Μια νέα πρόταση διδασκαλίας στα μαθηματικά για τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού σχολείου

1 Το παρακάτω άρθρο δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Θέματα στην Εκπαίδευση το 2002. Η πλήρης αναφορά είναι η εξής: Χ. Λεμονίδης (2002). Μια νέα πρόταση διδασκαλίας στα Μαθηματικά για τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Θέματα στην Εκπαίδευση. Τόμος 3/1, σελ. 5-22. Μια νέα πρόταση διδασκαλίας στα μαθηματικά για τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού σχολείου Χαράλαμπος Λεμονίδης Lemonidi@eled-fl.auth.gr Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Φλώρινας, Α.Π.Θ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία αυτή αναφέρεται σε μια νέα διδασκαλία που εφαρμόστηκε πειραματικά στις δύο πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Η νέα διδασκαλία που προτείνεται αμφισβητεί την στρουκτουραλιστική δομή των μαθηματικών με βάση τη θεωρία των συνόλων και εισάγει μια σειρά από αλλαγές σε θεωρητικό επίπεδο όσον αφορά τη διαδικασία διδασκαλία/μάθηση αλλά και στο περιεχόμενο της διδασκαλίας. Αρχικά γίνεται αναφορά σε καινοτόμες σύγχρονες προτάσεις διδασκαλίας από το διεθνή χώρο όπως, τα ρεαλιστικά μαθηματικά των Ολλανδών, τα Standards 2000 των Αμερικάνων και το Εθνικό Πρόγραμμα Αριθμητισμού των Άγγλων. Με βάση τις σύγχρονες διδακτικές θεωρίες, τα ερευνητικά και πειραματικά δεδομένα προσδιορίζονται έξι θεωρητικές αρχές διδασκαλίας/μάθησης που σκιαγραφούν τη διδακτική μας πρόταση. Είναι αρκετές και σημαντικές οι αλλαγές στο περιεχόμενο, και αφορούν τους αριθμούς και τις πράξεις, τα προβλήματα, τις γεωμετρικές έννοιες και τις μετρήσεις. Η εφαρμογή της νέας αυτής διδασκαλίας βελτιώνει θεαματικά την επίδοση των μαθητών. Για παράδειγμα, γνωρίζουν περισσότερο και σε μεγαλύτερο βάθος τους αριθμούς, εκτελούν με πολύ μεγαλύτερη άνεση τις νοερές και γραπτές πράξεις και εφαρμόζουν πιο αφηρημένες διαδικασίες υπολογισμού. Αντιμετωπίζουν και λύνουν με μεγαλύτερη άνεση τα προβλήματα και χαράσσουν με μεγαλύτερη ευχέρεια σχήματα. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε ένα σχολείο ζωντανό και σύγχρονο που επικοινωνεί και αλληλοτροφοδοτείται από την κοινωνία στην οποία συμμετέχει, η διδασκαλία του ανανεώνεται και προσαρμόζεται κάθε φορά στα νέα κοινωνικά και επιστημονικά δεδομένα. Στην Ελλάδα η τελευταία επίσημη αλλαγή αναλυτικών προγραμμάτων και βιβλίων στο δημοτικό σχολείο πραγματοποιήθηκε στη αρχή της δεκαετίας του 80. Με την αλλαγή αυτή περάσαμε από τη διδασκαλία των παραδοσιακών μαθηματικών που ίσχυαν από τον περασμένο αιώνα, σε μια διδασκαλία που ήταν επηρεασμένη από το κίνημα των

2 λεγόμενων Μοντέρνων Μαθηματικών. Εδώ και μια εικοσαετία δεν έγινε καμιά επίσημη αλλαγή στα αναλυτικά προγράμματα και βιβλία του Δημοτικού σχολείου. Τα περιεχόμενα που αναπτύσσονται με βάση τη θεωρία των συνόλων και τη στρουκτουραλιστική λογική της διδασκαλίας των μαθηματικών είναι σήμερα ξεπερασμένα από το χρόνο (Λεμονίδης, Χ., 1988, Βαϊνάς, Κ., 1997). Ο τρόπος διδασκαλίας μέσα στην τάξη από τους εκπαιδευτικούς αλλά και ο τρόπος παρουσίασης της ύλης από τα διδακτικά εγχειρίδια γίνεται με τη λογική της μετάδοσης της τυπικής γνώσης από το δάσκαλο στο μαθητή. Τόσο στα βιβλία όσο και στην καθημερινή διδασκαλία οι προϋπάρχουσες γνώσεις του παιδιού καθώς επίσης κι ο τρόπος κατανόησης των μαθηματικών από την πλευρά του μαθητή δεν αποτελούν την βάση της διδασκαλίας. Σήμερα επικρατούν νέα κοινωνικά δεδομένα, για παράδειγμα, τα παιδιά ζούνε σε ένα περιβάλλον που μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε ψηφιακό, δέχονται περισσότερες πληροφορίες και ερεθίσματα από παλαιότερα. Η επιστήμη διαθέτει πολλά δεδομένα για τον τρόπο κατανόησης των παιδιών, δεδομένα από πειράματα σύγχρονων διδασκαλιών σε πολλά περιεχόμενα κ.ά. Με αφορμή τις παραπάνω ελλείψεις που παρουσιάζονται στην εκπαίδευσή μας και τις νέες προκλήσεις της εποχής, εδώ και αρκετό καιρό στο Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Φλώρινας ερευνούμε και εφαρμόζουμε μια νέα πρόταση διδασκαλίας για τις πρώτες τάξεις του δημοτικού σχολείου. Με βάση τα δεδομένα ερευνών από ελληνικά σχολεία και τα σύγχρονα επιστημονικά δεδομένα συντάχτηκε μια νέα πρόταση διδασκαλίας την οποία εφαρμόζουμε στα πειραματικά σχολεία του πανεπιστημίου μας. Στην εργασία αυτή αρχικά θα παρουσιάσουμε τις εμπειρίες νεωτεριστικών ερευνητικών προγραμμάτων διδασκαλίας από άλλα εκπαιδευτικά συστήματα, όπως τα ρεαλιστικά μαθηματικά της Ολλανδίας, τα Standards 2000 της Αμερικής και το Εθνικό Πρόγραμμα Αριθμητισμού της Αγγλίας. Θα αναπτύξουμε τις θεωρητικές αρχές της δικής μας διδασκαλίας και τις προτάσεις για την αλλαγή του περιεχομένου. Τέλος, θα αξιολογήσουμε και θα συγκρίνουμε τις επιδόσεις των μαθητών που διδάχτηκαν με τη νέα διδασκαλία με τις επιδόσεις των μαθητών που διδάσκονται με την κλασική διδασκαλία. