Στοιχειώδη Σωμάτια ΙΙ (8ου εξαμήνου, εαρινό 2011-12) Χ. Πετρίδου Μάθημα 2c Ενεργός διατομή, μέση ελεύθερη διαδρομή και ρυθμός διασπάσεων Στοιχειώδη ΙΙ, Αριστοτέλειο Παν. Θ/νίκης, 6 Μαρτίου 2014
Μαθηµα 3 0 Ενεργός διατοµή Χρυσός Κανόνας του Fermi 6-3-2014
Μετρήσιμες ποσότητες Παρατηρώντας τη φύση για να καταλάβουμε ποιά είναι τα στοιχειώδη σωμάτια και πώς αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, έχουμε τα εξής πειραματικά εργαλεία (μετρήσεις): Pacticle scattering (σκέδαση σωματιδίων) Particle decays (π.χ., π - μ - ν μ ) Bound states of particles: δέσμιες καταστάσεις, π.χ., άτομο, μεσόνιο J/ψ (=c c) 3
Ενεργός διατομή αλληλεπίδρασης και ρυθμός αλληλεπιδράσεων Θ/νίκη - 7-Μαρ-2013 Κ. Κορδάς - Σκέδαση - Χρυσος κανόνας Fermi - παράγοντας φάσεων 4
Τι μπορεί να πάθουν δυό σωματίδια που περνά το ένα από τη γειτονιά του άλλου; Ή δεν θα αισθανθεί κανείς την παρουσία του άλλου Ή θα αλληλεπιδράσουν Η ενεργός διατομή της αλληλεπίδρασης δίνει ένα μέτρο της πιθανότητας αλληλεπίδρασης Βιβλίο Cottingham & Greenwood (C&G): Παράρτημα Α.1- Α.3 Σκέδαση Rutherford : (C&G): Παράρτημα Α.4 5
Αλληλεπιδράσεις και ενεργός διατομή Όταν έχουμε σκέδαση δύο σωματιδίων, μιλάμε για την ενεργό διατομή της αλληλεπίδρασης Έστω ένα σωματίδιο α που προσεγγίζει από κάποια απόσταση έναν ακίνητο πυρήνα Χ, και προσπίπτει τυχαία οπουδήποτε σε μια επιφάνεια π R 2 με κέντρο τον πυρήνα α X R Πιθανότητα αλληλεπίδρασης = σταθερά π R 2 = σ tot π R 2 σ t o t = Ενεργός διατομή της αλληλεπίδρασης μονάδες επιφανείας, σε mb = (10 fm) 2 6
Ενεργός διατομή Όταν έχουμε σκέδαση δύο σωματιδίων, μιλάμε για την ενεργό διατομή της αλληλεπίδρασης Η ενεργός διατομή μπορεί να θεωρηθεί σαν την ενεργός επιφάνεια που παρουσιάζει ο πυρήνας Χ σε σημειακό επερχόμενο σωματίδιο α α σ t o t X R Αλλά δεν είναι το ίδιο! Δεν έχουμε hit or miss στην αλληλεπίδραση σωματιδίων. Βέβαια, η ενεργός διατομή δεν είναι γεωμετρικός παράγοντας, αλλά συλλογική ιδιότητα των δύο σωματιδίων που αλληλεπιδρούν. Εξαρτάται και από τον τύπο των σωματιδίων και από την ενέργειά τους 7
Μιά αίσθηση μεγέθους ενεργών διατομών Ας πάρουμε τη γεωμετρική θεώρηση μιας σκέδασης α σ X R Σωματίδιο α σκεδάζεται από πυρήνα με ακτίνα r =6 fm. Αν θεωρήσουμε το α σημειακό που πέφτει τυχαία οπουδήποτε στον μεγάλο κύκλο R, και επίσης θεωρήσουμε την επιφάνεια σ που παρουσιάζει ο πυρήνας σαν την ενεργό επιφάνεια αλληλεπίδρασης, τότε η ενεργός διατομή αλληλεπίδρασης είναι σ = π * r 2 = 113 fm 2 = 1.13 mb πιθανότητα το α να πέσει πάνω στον πυρήνα = π * r 2 / π * R 2 = σ / (π * R 2 ), με σ=1.13 mb, που είναι σωστή τάξη μεγέθους για ισχυρές αλληλεπιδράσεις. 8
