ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ ΣΕ ΕΝΗΛΙΚΕΣ: ΜΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΣΕ ΕΝΑ ΣΧΟΛΕΙΟ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΕΥΚΑΙΡΙΑΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ ΣΕ ΕΝΗΛΙΚΕΣ: ΜΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΣΕ ΕΝΑ ΣΧΟΛΕΙΟ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΕΥΚΑΙΡΙΑΣ Ανεστάκης Πέτρος & Λεμονίδης Χαράλαμπος Παιδαγωγικό Δημοτικής Εκπαίδυσης, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας petrosan@hotmail.gr & xlemon@uowm.gr Σκοπός της παρούσας έρευνας είναι να μελετήσει τις επιδόσεις και τις στρατηγικές ενήλικων εκπαιδευόμενων ενός Σχολείου Δεύτερης Ευκαιρίας σε προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης, πριν και μετά από τη διδασκαλία στρατηγικών εκτίμησης. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι ενήλικες μπορούν να εκτιμήσουν, με πιο συχνή στρατηγική τη στρογγυλοποίηση. Έγινε διαχωρισμός των συμμετεχόντων σε ομάδες ικανοτήτων για την παρουσίαση των αποτελεσμάτων, αφού παρουσιάστηκαν διαφοροποιήσεις ανάλογα με την προϋπάρχουσα γνώση και εμπειρία. Τέλος, γίνεται συζήτηση σχετικά με τις διαφορές που παρατηρήθηκαν στη μάθηση των υπολογιστικών εκτιμήσεων και προτείνεται η ένταξή τους στα προγράμματα αριθμητισμού ενηλίκων. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι υπολογιστικές εκτιμήσεις αποτελούν ένα πεδίο μελέτης που απασχολεί τους ερευνητές της διδακτικής των μαθηματικών, καθώς η βιβλιογραφία ανανεώνεται συνεχώς με νέα ευρήματα. Αναφορικά με τη συμπεριφορά των μαθητών στην εκτίμηση υπολογισμών, οι Tsao & Pan (011), σε δείγμα 5 μαθητών και μαθητριών Ε τάξης Δημοτικού, διαπίστωσαν μια μέτρια επίδοση στο τεστ υπολογιστικών εκτιμήσεων (58,48% επιτυχία γενικά), με σημαντικότερες δυσκολίες στην εκτίμηση με κλάσματα (επιτυχία μόλις 46,6%). Έπειτα, οι Yang & Wu (01) διερεύνησαν τη σημασία του πλαισίου στα προβλήματα εκτίμησης δίνοντας δύο τεστ σε 198 μαθητές της Β Γυμνασίου, ένα με καθαρά αριθμητικά προβλήματα εκτίμησης και ένα με πλαισιωμένα. Οι συμμετέχοντες παρουσίασαν καλύτερες επιδόσεις στα καθαρά αριθμητικά προβλήματα, αφού φαίνεται πως είναι απαιτητική η ερμηνεία και η μετάφραση του πλαισίου σε αριθμητικές παραστάσεις. Εκτός από τους μαθητές, και οι εκπαιδευτικοί απασχολούν τους ερευνητές. Από τη μια, οι Δεσλή & Ανεστάκης (014) σε δείγμα 11 υποψήφιων εκπαιδευτικών δημοτικής εκπαίδευσης διαπίστωσαν καλή επίδοση (68% επιτυχία γενικά) στις υπολογιστικές εκτιμήσεις με διαφοροποιήσεις ανάλογα