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗ ΔΙΕΘΝΗ ΕΜΠΕΙΡΙΑ Στη διδακτική των μαθηματικών υπάρχουν ερευνητικά προγράμματα που προσφέρουν μια θεωρητική βάση για την οργάνωση της διαδικασίας διδασκαλίαςμάθησης και επικεντρώνονται στην ανάπτυξη και στη εξέταση διδακτικών θεωριών και πρακτικών προτάσεων για τη διδασκαλία. Σε αυτά τα προγράμματα θα αναφερθούμε εδώ παρουσιάζοντας δύο ενδεικτικά παραδείγματα από τη διεθνή εμπειρία. Μερικά από αυτά τα προγράμματα είναι: Ανοιχτά προβλήματα στην Ιαπωνική ανοιχτή προσέγγιση (Hashimoto 1987, Becker et al. 1990), Χρήση θεμελιωδών ιδεών στο Γερμανικό πρόγραμμα mathe 2000 (Wittmann 1991, 1995), το πρόγραμμα M.A.T.H. (Lampert 1986, 1990), το Μαθηματικοποίηση, Μοντελοποίηση, Επικοινωνία σε πρόγραμμα μεταρρύθμισης των τάξεων (Cobb & Yackel 1993), το πρόγραμμα Γνωστικά Καθοδηγούμενη Διδασκαλία (Fennema, Carpenter & Peterson 1989), κ.ά. Στη συνέχεια θα αναφερθούμε ειδικά σε δύο συνολικές προτάσεις διδασκαλίας, ρεαλιστική μαθηματική εκπαίδευση στην Ολλανδία και Standards 2000 στις

3 Ηνωμένες Πολιτείες της Αμερικής, οι οποίες αφορούν το πρόγραμμα του δημοτικού σχολείου αλλά και τις επόμενες βαθμίδες. Ρεαλιστική μαθηματική εκπαίδευση Αυτό που είναι σήμερα γνωστό ως διδακτική θεωρία της Ρεαλιστικής Μαθηματικής Εκπαίδευσης (Realistic Mathematics Education, RME) άρχισε να αναπτύσσεται το 1968 με τη μεταρρυθμιστική κίνηση του προγράμματος Wiskobas (από την Ολλανδική βραχυγραφία του μαθηματικά στη δημοτική εκπαίδευση ). Σε αντίθεση με τις περισσότερες δυτικές χώρες, τα Σύγχρονα Μαθηματικά δεν επηρέασαν τη δημοτική εκπαίδευση στην Ολλανδία. Έτσι το πρόγραμμα Wiskobas δεν αναπτύχθηκε ως αντίδραση στο στρουκτουραλισμό, αλλά στη μηχανική προσέγγιση που κυριαρχούσε στην Ολλανδική διδακτική πράξη (Treffers 1991). Το πρόγραμμα αυτό επιχειρούσε να αλλάξει την πρακτική της διδασκαλίας σε ευρεία κλίμακα χρησιμοποιώντας την εκπαίδευση εκείνων των υποψήφιων δασκάλων που βρίσκονταν στην υπηρεσία, την εκπαίδευση των συμβούλων των εκπαιδευτών, των ερευνητών, την ανάπτυξη των αναλυτικών προγραμμάτων, των σχολικών βιβλίων και της αξιολόγησης (Treffers 1993, p.103). Η σημερινή μορφή της Ρεαλιστικής Μαθηματικής Εκπαίδευσης (RME) έχει επηρεαστεί κυρίως από την οπτική του Freudenthal για τα μαθηματικά. Αυτός πιστεύει ότι τα μαθηματικά πρέπει να είναι συνδεδεμένα με την πραγματικότητα, στέκεται στην εμπειρία του παιδιού που είναι σχετική με την κοινωνία. Σε αντίθεση με τη θεώρηση των μαθηματικών ως αντικείμενο που μπορεί να μεταδίδεται, ο Freudenthal επισημαίνει την ιδέα των μαθηματικών ως ανθρώπινη δραστηριότητα. Τα μαθήματα των μαθηματικών θα πρέπει να δίνουν στους μαθητές την καθοδηγούμενη ευκαιρία να ανακαλύψουν ξανά τα μαθηματικά με το να τα πραγματοποιούν. Αυτό σημαίνει ότι στην εκπαίδευση των μαθηματικών, το σημείο στο οποίο επικεντρώνουμε δεν θα πρέπει να είναι τα μαθηματικά ως κλειστό σύστημα αλλά η δραστηριότητα και η διαδικασία της μαθηματικοποίησης (mathematization, Freudenthal, 1968). Η διδασκαλία των ρεαλιστικών μαθηματικών στη πρωτοβάθμια εκπαίδευση της Ολλανδίας, όπως είπαμε, απέφυγε εντελώς την εισαγωγή της θεωρίας συνόλων και επικεντρώθηκε σε πλούσιες θεματικές και εμπειρικά θέματα, στην προσαρμογή των μαθηματικών με άλλα αντικείμενα, διαφοροποίησε την διαδικασία της ατομικής μάθησης και τη συλλογική εργασία σε ανομοιογενείς ομάδες. Τα υλικά αντικείμενα χρησιμοποιήθηκαν μόνο βοηθητικά για τη λύση μερικών προβλημάτων. Για παράδειγμα, η διδασκαλία της πρόσθεσης και της αφαίρεσης σε εξάχρονα παιδιά, δομήθηκε γύρω από το λεωφορείο (Wiskobas). Τα μικρά παιδιά δραματοποιούν τα μαθηματικά και αναπαριστούν σκηνές όπως το να ανεβαίνεις και να κατεβαίνεις από το λεωφορείο. Το άθροισμα παρουσιάζεται με μια ζωγραφιά του λεωφορείου συνδεδεμένο με τόξα τα οποία δείχνουν την κατεύθυνση και φέρουν ένα σημείο που δείχνει πόσοι άνθρωποι ανέβηκαν ή κατέβηκαν από το λεωφορείο. Οι αριθμοί γράφονται παράπλευρα και το λεωφορείο εξαφανίζεται όταν οι σημασίες εγκαθιδρύονται. Οι στρατηγικές που ανακαλύπτονται από τα ίδια τα παιδιά υποστηρίζονται και ακόμη και οι λανθασμένες λύσεις εκτιμώνται ότι έχουν σημασία αν θεωρηθούν πρακτικές λύσεις προβλημάτων σε ειδικά πλαίσια. Η προσέγγιση συνδέεται με σημαντικές διαφορές ως προς το χρόνο που αφιερώνεται στη μάθηση της αριθμητικής.

4 Standards 2000 Οι Αρχές και πρότυπα για τα σχολικά μαθηματικά (Principles and Standards for School Mathematics) δημιουργήθηκαν από το Εθνικό Συμβούλιο των Καθηγητών των Μαθηματικών (NCTM) της Αμερικής με στόχο να γίνουν πηγή πληροφοριών και οδηγός για όλους όσους αποφασίζουν και επηρεάζουν την μαθηματική εκπαίδευση των μαθητών από τα μικρά νήπια μέχρι το τέλος του Λυκείου. Υποστηρίζεται ότι όλοι οι μαθητές θα πρέπει να μάθουν ενδιαφέροντα μαθηματικά και διαδικασίες με κατανόηση. Γίνεται μια συζήτηση για τη σημασία μιας τέτοιας κατανόησης και περιγράφονται δρόμοι με τους οποίους οι μαθητές μπορούν να την αποκτήσουν. Τα Standards 2000 αποτελούν ένα τεράστιο ντοκουμέντο, που παρουσιάζεται με συμβατική και ηλεκτρονική μορφή και στο οποίο ενσωματώνονται τα ευρήματα ερευνών σχετικά με τη διδασκαλία και τη μάθηση, δίνονται διδακτικές και γνωστικές οδηγίες στα περιεχόμενα που διδάσκονται. Ενσωματώνονται οι νέες τεχνολογίες με την παρουσίαση ηλεκτρονικών πακέτων για τη διδασκαλία αρκετών περιεχομένων. Παρουσιάζονται πρότυπα μαθήματα και ιστοσελίδες για την συνεχή επιμόρφωση των εκπαιδευτικών. Ενδιαφέρον παρουσιάζει ο τρόπος εισαγωγής τους, πιο συγκεκριμένα, η ομάδα συγγραφής των Standards 2000 άρχισε να δουλεύει από το 1997 και συνέταξε ένα πρόχειρο κείμενο το οποίο κυκλοφόρησε ευρέως για αντιδράσεις και συζήτηση. Μοιράστηκαν σχεδόν 30.000 αντίγραφα σε άτομα που ενδιαφέρθηκαν να τα διαβάσουν και πολλές δεκάδες χιλιάδες που είχαν πρόσβαση μέσω του διαδικτύου. Συνολικά, ενσωματώθηκαν οι αντιδράσεις από περισσότερα από 650 άτομα και περισσότερες από 70 ομάδες. Το πρόγραμμα αυτό είναι οργανωμένο με βάση τις τέσσερις ηλικιακές βαθμίδες: μικρά νήπια μέχρι 2 η βαθμίδα, βαθμίδες 3-5, βαθμίδες 6-8 και βαθμίδες 9-12. Σε κάθε βαθμίδα αναπτύσσονται αρχικά πέντε πρότυπα που περιγράφουν στόχους από μαθηματικά περιεχόμενα στο χώρο του αριθμού και των πράξεων, της άλγεβρας, της γεωμετρίας, των μετρήσεων και της ανάλυσης δεδομένων και πιθανοτήτων. Τα επόμενα πέντε πρότυπα απευθύνονται στη διαδικασία λύσης προβλήματος, συλλογισμού και απόδειξης, διασυνδέσεων των περιεχομένων, επικοινωνίας και αναπαράστασης. Στα Standards 2000 παρουσιάζονται έξη αρχές οι οποίες δεν αναφέρονται σε συγκεκριμένα μαθηματικά περιεχόμενα ή διαδικασίες. Αυτές περιγράφουν κρίσιμα θέματα, τα οποία εμπλέκονται στο πρόγραμμα των σχολικών μαθηματικών. Οι έξη αρχές για τα σχολικά μαθηματικά αναφέρονται στα παρακάτω θέματα: Ισότητα. Η υπεροχή στην εκπαίδευση των μαθηματικών απαιτεί ισότητα. Υψηλές προσδοκίες και ισχυρή υποστήριξη για όλους τους μαθητές. Αναλυτικό πρόγραμμα. Ένα αναλυτικό πρόγραμμα είναι κάτι περισσότερο από μια συλλογή δραστηριοτήτων: πρέπει να είναι κατανοητό, επικεντρωμένο στα ενδιαφέροντα μαθηματικά, και καλά αρθρωμένο μεταξύ των διάφορων βαθμίδων. Διδασκαλία. Η αποτελεσματική διδασκαλία των μαθηματικών απαιτεί κατανόηση του τι ξέρει ο μαθητής και τι χρειάζεται να μάθει ώστε να τα υποστηρίζει για να τα μάθει καλά. Μάθηση. Οι μαθητές πρέπει να μαθαίνουν τα μαθηματικά με κατανόηση, να οικοδομούν με δράση τη νέα γνώση από τις εμπειρίες και την προηγούμενη γνώση Αξιολόγηση. Η αξιολόγηση θα υποστηρίζει τη μάθηση σημαντικών μαθηματικών και θα μπορεί να προσφέρει χρήσιμες πληροφορίες σε καθηγητές και μαθητές.

