Τ α Μ α θ η μ α τ ι κ ά τ η σ Β ϋ Γ υ μ ν α ς ί ο υ Θ ε ω ρ ε ί α & Α ς κ ή ς ε ι σ ς τ η Γ ε ω μ ε τ ρ ί α Σ χ ο λ ι κ ό Ζ τ ο σ 2 0 1 5 2 0 1 6 Τςατςαρϊνησ Δημήτριοσ ΠΕ03 Μθηματικόσ
Μονάδεσ μζτρηςησ μήκουσ και εμβαδοφ. Μικοσ : Βαςικι μονάδα μζτρθςθσ είναι το 1 μζτρο 1 m (metre). Υποδιαιρζςεισ: Δεκατόμετρο ι Παλάμθ ι Δζκατο 1 dm (decimetre). Εκατοςτόμετρο ι Εκατοςτό 1 cm (centimeter). Χιλιοςτόμετρο ι Χιλιοςτό 1 mm (milimetre). m dm cm mm Η μετατροπή και η ςχζςεισ μεταξφ των παραπάνω μονάδων. Για να μεταβοφμε από μια μεγαλφτερθ μονάδα μζτρθςθσ ςε μια μικρότερθ μονάδα πολλαπλαςιάςουμε με το 10, τόςεσ φορζσ όςα βιματα πάμε προσ τα κάτω. Για να μεταβοφμε από μια μικρότερθ μονάδα μζτρθςθσ ςε μια μεγαλφτερθ μονάδα διαιροφμε με το 10, τόςεσ φορζσ όςα βιματα πάμε προσ τα πάνω. Άρα 1 m = 1*10 dm = 10 dm Ακόμα 1 dm = m = 10-1 m = 0,1 m 1 m = 1*100 cm = 100 cm = 10 2 cm 1 cm = m = 10-2 m = 0,01 m 1 m = 1*100 mm = 1000 mm = 10 3 cm 1 mm = m = 10-3 m = 0,001 m Π.χ.1 o ) Να μετατρζψετε cm τα παρακάτω μικθ: i) 2,25 m = 2,25 * 100 cm = 225 cm ii) 0,12 dm = 0,12 * 10 cm = 1,2 cm. Π.χ.2 o ) Να μετατρζψετε m τα παρακάτω μικθ: i) 315 cm = 315 : 1000 m = 0,315 m ι 315 cm = 315 * 10-3 m = 0,315 m ii) 2,8 cm = 2,8 : 100 m = 0,028 m ι 2,8 cm = 2,8 * 10-2 m = 0,028 m Σημειϊςεισ: 1 η ) Υπάρχουν και άλλεσ υποδιαιρζςεισ του μζτρου όπωσ: 1 μικρόμετρο 1 μm (micrometer) 1μm = mm = 10-3 mm = 10-6 m 1 νανόμετρο 1 nm (nanometer) 1nm = μm = 10-3 μm = 10-9 m 1 πικόμετρο 1 pm (picometer) 1pm = nm = 10-3 nm = 10-12 m 2 η ) Μεγαλφτερθ μονάδα μζτρθςθσ από το μζτρο που χρθςιμοποιοφμε είναι το 1 Km = 1000 m. Άςκηςη 1 η ) Να μετατρζψετε τα παρακάτω μικθ ςε cm: i) 4,15 m ii) 0,013 m iii) 6,26 dm iv) 31,2 mm Άςκηςη 2 η ) Να μετατρζψετε τα παρακάτω μικθ ςε m: i) 415 dm ii) 13,2 cm iii) 6,26 dm iv) 3,12 mm Άςκηςη 3 η ) Να μετατρζψετε τα παρακάτω μικθ ςε dm: i) 4,15 m ii) 0,013 m iii) 6,26 cm iv) 31,2 mm Άςκηςη 4 η ) Να διατάξετε από το μικρότερο προσ το μεγαλφτερο τα παρακάτω μικθ: 21,5 dm 2,26 m 31,2 mm 270,19 cm 19,16 dm Άςκηςη 5 η ) Να διατάξετε από το μεγαλφτερο προσ το μικρότερο τα παρακάτω μικθ: 12,5 cm 120,26 mm 108,2 mm 27,19 dm 14,6 dm Τςατςαρώνησ Δημήτριοσ - 1 -
Εμβαδόν : Βαςικι μονάδα μζτρθςθσ είναι το 1 τετραγωνικό μζτρο 1 m 2. Υποδιαιρζςεισ: Τετραγωνικό Δεκατόμετρο ι Τετραγωνικι Παλάμθ ι Τετραγωνικό Δζκατο 1 dm 2. Τετραγωνικό Εκατοςτόμετρο ι Τετραγωνικό Εκατοςτό 1 cm 2. Τετραγωνικό Χιλιοςτόμετρο ι Τετραγωνικό Χιλιοςτό 1 mm 2. Η μετατροπή και η ςχζςεισ μεταξφ των παραπάνω μονάδων. m 2 dm 2 cm 2 mm 2 ` Για να μεταβοφμε από μια μεγαλφτερθ μονάδα μζτρθςθσ ςε μια μικρότερθ μονάδα πολλαπλαςιάςουμε με το 100, τόςεσ φορζσ βιματα πάμε προσ τα κάτω. Για να μεταβοφμε από μια μικρότερθ μονάδα μζτρθςθσ ςε μια μεγαλφτερθ μονάδα διαιροφμε με το 100, τόςεσ φορζσ όςα βιματα πάμε προσ τα πάνω. Άρα 1 m 2 = 1*100 dm 2 = 100 dm 2 = 10 2 dm 2 Ακόμα 1 dm 2 = m 2 = 10-2 m 2 = 0,01 m 2 1 m 2 = 1*10000 cm 2 = 10000 cm 2 = 10 4 cm 2 1 cm 2 = m 2 = 10-4 m 2 = 0,0001 m 2 1 m 2 = 1*1000000 mm 2 = 1000000 mm 2 = 10 6 cm 2 1 mm 2 = m 2 = 10-6 m 2 = 0,000001 m 2 Π.χ.1 o ) Να μετατρζψετε cm 2 τα παρακάτω μικθ: i) 1,25 m 2 = 1,25 * 10000 cm 2 = 12500 cm 2 ii) 0,36 dm 2 = 0,36 * 100 cm 2 = 36 cm 2 Π.χ.2 o ) Να μετατρζψετε m τα παρακάτω μικθ: i) 215 dm 2 = 215 : 100 m 2 = 2,15 m 2 ι 215 dm 2 = 215 * 10-2 m 2 = 2,15 m 2 ii) 3800 cm 2 = 3800 : 1000000 m 2 = 0,038 m 2 ι 3800 cm 2 = 3800 * 10-6 m 2 = 0,038 m 2 Σημείωςη: Μεγαλφτερθ μονάδα μζτρθςθσ από το τετραγωνικό μζτρο που χρθςιμοποιοφμε είναι το ςτρζμμα και ιςχφει 1 ςτρ.= 1000 m 2. Άςκηςη 1 η ) Να μετατρζψετε τα παρακάτω εμβαδά ςε cm 2 : i) 4,15 m 2 ii) 0,013 m 2 iii) 6,26 dm 2 iv) 31,2 mm 2 Άςκηςη 2 η ) Να μετατρζψετε τα παρακάτω εμβαδά ςε m 2 : i) 415 dm 2 ii) 130,12 cm 2 iii) 600,16 dm 2 iv) 134003 mm 2 v) 9817,92 cm 2 vi) 1,23 dm 2 vii) 124,001 cm 2 Άςκηςη 3 η ) Να μετατρζψετε τα παρακάτω εμβαδά ςε dm 2 : i) 4,15 m 2 ii) 0,023 m 2 iii) 6,26 cm 2 iv) 3001,2 mm 2 v) 2391,21 cm 2 vi) 345 mm 2 vii) 0,018 m 2. Άςκηςη 4 η ) Να μετατρζψετε τα παρακάτω εμβαδά ςε ςτρζμματα: i) 4150 m 2 ii) 230012 cm 2 iii) 610006 dm 2 iv) 134,003 m 2 v) 9817902 cm 2 vi) 12300000 cm 2 vii) 124001 dm 2 Τςατςαρώνησ Δημήτριοσ - 2 -
