Παρέµβαση στη διδασκαλία των Μαθηµατικών της Α Λυκείου 26 εκεµβρίου 2016
Ο Σκοπός 1 Προσαρµογή µιας σειράς δραστηριοτήτων και παρεµβάσεων στο curriculum των µαθηµατικών της Α Λυκείου που ϑα λαµβάνει υπόψη τις δεξιότητες και την στάση των µαθητών απένατι στη γνώση, του συγκεκριµµένου σχολείου. 2 Την αξιολόγηση ώστε να παίζει ϱόλο στην εξέλιξη του µαθητή καθώς και στην ανατροφοδότηση της διδασκαλίας. 3 Η εισαγωγή της τεχνολογίας σαν εργαλείο : 1 αξιολόγησης 2 ϐελτίωσης του εκπαιδευτικού έργου (ad hock) 3 διδακτικής
Η πυραµίδα των βασικών ανθρώπινων αναγκών
Η αξιολόγηση 1 Εγκυρη σηµαίνει ότι η αξιολόγηση µετρά αποτελεσµατικά αυτό που προορίζεται να µετρίσει. 2 Αξιόπιστη αναφέρεται στο ϐαθµό στον οποίο η αξιολόγηση είναι συνεπής και ακριβής διαχρονικά, ή σε ένα µεγάλο αριθµό µαθητών. 3 Αµερόληπτη αναφέρεται στην ανάγκη να λαµβάνει υπόψη τους παράγοντες που ϑα µπορούσαν να επηρεάσουν την αξιολόγηση καθώς και εκτιµήσεις που ευνοούν συστηµατικά µια οµάδα πάνω από µια άλλη, όπως τα κορίτσια έναντι των αγοριών ή τους καλούς έναντι των κακών.
Η αξιολόγηση 1 Η πρώτη µορφή αξιολόγησης αφορά την αθροιστική αξιολόγηση, που αναφέρεται σαν η αξιολόγηση της µάθησης. Η αθροιστική αξιολόγηση αφορά τα τέστς και τις γραπτές εξετάσεις που χρησιµοποιούνται για να ελέγξουν τις επιδόσεις των µαθητών. 2 Η δεύτερη µορφή αξιολόγησης είναι η διαµορφωτική αξιολόγηση. Αναφέρεται συνήθως σαν αξιολόγηση για τη µάθηση. Η διαµορφωτική αξιολόγηση γίνεται σε πραγµατικό χρόνο και ο εκπαιδευτικός τη χρησιµοποιεί για να καταλάβει πόσο καλά οι µαθητές κατανοήσαν µια νέα ιδέα ή µπορούν να εφαρµόσουν µια νέα δεξιότητα - και παρέχει στον εκπαιδευόµενο ανατροφοδότηση σχετικά µε το τι πρέπει ακόµη να γίνει για να επιτευχθεί ο στόχος της µάθησης. Ο εκπαιδευτικός µπορεί να προσαρµόσει διδακτικές προσεγγίσεις για να καλύψει τις µαθησιακές ανάγκες πιο αποτελεσµατικά. Μια αξιολόγηση ϑεωρείται ως διαµορφωτική από τη στιγµή που µπορεί να κλείσει το µαθησιακό χάσµα και ο µαθητής έχει εκπληρώσει το στόχο. 3 Η τρίτη µορφή αξιολόγησης είναι η αυτο-αξιολόγηση. Η αξιολόγηση αυτή επικεντρώνεται στην προσωπική ανάπτυξη του µαθητή όχι όπως την εννοούν οι άλλοι αλλά όπως µπορεί και την επιθυµεί ο ίδιος ο µαθητής. Αρκετά δύσκολη να εφαρµοσθεί στα δικά µας σχολεία.