με το είδος προβλήματος. Από την άλλη, ο Tsao (01) αναφέρει χαμηλήμέτρια επίδοση (65,8%) υποψήφιων εκπαιδευτικών και μια ουδέτερη στάση για τη χρησιμότητα και την ωφέλεια των υπολογιστικών εκτιμήσεων. Έπειτα, οι έρευνες στον χώρο των ενηλίκων έδειξαν καλύτερη υπολογιστική ικανότητα σε σχέση με την ικανότητα εκτίμησης, καθώς και την επικράτηση της στρογγυλοποίησης ως κυρίαρχη στρατηγική εκτίμησης (Hanson & Hogan, 000). Οι Lemaire, Arnaud & Lecacheur (004) διερεύνησαν την ικανότητα υπολογιστικής εκτίμησης ενηλίκων και βρήκαν αφενός ποικιλία στρατηγικών ανάλογα με το πρόβλημα και αφετέρου προσαρμογή των ενηλίκων στις απαιτήσεις ακρίβειας. Οι Imbo & LeFevre (011), τέλος, σε μια διαπολιτισμική έρευνα με Βέλγους και Κινέζους, διαπίστωσαν ότι οι Ασιάτες, παρόλο που ήταν πιο γρήγοροι και ακριβείς, ήταν λιγότερο ευέλικτοι και προσαρμοστικοί στην επιλογή στρατηγικής σε σχέση με τους Βέλγους λόγω διαφορών στις εκπαιδευτικές εμπειρίες και στις στάσεις (οι Ασιάτες προτιμούν την ακρίβεια). Έχουν, επίσης, πραγματοποιηθεί και πειράματα με διδακτικές παρεμβάσεις με θέμα τις εκτιμήσεις. Οι Star & Rittle-Johnson (009), για παράδειγμα, ανέφεραν βελτίωση των διαδικαστικών γνώσεων μαθητών που συμμετείχαν σε διδακτική παρέμβαση σχετικά με υπολογιστικές εκτιμήσεις και διαπίστωσαν ότι η σύγκριση στρατηγικών μπορεί να οδηγήσει σε μεγαλύτερη ευελιξία. Βελτίωση της επίδοσης των μαθητών στις εκτιμήσεις ύστερα από παρέμβαση βρήκαν και οι Mildenhall & Hackling (01). Ωστόσο, διαπιστώθηκε ταυτόχρονα η πεποίθηση-αντίσταση των μαθητών ότι στα μαθηματικά υπάρχει μόνο μια σωστή απάντηση. Θετική ήταν, τέλος, η εμπειρία της εκπαιδευτικού που συμμετείχε στη διδακτική παρέμβαση, η οποία διεύρυνε την παιδαγωγική γνώση περιεχομένου: οι εκτιμήσεις είναι χρήσιμες για την ανάπτυξη της αίσθησης του αριθμού, όχι μόνο για έλεγχο τυπικών αλγορίθμων (Mildenhall, Hackling & Swan, 009). Παρά την υπάρχουσα ερευνητική εμπειρία στον χώρο των εκτιμήσεων, η παρούσα μελέτη στοχεύει στον εμπλουτισμό του χώρου με νέα δεδομένα από την εκπαίδευση ενηλίκων. Σκοπός είναι η διερεύνηση των αλλαγών στις επιδόσεις και τις στρατηγικές ενηλίκων σε προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης. Όλοι οι ενήλικες ωφελήθηκαν εξίσου από τη διδασκαλία ή διαπιστώθηκαν διαφορές στη μάθησή τους; ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Το πείραμα έλαβε χώρα σε ένα Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας (ΣΔΕ) της Κεντρικής Μακεδονίας, όπου το μάθημα του αριθμητισμού δίδασκε μια