Βαςικά ςχήματα και τα εμβαδά τουσ. Τετράγωνο πλευράσ α ζχει Περίμετρο Π = 4α α και Εμβαδόν Ε = α 2 α α β Το ορκογϊνιο ζχει πλάτοσ ι φψοσ α και βάςθ ι μικοσ β, τότε θ Περίμετροσ τουσ είναι Π = 2α + 2β και Εμβαδόν Ε = αβ (μικοσ επί πλάτοσ ι βάςθ επί φψοσ). β 1 Το παραλλθλόγραμμο ζχει τισ απζναντι πλευρζσ του ωσ βάςεισ, άρα ζχει 2 β 2 υ 2 β 2 βάςεισ τισ β 1 και β 2 όπωσ φαίνονται ςτο ςχιμα. Ακόμα τισ απζναντι πλευρζσ υ 1 αντιςτοιχοφν τα φψθ υ 1 και υ 2, όπωσ φαίνονται ςτο ςχιμα. Το Εμβαδό του παραλλθλογράμμου ορίηεται ωσ: Ε = β 1 υ 1 = β 2 υ 2, β 1 δθλαδι βάςθ επί το αντίςτοιχο φψοσ. Το τρίγωνο ΑΒΓ ζχει τρεισ πλευρζσ που κεωροφνται και βάςεισ του, δθλαδι ΒΓ = β 1, ΑΓ = β 2 και ΑΒ = β 3. Σε κάκε βάςθ αντιςτοιχεί και ζνα φψοσ, ζτςι ζχουμε ςτθν βάςθ β 1 το φψοσ ΑΔ = υ 1 ςτθν βάςθ β 2 το φψοσ ΒΕ = υ 2 ςτθν βάςθ β 3 το φψοσ ΑΔ = υ 3 Το Εμβαδόν του τριγϊνου ορίηεται ωσ: Ε, δθλαδι βάςθ επί το αντίςτοιχο φψοσ δια δφο. Το τραπζηιο ΑΒΓΔ ζχει τισ παράλλθλεσ πλευρζσ του ωσ βάςθσ ΒΓ = Β ( βάςθ μεγάλθ) και ΑΔ = β (βάςθ μικρι) και τθν απόςταςθ αυτϊν ΑΔ = υ ωσ φψοσ. ( ) Το Εμβαδόν του τραπεηίου ορίηεται ωσ: Ε 2 δθλαδι βάςθ μεγάλθ ςυν βάςθ μικρι, επί το φψοσ δια δφο. Άςκηςη 1 η ) Ζνα τετράγωνο ζχει πλευρά 40 cm. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του ςε dm 2. Άςκηςη 2 η ) Ζνα τετράγωνο ζχει περίμετρο 12 cm. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του. Άςκηςη 3 η ) Ζνα ορκογϊνιο ζχει πλευρζσ 12 cm και 80 mm. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του. Τςατςαρώνησ Δημήτριοσ - 3 -
Άςκηςη 4 η ) Ζνα ορκογϊνιο ζχει πλευρζσ που διαφζρουν κατά 3 και περίμετρο 14 cm. Να υπολογίςετε τισ πλευρζσ του ορκογωνίου και το εμβαδόν του. Άςκηςη 5 η ) Ζνα ορκογϊνιο ζχει πλευρζσ που διαφζρουν κατά 4 και περίμετρο 20 cm. Να υπολογίςετε τισ πλευρζσ του ορκογωνίου και το εμβαδόν του. Άςκηςη 6 η ) Ζνα ορκογϊνιο ζχει πλευρζσ που θ μια είναι διπλάςια τθσ άλλθσ και περίμετρο 30 cm. Να υπολογίςετε τισ πλευρζσ του ορκογωνίου και το εμβαδόν του. Άςκηςη 7 η ) Ζνα ορκογϊνιο ζχει πλευρζσ που θ μια είναι τριπλάςια τθσ άλλθσ και περίμετρο 32 cm. Να υπολογίςετε τισ πλευρζσ του ορκογωνίου και το εμβαδόν του. Άςκηςη 8 η ) Στο διπλανό παραλλθλόγραμμο ιςχφει β 1 = 6 cm, β 2 = 4 cm και β 2 υ 2 υ 1 = 5 cm. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του παραλλθλογράμμου και το υ 2. υ 1 Άςκηςη 9 η ) Στο διπλανό παραλλθλόγραμμο ιςχφει β 1 = 10 cm, υ 1 = 6 cm και β 1 υ 2 = 8 cm. Να υπολογίςετε το εμβαδόν παραλλθλογράμμου και το β 2. Άςκηςη 10 η ) Ζςτω τρίγωνο με πλευρζσ ΒΓ = 8 cm, ΑΒ = 6 cm και φψοσ που αντιςτοιχεί ςτθν ΒΓ ίςο με 5 cm. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του τριγϊνου και το φψοσ που αντιςτοιχεί ςτθν ΑΒ. Άςκηςη 11 η ) Ζςτω τρίγωνο με πλευρζσ ΒΓ = 10 cm, ΑΒ = 50 mm και φψοσ που αντιςτοιχεί ςτθν ΒΓ ίςο με 0,4 dm. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του τριγϊνου και το φψοσ που αντιςτοιχεί ςτθν ΑΒ. Άςκηςη 12 η ) Ζνα τραπζηιο ζχει βάςεισ ΑΔ = 3 cm, ΒΓ = 80 mm και φψοσ ΑΕ = 0,5 dm. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του τραπεηίου. Άςκηςη 13 η ) Ζνα τραπζηιο ζχει βάςεισ που διαφζρουν κατά διαφζρουν κατά 4. Αν θ μικρι βάςθ είναι ΑΔ = 6 cm και το φψοσ του ίςο με το μιςό τθσ μικρισ βάςθσ, τότε να υπολογίςετε το εμβαδόν του τραπεηίου. Άςκηςη 14 η ) Ζνα τραπζηιο ζχει βάςεισ που διαφζρουν κατά διαφζρουν κατά 6. Αν θ μεγάλθ βάςθ είναι ΒΓ = 15 cm και το φψοσ του ίςο με το ζνα τρίτο τθσ μεγάλθσ βάςθσ, τότε να υπολογίςετε το εμβαδόν του τραπεηίου. Άςκηςη 15 η ) Ζνα τραπζηιο ζχει βάςεισ που θ μία είναι τριπλάςια τθσ άλλθσ. Αν θ μικρι βάςθ είναι ΑΔ = 4 cm και το φψοσ του κατά δυο μεγαλφτερο από τθν μικρι βάςθ, τότε να υπολογίςετε το εμβαδόν του τραπεηίου. Άςκηςη 16 η ) Ζνα τραπζηιο ζχει βάςεισ που θ μία είναι διπλάςια τθσ άλλθσ. Αν θ μεγάλθ βάςθ είναι ΒΓ = 12 cm και το φψοσ του κατά 4 μικρότερο από τθν μεγάλθ βάςθ, τότε να υπολογίςετε το εμβαδόν του τραπεηίου. Άςκηςη 17 η ) Να βρεκεί θ περίμετροσ και το εμβαδόν ενόσ ιςοςκελοφσ τραπεηίου με ΑΒ//ΓΔ που ζχει μεγάλθ βάςθ ίςθ με 12 cm, φψοσ 4 cm και θ μεγάλθ βάςθ είναι διπλάςια τθσ μικρισ. Τςατςαρώνησ Δημήτριοσ - 4 -