Η αξιολόγηση Η αθροιστική αξιολόγηση έχει δύο παραµέτρους 1 την αξιολόγηση εκπλήρωσης των στόχων του αναλυτικού προγράµµατος. Η αξιολόγηση είναι αριθµητική, µε τον σύνηθη τρόπο και 2 την αξιολόγηση µιας οµάδας επιπλέον κριτηρίων που αποτελούν ουσιαστικά δυσδιάκριτες λεπτοµέρειες της προηγούµενης αθροιστικής αξιολόγησης. Αφορούν: τις µαθηµατικές και τις γνωστικές δεξιότητες τη προσωπική εξέλιξη του µαθητή και τη µέτρηση δεξιοτήτων και τεχνικών µάθησης και εµπέδωσης Τα κριτήρια αυτά και την επιµέρους ϐαθµολογία τα έχω αντλήσει από το Πανεπιστήµιο του Kansas στην διεύθυνση Rubistar Teacher4.
Η αξιολόγηση
Η αξιολόγηση Μαθηµατικές έννοιες Μαθηµατική λογική Μαθηµατικά λάθη Συνεργατικότητα Ελεγχος ιαγράµµατα Σχέδια Μαθ. ορολογία Στρατηγική Πληρότητα Επεξηγήσεις
Η αξιολόγηση Στόχος της αθροιστικής αξιολόγησης (διαγωνίσµατα) 1 ο µαθητής πρέπει να γνωρίζει εύκολα και κατανοητά γιατί πέτυχε ή απέτυχε 2 ο µαθητής πρέπει να µπορεί να κάνει ανατροφοδότηση µόνος του (η οποία είναι παράµετρος της αξιολόγησής του) 3 ο καθηγητής πρέπει να γνωρίζει επακριβώς και σε όλη την έκταση τις διαστάσεις της παρέµβασης που ϑα προτείνει στον µαθητή και τις παραµέτρους αξιολόγησης της διδασκαλίας του. Τα ερωτήµατα του διαγωνίσµατος αφορούν στο σύνολο της διδαχθείσας ύλης, δεν παραλείπεται τίποτα. Στο διαγώνισµα δεν υπάρχουν εκπλήξεις ή ερωτήσεις που δεν έχουν επεξεργασθεί στη τάξη.
Η αξιολόγηση
Η αξιολόγηση
Η χρήση των ΤΠΕ Η χρήση των ΤΠΕ λαµβάνει κυρίως µέρος στην αξιολόγηση και στην ανατροφοδότηση της διδασκαλίας. Εχω στη διάθεσή µου τα padlet, µε τα οποία ελέγχω τους µαθητές εκτός σχολικής τάξης. Το padlet είναι ένας ηλεκτρονικός πίνακας που µπορεί να χρησιµοποιηθεί από εµένα αλλά κυρίως από τους µαθητές για επικοινωνία. Ερωτήσεις, υποδείξεις κατάθεση εργασιών γίνονται µέσα από αυτό. Ενσωµατώνονται πολύ εύκολα video, αρχεία, και text οποιασδήποτε µορφής. Για παράδειγµα
Η χρήση των ΤΠΕ Στην οργάνωση των µαθηµατων χρησιµοποιώ το Learning Designer από το London Knowledge Lab - Institute of Education 2013-2016.
Problem Solving - Από τον Polya στο ATC21S Polya 1973 PISA 2003/12 ATC21S 2012 - Πρώτες εργασίες Παρακολούθηση Επαγωγική Προσέγγιση: αναζήτηση επίλυσης ϐηµάτων πληροφοριών και µοτίβων προβλήµατος Polya Συµπερασµατική διαδικασία: κατανόηση λογικών επιχειρηµάτων που να έχουν εφαρµογή στον πραγµατικό κόσµο Κατανόησε Εξερεύνησε Συνέλεξε-µοιράσου πληροφορίες-ϐρες το πως το πρόβληµα κατανόησε συνδέονται µεταξύ τους Εκπόνησε Αναπαρίστανε Ελεγξε τις συνδέσεις - οργάνωσε σχέδιο τυποποίησε κατηγοροποίησε τις πληροφορίες Πραγµατοποίησε Πραγµατοποίησε Κανόνας: ηµιούργησε αλγορίθµους για την το σχέδιο και εκτέλεσε του προβλήµατος χρησιµοποιώντας τη διαδικασία Αν... τότε... Κοίτα πίσω Ελεγχος Αναστοχασµός σχετικά µε το είδος των έλεγχος αναστοχασµός συµπερασµάτων που αντλούνται σχετικά µε τις εξαιρέσεις και τις γενικεύσεις. Αµφισβήτησε γενικεύσεις χρησιµοποιώντας τη διαδικασία Τι ϑα γινόταν αν...
