ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση 1. Κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Οχ διαδίδεται αρμονικό κύμα. H εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Ο της θέσης x = 0 (πηγή) είναι y= Aηµω t. Το υλικό σημείο Α που απέχει από την πηγή x λ = Α. έχει γραφική παράσταση απομάκρυνσης σε σχέση με το χρόνο όπως στο διάγραμμα α1) α) α3) 1

2 Β. το σημείο Α έχει φάση β1) μεγαλύτερη από το σημείο της θέσης x = 0. β) μικρότερη από το σημείο της θέσης x = 0 κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του π. β3) μικρότερη από το σημείο της θέσης x = 0 κατά π. Να επιλέξετε τις σωστές απαντήσεις. Να αιτιολογήσετε τις επιλογές σας. Α. Σωστή απάντηση είναι η α. x λ Τ Το υλικό σημείο Α αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t 1 = = =. υ υ Φυσικά, για t < t1 ισχύει y= 0 Β. Σωστή απάντηση είναι η β3. Το υλικό σημείο Α απέχει από την πηγή x λ = και η φάση του είναι: λ t t 1 ϕ A = π ϕ A = π T λ T Άρα η διαφορά φάσης με την πηγή είναι: πt t 1 ϕo-ϕ A = π π ϕo-ϕ A =π ϕ A =ϕo-π T T

3 Ερώτηση. Κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Οχ διαδίδεται αρμονικό κύμα. Το σημείο της θέσης x = 0 τη χρονική στιγμή t = 0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα. Τη 5T λ χρονική στιγμή t = το σημείο της θέσης x = έχει ταχύτητα με μέτρο 4 1) υ= 0. ) υ=υ max (μέγιστη). 3) 0 <υ<υ max. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση η 1. Το κύμα για να φτάσει στη θέση x λ Τ = χρειάζεται χρόνο ίσο με. Άρα το υλικό σημείο αυτό αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή Τ, με θετική ταχύτητα. Συνεπώς, τη χρονική στιγμή 5T T 3T ίσο με t = = T t' = έχει ταλαντωθεί για χρονικό διάστημα 4 Άρα το υλικό σημείο αυτό θα βρίσκεται σε αρνητική απομάκρυνση με μέγιστο μέτρο (y = A) και η ταχύτητά του θα είναι μηδέν. Β Τρόπος: Με αντικατάσταση των δεδομένων: x t x y= Aηµ π T λ παίρνουμε: λ = και 5T t = στη γενική εξίσωση του κύματος 4 5T λ π y= Aηµ π y= Aηµ π y= Aηµ π y= Aηµ 4T λ 4 4 y = A Άρα, αφού το υλικό σημείο βρίσκεται σε ακραία θέση θα έχει ταχύτητα μηδέν. 3

4 Ερώτηση 3. Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα με φορά προς την κατεύθυνση του θετικού ημιάξονα Οχ. Το σημείο της θέσης x = 0 ταλαντώνεται σύμφωνα με τη σχέση y = 0, 05 ηµ (8π t) (S.I.). Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t 1, κατά την οποία το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση 3m. Η ταχύτητα ( υ ) διάδοσης του κύματος στο ελαστικό μέσο, είναι 1) m υ= 8. s ) m υ= 1. s 3 m 3) υ=. 4 π s Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η 1. Από τη σύγκριση της σχέσης y = 0,05 ηµ (8π t), με τη γενική εξίσωση των απλών αρμονικών ταλαντώσεων, y = A ηµ (π ft) προκύπτει: π ft = 8π t, συνεπώς, f = 4Hz, και 1 T= s. 4 3λ Σύμφωνα με το διάγραμμα, το κύμα έχει διανύσει απόσταση x = ή x = 3m, που T αντιστοιχεί σε χρονικό διάστημα t = T+ ή t = s+ s t = s

5 Άρα x m υ= υ= 8. t s Συνεπώς η απάντηση 1 είναι η σωστή. 5

6 Ερώτηση 4. Κατά μήκος του χ Οχ διαδίδεται αρμονικό κύμα. Το σημείο της θέσης x = 0 ταλαντώνεται σύμφωνα με τη σχέση y= Aηµω t. Η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων που βρίσκονται στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος 1) αυξάνεται σε σχέση με το χρόνο. ) είναι ανεξάρτητη από το χρόνο. 3) μειώνεται σε σχέση με το χρόνο. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή είναι η πρόταση. Οι εξισώσεις των φάσεων για τα δύο σημεία A και B είναι: x A t ϕ Α = π( ) και T λ x B t ϕ Β = π( ) T λ Με αφαίρεση προκύπτει: t x t x x x ϕα ϕ B = π( ) π( ) ϕ ϕ = π T λ T λ λ A B B A Α B Άρα η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο σημείων είναι ανεξάρτητη του χρόνου. 6

7 Ερώτηση 5. Το διάγραμμα 1 παριστάνει το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος μια δεδομένη χρονική στιγμή t, ενώ το διάγραμμα παριστάνει την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση µε το χρόνο, ενός δεδομένου σημείου Α του ελαστικού μέσου, στο οποίο διαδίδεται το παραπάνω κύμα. Από τη μελέτη των δύο διαγραμμάτων προκύπτει ότι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι α) cm 0,1 s. β) cm 1 s. γ) cm s. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. λ Από το 1 ο διάγραμμα προκύπτει: 5 = 5cm λ= cm Από το ο διάγραμμα προκύπτει: s 1s = T T = 1s f = 1Hz Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής προκύπτει: υ=λ f = cm / s 7

8 Ερώτηση 6. Το διάγραμμα 1 παριστάνει το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος μια δεδομένη χρονική στιγμή t, ενώ το διάγραμμα παριστάνει την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση µε το χρόνο, ενός δεδομένου σημείου Α του ελαστικού μέσου, στο οποίο διαδίδεται το παραπάνω κύμα. Τη χρονική στιγμή t που αντιστοιχεί το παραπάνω στιγμιότυπο, η πηγή και το υλικό σημείο Α περνούν από τη θέση ισορροπίας τους με α) αρνητική ταχύτητα. β) αντίθετες ταχύτητες. γ) θετική ταχύτητα. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η α. Από το διάγραμμα παρατηρούμε ότι το υλικό σημείο Α άρχισε να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t = T, οπότε απέχει από την πηγή απόσταση x = λ. Άρα σημείο Α και πηγή είναι σε συμφωνία φάσης. λ Το στιγμιότυπο του διαγράμματος 1 δείχνει ότι το κύμα έχει διαδοθεί κατά λ+, άρα T το στιγμιότυπο αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή t = + T. Αυτή τη χρονική στιγμή η πηγή έχει κάνει δύο πλήρεις ταλαντώσεις και μισή επί πλέον ταλάντωση, άρα διέρχεται 8

9 από τη θέση ισορροπίας με αρνητική ταχύτητα. Την ίδια χρονική στιγμή, το ίδιο κάνει και το σημείο Α, εφόσον είναι σε συμφωνία φάσης με την πηγή, όπως προαναφέρθηκε. 9

10 Ερώτηση 7. Στο διπλανό σχήμα η πηγή Ο παράγει αρμονικό κύμα που διαδίδεται πάνω σε γραμμικό U ελαστικό μέσο με ταχύτητα υ. Δύο σημεία Α,Β του μέσου βρίσκονται πάνω στη ευθεία Ο Β Α χ διάδοσης και έχουν φάσεις 4 ϕ = π A και 3 ϕ = π B. 3 Α. Να βρείτε αν υπάρχει λάθος στο σχήμα ως προς τις θέσεις των σημείων Α και Β σε σχέση με την πηγή Ο, και αν ναι να το διορθώσετε φτιάχνοντας το σωστό σχήμα. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Β. Τη χρονική στιγμή που το σημείο Α βρίσκεται στη μέγιστη θετική του απομάκρυνση, το σημείο Β θα βρίσκεται στη θέση α) y = Α. β) y = Α. γ) y= 0. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. A. Πιο κοντά στην πηγή είναι το υλικό σημείο Α. t x Από τη σχέση ϕ= π( - ), φαίνεται ότι όσο πιο μακριά από την πηγή είναι ένα υλικό T λ σημείο τόσο μικρότερη φάση έχει. Συνεπώς το σημείο με τη μεγαλύτερη φάση θα είναι πιο κοντά στην πηγή. Η σωστή θέση των σημείων Α και Β φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: U Ο Α Β x 10

11 B. Σωστή απάντηση είναι η β. Επειδή η διαφορά φάσης των δύο σημείων είναι ίση με π, θα βρίσκονται σε αντίθεση φάσης. Συνεπώς το σημείο Β θα βρίσκεται σε απομάκρυνση y = Α. 11

12 Ερώτηση 8. Μια πηγή κυμάτων Ο αρχίζει την χρονική στιγμή t = 0, να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, πλάτους Α, περιόδου T και αρχικής φάσης ϕ 0 = 0. Το στιγμιότυπο του κύματος, τη χρονική στιγμή t = T, είναι όπως το διάγραμμα Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. 1

13 Σε χρόνο μιας περιόδου το κύμα διαδίδεται κατά ένα μήκος κύματος. Αυτό συμβαίνει στα στιγμιότυπα β, γ. Σε ένα κύμα κάθε υλικό σημείο επαναλαμβάνει την κίνηση του προηγούμενού του. Στο διάγραμμα β, το σημείο της θέσης x = λ δείχνεται να ξεκινά ταλάντωση προς τα κάτω, ενώ στο διάγραμμα γ, δείχνεται να ξεκινά προς τα πάνω. Επειδή η πηγή ταλαντώνεται σύμφωνα με τη σχέση y= Aηµω t, αυτό σημαίνει ότι σε κάθε σημείο που φτάνει η διαταραχή αυτό ξενικά αρμονική ταλάντωση προς τα θετικά. Άρα σωστό διάγραμμα είναι το γ. 13

14 Ερώτηση 9. Δύο μεγάφωνα Μ 1 και Μ τροφοδοτούνται από την ίδια γεννήτρια συχνοτήτων και τοποθετούνται όπως στο σχήμα. Ένας ανιχνευτής ήχου τοποθετείται στο σημείο Α. Μ 1 40m A m 41m Μ Καθώς η συχνότητα της γεννήτριας αυξάνεται σιγά - σιγά από 00Hz 1000Hz διαπιστώνεται ότι ο ανιχνευτής Α καταγράφει σειρά ενισχύσεων και αποσβέσεων. Οι 40m M A = 41m, ενώ η αποστάσεις του ανιχνευτή από τις πηγές είναι ( M1A) ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι πρώτη απόσβεση είναι α) 00Hz. β) 510Hz. γ) 850Hz. = και ( ) m 340 s. Η συχνότητα για την οποία παρατηρείται η Να επιλέξτε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. Για να συμβαίνει απόσβεση πρέπει για τα κύματα που φτάνουν από τα δύο μεγάφωνα ( K + 1) λ υ στον ανιχνευτή να ισχύει η σχέση : r1 r =. Αντικαθιστώντας, λ=, f m r1 = 41m, r = 40m και υ= 340 παίρνουμε: s υ 340m / s 41m 40m = ( K + 1) 1m = ( K + 1) f = ( K + 1) 170 Hz f f Για K = 0 βρίσκουμε f = 170Hz η οποία απορρίπτεται γιατί είναι μικρότερη από 00Hz. Για K = 1 βρίσκουμε f = 510Hz που είναι η ζητούμενη, ενώ για K = βρίσκουμε f = 850Hz κλπ. 14

15 Ερώτηση 10. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π 1 και Π ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια ενός υγρού με το ίδιο πλάτος Α, παράγοντας αρμονικά κύματα συχνότητας f και μήκους κύματος λ. Ένα σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού απέχει r 1 = 4λ από την πηγή Π 1 και r = 7λ από την πηγή Π. Το πλάτος ταλάντωσης του υλικού σημείου Σ, αφού συμβάλλουν σε αυτό τα κύματα, ισούται με: α) Α. β) Α. γ) 3Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. Η διαφορά των αποστάσεων του σημείου από την πηγή είναι 1 r r r 3 = = λ, δηλαδή ακέραιο πολλαπλάσιο μήκους κύματος. Συνεπώς έχουμε ενισχυτική συμβολή και πλάτος ταλάντωσης ίσο με Α. 15

16 Ερώτηση 11. Κατά μήκος χορδής μήκους L, που η μια της άκρη είναι ακλόνητα στερεωμένη, έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, με το ελεύθερο άκρο της να είναι κοιλία. Α. Το μήκος της χορδής μπορεί να είναι α) L κλ =. κλ λ β) L = +. 4 γ) L = κλ. Β. Αν Α είναι το πλάτος των αρμονικών κυμάτων που συμβάλλουν και παράγεται το στάσιμο κύμα, τότε η σχέση που δίνει τη μέγιστη ταχύτητα με την οποία ταλαντώνονται οι κοιλίες, είναι: α) υ max = ωα. β) υ max = ωα. γ) υ max = ωασυνω t. Να επιλέξετε τις σωστές απαντήσεις. Να δικαιολογήσετε τις επιλογές σας. Α. Σωστή απάντηση είναι η β. Το ένα άκρο της χορδής είναι ακλόνητο, οπότε εκεί θα υπάρχει δεσμός. Στο άλλο άκρο, σύμφωνα με την εκφώνηση, δημιουργείται κοιλία. Η απόσταση μεταξύ μιας κοιλίας και ενός δεσμού είναι 4 λ, άρα το μήκος της χορδής θα πρέπει να είναι περιττό πολλαπλάσιο του 4 λ. Διαιρώντας το μήκος χορδής με το 4 λ βρίσκουμε περιττό αριθμό μόνο στο β. K λ λ (K + 1) λ L = + = 4 4 Β. Σωστή η απάντηση είναι η β. 16

