ÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò Ο µαθητής πυ έχει µελετήσει τ κεφάλαι 4 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τη σχετική θέση δύ ευθειών. Να γνωρίζει τη σχέση µεταξύ γωνιών πυ σχηµατίζνται από δύ παράλληλες ευθείες ι πίες τέµννται από µια τρίτη ευθεία. Να γνωρίζει διάφρυς τρόπυς µε τυς πίυς θα απδεικνύει ότι δύ ι περισσότερες ευθείες είναι παράλληλες. Να γνωρίζει ότι τ άθρισµα των γωνιών τυ τριγώνυ είναι ρθές και τις διάφρες σηµαντικές πρτάσεις και πρίσµατα πυ πρκύπτυν. Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τη σχέση γωνιών µε πλευρές παράλληλες ή κάθετες. Να γνωρίζει τ άθρισµα των γωνιών κυρτύ ν-γώνυ καθώς και τ άθρισµα των εξωτερικών γωνιών τυ. Να γνωρίζει τυς αξισηµείωτυς κύκλυς ενός τριγώνυ.
5. Τύπι - Βασικές έννιες Σχετικές θέσεις δύ ευθειών. Οι σχετικές θέσεις δύ ευθειών ε και ε τυ ίδιυ επιπέδυ είναι ι παρακάτω: Ταυτίζνται. (άπειρα κινά σηµεία). Συµβλίζυµε ε ε. Τέµννται. (ένα κινό σηµεί). εν τέµννται. (κανένα κινό σηµεί). Στην περίπτωση αυτή ι ευθείες νµάζνται παράλληλες και συµβλίζυµε ε // ε. (á) (â) (ã) å å å å å å Τέµνυσα δύ ευθειών. Έστω δύ ευθείες ε και ε τυ επιπέδυ ι πίες τέµννται από µια τρίτη ευθεία ε 3. Τότε σχηµατίζνται τα εξής ζεύγη γωνιών: Γωνίες εντός εναλλάξ. Είναι γωνίες πυ βρίσκνται εντός της ζώνης πυ δηµιυργύν ι ευθείες ε και ε και σε διαφρετικά ηµιεπίπεδα πυ ρίζει η ευθεία ε 3. Τέτιες είναι ι γ, ε και δ, ζ. Γωνίες εντός και επί τα αυτά µέρη. Είναι γωνίες πυ βρίσκνται εντός των ευθειών ε και ε και στ ίδι ηµιεπίπεδ πυ ρίζει η ευθεία ε 3. Τέτιες είναι ι δ, ε και γ, ζ. Γωνίες εντός, εκτός και επί τα αυτά µέρη. Είναι γωνίες πυ βρίσκνται µια εντός και µία εκτός των ευθειών ε και ε και στ ίδι ηµιεπίπεδ πυ ρίζει η ευθεία ε 3. Τέτιες είναι ι α,ε και β,ζ και δ,θ και η,γ. Θεώρηµα Αν δύ ευθείες ε, ε τεµνόµενες από τρίτη ευθεία ε σχηµατίζυν τις: εντός εναλλάξ γωνίες ίσες τότε ε //ε. εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες τότε ε //ε. εντός και επί τα αυτά γωνίες ίσες τότε ε //ε. και αντίστρφα. Αν δύ παράλληλες ευθείες τέµννται από τρίτη, σχηµατίζυν: τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. τις εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη γωνίες ίσες, τις εντός και επί τα αυτά µέρη γωνίες παραπληρωµατικές.