ειγµατικές ασκήσεις - 1 Στην άσκηση αυτή, καλό ϑα είναι να δώσετε στο τέλος µία γενίκευση του ισχυρισµού σας. 1) είξτε ότι 1 3 + 2 3 = (1 + 2) 2 (E 2) Εξηγείστε ϐάσει του παρακάτω γεωµετρικού µοντέλου την αλήθεια της ισότητας E 2 2) είξτε ότι 1 3 + 2 3 + 3 3 = (1 + 2 + 3) 2 (E 3) Εξηγείστε ϐάσει του παρακάτω γεωµετρικού µοντέλου την αλήθεια της ισότητας E 3 3) Ποιό γεωµετρικό µοντέλο ϑα µπορούσε να δικαιολογήσει την αλήθεια των παρακάτω παραστάσεων: 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 = (1 + 2 + 3 + 4) 2 και 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) 2 4) Γενικεύσατε και αποδείξτε.
Στόχοι - Εκτέλεση - Συµπεράσµατα - 1η ΣΤΟΧΟΙ ανάλυση πληροφοριών (αριθµητικών-γεωµετρικών) σύνθεση ιδεών (αριθµητικών - γεωµετρικών) - Στοιχεία Ευκλείδη Αξιολόγηση/αυτο-αξιολόγηση
Στόχοι - Εκτέλεση - Συµπεράσµατα - 1η ΣΤΟΧΟΙ ανάλυση πληροφοριών (αριθµητικών-γεωµετρικών) σύνθεση ιδεών (αριθµητικών - γεωµετρικών) - Στοιχεία Ευκλείδη Αξιολόγηση/αυτο-αξιολόγηση ΕΚΤΕΛΕΣΗ Καθοδηγούµενη διερεύνηση (1η ερώτηση) ηµιουργία µικρών οµάδων εργασίας (αναποτελεσµατική επιλογή) Καθορισµός αποτελέσµατος. Απότοµο άλµα αποκλείει την αρχική µέθοδο ανάλυσης. Γενίκευση. Προσεκτική ανάλυση των γεωµετρικών ϐηµάτων.
Στόχοι - Εκτέλεση - Συµπεράσµατα - 1η ΣΤΟΧΟΙ ανάλυση πληροφοριών (αριθµητικών-γεωµετρικών) σύνθεση ιδεών (αριθµητικών - γεωµετρικών) - Στοιχεία Ευκλείδη Αξιολόγηση/αυτο-αξιολόγηση ΕΚΤΕΛΕΣΗ Καθοδηγούµενη διερεύνηση (1η ερώτηση) ηµιουργία µικρών οµάδων εργασίας (αναποτελεσµατική επιλογή) Καθορισµός αποτελέσµατος. Απότοµο άλµα αποκλείει την αρχική µέθοδο ανάλυσης. Γενίκευση. Προσεκτική ανάλυση των γεωµετρικών ϐηµάτων. Θέµατα που εντάχθηκαν στην πορεία επεξεργασίας του προβλήµατος απο τους ίδιους του µαθητές Αναγνώρισαν την σχέση αριθµητικών και γεωµετρικών ιδεών στην απόδειξη του ϑεωρήµατος του Πυθαγόρα. (Ανάλυση και παρουσίαση της απόδειξης του Ευκλείδη). Εγινε αναφορά στην Πρόταση 4, ϐιβλίο II, Στοιχεία. (Το γεωµετρικό ισοδύναµο της ταυτότητας του αθροίµατος τετραγώνου.)
