ΝΟΕΜΒΡΙΟ Ημερομηνία: 12/11/2016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00
|
|
- Ἰώβ Μαλαξός
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1 α) Στο διπλανό ορκογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ θ γωνία Β είναι ορκι, AΔ 7cm, ΔΒ 3cm, BΓ 8cm, και Ε το μζςο του ΓΔ. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγϊνου ΑΓΕ. β) Αν a, είναι οι διαςτάςεισ ενόσ ορκογωνίου που ζχει περίμετρο 68cm και, οι διαςτάςεισ ενόσ άλλου ορκογωνίου που ζχει περίμετρο 5cm, να υπολογίςετε τθν τιμι τθσ παράςταςθσ A 8 5( ) 3( - ) ( 6 - ) Πρόβλημα Τα 5 των χρθμάτων του Ανδρζα ιςοφνται με τα χριματα του Βαςίλθ και τα 7 9 των χρθμάτων του Βαςίλθ ιςοφνται με τα χριματα του Γιάννθ. Αν όλοι μαηί ζχουν 1540 ευρϊ, να βρείτε πόςα χριματα ζχει ο κακζνασ Πρόβλημα 3 Εκατόν άτομα προςκλθκικαν να γευτοφν τουλάχιςτον ζνα από τα τρία διαφορετικά είδθ κραςιοφ Α, Β και Γ. Αν ξζρουμε ότι όποιοσ γεφτθκε το κραςί Β γεφτθκε και το κραςί Α, ότι 8 άτομα γεφτθκαν τα κραςιά Α και Γ, ότι 34 άτομα γεφτθκαν το κραςί Β επίςθσ ότι 45 άτομα γεφτθκαν το κραςί Γ και τζλοσ ότι 0 άτομα γεφτθκαν και τα τρία κραςιά να βρείτε πόςα άτομα γεφτθκαν μόνο ζνα από τα τρία κραςιά. Πρόβλημα 4 Nα βρείτε όλουσ τουσ τριψιφιουσ αρικμοφσ ( a,, ψθφία του τριψιφιου αρικμοφ με a 0 ) ζτςι ϊςτε το a να είναι διαιρζτθσ του 6.
2 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Β ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1 Εκατόν άτομα προςκλθκικαν να γευτοφν τουλάχιςτον ζνα από τα τρία διαφορετικά είδθ κραςιοφ Α, Β και Γ. Αν ξζρουμε ότι όποιοσ γεφτθκε το κραςί Β γεφτθκε και το κραςί Α, ότι 8 άτομα γεφτθκαν τα κραςιά Α και Γ, ότι 34 άτομα γεφτθκαν το κραςί Β, ότι 45 άτομα γεφτθκαν το κραςί Γ και τζλοσ ότι 0 άτομα γεφτθκαν και τα τρία κραςιά να βρείτε πόςα άτομα γεφτθκαν μόνο ζνα από τα τρία κραςιά. Πρόβλημα Να βρείτε όλουσ τουσ τριψιφιουσ αρικμοφσ ( a,, ψθφία του τριψιφιου αρικμοφ με a 0 ) ζτςι ϊςτε το a να είναι διαιρζτθσ του 6. Πρόβλημα 3 Ο Πζτροσ μπογιατίηει ζνα δωμάτιο ςε 15 ϊρεσ, ο Γιάννθσ μπορεί να μπογιατίηει 50% πιο γριγορα από τον Πζτρο και ο Κϊςτασ μπορεί να μπογιατίηει δυο φορζσ πιο γριγορα από τον Πζτρο. Ο Πζτροσ ξεκινά να μπογιατίηει το δωμάτιο και για μια ϊρα και 30 λεπτά δουλεφει μόνοσ του. Μετά ζρχεται ο Γιάννθσ και μαηί με το Πζτρο δουλεφουν μαηί μζχρι που μπογιατίηουν το μιςό δωμάτιο. Στθν ςυνζχεια ζρχεται ο Κϊςτασ και ςυνεχίηουν όλοι μαηί να δουλεφουν μζχρι να μπογιατίςουν το δωμάτιο. Να βρείτε από τθν ϊρα που ξεκίνθςε ο Πζτροσ, πόςα ςυνολικά λεπτά χρειάςτθκαν και οι τρεισ να τελειϊςουν το βάψιμο του δωματίου. Πρόβλημα 4 Στο διπλανό ςχιμα φαίνεται θ τετράγωνθ αυλι πλευράσ μικουσ 1m. Στο εςωτερικό τθσ αυλισ κα καταςκευαςτεί μια μικρι παιδικι πιςίνα επίςθσ τετράγωνου ςχιματοσ πλευράσ μικουσ 8m. Στο χϊρο τθσ αυλισ, γφρω από τθν πιςίνα (ςκιαςμζνο εμβαδόν), κα τοποκετθκοφν πλακάκια. Να υπολογίςετε το ποςοςτό με το οποίο κα πρζπει να αυξθκεί το μικοσ τθσ πλευράσ τθσ πιςίνασ ζτςι ϊςτε το εμβαδόν τθσ επιφάνειασ όπου κα τοποκετθκοφν πλακάκια να ελαττωκεί κατά 45%.
3 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Γ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. Πρόβλημα 1 (α) Να δείξετε ότι ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ (β) Να βρείτε τθν τιμι του ακζραιου αρικμοφ για τον οποίο ιςχφει θ ςχζςθ Πρόβλημα Ο Πζτροσ μπογιατίηει ζνα δωμάτιο ςε 15 ϊρεσ, ο Γιάννθσ μπορεί να μπογιατίηει 50% πιο γριγορα από τον Πζτρο και ο Κϊςτασ μπορεί να μπογιατίηει δυο φορζσ πιο γριγορα από τον Πζτρο. Ο Πζτροσ ξεκινά να μπογιατίηει το δωμάτιο και για μια ϊρα και 30 λεπτά δουλεφει μόνοσ του. Μετά ζρχεται ο Γιάννθσ και μαηί με το Πζτρο δουλεφουν μαηί μζχρι που μπογιατίηουν το μιςό δωμάτιο. Στθν ςυνζχεια ζρχεται ο Κϊςτασ και ςυνεχίηουν όλοι μαηί να δουλεφουν μζχρι να μπογιατίςουν το δωμάτιο. Να βρείτε από τθν ϊρα που ξεκίνθςε ο Πζτροσ, πόςα ςυνολικά λεπτά χρειάςτθκαν και οι τρεισ να τελειϊςουν το βάψιμο του δωματίου. Πρόβλημα 3 Δίνονται οι πραγματικοί αρικμοί ςυνκικεσ : a 35, a Να υπολογίςετε τθ τιμι του x.,,, x με a 0 που ικανοποιοφν τισ 11 Πρόβλημα 4 Στο πιο κάτω ςχιμα δίνεται ΑΒ//ΔΓ, Ε και Ζ ςθμεία των ΑΒ και ΔΓ αντίςτοιχα. Τα ΑΖ, ΒΖ, ΕΔ και ΕΓ είναι ευκφγραμμα τμιματα και οι αρικμοί 19, 1, x και 57 που βρίςκονται μζςα ςτα τρίγωνα αντιπροςωπεφουν τα εμβαδά των αντίςτοιχων τριγϊνων. Να βρείτε τθν τιμι του x. και Γ Α x 19 Δ 1 x Ε Β 57 Γ άτ Εμβ Εμβ Εμβ Εμβ Εμβ
4 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Α ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1 α) Να αποδείξετε ότι για κάκε πραγματικό αρικμό ιςχφει θ ανιςότθτα β) Να αποδείξετε ότι για κάκε κετικό ακζραιο αρικμό θ προθγοφμενθ ανιςότθτα γίνεται γ) Να αποδείξετε ότι ιςχφει Πρόβλημα α) Να γράψετε τθν παράςταςθ ωσ γινόμενο δυο τριωνφμων τθσ μορφισ. β) Να αποδείξετε ότι για κάκε κετικό ακζραιο, ο κετικόσ ακζραιοσ αρικμόσ δεν είναι ποτζ πρϊτοσ. Πρόβλημα 3 Από τισ κορυφζσ ορκογωνίου με φζρουμε τισ κάκετεσ ςτθ διαγϊνιο ( ςθμεία τθσ διαγωνίου ). Με πλευρζσ τισ και καταςκευάηουμε τα ιςόπλευρα τρίγωνα και που βρίςκονται εκτόσ του ορκογωνίου. Να αποδείξετε ότι: α) Το είναι παραλλθλόγραμμο β) Η περνά από το κζντρο του γ) Η ευκεία είναι παράλλθλθ προσ τισ. Πρόβλημα 4 Να λφςετε το ςφςτθμα {, όπου κετικοί πραγματικοί αρικμοί.
5 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Β ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1 α) Να γράψετε τθν παράςταςθ ωσ γινόμενο δυο τριωνφμων τθσ μορφισ. β) Να αποδείξετε ότι για κάκε κετικό ακζραιο, ο κετικόσ ακζραιοσ αρικμόσ δεν είναι ποτζ πρϊτοσ. Πρόβλημα Αν ο αρικμόσ είναι κετικόσ ακζραιοσ, να αποδείξετε ότι Πρόβλημα 3 Σε οξυγϊνιο τρίγωνο φζρουμε το φψοσ. Ο κφκλοσ, διαμζτρου τζμνει τισ πλευρζσ ςτα ςθμεία αντίςτοιχα. Η διχοτόμοσ τθσ γωνίασ τζμνει τθν πλευρά ςτο και θ διχοτόμοσ τθσ γωνίασ τζμνει τον κφκλο ςτο ςθμείο. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα, είναι όμοια β) Πρόβλημα 4 α) Σε κάκε τρίγωνο να αποδείξετε ότι (με ςυμβολίηουμε το εμβαδόν του ): (i) και (ii) β) Αν είναι εςωτερικό ςθμείο τριγϊνου, ϊςτε, να αποδείξετε ότι.