μαθηματικός με μεταπτυχιακό στα θεωρητικά μαθηματικά και τετραετή εμπειρία ως αναπληρώτρια στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Συμμετέχοντες. Συμμετείχαν 15 ενήλικες εκπαιδευόμενοι (10 άντρες, 5 γυναίκες) ηλικίας από 19 έως και 65. Εργάζονταν οι έξι, οι οκτώ ήταν άνεργοι και η μία συνταξιούχος. Όλοι είχαν Απολυτήριο Δημοτικού και φοιτούσαν στον Α Κύκλο του ΣΔΕ. Σχεδιασμός του πειράματος. Αρχικά (φάση Ι), ο ερευνητής παρακολουθούσε για πέντε βδομάδες το μάθημα του αριθμητισμού στο ΣΔΕ για πολλούς λόγους. Πρώτον, για να εξοικειωθεί με τους εκπαιδευόμενους. Δεύτερον, για να παρατηρήσει τις πρακτικές διδασκαλίας της μαθηματικού της τάξης. Τρίτον, για να διαπιστώσει εμπειρικά το επίπεδο των εκπαιδευόμενων στα μαθηματικά. Για αυτό, κράτησε σημειώσεις πεδίου με τις δυσκολίες τους. Έπειτα (φάση ΙΙ), σχεδιάστηκαν φύλλα εργασίας με προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης για να τα χρησιμοποιήσει η μαθηματικός προκειμένου να στηρίξει την πορεία μάθησης και διδασκαλίας των εκτιμήσεων. Αποκλείστηκαν έννοιες δύσκολες, όπως τα κλάσματα, ενώ τα προβλήματα είχαν πλαίσιο από την καθημερινότητα των συμμετεχόντων. Ακόμη, ο ερευνητής επιμόρφωσε τη μαθηματικό που θα υλοποιούσε την πειραματική διδασκαλία (όχι με επίδειξη αλλά με συζήτηση πάνω στα φύλλα εργασίας) σε συγκεκριμένους άξονες: έννοια και χρησιμότητα των εκτιμήσεων, τροχιά διδασκαλίας-μάθησης των υπολογιστικών εκτιμήσεων, κρίσιμες ιδέες και προτάσεις για τη διδασκαλία και στρατηγικές εκτίμησης. Τέλος (φάση ΙΙΙ), σχεδιάστηκαν τα εργαλεία μέτρησης που ήταν αναγκαία στις συνεντεύξεις των εκπαιδευόμενων για τη μέτρηση των επιδόσεων και των στρατηγικών τους σε προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης. Το εργαλείο μέτρησης περιείχε 9 ρεαλιστικά προβλήματα, τέσσερα με προσθετικές καταστάσεις (π.χ. Ο Ηλίας έχει 50 στο πορτοφόλι του. Θέλει να πληρώσει 9,75 για τα κοινόχρηστα του μήνα και 19,65 για τον λογαριασμού του νερού. Του φτάνουν τα λεφτά;) και πέντε με πολλαπλασιαστικές (π.χ. Το σχολείο μας συγκέντρωσε χρήματα για μια εκδήλωση. Και οι 8 μαζί, μαθητές και καθηγητές, έβαλαν από ο καθένας. Μάζεψαν περισσότερα ή λιγότερα από 90 ;). Επειδή πραγματοποιήθηκαν δύο συνεντεύξεις, πριν και μετά την πειραματική διδασκαλία, προκειμένου να είναι συγκρίσιμες οι επιδόσεις των συμμετεχόντων πριν και μετά, τα προβλήματα του εργαλείου είχαν τα ίδια αριθμητικά δεδομένα και στους δυο ελέγχους αλλά διέφερε το ρεαλιστικό πλαίσιο της εκφώνησης. Τέλος, σχεδιάστηκε μια εύκολη παραλλαγή του εργαλείου για δυο συμμετέχουσες με δυσκολίες μάθησης. Αυτή η απλούστερη εκδοχή του περιείχε μόνο 6 από