5 Τεχνολογία. Η τεχνολογία είναι ουσιαστική στη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών, επηρεάζει τα μαθηματικά που διδάσκονται και εμπλουτίζει τη μάθηση των μαθητών. Τον τελευταίο καιρό υπήρχαν και νεωτεριστικά ερευνητικά προγράμματα που διαπραγματεύονταν μόνο κάποια από τα μαθηματικά περιεχόμενα του αναλυτικού προγράμματος όπως είναι οι αριθμητικές έννοιες. Για παράδειγμα, τέτοια προγράμματα είναι: το National Numeracy Project: 1996-99 στην Αγγλία και το apprentissages numeriques, 1985-88 της ομάδας ERMEL στην Γαλλία. Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε συνοπτικά το πρώτο από αυτά τα προγράμματα. Εθνικό Πρόγραμμα Αριθμητισμού Κάποιοι από τους παράγοντες που επηρέασαν τη δημιουργία του Εθνικού Προγράμματος Αριθμητισμού (National Numeracy Project) ήταν οι εξής: το επίπεδο των θεμελιωδών ικανοτήτων στην αριθμητική, ειδικά την νοερή αρίθμηση και άλλες ικανότητες κλειδιά του αριθμητισμού. η κυριαρχία των σχημάτων τα οποία δίνουν μεγάλη έμφαση στις τυπικές γραπτές μεθόδους σε βάρος των νοερών τεχνικών. και μια προσέγγιση μάθησης που δίνει υπερβολική υπευθυνότητα στους μαθητές για να ελέγχουν τα δικά τους βήματα μάθησης και περιορίζει τον δάσκαλο σε μια διαχείριση της τάξης η οποία εμπλέκει το παιδί σε περιορισμένη άμεση διδασκαλία ή συζήτηση σχετικά με τα μαθηματικά. Ο ορισμός του αριθμητισμού που δίνουν οι υπεύθυνοι αυτού του προγράμματος είναι ο εξής: Αριθμητισμός σημαίνει να γνωρίζεις σχετικά με τους αριθμούς και τις πράξεις. Επιπλέον, εμπεριέχει μια ικανότητα και κλήση για την εφαρμογή αριθμητικής κατανόησης και επιδεξιότητας στη λύση προβλημάτων, συμπεριλαμβανομένων εκείνων που εμπεριέχουν νομίσματα και μετρήσεις. Εμπεριέχει επίσης την οικειότητα με τους τρόπους με τους οποίους οι αριθμητικές πληροφορίες συλλέγονται από την απαρίθμηση και μέτρηση, και την παρουσία τους σε γραφήματα, διαγράμματα και πίνακες. Η προσέγγιση του προγράμματος για τη διδασκαλία του αριθμητισμού αρχικά βασίστηκε σε τρεις αρχές κλειδιά: - μαθήματα μαθηματικών κάθε μέρα, - άμεση διδασκαλία και αλληλεπιδραστική προφορική εργασία με ολόκληρη την τάξη και ομάδες, - μια έμφαση στο νοερό υπολογισμό. Μια τέταρτη αρχή, η ελεγχόμενη διαφοροποίηση προστέθηκε αργότερα. Το πλαίσιο διδασκαλίας των μαθηματικών (The Framework for Teaching Mathematics, DfEE 1988) σχεδιάζει τη διδασκαλία στόχων από τα μαθηματικά περιεχόμενα που διδάσκονται κάθε χρόνο από την τάξη υποδοχής μέχρι το έκτο έτος (Year 6) με σκοπό να βοηθήσει τους μαθητές να γίνουν καλοί στον αριθμητισμό. Καθοδηγεί το καθημερινό μάθημα των μαθηματικών στο οποίο παίρνει μέρος αυτή η διδασκαλία και την αξιολόγηση της προόδου των μαθητών. Το πρόγραμμα κάθε έτους συνοδεύεται από κάποια περιγράμματα προκειμένου να βοηθήσει τους δασκάλους να σχεδιάσουν τη χρονική διάρκεια των μαθημάτων. Αυτό δείχνει πώς τα περιεχόμενα μπορούν να ομαδοποιηθούν σε μονάδες εργασίας σε όλη τη διάρκεια του τριμήνου έτσι ώστε να δοθεί η απαιτούμενη έμφαση στον αριθμητισμό. Ένας αριθμός

6 προτεινόμενων μαθημάτων δίνεται σε κάθε μονάδα και ο χρόνος σχεδιάζεται για μια αξιολόγηση και ανασκόπηση στο μισό τρίμηνο. Το πλαίσιο έχει τέσσερα πεδία, από τα οποία τα τρία έχουν άμεση σχέση με τον αριθμό και το ένα με το χώρο και τα σχήματα. ΟΙ ΑΛΛΑΓΕΣ ΠΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΝΤΑΙ Η νέα διδασκαλία που προτείνουμε επιφέρει πολλές και σημαντικές αλλαγές σε σχέση με τα επικρατούντα σήμερα στην Ελλάδα. Οι αλλαγές αυτές αφορούν αφενός το θεωρητικό υπόβαθρο της διδασκαλίας και αφετέρου το περιεχόμενο της διδασκαλίας. Θεωρητικές αρχές Μέσα από τις σύγχρονες διδακτικές θεωρίες επιλέξαμε εκείνες οι οποίες τονίζουν τα νέα στοιχεία που εισάγουμε με την πρότασή μας στη διδασκαλία. - Η μάθηση είναι μια κατασκευαστική διαδικασία Όπως είναι γνωστό, η συγκρότηση της νέας