Τύπι - Βασικές έννιες 53. Πρίσµατα ύ ευθείες κάθετες σε διαφρετικά σηµεία στην ù ίδια ευθεία, είναι µεταξύ τυς παράλληλες (σχ.α). ö ύ ευθείες παράλληλες στην ίδια ευθεία, είναι (á) Â και µεταξύ τυς παράλληλες. Αν δύ ευθείες είναι παράλληλες και µία τρίτη ευθεία τέµνει µία από αυτές τότε τέµνει και την (â) Â άλλη (σχ.β). Αν δύ ευθείες είναι παράλληλες και µία τρίτη ευθεία τέµνει κάθετα µία από αυτές τότε τέµνει κάθετα και την άλλη. å å å å Τ Ευκλείδει Αίτηµα της Παραλληλίας. Από ένα σηµεί εκτός ευθείας διέρχεται µναδική παράλληλη πρς αυτή. Πρόταση. Αν δύ ευθείες τεµνόµενες από µία τρίτη σχηµατίζυν τις εντός και επί τα αυτά µέρη γωνίες τυς µε άθρισµα µικρότερ από δύ ρθές τότε ι ευθείες τέµννται πρς τ µέρς της τέµνυσας πυ βρίσκνται ι γωνίες. Γωνίες µε πλευρές παράλληλες ή κάθετες. Αν δύ γωνίες έχυν τις πλευρές τυς παράλληλες ή κάθετες µία πρς µία τότε αν είναι και ι δύ ξείες ή αµβλείες τότε είναι ίσες. αν η µία είναι ξεία και ή άλλη αµβλεία τότε είναι παραπληρωµατικές. z y O ù B x è y x ö è Ï z Αξισηµείωτι κύκλι τριγώνυ. Ο κύκλς πυ διέρχεται από τις τρείς κρυφές ενός τριγώνυ λέγεται περιγεγραµµένς κύκλς και τ κέντρ τυ είναι τ σηµεί όπυ διέρχνται και ι τρείς µεσκάθετι των πλευρών τυ τριγώνυ και λέγεται περίκεντρ. x B K M O Ë y
54. Τύπι - Βασικές έννιες Ο κύκλς πυ εφάπτεται στις τρείς πλευρές ενός τριγώνυ λέγεται εγγεγραµµένς κύκλς και τ κέντρ τυ είναι τ σηµεί όπυ διέρχνται και ι τρείς διχτόµι των γωνιών τυ τριγώνυ και λέγεται έκκεντρ. B Ë Z ÈÄ N E Ο κύκλς πυ εφάπτεται στη µία πλευρά ενός τριγώνυ και στις πρεκτάσεις των δύ άλλων λέγεται παρεγγεγραµµένς κύκλς και τ κέντρ τυ είναι τ σηµεί όπυ διέρχνται η διχτόµς της απέναντι γωνίας και ι διχτόµι των άλλων δύ εξωτερικών γωνιών τυ τριγώνυ και λέγεται παράκεντρ. B É Άθρισµα γωνιών τριγώνυ και κυρτύ ν-γώνυ. Τ άθρισµα των γωνιών ενός τριγώνυ ισύται µε δύ ρθές. Τ άθρισµα των γωνιών ενός κυρτύ ν-γώνυ ισύται µε ν 4 ρθές. Πρίσµατα Η εξωτερική γωνία ενός τριγώνυ ισύται µε τ άθρισµα των δύ απέναντι εσωτερικών. Αν δύ τρίγωνα έχυν δύ γωνίες µία πρς µία ίσες, έχυν και τις τρίτες γωνίες τυς ίσες. Οι ξείες γωνίες ρθγωνίυ τριγώνυ είναι συµπληρωµατικές. Κάθε γωνία ενός ισόπλευρυ τριγώνυ ισύται µε 60. Τ άθρισµα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτύ ν-γώνυ ισύται µε 4 ρθές.
Μαθαίνυµε τις απδείξεις Βήµα 55. ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
56. Βήµα Μαθαίνυµε τις απδείξεις
Μαθαίνυµε τις απδείξεις Βήµα 57.
58. Βήµα Μαθαίνυµε τις απδείξεις
Μαθαίνυµε τις απδείξεις Βήµα 59.