τα 9 προβλήματα, τρία με προσθετικές καταστάσεις υπολογισμού και τρία με πολλαπλασιαστικές, με αριθμητικά δεδομένα με μικρή τιμή. Για παράδειγμα, κανένας δεκαδικός δεν ξεπερνούσε το ένα ακέραιο ψηφίο. Διαδικασία. Η πειραματική διδασκαλία των υπολογιστικών εκτιμήσεων είχε διάρκεια επτά διδακτικών ωρών σε διάστημα τριών βδομάδων (1 φύλλο εργασίας ανά βδομάδα). Η ικανότητα εκτίμησης των εκπαιδευόμενων μετρήθηκε δύο φορές, πριν και μετά από τη διδακτική παρέμβαση, με ατομικές συνεντεύξεις διάρκειας περίπου 15 λεπτών η καθεμιά. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Για την παρουσίαση της συμπεριφοράς των ενηλίκων πριν και μετά από τη μάθηση των στρατηγικών επίλυσης υπολογιστικών εκτιμήσεων έγινε ένας διαχωρισμός του δείγματος σε τρεις ομάδες: στην ομάδα υψηλής επίδοσης, στην ομάδα μέτριας επίδοσης και στην ομάδα χαμηλής επίδοσης. Στην ομάδα υψηλής επίδοσης ανήκουν τέσσερις εκπαιδευόμενοι που είχαν προηγούμενες γνώσεις και εμπειρίες στις εκτιμήσεις και τους νοερούς υπολογισμούς: μια εκπαιδευόμενη που μετέτρεπε τα μάρκα σε δραχμές ως μετανάστρια στη Γερμανία, ένας εκπαιδευόμενος που δουλεύει σε φούρνο και υπολογίζει τις ποσότητες των συστατικών ανάλογα με το πλήθος ψωμιών που θέλει να βγάλει και δυο τεχνίτες που ασχολούνται με μετρήσεις μηκών και επιφανειών, ο ένας πλακατζής κι ο άλλος τοποθετεί γυψοσανίδες. Επιπλέον, οι εκπαιδευόμενοι αυτοί είχαν ήδη πολύ καλές επιδόσεις στα προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης, πριν ακόμη από την πειραματική διδασκαλία, με τουλάχιστον 7 σωστές απαντήσεις με νοερή στρατηγική ο καθένας στον έλεγχο πριν (βλ. Μ1-Μ4 στο Σχήμα 1). Μάλιστα, ήταν και οι μόνοι που είχαν άριστη επίδοση (9/9) στον έλεγχο μετά. Η ομάδα χαμηλής περιλαμβάνει δύο εκπαιδευόμενες (Μ14 & Μ15), οι οποίες είχαν σοβαρές δυσκολίες μάθησης. Οι δυσκολίες αυτές είχαν γίνει αντιληπτές από τον ερευνητή ήδη κατά το στάδιο της προετοιμασίας της έρευνας, επισημάνθηκαν επανειλημμένα από τη μαθηματικό της τάξης και επιβεβαιώθηκαν από την ψυχολόγο του σχολείου, η οποία είπε ότι, αν και δεν έχει γίνει διάγνωση από επίσημο φορέα, αυτές οι δυσκολίες μάθησης συνδυάζονται με προβλήματα χαμηλής αυτοεκτίμησης. Για τις μαθήτριες αυτές χρησιμοποιήθηκε η «εύκολη» παραλλαγή του εργαλείου μέτρησης. Στην ομάδα μέτριας επίδοσης ανήκουν οι υπόλοιποι εννιά εκπαιδευόμενοι (βλ. Μ5-Μ1 στο Σχήμα 1), οι οποίοι ανέφεραν πως δε χρησιμοποιούν νοερούς υπολογισμούς ή εκτιμήσεις στη δουλειά ή στην καθημερινότητα.