γνώσης καθώς και η κατανόηση είναι μια εσωτερική διαδικασία που συντελείται από τον ίδιο τον άνθρωπο. Ο μαθητής μαθαίνει δρώντας, όπως έλεγε και ο Piaget. Η μάθηση, λοιπόν, δεν μπορεί να είναι μια διαδικασία όπου η γνώση δίνεται έτοιμη και απορροφάται από τον μαθητή ή μεταδίδεται άμεσα από το στόμα του δασκάλου στον μαθητή. Αυτό σημαίνει για τη διδασκαλία ότι πρέπει να πραγματοποιείται με τέτοιο τρόπο ώστε να δίνει τη δυνατότητα στο μαθητή να συμμετέχει, να προβληματίζεται, να δέχεται ερεθίσματα, να αλληλεπιδρά με τις καταστάσεις που του προσφέρονται και με τους συμμαθητές του για να συντελεστεί η κατασκευή της γνώσης. - Η μάθηση μέσα και έξω από το σχολείο. Προϋπάρχουσες γνώσεις και ικανότητες των μαθητών Ο μαθητής δέχεται γνώση και μάθηση αφενός μεν από το σχολείο αλλά και έξω από αυτό, δηλαδή, από το φυσικό και κοινωνικό περιβάλλον μέσα στο οποίο ζει. Η γνώση και ο τρόπος σκέψης που ισχύει έξω από το σχολείο πρέπει να βρίσκονται σε αρμονία και αλληλοτροφοδότηση με αυτήν του σχολείου. Αυτό σημαίνει για τη διδασκαλία ότι θα πρέπει να γνωρίζουμε τον κόσμο του παιδιού και να οικοδομούμαι τη διδασκαλία με βάση αυτόν. Για παράδειγμα, οι διδακτικές καταστάσεις που παρουσιάζονται θα πρέπει να είναι από τη φυσική και κοινωνική ζωή του παιδιού και να έχουν νόημα για αυτό. Να μην υπάρχει χάσμα του πολιτισμού, του τρόπου σκέψης και της γλώσσας έξω από το σχολείο και μέσα σε αυτό. Σημαντικό ρόλο στη διαδικασία της μάθησης από τον άνθρωπο παίζει η εσωτερική του συγκρότηση και η ήδη υπάρχουσα γνώση δηλαδή, η σχετική με τη νέα γνώση που πρόκειται να αποκτήσει. Έτσι ο άνθρωπος χτίζει τη νέα γνώση επάνω σε αυτήν που ήδη διαθέτει. Οι προϋπάρχουσες γνώσεις και ικανότητες των μαθητών μπορεί να προέρχονται είτε από το σχολείο είτε έξω από αυτό. Αυτό συνεπάγεται για τη διδασκαλία ότι θα πρέπει να είναι γνωστές οι προϋπάρχουσες γνώσεις και ικανότητες των μαθητών ώστε η διδασκαλία να δομηθεί με βάση αυτές. Για παράδειγμα, οι άτυπες στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές για να λύνουν προβλήματα

7 πρόσθεσης και αφαίρεσης (π.χ. χρήση υλικών αντικειμένων) μπορεί να αποτελέσουν το εφαλτήριο για την εισαγωγή αυτών των πράξεων. - Πλούσιες και γόνιμες διδακτικές καταστάσεις και υλικό για τη διδασκαλία Οι μαθητές θα πρέπει να αισθάνονται ότι τα μαθηματικά είναι ένα ανθρώπινο δημιούργημα, χρήσιμα και συνδεδεμένα με τη ζωή, που μπορεί να ανακαλυφτούν και να δημιουργηθούν ξανά από τον καθένα. Ο μαθητής θα πρέπει να βρίσκει ελκυστικό και ενδιαφέρον το περιεχόμενο μάθησης που του προτείνεται, να μπορεί να δρα μέσα σε αυτό, να εφαρμόζει τη γνώση που ήδη διαθέτει, να κάνει σκέψεις, υποθέσεις πιθανά λάθη, να εφαρμόζει μεθόδους, κτλ. Ένα τέτοιο περιεχόμενο μάθησης το ονομάζουμε πλούσιο και γόνιμο διδακτικά. Αυτό σημαίνει για τη διδασκαλία ότι το διδακτικό υλικό, δηλαδή, το περιεχόμενο των σχολικών βιβλίων, οι διδακτικές δραστηριότητες που προτείνει ο δάσκαλος κτλ. θα πρέπει να είναι καλά μελετημένα και οργανωμένα ώστε να επιτρέπουν τη λειτουργία των αρχών που αναφέρουμε εδώ. Δηλαδή, οι μαθητές να μπορούν να ανακαλύπτουν μόνοι τους τις καινούργιες έννοιες και να κατασκευάζουν τη γνώση τους. Να δοκιμάζουν και να εφαρμόζουν τις προϋπάρχουσες γνώσεις τους. Οι δάσκαλοι να μπορούν να καταλαβαίνουν και αξιολογούν τον τρόπο σκέψης και τις γνώσεις των μαθητών και να τις προωθούν σε ανώτερα επίπεδα. - Λόγος, επικοινωνία και αλληλεπίδραση μέσα στην τάξη Η μάθηση δεν είναι μόνο μια διαδικασία ατομική και εσωτερική για τον άνθρωπο αλλά καθορίζεται και επηρεάζεται επίσης από την κοινωνία και το περιβάλλον μέσα στο οποίο ζει. Οι γνώσεις και οι δεξιότητες που προσλαμβάνει ο άνθρωπος από την κοινωνία και το περιβάλλον που ζει, ανήκουν στο ανθρώπινο εποικοδόμημα και έχουν μια ιστορία, οι περισσότερες δημιουργήθηκαν μέσα από επικοινωνία