60. Βήµα Επαναλαµβάνυµε τις ασκήσεις κλειδιά ÂÞìá ÂÞìá ÅðáíáëáìâÜíïõìå ôéò áóêþóåéò "êëåéäéü" Α. Από τ σχλικό βιβλί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ έκδση 003. σ. 8: Ασκήσεις Εµπέδωσης, 3, 4, 5 Απδεικτικές Ασκήσεις,, 4, 5 Σύνθετα Θέµατα 3, 4 σ. 87: Ασκήσεις Εµπέδωσης, 3, 5, 6, 7 Απδεικτικές Ασκήσεις,, 3, 4, 5, 6, 7 Σύνθετα Θέµατα, 5, 6 σ. 88: Γενικές Ασκήσεις 3, 4
Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 6. ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá Ëýíïõìå ðåñéóóüôåñåò áóêþóåéò. Σε τρίγων BΓ µε Α=Β, ˆ ˆ να δείξετε ότι α<β Λύση: Φέρυµε ΓΗ ΑΒ και στ ευθύγραµµ τµήµα ΒΗ παίρνυµε τµήµα ΗΘ = ΗΑ. Τότε τ τρίγων ΓΑΘ είναι ισσκελές αφύ τ ΓΗ είναι ύψς και διάµεσς. Άρα Θ ˆ ˆ = Α σαν πρσκείµενες γωνίες στη βάση ισσκελύς τριγώνυ, και ΓΘ = ΑΓ = β. Όµως η ˆΘ είναι εξωτερική γωνία τυ ΘBΓ, πότε: B H È â â â á Θˆ = Βˆ + Γˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Α= Β+ Γ Β= Β+ Γ Β= Γ, δηλαδή τ ΘBΓ είναι ισσκελές µε κρυφή Θ, αφύ ι πρσκείµενες γωνίες στην ΒΓ είναι ίσες. Άρα ΘΒ = ΘΓ = β. Εφαρµόζυµε την τριγ. ανισότητα στ ΘBΓ και έχυµε: ΒΓ < ΘΒ + ΘΓ α < β + β α < β. Σε ρθγώνι τρίγων ( ˆ ) ΑΒΓ Α= φέρυµε τ ύψς ΑΗ και τις διχτόµυς Α και ΓΕ των γωνιών ΒΑΗ ˆ και ˆΓ αντίστιχα. Αν τ ση- µεί τµής των Α και ΓΕ είναι τ Ρ, να δείξετε ότι: α. Α ΓΕ β. ΑΡ = Ρ Λύση: ˆ α. Είναι ˆ ˆ ΒΑΗ ˆΓ Α = Α = και Γ ˆ = Γˆ =. Όµως ΒΑH ˆ = Γˆ σαν ξείες γωνίες µε ˆΓ πλευρές κάθετες. Άρα Αˆ ˆ ˆ = Α = Γ =. Στ τρίγων ΑΡΓ έχυµε:
6. Βήµα 3 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις ( ) ΡΑΓ ˆ + ΑΓΡ ˆ = Αˆ + Αˆ + Γˆ = Αˆ + Αˆ + Αˆ = Αˆ = 3 3 πότε ˆ ( ˆ ˆ ) ΑΡΓ = ΡΑΓ + ΑΓΡ =, δηλαδή Α ΓΕ β. Από τ τρίγων ( ˆ ) ΑΗ Η= έχυµε: Αˆ + ˆ = Αˆ + ˆ = Αˆ ΑΓ ˆ + ˆ = ΑΓ ˆ + ˆ = ˆ ΑΓ ˆ = 0 ˆ = ΑΓ ˆ Άρα τ ΑΓ είναι ισσκελές µε κρυφή τ Γ, αφύ ι πρσκείµενες γωνίες στην Α είναι ίσες. Συνεπώς τ ύψς ΓΡ πυ αντιστιχεί στην βάση τυ Α είναι και διάµεσς. ηλαδή ΑΡ = Ρ. 3. Σε ισσκελές τρίγων ( ) ΑΒΓ ΑΒ= ΑΓ φέρυµε ηµιευθεία Βx ΒΓ, η πία βρίσκεται στ ηµιεπίπεδ (ΒΓ, Α). Αν η Bx τέµνει την πρέκταση της ΓΑ στ Μ και επί της ΒΜ πάρυµε σηµεία Κ, Λ τέτια ΑΚΛ ώστε: ˆ ˆ ΒΑΛ = ΓΑΚ = 90, να δείξετε ότι: ΒΛ = ΚΜ και ότι τ είναι ισσκελές. Λύση: Επειδή ΑΒΓ ισσκελές είναι Β ˆ ˆ = Γ σαν πρσκεί- x Ì µενες γωνίες στη βάση τυ ΒΓ. Όµως από τ ρθγώνι τρίγων ( ˆ ΒΓΜ ΓΒΜ = 90 ) έχυµε: Ë ˆ ˆ Γ+ Μ = 90 Βˆ + Μˆ = ΓΒΜ ˆ K Βˆ + Μˆ = Βˆ + Βˆ Μˆ = Βˆ Άρα τ ΑΒΜ είναι ισσκελές µε βάση ΜΒ, αφύ ι πρσκείµενες σ αυτή γωνίες είναι ίσες. Τα ρθγώνια τρίγωνα ( ˆ ΑΒΛ ΒΑΛ = 90 ) και ( ˆ ΑΚΜ ΚΑΜ 90 ) = έχυν: () ΑΒ = ΑΜ ( ΑΒΜ ισσκελές) () Β ˆ ˆ = Μ (τ απδείξαµε) Άρα ΑΒΛ= ΑΚΜ πότε: ΒΛ = ΚΜ ΑΛ = ΑΚ, δηλαδή τ ΑΚΛ είναι ισσκελές µε κρυφή τ Α. E B P Ä H 3 B
Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 63. 4. Σε ρθγώνι τρίγων ( ˆ ) ΑΒΓ Α= φέρυµε κάθετη ηµιευθεία στην ΒΓ πρς τ µέρς τυ Α, επί της πίας παίρνυµε τµήµα ΓΚ = ΑΓ. Στην πρέκταση της υπτείνυσας ΓΒ παίρνυµε τµήµα ΒΛ = ΑΒ. Να απδείξετε ότι ΑΓΚ ˆ = ΑΛΒ ˆ. Λύση: Είναι ΑΒ = ΒΛ πότε τ τρίγων ΑΒΛ είναι ισσκελές και Α ˆ ˆ = Λ. Όµως η ˆΒ είναι εξωτερική τυ τριγώνυ ΑΒΛ, πότε ˆΒ Αˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + Λ= Β Λ= Β Λ= ΑΓ = ΓΚ άρα Α Γ Κ ισσκελές, πότε Α ˆ ˆ = Κ. Όµως ˆΓ Γˆ + Αˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + Κ = 80 90 Γ + Α = 80 Α = 90 + Γ Α = 45 + Τ ΑΒΓείναι ρθγώνι στ Α, πότε Έχυµε: Βˆ + Γˆ = 90 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Γ ˆ Γ Β Γ+ Β 90 Α + Α = 45 + + Λ= 45 + + = 45 + = 45 + = 90 έχυµε: ( ) Οπότε από τ ΑΓΚ Γˆ = 80 Αˆ ˆ ˆ Γ = 80 90 Α Γˆ = 80 80 + Αˆ Γˆ = Αˆ ΑΓΚ ˆ = Λˆ ΑΓΚ ˆ = ΑΛΒ ˆ Ë B K 5. Σε τρίγων ΑΒΓ, φέρυµε από την κρυφή Β ευθεία x x//αγ. Επί της x x και εκατέρωθεν τυ Β παίρνυµε τµήµατα ΒΜ = ΒΝ = ΑΒ. Να δείξετε ότι: M ΑΝ Λύση: ΑΒ = ΜΒ άρα τ τρίγων ΑΒΜ είναι ισσκελές, πότε ˆ 4 Α ˆ 3 = Μ σαν πρσκείµενες γωνίες στη βάση τυ. Ì 3 Όµως Α ˆ ˆ 4 = Μ σαν εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ΑΓ και x x πυ τέµννται από την ΑΜ. B Άρα Α ˆ ˆ 3 = Α4, δηλαδή η ΑΜ είναι διχτόµς της ˆΑ εξ. Í Οµίως απδεικνύεται ότι η ΑΝ είναι διχτόµς της
64. Βήµα 3 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις ˆΑ. Όµως ι γωνίες ˆΑ και διχτόµι τυς είναι κάθετες, δηλαδή M ˆΑ εξ είναι εφεξής και παραπληρωµατικές. Άρα ι ΑΝ. 6. Στην πρέκταση της υπτείνυσας ΒΓ ρθγωνίυ τριγώνυ ( ˆ ) ΑΒΓ Α=90 παίρνυµε τµήµα ΓΚ = γ. Φέρυµε ηµιευθεία Κx ΒΚ πρς τ µέρς τυ Α. Επί της Κx παίρνυµε τµήµα ΚΛ = β. Να δείξετε ότι η ΒΛ διχτµεί την ˆΒ. Λύση: Φέρυµε την ΓΛ και συγκρίνυµε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΓΚΛ. Αυτά έχυν: Αˆ = Κˆ = 90 ΑΒ = ΚΓ = γ (υπόθεση) ΑΓ = ΚΛ = β (υπόθεση) Άρα