M1 M M M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M1 M1 Μ14 Μ15 Στο Σχήμα 1 που ακολουθεί παρουσιάζονται συγκεντρωτικά για όλους τους συμμετέχοντες οι σωστές απαντήσεις (πριν και μετά) που δόθηκαν με χρήση νοερής στρατηγικής, δηλαδή είτε με υπολογιστική εκτίμηση, είτε με (ακριβή) νοερό υπολογισμό ή και διαισθητικά. Ο μέγιστος δυνατός αριθμός σωστών απαντήσεων είναι 9 για τους συμμετέχοντες Μ1 με Μ1 και 6 για τις συμμετέχουσες Μ14 και Μ15 που εξετάστηκαν με άλλο εργαλείο. 9 9 9 9 9 8 8 7 Πριν 8 7 6 6 5 5 7 7 4 4 4 6 6 Μετά 8 5 Σχήμα 1: Οι συχνότητες των σωστών απαντήσεων με νοερή στρατηγική ανά εκπαιδευόμενο στους ελέγχους πριν και μετά (max=9 για Μ1-Μ1, max=6 για Μ14-Μ15) Στη συνέχεια παρουσιάζονται αναλυτικά οι στρατηγικές εκτίμησης των συμμετεχόντων με βάση το επίπεδο της επίδοσής τους. Ομάδα υψηλής επίδοσης Η ομάδα υψηλής επίδοσης απάντησε με επιτυχία σε όλα τα προβλήματα (βλ. Σχήμα ) χρησιμοποιώντας κυρίως νοερές στρατηγικές και σπάνια άλλες στρατηγικές, όπως γραπτό αλγόριθμο ή αριθμομηχανή (μόλις τέτοιες απαντήσεις). Το είδος της ζητούμενης πράξης δε φαίνεται να επηρέασε τις απαντήσεις τους. Συνολικά, σημειώθηκε μόνο μία λανθασμένη απάντηση στις δοκιμασίες. Λανθασμένες Με άλλη στρατηγική Με νοερή στρατηγική 1 1 15 16 17 πριν μετά πριν μετά Πρόσθεση-αφαίρεση 0 Πολλαπλασιασμός-διαίρεση Σχήμα : Οι συχνότητες των απαντήσεων των εκπαιδευόμενων με υψηλή επίδοση (Ν=4) στους ελέγχους πριν και μετά ως προς το είδος της πράξης

Αναφορικά με τις νοερές στρατηγικές, διαπιστώθηκε ότι στον έλεγχο πριν οι εκπαιδευόμενοι βασίζονταν κυρίως σε νοερούς υπολογισμούς, οι οποίοι είναι ακριβείς και όχι προσεγγιστικοί. Ωστόσο, μετά την πειραματική διδασκαλία, υπερδιπλασιάστηκε η συχνότητα χρήσης της στρογγυλοποίησης και σημειώθηκε με μια μικρή υποχώρηση των νοερών υπολογισμών με ακρίβεια (βλ. Σχήμα ). Υποκατάσταση Εμπρόσθιου άκρου Συμβατοί αριθμοί Στρογγυλοποίηση & αντιστάθμιση Εμπρόσθιου άκρου & αντιστάθμιση Νοερός υπολογισμός Στρογγυλοποίηση 1 4 4 7 10 15 17 πριν μετά Σχήμα : Οι συχνότητες των νοερών στρατηγικών των εκπαιδευόμενων με υψηλή επίδοση (Ν=4) στους ελέγχους πριν και μετά Ομάδα μέτριας επίδοσης Οι εκπαιδευόμενοι που ανήκουν σε αυτή την ομάδα απάντησαν επιτυχώς στα προβλήματα εκτίμησης, με νοερή ή άλλη στρατηγική, αλλά έκαναν και μερικά λάθη (βλ. Σχήμα 4). Συγκεκριμένα, διαπιστώθηκε δυσκολία στα προβλήματα που απαιτούσαν πολλαπλασιασμό ή διαίρεση, αφού οι εννιά εκπαιδευόμενοι έδωσαν συνολικά 16 λανθασμένες απαντήσεις στον έλεγχο πριν, σημαντικά περισσότερες από τις 6 λανθασμένες απαντήσεις που έδωσαν στα προσθετικά προβλήματα. Λανθασμένες Με άλλη στρατηγική Με νοερή στρατηγική 9 6 4 16 5 11 1 9 1 19 17 πριν μετά πριν μετά Πρόσθεση-αφαίρεση Πολλαπλασιασμός-διαίρεση Σχήμα 4: Οι συχνότητες των απαντήσεων των εκπαιδευόμενων με μέτρια επίδοση (Ν=9) στους ελέγχους πριν και μετά ως προς το είδος της πράξης Παρά τις αρχικές δυσκολίες, η διδακτική παρέμβαση φαίνεται πως είχε αποτέλεσμα, γιατί όχι μόνο μειώθηκαν οι λανθασμένες απαντήσεις αλλά και αυξήθηκαν σημαντικά οι σωστές απαντήσεις που βασίζονταν σε νοερές