Ενεργός διατομή: επί μέρους και ολική Η ενεργός διατομή δεν είναι γεωμετρικός παράγοντας Εξαρτάται από τα σωματίδια που αλληλεπιδρούν και τις ενέργειές τους π.χ. σ(π+p) > σ(e+p) > σ(ν+p) Ανάλογα με την ερώτηση που θέλουμε να απαντήσουμε, μπορεί να εξαρτάται επίσης και από τα παραγόμενα σωματίδια και τα χαρακτηριστικά τους Mπορούμε να ορίσουμε τις επί μέρους ενεργές διατομές = exclusive cross section ) = σ i π.χ., σ(pp W), σ(pp Z) ολική ενεργός διατομή = inclusive cross section = σ t o t = Σ σ i π.χ., σ tot (pp) = σ(pp W) + σ(pp Z) +... 9
Παράδειγμα: ενεργός διατομή γ+d (d= 2 H= δευτέριο) 1 γ+p Η ενεργός διατομή είναι συλλογική ιδιότητα των δύο σωματιδίων που αλληλεπιδρούν: εξαρτάται από τον τύπο των σωματιδίων και την ενέργειά τους Σχήμα 3.1 στο βιβλίο σας (C&G) 10
Ενεργός διατομή και ρυθμός αντίδρασης Δέσμη σωματιδίων α, προσπίπτει με ταχύτητα υ σε υλικό με πυρήνες Χ Επιφανειακή πυκνότητα της δέσμης α = ρ α = αριθμός σωματιδίων α, ανά μονάδα επιφάνειας da υ*dt Ροή των σωμματιδίων α = αριθμός σωματιδίων α, ανά επιφάνεια da σε χρόνο dt = ρ α * da * υ * dt. Αριθμός σωματιδίων α ανα μονάδα επιφάνειας, ανά μονάδα χρόνου; = ρ α * υ Αριθμός α που διέρχεται από επιφάνεια π R 2 γύρω έναν πυρήνα Χ, στη μονάδα χρόνου (dt=1) : ρ α * υ * π R 2 Πιθανότητα αλληλεπίδρασης ενός α με έναν πυρήνα Χ = Ρυθμός (dn/dt) αλληλεπίδρασης σωματιδίων α με έναν πυρήνα Χ: (ρ α *υ*π R 2 )*(σ/ π R 2 ) = ρ α *υ*σ tot = ροή * ενεργός διατομή α Χ ρ α = επιφανειακή πυκνότητα δέσμης σωματιδίων α σ πr 2 11
Ενεργός διατομή και μέση ελεύθερη διαδρομή Δέσμη σωματιδίων α, προσπιτει με ταχύτητα υ σε υλικό με πυρήνες Χ da υ*dt α Χ ρ Χ = επιφανειακή πυκνότητα πυρήνων Χ Αντίστοιχα με την προηγούμενη σελίδα: Ρυμός αντίδρασης (dn/dt) ενός σωματιδίου α με τους πυρήνες Χ του στόχου: ρ x *υ * σ tot (σαν να είμαι πάνω στο α και να βλέπω τους πυρήνες Χ να έρχονται με ταχύτητα υ, oπότε έχω: ροή των σωματιδίων Χ * ενεργός διατομή αλληλεπίδρασης) Για μία αλληλεπίδραση απαιτείται κατά μέσο όρο χρόνος τ = 1/(ρ x *υ * σ tot ) Μέση ελεύθερη διαδρομή = τ*υ = 1/(ρ x * σ tot ) 12