Πυθαγόρειο Θεϊρημα. Γ Σε κάκε ορκογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90 ο, θ απζναντι πλευρά από τθν ορκι γωνία ονομάηεται υποτείνουςα, ενϊ οι άλλεσ δυο πλευρζσ του είναι οι κάθετεσ πλευρζσ του. υποτείνουςα β α Συμβολίηουμε με αντίςτοιχο μικρό γράμμα τισ πλευρζσ του ΑΒΓ ανάλογα ςε ποια πλευρά είναι απζναντι. Άρα κα ζχουμε ΒΓ = α, ΑΓ = β και ΑΒ = γ. Σε κάκε ορκογϊνιο τρίγωνο ιςχφει το Πυθαγόρειο Θεϊρημα, που μασ λζει ότι: Α γ Β Το τετράγωνο τησ υποτείνουςασ είναι ίςο με το άθροιςμα των τετραγώνων των δυο κάθετων πλευρών του, δηλαδή α 2 = β 2 + γ 2. Το αντίςτροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματοσ: Αν ςε ζνα τρίγωνο το τετράγωνο τησ μεγαλφτερησ πλευράσ του είναι ίςο με το άθροιςμα των τετραγώνων των άλλων δυο πλευρών του, τότε η γωνία που βρίςκεται απζναντι από την μεγαλφτερη πλευρά είναι ορθή. Σημειϊςεισ: 1 η ) Το Πυκαγόρειο Θεϊρθμα το χρθςιμοποιοφμε μόνο όταν ξζρουμε ότι το τρίγωνο είναι ορκογϊνιο 2 η ) Το Πυκαγόρειο Θεϊρθμα το χρθςιμοποιοφμε για να υπολογίςουμε μια πλευρά του ορκογωνίου τριγϊνου, όταν γνωρίηουμε τισ άλλεσ δφο. 3 η ) Το Αντίςτροφο του Πυκαγορείου Θεωριματοσ μασ βοθκάει να επιβιϊςουμε αν ζνα τρίγωνο είναι ορκογϊνιο, όταν γνωρίηουμε όλεσ τισ πλευρζσ του τριγϊνου. Άςκηςη 1 η ) Στο ςχιμα 1 ποιεσ από τισ παρακάτω ιςότθτεσ ιςχφουν: α) ΑΔ 2 = ΑΓ 2 ΔΓ 2 β) ΑΔ 2 = ΑΒ 2 + ΒΔ 2 γ) ΔΓ 2 = ΑΓ 2 ΑΔ 2 δ) ΒΔ 2 = ΑΒ 2 + ΑΔ 2 ε) ΒΔ 2 = ΑΒ 2 ΑΔ 2 ςτ) ΑΒ 2 = ΑΔ 2 + ΔΒ 2 Άςκηςη 2 η ) Στο ςχιμα 2 ποιεσ από τισ παρακάτω ιςότθτεσ ιςχφουν: α) ΑΔ 2 = ΔΗ 2 + ΑΗ 2 β) ΒΔ 2 = ΑΒ 2 ΑΔ 2 γ) ΔΓ 2 = ΑΔ 2 ΑΓ 2 δ) ΑΗ 2 = ΑΔ 2 ΔΗ 2 ε) ΗΔ 2 = ΔΓ 2 + ΗΓ 2 ςτ) ΑΓ 2 = ΑΔ 2 + ΔΓ 2 Άςκηςη 3 η ) Αν α, β, γ είναι οι πλευρζσ ενόσ ορκογωνίου τριγϊνου με α < β < γ, τότε ιςχφει: i) α 2 = β 2 + γ 2 ii) β 2 = α 2 + γ 2 iii) α 2 = β 2 γ 2 iv) β 2 = γ 2 α 2. Άςκηςη 4 η ) Σε ζνα τρίγωνο ΑΒΓ ιςχφει ΑΒ 2 = ΑΓ 2 + ΒΓ 2. Τότε για τισ γωνίεσ του ιςχφει: i) Α = 90 ο ii) Β = 90 ο iii) Γ = 90 ο iv) Γ < 90 ο. Τςατςαρώνησ Δημήτριοσ - 5 -
Άςκηςη 5 η ) Σε ζνα τρίγωνο ΑΒΓ ιςχφει ΑΒ 2 = ΓΒ 2 ΑΓ 2. Τότε για τισ γωνίεσ του ιςχφει: i) Β = 90 ο ii) Α = 90 ο iii) Β > 90 ο iv) Γ = 90 ο. Άςκηςη 6 η ) Ζνα τρίγωνο ΑΒΓ ζχει πλευρζσ α = 10 cm, β = 6 cm και γ = 8 cm. Τότε για τισ γωνίεσ του ιςχφει: i) Α = 90 ο ii) Γ > 90 ο iii) Γ > 90 ο iv) Β = 90 ο. Άςκηςη 7 η ) Αν ΑΒΓ είναι ορκογϊνιο τρίγωνο με γωνία Γ = 90 ο και α = 8 cm, γ = 10 cm, τότε θ πλευρά β είναι ίςθ με: i) 36 cm ii) 6 cm iii) 2 cm iv) 4 cm. Άςκηςη 8 η ) Σε ζνα ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ, ζχουμε ΑΒ = ΑΓ = 10 cm. Αν θ βάςθ ΒΓ είναι 12 cm, να υπολογίςετε: i) το φψοσ ΑΔ ii) το εμβαδόν του iii) το φψοσ ΒE. Άςκηςη 9 η ) Σε ζνα ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), θ περίμετροσ είναι 50 cm. Αν θ βάςθ ΒΓ είναι 11 cm μεγαλφτερθ από τισ ίςεσ πλευρζσ, να υπολογίςετε: i) τισ ίςεσ πλευρζσ ii) το φψοσ ΑΔ iii) το εμβαδόν του iv) το φψοσ ΒE. Άςκηςη 10 η ) Σε ζνα ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), θ πλευρά ΑΓ είναι κατά 1 cm μικρότερθ από τθ βάςθ ΒΓ. Αν θ περίμετροσ είναι 16 cm, να υπολογίςετε: i) τισ πλευρζσ του τριγϊνου ii) το φψοσ ΑΔ iii) το εμβαδόν του iv) το φψοσ ΓΕ. Άςκηςη 11 η ) Σε ζνα τρίγωνο ΑΒΓ, θ πλευρά ΑΓ είναι κατά 1 cm μεγαλφτερθ από τθ ΒΓ και θ ΑΒ κατά 7 cm μικρότερθ από τθ ΒΓ. Αν θ περίμετροσ του τριγϊνου είναι 30 cm, τότε: i) να δείξετε ότι το ΑΒΓ είναι ορκογϊνια με τθν γωνία B = 90 ο. ii) να βρείτε το εμβαδόν του και το φψοσ ΒΕ. Άςκηςη 12 η ) Δίνεται ιςόπλευρο τριγϊνου ΑΒΓ με περίμετρο Π = 12 cm. Να υπολογίςετε: i) τθν πλευρά του ii) το φψοσ του ΑΔ iii) το εμβαδόν του. Άςκηςη 13 η ) Δίνεται ιςόπλευρο τριγϊνου ΑΒΓ με πλευρά 12cm. Αν ΑΔ είναι το φψοσ του και Ε μζςον του ΑΔ, να υπολογίςετε το ΒΕ. Άςκηςη 14 η ) Δίνεται ιςοςκελζσ τραπζηιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) με ΓΔ = 60 cm, ΑΒ = 24 cm και ΒΓ = ΑΔ = 30 cm. Να βρείτε το φψοσ του τραπεηίου και το εμβαδόν του. β Γ α Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείασ γωνίασ. Στο ορκογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τθν γωνία Α = 90 ο, ζχουμε τθν πλευρά ΒΓ = α να είναι θ υποτείνουςα του τριγϊνου. Για τθν οξεία γωνία Β θ πλευρά ΑΓ = β είναι θ απζναντι κάκετθ πλευρά, ενϊ θ ΑΒ = γ είναι θ προςκείμενθ κάκετθ πλευρά. Για μια οξεία γωνία ω ορίςουμε: θμω =, οπότε θμβ = Α γ Β ςυνω =, οπότε ςυνβ = εφω =, οπότε εφβ = Τςατςαρώνησ Δημήτριοσ - 6 -
Σημειϊςεισ: 1 η ) Για το θμίτονο και το ςυνθμίτονο μιασ οξείασ γωνίασ παρατθροφμε ότι ιςχφει: 0 < ημω < 1 και 0 < ςυνω < 1 2 η ) Ιςχφει ότι εφω =, θ ςχζςθ αυτι αποδεικνφεται ωσ εξισ: εφω. Τριγωνομετρικός πίνακας των γωνιών 30 ο, 45 ο και 60 ο. ω θμω ςυνω εφω 30 ο 45 ο 1 60 ο Άςκηςη 1 η ) Σε ζνα ορκογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90 ο ιςχφει ότι θμγ = 0,6 και ΒΓ = 24 cm. Να υπολογίςετε το ςυνβ, το ςυνγ και το εμβαδόν του τριγϊνου. Άςκηςη 2 η ) Δίνεται ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ = 10 cm και Β = 30 ο. Να υπολογίςετε το φψοσ του ΑΔ και το εμβαδόν του. Άςκηςη 3 η ) Αν ςτο τρίγωνο ΑΒΓ ζχουμε γωνία Β = 60 ο και Γ = 45 ο. Θεωροφμε το φψοσ του ΑΔ = 9,5 cm και το μικοσ τθσ πλευράσ ΑΒ = 11 cm, τότε να υπολογίςετε τθν πλευρά ΒΓ. Άςκηςη 4 η ) Θεωροφμε ορκογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90 ο. Αν θ γωνία Β = 30 ο, θ πλευρά ΑΒ = 8 cm και ΑΔ φψοσ του τριγϊνου, τότε να υπολογίςετε τα τμιματα: i) ΑΔ ii) ΑΓ (Δίνεται ότι 4,62) Άςκηςη 5 η ) Θεωροφμε ορκογϊνιο τρίγωνο με Α = 90 ο. Αν θ γωνία Β = 60 ο, θ πλευρά ΑΒ = 6 cm και ΑΔ φψοσ του τριγϊνου, τότε να υπολογίςετε τα τμιματα: i) ΑΔ ii) ΒΓ (Δίνεται ότι 5,2) Άςκηςη 6 η ) Αν το φψοσ του διπλανοφ φάρου ΑΒ είναι ίςο με 30 m, τότε να υπολογίςετε τθν απόςταςθ των δυο καραβιϊν δθλαδι το τμιμα ΓΔ. ( Δίνεται ότι 52 m) Άςκηςη 7 η ) Αν το φψοσ του διπλανοφ φάρου ΑΒ είναι ίςο με 50 m, τότε να υπολογίςετε τθν απόςταςθ των δυο καραβιϊν δθλαδι το τμιμα ΓΔ. ( Δίνεται ότι 29 m) Τςατςαρώνησ Δημήτριοσ - 7 -
Άςκηςη 8 η ) Ο παρατθρθτισ του διπλανοφ ςχιματοσ βρίςκεται ςτθν κζςθ Α και βλζπει τθν βάςθ του φάρου Β με γωνία 30 ο και τθν κορυφι του Γ με γωνία 60 ο. Αν οι αποςτάςεισ ΑΒ, ΑΓ είναι 4 m και 7 m αντίςτοιχα, τότε να υπολογίςετε το ςυνολικό φψοσ ΒΓ του φάρου. (Δίνεται ότι 2 6 m) Άςκηςη 9 η ) Το αεροπλάνο του ςχιματοσ 1 πετάει ςε φψοσ 2500 m. Αν ζνα παρατθρθτισ είναι ςτθν κζςθ Π και βλζπει το αεροπλάνο υπό γωνία 30 ο, τότε να βρείτε τθν απόςταςθ που ζχει το αεροπλάνο από τον παρατθρθτι. Σχήμα 1 ο Σχήμα 2 ο Άςκηςη 10 η ) Στο ςθμείο Π, του ςχιματοσ 2, βρίςκεται ζνασ παρατθρθτισ και βλζπει 2 αεροπλάνα που βρίςκονται ςτισ κζςεισ Α και Β με γωνίεσ 45 ο και 60 ο αντίςτοιχα. Αν το αεροπλάνο Α πετάει ςε φψοσ 10.000 m και το Β ςε φψοσ 2.000 m ψθλότερα από το Α, τότε να βρείτε ποιο αεροπλάνο βρίςκεται πιο κοντά ςτον παρατθρθτι. (Δίνεται ότι και ). Άςκηςη 11 η ) Το ςπουργίτθ, του ςχιματοσ 3, βλζπει ζνα ςπόρο ςτθ κζςθ Σ. Αν θ βάςθ του δζντρου Β ζχει απόςταςθ 12 m από τον ςπόρο, να υπολογίςετε: α) ςε ποιο φψοσ βρίςκεται θ φωλιά από το ςπουργίτθ β) ποια είναι θ απόςταςθ που ζχει θ φωλιά του, από το ςπόρο ςτο ςθμείο Σ. ( Δίνεται ότι ). Σχήμα 3 ο Σχήμα 4 ο Άςκηςη 12 η ) Στο ςχιμα 4, δυο παιδιά που βρίςκονται ςτισ κζςεισ Α και Β, βλζπουν τουσ καρποφσ Κ και Λ υπό γωνία 30 ο και 45 ο αντίςτοιχα. Αν οι αποςτάςεισ οι καρποί Κ και Λ είναι ςε φψοσ 2 m και 2 m, να βρείτε ποίο παιδί είναι πιο κοντά ςτουσ αντίςτοιχουσ καρπόσ. Άςκηςη 13 η ) Να υπολογίςετε το εμβαδόν του τριγϊνου ΑΒΓ, αν Β = 45 ο, Γ = 30 ο και το φψοσ του ΑΔ = 24 cm. Άςκηςη 14 η ) Ζνα ιςοςκελζσ τραπζηιο ΑΒΓΔ με βάςεισ ΑΒ και ΓΔ, ζχει γωνίεσ Α = Β = 45 ο και ΓΔ = 20 cm. Αν το φψοσ του τραπεηίου είναι 8 cm, να βρείτε τθν πλευρά ΑΒ και το εμβαδόν του. Άςκηςη 15 η ) Να υπολογίςετε το εμβαδόν ενόσ ιςοςκελοφσ τραπεηίου ΑΒΓΔ με βάςεισ τισ ΑΒ και ΓΔ, αν ΑΒ = 18 cm, ΓΔ = 9 cm και Α = 45 ο. Τςατςαρώνησ Δημήτριοσ - 8 -