στρατηγικές. Αναλύοντας τις μεταβολές στις συχνότητες των νοερών στρατηγικών μετά από την παρέμβαση, διαπιστώνονται δυο τάσεις. Από τη μία, η συχνότητα χρήσης της στρογγυλοποίησης υπερδιπλασιάστηκε ύστερα από την πειραματική διδασκαλία (βλ. Σχήμα 5). Από την άλλη, αυξήθηκε η συχνότητα χρήσης της στρατηγικής της αντιστάθμισης. Ομαδοποίηση Υποκατάσταση Εμπρόσθιου άκρου Στρογγυλοποίηση & αντιστάθμιση Εμπρόσθιου άκρου & αντιστάθμιση Νοερός υπολογισμός Στρογγυλοποίηση 1 6 9 10 1516 6 πριν μετά Σχήμα 5: Οι συχνότητες των νοερών στρατηγικών των εκπαιδευόμενων με μέτρια επίδοση (Ν=9) στους ελέγχους πριν και μετά Ομάδα χαμηλής επίδοσης Μέχρι στιγμής διαπιστώθηκε μια τάση αύξησης των απαντήσεων με νοερή στρατηγική και στις δυο προηγούμενες ομάδες, η οποία επιβεβαιώνεται και ατομικά στον κάθε εκπαιδευόμενο, όπως φάνηκε στο Σχήμα 1. Ωστόσο, δεν διαπιστώθηκε παρόμοια τάση στις μαθήτριες με δυσκολίες μάθησης (Μ14- Μ15). Αντίθετα με τον υπόλοιπο πληθυσμό του δείγματος, οι συγκεκριμένες συμμετέχουσες δε χρησιμοποίησαν τη στρατηγική της στρογγυλοποίησης ούτε μια φορά (βλ. Σχήμα 6). Ακόμη, παρατηρήθηκε ότι η διδασκαλία των εκτιμήσεων δεν προκάλεσε καμία αλλαγή στη συμπεριφορά τους. Με αριθμομηχανή (Σ) Νοερός υπολογισμός (Σ) Εμπρόσθιου άκρου (Σ) Διαισθητικά (Σ) Αριθμομηχανή (Λ) Στην τύχη (Λ) 1 1 1 1 1 1 4 πριν μετά πριν μετά Μ14 Μ15 Σχήμα 6: Οι σωστές (Σ) και λανθασμένες (Λ) απαντήσεις των μαθητριών με δυσκολίες μάθησης (Μ14 & Μ15) στους ελέγχους πριν και μετά Η μία μαθήτρια (Μ14) απάντησε λανθασμένα και στα έξι προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης στον έλεγχο πριν, παρόλο που χρησιμοποίησε την αριθμομηχανή τρεις φορές. Το ίδιο παρατηρήθηκε και στον έλεγχο μετά, αν

και απάντησε σωστά σε δυο προβλήματα σε ένα με προσθετική κατάσταση και σε ένα με πολλαπλασιαστική- με τη χρήση της αριθμομηχανής. Η άλλη μαθήτρια (Μ15), σε αντίθεση με την προηγούμενη, δεν άγγιξε ούτε την αριθμομηχανή ούτε το μολύβι και το χαρτί. Απαντούσε στην τύχη στα προβλήματα που τη δυσκόλεψαν, ενώ οι σωστές της απαντήσεις ήταν πανομοιότυπες στους δυο ελέγχους. Συγκεκριμένα, παρουσίασε τρεις νοερές στρατηγικές: νοερό υπολογισμό με ακρίβεια, στρατηγική εμπρόσθιου άκρου και διαισθητική απάντηση. Τις δύο πρώτες τις παρουσίασε σε προσθετικά προβλήματα, ενώ την Τρίτη σε πρόβλημα με πολλαπλασιασμό. ΣΥΖΗΤΗΣΗ Τα αποτελέσματα προτείνουν ότι, σε γενικές γραμμές, οι ενήλικες μπορούν να δώσουν απάντηση σε προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης. Κυρίαρχη στρατηγική εκτίμησης αναδείχθηκε η στρογγυλοποίηση και στους δυο