Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Transcript

1 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο οποίο όµως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι, αν f ( ) > στο ( a, ) (,β), τότε το f ( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β). Μονάδες 9 Α. α. Πότε το σηµείο Α(, f( )) ονοµάζεται σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f. Μονάδες 3 β. Αν f, g συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού Α, Β αντιστοίχως, τι ονοµάζουµε σύνθεση της f µε την g και ποιο είναι το πεδίο ορισµού της; Μονάδες 3 Α3. Να χαρακτηρίστε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Αν f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] τότε, ο τύπος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες γράφεται β f ( ) g ( ) d β f ( ) g ( ) d = [ f ( ) g ( β )] a a a β) Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ισχύει v v * =, N. z z ν γ) Κάθε συνάρτηση, είναι γνησίως µονότονη. δ) Αν < a < τότε lim log a + = +. * ε) Για κάθε ν N η συνάρτηση f ( ) = v * είναι παραγωγίσιµη στο R µε v f ( ) = v. Μονάδες

2 ΘΕΜΑ Β Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόµενες σχέσεις: z ( z + ) = i z 3 και w = z i, Β. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z. Ποιος είναι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z ; Μονάδες 7 Β. Να βρείτε την µέγιστη τιµή του z z επιτυγχάνεται. και τις τιµές του z για τις οποίες Β3. Αν για τους µιγαδικούς z των προηγούµενων ερωτηµάτων ισχύει z z = και Im( z ) >, τότε να υπολογίσετε την τιµή του z z 3. B4. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών w και να αποδείξετε ότι η απόσταση των εικόνων των z και w είναι ίση µε την απόσταση της εικόνας του z από το σηµείο Α(,). ΘΕΜΑ Γ, αν ίνεται η συνάρτηση f ( ) = e. ln a, αν = Γ. Βρείτε τον a (, + ) ώστε η f να είναι παραγωγίσιµη και δείξτε ότι f () =. Μονάδες 7 Έστω α = e. Γ. α. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία. β. Να βρείτε το σύνολο τιµών της και τις ασύµπτωτες της γραφικής της παράστασης, εφόσον υπάρχουν. Γ3. Να αποδείξτε ότι η εξίσωση dt = f ( t) + 3 έχει µοναδική ρίζα στο (, ).

3 ΘΕΜΑ ίνονται οι συναρτήσεις f, G και F, οι οποίες είναι ορισµένες στο διάστηµα [, + ) µε f παραγωγίσιµη και G δύο φορές παραγωγίσιµη στο ίδιο διάστηµα. Έστω ότι ισχύουν: f () =, G() = και για κάθε είναι f ( ) >, G '( ) > και F( ) = f ( t) dt.. Να αποδείξετε ότι F( ) και G( ) για κάθε.. Να υπολογίσετε το όριο lim [ F( )ln ] τέτοιο, ώστε 3. ίνεται, επιπλέον, ότι F( ξ ) f ( ξ ) ln ξ + =. ξ Μονάδες 5 και να αποδείξτε ότι υπάρχει ξ (, ) [ ] [ ] f ( ) F( ) + f ( ) = G ( ) G( ) + G ( ), για κάθε. Να αποδείξετε ότι: Μονάδες 7 α. F( ) = G( ), για κάθε. Μονάδες 7 β. Για κάθε >, οι εφαπτόµενες των γραφικών παραστάσεων C F, CG στα Β, F και Γ, G αντιστοίχως, τέµνονται σε σηµεία τους ( ( )) ( ( )) σηµείο Α του άξονα y y (µονάδες 3) και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισεµβαδικό µε το χωρίο, που ορίζεται από τις C F, C G και την ευθεία = (µονάδες 3). 3

4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο, έκδοση σελ. 6, θεώρηµα (περίπτωση iii). Α. α. Σχολικό βιβλίο, έκδοση σελ. 75, ορισµός. β. Σχολικό βιβλίο, έκδοση σελ. 43, ορισµός και το πεδίο ορισµού της g f αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισµού της f για τα οποία το f() ανήκει στο πεδίο ορισµού της g. ηλαδή είναι το σύνολο A = A f ( ) B. { } Α3. Λ Σ Λ Λ Σ. ΘΕΜΑ Β Β. Έστω z = + yi. Ισχύει: z ( z + ) = i z 3 ( ) zz + z = + ( ) z 3 ÈÅÌÁÔÁ 3 z z + z = z 3 z z + z + z + 3 = zz + z + z + 3 = + y ( ) = y = y = 4 3 ( + ) + y =. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 9