ΑΒΓ= ΓΚΛ, πότε ΒΓ = ΓΛ, δηλαδή τ τρίγων ΒΓΛ είναι ισσκελές µε κρυφή τ Γ. Συνεπώς ˆΒ = Λ ˆ σαν πρσκείµενες γωνίες στη βάση τυ. Επίσης από την ισότητα των τριγώνων έχυµε ΑΒΓ ˆ = ΚΓΛ ˆ. Άρα ΑΒ//ΓΛ, αφύ τεµνόµενες από τη ΒΚ, σχηµατίζυν τις εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη γωνίες τυς ίσες. Οπότε ˆΒ ˆ = Λ ως εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ΑΒ και ΓΛ πυ τέ- µννται από την ΒΛ. Συνεπώς Β ˆ ˆ = Β, δηλαδή η ΒΛ είναι διχτόµς της γωνίας ˆΒ. B ã á â á Ë ã K â 7. Έστω ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ µε µικρότερη πλευρά τη ΒΓ. Στις πλευρές τυ ΑΒ, ΑΓ παίρνυµε τα σηµεία και Ε αντίστιχα, τέτια ώστε Β = ΓΕ = ΒΓ. ˆ Αν ι ΒΕ, Γ τέµννται στ Ζ, να δείξετε ότι: ˆ Α ΓΖΕ = 90 + Λύση: Β = ΒΓ άρα τ τρίγων ΒΓείναι ισσκελές. Επµένως ˆ = Γˆ = ˆ 80 Β
Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 65. ΓΕ = ΒΓ άρα τ τρίγων ΒΓΕ είναι ισσκελές. Επµένως Εˆ = Βˆ = ˆ 80 Γ Από τ ΓΕΖ έχυµε: ˆ ˆ ˆ ˆ 80 Γ ΓΖΕ = 80 Ε Γ = 80 ( Γˆ Γˆ ) = B Ä Å Z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Γ Γ 80 Β = 80 90 Γ + Γ = 80 90 + Γ + = Γˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Β Β + Γ 80 Α = 90 + 90 = 80 = 80 = Α ˆ Αˆ 80 90 90 = = + 8. Σε τρίγων ΑΒΓ µε ˆ ˆ Β-Γ=30, φέρυµε την διχτόµ Α. Να δείξετε ότι ˆ ΑΒ = 75. Λύση: Από τ ΑΒ έχυµε: Αˆ Αˆ ΑΒ ˆ = 80 Αˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Β = 80 Β = Α + Β + Γ Β = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Α Α + Γ 80 Β Γ + Γ 80 Β + Γ = + ˆΓ = = = = ( ˆ ˆ) 80 Β Γ 80 30 = = = 75 9. Από τ µέσ Μ της βάσης ΒΓ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ, φέρυµε παράλληλες στις ΑΒ, ΑΓ πυ τις τέµνυν στα σηµεία, Ε αντίστιχα. Να δείξετε ότι η ΑΜ είναι µεσκάθετς τυ Ε. Λύση: Επειδή ΑΒΓ ισσκελές, ισχύει Β ˆ = Γ ˆ σαν πρσκείµενες γωνίες στη βάση τυ. B Ä
66. Βήµα 3 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Επίσης Β ˆ = Μˆ ως εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη γωνίες των παραλλήλων ΑΒ και ΜΕ πυ τέµννται από την ΒΓ. Οµίως Γ ˆ = Μˆ. Άρα: ˆ = ˆ, πότε ΒΜ ισσκελές, αφύ ι πρσκεί- µενες γωνίες στη βάση τυ είναι ίσες. Συνεπώς Β = Μ () Γ ˆ = Μˆ πότε µίως συµπεραίνυµε ότι ΕΜ = ΕΓ () Β Μ Τα ΒΜ και ΕΜΓ έχυν:. ΒΜ = ΜΓ (Μ µέσ ΒΓ). Β ˆ = Μˆ (τ απδείξαµε παραπάνω) 3. Μ ˆ ˆ = Γ (τ απδείξαµε παραπάνω) B Ä Ì E Άρα