ελέγχους. Η συχνή χρήση της ίσως οφείλεται στη δυνατότητα γενίκευσής της σε όλες τις καταστάσεις υπολογισμού. Έπειτα, διαπιστώθηκαν διαφορές στις επιδόσεις των ενηλίκων ανάλογα με μια σειρά από παράγοντες. Πρώτον, οι προϋπάρχουσες γνώσεις και εμπειρίες είναι καθοριστικές για την ικανότητα υπολογιστικής εκτίμησης, όπως βρήκαν και οι Star, Rittle- Johnson, Lynch & Perova (009). Η προηγούμενη εμπειρία της ομάδας υψηλής επίδοσης σε εκτιμήσεις μέτρων και σε (ακριβείς) νοερούς υπολογισμούς αποτυπώθηκε στις υψηλές επιδόσεις τους και στις δυο μετρήσεις. Είναι γνωστό ότι επαγγελματίες όπως οι οικοδόμοι, οι πλακατζήδες και όσοι χρησιμοποιούν συστηματικά μετρήσεις παρουσιάζουν μεγάλη ικανότητα εκτίμησης (Λεμονίδης, 01). Η σχέση αυτή αξίζει να διερευνηθεί περαιτέρω. Δεύτερον, το είδος της πράξης μπορεί να επηρεάσει την επίδοση. Στον έλεγχο πριν, η ομάδα μέτριας επίδοσης έδωσε λιγότερες απαντήσεις με νοερή στρατηγική αλλά και έκανε περισσότερα λάθη στα πολλαπλασιαστικά προβλήματα σε σύγκριση με τα προσθετικά προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης. Το εύρημα αυτό έρχεται σε συμφωνία με άλλες έρευνες (Tsao, 01; Bana & Dolma, 004; Hanson & Hogan, 000), που αναφέρουν καλύτερη επίδοση σε προσθετικές καταστάσεις εκτίμησης, δεδομένου ότι η ικανότητα εκτίμησης εξαρτάται από την υπολογιστική ικανότητα. Τρίτον, η ομάδα χαμηλής επίδοσης ίσως υποδεικνύει ότι οι δυσκολίες μάθησης μπορεί να οδηγούν σε δυσκολία υπολογιστικής εκτίμησης εξαιτίας μιας μάλλον κακής αίσθησης του αριθμού. Σε τέτοιες περιπτώσεις είναι

αναγκαία η διάγνωση των δυσκολιών και ο σχεδιασμός παρεμβάσεων για την ανάπτυξη εννοιολογικής κατανόησης και για μια καλή αίσθηση του αριθμού (Gersten, Jordan & Flojo, 005). Τέλος, αν και η διδασκαλία ωφέλησε κυρίως την ομάδα μέτριας επίδοσης, προτείνεται η συστηματική διδασκαλία των υπολογιστικών εκτιμήσεων στα προγράμματα αριθμητισμού, μέσα από καταστάσεις εκτίμησης που έχουν νόημα, και όχι η ενσωμάτωσή τους στο αναλυτικό πρόγραμμα με τρόπο επιφανειακό και περιορισμένο, όπως συνέβαινε ως τώρα (Segovia & Castro, 009), με σκοπό την ανάπτυξη της αίσθησης του αριθμού των ενηλίκων και τη βελτίωση. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Bana, J., & Dolma, P. (004). The relationship between the estimation and computation abilities of Year 7 students. In I. Putt, R. Faragher & M. McLean (Eds.), Proceedings of the 7 th annual conference of the Mathematic Education Research Group of Australasia (Vol. 1, pp. 6-70). Townsville: MERGA. Δεσλή, Δ., & Ανεστάκης, Π. (014). Υπολογιστικές εκτιμήσεις και η διδασκαλία τους: επιδόσεις, στρατηγικές και στάσεις υποψήφιων εκπαιδευτικών. Πρακτικά του 5ου Πανελλήνιου Συνεδρίου της Ένωσης Ερευνητών Διδακτικής Μαθηματικών. Φλώρινα: Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Gersten, R., Jordan, N. C., & Flojo, J. R. (005). Early Identification and Interventions for Students With Mathematics Difficulties. Journal of Learning Disabilities, 8(4), 9 04. Hanson, S. A. & Hogan, T. P. (000). Computational estimation skill of college students. Journal for Research in Mathematics Education, 1(4), 48-499. Imbo, I., & LeFevre, J.