6 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Γ ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1: α) Σε κάκε τρίγωνο να αποδείξετε ότι (με ςυμβολίηουμε το εμβαδόν του ): (i) και (ii) β) Αν είναι εςωτερικό ςθμείο τριγϊνου, ϊςτε, να αποδείξετε ότι. Πρόβλημα Σε οξυγϊνιο τρίγωνο φζρουμε το φψοσ. Ο κφκλοσ, διαμζτρου τζμνει τισ πλευρζσ ςτα ςθμεία αντίςτοιχα. Η διχοτόμοσ τθσ γωνίασ τζμνει τθν πλευρά ςτο και θ διχοτόμοσ τθσ γωνίασ τζμνει τον κφκλο ςτο ςθμείο. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα, είναι όμοια και β) Πρόβλημα 3 Πάνω ςτουσ κετικοφσ θμιάξονεσ ενόσ ορκοκανονικοφ ςυςτιματοσ αξόνων παίρνουμε αντίςτοιχα τα ςθμεία Έςτω επίςθσ είναι δφο τυχαία ςθμεία του θμιάξονα με. Από το ςθμείο φζρουμε παράλλθλεσ προσ τισ ευκείεσ οι οποίεσ τζμνουν τον άξονα ςτα ςθμεία αντίςτοιχα. Αν είναι το ςθμείο τομισ των ευκειϊν και είναι το ςθμείο τομισ των ευκειϊν, να αποδείξετε: i) το τετράπλευρο είναι παραλλθλόγραμμο και ii), όπου είναι τα εμβαδά των τριγϊνων Πρόβλημα 4 Θεωπούμε ηη ζςνάπηηζη με, [ ). α) Να αποδείξεηε όηι ςπάπσει ηοςλάσιζηον ένα, ώζηε να ιζσύει [ ). β) Να μελεηήζεηε ηη ζςνάπηηζη με [ ) ωρ ππορ ηη μονοηονία και ηα ακπόηαηα. γ) Να βπείηε ηο όπιο και να αποδείξεηε όηι [ ).
7 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1 α) Στο διπλανό ορκογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ θ γωνία Β είναι ορκι, AΔ 7cm, ΔΒ 3cm, BΓ 8cm, και Ε το μζςο του ΓΔ. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγϊνου ΑΓΕ. Προτεινόμενθ Λφςθ E cm 1 1 E 8 14 cm τότε E cm 14 β) Αν a, είναι οι διαςτάςεισ ενόσ ορκογωνίου που ζχει περίμετρο 68cm και, οι διαςτάςεισ ενόσ άλλου ορκογωνίου που ζχει περίμετρο 5cm, να υπολογίςετε τθν τιμι τθσ παράςταςθσ A 8 5( ) 3( - ) ( 6 - ) Προτεινόμενθ Λφςθ Αφοφ a 68cm τότε a 34 cm 5 τότε 6 Τότε A 8 5( ) 3( - ) ( 6 - ) A a 3 1 A a A τότε A 44
8 Πρόβλημα Τα 5 των χρθμάτων του Ανδρζα ιςοφνται με τα χριματα του Βαςίλθ και τα 7 9 των χρθμάτων του Βαςίλθ ιςοφνται με τα χριματα του Γιάννθ. Αν όλοι μαηί ζχουν 1540 ευρϊ, να βρείτε πόςα χριματα ζχει ο κακζνασ Προτεινόμενθ Λφςθ Αντρζασ : x Βαςίλθσ : x 5 Γιάννθσ : 7 x 14 x x x x 1540 τότε 45x 18x 14x τότε 77x Τότε x 900 Τότε ο Αντρζασ ζχει 900 ευρϊ, ο Βαςίλθσ ευρϊ και ο Γιάννθσ ευρϊ Πρόβλημα 3 Εκατόν άτομα προςκλθκικαν να γευτοφν τουλάχιςτον ζνα από τα τρία διαφορετικά είδθ κραςιοφ Α, Β και Γ. Αν ξζρουμε ότι όποιοσ γεφτθκε το κραςί Β γεφτθκε και το κραςί Α, ότι 8 άτομα γεφτθκαν τα κραςιά Α και Γ, ότι 34 άτομα γεφτθκαν το κραςί Β επίςθσ ότι 45 άτομα γεφτθκαν το κραςί Γ και τζλοσ ότι 0 άτομα γεφτθκαν και τα τρία κραςιά να βρείτε πόςα άτομα γεφτθκαν μόνο ζνα από τα τρία κραςιά. Προτεινόμενθ Λφςθ Αφοφ όποιοσ γεφτθκε το κραςί Β γεφτθκε και το κραςί Α ςυνεπάγεται ότι B A. Με τθ βοικεια του πιο κάτω βζννειου διαγράμματοσ βρίςκουμε ότι μόνο ζνα κραςί γεφτθκαν = 58 άτομα. A B Γ 34-0= ( ) =100-59= =8 45-(0+8)=17
9 Πρόβλημα 4 Nα βρείτε όλουσ τουσ τριψιφιουσ αρικμοφσ ( a,, ψθφία του τριψιφιου αρικμοφ με a 0 ) ζτςι ϊςτε το a να είναι διαιρζτθσ του 6. Προτεινόμενθ Λφςθ Διαιρζτεσ του 6 είναι το 1,, 13, 6 Άρα το a είναι ίςο με 1 ι ι 13 ι 6 1 θ περίπτωςθ Αν a 1 τότε τα ψθφία είναι 0,0,1. Άρα 1 αρικμόσ : 100 θ περίπτωςθ Αν a τότε τα ψθφία είναι 0,1,1. Άρα αρικμοί : 101, θ περίπτωςθ Αν a 13 τότε τα ψθφία είναι 0,3,. Άρα 4 αρικμοί : 30, 30, 03, 30 4 θ περίπτωςθ Αν a 6 τότε τα ψθφία είναι 0,5,1. Άρα 4 αρικμοί: 501, 510, 305, θ περίπτωςθ Αν a 6 τότε τα ψθφία είναι 4,3,1. Άρα 6 αρικμοί: 431, 413, 341, 314, 134, 143
10 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Β ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1 Εκατόν άτομα προςκλθκικαν να γευτοφν τουλάχιςτον ζνα από τα τρία διαφορετικά είδθ κραςιοφ Α, Β και Γ. Αν ξζρουμε ότι όποιοσ γεφτθκε το κραςί Β γεφτθκε και το κραςί Α, ότι 8 άτομα γεφτθκαν τα κραςιά Α και Γ, ότι 34 άτομα γεφτθκαν το κραςί Β, ότι 45 άτομα γεφτθκαν το κραςί Γ και τζλοσ ότι 0 άτομα γεφτθκαν και τα τρία κραςιά να βρείτε πόςα άτομα γεφτθκαν μόνο ζνα από τα τρία κραςιά. Προτεινόμενθ Λφςθ Αφοφ όποιοσ γεφτθκε το κραςί Β γεφτθκε και το κραςί Α ςυνεπάγεται ότι B A. Με τθν βοικεια του πιο κάτω βζννειου διαγράμματοσ βρίςκουμε ότι μόνο ζνα κραςί γεφτθκαν = 58 άτομα. A B Γ 34-0= ( ) =100-59= =8 45-(0+8)=17
11 Πρόβλημα Να βρείτε όλουσ τουσ τριψιφιουσ αρικμοφσ ( a,, ψθφία του τριψιφιου αρικμοφ με a 0 ) ζτςι ϊςτε το a να είναι διαιρζτθσ του 6. Προτεινόμενθ Λφςθ Διαιρζτεσ του 6 είναι το 1,, 13, 6 Άρα το a είναι ίςο με 1 ι ι 13 ι 6 1 θ περίπτωςθ Αν a 1 τότε τα ψθφία είναι 0,0,1. Άρα 1 αρικμόσ : 100 θ περίπτωςθ Αν a τότε τα ψθφία είναι 0,1,1. Άρα αρικμοί : 101, θ περίπτωςθ Αν a 13 τότε τα ψθφία είναι 0,3,. Άρα 4 αρικμοί : 30, 30, 03, 30 4 θ περίπτωςθ Αν a 6 τότε τα ψθφία είναι 0,5,1. Άρα 4 αρικμοί: 501, 510, 305, θ περίπτωςθ Αν a 6 τότε τα ψθφία είναι 4,3,1. Άρα 6 αρικμοί: 431, 413, 341, 314, 134, 143 Πρόβλημα 3 Ο Πζτροσ μπογιατίηει ζνα δωμάτιο ςε 15 ϊρεσ, ο Γιάννθσ μπορεί να μπογιατίηει 50% πιο γριγορα από τον Πζτρο και ο Κϊςτασ μπορεί να μπογιατίηει δυο φορζσ πιο γριγορα από τον Πζτρο. Ο Πζτροσ ξεκινά να μπογιατίηει το δωμάτιο και για μια ϊρα και 30 λεπτά δουλεφει μόνοσ του. Μετά ζρχεται ο Γιάννθσ και μαηί με το Πζτρο δουλεφουν μαηί μζχρι που μπογιατίηουν το μιςό δωμάτιο. Στθν ςυνζχεια ζρχεται ο Κϊςτασ και ςυνεχίηουν όλοι μαηί να δουλεφουν μζχρι να μπογιατίςουν το δωμάτιο. Να βρείτε από τθν ϊρα που ξεκίνθςε ο Πζτροσ, πόςα ςυνολικά λεπτά χρειάςτθκαν και οι τρεισ να τελειϊςουν το βάψιμο του δωματίου. Προτεινόμενθ Λφςθ Ο Πζτροσ μπογιατίηει το 1 15 του δωματίου ςε μια ϊρα Ο Γιάννθσ μπογιατίηει το του δωματίου ςε μια ϊρα Ο Κϊςτασ μπογιατίηει το του δωματίου ςε μια ϊρα Αρχικά ο Πζτροσ δουλεφει μόνοσ του για 3 1 ϊρεσ με ρυκμό του δωματίου ανά ϊρα άρα 15 μπογιατίηει του δωματίου 15 10
12 Αργότερα δουλεφουν μαηί ο Πζτροσ και ο Γιάννθσ και μπογιατίηουν του δωματίου με ρυκμό του δωματίου ανά ϊρα, άρα δουλεφουν για 10 1 ϊρεσ Και οι τρεισ μαηί πρζπει να μπογιατίςουν το υπόλοιπο 1 του δωματίου με ρυκμό , άρα δουλεφουν μαηί για ϊρεσ, Τελικά κα χρειαςτεί να δουλζψουν ςυνολικά για ϊρεσ ι λεπτά. Πρόβλημα 4 Στο διπλανό ςχιμα φαίνεται θ τετράγωνθ αυλι πλευράσ μικουσ 1m. Στο εςωτερικό τθσ αυλισ κα καταςκευαςτεί μια μικρι παιδικι πιςίνα επίςθσ τετράγωνου ςχιματοσ πλευράσ μικουσ 8m. Στο χϊρο τθσ αυλισ, γφρω από τθν πιςίνα (ςκιαςμζνο εμβαδόν), κα τοποκετθκοφν πλακάκια. Να υπολογίςετε το ποςοςτό με το οποίο κα πρζπει να αυξθκεί το μικοσ τθσ πλευράσ τθσ πιςίνασ ζτςι ϊςτε το εμβαδόν τθσ επιφάνειασ όπου κα τοποκετθκοφν πλακάκια να ελαττωκεί κατά 45%. Προτεινόμενθ Λφςθ Το εμβαδόν τθσ αυλισ γφρω από τθν πιςίνα αρχικά είναι: Ε = Ε αυλισ Ε πιςίνασ πριν = 1-8 = = 80 m. Η μείωςθ του εμβαδοφ τθσ αυλισ γφρω από τθν πιςίνα κατά 45% του 80 είναι 36 m. Άρα το νζο εμβαδόν τθσ αυλισ γφρω από τθν πιςίνα είναι: Ε= = 44 m και το νζο εμβαδόν τθσ πιςίνασ είναι : E πιςίνασ μετά = = 100 m Άρα το νζο μικοσ τθσ πλευράσ τθσ πιςίνασ είναι 10 m και θ αφξθςθ του μικουσ τθσ πλευράσ τθσ πιςίνασ είναι 10 8 = m. Το ποςοςτό αφξθςθσ του μικουσ τθσ πλευράσ τθσ πιςίνασ είναι : 100 % 5 % 8