17 Η μέγιστη ταχύτητα ενός υλικού σημείου που εκτελεί αρμονική ταλάντωση δίνεται από τη σχέση = ωα, με A, να δηλώνει το πλάτος ταλάντωσής του. Οι κοιλίες υ max ταλαντώνονται με πλάτος Α 0 = Α. Με αντικατάσταση εύκολα προκύπτει υ max = ωα. 17

18 Ερώτηση 1. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Ο 1 και Ο δημιουργούν κύματα ίδιου πλάτους Α και μήκους κύματος από τις πηγές ισχύει r 1 r = 4cm, τότε το σημείο Σ α) ταλαντώνεται με πλάτος Α. β) ταλαντώνεται με πλάτος A. γ) παραμένει ακίνητο. λ= 0,5cm. Αν για τις αποστάσεις r 1 και r ενός σημείου Σ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η α. Γνωρίζουμε ότι για να συμβεί ενισχυτική συμβολή πρέπει να ισχύει η σχέση r 1 r = Νλ. Αυτό πράγματι ισχύει γιατί r1 r = 4cm r 1 r = 8 0,5cm r 1 r = 8λ, όπου λ= 0,5cm. Συνεπώς το υλικό σημείο Σ εκτελεί σύνθετη ταλάντωση μεγίστου πλάτους. 18

19 Ερώτηση 13. Κατά μήκος χορδής, που έχει στερεωμένο το ένα της άκρο, διαδίδεται ο παλμός του σχήματος. Όταν ο παλμός φτάσει στο σημείο Κ, τότε ο τοίχος θα ασκήσει δύναμη στο σχοινί που θα έχει την κατεύθυνση της α) F 1. β) F. γ) F 3. δ) F 4. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. Σε ένα κύμα (ή παλμό) κάθε υλικό σημείο επαναλαμβάνει την κίνηση του προηγούμενού του. Ο παλμός του σχήματος κινείται προς τα δεξιά και η μορφή του δηλώνει ότι σε κάθε σημείο που φθάνει αυτό κινείται προς τα πάνω. Έτσι, όταν ο παλμός φτάσει στο σημείο Κ θα τραβήξει προς τα πάνω το πρώτο μόριο του σημείου στήριξης. Σύμφωνα με τον 3 ο νόμο του Νεύτωνα το σημείο στήριξης θα ασκήσει στο άκρο του σχοινιού αντίθετη δύναμη. 19

20 Ερώτηση 14. Κατά μήκος ομογενούς ελαστικής χορδής αποκαθίσταται στάσιμο κύμα που πx περιγράφεται από την εξίσωση : y= 4 συν( ) ηµ 6π t, όπου x, y σε cm και t σε s. 10 Α. Η συχνότητα των κυμάτων που συμβάλλουν είναι α) 6Hz. β) 3Hz. γ) 10Hz. Β. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών είναι α) 5cm. β) 1 cm. 5 γ) 10cm. Να επιλέξετε τις σωστές απαντήσεις. Να δικαιολογήσετε τις επιλογές σας. Α. Σωστή απάντηση είναι η β. πx Από τη σύγκριση της εξίσωσης y= 4 συν( ) ηµ 6π t με τη γενική εξίσωση των 10 πx πt στάσιμων κυμάτων y = A συν( ) ηµ ( ), έχουμε: λ T π t = 6 π t π f = 6 π f = 3Hz T Β. Σωστή απάντηση είναι η γ. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών σε ένα στάσιμο είναι λ. 0

21 πx Από τη σύγκριση της εξίσωσης y= 4 συν( ) ηµ 6π t με τη γενική εξίσωση των 10 πx πt στάσιμων κυμάτων y = A συν( ) ηµ ( ), έχουμε: λ T πx πx =, από όπου προκύπτει λ= 0cm. Συνεπώς η απόσταση μεταξύ δύο λ 10 λ διαδοχικών δεσμών είναι d = = 10cm. 1

22 Ερώτηση 15. Δύο κύματα που διαδίδονται πάνω στην ίδια ευθεία έχουν εξισώσεις: π π y1 = 4 ηµ (10π t - x) και y = 5 ηµ (10π t + x). 6 6 Από τη συμβολή των δύο παραπάνω κυμάτων: α) δεν μπορεί να προκύψει στάσιμο κύμα. β) θα δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, γιατί τα δύο κύματα διαδίδονται στην ίδια διεύθυνση με αντίθετες φορές, έχουν ίδιες συχνότητες και ίδιο μήκος κύματος. γ) θα δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, γιατί τα δύο κύματα έχουν ίδιες συχνότητες, και διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η α. Για να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, είναι απαραίτητο τα κύματα που συμβάλλουν να διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις και να έχουν όλα τα άλλα στοιχεία τους (πλάτος, συχνότητα, ταχύτητα) ίσα. Τα εν λόγω κύματα διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις, έχουν ίσες συχνότητες, ίσες ταχύτητες διάδοσης αλλά δεν έχουν ίσα πλάτη. Συνεπώς θα συμβάλλουν, αλλά δεν θα προκύψουν σημεία που να παραμένουν ακίνητα, δηλαδή στάσιμο κύμα.

23 Ερώτηση 16. Το ηλεκτρικό πεδίο ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος περιγράφεται από την εξίσωση ( ) 10 E 60 (1 10 t 4 10 x) SI = ηµ π. Η σχέση που περιγράφει το μαγνητικό πεδίο του παραπάνω ηλεκτρομαγνητικού κύματος είναι α = ηµ π 7 10 ) B 10 (1 10 t x)(s.i.) β = ηµ π 7 10 ) B 4 10 (1 10 t x)(s.i.) γ = ηµ π 8 10 ) B 3 10 (1 10 t x)(s.i.) Σωστή απάντηση είναι η α. Η διαφορά μεταξύ των απαντήσεων είναι η τιμή του Β 0, άρα αρκεί να υπολογίσουμε το Β 0. Η εξίσωση του μαγνητικού πεδίου θα είναι: 10 B = B0ηµ π(1 10 t x) Ισχύει E c 0 B =. 0 Η ταχύτητα του φωτός βρίσκεται από τα στοιχεία της δοθείσας εξίσωσης. 10 Από τη σύγκριση της εξίσωσης E 60 (1 10 t 4 10 x) ( S.I. ) = ηµ π με τη γενική εξίσωση του ηλεκτρικού πεδίου του ηλεκτρομαγνητικού κύματος x E = E ηµ π(f t ) S.I. έχουμε: λ 0 ( ) f 1 λ= m = 1 10 Hz και Με εφαρμογή της θεμελιώδους εξίσωσης της κυματικής βρίσκουμε την ταχύτητα διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος. 1 m υ=λ = ( ) υ= = 4 10 m s 10 8 f 1 10 Hz 3 10 c Άρα, E c 60V / m 3 10 m / s 0 7 B0 = = B 8 0 = 10 T 3

24 Ερώτηση 17. (Η άσκηση δόθηκε από τον κ. Αντώνιο Παλόγο) Ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του οριζοντίου άξονα. Σε ένα σημείο του χώρου η φάση του ηλεκτρικού πεδίου περιγράφεται από τη ϕ= π f t 1 (S.I). σχέση ( ) Στο σημείο του χώρου, όπου το ηλεκτρικό πεδίο του ηλεκτρομαγνητικού κύματος παρουσιάζει την παραπάνω φάση, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου α) είναι σε συμφωνία φάσης με την ένταση του μαγνητικού πεδίου. β) παρουσιάζει διαφορά φάσης π με την ένταση του μαγνητικού πεδίου. γ) είναι χρονικά σταθερή. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή είναι η απάντηση β. Σε ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα, κοντά στην πηγή η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου παρουσιάζει διαφορά φάσης π με την ένταση του μαγνητικού, ενώ μακριά από την πηγή οι δύο εντάσεις είναι σε συμφωνία φάσης. Από τη σύγκριση της δοθείσας εξίσωσης t x ϕ= π( ft 1) με την γενική εξίσωση της φάσης φ= π, προκύπτει ότι: T λ x = 1 x =λ λ Όμως απόσταση ίση με ένα μήκος κύματος δηλώνει θέση πολύ κοντά στην πηγή δημιουργίας του ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Άρα οι δύο εντάσεις παρουσιάζουν διαφορά φάσης π. 4

25 Ερώτηση 18. Μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός συχνότητας f, στην πορεία της συναντά και διαπερνά κάθετα δύο διαφανή πλακίδια Α και Β, τα οποία έχουν ίδιο πάχος και δείκτες διάθλασης αντίστοιχα n A και n B, για τους οποίους ισχύει na > nb. Α. Για τα μήκη κύματος λ Α, α) λ Α =λ Β. λ Β του φωτός στα δύο πλακίδια ισχύει β) λ Α >λ Β. γ) λ Α <λ Β. Β. Για τους χρόνους διέλευσης του φωτός t A, t B από το κάθε πλακίδιο θα ισχύει t = t. α) A B t > t. β) A B t < t. γ) A B Να επιλέξετε τις σωστές απαντήσεις. Να αιτιολογήσετε τις επιλογές σας. Α. Σωστή απάντηση είναι η γ. c c Από τη σχέση n = υ=, προκύπτει ότι στο υλικό με μεγάλο δείκτη διάθλασης η υ n ταχύτητα διάδοσης του φωτός είναι μικρότερη. n > n υ <υ A B A B Εφαρμόζοντας στην τελευταία σχέση τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής και παίρνοντας υπόψη ότι η συχνότητα δεν αλλάζει, προκύπτει: υ <υ λ f <λ f λ <λ A B A B A B Άρα, το φως στο πλακίδιο Β έχει μεγαλύτερο μήκος κύματος, γιατί διαδίδεται με μεγαλύτερη ταχύτητα. Β. Σωστή απάντηση είναι η β. 5

26 Ο χρόνος διέλευσης του φωτός από το κάθε πλακίδιο είναι d t = υ (όπου d το πάχος του πλακιδίου). Δεδομένου ότι τα πλακίδια έχουν το ίδιο πάχος, το φως θα περάσει σε μικρότερο χρονικό διάστημα από το πλακίδιο όπου διαδίδεται με μεγαλύτερη ταχύτητα. c Όμως υ=, άρα θα περάσει πιο γρήγορα από το πλακίδιο που έχει μικρότερο δείκτη n διάθλασης, δηλαδή το οπτικώς αραιότερο υλικό. 6

27 Ερώτηση 19. Ακτίνα φωτός εισέρχεται από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο. Αν συμβολίσουμε με θ a τη γωνία πρόσπτωσης και θ b τη γωνία διάθλασης, τότε ισχύει α) θ a =θ b. β) θ a >θ b. γ) θ a <θ b. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. Συμβολίζουμε με n Α το δείκτη διάθλασης του οπτικά πυκνότερου μέσου και με n Β το δείκτη διάθλασης του οπτικά αραιότερου, άρα nb < na Από το νόμο του Snell έχουμε: naηµθ α = nbηµθ b. Έτσι, αφού nb < na πρέπει ηµθ α < ηµθ b. Επειδή οι γωνίες είναι οξείες προκύπτει ότι: θ <θ. α b 7

28 Ερώτηση 0. Όταν μονοχρωματικό φως μεταβαίνει από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο, τότε α) η συχνότητά του μειώνεται. β) το μήκος κύματος μειώνεται. γ) η ταχύτητά του αυξάνεται. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. Η συχνότητα δεν αλλάζει ποτέ γιατί είναι ίδια με τη συχνότητα της πηγής. Όταν το φως μεταβαίνει από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο, τότε μεταβαίνει από μεγαλύτερο σε μικρότερο δείκτη διάθλασης. Από τη σχέση αυξάνεται. υ=λ f προκύπτει ότι επειδή η ταχύτητα αυξάνεται το μήκος κύματος 8

29 Ερώτηση 1. Μονοχρωματικό φως κινούμενο στο εσωτερικό διαφανούς υλικού με δείκτη διάθλασης na =, προσπίπτει σε διαχωριστική επιφάνεια και εισέρχεται σε δεύτερο διαφανές υλικό με δείκτη διάθλασης nb = 3. Α. Για τις γωνίες πρόσπτωσης θ a και διάθλασης α) ηµθ a < ηµθ b. θ b ισχύει β) ηµθ a = ηµθ b. γ) ηµθ a > ηµθ b. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. π Β. Αν η γωνία πρόσπτωσης είναι θ a = και 3 ακτίνας του μονοχρωματικού φωτός. 3 ημ π = 3, να σχεδιάσετε τη πορεία μιας Α. Σωστή απάντηση είναι η α. Με εφαρμογή του νόμου του Snell προκύπτει ηµθ n 3 n ηµθ = n ηµθ = = < 1 ηµθ < ηµθ. a b b b a a a b ηµθb na Β. Με αντικατάσταση στο νόμο του Snell παίρνουμε: 3 π nb ηµθ b = na ηµθa 3ηµθ b = ηµθ b = 1 θ b =, συνεπώς η ακτίνα θα έχει πορεία παράλληλα στη διαχωριστική επιφάνεια. 9