Άςκηςη 16 η ) Να βρείτε το φψοσ και το εμβαδόν, ενόσ ιςοπλεφρου τριγϊνου που ζχει περίμετρο 15 cm. Άςκηςη 17 η ) Σε ζνα παραλλθλόγραμμο ΑΒΓΔ με ιςχφει ότι Δ = 150 ο, ΑΔ = 12 cm και ΔΓ = 24 cm. Να υπολογίςετε το φψοσ ΔΚ του παραλλθλογράμμου και το εμβαδόν του. Άςκηςη 18 η ) Στο ςχιμα 5, οι όροφοι του εμπορικοφ κζντρου ζχουν φψοσ 4 m και ςυνδζονται μεταξφ τουσ με κυλιόμενεσ ςκάλεσ. Αν οι γωνίεσ που ςχθματίηουν οι κυλιόμενεσ ςκάλεσ για τον 1 ο και 2 ο όροφο είναι αντίςτοιχα 30 ο και 45 ο, τότε να υπολογίςετε το ςυνολικό μικοσ από τισ κυλιόμενεσ ςκάλεσ. (Δίνεται ότι ). Σχήμα 5 ο Σχήμα 6 ο Άςκηςη 19 η ) Στο ςχιμα 6, οι κυλιόμενεσ ςκάλεσ του εμπορικοφ κζντρου ζχουν μικοσ 8 m και 3 m, αντίςτοιχα. Αν οι γωνίεσ που ςχθματίηουν οι κυλιόμενεσ ςκάλεσ για τον 1 ο και 2 ο όροφο είναι αντίςτοιχα 30 ο και 60 ο, τότε να υπολογίςετε το ςυνολικό φψοσ που ζχει ο 2 οσ όροφοσ από το ζδαφοσ. Επίκεντρη Εγγεγραμμζνη Γωνία Μια γωνία ονομάηεται επίκεντρη, όταν θ κορυφι τθσ είναι το κζντρο του κφκλου και οι πλευρζσ τθσ ακτίνεσ του κφκλου. Κάκε επίκεντρθ γωνία βαίνει ςε ζνα τόξο του κφκλου. Άρα θ επίκεντρθ γωνία ΑΟΒ βαίνει ςτο τόξο ΑΒ. Η επίκεντρη γωνία και το αντίςτοιχο τόξο ζχουν ίδιο μζτρο, δθλαδι αν επίκεντρθ γωνία ΑΟΒ = 50 ο τότε και το τόξο ΑΒ = 50 ο. Μια γωνία ονομάηεται εγγεγραμμζνη, όταν θ κορυφι τθσ είναι ςθμείο του κφκλου και οι πλευρζσ τθσ χορδζσ του κφκλου. Κάκε εγγεγραμμζνθ γωνία βαίνει ςε ζνα τόξο, ζτςι θ εγγεγραμμζνθ γωνία ΑΓΒ βαίνει ςτο τόξο ΑΒ. Κανόνεσ: 1 οσ ) Κάθε εγγεγραμμζνη γωνία ζχει μζτρο ίςο με το μιςό του μζτρου τησ επίκεντρησ γωνίασ που βαίνει ςτο ίδιο τόξο. Άρα αν ΑΟΒ = 50 ο, τότε ΑΓΒ = 2 2 2 οσ ) Κάθε εγγεγραμμζνη γωνία ζχει μζτρο ίςο με το μιςό του μζτρου του τόξου ςτο οποίο βαίνει. Άρα αν το τόξο ΑΒ = 50 ο, τότε ΑΓΒ = 2 2 25 ο. Τςατςαρώνησ Δημήτριοσ - 9-25 ο. 3 οσ ) Οι εγγεγραμμζνεσ γωνίεσ που βαίνουν ςτο ίδιο τόξο ζχουν το ίδιο μζτρο. 4 οσ ) Κάθε εγγεγραμμζνη γωνία που βαίνει ςε ημικφκλιο είναι ορθή.
Θα αποδείξουμε ότι το μζτρο τησ εγγεγραμμζνησ γωνίασ είναι ίςο με το μιςό του μζτρου τησ αντίςτοιχησ επίκεντρησ. Θα διακρίνουμε τρείσ περιπτϊςεισ: Περίπτωςη 1 η : Το κζντρο του κφκλου βρίςκεται πάνω ςε μια από τισ δυο πλευρζσ τθσ εγγεγραμμζνθσ γωνίασ. Θεωροφμε μια εγγεγραμμζνθ γωνία ΑΒΓ = φ όπου θ πλευρά τθσ ΑΒ είναι διάμετροσ του κφκλου και τθν αντίςτοιχθ επίκεντρθ γωνία ΑΟΓ = ω. Το τρίγωνο ΒΟΓ είναι ιςοςκελζσ, διότι ΟΒ = ΟΓ ωσ ακτίνεσ του κφκλου. Τότε οι γωνίεσ του Β και Γ είναι ίςεσ, δθλαδι Β = Γ = φ. Θ επίκεντρθ γωνία ΑΟΓ = ω είναι εξωτερικι του τριγϊνου ΒΟΓ, οπότε κα είναι ίςθ με το άκροιςμα των δυο εςωτερικϊν, δθλαδι ΑΟΓ = Β + Γ ι ω = φ + φ ι ω = 2φ ι 2 2 2 ι φ =. Περίπτωςη 2 η : Το κζντρο του κφκλου βρίςκεται μζςα ςτθν εγγεγραμμζνθσ γωνίασ. Στθν περίπτωςθ αυτι φζρνουμε τθν διάμετρο του κφκλου ΒΔ. Ζτςι θ εγγεγραμμζνθ γωνία ΑΒΓ = φ, χωρίηεται ςτισ φ 1 και φ 2 με φ = φ 1 + φ 2. Ακόμα θ αντίςτοιχθ επίκεντρθ ΑΟΓ = ω, χωρίηεται ςτισ ω 1 και ω 2 με ω = ω 1 + ω 2. Αριςτερά και δεξιά τθσ διαμζτρου ΒΔ ζχουμε τθν Περίπτωςθ 1, άρα φ 1 = 2 και φ 2 = 2. Οπότε αφοφ είναι φ = φ 1 + φ 2 = 2 2 2 2. Άρα ιςχφει ξανά ότι φ =. Περίπτωςη 3 η : Το κζντρο του κφκλου βρίςκεται ζξω από τθν εγγεγραμμζνθ γωνία. Θεωροφμε τθν εγγεγραμμζνθ γωνία ΑΒΓ = φ και τθν αντίςτοιχθ επίκεντρθ ΑΟΓ = ω. Στθν περίπτωςθ αυτι φζρνουμε ξανά τθν διάμετρο του κφκλου ΒΔ. Οπότε δθμιουργοφμε δυο νζεσ εγγεγραμμζνεσ γωνίεσ, τισ ΔΒΓ και ΔΒΑ = φ 1, με τισ αντίςτοιχεσ επίκεντρεσ, ΔΟΓ και ΔΟΑ = ω 1, που ζχουν κοινι πλευρά τθν ΒΔ θ οποία διζρχεται από το κζντρο του κφκλου (Περίπτωςθ 1 θ ). Για τισ εγγεγραμμζνεσ γωνίεσ ιςχφει: ΔΒΓ = ΔΒΑ + ΑΒΓ ι ΔΒΓ = φ 1 + φ ι φ = ΔΒΓ φ 1. Για τισ αντίςτοιχεσ επίκεντρεσ γωνίεσ κα ζχουμε: ΔΟΓ = ΔΟΑ + ΑΟΓ ι ΔΟΓ = ω 1 + ω ι ω = ΔΟΓ ω 1. Όμωσ είναι ΔΒΓ = 2 και φ 1 = 2, οπότε φ = 2 2 2 2. Αριςτερά και δεξιά τθσ διαμζτρου ΑΔ ζχουμε τθν Περίπτωςθ 1, άρα φ 1 = φ 2 = 2. Οπότε αφοφ είναι φ = φ 1 + φ 2 = 2 2 2 2. Άρα ιςχφει ξανά ότι φ =. 2 και Τςατςαρώνησ Δημήτριοσ - 10 -