13 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Γ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. Πρόβλημα 1 (α) Να δείξετε ότι ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ (β) Να βρείτε τθν τιμι του ακζραιου αρικμοφ για τον οποίο ιςχφει θ ςχζςθ Προτεινόμενθ Λφςθ: α) 1 οσ τρόποσ 1 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ος τρόπος 1 1 x y x y x y x y x y x y x y β) Από το (α) ερϊτθμα προκφπτει: Άρα: x y 1 1 1, 1,,3,, n n 1 n n n n n n n n 1 16 n 1 16 n 1 56 n 55
14 Πρόβλημα Ο Πζτροσ μπογιατίηει ζνα δωμάτιο ςε 15 ϊρεσ, ο Γιάννθσ μπορεί να μπογιατίηει 50% πιο γριγορα από τον Πζτρο και ο Κϊςτασ μπορεί να μπογιατίηει δυο φορζσ πιο γριγορα από τον Πζτρο. Ο Πζτροσ ξεκινά να μπογιατίηει το δωμάτιο και για μια ϊρα και 30 λεπτά δουλεφει μόνοσ του. Μετά ζρχεται ο Γιάννθσ και μαηί με το Πζτρο δουλεφουν μαηί μζχρι που μπογιατίηουν το μιςό δωμάτιο. Στθν ςυνζχεια ζρχεται ο Κϊςτασ και ςυνεχίηουν όλοι μαηί να δουλεφουν μζχρι να μπογιατίςουν το δωμάτιο. Να βρείτε από τθν ϊρα που ξεκίνθςε ο Πζτροσ, πόςα ςυνολικά λεπτά χρειάςτθκαν και οι τρεισ να τελειϊςουν το βάψιμο του δωματίου. Προτεινόμενθ Λφςθ Ο Πζτροσ μπογιατίηει το 1 15 του δωματίου ςε μια ϊρα Ο Γιάννθσ μπογιατίηει το του δωματίου ςε μια ϊρα Ο Κϊςτασ μπογιατίηει το 1 του δωματίου ςε μια ϊρα Αρχικά ο Πζτροσ δουλεφει μόνοσ του για 3 μπογιατίηει του δωματίου ϊρεσ με ρυκμό 1 15 του δωματίου ανά ϊρα άρα Αργότερα δουλεφουν μαηί ο Πζτροσ και ο Γιάννθσ και μπογιατίηουν του δωματίου με ρυκμό του δωματίου ανά ϊρα, άρα δουλεφουν για 10 1 ϊρεσ Και οι τρεισ μαηί πρζπει να μπογιατίςουν το υπόλοιπο 1 του δωματίου με ρυκμό , άρα δουλεφουν μαηί για ϊρεσ Τελικά κα χρειαςτεί να δουλζψουν ςυνολικά για ϊρεσ ι λεπτά
15 Πρόβλημα 3 Δίνονται οι πραγματικοί αρικμοί,,, x με a 0 που ικανοποιοφν τισ ςυνκικεσ : a 35, a Να υπολογίςετε τθ τιμι του x. 11 και x Προτεινόμενθ Λφςθ a 35 a τότε a 35 a (1) 11 τότε 11 () x τότε x (3) Προςκζτουμε κατά μζλθ τισ (1) και () και (3) και προκφπτει a x a a x a a a x a a x a x x Τότε x 46
16 Πρόβλημα 4 Στο πιο κάτω ςχιμα δίνεται ΑΒ//ΔΓ, Ε και Ζ ςθμεία των ΑΒ και ΔΓ αντίςτοιχα. Τα ΑΖ, ΒΖ, ΕΔ και ΕΓ είναι ευκφγραμμα τμιματα και οι αρικμοί 19, 1, x και 57 που βρίςκονται μζςα ςτα τρίγωνα αντιπροςωπεφουν τα εμβαδά των αντίςτοιχων τριγϊνων. Να βρείτε τθν τιμι του x. Γ Α 19 Δ 1 x Ε Β 57 Γ άτ Εμβ Εμβ Εμβ Εμβ Εμβ Προτεινόμενθ Λφςθ Αφοφ ΑΒ//ΓΓ τότε ΑΒΓΓ τραπζηιο. Ζςτω υ το φψοσ του τραπεηίου. Δ ΑΒΕ, Δ ΓΔΓ Δ ΑΒΓΓ = Δ ΑΒΕ + Δ ΓΔΓ (1) Από το πιο πάνω ςχιμα παρατθροφμε ότι το κοινό μζροσ των τριγϊνων ΑΒΗ και ΔΕΓ ζχει εμβαδόν 1 x. Επίςθσ από το ςχιμα E 19 1 x 57 () Από (1) και () προκφπτει: E E x Z τότε x 57 Τότε x 55
17 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Α ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1 α) Να αποδείξετε ότι για κάκε πραγματικό αρικμό ιςχφει θ ανιςότθτα β) Να αποδείξετε ότι για κάκε κετικό ακζραιο αρικμό θ προθγοφμενθ ανιςότθτα γίνεται γ) Να αποδείξετε ότι ιςχφει ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: α) Επειδι, θ ανιςότθτα που κζλουμε να αποδείξουμε γράφεται ιςοδφναμα: ι ι, που είναι αλθκισ β) Από το α) για κάκε κετικό ακζραιο, ζχουμε ι ι
18 γ) Από το β) ζχουμε διαδοχικά για :... Προςκζτοντασ κατά μζλθ τισ 016 πιο πάνω ανιςότθτεσ, ζχουμε: ι Πρόβλημα α) Να γράψετε τθν παράςταςθ ωσ γινόμενο δυο τριωνφμων τθσ μορφισ. β) Να αποδείξετε ότι για κάκε κετικό ακζραιο, ο κετικόσ ακζραιοσ αρικμόσ δεν είναι ποτζ πρϊτοσ. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: α) Η παράςταςθ γράφεται β) Επομζνωσ από το (α) κα ζχουμε Και επειδι για ιςχφει Ο αρικμόσ δεν είναι ποτζ πρϊτοσ.
19 Πρόβλημα 3 Από τισ κορυφζσ ορκογωνίου με φζρουμε τισ κάκετεσ ςτθ διαγϊνιο ( ςθμεία τθσ διαγωνίου ). Με πλευρζσ τισ και καταςκευάηουμε τα ιςόπλευρα τρίγωνα και που βρίςκονται εκτόσ του ορκογωνίου. Να αποδείξετε ότι: α) Το είναι παραλλθλόγραμμο β) Η περνά από το κζντρο του γ) Η ευκεία είναι παράλλθλθ προσ τισ. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: α) Τα ορκογϊνια τρίγωνα και είναι ίςα, αφοφ ζχουν και. Άρα και. Τα τρίγωνα και είναι ίςα, αφοφ ζχουν, (λόγω (1)) και. Άρα. Τα τρίγωνα και είναι ίςα, αφοφ ζχουν, και. Άρα. Από τισ προκφπτει ότι το είναι παραλλθλόγραμμο. β) Επειδι (κάκετεσ ςτθν ) και λόγω τθσ, το είναι παραλλθλόγραμμο, αφοφ. Άρα το ςθμείο τομισ των διαγωνίων του είναι το μζςον τθσ διαγωνίου, θ οποία είναι επίςθσ διαγϊνιοσ και του παραλλθλογράμμου. Συνεπϊσ από το περνά και θ άλλθ διαγϊνιοσ του, δθλαδι θ. Όμωσ το είναι το κζντρο του ορκογωνίου. γ) Επειδι και, θ ευκεία είναι μεςοκάκετοσ του και άρα παράλλθλοσ προσ τισ. Συνεπϊσ και λόγω του β), είναι.
20 Πρόβλημα 4 Να λφςετε το ςφςτθμα {, όπου κετικοί πραγματικοί αρικμοί. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: Επειδι το ςφςτθμα γράφεται ιςοδφναμα: { ι { ( ) ( ) ι { ( ) ι { ( ) ι { ι {, απ όπου τελικά παίρνουμε.
21 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Β ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1 α) Να γράψετε τθν παράςταςθ ωσ γινόμενο δυο τριωνφμων τθσ μορφισ. β) Να αποδείξετε ότι για κάκε κετικό ακζραιο, ο κετικόσ ακζραιοσ αρικμόσ δεν είναι ποτζ πρϊτοσ. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: α) Η παράςταςθ γράφεται β) Επομζνωσ από το (α) κα ζχουμε Και επειδι για ιςχφει Ο αρικμόσ δεν είναι ποτζ πρϊτοσ. Πρόβλημα Αν ο αρικμόσ είναι κετικόσ ακζραιοσ, να αποδείξετε ότι ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: Θα χρθςιμοποιιςουμε τθν μζκοδο τθσ Μακθματικισ επαγωγισ. Για κα ζχουμε που ιςχφει. Υποκζτουμε ότι ιςχφει για, δθλαδι Θα αποδείξουμε ότι ιςχφει και για
22 Επομζνωσ από αρκεί να αποδείξουμε ότι που ιςχφει. Επομζνωσ, θ πρόταςθ ιςχφει για κάκε Πρόβλημα 3 Σε οξυγϊνιο τρίγωνο φζρουμε το φψοσ. Ο κφκλοσ, διαμζτρου τζμνει τισ πλευρζσ ςτα ςθμεία αντίςτοιχα. Η διχοτόμοσ τθσ γωνίασ τζμνει τθν πλευρά ςτο και θ διχοτόμοσ τθσ γωνίασ τζμνει τον κφκλο ςτο ςθμείο. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα, είναι όμοια β) ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: Σχήμα 1 α) Ζχουμε ότι γιατί οι γωνίεσ είναι εγγεγραμμζνεσ ςτο ίδιο τόξο του κφκλου διαμζτρου Όμοια, Επίςθσ, γιατί ζχουν πλευρζσ κάκετεσ. Από τισ παίρνουμε Από τισ ςυμπεραίνουμε ότι β) Από τθν ομοιότθτα των τριγϊνων προκφπτει Από το κεϊρθμα των διχοτόμων ςτο τρίγωνο κα ζχουμε
23 Από τισ κα ζχουμε Πρόβλημα 4 α) Σε κάκε τρίγωνο να αποδείξετε ότι (με ςυμβολίηουμε το εμβαδόν του ): (i) και (ii) β) Αν είναι εςωτερικό ςθμείο τριγϊνου, ϊςτε, να αποδείξετε ότι. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: α) Σχήμα (i) Από τον νόμο των ςυνθμιτόνων ςτο τρίγωνο κα ζχουμε Όμωσ το εμβαδόν του τριγϊνου γράφεται Επομζνωσ, θ προθγοφμενθ ιςότθτα γίνεται (ii) Εφαρμόηοντασ τθν ιςότθτα του (i) τρείσ φορζσ κα ζχουμε Προςκζτοντασ, τισ προθγοφμενεσ εξιςϊςεισ κατά μζλθ ζχουμε, β) Αν συμβολίσουμε
24 και τα εμβαδά των τριγϊνων εφαρμόηοντασ τθν ςχζςθ (i) για τθν γωνία ςτα τρία τρίγωνα κα πάρουμε αντίςτοιχα Προςκζτοντασ κατά μζλθ τισ τρείσ αυτζσ ιςότθτεσ κα ζχουμε και από το (ii) ζχουμε.