30 30

31 Ερώτηση. Μονοχρωματική ακτινοβολία που διαδίδεται στο γυαλί προσπίπτει στη διαχωριστική π επιφάνεια του γυαλιού µε τον αέρα, µε γωνία πρόσπτωσης θ a = rad. Ο δείκτης 3 διάθλασης του γυαλιού είναι na = και του αέρα είναι n = 1. Η ακτινοβολία θα α) διαθλαστεί και θα εξέλθει στον αέρα. β) κινηθεί παράλληλα προς τη διαχωριστική επιφάνεια. γ) ανακλαστεί ολικά από τη διαχωριστική επιφάνεια. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Δίνεται π 3 ηµ =. 3 Σωστή απάντηση είναι η γ (θα γίνει ολική ανάκλαση). Για να κρίνουμε ποια θα είναι η πορεία της ακτίνας μετά την πρόσπτωσή της στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων, πρέπει να υπολογίσουμε την κρίσιμη γωνία. Με εφαρμογή του νόμου του Snell για την κρίσιμη γωνία παίρνουμε π 1 1 π ηµθ n = ηµ n ηµθ = ηµθ = θ = rad n 4 crit a αερα crit crit crit a Η γωνία πρόσπτωσης είναι π θ a = rad 3 Επειδή η γωνία πρόσπτωσης, θ a, είναι μεγαλύτερη από την κρίσιμη γωνία, φωτεινή ακτίνα θα υποστεί ολική ανάκλαση. θ crit, η 31

32 Ερώτηση 3. Α. Μονοχρωματική ακτινοβολία μήκους κύματος λ 0 περνάει από τον αέρα σε διαφανές υλικό, μέσα στο οποίο το μήκος κύματός της μειώνεται κατά το 1 3 της αρχικής του τιμής. Ο δείκτης διάθλασης του διαφανούς υλικού είναι α) 3. β) 3. γ). Β. Ο λόγος της περιόδου της ακτινοβολίας στο διαφανές υλικό προς την περίοδό της στον αέρα, είναι: α) 1 3. β) 3. γ) 1. Να επιλέξετε τις σωστές απαντήσεις. Να δικαιολογήσετε τις επιλογές σας. Α. Σωστή απάντηση είναι η α. 1 Επειδή το μήκος κύματος μειώνεται κατά λ 0, το νέο μήκος κύματος είναι 3 1 λ=λ λ λ= λ Από τον ορισμό του δείκτη διάθλασης παίρνουμε n c λ f λ 3 n. υ λf λ = = = = Β. Σωστή απάντηση είναι η γ. 3

33 Η συχνότητα (και η περίοδος του κύματος) είναι ίδια με της πηγής, συνεπώς δε μεταβάλλονται. 33

34 Ερώτηση 4. Στην επιφάνεια υγρού διαδίδονται δύο αρμονικά εγκάρσια κύματα ίδιου πλάτους A και ίδιας συχνότητας, που παράγονται από δύο σύγχρονες πηγές Π 1, Π με εξισώσεις ταλάντωσης y1 = y = Aημωt. Σε ένα σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού πρώτα φτάνει το κύμα από την πηγή Π 1 και μετά από χρονικό διάστημα 3Τ/4 φτάνει το κύμα από την πηγή Π. Λόγω της συμβολής των δύο κυμάτων το σημείο Μ ταλαντώνεται με πλάτος α) A β) A γ) A Δίνεται: 3π συν = 4 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Το πλάτος ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση: A = r r1 Aσυνπ λ (1) Για τις αποστάσεις του σημείου Μ από τις πηγές ισχύει: r = υt και r = ut 1 1 3T 3T 3λ r r1 = υ t1+ υt1 r r1 = υ r r1 = Με αντικατάσταση στη σχέση (1) παίρνουμε: 3λ 4 3π A = Aσυνπ = Aσυν = A λ 4 34

35 Ερώτηση 5. Κατά μήκος χορδής μεγάλου μήκους διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους Α και μήκους κύματος λ. Το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t 1 είναι όπως στο σχήμα. Το σημείο Μ που βρίσκεται στη θέση 5λ x = τη χρονική στιγμή t 1 έχει απομάκρυνση 3 α) Α. β) Α/3. γ) -Α/. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Δίνεται: π 1 ημ = 6 Σωστή απάντηση είναι η (γ). Το κύμα περιγράφεται από την εξίσωση t x y Aημπ = T λ (1) λ Τη χρονική στιγμή t 1 το κύμα έχει προχωρήσει λ +. Έχοντας υπόψη ότι σε μια 4 T περίοδο το κύμα προχωρά κατά λ, προκύπτει ότι t1 = T +. 4 Με αντικατάσταση στη σχέση (1), 5λ T x = και t 1 = T + έχουμε: 3 4 T 5λ T π π y= Aημπ = Aημπ = Aημ = Aημ T λ ή A y = 35

36 Ερώτηση 6. Δύο ελαστικές χορδές 1 και είναι συγκολλημένες στο ένα άκρο τους. Ένας κυματοπαλμός, ημιτονοειδούς μορφής, οδεύει από τα αριστερά προς τα δεξιά στο μέσο 1 με ταχύτητα υ 1. Στο πάνω στιγμιότυπο φαίνεται ο κυματοπαλμός τη στιγμή που φτάνει στο μέσο, ενώ στο κάτω στιγμιότυπο φαίνονται ο ανακλώμενος κυματοπαλμός, καθώς και αυτός που διαδίδεται στο μέσο, με ταχύτητα υ. Από τη μελέτη των σχημάτων προκύπτει ότι οι ταχύτητες διάδοσης στο μέσο 1 και στο μέσο συνδέονται με τη σχέση α) υ1 < υ β) υ1 = υ γ) υ1 > υ Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Όταν ένα κύμα αλλάζει μέσω διάδοσης η συχνότητα παραμένει σταθερή. Από το σχήμα και τον ορισμό του μήκους κύματος, προκύπτει: λ 1 d = και λ d =. Επίσης από το σχήμα προκύπτει: d< d άρα και λ1 < λ ή λ1f < λf ή υ1 < υ. 36

37 Ερώτηση 7. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π 1, Π παράγουν κύματα ίδιου πλάτους στη επιφάνεια υγρού. Μικρό κομμάτι φελλού απέχει r 1 = 5m από την πηγή Π 1 και r = 4,5m από την Π. Το μέγιστο μήκος κύματος που μπορεί να παραχθεί από τις πηγές, προκειμένου να παραμένει ακίνητος ο φελλός είναι α) m β) 1m γ) 0,5m Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Αφού ο φελλός παραμένει ακίνητος ισχύει η σχέση λ (r1 r ) r1 r = (k + 1) λ = k + 1 Με βάση την παραπάνω σχέση το μέγιστο λ προκύπτει για το ελάχιστο k, δηλαδή για k=0. Με αντικατάσταση προκύπτει: (5m 4,5m) λ = λ = 1m

38 Ερώτηση 8. Στην επιφάνεια ενός υγρού δύο σύγχρονες πηγές παράγουν κύματα ίδιου πλάτους και ίδιας συχνότητας. Για ένα σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού, η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης y σε συνάρτηση με το χρόνο t είναι όπως στο διάγραμμα. Αν r 1 και r είναι οι αποστάσεις του Μ από τις δύο πηγές, τότε α) r r 1 =,5λ β) r r 1 = 1, 5λ γ) r r 1 = 5λ Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή πρόταση είναι η (β). Παρατηρούμε ότι το σημείο Μ αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t 1 και σταματά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t. Αυτό συμβαίνει γιατί τη χρονική στιγμή t έφτασε το δεύτερο κύμα και προκλήθηκε αποσβεστική συμβολή. 3T Από τη γραφική παράσταση προκύπτει: t t1 =. r r1 = υ(t 3T λ 3T 3λ t 1) = υ r r1 = r r1 = T 38

39 Ερώτηση 9. Σε μια χορδή μήκους L δημιουργείται στάσιμο κύμα, με δεσμούς στα δύο άκρα της και άλλους δύο ενδιάμεσα. Αν f είναι η συχνότητα ταλάντωσης της χορδής, τότε η ταχύτητα διάδοσης του κύματος στη χορδή είναι α) β) γ) Lf υ = 3 Lf υ = 3 3Lf υ = Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή πρόταση είναι η (α). Στα δύο άκρα της χορδής δημιουργούνται δεσμοί, έτσι το μήκος της χορδής και το μήκος λ L κύματος συνδέονται με τη σχέση: L= 3 λ = 3 Με αντικατάσταση στη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής παίρνουμε: L L υ = λf = f υ = f

40 Ερώτηση 30. Οι σεισμολόγοι, προκειμένου να προσδιορίσουν την απόσταση της εστίας ενός σεισμού από ένα σεισμογράφο, χρησιμοποιούν τη διαφορά χρόνου άφιξης με την οποία καταγράφονται από το σεισμογράφο τα διαμήκη και εγκάρσια κύματα που παράγονται στην εστία του σεισμού. Αν Δt η χρονική διαφορά άφιξης των διαμήκων και εγκάρσιων κυμάτων, υ ( δ ε υ δ, υ ε οι ταχύτητες των διαμήκων και εγκαρσίων κυμάτων αντίστοιχα, > υ ), τότε η απόσταση της εστίας του σεισμού από τον σεισμογράφο είναι Σεισμογράφος d υ δ υ ε ΕΣΤΙΑ υ + υ t ( ) δ ε α) υ + υ t β) ( ) δ ε γ) υδ υε t υ υ δ ε Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Αν με t δ και t ε συμβολίσουμε τους χρόνους που απαιτούνται για να φτάσουν το εγκάρσιο και το διαμήκες κύμα από την εστία του σεισμού έως το σεισμογράφο αντίστοιχα, ισχύει: t δ d = και tε υ δ d =, όπου d η απόσταση εστίας σεισμογράφου. υ ε Επειδή υε < υδ θα είναι tδ < tε. 40

41 d d Άρα, Δt = t ε t = δ υ υ και από εδώ λύνοντας ως προς d βρίσκουμε: ε δ υδ υε t d = υ υ δ ε. 41

42 Ερώτηση 31. Ένα κύκλωμα αμείωτων ηλεκτρικών ταλαντώσεων πηνίου-πυκνωτή παράγει ηλεκτρομαγνητικά κύματα μήκους κύματος λ. Αν αυξήσουμε τον συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου κατά 44%, το μήκος κύματος του ηλεκτρομαγνητικού κύματος α) αυξάνεται κατά 44% β) μειώνεται κατά 44% γ) αυξάνεται κατά 0% Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Η αρχική συχνότητα της ταλάντωσης είναι: f 1 = π LC Η συχνότητα της νέας ταλάντωσης είναι: 1 1 f = = π LC π 1,44LC ή f f = 1, Γράφοντας τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής για την κάθε περίπτωση και διαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε: c λf λf 1, λ = 1= 1= λ' = 1,λ ή λ ' = 10%λ c λ'f' λ'f /1, λ' Άρα, έχουμε αύξηση 0%. 4

43 Ερώτηση 3. Η εξίσωση του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος που διαδίδεται σε ένα οπτικό μέσο είναι: x = (S.I.), 5 8 x B = 10 ημπ 10 t 8 E Emaxημπ 10 t (S.I.) αντίστοιχα. Η μέγιστη ένταση του ηλεκτρικού πεδίου, Ε max, είναι α) β) γ) V / m 3 10 V / m V / m Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Από την εξίσωση του μαγνητικού πεδίου προκύπτει: f = και 8 = 10 Hz, λ m 5 Βmax 10 T =. H ταχύτητα διάδοσης του κύματος στο μέσο είναι: 8 υ = λf = 10 m / s. Επίσης ισχύει: Emax 8 m 5 3 V = υ Emax = υbmax = T Emax = 10. B s m max 43

44 Ερώτηση 33. Σε μια χορδή έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Ένα σημείο Μ της χορδής ταλαντώνεται A με πλάτος Α και τη χρονική στιγμή t = 0 βρίσκεται στη θέση x = κινούμενο προς τη θέση ισορροπίας του. Η χρονική στιγμή που η επιτάχυνσή του γίνεται μηδέν για πρώτη φορά είναι α) T 3. β) T 6. γ) T 1. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Οι εξισώσεις κίνησης είναι: x = Aημ ( ωt + φ 0 ) και υ υmaxσυν ( ωt φ0 ) = +. Τη χρονική στιγμή t = 0 είναι: A 1 x = και υ < 0 άρα ημφ0 = και συνφ0 < 0. Επειδή 0 < φ0 < π θα είναι π 5π = =. Η επιτάχυνση μηδενίζεται για 1 η φορά στην θέση x = 0, άρα φ0 π 6 6 5π 0 = Αημ ωt + 6 ή 5π κπ = ωt + ή 6 5π ωt = κπ και για κ = 1 έχουμε: 6 π ωt = 6 ή π t = π ή T 6 T t =. 1 44