Πέρασμα δέσμης μέσα από υλικό με πολλούς πυρήνες Όταν μια δέσμη πολλών σωματιδίων α, πέφτει πάνω σε Ν X πυρήνες, τότε ο ρυθμός αλληλεπιδράσεων είναι Ν Χ φορές μεγαλύτερος απ' ότι η δέσμη των σωματιδιων α να πέφτει σε στόχο με έναν μόνο πυρήνα X: dn/dt = Ν Χ * ρ α * υ * σ Αν η δέσμη των σωματιδίων α έχει επιφάνεια Α, και πέφτει πάνω στο στόχο που έχει πάχος dx, Αν οι πυρήνες Χ έχουν πυκνότητα ρ X (=αριθμός πυρήνων / cm 3 ), τότε: Ν Χ = ρ X * όγκος = ρ X * Α * dx 13
Ενεργός διατοµή και ρυθµός αλληλεπίδρασης - συµπυκνωµένα 14
Σκέδαση: α + b a b 15
Σκέδαση και ενεργός διατομή a b σ=κάτι σαν την επιφάνεια που παρουσίαζει το σωματίδιο b στο επερχόμενο σωματίδιο α Αλλά δεν είναι το ίδιο! Δεν έχουμε hit or miss στην αλληλεπίδραση σωματιδίων 16
Σκέδαση και ενεργός διατομή Ισύει και για δέσμες σωματιδίων 17
Ενεργός διατομή: συνάρτηση πολλών παραγόντων Η ενεργός διατομή δεν είναι γεωμετρικός παράγοντας Εξαρτάται από τα σωματίδια που αλληλεπιδρούν π.χ. σ(π+p) > σ(e+p) > σ(ν+p) Εξαρτάται επίσης και από τα παραγόμενα σωματίδια Επίσης, πού πάνε (γωνίες) και γενικά με τι 4-ορμή παράγονται τα σωματίδια αυτά Κάθε δυνατή τελική κατάσταση έχει μια πιθανότητα να συμβεί σ = συνάρτηση πολλών παραγόντων (θ, φ, p, m...) 18
Rutherford scattering σκέδαση vs. θ Σωματίδια α σκεδάζονται από πυρήνες χρυσού Μετράω σε κάθε θέση θ, πόσα σωματίδια α βλέπω μέσα σε χρόνο dt: Επειδή dn/dt = ροή * σ, έχω dn = ροή * dt * σ Επίσης μετράω τον αριθμό των σωματιδίων dn, ανά μονάδα στερεάς γωνίας dω: Δηλαδή μετράω dn/dω Γωνία: θ r θ da dθ dθ=ds/r r Στερεά γωνία: Ω dω=da/r 2 dω = 2π sinθ dθ= 2π d (cosθ) 19
Rutherford scattering - σκέδαση Αν ο πυρήνας είναι σημειακό φοτίο: Rutherford approximatιοn (σημείωση: dσ -> για αλληλεπίδραση που δίνει σκεδαζόμενα σωματίδια σε γωνία θ) dn (θ) dω 1 sin 4 (θ /2 ) 1. Μετράμε: dn dω = (ροή d t) dσ dω dσ dω 1 sin 4 (θ /2) = 1 (1 cosθ ) 2 dσ d (cosθ ) 1 sin 4 (θ /2) = 1 (1 cosθ ) 2 = 2. Βρίσκουμε: σταθ. dσ dω dω = 2π sinθ dθ= 2π d (cosθ) 20
Για συκγρουόμενα σωματίδια L = instantaneous luminosity (γνωρίζω) N = αριθμός γεγονότων (καταμετράω) σ = ενεργός διατομή της αλληλεπίδρασης (υπολογίζω από την εξίσωση): N = L d t σ 21
Αποσύνθεση και ρυθµοί µεταβολής 22
Decay (=disintegration, αποσύνθεση ) Η πιθανότητα να διασπαστεί ( probability to decay ) ένα σωματίδιο στο αμέσως επόμενο χρονικό διάστημα dt είναι ανεξάρτητη από την ηλικία του σωματιδίου Γ = πιθανότητα για decay ανά μονάδα χρόνου = decay rate = decay width N(t+dt) - N(t) = - Γ dt N(t) N(t) = N(0) exp(-γt) Μέσος χρόνος ζωής = mean lifetime = τ = 1/Γ N(t) = N(0) exp(-t/τ) 23