ΒΜ= ΕΜΓ( ΓΠΓ) πότε Β = ΕΜ (3) Από (), (), (3) συµπεραίνυµε ότι Β = Μ = ΜΕ = ΕΓ Επειδή Μ = ΜΕ, τ Μ ανήκει στην µεσκάθετ τυ Ε, αφύ ισαπέχει από τα άκρα τυ. Επίσης Α = ΑΒ Β = ΑΓ ΕΓ = ΑΕ. Άρα και τ Α ισαπέχει από τα άκρα τυ Ε, πότε ανήκει στην µεσκάθετ τυ. Συνεπώς η ΑΜ είναι µεσκάθετς τυ Ε. 0. Σε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ φέρυµε τ ύψς Α πρς την υπτείνυσα ΒΓ. Έστω Ε, Ζ τα συµµετρικά τυ ως πρς τις ευθείες ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα. Να δείξετε ότι: α. τα σηµεία Ε, Α, Ζ είναι συνευθειακά. β. ΒΕ//ΓΖ Λύση: α. Τ τρίγων ΑΖ είναι ισσκελές, αφύ η ΑΚ είναι ύψς και διάµεσς. Άρα Α = ΑΖ. Οµίως απδεικνύεται ότι Α = ΑΕ. Στα ισσκελή τρίγωνα ΑΖ και ΑΕ ι ΑΚ, ΑΛ αντίστιχα θα είναι και διχτόµι, πότε: Α ˆ ˆ = Α και Æ K Ä 3 4 B Ë E
Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 67. Αˆ = Αˆ. Τότε ΖΑΕ ˆ = Αˆ + Αˆ + Αˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 + Α4 = Α + Α + Α3 + Α3 = Α + Α3 = 3 4 ( ˆ ˆ ) ˆ = Α + Α = Α= 90 = 80 3 Συνεπώς τα Ζ, Α, Ε είναι συνευθειακά σηµεία. β. Είναι ˆ ˆ ΑΕΒ = ΑΒ = 90 σαν συµµετρικές γωνίες ως πρς ΑΒ, πότε ΒΕ ΑΕ. Οµίως απδεικνύεται ότι ΓΖ ΑΖ. Όµως τα ΑΕ και ΑΖ έχυν κινό φρέα. Άρα ΒΕ//ΓΖ σαν κάθετα στην ίδια ευθεία.
68. Βήµα 4 Λύνυµε µόνι µας ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá Ëýíïõìå ìüíïé ìáò. Στη γωνία xοψ ˆ η Οz είναι εσωτερική ευθεία. Από τυχαί σηµεί Α της Οz φέρνυµε την ΑΒ//Ox. Να δειχθεί ότι: α. Αν η Οz είναι διχτόµς της xοψ ˆ, τ τρίγων ΟΑΒ είναι ισσκελές β. Αν τ τρίγων ΟΑΒ είναι ισσκελές, η Οz είναι διχτόµς της xοψ ˆ.. Έστω τρίγων ΑΒΓ και ΑΗ η διχτόµς της ˆΑ. Φέρνυµε Β παράλληλη στη διχτόµ, πυ τέµνει την ευθεία ΓΑ στ. Να δειχθεί ότι: α. Τ τρίγων ΒΑ ισσκελές β. Αν τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές τότε Β ΒΓ.
Λύνυµε µόνι µας Βήµα 4 69. 3. Στ ισσκελές τρίγων ΑΒΓ, φέρνυµε τις διαµέσυς ΒΒ, ΓΓ και µια ευθεία ε παράλληλη στη βάση ΒΓ πυ τέµνει τις διαµέσυς στα σηµεία Κ, Λ αντίστιχα και τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία Μ και Ν. Να δείξετε ότι ΚΜ = ΛΝ. 4. Στ τρίγων ΑΒΓ είναι ΑΓ > ΑΒ. Στην πλευρά ΑΓ παίρνυµε τµήµα Α = ΑΒ. Να δειχθεί ότι: ˆ α. ˆ Α ˆ ˆ ΒΓ = 90 + β. ˆ Β-Γ ΒΓ = 5. ίνεται τρίγων ΑΒΓ και σηµεία και Ε της ΒΓ ώστε ΒΑ ˆ = Γ ˆ και ΓΑΕ ˆ = Β ˆ. Να βρεθεί τ είδς τυ τριγώνυ ΑΕ.