25 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Γ ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1: α) Σε κάκε τρίγωνο να αποδείξετε ότι (με ςυμβολίηουμε το εμβαδόν του ): (i) και (ii) β) Αν είναι εςωτερικό ςθμείο τριγϊνου, ϊςτε, να αποδείξετε ότι. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: α) Σχήμα 1 (i) Από τον νόμο των ςυνθμιτόνων ςτο τρίγωνο κα ζχουμε Όμωσ το εμβαδόν του τριγϊνου γράφεται Επομζνωσ, θ προθγοφμενθ ιςότθτα γίνεται (ii) Εφαρμόηοντασ τθν ιςότθτα του (i) τρείσ φορζσ κα ζχουμε
26 Προςκζτοντασ, τισ προθγοφμενεσ εξιςϊςεισ κατά μζλθ ζχουμε, β) Αν συμβολίσουμε και τα εμβαδά των τριγϊνων εφαρμόηοντασ τθν ςχζςθ (i) για τθν γωνία ςτα τρία τρίγωνα κα πάρουμε αντίςτοιχα Προςκζτοντασ κατά μζλθ τισ τρείσ αυτζσ ιςότθτεσ κα ζχουμε και από το (ii) ζχουμε. Πρόβλημα Σε οξυγϊνιο τρίγωνο φζρουμε το φψοσ. Ο κφκλοσ, διαμζτρου τζμνει τισ πλευρζσ ςτα ςθμεία αντίςτοιχα. Η διχοτόμοσ τθσ γωνίασ τζμνει τθν πλευρά ςτο και θ διχοτόμοσ τθσ γωνίασ τζμνει τον κφκλο ςτο ςθμείο. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα, είναι όμοια και β) ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: Σχήμα
27 α) Ζχουμε ότι γιατί οι γωνίεσ είναι εγγεγραμμζνεσ ςτο ίδιο τόξο του κφκλου διαμζτρου Όμοια, Επίςθσ, γιατί ζχουν πλευρζσ κάκετεσ. Από τισ παίρνουμε Από τισ ςυμπεραίνουμε ότι β) Από τθν ομοιότθτα των τριγϊνων προκφπτει Από το κεϊρθμα των διχοτόμων ςτο τρίγωνο κα ζχουμε Από τισ κα ζχουμε Πρόβλημα 3 Πάνω ςτουσ κετικοφσ θμιάξονεσ ενόσ ορκοκανονικοφ ςυςτιματοσ αξόνων παίρνουμε αντίςτοιχα τα ςθμεία Ζςτω επίςθσ είναι δφο τυχαία ςθμεία του θμιάξονα με. Από το ςθμείο φζρουμε παράλλθλεσ προσ τισ ευκείεσ οι οποίεσ τζμνουν τον άξονα ςτα ςθμεία αντίςτοιχα. Αν είναι το ςθμείο τομισ των ευκειϊν και είναι το ςθμείο τομισ των ευκειϊν, να αποδείξετε: i) το τετράπλευρο είναι παραλλθλόγραμμο και ii), όπου είναι τα εμβαδά των τριγϊνων ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: i) Θα βροφμε τισ ςυντεταγμζνεσ των ςθμείων. Οι κλίςεισ των ευκειϊν αντίςτοιχα είναι και αφοφ κα ζχουμε Επομζνωσ οι εξιςϊςεισ των ευκειϊν κα είναι Σχήμα 4 Σχήμα 3
28 Επομζνωσ οι ςυντεταγμζνεσ των ςθμείων είναι Άρα, Δθλαδι, Και αφοφ, ζπεται ότι είναι παραλλθλόγραμμο. ii) Τα τρίγωνα είναι όμοια αφοφ ζχουν τισ πλευρζσ τουσ παράλλθλεσ και άρα είναι ιςογϊνια. Ο λόγοσ ομοιότθτασ τουσ κα είναι ίςοσ με τον λόγο των πλευρϊν τουσ, δθλαδι Άρα, Πρόβλημα 4 Θεωπούμε ηη ζςνάπηηζη με, [. α) Να αποδείξεηε όηι ςπάπσει ηοςλάσιζηον ένα, ώζηε να ιζσύει [. β) Να μελεηήζεηε ηη ζςνάπηηζη με [ ωρ ππορ ηη μονοηονία και ηα ακπόηαηα. γ) Να βπείηε ηο όπιο και να αποδείξεηε όηι [. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: α) Η παράγωγοσ τθσ ςυνάρτθςθσ είναι Η ςυνάρτθςθ είναι παραγωγίςιμθ ςτο διάςτθμα [ και ςυνεχισ ςτο [ ] [ Επομζνωσ από το κεϊρθμα τθσ μζςθσ τιμισ κα ζχουμε ότι υπάρχει τουλάχιςτον ζνα για τον οποίο ιςχφει [. β) Η παράγωγοσ τθσ ςυνάρτθςθσ είναι Επειδι, [, θ είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο [. Επομζνωσ θ ζχει ζνα ολικό μζγιςτο ςτο το. γ) έχουμε
29 Επομζνωσ το ςφνολο τιμϊν τθσ ςυνάρτθςθσ είναι ( ] Άρα, [
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ IMC (Key Stage II) 9 Μαρτίου 2016 ΧΡΟΝΟΣ: 2 ΩΡΕΣ Λύςεισ : Πρόβλημα 1 (α) Να βρείτε τθν τιμι του για να ιςχφει θ πιο κάτω ςχζςθ: (β) Ο Ανδρζασ τελειϊνει
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ 14 ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ Η ΕΡΓΑΣΙΑ. Ημερομηνία παράδοςησ: 12 Νοεμβρίου (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 10 μονάδεσ θ κάκε μία)
ΦΥΕ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 007-008 Η ΕΡΓΑΣΙΑ Ημερομηνία παράδοςησ: Νοεμβρίου 007 (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 0 μονάδεσ θ κάκε μία) Άςκηςη α) Να υπολογιςκεί θ προβολι του πάνω ςτο διάνυςμα όταν: (.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ 1. Από τυχαίο ςθμείο Γ θμικυκλίου διαμζτρου ΑΒ φζρω παράλλθλθ προσ τθν ΑΒ, που τζμνει το θμικφκλιο ςτο Δ. i. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ που ςχθματίηεται είναι
Διαβάστε περισσότεραΗ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f(x)=αx+β είναι μια ευκεία με εξίςωςθ y=αx+β θ οποία τζμνει τον άξονα των y ςτο ςθμείο Β(0,β) και ζχει κλίςθ λ=α.
ε καρτεςιανό ςφςτθμα ςυντεταγμζνων Οxy δίνεται ευκεία ε. Σί ονομάηουμε : α) γωνία που ςχθματίηει θ ευκεία ε με τον άξονα xϋx; β) ςυντελεςτι διευκφνςεωσ τθσ ευκείασ ε; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Παρατιρθςθ β) Παρατιρθςθ
Διαβάστε περισσότερα1. Αν θ ςυνάρτθςθ είναι ΠΟΛΤΩΝΤΜΙΚΗ τότε το πεδίο οριςμοφ είναι το διότι για κάκε x θ f(x) δίνει πραγματικό αρικμό.
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΙΚΟΤΜΕ ΣΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΜΟΤ ΤΝΑΡΣΗΗ Για να οριςκεί μια ςυνάρτθςθ πρζπει να δοκοφν δφο ςτοιχεία : Σο πεδίο οριςμοφ τθσ Α και Η τιμι τθσ f() για κάκε Α. Οριςμζνεσ φορζσ μασ δίνουν μόνο τον
Διαβάστε περισσότεραα) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνεσ δφο ςυηυγϊν μιγαδικϊν είναι ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τον πραγματικό άξονα
ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΤΣΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΤ ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ ΤΝΟΛΟ ΕΛΙΔΩΝ: ΣΕΕΡΙ A. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f θ
Διαβάστε περισσότεραlim x και lim f(β) f(β). (β > 0)
. Δίνεται θ παραγωγίςιμθ ςτο * α, β + ( 0 < α < β ) ςυνάρτθςθ f για τθν οποία ιςχφουν: f(α) lim (-) a και lim ( f(β)) = Να δείξετε ότι: α. f(α) < α και f(β) > β β. Αν g() = τότε θ C f και C g ζχουν ζνα
Διαβάστε περισσότεραΑΝΣΙΣΡΟΦΗ ΤΝΑΡΣΗΗ. f y x y f A αντιςτοιχίηεται ςτο μοναδικό x A για το οποίο. Παρατθριςεισ Ιδιότθτεσ τθσ αντίςτροφθσ ςυνάρτθςθσ 1. Η. f A τθσ f.
.. Αντίςτροφθ ςυνάρτθςθ Ζςτω θ ςυνάρτθςθ : A θ οποία είναι " ". Τότε ορίηεται μια νζα ςυνάρτθςθ, θ μζςω τθσ οποίασ το κάκε ιςχφει y. : A με Η νζα αυτι ςυνάρτθςθ λζγεται αντίςτροφθ τθσ. y y A αντιςτοιχίηεται
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 9 10 (Γ Γυμνασίου- Α Λυκείου)
ΕΠΙΠΕΔΟ 9 10 (Γ Γυμνασίου- Α Λυκείου) 19 Μαρτίου 011 10:00-11:15 3 point/μονάδες 1) Μια διάβαςθ πεηϊν ζχει άςπρεσ και μαφρεσ λωρίδεσ, πλάτουσ 50 cm. ε ζνα δρόμο θ διάβαςθ ξεκινά και τελειϊνει με άςπρεσ
Διαβάστε περισσότεραΑν η ςυνάρτηςη ƒ είναι ςυνεχήσ ςτο να προςδιορίςετε το α.