Άςκηςη 1 η ) Θ άκρθ του ωροδείκτθ ςε 3 ϊρεσ τι τόξο διαγράφει; Άςκηςη 2 η ) Θ άκρθ του ωροδείκτθ ςε πόςεσ ϊρεσ διαγράφει τόξο 180 ο. Άςκηςη 3 η ) Θ άκρθ του λεπτοδείκτθ ςε 1 ϊρα τι τόξο διαγράφει; Άςκηςη 4 η ) Το μζτρο μιασ επίκεντρθσ γωνίασ που βαίνει ςε τεταρτοκφκλιο πόςεσ μοίρεσ είναι; Άςκηςη 5 η ) Το μζτρο μιασ εγγεγραμμζνθσ γωνίασ που βαίνει ςε τεταρτοκφκλιο πόςεσ μοίρεσ είναι; Άςκηςη 6 η ) Να υπολογίςετε πόςεσ μοίρεσ είναι το τόξο που διαγράφει θ άκρθ του ωροδείκτθ ενόσ ωρολογίου ςε 3 ϊρεσ. Κατόπιν να βρείτε ςε πόςο χρόνο θ άκρθ του λεπτοδείκτθ διαγράφει τόξο 120 ο. Άςκηςη 7 η ) Αν το τόξο ΑΒ είναι ίςο με 80 ο και θ διχοτόμοσ ΔΓ τθσ εγγεγραμμζνθσ γωνίασ ΑΔΒ, τότε θ γωνία ΑΔΓ πόςο μοιρϊν είναι; Άςκηςη 8 η ) Αν για ζνα εγγεγραμμζνο ςε κφκλο (Ο, ρ) τρίγωνο ΑΒΓ ιςχφει ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = ΒΓ 2, τότε θ επίκεντρθ γωνία ΒΟΓ με πόςεσ μοίρεσ είναι ίςθ; Άςκηςη 9 η ) Σε ζνα θμικφκλιο με διάμετρο ΑΒ παίρνουμε τα ςθμεία Γ, Δ, Ε τζτοια ϊςτε για τα τόξα να ιςχφει ΑΓ = ΓΔ και ΔΕ = ΕΒ. Να δείξετε ότι ΓΟΕ = 90 ο. Άςκηςη 10 η ) Σε ζνα θμικφκλιο με διάμετρο ΑΒ δίνεται ότι για τα τόξα ιςχφει ΑΔ = 2x 5 ο, ΔΓ = x + 10 ο ΓΒ = 3x 5 ο. Να βρείτε τισ αντίςτοιχεσ επίκεντρεσ γωνίεσ που βαίνουν ςτα παραπάνω τόξα. και Άςκηςη 11 η ) Σε κφκλο (Ο, ρ) παίρνουμε δυο διαδοχικζσ επίκεντρεσ γωνίεσ ΑΟΒ = 70 ο υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγϊνου ΑΒΓ. και ΒΟΓ = 120 ο. Να Άςκηςη 12 η ) Αν Μ και Ν είναι τα μζςα των τόξων ΑΒ και ΒΓ αντίςτοιχα ενόσ κφκλου (Ο, ρ) με ΒΓ = 60 ο και ΑΓ = 170 ο, να βρείτε το μικοσ του τόξου ΜΝ. Άςκηςη 13 η ) Σε κφκλο (Ο, ρ) να πάρετε δυο διαδοχικά τόξα ΑΒ = 50 ο και ΒΓ = 130 ο. i) Να βρείτε τθ κζςθ των Α, Γ πάνω ςτον κφκλο; ii) Να βρείτε το είδοσ του τριγϊνου ΑΒΓ. iii) Να υπολογίςετε τισ οξείεσ γωνίεσ του τριγϊνου ΑΒΓ. Άςκηςη 14 η ) Σε ζνα κφκλο (Ο, ρ) ζχουμε ΑΒ διάμετροσ του κφκλου και ΑΓ = ρ μια χορδι του κφκλου. Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ των τριγϊνων ΑΟΓ και ΓΟΒ. Άςκηςη 15 η ) Σε ζνα κφκλο (Ο, ρ) είναι τα τόξα ΑΒ = 35 ο, ΒΓ = 70 ο και ΓΔ = 75 ο. Να υπολογίςετε τισ επίκεντρεσ γωνίεσ που βαίνουν ςτα τόξα ΑΒ, ΒΓ, ΑΔ. Άςκηςη 16 η ) Σε ζνα θμικφκλιο διαμζτρου ΑΒ = 10 cm, δίνεται ςθμείο Γ τζτοιο ϊςτε για τα τόξα να ιςχφει ΒΓ = 2ΑΓ. Να υπολογίςετε τισ πλευρζσ και τισ γωνίεσ του τριγϊνου ΑΒΓ. Άςκηςη 17 η ) Σε ζνα κφκλο να πάρετε δυο άνιςεσ και παράλλθλεσ χορδζσ ΑΒ και ΓΔ. i) Να εξθγιςετε γιατί το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. ii) Αν είναι τα τόξα ΑΒ = 80 ο και ΓΔ = 100 ο να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τραπεηίου ΑΒΓΔ. Τςατςαρώνησ Δημήτριοσ - 11 -
Άςκηςη 18 η ) Σε ζναν κφκλο (Ο, ρ), θ ΑΒ είναι διάμετροσ του και θ ΓΔ είναι μια χορδι του με ΑΒ//ΓΔ. Να δείξετε ότι για τισ γωνίεσ ιςχφει ΑΓΔ ΑΔΓ = 90 ο. Άςκηςη 19 η ) Ζνα τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμζνο ςε κφκλο (Ο, ρ) και ΒΔ το φψοσ του. Αν θ ακτίνα ΑΟ προεκτεινόμενθ τζμνει τον κφκλο ςτο Ε, να δείξετε ότι ΕΓ//ΒΔ. Άςκηςη 20 η ) Από τα ςχιματα 1, να υπολογίςετε τισ γωνίεσ α, β και γ. Άςκηςη 21 η ) Στο ςχιμα 2 ζχουμε τθν ΑΒ//ΓΔ και θ ΑΓ είναι διάμετροσ του κφκλου. Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ α, β και γ. Άςκηςη 22 η ) Στα ςχιματα 3, 4 και 5, να υπολογίςετε τθν τιμι του φ. Άςκηςη 23 η ) Στα ςχιματα 6 και 7, να υπολογίςετε τισ τιμζσ των γωνιϊν x, y, w, z. Τςατςαρώνησ Δημήτριοσ - 12 -