και αλληλεπίδραση με άλλους ανθρώπους. Αυτό σημαίνει για τη διδασκαλία ότι η τάξη θα πρέπει να είναι μια ζωντανή κοινωνική ομάδα μέσα στην οποία γίνεται συζήτηση, εκθέτονται και δοκιμάζονται οι γνώσεις, αξιολογούνται οι προτάσεις και τα λάθη, αναπτύσσονται υποθέσεις, συλλογισμοί και τεκμηριώσεις. Δημιουργείται και δοκιμάζεται η ορθολογική διαδικασία στην επικοινωνία των μαθητών. Η ανάπτυξη της μεταγνωστικής διαδικασίας από την πλευρά του μαθητή τον βοηθάει σε μια καλύτερη κατανόηση. Για παράδειγμα, ζητώντας από τον μαθητή να πει τον τρόπο με τον οποίο βρήκε το αποτέλεσμα σε ένα νοερό υπολογισμό, τον βάζουμε να σκεφτεί να δει και να οργανώσει τον τρόπο με τον οποίο σκέφτηκε. Εκθέτονται οι διάφοροι μέθοδοι και τρόποι σκέψεις σε όλη την τάξη, ακολουθεί συζήτηση μέσα από την οποία κρίνονται αξιολογούνται και επιλέγονται οι πιο σύντομοι και αποτελεσματικοί τρόποι. - Ο νέος ρόλος του δασκάλου Ο ρόλος του δασκάλου σήμερα είναι εντελώς διαφορετικός, σε σχέση με την παραδοσιακή διδασκαλία, ως προς το μαθητή, το περιεχόμενο και τη διαχείριση της τάξης. Όσον αφορά τον παράγοντα μαθητή, ο δάσκαλος θα πρέπει να γνωρίζει τον τρόπο με τον οποίο αυτός μαθαίνει τις μαθηματικές έννοιες. Δίνεται σημασία στα λάθη των παιδιών και γίνεται προσπάθεια να ερμηνευτούν οι αιτίες τους. Πολλές φορές τα λάθη των μαθητών δεν είναι απλά έλλειψη γνώσης, αλλά οφείλονται σε άλλες αιτίες, (όπως

8 π.χ. λάθη που οφείλονται στην ίδια τη φύση των μαθηματικών εννοιών), τις οποίες θα πρέπει να γνωρίζει ο δάσκαλος. Η αντιμετώπιση των απαντήσεων των μαθητών δεν γίνεται πάντοτε στη βάση του σωστού ή λάθους. Πολλές έννοιες όπως, προπαίδεια, κλάσματα, κτλ. αφομοιώνονται σε βάθος χρόνου. Θα πρέπει, λοιπόν, ο δάσκαλος να γνωρίζει τον τρόπο και τον χρόνο που συντελείται η μάθηση από την πλευρά του μαθητή. Όσον αφορά τον παράγοντα περιεχόμενο της διδασκαλίας, ο δάσκαλος δεν μένει προσκολλημένος στο διδακτικό βιβλίο και στη σειρά της ύλης όπως αυτή παρουσιάζεται. Το περιεχόμενο της διδασκαλίας και η σειρά της παρουσίασής του προσαρμόζεται στις ιδιαιτερότητες και το επίπεδο των παιδιών της τάξης. Πολλές διδακτικές καταστάσεις και ασκήσεις θα πρέπει να προσαρμοστούν ή να αντικατασταθούν εντελώς. Ο δάσκαλος θα πρέπει να κρίνει σε ποια περιεχόμενα θα πάει γρήγορα και σε ποια αργά. Καλείται, λοιπόν, ο δάσκαλος να διαχειριστεί το υπάρχον αλλά και να τροποποιήσει ή να δημιουργήσει διδακτικό υλικό. Βεβαίως αναγκαία συνθήκη για την διδασκαλία των μαθηματικών είναι η γνώση σε βάθος των μαθηματικών εννοιών που διδάσκονται. Ο δάσκαλος, λοιπόν, θα πρέπει να γνωρίζει αλλά και να μελετά συνεχώς τα μαθηματικά ως προς το περιεχόμενο αλλά και την ιστορία και τον πολιτισμό τους. Είναι πολλά τα σημεία στα οποία μπορούμε να κάνουμε ιστορικές αναφορές για τα μαθηματικά, ώστε να γίνονται ανθρώπινα, ζωντανά και ενδιαφέροντα. Να συνδέονται με την ελληνική αλλά και την παγκόσμια ιστορία, να γίνονται πολιτισμός και παράδοση. Επιλέγει ο δάσκαλος τα μαθήματα στα οποία θα μπορούσε να κάνει μια διαθεματική προσέγγιση, μαθηματικά και ιστορία, μαθηματικά και γλώσσα, εικαστικά, περιβάλλον, κτλ. Όσον αφορά τη διαχείριση της τάξης, ο δάσκαλος δεν παίζει το ρόλο της αυθεντίας της γνώσης και δεν μονοπωλεί συνεχώς το λόγο. Αν τα μαθηματικά βγαίνουν μέσα από τη δράση του παιδιού, αν τα μαθηματικά είναι συνδεδεμένα με τον πραγματικό κόσμο, αν δεν είναι στείροι κανόνες και τεχνικές, τότε αυτά καλείται να τα ανακαλύψει, να τα κατασκευάσει, να τα συζητήσει και να έρθει αντιμέτωπο με τα λάθη του το ίδιο το παιδί. Ο δάσκαλος, λοιπόν, καλείται να επιλέξει και να διαχειριστεί τις κατάλληλες δραστηριότητες μέσα από τις οποίες θα μπορεί ο μαθητής να προβληματιστεί, να δοκιμάσει τις γνώσεις του, να έρθει σε αντιφάσεις. Ο δάσκαλος αν χρειαστεί, οργανώνει σε ομάδες, δίνει τον κατάλληλο χρόνο, επεμβαίνει