1 AΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογιςθοφν τα παρακάτω όρια Ι. ΙΙ. ΙΙΙ. Ιν. ν. νι. νιι. νιιι. 2. Να βρεθοφν τα όρια Ι. ΙΙ. 3. Αν ƒ(χ)= α. Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ Β. Να βρείτε τα όρια Ι. ΙΙ. 4. Δίνεται η ςυνάρτηςη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου Ενότητα 1β: Ισότητα - Εξίσωση ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου Ενότητα 1β: Ισότητα - Εξίσωση Συγγραφή:
Διαβάστε περισσότεραA ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ. να βρείτε την τιμή του x
A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξζταςησ: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα θζματα, αιτιολογϊντασ πλήρωσ τισ απαντήςεισ ςασ. 2. Κάθε θζμα βαθμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ή
Διαβάστε περισσότερα4. Πότε δφο ποςά ονομάηονται ανάλογα ; 5. Να ςυμπλθρϊςετε τα κενά ςτισ παρακάτω προτάςεισ i) θ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ είναι
επιςτροφι ΘΕΩΡΙΑ 1. Ποια γωνία λζγεται εγγεγραμμζνθ ; 2. Ποια είναι θ ςχζςθ μεταξφ μιασ εγγεγραμμζνθσ γωνίασ και τθσ επίκεντρθσ που ζχουν το ίδιο αντίςτοιχο τόξο; 3. Να ςυμπλθρϊςετε τισ παρακάτω προτάςεισ
Διαβάστε περισσότεραΤο Ρολφεδρο. Ζδρεσ: ΑΗΘΔ, ΗΘΚΕ, ΕΚΓΒ, ΔΓΚΘ, ΑΒΓΔ. Κορυφζσ: Α, Β, Γ, Δ, Ε,Η Θ, Κ. Διαγϊνιοσ: ΑΚ. Ακμζσ: ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΑΔ,.
Το Ρολφεδρο Ζδρεσ: ΑΗΘΔ, ΗΘΚΕ, ΕΚΓΒ, ΔΓΚΘ, ΑΒΓΔ Κορυφζσ: Α, Β, Γ, Δ, Ε,Η Θ, Κ Διαγϊνιοσ: ΑΚ Ακμζσ: ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΑΔ,. Θ Ρριςματικι - Ρρίςμα οσ Οριςμόσ οσ Οριςμόσ Δίδεται μια Θ κλειςτι κυρτι πολυγωνικι γραμμι,
Διαβάστε περισσότεραΔϋ Δθμοτικοφ 12 θ Κυπριακι Μακθματικι Ολυμπιάδα Απρίλιοσ 2011
1. Αν τϊρα είναι Απρίλθσ, ποιοσ μινασ κα είναι μετά από 100 μινεσ; Α. Απρίλθσ Β. Αφγουςτοσ. Σεπτζμβρθσ Δ. Μάρτθσ Ε. Ιοφλθσ 2. Ποιο είναι το αποτζλεςμα των πιο κάτω πράξεων; ; Α. 135 Β. 27. 63 Δ. 21 Ε.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 11 12 (Β - Γ Λυκείου)
ΕΠΙΠΕΔΟ 11 12 (Β - Γ Λυκείου) 19 Μαρτίου 2011 10:00-11:15 3 point/μονάδες 1) Στθν πιο κάτω εικόνα πρζπει να υπάρχει αρικμόσ ςε κάκε κουκκίδα ϊςτε το άκροιςμα των αρικμϊν ςτα άκρα κάκε ευκφγραμμου τμιματοσ
Διαβάστε περισσότεραςυςτιματα γραμμικϊν εξιςϊςεων
κεφάλαιο 7 Α ςυςτιματα γραμμικϊν εξιςϊςεων αςικζσ ζννοιεσ Γραμμικά, λζγονται τα ςυςτιματα εξιςϊςεων ςτα οποία οι άγνωςτοι εμφανίηονται ςτθν πρϊτθ δφναμθ. Σα γραμμικά ςυςτιματα με δφο εξιςϊςεισ και δφο
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά ΙΙ Αςκήςεισ 11 ησ Ενότητασ
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Αςκήςεισ 11 ησ Ενότητασ Λουκάσ Βλάχοσ Τμιμα Φυςικισ Α.Π.Θ. Θεςςαλονίκθ, 2014 Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται ςε άδειεσ χριςθσ
Διαβάστε περισσότεραΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ ΣΗ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ ΣΗ Β ΛΤΚΕΙΟΤ Θ Ε Ω Ρ Ι Α ΘΕΜΑ 1
1 ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ ΣΗ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ ΣΗ Β ΛΤΚΕΙΟΤ Θ Ε Ω Ρ Ι Α ΘΕΜΑ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι ςε κάκε ορκογϊνιο τρίγωνο, το άκροιςμα των τετραγϊνων των κάκετων πλευρϊν του είναι ίςο με το τετράγωνο τθσ υποτείνουςασ.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.
Διαβάστε περισσότεραΠλαγιογώνια Συςτήματα Συντεταγμζνων Γιϊργοσ Καςαπίδθσ
Πρόλογοσ το άρκρο αυτό κα δοφμε πωσ διαμορφϊνονται κάποιεσ ζννοιεσ όπωσ το εςωτερικό γινόμενο διανυςμάτων, οι ςυνκικεσ κακετότθτασ και παραλλθλίασ διανυςμάτων και ευκειϊν, ο ςυντελεςτισ διευκφνςεωσ διανφςματοσ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 4 Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου (ΑΔ, ΒΓ, ΓΖ, ΔΗ, ΖΚ, ΗΛ) που
Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου (ΑΔ, ΒΓ, ΓΖ, ΔΗ, ΖΚ, ΗΛ) που είναι στερεωμένα με έντεκα καρφιά (Α, Β, Γ, Δ, Θ, Ε, Μ, Η, Κ, Λ,
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ Γ' ΓΤΜΝΑΙΟΤ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: δ) 2 6
ΕΠΑΝΑΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ Γ' ΓΤΜΝΑΙΟΤ ΧΟΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 01-01 ΕΝΟΣΗΣΑ 1: Ιδιότητεσ Αναλογιών - Ποςοςτά 1. Να υπολογιςτεί το χ ςτισ πιο κάτω αναλογίεσ. 7 α) 6 4 β) 1 7 γ) δ) 6 4 4 7. Στθν αναλογία να βρείτε τα α και
Διαβάστε περισσότεραΤ α Μ α θ η μ α τ ι κ ά τ η σ. Β ϋ Γ υ μ ν α ς ί ο υ. Θ ε ω ρ ε ί α & Α ς κ ή ς ε ι σ ς τ η Γ ε ω μ ε τ ρ ί α
Τ α Μ α θ η μ α τ ι κ ά τ η σ Β ϋ Γ υ μ ν α ς ί ο υ Θ ε ω ρ ε ί α & Α ς κ ή ς ε ι σ ς τ η Γ ε ω μ ε τ ρ ί α Σ χ ο λ ι κ ό Ζ τ ο σ 2 0 1 5 2 0 1 6 Τςατςαρϊνησ Δημήτριοσ ΠΕ03 Μθηματικόσ Μονάδεσ μζτρηςησ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 7 8 (Α - Β Γυμνασίου)
ΕΠΙΠΕΔΟ 7 8 (Α - Β Γυμνασίου) 19 Μαρτίου 011 10:00-11:15 EUROPEAN KANGOUROU 010-011 3 points/μονάδες 1) Ποια από τισ πιο κάτω παραςτάςεισ ζχει τθ μεγαλφτερθ τιμι; (A) 011 1 (B) 1 011 (C) 1 x 011 (D) 1
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ
Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες
Διαβάστε περισσότεραΗ άςκθςθ αποτελεί τροποποιθμζνθ εκδοχι του κζματοσ φυςικισ, τθσ Ευρωπαϊκισ Ολυμπιάδασ Φυςικών Επιςτθμών 2009_επιμζλεια κζματοσ: Κώςτασ Παπαμιχάλθσ
ΕΚΦΕ Αχαρνών Η άςκθςθ αποτελεί τροποποιθμζνθ εκδοχι του κζματοσ φυςικισ, τθσ Ευρωπαϊκισ Ολυμπιάδασ Φυςικών Επιςτθμών 9_επιμζλεια κζματοσ: Κώςτασ Παπαμιχάλθσ Εφαρμογζσ τθσ Αρχισ του Αρχιμιδθ & τθσ ςυνκικθσ
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΕΞΕΣΑΕΙ ΤΠΟΣΡΟΦΙΩΝ 2014 [2 Ο ΦΤΛΛΑΔΙΟ]
ΕΝΔΕΙΚΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΕΞΕΣΑΕΙ ΤΠΟΣΡΟΦΙΩΝ 2014 [2 Ο ΦΤΛΛΑΔΙΟ] ΘΕΜΑ 9ο Α. Να ςυγκρίνετε τουσ αρικμοφσ: i) και ii) και iii) 123,012 και 123,02 iv) 5 2 και 10 Β. Σο άκροιςμα των δφο διαδοχικϊν ακζραιων
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 5 6 (Ε - ΣΤ Δημοτικού)
ΕΠΙΠΕΔΟ 5 6 (Ε - ΣΤ Δημοτικού) 19 Μαρτίου 011 10:00-11:15 3 point/μονάδες 1. Ο Basil γράφει τθν λζξθ KANGAROO, ζνα γράμμα κάκε μζρα. Αρχίηει τθν Τετάρτθ. Ποια μζρα κα τελειϊςει; (A)Δευτέρα (B) Τρίτη (C)
Διαβάστε περισσότερα8 τριγωνομετρία. βαςικζσ ζννοιεσ. γ ςφω. εφω και γ. κεφάλαιο
κεφάλαιο 8 τριγωνομετρία Α βαςικζσ ζννοιεσ τθν τριγωνομετρία χρθςιμοποιοφμε τουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ, οι οποίοι ορίηονται ωσ εξισ: θμω = απζναντι κάκετθ πλευρά υποτείνουςα Γ ςυνω = εφω = προςκείμενθ
Διαβάστε περισσότεραΠαράςταςη ςυμπλήρωμα ωσ προσ 1
Δρ. Χρήστος Ηλιούδης Θζματα διάλεξησ ΣΤ1 Προςθεςη αφαίρεςη ςτο ΣΤ1 2 ή ΣΤ1 Ονομάηουμε ςυμπλιρωμα ωσ προσ μειωμζνθ βάςθ R ενόσ μθ προςθμαςμζνου αρικμοφ Χ = ( Χ θ-1 Χ θ-2... Χ 0 ) R ζναν άλλον αρικμό Χ'
Διαβάστε περισσότεραα) Να αποδείξετε ότι = και = 2 (Μονάδες 15) β) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΑΔ και ΓΕ. (Μονάδες 10)
Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=9 και ΑΓ=15. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. ΑΔ 2 ΑΕ α) Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτική Οργάνωςη Ενοτήτων. Α Σάξη. Διδ. 1 ΕΝΟΣΗΣΑ 1. 6 Ομαδοποίθςθ, Μοτίβα,
Ενδεικτική Οργάνωςη Ενοτήτων Α Σάξη Α/ Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτεσ Επιτυχίασ Ώρεσ Α Διδ. 1 ΕΝΟΣΗΣΑ 1 Αλ1.1 υγκρίνουν και ταξινομοφν αντικείμενα ςφμφωνα με κάποιο χαρακτθριςτικό/κριτιριο/ιδιότθτά Ομαδοποίθςθ,
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟ 2016 Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟ 2016 Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 10/12/2016 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.