-A. (011). Cultural differences in strategic behavior: A study in computational estimation. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 7(5), 194 101. Lemaire, P., Arnaud, L., & Lecacheur, M. (004). Adults Age-Related Differences in Adaptivity of Strategy Choices: Evidence From Computational Estimation. Psychology and Aging, 19(), 467 481. Λεμονίδης, Χ. (01). Μαθηματικά της φύσης και της ζωής: νοεροί υπολογισμοί. Θεσσαλονίκη: Ζυγός.

Mildenll, P., & Hackling, M. (01). The Impact of a Professional Learning Intervention Designed to Enhance Year Six Students Computational Estimation Performance. In J. Dindyal, L. P. Cheng & S. F. Ng (Eds.), Mathematics education: Expanding horizons (Proceedings of the 5th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia). Singapore: MERGA. Mildenhall, P., Hackling, M., & Swan, P. (009). Computational estimation in the primary school: A single case study of one teache s involvement in a professional learning intervention. In L. Sparrow, B. Kissane, & C. Hurst (Eds.), Shaping the future of mathematics education: Proceedings of therd annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia. Fremantle: MERGA. Segovia, I. & Castro, E. (009). Computational and measurement estimation: curriculum foundations and research carried out at the University of Granada. Electronic Journal of Research in Educational Psychology, 17, Vol 7(1), 499-59. Star, J. R., & Rittle-Johnson, B. (009). It pays to compare: An experimental study on computational estimation. Journal of Experimental Child Psychology, 10(4), 408 46. Star, J. R., Rittle-Johnson, B., Lynch, K., & Perova, N. (009). The role of prior knowledge in the development of strategy flexibility: the case of computational estimation. ZDM, 41(5), 569 579. Tsao, Y. L. (01). Computational Estimation and Computational Estimation Attitudes of Pre-service Elementary Teachers. US-China Education Review B, (11), 85-846. Tsao, Y. L., & Pan, T. R. (011). Study on the Computational Estimation Performance and Computational Estimation Attitude of Elementary School Fifth Graders in Taiwan. US-China Education Review, 8(), 64-75. Tsao, Y. L., & Pan, T. R. (01). The computational estimation and instructional perspectives of elementary school teachers. Journal of Instructional Pedagogies, 11, 1-15. Yang, D. C., & Wu, S. S. (01). Examining the Differences of the 8th- Graders Estimation Performance Between Contextual and Numerical Problems. US-China Education Review A, 1, 1061-1067.