Κανονικά πολφγωνα Ζνα ςχιμα που ζχει περιςςότερεσ από 4 πλευρζσ ονομάηεται πολφγωνο. Ζνα πολφγωνο με ν κορυφζσ ονομάηεται ν-γωνο. Αν ζνα ν-γωνο με όλεσ τισ πλευρζσ του και τισ γωνιζσ του ίςεσ ονομάηεται κανονικό ν-γωνο. Κάκε κανονικό ν-γωνο μποροφμε να το εγγράψουμε ςε ζνα κφκλο, δθλαδι οι κορυφζσ του ν-γωνου να είναι ςημεία του κφκλου και οι πλευρζσ του να είναι χορδζσ του κφκλο. Εφόςον οι ίςεσ πλευρζσ του ν-γωνου είναι χορδζσ του κφκλου, τότε αυτζσ κα χωρίηουν τον κφκλο ςε ν ίςα τόξα. Οπότε ςε αυτά τα ν ίςα τόξα κα αντιςτοιχοφν και ν ίςεσ επίκεντρεσ γωνίεσ ω. Άρα κάκε μια κα είναι ίςθ με. Τθν γωνία ω τθν ονομάηουμε κεντρική γωνία του κανονικοφ ν-γϊνου. Κάκε μια από τισ ίςεσ γωνίεσ του κανονικοφ ν-γωνου τισ ςυμβολίςουμε με φ. Αν ενϊςουμε το κζντρο του κφκλου με τισ κορυφζσ του ν-γωνου, τότε δθμιουργοφνται ν ίςα ιςοςκελι τρίγωνα τα οποία ζχουν για βάςθ τισ πλευρζσ του κανονικοφ ν-γϊνου. Με αυτόν τον τρόπο κάκε γωνία τισ προςκείμενεσ γωνίεσ ςτθ βάςθ των ίςων τριγϊνων είναι ίςεσ μεταξφ τουσ και μάλιςτα ίςεσ με 2. Άρα, ςτο τρίγωνο ΑΒΟ κα ζχουμε: 2 2 ι 2 ι Οπότε η γωνία του κανονικοφ ν-γώνου φ και η κεντρική του γωνία ω είναι παραπληρωματικές. Άςκηςη 1 η ) Να απαντιςετε με Σωςτό ι Λάκοσ ςτισ ακόλουκεσ ερωτιςεισ: i) Το ιςόπλευρο τρίγωνο είναι κανονικό πολφγωνο. ii) Ζνα πολφγωνο το οποίο ζχει ίςεσ τισ πλευρζσ του είναι κανονικό. iii) Ο ρόμβοσ είναι κανονικό πολφγωνο. iv) Το ορκογϊνιο είναι κανονικό πολφγωνο. v) Το τετράγωνο είναι κανονικό πολφγωνο. vi) Το ιςοςκελζσ ορκογϊνιο τρίγωνο είναι κανονικό πολφγωνο. vii) Θ κεντρικι γωνία ενόσ κανονικοφ πενταγϊνου είναι ίςθ με 72 ο. viii) Θ χορδι τόξου 15 ο είναι πλευρά κανονικοφ πολυγϊνου. Άςκηςη 2 η ) Να εξετάςετε αν υπάρχει κανονικό πολφγωνο το οποίο να ζχει κεντρικι γωνία ίςθ με α) 80 ο β) 45 ο. Άςκηςη 3 η ) Θ κεντρικι γωνία και θ γωνία ενόσ κανονικοφ 20-γϊνου, πόςεσ μοίρεσ είναι; Άςκηςη 4 η ) Θ γωνία ενόσ κανονικοφ οκταγϊνου, με πόςεσ μοίρεσ είναι ίςθ; Άςκηςη 5 η ) Αν το άκροιςμα των γωνιϊν ενόσ κανονικοφ πολυγϊνου είναι 900 ο, τότε πόςεσ πλευρζσ ζχει; Άςκηςη 6 η ) Το κανονικό ν-γϊνο του οποίου θ γωνία του είναι ίςθ με τθν κεντρικι του, πόςεσ πλευρζσ ζχει; Τςατςαρώνησ Δημήτριοσ - 13 -
Άςκηςη 7 η ) Να βρείτε ςε ποιο κανονικό πολφγωνο θ κεντρικι του γωνία είναι ίςθ με τθν εξωτερικι του γωνία. Άςκηςη 8 η ) Να βρείτε ςε ποιο κανονικό πολφγωνο θ γωνία του και θ κεντρικι του γωνία είναι ίςεσ. Άςκηςη 9 η ) Να βρείτε πόςεσ πλευρζσ ζχει το κανονικό ν-γϊνο του οποίου θ κεντρικι γωνία του είναι ίςθ με τα 2/3 τθσ ορκισ. Άςκηςη 10 η ) Αν ςε ζνα κανονικό πολφγωνο θ γωνία του είναι 120 ο, να βρείτε τθ ςχζςθ που ςυνδζει τθν πλευρά του με τθν ακτίνα του κφκλου. Άςκηςη 11 η ) Να υπολογίςετε τθν περίμετρο και το εμβαδόν ενόσ κανονικοφ εξαγϊνου εγγεγραμμζνου ςε κφκλο (Ο, 6 cm). Άςκηςη 12 η ) Να εγγράψετε ςε ζναν κφκλο (Ο, 6 cm) ζνα κανονικό δεκάγωνο. Άςκηςη 13 η ) Να εγγράψετε ςε ζναν κφκλο (Ο, 6 cm) αρχικά ζνα ιςόπλευρο τρίγωνο, ςτθν ςυνζχεια ζνα κανονικό εξάγωνο και τζλοσ ζνα κανονικό δωδεκάγωνο. Άςκηςη 14 η ) Να εγγράψετε ςε ζναν κφκλο (Ο, 8 cm) αρχικά ζνα τετράγωνο, ςτθν ςυνζχεια ζνα κανονικό οκτάγωνο και τζλοσ ζνα κανονικό δεκαεξάγωνο. Άςκηςη 15 η ) Ζνα κανονικό πεντάγωνο είναι εγγεγραμμζνο ςε κφκλο (Ο, ρ). Αν θ πλευρά του κανονικοφ πενταγϊνου είναι 10 cm, να βρείτε τθν ακτίνα του περιγεγραμμζνου κφκλου. Άςκηςη 16 η ) Ζνα τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμζνο ςε κφκλο (Ο, ρ). Αν θ πλευρά ΑΒ είναι ίςθ με τθν πλευρά κανονικοφ πενταγϊνου και θ πλευρά ΑΓ είναι ίςθ με τθν πλευρά κανονικοφ οκταγϊνου, να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγϊνου ΑΒΓ. Άςκηςη 17 η ) Ζνα τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμζνο ςε κφκλο (Ο, ρ). Αν θ πλευρά ΑΒ είναι ίςθ με τθν πλευρά κανονικοφ εξαγϊνου και θ πλευρά ΑΓ είναι ίςθ με τθν πλευρά ενόσ κανονικοφ δωδεκαγϊνου, να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγϊνου ΑΒΓ. Μήκοσ κφκλου Εμβαδόν κυκλικοφ δίςκου. Το μήκοσ ενόσ κφκλου δίνεται από τθν ςχζςθ L = π δ ι L = 2 π ρ, όπου δ = διάμετροσ του κφκλου, ρ = ακτίνα του κφκλου και π 3,14. Το εμβαδόν του κυκλικοφ δίςκου δίνεται από τθν ςχζςθ Ε = π ρ 2, όπου ρ = ακτίνα του κφκλου και π 3,14. Σημείωςη: Όταν από ζνα ολόκλθρο κφκλο κζλουμε να βροφμε το μικοσ ενόσ τόξο του, τότε χρθςιμοποιοφμε τθν μζκοδο των τριϊν. Π.χ. Ο κφκλοσ ζχει τόξο 360 ο και το μικοσ που αντιςτοιχεί ςε αυτό είναι 10 cm ςε τόξο 60 ο το μικοσ που αντιςτοιχεί ςε αυτό είναι x Άρα x = cm Πολλαπλαςιάηουμε τθν τιμι που είναι πάνω από το x επί το αντίςτροφο του κλάςματοσ που ςχθματίηεται από του άλλουσ δυο αρικμοφσ. Τςατςαρώνησ Δημήτριοσ - 14 -