45 Ερώτηση 34. Στα παρακάτω σχήματα βλέπουμε τα στιγμιότυπα μέρους μιας χορδής που T ταλαντώνεται, τις χρονικές στιγμές t 1 και t 1 +. Μελετώντας τα στιγμιότυπα αυτά και 4 έχοντας υπόψη ότι το σημείο της θέσης x = 0 (δεν δείχνεται στο σχήμα) ταλαντώνεται σύμφωνα με τη σχέση y= Aημωt, συμπεραίνουμε ότι α) έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα στη χορδή. β) παριστάνουν αρμονικό κύμα που διαδίδεται προς τ αριστερά. γ) παριστάνουν αρμονικό κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση και δικαιολογείστε την επιλογή σας. Σωστή είναι η (β). Δεν θα μπορούσε να είναι στάσιμο κύμα, γιατί βλέπουμε ότι τα σημεία που τη χρονική T στιγμή t 1 βρισκόντουσαν στις θέσεις ισορροπίας, τη χρονική στιγμή t1 + βρίσκονται 4 στις μέγιστες απομακρύνσεις. Για να αποφασίσουμε προς τα πού διαδίδεται το κύμα θα στηριχθούμε στην παρατήρηση ότι σε ένα τρέχον κύμα όλα τα σημεία του υλικού εκτελούν διαδοχικά την κίνηση του προηγούμενού τους. Αν το κύμα διαδίδεται προς τα αριστερά, στο στιγμιότυπο της χρονικής στιγμή t 1 τα προηγούμενα του σημείου Α βρίσκονται σε θετική απομάκρυνση και το σημείο Α μετά από χρονικό διάστημα T/4 θα έπρεπε να βρεθεί στη μέγιστη θετική απομάκρυνση. Αν το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά, στο στιγμιότυπο της χρονικής στιγμή t 1 τα προηγούμενα του σημείου Δ βρίσκονται σε θετική απομάκρυνση και το σημείο Δ μετά από χρονικό διάστημα T/4 θα έπρεπε να βρεθεί στη μέγιστη θετική απομάκρυνση, αλλά αυτό βρίσκεται στο -Α. Από τη συγκριτική μελέτη των δύο γραφημάτων εύκολα προκύπτει ότι το κύμα διαδίδεται προς τα αριστερά. 45

46 Ερώτηση 35. Οι οπτικές ίνες είναι φτιαγμένες από δύο διαφανή υλικά 1 και, έτσι ώστε το εσωτερικό να είναι κύλινδρος και γύρω του το υλικό είναι ομοαξονικός κοίλος κύλινδρος. Στο σχήμα φαίνεται μια τομή κατά μήκος του άξονα του κυλίνδρου. Μια ακτίνα laser διαδιδόμενη στο υλικό 1 προσπίπτει με γωνία 45 ο στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο οπτικών μέσων και υφίσταται ολική ανάκλαση, όπως στο σχήμα. Αν ο δείκτης διάθλασης του υλικού 1 είναι n1 =, τότε για το δείκτη διάθλασης του υλικού ισχύει α) 1< n < β) < n < γ) 1< n < Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η α. Αφού συμβαίνει ολική ανάκλαση η γωνία πρόσπτωσης των 45 ο είναι μεγαλύτερη από την κρίσιμη γωνία. Η κρίσιμη γωνία υπολογίζεται από τη σχέση: n ημϑ n = ημ90 n ημϑ = o crit 1 crit n1 n n 45 >ϑ ημ45 > ημϑ ημ45 > > n < o o o crit crit n1 46

47 Ερώτηση 36. Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται χωρίς απώλειες κατά μήκος του άξονα x Ox. Το σημείο της θέσης x = 0, ταλαντώνεται σύμφωνα με τη σχέση y= Aημωt. Στο διάγραμμα φαίνεται για ένα σημείο Μ του ελαστικού μέσου που απέχει xm = 40cm από την πηγή η απομάκρυνση σε συνάρτηση με το χρόνο H ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι α. 0,1 m/s β. 0, m/s γ. 0,5 m/s Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Από το διάγραμμα προκύπτει ότι το κύμα σε χρονικό διάστημα Δt = 0,8s διανύει απόσταση Δx = 0, 4m. Παίρνοντας υπόψη ότι η ταχύτητα διάδοσης είναι σταθερή έχουμε: Δx 0, 4m υ= = υ = 0,5m / s Δt 0,8s 47

48 Ερώτηση 37. Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται χωρίς απώλειες κατά μήκος του άξονα x Ox. Το σημείο της θέσης x = 0, ταλαντώνεται σύμφωνα με τη σχέση y= Aημωt. Στο διάγραμμα φαίνεται για ένα σημείο Μ του ελαστικού μέσου που απέχει = 40cm από την πηγή η απομάκρυνση σε xm συνάρτηση με το χρόνο.το διάγραμμα της απομάκρυνσης όλων των σημείων του ελαστικού μέσου (στιγμιότυπο του κύματος) τη χρονική στιγμή t = 0,35s είναι το α. (Ι) β. (ΙΙ) γ. (ΙΙΙ) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση η (γ). Από το διάγραμμα προκύπτει ότι το χρονικό διάστημα 0,8s έως 1,1s αντιστοιχεί σε 3Τ/. Οπότε έχουμε ή 0,3s = 3Τ/ ή Τ = 0, s. Η χρονική στιγμή t = 0,35s = 0, 0s + 0,15s αντιστοιχεί σε χρονικό διάστημα 7T / 4. Παίρνοντας υπόψη ότι το κύμα σε χρονικό διάστημα μιας περιόδου προχωρά κατά ένα μήκος κύματος λ εύκολα προκύπτει ότι σε χρονικό διάστημα 7T / 4 προχωρά κατά Δx = 7λ / 4. Άρα σωστό είναι το διάγραμμα (ΙΙΙ). 48

49 Ερώτηση 38. Κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα μήκους κύματος λ κατά τη διεύθυνση του άξονα x Ox. Το σημείο της θέσης x = 0, ταλαντώνεται σύμφωνα με τη σχέση y= Aημωt. Η φάση ενός σημείου Μ του μέσου σε σχέση με το χρόνο δίνεται από τη σχέση φμ = πt 4π (SI) Όταν το σημείο Μ αποκτήσει για τρίτη φορά τη μέγιστη δυναμική του ενέργεια, η επιτάχυνση της πηγής (x=0) θα είναι α. μηδέν β. θετική γ. αρνητική. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Η φάση του σημείου Μ γράφεται: t φ = πt 4π φ = π Από τη σύγκριση με τη γενική εξίσωση της φάσης προκύπτει: Τ = s και x = x = λ λ Η πηγή και το σημείο Μ βρίσκονται σε συμφωνία φάσης, αφού απέχουν μεταξύ τους ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος και θα έχουν κάθε στιγμή ίδιες απομακρύνσεις. Όταν τo M αποκτά τη μέγιστη δυναμική του ενέργεια για 3 η φορά, βρίσκεται σε απομάκρυνση +Α, επομένως και η πηγή βρίσκεται σε απομάκρυνση +Α. Παίρνοντας υπόψη ότι, α = ωy, προκύπτει ότι το σημείο Μ έχει αρνητική επιτάχυνση. 49

50 Ερώτηση 39. Στο σχήμα φαίνονται σε κοινό σύστημα αξόνων τα διαγράμματα φάσης απόστασης δύο αρμονικών κυμάτων 1 και που διαδίδονται κατά μήκος δύο γραμμικών ελαστικών μέσων τη χρονική στιγμή t ο. Τα κύματα ξεκίνησαν τη χρονική στιγμή t = 0 τη διάδοσή τους από τις πηγές τους χωρίς αρχική φάση. λ1 Ο λόγος των μηκών κύματος των κυμάτων, λ, είναι λ1 1 α. = λ λ1 β. = λ 3 λ1 3 γ. = λ Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Από τα διαγράμματα βλέπουμε ότι: τη στιγμή t ο τα δύο κύματα προχώρησαν μέχρι x1 Eπομένως x1 υ 1 to υ1 λ1 f1 = = = x υ t υ 3 λ f 3 o (1) = 4m και x = 6m αντίστοιχα. τη χρονική στιγμή t ο οι φάσεις των πηγών είναι 4π και 3π αντίστοιχα. Επoμένως: φ1 πf1t o 4π f1 f1 4 = = =. φ πf t 3π f f 3 o Με αντικατάσταση στην (1) προκύπτει: λ 1 f1 λ1 4 λ1 λ1 1 = = = = 3 λ f 3 λ 3 λ 4 λ 50

51 Ερώτηση 40. Κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται προς την κατεύθυνση του αρνητικού ημιάξονα εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Τη χρονική στιγμή t=0, το σημείο x=0 ξεκινά την ταλάντωσή του διερχόμενο από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα. To διάγραμμα φάσης-απόστασης τη χρονική στιγμή t 1 φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το σημείο Κ βρίσκεται στη θέση α. β. λ 3λ γ. 3λ Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Τη χρονική στιγμή t 1 : φκ = 0 και φμ = 3π. Επειδή το κύμα διαδίδεται προς τον αρνητικό ημιάξονα η φάση ενός σημείου δίνεται από t x τη σχέση φ π = + T λ. Με αντικατάσταση των τιμών για το σημείο Μ τη χρονική στιγμή t 1 παίρνουμε: t1 xm t1 λ T φm = π + 3π = π + t1 = T λ T λ Με αντικατάσταση των τιμών για το σημείο Κ τη χρονική στιγμή t 1 παίρνουμε: t x λ = = + = T λ 1 K φk 0 0 π xk 51

52 Ερώτηση 41. Οι πηγές Ο 1 και Ο του σχήματος βρίσκονται σε συμφωνία φάσης και δημιουργούν στην ήρεμη επιφάνεια υγρού αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους Α, που διαδίδονται με ταχύτητα μέτρου υ=4 cm/s παράγοντας φαινόμενα συμβολής. Tο σημείο Μ απέχει r 1 =51,5 cm και r =49,5cm από τις πηγές αντίστοιχα. Για να βρίσκεται το σημείο Μ σε υπερβολή ενίσχυσης, θα πρέπει οι πηγές να εκπέμπουν τα κύματα με συχνότητες α. f=1,3,5,7 Hz β. f=,4,6,8 Hz γ. f=1,,3,4,5 Hz Σωστή απάντηση είναι η (β). Για τη διαφορά των αποστάσεων του Μ από τις δύο πηγές ισχύει : r1 r = cm Για να έχουμε ενισχυτική συμβολή πρέπει: υ Nυ N 4cm / s r1 r = Nλ r1 r = N f = = f = N Hz f r1 r cm άρα f =, 4,6..Hz. με Ν = 1,,3. 5

53 Ερώτηση 4. Οι πηγές Ο 1 και Ο του σχήματος βρίσκονται σε συμφωνία φάσης και δημιουργούν στην ήρεμη επιφάνεια υγρού αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους Α, που διαδίδονται με ταχύτητα μέτρου υ=6 cm/s παράγοντας φαινόμενα συμβολής. Tο σημείο Μ απέχει r 1 =31,5 cm και r =34,5cm από τις πηγές αντίστοιχα. Για να βρίσκεται το σημείο Μ σε υπερβολή απόσβεσης, θα πρέπει οι πηγές να εκπέμπουν τα κύματα με συχνότητες α. f=1,3,5,7 Hz β. f=,4,6,8 Hz γ. f=1,,3,4,5 Hz Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση η (α). Για τη διαφορά των αποστάσεων του Μ από τις δύο πηγές ισχύει : r1 r = 3cm Για να έχουμε αποσβεστική συμβολή πρέπει: λ υ (N + 1)υ (N + 1) 6cm / s r1 r = (N + 1) r1 r = (N + 1) f = = f r r 3cm f = (N + 1) Hz με N = 0,1,,3... Άρα f = 1,3,5,7 Hz 1 53

54 Ερώτηση 43. Σε ένα οριζόντιο σχοινί που έχει το ένα άκρο του ελεύθερο και το άλλο στερεωμένο ακλόνητα, δημιουργούμε στάσιμο κύμα στο οποίο στο ελεύθερο άκρο σχηματίζεται κοιλία. Το μήκος του σχοινιού είναι όπου λ είναι το μήκος κύματος του στάσιμου. Τη χρονική στιγμή όλα τα σημεία του σχοινιού διέρχονται από τη θέση ισορροπίας τους. Η διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Β και Γ είναι α. β. γ. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Το πλάτος ταλάντωσης του τυχαίου σημείου σε ένα στάσιμο δίνεται από τη σχέση, όπου x η οριζόντια απόσταση από μια κοιλία, εδώ από το ελεύθερο άκρο. To σημείο B απέχει λ/ από την κοιλία (x=0), επομένως To σημείο Γ απέχει λ από την κοιλία (x=0), επομένως Τα πρόσημα των όρων Α Β και Α Γ είναι αντίθετα, άρα τα Β και Γ έχουν διαφορά φάσης π. 54

55 Ερώτηση 44. Σε ένα οριζόντιο σχοινί που έχει το ένα άκρο του ελεύθερο και το άλλο στερεωμένο ακλόνητα, δημιουργούμε στάσιμο κύμα σχηματίζοντας στο ελεύθερο άκρο κοιλία. Το μήκος του σχοινιού είναι όπου λ είναι το μήκος κύματος του στάσιμου. Τη χρονική στιγμή όλα τα σημεία του σχοινιού διέρχονται από τη θέση ισορροπίας τους. Ο λόγος των πλατών των ταχυτήτων των σημείων Α και Γ είναι αντίστοιχα α. β. γ. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β)., (1) Το πλάτος ταλάντωσης του τυχαίου σημείου σε ένα στάσιμο δίνεται από τη σχέση, όπου x η οριζόντια απόσταση από μια κοιλία, εδώ από το ελεύθερο άκρο. Το σημείο Α απέχει οριζόντια λ/8 από το σημείο x=0 και έχει πλάτος. Το σημείο Γ απέχει οριζόντια λ από το σημείο x=0 και έχει πλάτος Α. 55