5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος µε κέντρο Κ(,) και ακτίνα ρ =. εύτερος τρόπος: Για την εξίσωση y ή = έχουµε A + Β 4Γ = 6 + = 4 > Α Β δηλαδή είναι κύκλος µε κέντρο Κ, δηλαδή Κ(-,) και 4 ρ= =. Αφού οι εικόνες των z, z είναι σηµεία συµµετρικά ως προς τον άξονα, ο γεωµετρικός τόπος του z είναι ο συµµετρικός του παραπάνω κύκλου ως προς τον. Συνεπώς είναι ο ίδιος κύκλος, αφού το κέντρο του είναι σηµείο του άξονα. Β. Αφού οι αριθµοί z και z έχουν εικόνες σηµεία του ίδιου κύκλου, τότε η µέγιστη τιµή του z z, δηλαδή η µέγιστη απόσταση των εικόνων τους, επιτυγχάνεται όταν οι εικόνες των µέγιστη τιµή του Οι αριθµοί z z είναι ρ =. z, z είναι σηµεία αντιδιαµετρικά. Συνεπώς η z, z για τους οποίους έχουµε τη µέγιστη τιµή του z z, έχουν εικόνες σηµεία συµµετρικά ως προς τον, αφού είναι συζυγείς (δηλαδή µε την ίδια τετµηµένη και αντίθετη τεταγµένη) και ταυτόχρονα αντιδιαµετρικά του παραπάνω κύκλου. Άρα είναι συµµετρικά και ως προς το κέντρο Κ, δηλαδή έχουν την ίδια τετµηµένη = µε το κέντρο. Συνεπώς οι εικόνες τους είναι οι λύσεις του συστήµατος: Άρα οι αριθµοί = ( + ) + y = = y = = y = ± ÈÅÌÁÔÁ 3 z, z που επιτυγχάνουν τη µέγιστη τιµή του z z είναι οι +i, i ή αντίστροφα µε εικόνες τα σηµεία Α(-,) και Β(--). ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 9

6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ' -3 A(-,) K(-,) - B(-,-) β τρόπος: Είναι z z = yi = y = ρ = y = y = ±. Τότε αντίστροφα. ( ) y ( ) + + = + = =, δηλ. z= + i και z=--i ή Β3. Αφού z z= οι αριθµοί z, z είναι αυτοί που επιτυγχάνουν τη µέγιστη τιµή του και Τότε z z και επειδή Im( z ) > από το ερώτηµα Β. προκύπτει ότι z= i. 3 3 z z i = = i = i = i = i. ÈÅÌÁÔÁ 3 y - z = + i Β4. Οι µιγαδικοί z βρίσκονται σε κύκλο µε κέντρο Κ(-,) και ακτίνα ρ= δηλαδή για το µέτρο τους ισχύει: z ( + i) = z + = Έχουµε: w = z i w + i = z w i = z + 4 w i = ( z + ) w i = z + w ( 4 i) = = δηλαδή οι εικόνες των w ανήκουν σε κύκλο µε κέντρο Λ(-4,-) και ακτίνα ρ =. Έστω τυχαίο σηµείο Μ του παραπάνω κύκλου. Αυτό είναι εικόνα ενός w ' + i µιγαδικού w και για το µιγαδικό z µε z ' = w ' = z ' i είναι w ' ( 4 i) = z ' i i = z ' + 4 = z ' + =. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 3 ΑΠΟ 9

7 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΘΕΜΑ Γ Άρα το Μ είναι σηµείο του ζητούµενου γεωµετρικού τόπου, ο οποίος, εποµένως, είναι ο κύκλος µε κέντρο Λ( 4, ) ακτίνα ρ =. w + i β τρόπος: Αφού w = z i w + i = z z =. Άρα w + i w + i + 4 w ( 4 i) z + = + = = = w ( 4 i) = δηλ. οι εικόνες των w ανήκουν σε κύκλο µε κέντρο Λ(-4,-) και ακτίνα ρ =. Έχουµε w = z i w z = z i w z = z i, δηλαδή η απόσταση των εικόνων των z και w είναι ίση µε την απόσταση της εικόνας του z από την εικόνα του i, που είναι το σηµείο Α(,). Γ. Αφού η f είναι παραγωγίσιµη θα είναι και συνεχής. Είναι lim f ( ) = lim = lim = lim = =. e e e Πρέπει ( e ) f () = lim f ( ) ln a = = ln e a = e. Για την παράγωγο στο έχουµε: f ( ) f () () lim lim e e + e + f = = = lim = lim = ( ) e e e e e lim = lim = = e + e e + e + e e + e + e Γ. α. ( e ) e e e f ( ) = = =,. e ( e ) ( e ) Θέτω g( ) = e e. Τότε g ( ) = e e e = e Αν g ( ) = =. Το πρόσηµο και η µονοτονία των g() και f() φαίνονται στο παρακάτω πίνακα: ÈÅÌÁÔÁ 3. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 9

