με εξίσωση απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας του: y = 4ηµ π(8t 4), όπου y σε cm και t σε s. Οι αποστάσεις του φεού από τις πηγές Π 1 και Π είναι r 1, r αντίστοιχα και συνδέονται με τη σχέση r 1 r =, όπου το μήκος κύματος των δυο κυμάτων. α) Να υποογίσετε το πάτος ταάντωσης των πηγών. β) Να υποογίσετε το μήκος κύματος των κυμάτων καθώς και τις αποστάσεις r 1 και r. γ) Να υποογίσετε την επιτάχυνση ταάντωσης του φεού την χρονική στιγμή t 1 = 1s. δ) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t, κατά την οποία ο φεός περνάει από τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης y = 4cm για 1 η φορά, εκτεώντας σύνθετη ταάντωση. ε) Να βρείτε το πάτος ταάντωσης των σημείων που βρίσκονται στην μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τις δύο πηγές. Λύση α) Συγκρίνουμε τη δοθείσα εξίσωση y = 4ηµ π(8t 4) (cm,s) με τη γενική εξίσωση της συμβοής εγκαρσίων κυμάτων στην επιφάνεια υγρού π(r1 r ) t r1+ r y= Ασυν ηµ π T Για το πάτος του υικού σημείου ισχύει: π(r r ) π( ) Ασυν = συν = = = 1 4cm A 4cm A 4cm A cm Άρα το πάτος ταάντωσης κάθε πηγής είναι A = cm 65