Άςκηςη 1 η ) Αν διπλαςιάςουμε τθν ακτίνα ενόσ κφκλο πόςο κα μεταβλθκεί το μικοσ του και πόςο το εμβαδόν του κυκλικοφ δίςκου. Άςκηςη 2 η ) Αν τριπλαςιάςουμε τθν ακτίνα ενόσ κφκλο πόςο κα μεταβλθκεί το μικοσ του και πόςο το εμβαδόν του κυκλικοφ δίςκου. Άςκηςη 3 η ) Να υπολογίςετε τθν ακτίνα του κφκλου ςτον οποίο το μικοσ του και το εμβαδόν του κυκλικοφ του δίςκου είναι αρικμθτικά ίςα μεταξφ τουσ. Άςκηςη 4 η ) Ο ωροδείκτθσ και ο λεπτοδείκτθσ ενόσ ωρολογίου ζχουν μικοσ 2,5 cm και 3 cm αντίςτοιχα. Να βρείτε το μικοσ που διαγράφει θ άκρθ του ωροδείκτθ ςε 12 ϊρεσ και ο λεπτοδείκτθσ ςε 2 ϊρεσ. Άςκηςη 5 η ) Θ ακτίνα τθσ ρόδασ ενόσ ποδθλάτου είναι ρ = 70 cm. Να βρείτε πόςο μικοσ κα κάνει θ ρόδα ςε 30 περιςτροφζσ τθσ. Άςκηςη 6 η ) Ο δίςκοσ του πεταλιοφ ενόσ ποδθλάτου ζχει ακτίνα ρ 1 = 10 cm και ο δίςκοσ τθσ πίςω ρόδασ ακτίνα ρ 2 = 5 cm. Αν ο ποδθλάτθσ κάνει 20 περιςτροφζσ με τα πετάλια να βρείτε πόςεσ κα κάνει ο πίςω δίςκοσ. Άςκηςη 7 η ) Αν τυλίξουμε ζνα ςχοινί γφρω από τον κορμόσ ενόσ δζντρο και βρίςκουμε πωσ ζχει μικοσ 31,4 dm. Να υπολογίςετε τθν ακτίνα του κορμοφ του δζντρου. Άςκηςη 8 η ) Ζνασ κφκλοσ ζχει μικοσ 43,96 cm, να υπολογίςετε τθν ακτίνα του και το εμβαδόν του κυκλικοφ δίςκου. Άςκηςη 9 η ) Ζνασ κυκλικόσ δίςκοσ ζχει εμβαδόν 50,24 cm 2, να υπολογίςετε τθν ακτίνα του κφκλου και το μικοσ του. Άςκηςη 10 η ) Στο ςχιμα 1, ζχουμε δυο ομόκεντρουσ κφκλουσ με ακτίνεσ ρ 1 = 4 cm και ρ 2 = 7 cm. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του χωρίου που υπάρχει μεταξφ των δυο κφκλων. Άςκηςη 11 η ) Στο ςχιμα 2, το ορκογϊνιο ΑΒΓΔ ζχει μικοσ 8 cm και πλάτοσ 6 cm. Να υπολογίςετε: i) τθν ακτίνα του κφκλου. ii) το μικοσ του κφκλου. iii) το εμβαδόν του κυκλικοφ δίςκου iv) το εμβαδόν του γραμμοςκιαςμζνου ςχιματοσ. Άςκηςη 12 η ) Στο ςχιμα 3, το τετράγωνο ΑΒΓΔ ζχει πλευρά cm. Να υπολογίςετε: i) τθν ακτίνα του κφκλου. ii) το μικοσ του κφκλου. iii) το εμβαδόν του κυκλικοφ δίςκου iv) το εμβαδόν του γραμμοςκιαςμζνου ςχιματοσ. Τςατςαρώνησ Δημήτριοσ - 15 -
Άςκηςη 13 η ) Στο ςχιμα 4, το τετράγωνο ΑΒΓΔ ζχει πλευρά 8 cm. Να υπολογίςετε: i) τθν ακτίνα του κφκλου. ii) το μικοσ του κφκλου. iii) το εμβαδόν του κυκλικοφ δίςκου iv) το εμβαδόν του γραμμοςκιαςμζνου ςχιματοσ. Άςκηςη 14 η ) Στο ςχιμα 5, το τετράγωνο ΑΒΓΔ ζχει πλευρά 4 cm και από τθν κορυφι του Α καταςκευάηουμε ζνα τεταρτοκφκλιο με ακτίνα ίςθ με τθν πλευρά του τετραγϊνου. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του γραμμοςκιαςμζνου ςχιματοσ. Άςκηςη 15 η ) Στο ςχιμα 6, το τετράγωνο ΑΒΓΔ ζχει πλευρά 10 cm και από τισ κορυφζσ του καταςκευάηουμε 4 τεταρτοκφκλια με ακτίνα ίςθ με το μιςό τθσ πλευράσ του τετραγϊνου. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του γραμμοςκιαςμζνου ςχιματοσ. Άςκηςη 16 η ) Το ορκογϊνιο ΑΒΓΔ του ςχιματοσ 7 ζχει μικοσ 10 cm και πλάτοσ 6 cm και ςτισ κορυφζσ του καταςκευάηουμε 4 τεταρτοκφκλια με ακτίνα ίςθ με το μιςό του πλάτουσ του. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του γραμμοςκιαςμζνου ςχιματοσ. Άςκηςη 17 η ) Το ςχιμα 8 παριςτάνει ζνα ςτίβο ενόσ ςταδίου που αποτελείται από ζνα ορκογϊνιο, με μικοσ 100 m και πλάτοσ 64 m και από δφο θμικφκλια ςτισ πλευρζσ του πλάτουσ. Να υπολογίςετε ςυνολικό μικοσ του ςταδίου και το εμβαδόν του. Άςκηςη 18 η ) Το διπλανό ςχιμα αποτελείται από ζνα κφκλο ακτίνασ ρ = 10 cm και εςωτερικά του υπάρχουν δυο θμικφκλια με διάμετρο 5 cm. Να υπολογίςετε το μικοσ τθσ περιμζτρου και το εμβαδόν του γραμμοςκιαςμζνου ςχιματοσ Τςατςαρώνησ Δημήτριοσ - 16 -