8 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ g( ) g( ) f ( ) f( ) Αφού η g() παρουσιάζει µέγιστο στο =, το g()=, θα είναι αρνητική για. Άρα η f ( ) είναι αρνητική για κάθε R δηλ. f R. + + ( ) β. Είναι lim f ( ) = lim = lim = lim =, αφού lime = e + ( e ) + e + Άρα η C f έχει οριζόντια ασύµπτωτη στο + την ευθεία y= (άξονας ). Ακόµη lim f ( ) = lim = = +. e Άρα το σύνολο τιµών της f() είναι f (A) = (, + ). Ελέγχουµε για ασύµπτωτη στο. f ( ) Είναι lim = lim e = lim = = και e + e e [ f ( ) ( ) ] = lim ( f ( ) + ) = lim lim lim + e = =. e e Έχουµε ( ) ( ) + lim e = lim lim e = e = e οπότε lim = =. e Άρα η ευθεία y=- είναι πλάγια ασύµπτωτη της C f στο. ÈÅÌÁÔÁ 3 Γ3. Θεωρούµε την συνάρτηση g( ) = dt f ( t) + 3 πράξεις συνεχών συναρτήσεων µε g() = dt = < f ( t) και g() = dt. f ( t) + 3 συνεχή στο [, ] σαν ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 9

9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΘΕΜΑ Όµως f ( t ) > οπότε f ( t) + > δηλ. <. f ( t) + < Άρα dt < ( ) f ( t) + dt < dt < f ( t) + dt < < <. f ( t) + Άρα g()> οπότε από το θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστον µία ρίζα της g()= στο (,). Η ρίζα είναι µοναδική γιατί η g( ) [,] αφού: g ( ) = > αφού < <. f ( ) + f ( ) +. Επειδή για την παραγωγίσιµη f() στο [,+ ) ισχύει f ( ) > θα είναι f() γνησίως αύξουσα στο [,+ ), οπότε για κάθε > έχουµε f ( ) > f () = >. Άρα για > θα είναι f t dt δηλαδή ( ) F() = ( ) =, Για να δείξουµε ότι G( ) f ( t ) dt > F ( ) >. Για = θα είναι F για κάθε. για κάθε κάνουµε τα εξής: α τρόπος: Θεωρούµε την συνάρτηση K( ) = G( ), παραγωγίσιµη στο [,+ ), σαν διαφορά παραγωγίσιµων συναρτήσεων, µε Κ ( ) = G ( ) >. Άρα K( ) [, + ), δηλαδή K( ) > K() = για >. Είναι K() = G() =. Άρα για κάθε [, + ) ισχύει K( ) G( ) G( ). β τρόπος: Αν = τότε G()= δηλαδή ισχύει σαν ισότητα. Αν >, τότε ορίζεται διάστηµα [,], στο οποίο η συνάρτηση Κ(t)=G(t) t είναι συνεχής ως παραγωγίσιµη (διαφορά παραγωγίσιµων συναρτήσεων) και Κ() παραγωγίσιµη στο (,) µε K ( t) = G ( t) >. Άρα από Θ.Μ.Τ. του διαφορικού λογισµού υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), τέτοιο ώστε, ( ) K() ( ) K (ξ)= Κ K (ξ)= Κ. Κ( ) Όµως για ξ> είναι Κ ( ξ ) > > Κ ( ) > G( ) > G( ) >. Άρα για κάθε [, + ) ισχύει K( ) G( ) G( ). ÈÅÌÁÔÁ 3 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 9