56 Η σχέση (1) γίνεται: υmax A AA A υmax A = = = υ A A υ max Γ Γ max Γ 56

57 Ερώτηση 45. Τα άκρα μιας ελαστικής χορδής μήκους L=,5m είναι δεμένα στα σταθερά σημεία Α και Β. Στη χορδή έχουμε δημιουργία στάσιμου κύματος από τρέχοντα κύματα που είχαν ταχύτητα διάδοσης 1 m / s. Η συχνότητα με την οποία ένα σημείο της χορδής ταλαντώνεται μπορεί να είναι α. 5 Hz β. 4,4 Hz γ. 7, Hz Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Τα άκρα του σχοινιού είναι δεσμοί, άρα το μήκος του σχοινιού πρέπει να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του λ/. λ υ υn 1m / s N L = N = N f = = f =, 4 N SI f L,5m ( ) με Ν = 1,,3, 4, Παρατηρούμε ότι για Ν= 3 παίρνουμε f = 7, Hz 57

58 Ερώτηση 46. Το γυάλινο πρίσμα του σχήματος είναι βυθισμένο σε δοχείο που περιέχει υγρό. Η μονοχρωματική ακτίνα φωτός εισέρχεται κάθετα στην έδρα ΑΒ του πρίσματος. Αν οι δείκτες διάθλασης των δύο υλικών συνδέονται με τη σχέση n πρισματος = n υγρού, τότε η ακτίνα θα ακολουθήσει την πορεία α. (α) β. (β) γ. (γ) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Δίνεται, ημ30 =. ο 1 Σωστή απάντηση είναι η (β). Εύκολα προκύπτει από τη Γεωμετρία για τη γωνία πρόσπτωσης, φ 30 ο 1 =. Με εφαρμογή του νόμου Snell στο Κ προκύπτει: n ημ30 = n ημφ ή 0,5 = ημφ ή ημφ = 1 ή ο πρ υγρ φ 90 ο =. 58

59 Ερώτηση 47. Η μονοχρωματική ακτίνα φωτός του σχήματος προσπίπτει στην πάνω επιφάνεια του γυάλινου κυλίνδρου στο σημείο Α με γωνία πρόσπτωσης φ και ακολουθεί την πορεία του σχήματος. Το ημίτονο της γωνίας φ είναι α. β. γ Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Δίνονται, ημ30 =, ο 1 ημ60 =. ο 3 Σωστή απάντηση είναι η (α). Με εφαρμογή του νόμου του Snell στο Α παίρνουμε: o o ημφ 1 n ημ30 ημφ n ημ30 = = (1) Με εφαρμογή του νόμου του Snell στο Β παίρνουμε: 1 = = () o ημ60 o o ημ60 n ημ90 1 n Συνδυάζοντας τις (1) και () παίρνουμε: 1 ημφ = ημ60 = 3 = 3 o ημ30 3 ημφ o 59

60 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση 1. Κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής μεγάλου μήκους που το ένα άκρο της είναι ακλόνητα στερεωμένο, διαδίδονται δύο κύματα, των οποίων οι εξισώσεις είναι αντίστοιχα: y1 = 10ηµ π(5t x) και y = 10ηµ π (5t + x), όπου y και x είναι μετρημένα σε cm και το t σε s. Στη θέση x = 0, που είναι το ελεύθερο άκρο της χορδής δημιουργείται κοιλία. α) Να βρείτε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στη χορδή. β) Να βρείτε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που θα δημιουργηθεί από τη συμβολή των δύο αυτών κυμάτων και το πλάτος ταλάντωσης κάθε υλικού σημείου της χορδής, συναρτήσει της απόστασής του από το ελεύθερο άκρο της. γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης - χρόνου, για τα σημεία Α, Β λ λ και Γ, τα οποία απέχουν από το ελεύθερο άκρο αντίστοιχα, xa =, xb = και 4 x Γ = λ, αφού δημιουργηθεί το στάσιμο. δ) Να βρείτε τη σχέση που δίνει τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης κάθε υλικού σημείου της χορδής. Μεταξύ ποιών τιμών κυμαίνεται το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας των υλικών σημείων της χορδής; ε) Ποιά είναι η απόσταση από το ελεύθερο άκρο της χορδής των σημείων που παραμένουν ακίνητα και των σημείων που πάλλονται με μέγιστο πλάτος; t x α) Η γενική εξίσωση του αρμονικού κύματος είναι y= Aηµ π T λ. Συγκρίνοντάς την με μία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυμάτων, έστω την εξίσωση y1 = 10ηµ π(5t x), προκύπτει: t 1 5t = T s T = 5 και x = x λ= λ 1cm Με αντικατάσταση στη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής προκύπτει: λ 1cm cm υ= = υ= 5 Τ 1 s s 5 β) Η γενική εξίσωση του στάσιμου κύματος δίνεται από τη σχέση 60

61 πx πt y = Aσυν ηµ λ T. Με αντικατάσταση των τιμών των Α, λ και Τ προκύπτει: y = 0 συν(πx) ηµ (10π t), όπου y και x είναι μετρημένα σε cm και το t σε s. Άρα το πλάτος ταλάντωσης συναρτήσει της απόστασης είναι: A ' = 0 συνπ x ( cm) γ) Αντικαθιστούμε στην εξίσωση του στάσιμου τις τιμές του x των τριών σημείων. Για το υλικό σημείο Α: A ya 0 ( ) (10 t) cm,s ya 0 (10 t) cm,s A x π = συν π π ( ) = συν π ( ) λ ( ) y = 0 0 (10πt) cm,s y = 0cm Το σημείο Α παραμένει ακίνητο, άρα είναι δεσμός. Για το υλικό σημείο Β: x λ A ( ) ( ) B yb = 0 συν( π ) ηµ (10π t) cm,s = 0 συν( π) ηµ (10πt) cm,s, δηλαδή yb = 0 ηµ 10π t (cm,s).άρα το υλικό σημείο Β πάλλεται με μέγιστο πλάτος, επομένως είναι κοιλία. Για το υλικό σημείο Γ: xγ yγ = 0 συν( π ) ηµ (10πt) cm,s yγ = 0 συν( π) ηµ (10πt) cm,s λ y = 0 ηµ 10 π Γ t ( cm,s). ( ) ( ) δηλαδή Άρα και το υλικό σημείο Γ πάλλεται με μέγιστο πλάτος, επομένως είναι κοιλία. Σχόλιο: To αρνητικό πρόσημο στην εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Β σημαίνει ότι το Β βρίσκεται στη μέγιστη αρνητική απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του όταν το σημείο Γ βρίσκεται στη μέγιστη θετική απομάκρυνση. Λέμε ότι τα δύο σημεία ταλαντώνονται με διαφορά φάσης Δϕ=π. Οι γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης χρόνου φαίνονται στα διαγράμματα που ακολουθούν. 61

62 δ) Το τυχαίο υλικό σημείο της χορδής ταλαντώνεται με βάση την εξίσωση y = A ' ηµ (10π t) ( cm,s), όπου A ' 0 ( x) ( cm) = συν π. Η μέγιστη ταχύτητα με την οποία ταλαντώνεται κάθε υλικό σημείο θα είναι: υ max = ω Α ' = 00 π συν(π x) ( cm / s) Επειδή 0 συν(πx) 1, το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας των υλικών σημείων cm κυμαίνεται μεταξύ της ελάχιστης τιμής υ= 0 και της μέγιστης υ max = 00π s ε) Tα σημεία που παραμένουν ακίνητα απέχουν από το ελεύθερο άκρο της χορδής, ( K + 1) λ ( K + 1) x = = cm, όπου K = 0,1,,3 4 4 Kλ K Για τα σημεία που πάλλονται με μέγιστο πλάτος ισχύει: x = = cm, όπου K = 0,1,,3... 6

63 Άσκηση. Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα πx x'0x διαδίδεται αρμονικό κύμα με εξίσωση: y = 0,1 ηµ (4πt ) (S.I.). Κάποια χρονική στιγμή t οι φάσεις δυο σημείων (Μ) και (Ν) του μέσου, τα οποία βρίσκονται δεξιά της 10π 17π πηγής (Ο), είναι ϕ Μ = rad και ϕ Ν = rad αντίστοιχα. 3 6 α) Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του κύματος. β) Να βρείτε ποιο από τα δυο σημεία (Μ), (Ν) είναι πιο κοντά στην πηγή (Ο), καθώς και την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων. γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t = 1s. δ) Να βρείτε την απομάκρυνση του σημείου (Ν) από τη θέση ισορροπίας του, κάθε φορά που το σημείο (Μ) αποκτά τη μέγιστη θετική απομάκρυνση. α) Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος θα βρεθεί από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής υ=λ f. Συγκρίνοντας την εξίσωση t x y= Aηµ π( - ) T λ έχουμε ότι: πt 4π t = T = 0,5s f = Hz T πx y = 0,1 ηµ (4π t - ) με τη γενική εξίσωση των κυμάτων, πx πx = λ= λ 4m Συνεπώς υ=λ f = 8m / s t x β) Όπως φαίνεται από τη σχέση που δίνει τη φάση του κύματος ϕ= π( - ), όσο πιο T λ μακριά είναι ένα σημείο από την πηγή τόσο μικρότερη είναι η φάση του. 10π 0π H φάση του σημείου Μ, ϕ Μ = rad = rad, είναι μεγαλύτερη από τη φάση του π σημείου Ν, ϕ Ν = rad. Συνεπώς πιο κοντά στην πηγή είναι το σημείο Μ. 6 63

64 Ο υπολογισμός της απόστασης μεταξύ των σημείων Μ και Ν γίνεται με αφαίρεση των δύο φάσεων. ( x x ) ( x x ) ( x x ) t xμ t x Ν Ν Μ ϕμ ϕ Ν = π - -π - ϕμ ϕ Ν = π T λ T λ λ 0π 17π Ν Μ 3π Ν Μ = π = π ( x Ν x Μ) = 1m 6 6 λ 6 4m γ) Υπολογίζουμε σε πόση απόσταση θα έχει διαδοθεί το κύμα σε χρονικό διάστημα 1s. Σε = =, το κύμα θα έχει διαδοθεί απόσταση ίση με δύο μήκη κύματος ( λ ) χρόνο t 1s T Βρίσκουμε την κίνηση χαρακτηριστικών υλικών σημείων. Τα υλικά σημεία στις θέσεις x = 0, x = λ και x = λ, θα βρίσκονται σε απομάκρυνση y= 0 και είναι έτοιμα να κινηθούν κατά τη θετική φορά. δ) Επειδή τα σημεία Μ, Ν, απέχουν μεταξύ τους 1m 4 λ =, παρουσιάζουν διαφορά φάσης π, με το σημείο Μ να προηγείται. Έτσι, όταν το Μ είναι στη θέση μέγιστης θετικής απομάκρυνσης, τότε το Ν περνά από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. 64

65 Άσκηση 3. Κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής μήκους L = 16, 5cm διαδίδεται αρμονικό κύμα της πx μορφής: y = 8 ηµ (10πt ) όπου x, y σε cm και t σε s. Το ένα άκρο της χορδής 5 είναι στερεωμένα ακλόνητα, με αποτέλεσμα το κύμα να ανακλαστεί και να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Το άλλο άκρο της χορδής είναι ελεύθερο, δημιουργείται σε αυτό κοιλία και θεωρούμε ότι βρίσκεται στη θέση x = 0. Η κοιλία της θέσης x = 0 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση. α) Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του αρμονικού κύματος. β) Να βρείτε τον αριθμό των κοιλιών που δημιουργούνται. γ) Να βρείτε την εξίσωση της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου για την κοιλία Κ που λ απέχει από το σημείο x = 0. δ) Αν ένα σημείο Μ του θετικού ημιάξονα ταλαντώνεται με πλάτος Α 0 = 8 3cm, να υπολογίσετε την απόσταση του σημείου αυτού από τον πλησιέστερο δεσμό. α) Για να υπολογίσουμε την ταχύτητα θα εφαρμόσουμε τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής. Γράφουμε τη δοθείσα εξίσωση σε μορφή αντίστοιχη της γενικής εξίσωσης του x αρμονικού κύματος y = Aηµ π(f t ) λ Έχουμε πx y = 8 ηµ (10πt ) 5 x y = 8ηµ π(5t ) (cm,s) 5 Από τη σύγκριση των δύο εξισώσεων παίρνουμε: π f = 10π, συνεπώς f = 5Hz και π π =, συνεπώς λ= 5cm 5 λ Άρα cm υ=λ f = 5 s β) Το σημείο ανάκλασης είναι ακλόνητο, άρα σε αυτό δημιουργείται δεσμός. Στο ελεύθερο άκρο δημιουργείται κοιλία. Επειδή σε ένα στάσιμο, ο δεσμός από την κοιλία 65