Διαβάστε περισσότεραΔιάδοση θερμότητας σε μία διάσταση
Διάδοση θερμότητας σε μία διάσταση Η θεωρητική μελζτη που ακολουθεί πραγματοποιήθηκε με αφορμή την εργαςτηριακή άςκηςη μζτρηςησ του ςυντελεςτή θερμικήσ αγωγιμότητασ του αλουμινίου, ςτην οποία διαγωνίςτηκαν
Διαβάστε περισσότερακζντρου Ο. β) Να αποδείξετε ότι (Μονάδεσ 13)
ΘΕΜΑ 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Θεωροφμε ΑΜ τη διάμεςό του και Ε τυχαίο ςημείο του τμήματοσ ΒΜ. Από το Ε φζρουμε ευθεία παράλληλη ςτην ΑΜ που τζμνει την πλευρά ΑΒ ςτο Δ και την προζκταςη τησ ΓΑ ςτο Ζ. α) Να
Διαβάστε περισσότεραΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ ΣΗ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Θ Ε Ω Ρ Ι Α
1 ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ ΕΩΜΕΣΡΙΑ ΣΗ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Θ Ε Ω Ρ Ι Α ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να δθμιουργθκοφν ςωςτζσ εκφράςεισ αντιςτοιχίηοντασ κάκε ςτοιχείο τθσ ςτιλθσ Α με ζνα μόνο ςτοιχείο τθσ ςτιλθσ Β. τιλθ (Α) τιλθ (Β) Ο γεωμετρικόσ
Διαβάστε περισσότεραΜΑ032: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εαρινό εξάμηνο , Διδάςκων: Γιώργοσ Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΗ ΕΞΕΣΑΗ, 21 Μαρτίου, 2012 Διάρκεια: 2 ώρεσ
ΜΑ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εαρινό εξάμηνο -, Διδάςκων: Γιώργοσ Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΗ ΕΞΕΣΑΗ, Μαρτίου, Διάρκεια: ώρεσ ΟΝΟΜΑ: Αρ. Πολ. Σαυτ. Πρόβλημα. Θεωροφμε τα διανφςματα u =,,,, v =,,,4, w =,,,, (α) Υπολογίςτε
Διαβάστε περισσότεραΈνα πρόβλθμα γραμμικοφ προγραμματιςμοφ βρίςκεται ςτθν κανονικι μορφι όταν:
Μζθοδος Simplex Η πλζον γνωςτι και περιςςότερο χρθςιμοποιουμζνθ μζκοδοσ για τθν επίλυςθ ενόσ γενικοφ προβλιματοσ γραμμικοφ προγραμματιςμοφ, είναι θ μζκοδοσ Simplex θ οποία αναπτφχκθκε από τον George Dantzig.
Διαβάστε περισσότεραΠόςο εκτατό μπορεί να είναι ζνα μη εκτατό νήμα και πόςο φυςικό. μπορεί να είναι ζνα μηχανικό ςτερεό. Συνιςταμζνη δφναμη versus «κατανεμημζνησ» δφναμησ
Πόςο εκτατό μπορεί να είναι ζνα μη εκτατό νήμα και πόςο φυςικό μπορεί να είναι ζνα μηχανικό ςτερεό. Συνιςταμζνη δφναμη versus «κατανεμημζνησ» δφναμησ Για τθν ανάδειξθ του κζματοσ κα λφνουμε κάποια προβλιματα
Διαβάστε περισσότεραΚΩΝΣΑΝΣΙΝΟ ΑΛ. ΝΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ M.Sc ΧΟΛΙΚΟ ΤΜΒΟΤΛΟ Πτυχ. ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ
1 ΚΩΝΣΑΝΣΙΝΟ ΑΛ. ΝΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ M.Sc ΧΟΛΙΚΟ ΤΜΒΟΤΛΟ Πτυχ. ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ.ΣΙΡΚΑ 8 και ΑΝΣΤΠΑ 30100 ΑΓΡΙΝΙΟ Email: nakosk@sch.gr Σηλ 64105400 κι.69749695 ΜΕΓΙΣΑ-ΕΛΑΧΙΣΑ ΧΩΡΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΤ 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σα
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Λογικι πρόταςθ: Με τον όρο λογικι πρόταςθ (ι απλά πρόταςθ) ςτα μακθματικά, εννοοφμε μια ζκφραςθ με πλιρεσ νόθμα που δζχεται τον χαρακτθριςμό ι μόνο αλθκισ ι μόνο ψευδισ. Παραδείγματα:
Διαβάστε περισσότερα= = 124
Λζξεισ Κάκε μακθτισ μζςα ςτθν ομάδα κα πρζπει να ζχει μια αρικμομθχανι. Ζνασ μακθτισ κα διαβάηει φωναχτά τουσ αρικμοφσ. Οι υπόλοιποι μακθτζσ κα τουσ γράφουν ςτθν αρικμομθχανι πατϊντασ κάκε φορά το πλικτρο
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα Φυσική ς Κατευ θυνσής Γ Λυκει ου - Ταλαντώσεις
Διαγώνισμα Φυσική ς Κατευ θυνσής Γ Λυκει ου - Ταλαντώσεις Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης Θέμα Α Να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεϊν ςασ τον αρικμό κακεμιάσ από τισ παρακάτω ερωτιςεισ 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιςτοιχεί
Διαβάστε περισσότεραΠαράςταςη ακεραίων ςτο ςυςτημα ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2
Παράςταςη ακεραίων ςτο ςυςτημα ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2 Δρ. Χρήζηος Ηλιούδης Μθ Προςθμαςμζνοι Ακζραιοι Εφαρμογζσ (ςε οποιαδιποτε περίπτωςθ δεν χρειάηονται αρνθτικοί αρικμοί) Καταμζτρθςθ. Διευκυνςιοδότθςθ.
Διαβάστε περισσότεραΑυτόνομοι Πράκτορες. Αναφορά Εργασίας Εξαμήνου. Το αστέρι του Aibo και τα κόκαλα του
Αυτόνομοι Πράκτορες Αναφορά Εργασίας Εξαμήνου Το αστέρι του Aibo και τα κόκαλα του Jaohar Osman Η πρόταςθ εργαςίασ που ζκανα είναι το παρακάτω κείμενο : - ξ Aibo αγαπάει πάρα πξλύ ρα κόκαλα και πάμρα ρα
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΟ ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
Λφκειο Ακρόπολθσ 2015 Επιμζλεια Μάριοσ Πουργουρίδθσ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΟ ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Η πιο κάτω μπάλα αφινεται να πζςει από το ςθμείο Α,κτυπά ςτο ζδαφοσ ςτο ςθμείο Ε και αναπθδά ςε μικρότερο
Διαβάστε περισσότεραΛφσεις των θεμάτων ΔΕΤΣΕΡΑ 28 MAΪΟΤ 2012 ΜΑΘΘΜΑΣΙΚΑ ΚΑΣΕΤΘΤΝΘ
ΑΡΟΛΥΤΗΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γϋ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΡΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γϋ ΤΑΞΗΣ ΕΡΑΛ (ΟΜΑΔΑ Βϋ) ΜΑΘΘΜΑΣΙΚΑ ΚΑΣΕΤΘΤΝΘ ΔΕΤΣΕΡΑ 8 MAΪΟΤ Λφσεις των θεμάτων Ζκδοση η (8/5/, :4) Οι απαντιςεισ και οι
Διαβάστε περισσότεραΘεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ
Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ Δρ. Χρήστος Ηλιούδης αρικμθτικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ (Number System) Αξία (value) παράςταςθ Οι αξίεσ (π.χ. το βάροσ μιασ ποςότθτασ μιλων) μποροφν να παραςτακοφν με πολλοφσ τρόπουσ
Διαβάστε περισσότεραΔΟΜΗ ΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Αςκήςεισ με ψευδογλώςςα/ διάγραμμα ροήσ. Αντώνης Μαϊργιώτης
ΔΟΜΗ ΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Αςκήςεισ με ψευδογλώςςα/ διάγραμμα ροήσ Αντώνης Μαϊργιώτης Να γραφεί αλγόριθμοσ με τη βοήθεια διαγράμματοσ ροήσ, που να υπολογίζει το εμβαδό Ε ενόσ τετραγώνου με μήκοσ Α. ΑΡΧΗ ΔΙΑΒΑΣΕ
Διαβάστε περισσότεραΑπάντηση ΘΕΜΑ1 ΘΕΜΑ2. t=t 1 +T/2. t=t 1 +3T/4. t=t 1 +T ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΕ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΚΥΜΑΤΑ 1) (Β), 2. (Γ), 3. (Γ), 4. (Γ), 5. (Δ).
Απάντηση ΘΕΜΑ1 1) (Β), 2. (Γ), 3. (Γ), 4. (Γ), 5. (Δ). ΘΕΜΑ2 Α)Ανάκλαςθ ςε ακίνθτο άκρο. Το προςπίπτον κφμα ςε χρόνο Τ/2 κα ζχει μετακινθκεί προσ τα δεξιά κατά 2 τετράγωνα όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. Για
Διαβάστε περισσότεραδ) Αf=R-{ 2}=(-,-2)U(-2,2)U(2,+ ). f (x) f(x) ε) Αf=R- 3 =(-,- 3 )U(- 3, 3 )U( 3,+ ).