70. Βήµα 4 Λύνυµε µόνι µας 6. ίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ. Στις πλευρές τυ ΑΒ και ΒΓ παίρνυµε αντίστιχα τα σηµεία και Ε τέτια, ώστε να είναι Α = ΑΕ. Να απδείξετε ότι: ΕΑΓ ˆ = ΒΕ ˆ. 7. ίνεται τρίγων ΑΒΓ και ι διχτόµι Α και ΓΕ. Αν είναι Α = ΑΒ και ΓΕ = ΒΓ να υπλγιστύν ι γωνίες τυ τριγώνυ ΑΒΓ. 8. Σε τρίγων ΑΒΓ είναι Α<Γ. ˆ ˆ Έστω τα σηµεία και Ε της ΑΒ και ΑΓ ˆ αντίστιχα τέτια ώστε ˆ ˆ Α ΑΓ = ΕΓ =. Να δείξετε ότι Α = Ε = ΕΓ.
Ελέγχυµε τη γνώση µας Βήµα 5 7. ÂÞìá 5 ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá ÅëÝã ïõìå ôç ãíþóç ìáò Θέµα Α. Να δείξετε ότι τ άθρισµα των γωνιών κάθε τριγώνυ είναι δύ ρθές (Μνάδες 0) Β. Να δείξετε ότι κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνυ είναι ίση µε τ άθρισµα των δύ απέναντι εσωτερικών γωνιών τυ τριγώνυ. (Μνάδες 0) Γ. Να δείξετε ότι αν δύ ευθείες ε, ε είναι παράλληλες και µία τρίτη ευθεία ε τέµνει τη µία από αυτές θα τέµνει και την άλλη. (Μνάδες 5) Θέµα 0 Α. Τ σηµεί Γ είναι σηµεί τυ ευθύγραµµυ τµήµατς ΑΒ. Από τ Γ φέρνυµε τυχαία ηµιευθεία Γx και παίρνυµε σε αυτήν τµήµατα Γ = ΓΑ και ΓΕ = ΓΒ. Να δείξετε ότι BE. (Μνάδες ) Β. Τ τρίγων ΑΒΓ είναι ρθγώνι στ Α. Στις πρεκτάσεις των ΒΑ και ΓΑ πρς τ µέρς της κρυφής Α παίρνυµε τµήµατα ΑΒ = ΑΓ και ΑΓ = ΑΒ. Να δείξετε ότι η πρέκταση τυ ύψυς Α περνάει από τ µέσ Ο της Β Γ. (Μνάδες 3) Θέµα 3 0 Α. Να απδειχθεί ότι ι διχτόµι των γωνιών κυρτύ τετραπλεύρυ, όταν τέµννται ανά δύ, σχηµατίζυν τετράπλευρ µε απέναντι γωνίες παραπληρωµατικές. (Μνάδες 7) Β. Σε τετράπλευρ ΑΒΓ είναι Α ˆ = Γ ˆ. Να δείξετε ότι ι διχτόµι των γωνιών ˆΒ και ˆ είναι παράλληλες. (Μνάδες 8) Θέµα 4 0 Α. Στ τρίγων ΑΒΓ είναι ΑΓ > ΑΒ. Φέρνυµε τ ύψς ΑΗ, τη διχτόµ Α και τη
7. Βήµα 5 Ελέγχυµε τη γνώση µας διάµεσ ΑΜ. Να δειχθύν ι σχέσεις: ΑΒ + ΑΓ α. ΑΗ < β. ΒΑΗ ˆ < ΓΑΗ ˆ γ. Β < Γ δ. Β < ΑΒ (Μνάδες 6) Β. Στ ισσκελές τρίγων ΑΒΓ φέρνυµε τη Β διχτόµ της γωνίας ˆΒ. Αν ι διχτόµι των γωνιών ΑΒ, ˆ ΒΓ ˆ τέµνυν τη ΒΓ στα Ζ, Ε να δείξετε ότι ΕΖ = Β. (Μνάδες 9)