66 απέχουν 4 λ το μήκος της χορδής L συνδέεται με το μήκος κύματος λ με τη σχέση: κλ λ L = + 4 Με αντικατάσταση του L και του λ προκύπτει ότι κ= 6. Συνεπώς μεταξύ πρώτου και τελευταίου δεσμού οι κοιλίες είναι 6 και δεδομένου ότι στη θέση x = 0 υπάρχει κοιλία στο σύνολο δημιουργούνται 7 κοιλίες. γ) Η απομάκρυνση των υλικών σημείων του μέσου σε ένα στάσιμο δίνονται από τη σχέση πx y= Ασυν ηµωt. λ Έτσι η κοιλία Κ της θέσης λ x = θα ταλαντώνεται σύμφωνα με τη σχέση πλ yκ = 8 συν λ ηµ 10πt yκ = 16 ηµ 10πt (cm,s) και η ταχύτητα ταλάντωσής της θα δίνεται από τη σχέση: υ K = 10 π( 16) συν(10πt) (cm / s) υ K = 160 π συν(10πt) (cm / s) δ) Το πλάτος συναρτήσει της απόστασης από τη θέση x = 0, δίνεται από τη σχέση: x A' = A συν π λ συνεπώς συνπx 8 3 = 16 δηλαδή 5 πx 3 συν ( ) = ± 5 Άρα π x π = κπ + ή π x π 5κ 5 = κπ, οπότε x = ± cm, όπου x η απόσταση από το ελεύθερο άκρο της χορδής που πάλλεται με μέγιστο πλάτος (κοιλία). Οι κοιλίες απέχουν από το ελεύθερο άκρο απόσταση x κ κλ 5κ = = (cm) Συνεπώς κάθε σημείο που πάλλεται με πλάτος 8 3cm, θα απέχει από την πλησιέστερη 5 κοιλία απόσταση d1 = cm. 1 Οι δεσμοί απέχουν από το ελεύθερο άκρο απόσταση x (κ+ 1) λ 5κ 5 = = + (cm)

67 Συνεπώς κάθε σημείο που πάλλεται με πλάτος 8 3cm, θα απέχει από τον πλησιέστερο δεσμό απόσταση d για την οποία ισχύει: λ λ d1+ d = d = d1 d = cm cm d = cm

68 Άσκηση 4. Μονοχρωματική ακτινοβολία συχνότητας f 14 π = 5 10 Hz προσπίπτει υπό γωνία στην 3 έδρα ΑΒ τριγωνικού ισοπλεύρου γυάλινου πρίσματος ΑΒΓ. Η διαθλώμενη ακτίνα μέσα στο πρίσμα είναι παράλληλη στη πλευρά ΒΓ. α) Να βρεθεί ο δείκτης διάθλασης του υλικού του πρίσματος. β) Να βρεθεί το μήκος κύματος και η ταχύτητα της ακτινοβολίας μέσα στο πρίσμα. γ) Να σχεδιασθεί η πορεία της ακτίνας και να βρεθεί η γωνία με την οποία βγαίνει από το πρίσμα. Δίνεται η ταχύτητα του φωτός στο κενό 8 m c = 3 10, ο δείκτης διάθλασης του αέρα s na = 1, π 1 ηµ = και 6 π 3 ηµ =. 3 α) Ο υπολογισμός του δείκτη διάθλασης, n b γίνεται με βάση το νόμο του Snell, αρκεί πρώτα να υπολογίσουμε τη γωνία διάθλασης θ b. Επειδή η διαθλώμενη ακτίνα ΚΛ είναι παράλληλη στη πλευρά ΒΓ, η γωνία διάθλασης π π π μέσα στο πρίσμα θα είναι θ b = =. 3 6 θb (Το τρίγωνο ΑΚΛ θα είναι επίσης ισόπλευρο) 68

69 Με εφαρμογή του νόμου του Snell στο σημείο Κ που συμβαίνει το φαινόμενο της διάθλασης παίρνουμε: π 3 1 ηµ na ηµθa nb ηµθ b = n 3 a ηµθa nb = nb = = nb = 3 ηµθ π 1 b ηµ 6 β) Από τον ορισμό του δείκτη διάθλασης έχουμε: n c c 3 10 m / s 8 m b = υ b = = υ b = υb nb 3 s Συνεπώς από τη σχέση υ f 5 10 s υ=λ f προκύπτει ότι: 8 b 3 10 m / s 7 λ b = = λ 14 1 b = 3 10 m γ) Εφαρμόζουμε το νόμο του Snell στο σημείο Λ που συμβαίνει εκ νέου διάθλαση της ακτίνας, καθώς η ακτίνα εξέρχεται από το πρίσμα. Η νέα γωνία πρόσπτωσης είναι θ 1 = γωνία διάθλασης θ παίρνουμε: π 6. Με εφαρμογή του νόμου του Snell για τη νέα n ηµθ 3 1/ 3 π n ηµθ = n ηµθ ηµθ = = ηµθ = θ =. n 1 3 b 1 a b 1 a 69

70 Άσκηση 5. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους 10cm και μήκους κύματος λ= 1m διαδίδεται κατά τη θετική φορά σε οριζόντια ελαστική χορδή που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x x. Θεωρούμε ότι το σημείο της χορδής στη θέση x = 0 τη χρονική στιγμή t = 0 έχει μηδενική απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του και θετική ταχύτητα. Η ταχύτητα m διάδοσης του κύματος είναι υ= 100. s α) Να υπολογίσετε την περίοδο ταλάντωσης των υλικών σημείων της χορδής. β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος στο S.I. και να κάνετε τη γραφική παράσταση απομάκρυνσης συναρτήσει του χρόνου, για ένα υλικό σημείο Α της χορδής, το οποίο 3λ βρίσκεται στη θέση x =. 4 γ) Να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης στοιχειώδους τμήματος της χορδής μάζας 0,001 kg. (Να θεωρήσετε το στοιχειώδες τμήμα της χορδής ως υλικό σημείο.) δ) Στην παραπάνω χορδή διαδίδεται ταυτόχρονα άλλο ένα κύμα πανομοιότυπο με το προηγούμενο, αλλά αντίθετης φοράς, με αποτέλεσμα τη δημιουργία στάσιμου κύματος με κοιλία στη θέση x = 0. Να υπολογίσετε στο θετικό ημιάξονα τη θέση του 5 ου δεσμού του στάσιμου κύματος. Δίνεται: π = 10. α) Με βάση τη σχέση: λ υ= βρίσκουμε ότι: T λ 1m = = = υ 100m / s T T 10 s. β) Η γενική εξίσωση κύματος είναι: t x y= Aηµ π( ) T λ Η συχνότητα είναι rad f = 100Hz, άρα ω= π f = 00π, και λ= 1m. s Η εξίσωση του αρμονικού κύματος προκύπτει με αντικατάσταση και είναι: y = 0,1ηµ π(100t x) (S.I.) το οποίο βρίσκεται στη θέση 3λ x =. 4 70

71 Η απομάκρυνση του υλικού σημείου Α, που βρίσκεται στη θέση 3λ 3 x = = m 4 4, θα δίνεται από τη σχέση 3 ya = 0,1ηµ π(100t ) (S.I.) 4 Για να φθάσει το κύμα στο σημείο Α, που απέχει από τη πηγή 3λ/4 χρειάζεται χρόνο ίσο x 0, 75m με t1 = = t1 = 0,75 10 s. Άρα για t < t1 το σημείο Α είναι ακίνητο. Έτσι η υ 100m / s παραπάνω εξίσωση ισχύει για t t1 ή t 0,75 10 s γ) Η ενέργεια της ταλάντωσης θα είναι ίση με τη μέγιστη κινητική ενέργεια του υλικού 1 σημείου δηλαδή: E= Kmax = mυ max rad m υ =ω A = 00π 0,1m υ = 0π s s Όμως, max max Με αντικατάσταση παίρνουμε K = J δ) Από τον τύπο x (k 1) 4 λ = + που δίνει τις θέσεις των δεσμών σε ένα στάσιμο, βλέπουμε ότι ο πρώτος δεσμός προκύπτει για k = 0, οπότε η θέση του πέμπτου δεσμού θα προκύψει για k = 4: λ λ x 5 = ( 4 + 1) = 9 x5 =, 5m

72 Άσκηση 6. Ένα αρμονικό ηλεκτρομαγνητικό κύμα συχνότητας αέρα σε ορθογώνιο διαφανές πλακίδιο πάχους d f 14 = 6 10 Hz εισέρχεται από τον =, 4 8cm, με γωνία πρόσπτωσης 0 θ= 30. Κατά τη διάδοση του κύματος στον αέρα, το πλάτος της έντασης του 1 V ηλεκτρικού πεδίου είναι Emax = Κατά την είσοδο του κύματος στο πλακίδιο m παρατηρείται ελάττωση του μήκους κύματος λ κατά 0%, σε σχέση με την τιμή του στο κενό. α) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος στο κενό και να γράψετε τις εξισώσεις που περιγράφουν το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο του κύματος αυτού στον αέρα, κατά τη διάδοση του στον άξονα χ. Β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος αυτού στο διαφανές πλακίδιο και να βρείτε τον δείκτη διάθλασης του πλακιδίου. γ) Να βρείτε τη γωνία με την οποία εξέρχεται η ακτίνα από την απέναντι πλευρά του πλακιδίου. δ) Να βρείτε σε πόσο χρόνο η παραπάνω παράλληλη λεπτή δέσμη θα διαπεράσει το πλακίδιο. Δίνεται: 8 m c = s α) Με αντικατάσταση στη σχέση: c= λ 0f βρίσκουμε το μήκος κύματος στο κενό, προκύπτει: λ = = m 500nm Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι: 1 V E E = = = m = 3 10 s max max 9 c Bmax Bmax 6 10 T Bmax c 8 m Συνεπώς οι ζητούμενες εξισώσεις θα είναι: t T x λ ( ) E = Emaxηµ π( ) E = ηµ π(6 10 t- 10 x) SI t T x λ B = Bmaxηµ π( ) B = 6 10 ηµ π(6 10 t- 10 x)(si) 7

73 β) 0λ λ=λ0 = 500nm 100nm = 400nm λ= 4 10 m Η ταχύτητα στο πλακίδιο θα είναι: υ=λ = υ= f (4 10 m) (6 10 Hz), 4 10 m / s Ο δείκτης διάθλασης θα είναι c λ 5 10 υ λ n = = 0 = 7 n = 1, 5 γ) Εφαρμόζουμε το νόμο του Snell στο σημείο εισόδου Α και το σημείο εξόδου Β: Σημείο Α: ηµ ηµ ηµθ o o 30 n 30 = ηµθ 1 = 1 1 n ηµθ Σημείο Β: ηµϕ 1 ηµϕ = ηµθ = n n Από τη γεωμετρία του σχήματος προκύπτει θ 1 =θ, έτσι στις δύο παραπάνω σχέσεις τα πρώτα μέλη είναι ίσα, οπότε εύκολα παίρνουμε o ηµϕ = ηµ 30, και επειδή οι γωνίες είναι οξείες, προκύπτει ότι 0 ϕ= 30. δ) Ο ζητούμενος χρόνος είναι (AB) t= υ Υπολογισμός της διαδρομής (ΑΒ). Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε: d d συνθ 1 = (AB) =. Άρα (AB) συνθ 1 d t = υ συνθ (1) 1 73

74 Από το νόμο του Snell για το σημείο εισόδου Α με αντικατάσταση, βρίσκουμε το ηµθ 1. ηµ ηµ ηµθ 1 n 5 / 4 10 o o 30 n 30 1/ 4 = ηµθ 1 = = ηµθ 1 = 1 Από τη σχέση ηµ θ + συν θ = 1, βρίσκουμε το 1 αντικατάσταση στη σχέση (1) προκύπτει: συνθ. Προκύπτει συνθ 1 = Με d, m t = = = 10 s t = 10 s υ συνθ1 m , 4 10 s 10 Άρα ο ζητούμενος χρόνος θα είναι 3 9 t = 10 s. 3 74

75 Άσκηση 7. Το σημείο Ο ομογενούς ελαστικής χορδής μεγάλου μήκους, τη χρονική στιγμή t = 0, αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y = 0,05ηµ 8π t (S.I.) κάθετα στη διεύθυνση της χορδής. Το αρμονικό κύμα που παράγεται διαδίδεται με ταχύτητα μέτρου m / s, κατά τη θετική φορά του άξονα x Οx, κατά μήκος της χορδής. α) Να βρεθούν ο χρόνος που χρειάζεται ένα υλικό σημείο του ελαστικού μέσου για να εκτελέσει μια πλήρη ταλάντωση καθώς και το μήκος κύματος του αρμονικού κύματος. β) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος που παράγεται και να βρεθούν οι θέσεις όλων των σημείων που βρίσκονται σε συμφωνία φάσης με την πηγή. γ) Να γράψετε και να σχεδιάσετε την εξίσωση της ταχύτητας συναρτήσει του 3λ χρόνου για ένα υλικό σημείο Α που απέχει απόσταση x = από την πηγή. T δ) Να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα του κύματος τις χρονικές στιγμές t1 = και 4 3T t =. 4 α) Από την εξίσωση y = 0,05ηµ 8π t (S.I.) βρίσκουμε: Α= 0,05m, ω= 8 π rad / s. H π περίοδος προκύπτει από τη σχέση ω=, άρα T = 0, 5s και συνεπώς η συχνότητα T είναι f = 4Hz. Ο χρόνος που χρειάζεται ένα υλικό σημείο να κάνει μια πλήρη ταλάντωση, είναι η περίοδος ταλάντωσης του, δηλαδή είναι ίσος με 0, 5s. Το μήκος κύματος προκύπτει από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής. υ m / s υ=λf λ= = λ= 0,5m. f 4Hz β) Η γενική εξίσωση του κύματος είναι: των μεγεθών A, T και λ γίνεται: t x y= Aηµ π( - ), η οποία με αντικατάσταση, T λ y = 0,05ηµ π(4t x) ( SI) Τα σημεία που είναι σε συμφωνία φάσης με την πηγή απέχουν από αυτή ακέραιο αριθμό μηκών κύματος, δηλαδή βρίσκονται σε θέσεις για τις οποίες ισχύει x = kλ= k 0,5m k = 1,,3,... 75