Στόχοι - Εκτέλεση - Συµπεράσµατα - 1η Συµπεράσµατα Οι µαθητές είναι έτοιµοι να κάνουν ανάκλιση πληροφοριών (Θ. Πυθαγόρα, (x + y) 2 ), το ΑΠΣ δεν µπορεί να τις εκµεταλλευτεί. Η γενίκευση (άλγεβρα) ικανοποιεί την επανάληψη στο γεωµετρικό µοντέλο. Ετσι, διατυπώνουµε τον ισχυρισµό: Σ 2 n = Σ2 n 1 + n3. Η αριθµητική δεν µπορεί να πει κάτι εκτός και αν αφήσει την επαγωγή - µια µέθοδος που πάει από το µερικό στο γενικό - αλλά εδώ ο ϱόλος της γεωµετρίας είναι αρκετά πιο πλούσιος. Φυσικά, δεν έγινε αναγνωρίσιµο, αναµενόµενο! Η µαθηµατική παιδεία δεν προσεγγίζει αλγεβρικές µεθοδολογίες. Περιορίζεται µόνο σε αλγεβρικό λογισµό. εν εκµεταλλευόµαστε την γεωµετρία για να προωθήσουµε µαθηµατικές µεθοδολογίες. Η γεωµετρία µένει άνευ λόγου περιορισµένη στον τοπογραφικό της χαρακτήρα. Αυτό είναι σκάνδαλο! Οι µαθητές στο σύµβολο 5 3 αναγνώρισαν µόνο ένα αντικείµενο, τον κύβο. Αν και δεν ήταν αυτό που χρησιµοποιήθηκε για τη λύση του προβλήµατος, είναι µια εκµεταλλεύσιµη πληροφορία. Ενα εντυπωσιακό λάθος που γίνεται είναι το εξής. Ενώ το πρώτο µέλος (1 + + n) 2 είναι ένα εµβαδόν, παρασυρµένοι από αυτή την γοητευτική γεωµετρική ερµηνεία, ερµηνεύουµε και το δεύτερο µέλος σαν άθροισµα όγκων, συγκεκριµένα κύβων n 3. Ετσι, εννοιολογικά δεν µπορεί να ϕτάσουµε σε αποτέλεσµα.
ειγµατικές ασκήσεις - 2 Ενας πρώτος αριθµός είναι ένας ϕυσικός αριθµός που έχει ακριβώς 2 ϑετικούς διαιρέτες. Για παράδειγµα: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,..., 281, 283, 293. 1η Ερώτηση 1) Γιατί ο 1 δεν είναι πρώτος αριθµός; 2) Γιατί το 2 είναι ο µοναδικός πρώτος άρτιος; 2η Ερώτηση Θεωρείστε τον εξής αλγόριθµο: Επιλέξτε έναν ϕυσικό Υψώστε τον στο τετράγωνο Αφαίρεσε από το αποτέλεσµα τον αρχικό αριθµό Προσθέστε τον αριθµό 11 και γυρίστε το τελικό αποτέλεσµα. 1) Αν ο αρχικός αριθµός είναι ο 20, ποιό είναι το αποτέλεσµα του αλγορίθµου; 2) Αν ο αρχικός αριθµός είναι ο ν, ποιό είναι το αποτέλεσµα του αλγορίθµου; 3) Ποιόν αριθµό πρέπει να εισάγουµε για να πάρουµε 1417; 4) Μπορεί ο αλγόριθµος να δώσει τον αριθµό 100; 5) Επαληθεύστε ότι αν επιλέξουµε ένα ϕυσικό µεταξύ 0 και 9, τότε το αποτέλεσµα ϑα είναι ένας πρώτος αριθµός. 6) Αν επιλέξουµε έναν τυχαίο ϕυσικό, το αποτέλεσµα ϑα είναι ένας πρώτος αρθµός; 3η Ερώτηση Ονοµάζουµε τυχερό αριθµό του Euler, έναν ϕυσικό α 2 τέτοιο ώστε, ν N και 0 ν α 2, ο (ν 2 ν + α) να είναι πρώτος. 