10 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 γ τρόπος: Αφού G δύο φορές παραγωγίσιµη θα είναι G συνεχής οπότε: για κάθε t> ισχύει: G ( t) > G ( t) >. Άρα για > θα είναι ( G t ) dt [ G t t] ( ) ( ) ( ) > ( ) > G( ) G() > G( ) >. Για = ισχύει προφανώς σαν ισότητα. Άρα G( ) ÈÅÌÁÔÁ 3 για κάθε.. Γνωρίζουµε ότι η f() είναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής στο [,+ ] οπότε η συνάρτηση lim F( ) = F() =. F( ) = f() t dt θα είναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής. ηλαδή ln F ( ) = = = = F ( ) F ( ) F( ) F ( ) Άρα [ ] ( ) + lim F( ) ln lim lim lim - F ( ) F ( ) F ( ) = lim = lim = lim lim = f ( ) f ( ) f ( ) F( ) F ( ) lim = F() f () ( ) =. f () F( ξ ) Η σχέση f ( ξ ) ln ξ+ = γράφεται για ξ=: ξ F( ) f ( ) ln + = ( F( ) ln ) =. F( )ln, < Θεωρούµε τη συνάρτηση H ( ) = που είναι συνεχής στο, = [,] αφού είναι γινόµενο συνεχών στο (,] και lim H ( ) = = H (). Ακόµη είναι παραγωγίσιµη στο (,) σαν γινόµενο παραγωγίσιµων και είναι H () = = H () αφού l n=. Άρα από το θεώρηµα του Rolle για την Η() θα υπάρχει ξ (,) ώστε F( ξ ) Η ( ξ ) = f ( ξ ) ln ξ + =. ξ 3. α. Έχουµε για κάθε : [ ] [ ] f ( ) F( ) + f ( ) = G ( ) G( ) + G ( ) f ( ) F( ) + f ( ) F ( ) = G ( ) G( ) + G ( ) G( ) ( ) [ ] [ ] [ ] ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 7 ΑΠΟ 9

11 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ( ( ) ( )) (( ( ) ) [ ( ) ]) f F = G G f ( ) F( ) = ( G( ) ) ( G ( ) ) + c. Για = έχουµε: f () F() = ( G() ) ( G () ) + c = + c c =. ηλαδή: f ( ) F( ) = ( G( ) ) ( G ( ) ) f ( ) F( ) = ( G( ) ) ( G ( ) ) ( ) ( ) F ( ) F( ) = ( G( ) ) ( G( ) ) F ( ) = ( G( ) ) Για = έχουµε: F ( ) = ( G( ) ) + c. ( ) F () = G () ) + c = + c c = ηλαδή F ( ) = ( G( ) ) F( ) = G( ), αφού είναι συνεχείς και F( ) και G( ) για κάθε από το ερώτηµα. β. H εφαπτοµένη της G F στο (, ( )) F έχει εξίσωση y F( ) = F ( )( - ) y = f ( )( - ) + F( ) () Η εφαπτοµένη της C G στο (, G( ) έχει εξίσωση y G( ) = G ( )( ) y = G ( )( ) + G( ) () Λύνοντας το (Σ) των εξισώσεων () και () έχω: f ( )( ) + F( ) = G ( )( ) + G( ) ( ) G ( ) ( ) + G( ) = G ( )( ) + G( ) G ( ) G ( ) + = G ( ) G ( ) = δηλαδή οι εφαπτόµενες τέµνονται σε σηµείο Α του άξονα y y. Επειδή για = έχουµε F() = G() F() = G(), τότε το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις C F, C G και την ευθεία = θα είναι E = F( ) G( ) d = d = d =. = ÈÅÌÁÔÁ 3 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 8 ΑΠΟ 9

12 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 y Ο A C G υ C F Γ β Β Υπολογίζουµε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, χρησιµοποιώντας τον τύπο E = β υ. Το ύψος είναι η απόσταση της κορυφής Α, που είναι το σηµείο τοµής των εφαπτοµένων, από την πλευρά ΒΓ που είναι η ευθεία =. Αφού είναι σηµείο του άξονα y y, η απόσταση θα είναι. Σαν βάση θεωρούµε την πλευρά ΒΓ, που σχηµατίζουν τα σηµεία Β(, ΒΓ = F( ) G( ) = F( ) και Γ(, G( ), οπότε ( ) δηλαδή E = = =, άρα ισχύει το ζητούµενο. ÈÅÌÁÔÁ 3 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 9 ΑΠΟ 9