ΡΑΡΑΝΙΚΟΛΑΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ ) Nα μελετιςετε ωσ προσ τθ μονοτονία τισ ςυναρτιςεισ: β) f ( ) α) f ( ) γ) f ( ) δ) Αf=R-{ }=(-,-)U(-,)U(,+ ) ( 4) ( 4) ( 4) fϋ()= ( 4) f ( ) δ) f ( ) ε)
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, ςτο οποίο η εξωτερική του γωνία ˆΓ είναι διπλάςια τησ
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, ςτο οποίο η εξωτερική του γωνία ˆΓ είναι διπλάςια τησ εςωτερικήσ του γωνίασ Â. Από την κορυφή Α διζρχεται ημιευθεία Ax // ΒΓ ςτο ημιεπίπεδο (ΑΒ, Γ). Στην ημιευθεία Ax θεωροφμε ςημείο
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά ΙΙ
ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 5 η : Μερικι Παράγωγοσ Ι Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΘΥ101: Ειςαγωγι ςτθν Πλθροφορικι
Παράςταςη κινητήσ υποδιαςτολήσ ςφμφωνα με το πρότυπο ΙΕΕΕ Δρ. Χρήστος Ηλιούδης το πρότυπο ΙΕΕΕ 754 ζχει χρθςιμοποιθκεί ευρζωσ ςε πραγματικοφσ υπολογιςτζσ. Το πρότυπο αυτό κακορίηει δφο βαςικζσ μορφζσ κινθτισ
Διαβάστε περισσότεραΑ.Π.. ΓΤΜΝΑΙΟΤ. Αϋ ΓΤΜΝΑΙΟΤ. Αϋ ΜΕΡΟ
Α.Π.. ΓΤΜΝΑΙΟΤ Αϋ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Αϋ ΜΕΡΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΑΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΡΑΞΕΙΣ 1.1 Ρράξεισ με φυςικοφσ και δεκαδικοφσ αρικμοφσ-ιδιότθτεσ των πράξεων. 1.2 Ρράξεισ με κλαςματικοφσ αρικμοφσ- Ιδιότθτεσ των πράξεων. 1.3
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και η διχοτόμοσ του ΑΔ. Φζρουμε από το Β κάθετη ςτην ΑΔ που τζμνει την ΑΔ ςτο Ε και την πλευρά ΑΓ ςτο Η.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και η διχοτόμοσ του ΑΔ. Φζρουμε από το Β κάθετη ςτην ΑΔ που τζμνει την ΑΔ ςτο Ε και την πλευρά ΑΓ ςτο Η. Αν Μ είναι το μζςο τησ πλευράσ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο
Διαβάστε περισσότεραΗ αυτεπαγωγή ενός δακτυλίου
Η αυτεπαγωγή ενός δακτυλίου Υποκζςτε ότι κρατάτε ςτο χζρι ςασ ζναν μεταλλικό δακτφλιο διαμζτρου πχ 5 cm. Ζνασ φυςικόσ πικανότθτα κα προβλθματιςτεί: τι αυτεπαγωγι ζχει άραγε; Νομίηω κα ιταν μια καλι ιδζα
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΗΡΙΑΚΗ ΑΚΗΗ ΜΕΛΕΣΗ ΣΗ ΚΙΝΗΗ ΩΜΑΣΟ Ε ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ - ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΤΝΣΕΛΕΣΗ ΣΡΙΒΗ ΟΛΙΘΗΗ
ΕΡΓΑΣΗΡΙΑΚΗ ΑΚΗΗ ΜΕΛΕΣΗ ΣΗ ΚΙΝΗΗ ΩΜΑΣΟ Ε ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ - ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΤΝΣΕΛΕΣΗ ΣΡΙΒΗ ΟΛΙΘΗΗ ΕΚΦΕ Α & Β ΑΝΑΣΟΛΙΚΗ ΑΣΣΙΚΗ τόχοι Μετά το πζρασ τθσ εργαςτθριακισ άςκθςθσ, οι μακθτζσ κα πρζπει να είναι ςε κζςθ:
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Να γράψετε ςτο τετράδιό ςασ τον αριθμό καθεμιάσ από τισ παρακάτω ερωτήςεισ 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιςτοιχεί ςτη ςωςτή απάντηςη.
ΣΤΠΟΤ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ (ΚΡΟΤΕΙ-ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ-ΚΤΜΑΣΑ) ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΣΕΣΑΡΣΗ 6 ΙΑΝΟΤΑΡΙΟΤ 2016 ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΤΙΚΗ ΘΕΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ (ΚΑΙ ΣΩΝ ΔΤΟ
Διαβάστε περισσότεραΔΛΛΗΝΙΚΗ ΓΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΘΡΗΚΔΤΜΑΣΩΝ ----- Βαθμόρ Αζθαλείαρ: Να διαηηπηθεί μέσπι: Βαθ. Πποηεπαιόηηηαρ:
ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΓΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΘΡΗΚΔΤΜΑΣΩΝ ----- ΔΝΙΑΙΟ ΓΙΟΙΚΗΣΙΚΟ ΣΟΜΔΑ Π/ΘΜΙΑ & Γ/ΘΜΙΑ ΔΚΠ/Η Γ/ΝΗ ΠΟΤΓΩΝ Γ/ΘΜΙΑ ΔΚΠ/Η ΣΜΗΜΑ Α ----- Σασ. Γ/νζη: Ανδπέα Παπανδπέος 37 Σ.Κ. Πόλη: 15180 Μαπούζι
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικη ς Α Λυκει όυ
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικη ς Α Λυκει όυ Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης Θέμα Α Να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεϊν ςασ τον αρικμό κακεμιάσ από τισ παρακάτω ερωτιςεισ 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιςτοιχεί ςτθ
Διαβάστε περισσότεραΑ) Ενδεικτικϋσ απαντόςεισ των θεμϊτων
Πανελλόνιεσ εξετϊςεισ Γ Τϊξησ 2011 Ανϊπτυξη Εφαρμογών ςε Προγραμματιςτικό Περιβϊλλον ΘΕΜΑ Α Α) Ενδεικτικϋσ απαντόςεισ των θεμϊτων Α1. Σ/Λ 1. Σωςτι 2. Σωςτι 3. Λάκοσ 4. Λάκοσ 5. Λάκοσ Α2. Σ/Λ 1. Σωςτι 2.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 4 Στο κυρτό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ ιςχφουν τα εξήσ: α = β, γ = δ και ε = ζ. α) Να υπολογίςετε το άθροιςμα α+ γ + ε. (Μονάδεσ 8) β) Αν οι πλευρζσ ΑΖ και
Ζςτω ότι Ε και Η είναι τα μζςα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ αντίςτοιχα. Αν για το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ επιπλζον ιςχφει ΑΒ>ΑΔ, να εξετάςετε αν είναι αληθείσ ή όχι οι ακόλουθοι ιςχυριςμοί:
Διαβάστε περισσότεραSlide 1. Εισαγωγή στη ψυχρομετρία
Slide 1 Εισαγωγή στη ψυχρομετρία 1 Slide 2 Σφντομη ειςαγωγή ςτη ψυχρομετρία. Διάγραμμα Mollier (πίεςησ-ενθαλπίασ P-H) Σο διάγραμμα Mollier είναι μία γραφικι παράςταςθ ςε ζναν άξονα ςυντεταγμζνων γραμμϊν
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Α Λυκείου. Λεξιλόγιο Γεωμετρίας. Φροντιςτιριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Επιμζλεια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μακθματικόσ
Γωμτρία Λυκίου Λξιλόγιο Γωμτρίας Φροντιςτιριο Μ.Ε. «ΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλθ 28 (μ Δθμθτριάδοσ) όλοσ τθλ. 2421302598 Επιμζλια Κων/νοσ Παπαςταματίου Μακθματικόσ Γωμτρία Λυκίου Λξιλόγιο Γωμτρίασ Λυκίου Ευκίσ Ευκφγραμμα
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Έργο και Ενε ργεια
Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Έργο και Ενε ργεια Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης Θέμα Α Να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεϊν ςασ τον αρικμό κακεμιάσ από τισ παρακάτω ερωτιςεισ 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιςτοιχεί
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου Ενότητα 1α: Διαιρετότητα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου Ενότητα 1α: Διαιρετότητα Συγγραφή: Ομάδα
Διαβάστε περισσότερα17. Πολυδιάςτατοι πίνακεσ
Προγραμματιςμόσ Μεκόδων Επίλυςθσ Προβλθμάτων 17. Πολυδιάςτατοι πίνακεσ Ιωάννθσ Κατάκθσ Πολυδιάςτατοι πίνακεσ o Μζχρι τϊρα μιλοφςαμε για μονοδιάςτατουσ πίνακεσ ι int age[5]= 31,28,31,30,31; o Για παράλλθλουσ
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Ασκήσεις στα κευ 1 και 2
Επαναληπτικές Ασκήσεις στα κευ 1 και 2 1. Αζριο με όγκο 0,004 m 3 κερμαίνεται με ςτακερι πίεςθ p =1,2 atm μζχρι ο όγκοσ του να γίνει 0,006 m 3. Τπολογίςτε το ζργο που παράγει το αζριο. Δίνεται 1 atm =
Διαβάστε περισσότεραΑ1. Ροιεσ από τισ δυνάμεισ του ςχιματοσ ζχουν μθδενικι ροπι ωσ προσ τον άξονα (ε) περιςτροφισ του δίςκου;
ΜΑΘΗΜΑ /ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΡΩΝΥMΟ: ΗΜΕΟΜΗΝΙΑ: 1/3/2015 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: ΚΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΤΕΕΟ ΣΩΜΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Ροιεσ από τισ δυνάμεισ του ςχιματοσ ζχουν μθδενικι ροπι ωσ προσ τον άξονα (ε)
Διαβάστε περισσότεραΑΝΩΣΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ. Διαφορικόσ και Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ Δφο ή Περιςςοτζρων Μεταβλητϊν
ΑΝΩΣΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Διαφορικόσ και Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ Δφο ή Περιςςοτζρων Μεταβλητϊν 1 υναρτιςεισ Περιςςοτζρων Μεταβλθτϊν Παράδειγμα.(E.F. Dbois S =επιφάνεια ςϊματοσ W =βάροσ ςϊματοσ H =φψοσ ςϊματοσ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η.