1) Βρείτε τους τυχερούς αριθµούς του Euler που είναι µικρότεροι του 11. 2) Η πρόταση - Αν α είναι ένας τυχερός αριθµός του Euler, τότε ο α είναι πρώτος - είναι αληθής ή ψευδής; 3) Γράψτε το αντίστροφο της προηγούµενης πρότασης. Είναι αληθής ή ψευδής; 4) Εχει αποδειχθεί το 1967 ότι υπάρχουν ακριβώς έξι τυχεροί αριθµοί του Euler. Γνωρίζοντας ότι ο µεγαλύτερος είναι ο 41, ποιοί είναι οι αριθµοί αυτοί; ( ες,lucky numbers)
Στόχοι - Εκτέλεση - 2η ΣΤΟΧΟΙ Πειραµατισµός στα µαθηµατικά experimental mathematics Κατασκευή γενικευµένων αλγορίθµων (Maple-Mathematica) Ελεγχος αποτελεσµάτων Ταξινόµηση πληροφοριών
Στόχοι - Εκτέλεση - 2η ΣΤΟΧΟΙ Πειραµατισµός στα µαθηµατικά experimental mathematics Κατασκευή γενικευµένων αλγορίθµων (Maple-Mathematica) Ελεγχος αποτελεσµάτων Ταξινόµηση πληροφοριών ΕΚΤΕΛΕΣΗ Εργασία σε οµάδες Λογισµικό Maple Ισχυρισµός-απόδειξη Γενίκευση. Προσεκτική συγκέντρωση πληροφοριών.
Στόχοι - Εκτέλεση - 2η ΣΤΟΧΟΙ Πειραµατισµός στα µαθηµατικά experimental mathematics Κατασκευή γενικευµένων αλγορίθµων (Maple-Mathematica) Ελεγχος αποτελεσµάτων Ταξινόµηση πληροφοριών ΕΚΤΕΛΕΣΗ Εργασία σε οµάδες Λογισµικό Maple Ισχυρισµός-απόδειξη Γενίκευση. Προσεκτική συγκέντρωση πληροφοριών. Προεκτάσεις Για το Λύκειο: αναζήτηση περισσοτέρων πληροφοριών στο OEIS-A196230 Αν P πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές και M N. Τότε x, k N P(x + km) P(x)(mod M) Πολυώνυµο Dress, Landreau - 2010. Παράγει την µεγαλύτερη ακολουθία πρώτων αριθµών.
ειγµατικές ασκήσεις - 3 Πεπερασµένη Γεωµετρία Αξιώµατα Υπάρχουν 2 όροι: σηµείο και ευθεία και 1 σχέση: πάνω. Ολα τα σχήµατα είναι πλέον πεπερασµένα σύνολα. 1 Υπάρχουν ακριβώς 3 διακεκριµµένα σηµεία στην γεωµετρία 2 Κάθε δύο σηµεία ανήκουν πάνω σε µία µόνο µία ευθεία 3 Ολα τα σηµεία δεν ανήκουν πάνω στην ίδια ευθεία 4 Κάθε δύο διακεκριµένες ευθείες, συναντιώνται πάνω σε ένα τουλάχιστον σηµείο Ασκήσεις Κάθε δύο διακεκριµένες ευθείες συναντιώνται πάνω σε ένα σηµείο ακριβώς. Στην γεωµετρία των 3 σηµείων, υπάρχουν ακριβώς 3 ευθείες. 1 Αν ένα σηµείο δεν ανήκει σε µία ευθεία, υπάρχει ευθεία από το σηµείο που δεν τέµνει την δεδοµένη ευθεία; 2 Από σηµείο εκτός ευθείας πόσες παράλληλες ευθείες έχουµε; 3 Πρέπει οι ευθείες να είναι οι ευθείες της ευκλείδειας γεωµετρίας; 4 Μπορεί 3 ευθείες να είναι πάνω στο ίδιο σηµείο; 5 Υπάρχουν τετράγωνα; 6 Αποδείξτε ότι 3 σηµεία δεν µπορεί να είναι πάνω στην ίδια ευθεία; 7...