εκεί που χρειάζεται, δίνει το λόγο, οργανώνει την πορεία, κτλ. Γίνεται περισσότερο οργανωτής και διαχειριστής μιας κοινότητας που σκέφτεται, που δουλεύει σε ομάδες ή ατομικά, που συζητάει. - Συμβατότητα και ισορροπία του όλου συστήματος. Όροι εφαρμοσιμότητας Οι παραπάνω αρχές θα πρέπει να εφαρμόζονται με τέτοιο τρόπο ώστε το όλο σύστημα της διδασκαλίας/μάθησης να λειτουργεί σε ισορροπία και το αποτέλεσμα να είναι το βέλτιστο. Δεν πρέπει, για θεωρητικούς λόγους, να υπερτονίζεται κάποια πλευρά σε βάρος της ισορροπίας του συστήματος ώστε να δημιουργούνται φαινόμενα παραμόρφωσης της διδασακλίας/μάθησης. Αυτά τα φαινόμενα παραμόρφωσης συνήθως εμφανίζονται στις επιδόσεις των μαθητών σε βραχυχρόνια ή μακροχρόνια κλίμακα. Εμφανίζονται όμως και στη συγκρότηση αλλά και στη συναισθηματική διάθεση των εκπαιδευτικών. Σε αρκετές περιπτώσεις νεωτεριστικών προτάσεων προτείνονται αλλαγές οι οποίες δείχνουν να έχουν το στοιχείο της μη ισορροπίας του συστήματος ή της μη εφαρμοσιμότητας των προτάσεων. Θεωρούμε ότι ο δάσκαλος είναι σημαντικός παράγοντας της διδασκαλίας και επομένως οποιαδήποτε νεωτεριστική πρόταση θα πρέπει πρώτα να περνάει από

9 αυτόν. Θα πρέπει, δηλαδή, να λαμβάνεται υπόψη το επίπεδο των εκπαιδευτικών και τα όρια αντοχής τους σε νέες προτάσεις. Για παράδειγμα, υπάρχουν προτάσεις στις οποίες οι διδακτικές καταστάσεις που προτείνονται είναι σύνθετες, πολύπλοκες και πέρα από τις δυνατότητες των δασκάλων να κατασκευάσουν από μόνοι τους τέτοιο υλικό. Αυτό όμως περιορίζει το ρόλο και τη συμμετοχή του εκπαιδευτικού στη διδασκαλία. Μπορεί, επίσης, στην προσπάθεια μιας πιστής εφαρμογής της θεωρίας ο οδηγίες να είναι υπέρμετρα λεπτομερείς και ασφυκτικές, με αποτέλεσμα πάλι να περιορίζεται ο ρόλος του δασκάλου ο οποίος καλείται να γίνει εκτελεστής εντολών. Αλλαγές στο περιεχόμενο Στη συνέχεια θα αναφερθούμε στις πιο σημαντικές αλλαγές που πραγματοποιήσαμε στο περιεχόμενο της διδασκαλίας στο χώρο των αριθμών και πράξεων, τη λύση προβλημάτων, της γεωμετρίας και των μετρήσεων. Αριθμοί και πράξεις Καταργήσαμε τη στρουκτουραλιστική λογική και την απόδοση των περιεχομένων με βάση τη θεωρία των συνόλων. Επίσης καταργήσαμε τον διαχωρισμό μεταξύ προαριθμητικών και αριθμητικών εννοιών. Η εισαγωγή στους αριθμούς αλλά και στις πράξεις γίνεται με βάση τις άτυπες και προϋπάρχουσες γνώσεις των παιδιών. Δίνονται δραστηριότητες στους μαθητές από την καθημερινή ζωή όπου έχουν νόημα και εφαρμόζονται οι αριθμοί και με αυτόν τον τρόπο προσπαθούμε να κατασκευάσουν τη σημασία των αριθμών. Σημαντικό ρόλο σε αυτήν την πρώτη φάση παίζουν οι διαδικασίες της προφορικής αρίθμησης και απαρίθμησης. Σε αντίθεση με το σημερινό πρόγραμμα δίνεται μεγάλη έμφαση στους νοερούς υπολογισμούς. Στις πράξεις χρησιμοποιούμε και βασιζόμαστε στις άτυπες στρατηγικές των παιδιών, γνωρίζουμε και οδηγούμε μεθοδικά την προοδευτική πορεία προς τις αφαιρετικές διαδικασίες ξεκινώντας από τις διαδικασίες με υλικά. Λειτουργούμε διαφοροποιημένα ανάλογα με τις ικανότητες του κάθε παιδιού. Στους νοερούς υπολογισμούς οι μαθητές εξηγούν τον τρόπο που υπολόγισαν (μεταγνωστική διαδικασία) εκθέτονται στη τάξη και συζητούνται οι διάφοροι μέθοδοι υπολογισμού. Όσον αφορά τις πράξεις δεν προτάσσονται εξαρχής και ξεκομμένα, όπως γίνεται σήμερα, οι γραπτοί τυπικοί αλγόριθμοι των πράξεων. Προτού από τους γραπτούς αλγόριθμους γίνεται μεγάλη εξάσκηση στους νοερούς υπολογισμούς όπου χρησιμοποιούνται και οι άτυπες μέθοδοι υπολογισμού των πράξεων. Στη συνέχεια προοδευτικά οι μαθητές φτάνουν και ανακαλύπτουν μόνοι τους τυπικούς αλγόριθμους. Στο ισχύον αναλυτικό πρόγραμμα δεν διαφοροποιείται η διδασκαλία των αριθμών, ως προς το μέγεθός τους, από τις πράξεις της πρόσθεσης και αφαίρεσης. Δηλαδή, για παράδειγμα, στη δευτέρα τάξη, διδάσκονται οι αριθμοί μέχρι το 100 και παρουσιάζονται οι πράξεις με αριθμούς μέχρι το 100. Στο νέο αναλυτικό πρόγραμμα διαφοροποιείται η διδασκαλία των αριθμών ως προς το μέγεθός τους από τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. Διδάσκονται, δηλαδή, πρώτα οι αριθμοί και επεκτείνονται σε μεγαλύτερο μέγεθος (π.χ. αριθμοί μέχρι το 500) από ότι οι αριθμοί των πράξεων (π.χ. προσθέσεις και αφαιρέσεις με αριθμούς μέχρι το 100). Αυτό γίνεται γιατί φάνηκε σε έρευνες ότι οι μαθητές γνωρίζουν αλλά και μπορούν να