76 γ) Η μέγιστη ταχύτητα θα είναι: υ max =ω A = 0, 4 π m / s, ενώ η εξίσωση ταχύτητας ταλάντωσης των υλικών σημείων είναι: υ = υ max t x συν π( - ) T λ. Άρα υ = 0,4πσυν π (4t -x) στο (S.I.). Η γενική εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης των υλικών σημείων είναι t x υ = υmaxσυν π( - ) T λ Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης θα είναι: υ max =ω A = 0, 4 π m / s Με αντικατάσταση στη γενική εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης: T = 0, 5s, 3λ 3 3 λ= 0,5m, x = = m παίρνουμε υ A = 0, 4πσυν π (4t - )( SI) 4 3 xa 3 Το κύμα φθάνει στο Α (xa = m) τη χρονική στιγμή ta = = s. Για t < ta το σημείο 4 υ 8 Α παραμένει ακίνητο. Άρα η εξίσωση ταχύτητας χρόνου είναι: υ A = 0,4πσυν π (4t -x) για 3 t s στο S.I. 8 δ) Για να σχεδιάσουμε το στιγμιότυπο, βρίσκουμε την εξίσωση της απομάκρυνσης συναρτήσει της απόστασης και υπολογίζουμε που έχει φθάσει το κύμα την κάθε χρονική στιγμή. Τη χρονική στιγμή T 4, η εξίσωση απομάκρυνσης θέσης είναι: 1 y = 0,05ηµ π ( - x). 4 Τη χρονική στιγμή αυτή το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση 76

77 T x =υ t =υ λ 0,15m 4 = 4 =, ενώ τη χρονική στιγμή 3T 4 3 θέσης, είναι: y = 0,05ηµ π ( - x). 4, η εξίσωση απομάκρυνσης Τη χρονική στιγμή αυτή το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση 3T 3λ x =υ t =υ = = 0,375m

78 Άσκηση 8. (Η άσκηση δόθηκε από τον εθελοντή κ. Αθανάσιο Παπαδημητρίου) Η εικόνα παριστάνει το στιγμιότυπο ενός γραμμικού αρμονικού κύματος μια χρονική στιγμή t 1, το οποίο διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x σε ένα ομογενές ελαστικό μέσο. Το σημείο της θέσης x = 0 άρχισε να ταλαντώνεται χωρίς αρχική φάση τη χρονική στιγμή t 0 = 0. Η ταχύτητα διάδοσης του παραπάνω κύματος είναι υ= m / s. α) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t 1. β) Να βρείτε την εξίσωση του κύματος. γ) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της φάσης σε σχέση με τη θέση, ϕ= f( x), για τη χρονική στιγμή t 1. δ) Να βρείτε τη χρονική στιγμή που το σημείο Μ, που βρίσκεται στη θέση x = Μ 3,3m, θα απέχει για πρώτη φορά 0,1m από τη θέση ισορροπίας του. ε) Να γίνουν τα διαγράμματα της φάσης και της απομάκρυνσης σε σχέση με το χρόνο, ϕ= f( t) και y= f( t), για το Ν που βρίσκεται στη θέση x = Ν, 4m. α) Από το διάγραμμα του στιγμιότυπου φαίνεται ότι το κύμα διαδόθηκε, από την χρονική στιγμή t 0 = 0 μέχρι την t 1, κατά x =,7m. x,7m Άρα t 1 = = t 1 = 1, 35 s υ m / s 78

79 β) Από εκφώνηση η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής είναι y A ηµω t, οπότε η εξίσωση του (τρέχοντος) κύματος θα είναι της μορφής π = t x y= Aηµ π( ). T λ - Από το διάγραμμα φαίνεται ότι το πλάτος του κύματος είναι Α= 0, m. - Από το διάγραμμα φαίνεται ότι το κύμα διαδόθηκε, από την χρονική στιγμή t0 = 0 λ λ μέχρι την t 1, κατά + λ= 9, όπου λ το μήκος κύματος. 4 4 Άρα 9 λ=, 7m λ= 1, m. 4 - Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής παίρνουμε υ m / s 1 υ=λ = = = = λ 1, m 0, 6 1 f f f s T 0, 6s Οπότε η εξίσωση του κύματος θα έχει την μορφή t x y = 0, ηµ π( ) (SI). 0, 6 1, γ) Η φάση του κύματος, για την χρονική στιγμή t1 1, 35 x πx ϕ= π ϕ= π ( 0 x,7m ) 0,6 1, 0,6 συνάρτηση ( ) 4,5 ( SI) = 1, 35 s περιγράφεται από τη Το ζητούμενο διάγραμμα είναι: δ) Από την εξίσωση του κύματος, για x = 3,3m και y = 0,1m έχουμε: t 3,3 t 3,3 1 0,1 = 0, ηµ π( ) ηµ π( ) = οπότε: 0, 6 1, 0, 6 1, t 3,3 π π( ) = kπ+ ή 0, 6 1, 6 t 3,3 5π π( ) = kπ+ 0, 6 1, 6 79

80 Αφού, για το σημείο Μ, αυτό συμβαίνει για πρώτη φορά, δεκτή γίνεται η πρώτη λύση t 3,3 π και με k = 0. Δηλαδή π( ) = από την οποία προκύπτει t = 1,7s. 0, 6 1, 6 ε) Για το σημείο Ν (x Ν =, 4m) η φάση θα δίνεται από τη σχέση: t, 4 ϕ N = π( ) = 0, 6 1, t π( ), με 0,6 x, 4 t = s t 1, s υ Το ζητούμενο διάγραμμα είναι: Για το Ν (x =, 4m) Η εξίσωση της ταλάντωσης του σημείου Ν θα είναι: t, 4 t yn = 0, ηµ π( ) = 0, ηµ π( ) ( SI) με 0,6 1, 0,6 x, 4 t = s t 1, s υ Το ζητούμενο διάγραμμα είναι: 80

81 Άσκηση 9. Μια πηγή κυμάτων Ο αρχίζει να ταλαντώνεται την χρονική στιγμή t = 0, σύμφωνα με την εξίσωση y = A ηµ (π ft). Το εγκάρσιο κύμα που δημιουργείται διαδίδεται σε ομογενές, γραμμικό ελαστικό μέσο κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x'οx. Στο σχήμα 1 παριστάνεται το στιγμιότυπο του κύματος μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t', ενώ στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση απομάκρυνσης συναρτήσει του χρόνου για ένα υλικό σημείο Σ του ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται το εν λόγω κύμα. Να βρείτε: α) την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και τη διαφορά φάσης μεταξύ του υλικού σημείου Σ και της πηγής κυμάτων. β) τη χρονική στιγμή t' στην οποία αντιστοιχεί το στιγμιότυπο του κύματος. γ) την απομάκρυνσή από τη θέση ισορροπίας του υλικού σημείου Σ και της πηγής κυμάτων την δεδομένη χρονική στιγμή t'. δ) τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης και τη μέγιστη επιτάχυνση του υλικού σημείου Σ. ε) Nα σχεδιάσετε το διάγραμμα της φάσης του υλικού σημείου Σ συναρτήσει του χρόνου. Δίνεται το πλάτος ταλάντωσης της πηγής Α= 4 cm και π = 10. (Σχήμα 1) (Σχήμα ) 81

82 Από τα διαγράμματα προκύπτουν τα παρακάτω: Στο σχήμα 1, παρατηρούμε ότι την χρονική στιγμή t' το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση x = 5cm (1). Από το ίδιο σχήμα επίσης προκύπτει ότι η απόσταση αυτή αντιστοιχεί σε 5λ x = () Εξισώνοντας τις σχέσεις (1) και () προκύπτει λ= cm. Στο σχήμα παρατηρούμε ότι η περίοδος ταλάντωσης του υλικού σημείου Σ είναι T = 1s, άρα και η συχνότητα θα είναι f = 1Hz. Άρα η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι: υ=λ f = cm / s. Επίσης παρατηρούμε ότι το κύμα για να φτάσει στο υλικό σημείο Σ έκανε χρόνο t 1 Ο χρόνος αυτός είναι ίσος με την περίοδο του κύματος ( T 1s) = 1s. =, άρα η απόσταση πηγής και σημείου Σ είναι ίση με ένα μήκος κύματος και η διαφορά φάσης μεταξύ της πηγής Ο και του σημείου Σ είναι π, δηλαδή ϕ ϕ = π. Ο Σ β) Τη χρονική στιγμή t' το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση x = 5cm με ταχύτητα υ= cm / s. Άρα x 5cm 5 t' = = t' = s. υ cm / s 5 T γ) Η πηγή τη χρονική στιγμή t' έχει ταλαντωθεί για χρονικό διάστημα t = s = T +. Άρα περνά από τη θέση ισορροπίας της κινούμενη κατά την αρνητική φορά. Το υλικό σημείο Σ, ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t T t' έχει ταλαντωθεί για χρόνο: t = t '- t1 = s 1s = s = T +. = 1s. Tη χρονική στιγμή Άρα το υλικό σημείο Σ τη χρονική στιγμή αυτή έχει κάνει μια πλήρη ταλάντωση και μισή δηλαδή περνά από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο και αυτό κατά την αρνητική φορά. Αυτό ήταν αναμενόμενο, αφού τα δύο σημεία παρουσιάζουν διαφορά φάσης π. δ) Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση: cm υ max =ω A = πf A υ max = π 1Hz 4cm υ max = 8π s 8

83 Η μέγιστη επιτάχυνση στη ταλάντωση δίνεται από τη σχέση cm α max =ω A = 160 s ε) Η φάση του κύματος δίνεται από τη σχέση ( x = λ ) θα ισχύει ϕ= π(t 1). H φάση έχει νόημα για t 1s. Διάγραμμα φάσης - χρόνου για το υλικό σημείο Σ: t x ϕ= π( ). Για το υλικό σημείο Σ T λ 83

84 Άσκηση 10. Κατά μήκος ενός γραμμικού, ομογενούς, ελαστικού μέσου διαδίδεται στη θετική κατεύθυνση του άξονα χ'οχ ένα αρμονικό κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση: 10πx y = 4 10 ηµ ( 00πt) 17 (S.I.). Δύο σημεία Α και Β βρίσκονται πάνω στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος, απέχουν μεταξύ τους 17m, και γνωρίζουμε ότι το πιο κοντινό σημείο στην πηγή Ο είναι το σημείο Α. α) Nα βρείτε τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β) Να δείξετε ότι η διαφορά φάσης των σημείων Α και Β είναι ανεξάρτητη του χρόνου και ότι τα σημεία αυτά είναι σε συμφωνία φάσης. γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης χρόνου για τα δύο αυτά υλικά σημεία Α και Β, αν γνωρίζουμε ότι το σημείο Α βρίσκεται στη θέση x A = 6,8m. δ) Να βρείτε τη μεταβολή της φάσης του υλικού σημείου Α σε χρονική διάρκεια t = 1s. ε) Να βρείτε την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του σημείου Γ της θέσης x = Γ 3, 4m, τη χρονική στιγμή t που το υλικό σημείο Β έχει απομάκρυνση yb =, cm, και αρνητική ταχύτητα. α) Συγκρίνοντας την εξίσωση του συγκεκριμένου κύματος 10πx y = 4 10 ηµ [(00πt) ] με τη γενική εξίσωση του κύματος έχουμε: 17 πx 10πx 17 = λ= m λ= 3, 4m λ 17 5 π f t = 00πt f = 100Hz Με αντικατάσταση στη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής έχουμε: m υ=λf υ= 340 s t β) Οι φάσεις των υλικών σημείων Α και Β, δίνονται από τις σχέσεις: ϕ Α = π( ) T λ t x και ϕ ( B Β = π ), αντίστοιχα. Αφαιρώντας τις δύο παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε τη T λ διαφορά φάσης των δύο αυτών σημείων: x A 84

85 π(xb x A) π(17m) ϕa ϕ B = = ϕa ϕ B = 10π rad λ 3, 4m Άρα η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο σημείων είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Επειδή ϕa ϕ B = 10π rad = 5 π rad (ακέραιο πολλαπλάσιο του π) ή x = 5λ (ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος) τα σημεία αυτά βρίσκονται σε συμφωνία φάσης μεταξύ τους. γ) Το κύμα φτάνει στο σημείο Α τη χρονική στιγμή xa 6,8m 3, 4m t1 = = = t1 = s = T, ενώ το σημείο Β αρχίζει να υ 340m / s 3,4 100m / s 100 ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή xb ,8m 7 3, 4m 7 t = = = t = s = 7T υ 340m / s 3, 4 100m / s 100 Και τα δύο σημεία εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση ταλάντωσης ya 4 10 [(00 t) 4 ] = ηµ π π, όπου yb 4 10 [(00 t) 14 ] = ηµ π π, όπου t s και t s, αντίστοιχα