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7) β) το ΔΕΓΒ είναι παραλληλόγραμμο.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 4. Δίνεται ορθή γωνία
Δίνεται ορθή γωνία ˆ xoy =90 0 και Α,Β ςημεία των ημιευθειών Οy, Ox, με ΟΑ=ΟΒ. Η (ε) είναι ευθεία που διζρχεται από την κορυφή Ο και αφήνει τισ ημιευθείεσ Ox, Oy ςτο ίδιο ημιεπίπεδο. Η κάθετοσ από το ςημείο
Διαβάστε περισσότεραΟΜΑΔΑ: ΘΕΟΚΛΗΣΩ-ΑΝΣΡΕΑ-ΝΕΦΕΛΗ
29/9/2014 το μάκθμα τθσ ευζλικτθσ ηϊνθσ,τα παιδιά χωρίςτθκαν ςε ομάδεσ και ζφτιαξαν τθν δικι τουσ ηωγραφιά χρθςιμοποιϊντασ γεωμετρικά ςχιματα. ΟΜΑΔΑ: ΘΕΟΚΛΗΣΩ-ΑΝΣΡΕΑ-ΝΕΦΕΛΗ ΤΜΜΕΣΡΙΑ: 10 ΚΑΙ 13 ΟΚΣΩΒΡΙΟΤ
Διαβάστε περισσότεραΧΗΥΙΑΚΟ ΔΚΠΑΙΔΔΤΣΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΥΤΙΚΗ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΘΔΜΑ Β
4 o ΔΙΓΩΝΙΜ ΠΡΙΛΙΟ 04: ΔΝΔΔΙΚΣΙΚΔ ΠΝΣΗΔΙ ΦΥΣΙΚΗ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΙ ΤΔΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΤΔΥΘΥΝΣΗΣ 4 ο ΔΙΓΩΝΙΣΜ ΔΝΔΔΙΚΤΙΚΔΣ ΠΝΤΗΣΔΙΣ ΘΔΜ. β. β 3. α 4. γ 5. α.σ β.σ γ.λ δ.σ ε.λ. ΘΔΜ Β Σωςτι είναι θ απάντθςθ γ. Έχουμε ελαςτικι
Διαβάστε περισσότεραΤάξη: Β - Εισηγητές: ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2013
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Τάξη: Β - Εισηγητές: 03 / 06 / 013 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 013
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικζσ Λφςεισ Θεμάτων
c AM (t) x(t) ΤΕΙ Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σειρά Β Ειςηγητήσ: Δρ Απόςτολοσ Γεωργιάδησ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι Ενδεικτικζσ Λφςεισ Θεμάτων Θζμα 1 ο (1 μον.) Ζςτω περιοδικό ςιμα πλθροφορίασ με περίοδο.
Διαβάστε περισσότεραΤάξη Β. Φυςικθ Γενικθσ Παιδείασ. Τράπεζα ιεμάτων Κεφ.1 ο ΘΕΜΑ Δ. Για όλεσ τισ αςκθςεισ δίνεται η ηλεκτρικθ ςταιερά
Τάξη Β Φυςικθ Γενικθσ Παιδείασ Τράπεζα ιεμάτων Κεφ.1 ο ΘΕΜΑ Δ Για όλεσ τισ αςκθςεισ δίνεται η ηλεκτρικθ ςταιερά k 2 9 9 10 Nm 2 1. Δφο ακίνθτα ςθμειακά θλεκτρικά φορτία q 1 = - 2 μq και q 2 = + 3 μq, βρίςκονται
Διαβάστε περισσότεραΔείκτεσ Διαχείριςθ Μνιμθσ. Βαγγζλθσ Οικονόμου Διάλεξθ 8
Δείκτεσ Διαχείριςθ Μνιμθσ Βαγγζλθσ Οικονόμου Διάλεξθ 8 Δείκτεσ Κάκε μεταβλθτι ςχετίηεται με μία κζςθ ςτθν κφρια μνιμθ του υπολογιςτι. Κάκε κζςθ ςτθ μνιμθ ζχει τθ δικι τθσ ξεχωριςτι διεφκυνςθ. Με άμεςθ
Διαβάστε περισσότεραA
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 11/11/017 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας..
Διαβάστε περισσότεραΜεθολογία αςκιςεων αραίωςησ και ανάμειξησ διαλυμάτων (με τθν ίδια δ. ουςία).
Μεθολογία αςκιςεων αραίωςησ και ανάμειξησ διαλυμάτων (με τθν ίδια δ. ουςία). Από τθν τράπεηα κεμάτων Α_ΧΘΜ_0_20651 Διακζτουμε υδατικό διάλυμα (Δ1) KOH 0,1 Μ. α)να υπολογίςετε τθν % w/v περιεκτικότθτα του
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Δυναμική σε μι α δια στασή και στο επι πεδο
Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Δυναμική σε μι α δια στασή και στο επι πεδο Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης Θέμα Α Να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεϊν ςασ τον αρικμό κακεμιάσ από τισ παρακάτω ερωτιςεισ 1-4 και δίπλα
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο
Διαβάστε περισσότεραΓ' ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΤΑΞΗ ΤΗΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. Στθ ΓϋΛυκείου οι Ομάδεσ Προςανατολιςμοφ είναι τρεισ:
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΤΑΞΗ ΤΗΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Στθ ΓϋΛυκείου οι Ομάδεσ Προςανατολιςμοφ είναι τρεισ: 1. Ομάδα Ανκρωπιςτικών Σπουδών 2. Ομάδα Οικονομικών, Πολιτικών, Κοινωνικών & Παιδαγωγικών Σπουδών 3. Ομάδα Θετικών
Διαβάστε περισσότεραΕργαςτιριο Βάςεων Δεδομζνων
Εργαςτιριο Βάςεων Δεδομζνων 2010-2011 Μάθημα 1 ο 1 Ε. Σςαμούρα Σμήμα Πληροφορικήσ ΑΠΘ Σκοπόσ του 1 ου εργαςτθριακοφ μακιματοσ Σκοπόσ του πρϊτου εργαςτθριακοφ μακιματοσ είναι να μελετιςουμε ερωτιματα επιλογισ
Διαβάστε περισσότεραModellus 4.01 Συ ντομοσ Οδηγο σ
Νίκοσ Αναςταςάκθσ 4.01 Συ ντομοσ Οδηγο σ Περιγραφή Σο είναι λογιςμικό προςομοιϊςεων που ςτθρίηει τθν λειτουργία του ςε μακθματικά μοντζλα. ε αντίκεςθ με άλλα λογιςμικά (π.χ. Interactive Physics, Crocodile
Διαβάστε περισσότεραx n D 2 ENCODER m - σε n (m 2 n ) x 1 Παραδείγματα κωδικοποιθτϊν είναι ο κωδικοποιθτισ οκταδικοφ ςε δυαδικό και ο κωδικοποιθτισ BCD ςε δυαδικό.
Κωδικοποιητές Ο κωδικοποιθτισ (nor) είναι ζνα κφκλωμα το οποίο διακζτει n γραμμζσ εξόδου και το πολφ μζχρι m = 2 n γραμμζσ ειςόδου και (m 2 n ). Οι ζξοδοι παράγουν τθν κατάλλθλθ λζξθ ενόσ δυαδικοφ κϊδικα
Διαβάστε περισσότεραΟδηγίεσ προσ τουσ εκπαιδευτικοφσ για το μοντζλο τησ Αριθμογραμμήσ
Οδηγίεσ προσ τουσ εκπαιδευτικοφσ για το μοντζλο τησ Αριθμογραμμήσ Αυτζσ οι οδθγίεσ ζχουν ςτόχο να βοθκιςουν τουσ εκπαιδευτικοφσ να καταςκευάςουν τισ δικζσ τουσ δραςτθριότθτεσ με το μοντζλο τθσ Αρικμογραμμισ.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Β.1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Β.1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Στον παρακάτω πίνακα τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ είναι οι πλευρές ενός o ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ με Â 90. Να συμπληρώσετε τον πίνακα αυτό. ΑΒ 6 3
Διαβάστε περισσότεραΕρωτιςεισ & απαντιςεισ για τα ξφλινα πνευςτά
Τα νύλιμα! ΧΟΡΗΓΟΣ Ερωτιςεισ & απαντιςεισ για τα ξφλινα πνευςτά τα ξφλινα! 1. Γιατί τα λζμε ξφλινα πνευςτά; Πνευςτά ονομάηονται τα όργανα ςτα οποία ο ιχοσ παράγεται μζςα ςε ζνα ςωλινα απ όπου περνάει ο
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρθςιακι Ζρευνα και εφαρμογζσ με τθν χριςθ του λογιςμικοφ R
Επιχειρθςιακι Ζρευνα και εφαρμογζσ με τθν χριςθ του λογιςμικοφ R Ενότθτα 3 θ : Γραφικι Επίλυςθ και Ανάλυςθ Ευαιςκθςίασ Κων/νοσ Κουνετάσ, Επίκουροσ Κακθγθτισ Νίκοσ Χατηθςταμοφλου, Υπ. Δρ. Οικονομικισ Επιςτιμθσ
Διαβάστε περισσότεραόπου θ ςτακερά k εξαρτάται από το μζςο και είναι για το κενό
Φυςικι [1] ΔΤΝΑΜΙΚΟ ΗΛΕΚΣΡΟΣΑΣΙΚΟΤ ΠΕΔΙΟΤ Ειςαγωγή. Γφρω από θλεκτρικά φορτιςμζνα ςώματα δθμιουργείται θλεκτροςτατικό πεδίο. Η μελζτθ του θλεκτρικοφ πεδίου γίνεται με τθ βοικεια των μεγεκών: ζνταςη E (διανυςματικό)
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium V
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium V Στατιςτική Συμπεραςματολογία Ι Σημειακζσ Εκτιμήςεισ Διαςτήματα Εμπιςτοςφνησ Στατιςτική Συμπεραςματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο τθσ Στατιςτικισ Συμπεραςματολογία,
Διαβάστε περισσότεραΑςκιςεισ ςε (i) Δομζσ Ευρετθρίων και Οργάνωςθ Αρχείων (ii) Κανονικοποίθςθ
Αςκιςεισ ςε (i) Δομζσ Ευρετθρίων και Οργάνωςθ Αρχείων (ii) Κανονικοποίθςθ Δεκζμβριοσ 2016 Άςκθςθ 1 Θεωρείςτε ότι κζλουμε να διαγράψουμε τθν τιμι 43 ςτο Β+ δζντρο τθσ Εικόνασ 1. Η διαγραφι αυτι προκαλεί
Διαβάστε περισσότεραΜονάδες 6. Μονάδες ΓΑΨΕ Δεν υπάρχει ρίηα 2. ΑΝ Α>0 ΤΟΤΕ 3. ΤΕΛΟΣ_ΑΝ 4. ΑΛΛΙΩΣ 5. ίηα Τ_(Α)
50 Χρόνια ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑ ΜΕΗ ΕΚΠΑΙΔΕΤΗ ΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΣΙ : Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : Σηλ.: 2107601470 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΑΝΑΡΤΥΞΗ ΕΦΑΜΟΓΩΝ ΣΕ ΡΟΓΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΡΕΙΒΑΛΛΟΝ Γϋ ΛΥΚΕΙΟΥ 2011 ΘΕΜΑ Α I. Η ςειριακι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο
1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε μονώνυμο;. Τι ονομάζουμε ρητή αλγεβρική παράσταση; 3. Ποιες τιμές δεν μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ
ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε
Διαβάστε περισσότερα