10 μάθουν εύκολα μεγαλύτερους αριθμούς από αυτούς που προβλέπει το ισχύον αναλυτικό πρόγραμμα. Επίσης η γνώση και η εργασία που πραγματοποιείται σε μεγαλύτερους αριθμούς βοηθάει στην διδασκαλία και την εμπέδωση των πράξεων. Λύση προβλημάτων Στη σημερινή διδασκαλία τα προβλήματα έχουν ένα ρόλο μονόπλευρο και περιορισμένο. Προτείνονται μόνο μετά τη διδασκαλία των καινούργιων γνώσεων με σκοπό να συμβάλλουν στην εφαρμογή και εμπέδωση των ήδη διδαχθέντων. Εμείς δίνουμε ιδιαίτερη σημασία και βαρύτητα στη λύση προβλημάτων για τη διδασκαλία των μαθηματικών. Στον όρο «προβλήματα» δίνουμε διάφορες σημασίες και αναφερόμαστε σε ποικίλες δραστηριότητες με τις οποίες ασχολούνται οι μαθητές σε διαφορετικές φάσεις της διδασκαλίας. Για παράδειγμα, μπορεί να προταθούν προβλήματα πριν από τη διδασκαλία του αντίστοιχου περιεχομένου. Η λύση των προβλημάτων αυτών θα βασίζεται στις άτυπες και προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών σχετικά με αυτήν την έννοια. Έτσι, πριν από τη διδασκαλία του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης προτείνουμε προβλήματα που λύνονται με επαναλαμβανόμενη πρόσθεση και με μοιρασιά. Η επαναλαμβανόμενη πρόσθεση και η μοιρασιά είναι οι άτυπες διαδικασίες που χρησιμοποιούν οι μαθητές για να αντιμετωπίσουν καταστάσεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης αντίστοιχα. Χρησιμοποιούμε επίσης, τις προβληματικές καταστάσεις ή διδακτικές καταστάσεις, όπως εννοείται ο όρος στη Γαλλική Διδακτική (G. Brousseau, 1986), για να εισάγουμε καινούργιες έννοιες. Προτείνουμε προβλήματα έρευνας και επιδιώκουμε μακροπρόθεσμους στόχους μάθησης, οι οποίοι σχετίζονται με διάφορες πλευρές της μαθηματικής και γενικότερα της λογικής σκέψης, δηλαδή με παγίωση μαθηματικών συνηθειών και συμπεριφορών, όπως η ικανότητα οργανωμένης και μεθοδικής έρευνας κτλ. Προτείνουμε αρκετά προβλήματα με πολλές λύσεις για να ασκήσουμε τους μαθητές αφενός στο να ερευνούν και να σκέφτονται σε ένα πρόβλημα και αφετέρου στο να συνηθίσουν στο γεγονός ότι τα προβλήματα δεν έχουν πάντοτε μόνο μια λύση. Πραγματοποιούμε επίσης αρκετές αλλαγές όσον αφορά την παρουσίαση των δεδομένων των προβλημάτων. Καταρχήν, το περιεχόμενο των προβλημάτων αναφέρεται στη σύγχρονη καθημερινή ζωή του παιδιού και προσπαθεί να είναι τέτοιο ώστε να δημιουργεί το ενδιαφέρον του παιδιού για να ασχοληθεί με το πρόβλημα. Προτείνουμε επίσης πολλά καινούργια είδη προβλημάτων με σκοπό να ασκηθεί ο μαθητής στο να διαβάζει προσεκτικά τα δεδομένα του προβλήματος ή να τα ξεχωρίζει ανάμεσα από άλλα που παρουσιάζονται σε εικονική ή πραγματική μορφή. Γεωμετρία Οι γεωμετρικές έννοιες στα σημερινά αναλυτικά προγράμματα και σχολικά εγχειρίδια είναι πολύ περιορισμένες. Για παράδειγμα, μόνο πέντε από τα 120 μαθήματα του σημερινού βιβλίου της Β τάξης αναφέρονται σε έννοιες της γεωμετρίας. Στο νέο πρόγραμμα που ακολουθήσαμε αφενός εμπλουτίσαμε τη γεωμετρία με νέα περιεχόμενα και αφετέρου αναβαθμίσαμε τη διδακτική και μαθησιακή της υπόσταση. Κάποια από τα νέα περιεχόμενα που εισάγαμε ήταν τα εξής: Τετραγωνισμένο χαρτί (Καρτεσιανό επίπεδο). Προσδιορισμός θέσεων και σημείων με δύο συντεταγμένες. Χάραξη ευθειών ακολουθώντας διαδοχικές εντολές. Χάραξη και αναπαραγωγή σχημάτων σε λευκό και τετραγωνισμένο χαρτί. Αξονική συμμετρία. Αναγνώριση των συμμετρικών σχημάτων, συμπλήρωση σχημάτων για να