86 δ) ϕ = π f t ϕ = 00πrad Α Α ε) Το σημείο Β βρίσκεται στη θέση xb = 6,8m + 17m = 3,8m και απέχει από το σημείο Γ x B x = 3,8m 3, 4m x B xγ = 0, 4m x B xγ = 6 3,4m x B xγ = 6λ Γ Τα δύο σημεία βρίσκονται σε συμφωνία φάσης και έχουν κάθε στιγμή ίδια απομάκρυνση και ίδια ταχύτητα, άρα η απομάκρυνση του σημείου Γ είναι y = Γ, cm. 86

87 Άσκηση 11. Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά σε οριζόντια ελαστική χορδή που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x Ox. Tο σημείο O της χορδής στη θέση x = 0, τη χρονική στιγμή t = 0, έχει μηδενική απομάκρυνση και θετική ταχύτητα. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι υ = 1m / s. Για ένα σημείο Ν της ελαστικής χορδής, η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στη γραφική παράσταση που ακολουθεί. y Ν (cm) t(s) -5 α. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος στο S.I. β. Να βρείτε πόσο απέχει το σημείο Ν από το Ο. γ. Να βρείτε ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Ν. δ. Να βρείτε τη φάση του σημείου Ο, τη χρονική στιγμή που το σημείο Ν βρίσκεται για πρώτη φορά στην μέγιστή του απομάκρυνση. α. Η εξίσωση που περιγράφει ένα αρμονικό κύμα που διαδίδεται κατά τη θετική φορά t x του άξονα x Ox είναι: y= Aημπ - T λ. (1) Πρέπει να υπολογίσουμε το πλάτος Α, την περίοδο Τ και το μήκος κύματος λ. Από το διάγραμμα προκύπτει ότι: Α = 5cm και Τ = 8s 4s = 4s, άρα Τ = s. Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής, βρίσκουμε το μήκος κύματος. m υ = λf λ = υt = 1 s λ = m s Mε αντικατάσταση στην (1) παίρνουμε: t x y= 5ημπ -, (y σε cm, x σε m). 87

88 β. Από το διάγραμμα φαίνεται ότι η ταλάντωση του σημείου Ν αρχίζει τη χρονική στιγμή t = 4s. Άρα, η απόσταση ΟΝ θα είναι ίση με: x N = υ t = 1m / s 4s ή xn = 4m. γ. H μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Ν δίνεται από τη σχέση: π π Τ υmax = ωa= A= 5 10 m/s υmax = 5πcm/s. δ. Το σημείο Ν μεγιστοποιεί για πρώτη φορά την απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του μετά από χρονικό διάστημα Τ/4 από τη στιγμή που αρχίζει να ταλαντώνεται. Όπως φαίνεται από το διάγραμμα το σημείο Ν αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t = 4s. Κατά συνέπεια πρέπει να βρούμε τη φάση του σημείου Ο τη χρονική στιγμή t = 4s + Τ/4 ή t = 4,5s. H φάση της πηγής δίνεται από τη σχέση: π π φ = ωt = t = 4,5 rad φ = 4,5π rad T 88

89 Άσκηση 1. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π 1, Π δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια αρμονικά κύματα. Τη χρονική στιγμή t = 0 οι πηγές αρχίζουν να ταλαντώνονται με απομακρύνσεις που περιγράφονται από τη σχέση y 0,05 ημ ( 4πt) =, (SI). Η ταχύτητα διάδοσης των εγκαρσίων κυμάτων στην επιφάνεια του υγρού είναι ίση με υ= m/s. Σε ένα σημείο K, της επιφάνειας του υγρού, το κύμα από την πηγή Π 1 φτάνει τη χρονική στιγμή t 1 = 1s, ενώ το κύμα από την πηγή Π φτάνει στο σημείο Κ όταν η πηγή Π έχει εκτελέσει 4 πλήρεις ταλαντώσεις. Κ Π 1 Π Να βρείτε: α. Πόσο απέχει το σημείο Κ από τις δύο πηγές. β. Πόση θα είναι η συχνότητα και το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Κ μετά την συμβολή των δύο κυμάτων; γ. Πόσες υπερβολές ενίσχυσης υπάρχουν ανάμεσα στο σημείο Κ και την μεσοκάθετο στο ευθύγραμμο τμήμα Π 1 Π ; δ. Πόση είναι η ταχύτητα του σημείου Κ τη χρονική στιγμή t = 4,75 s ; α. Από την εξίσωση ταλάντωσης των πηγών y 0,05 ημ ( 4πt) Α = 0,05m και ω = 4π rad / s. = προκύπτει ότι: Eίναι π π π ω = T = = s T = 0,5s. Τ ω 4π Το κύμα διαδίδεται με σταθερή ταχύτητα. Άρα η απόσταση του σημείου Κ από την πρώτη πηγή θα είναι: r1 = υ t1 = m / s 1s ή r = m. 1 H απόσταση του σημείου Κ από την δεύτερη πηγή θα είναι ομοίως, r = υ t. 89

90 Το κύμα από την πηγή Π φτάνει στο σημείο Κ όταν η πηγή Π έχει εκτελέσει 4 πλήρεις ταλαντώσεις, δηλαδή t = 4Τ = 4 0,5s ή t = s. r = υ t = m / s s ή r = 4m. Οπότε, ( ) β. Το σημείο Κ μετά την συμβολή των δύο κυμάτων θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση, με συχνότητα ίδια με τη συχνότητα των δύο κυμάτων που συμβάλλουν. Άρα 1 1 f = = f = Hz. Τ 0,5s Το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Κ μετά την συμβολή των δύο κυμάτων θα είναι: r r 4m m = 0,1m. λ 1m 1 ΑK = A συνπ = 0,05 συνπ = 0,1 συνπ ΑK Το σημείο Κ είναι λοιπόν ένα σημείο ενισχυτικής συμβολής. γ. Θα βρούμε το σημείο Κ σε ποια υπερβολή ενισχυτικής συμβολής ανήκει. Είναι r r1 = N λ 4m m = Ν 1m Ν =. Κατά συνέπεια ανάμεσα στην υπερβολή ενίσχυσης που περνά από το σημείο Κ ( Ν= ) και την μεσοκάθετο στο ευθύγραμμο τμήμα Π 1 Π, που είναι η υπερβολή ενίσχυσης με Ν= 0, περνά μία υπερβολή ενίσχυσης, αυτή που αντιστοιχεί σε Ν= 1. Ν= Ν=1 Ν=0 Μ Π δ. Η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Κ είναι: 90

91 r r t r + r t π π π + = = 4 (SI) λ Τ λ 0,5 1 1 y A συν ημ 0,1 ημ ( ) y = 0,1 ημπ t 3 (SI). Άρα, η εξίσωση της ταχύτητας του σημείου Κ συναρτήσει του χρόνου θα είναι: ( ) ( ) υ = 0,1 4π συνπ t 3 υ = 0,4π συνπ t 3 (SI). Τη χρονική στιγμή t = 4,75 s η ταχύτητα του σημείου Κ είναι ( ) υ = 0, 4π συνπ 4, 75 3 = 0, 4π συν13π = 0, 4π συνπ υ = -0, 4π m / s. 91

92 Άσκηση 13. Σε οριζόντια ελαστική χορδή που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του οριζόντιου άξονα x Ox διαδίδονται δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα σε αντίθετες κατευθύνσεις. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση y = 0,1 συν ( πx) ημ ( 10πt )( S.I. ). Να υπολογίσετε α. την ταχύτητα διάδοσης των εγκάρσιων κυμάτων που συμβάλλουν. β. τη θέση του δεύτερου δεσμού και της τρίτης κοιλίας, θεωρώντας ότι στη θέση x = 0 βρίσκεται η πρώτη κοιλία. γ. την απόσταση μεταξύ του δεύτερου δεσμού και της τρίτης κοιλίας τη χρονική στιγμή t 1 = 5/6 s. δ. το πηλίκο της δυναμικής προς την κινητική ενέργεια, ενός υλικού σημείου που βρίσκεται στη θέση της τρίτης κοιλίας τη χρονική στιγμή t 1 = 5/6 s. Δίνονται: συν π / 3 = 1/, ημ π / 3 = 3. α. Από τη σύγκριση της δοθείσας εξίσωσης με τη γενική εξίσωση των στάσιμων κυμάτων πx πt y = A συν ημ. λ Τ προκύπτει: Α = 0,1m, άρα Α = 0,05m = 5cm, πx λ = πx λ = 1m, πt 10πt T 0, s Τ = = ή 1 f = 5Hz Τ =. Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής προκύπτει η ταχύτητα διάδοσης των εγκάρσιων κυμάτων που συμβάλλουν, υ = λ f = 1m 5Hz ή υ = 5m / s. λ β. Οι θέσεις των δεσμών δίνονται γενικά από τη σχέση x Δ = (k + 1). H θέση του ου 4 δεσμού Δ προκύπτει για k = 1 και βρίσκεται στη θέση 3λ x = = 0, 75m. 4 9

93 Οι θέσεις των κοιλιών δίνονται γενικά από τη σχέση λ =. Η θέση της 3 ης κοιλίας Κ xκ k προκύπτει για k = και βρίσκεται στη θέση x = λ = 1m. γ. Η τρίτη κοιλία Κ τη χρονική στιγμή t 1 = 5/6 s έχει απομάκρυνση που υπολογίζεται με αντικατάσταση των x, t στην εξίσωση του στάσιμου y = 0,1 συν( πx) ημ( 10πt ) = 0,1 συν ( π) ημ 10π = 0,1 ημ π 6 6 ή + 48 π y = 0,1 ημ π = 0,1 ημ 6 3 ή y = 0,05 3 m. Η ζητούμενη απόσταση μεταξύ του δεύτερου δεσμού Δ και της τρίτης κοιλίας Κ, τη χρονική στιγμή t 1 = 5/6s, βρίσκεται με εφαρμογή του πυθαγόρειου θεωρήματος για το τρίγωνο που σχηματίζεται στο παρακάτω στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος: ( 0,05 ) (ΔΚ) 0, 5 m 0, 065 0, = + 3 = + m (ΔΚ) = 0, 07 m (ΔΚ) = 0,1 7 m y (cm) t 1 =5/6 s Δ 0,75 Κ 1 x (m) δ. Το πηλίκο της δυναμικής προς την κινητική ενέργεια, ενός υλικού σημείου που βρίσκεται στη θέση της τρίτης κοιλίας τη χρονική στιγμή t 1 = 5/6 s, θα είναι 1 Dy U U y ( 0, 05 3m) 0, 0075 U = = = = = = 3 K Ε U 1 1 D( A) Dy ( A) y (0,1m) 0, 005 K ( 0, 05 3m) 93

94 Άσκηση 14. Μια μονοχρωματική ακτινοβολία συχνότητας f 14 = 6 10 Hz διαδιδόμενη οριζόντια στο 8 κενό με ταχύτητα c = 3 10 m / s προσπίπτει κάθετα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, σε πρίσμα του οποίου η τομή είναι ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. Η προσπίπτουσα ακτίνα εξέρχεται από το πρίσμα παράλληλα στην πλευρά ΑΒ του πρίσματος. Το μέτρο της μέγιστης έντασης του ηλεκτρικού πεδίου του κύματος στο κενό 4 4 είναι Ε = 4 10 Ν / C και μέσα στο γυάλινο πρίσμα E = 10 N / C. max max α. Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου για τη διάδοση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος στο κενό. β. Να υπολογίσετε το δείκτη διάθλασης του πρίσματος. γ. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος κατά τη διάδοση του κύματος στο πρίσμα. δ. Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του μαγνητικού πεδίου για τη διάδοση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος στο γυάλινο πρίσμα. Δίνεται ημ 45 = α. Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής c = λ0 f, βρίσκουμε το μήκος κύματος στο 8 c 3 10 m / s 7 κενό. Είναι λ0 = = λ 14 0 = 5 10 m. f 6 10 Hz H εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου για τη διάδοση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος στο κενό είναι: t x x 4 14 x E= Emaxημπ = Emaxημπ f t E = 4 10 ημπ 6 10 t - S.I. 7 T λ0 λ ( ) β. Εφόσον η προσπίπτουσα ακτίνα εξέρχεται από το πρίσμα παράλληλα στην πλευρά ΑΒ του πρίσματος, η γωνία πρόσπτωσης φ, που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα θα ισούται 94

95 με την κρίσιμη γωνία. Όμως, η γωνία φ ισούται με τη γωνία έχουν τις πλευρές τους ανά δύο κάθετες. Άρα θ 45 0 cr =. Â, γιατί οι δύο γωνίες Από το νόμο του Snell για την κρίσιμη γωνία παίρνουμε: 1 1 ημϑ n = ημ90 n n = = n =. o cri αερ 0 ημϑcri ημ45 γ. Ο δείκτης διάθλασης η του μέσου και τα μήκη κύματος στο κενό, λ 0, και στο μέσο, λ, συνδέονται με τη σχέση: 7 λ0 λ m 7 λ λ,5 10 m. n = = = = λ n δ. Η εξίσωση της έντασης του μαγνητικού πεδίου για τη διάδοση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος στο γυάλινο πρίσμα είναι: t x B= Bmaxημπ T λ Πρέπει να υπολογίσουμε το B max. E E E 4 max max max 10 V / m 4 1 υ = B max = = = B 8 max = 10 T B c max υ 3 10 m / s 3 Με αντικατάσταση προκύπτει: n 4 x 3,5 10 ( ) 1 14 B = 10 ημπ 6 10 t - S.I. 7 95