Decay (=disintegration, αποσύνθεση ) Μέσος χρόνος ζωής = mean lifetime = τ = 1/Γ Το Γ είναι αποτέλεσμα των αλληλεπιδράσεων που εμφανίζονται σε μας ως decay του σωματιδίου. Eμείς μετράμε το lifetime ή το decay rate Γ. To Γ υπολογίζεται από τη θεωρία ως decay width = ανάλογο του ( quantum mechanical amplitude of a process ) 2 : Γ = ανάλογο του <f H I N T i> 2 Initial & final states Hamiltonian operator of the interaction <f H I N T i> = M i f = πλάτος της διαδικασίας ή martrix element 24
Decay (=disintegration, αποσύνθεση ) Μέσος χρόνος ζωής = mean lifetime = τ = 1/Γ Αν ένα σωματίδιο μπορεί να κάνει decay με πολλούς (= n) τρόπους, τότε ο ολικός ρυθμός διασπάσεών του (= total decay rate) θα είναι: Γ Τ Ο Τ = Γ 1 + Γ 2 + Γ 3 + + Γ n To lifetime είναι τ = 1/Γ Τ Ο Τ Το ποσοστό των σωματιδίων που κάνουν decay με τον τρόπο i, ονομάζεται branching ratio ή branching fraction Branching ratio for decay mode i = B i = Γ 1 / Γ Τ Ο Τ π.χ., φορτισμένο πιόνιο, π + (= u d) Μάζα π + = 139.6 MeV, Lifetime = 2.6 x 10-8 sec π + μ + ν μ BR= 99.99 % π + e + ν e BR = 1.2 x 10-4 BR φυσική των αλληλεπιδράσεων 25
Κινηματική και Φυσική των αλληλεπιδράσεων Η ενέργεια και ορμή των προϊόντων ενός decay είναι θέμα κινηματικής Η πιθανότητα να συμβεί κάποιο decay και η κατανομή των προϊόντων στο χώρο υπολογίζεται από τη φυσική της αλληλεπίδρασης 26
Σε τρεις (3) διαστάσεις: στερεά γωνία Ω Π.χ. Ισότροπη κατανομή των προϊώντων = Isotropic distribution 27
Isotropic distribution of products 28
Μερικοί σχετικοί ιστότοποι Rutherford scattering: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/rutsca.html#c2 Ενεργός διατομή σκέδασης: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/crosec.html#c5 Great experiments in Physics http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/grexp.html#c1 29
Σχετικιστική κινηματική: Σχετικιστική κινηματική E = mc 2 = η ενέργεια πού έχω επειδή απλά και μόνο έχω μάζα m ενέργεια μάζα c = ταχύτητα του φωτός Η μάζα είναι μια μορφή ενέργειας γενικά, µ ε κινητική ενέργεια Κ,έχουµε : E= Κ+m c 2 E= m γ c 2, όπου γ = 1 1 β 2, και β = υ/c, µ ευ= ταχύτητα σωµατιδίου p= m γ υ= m γ β c,όπου p= ορµή E 2 = ( pc) 2 +(m c 2 ) 2 E [MeV], p [MeV/c], m [MeV/c 2 ] Σηµείωση: µε c = 1, γράφουµε : E 2 = p 2 +m 2,κλπ. 30
c= 197 MeV fm, όπου = h 2π Μονάδες c= 3 10 8 m /s µονάδα ταχύτητας 1 µονάδα ενέργειας ev = 1.6 10 19 C b V = 1.6 10 19 Joule Συνήθως χρησιμοποιούμε το MeV (= 10 9 ev) Σταθερά του Plank = h = 6.626 x 10-3 4 J s α= e 2 e2 [ mks]= 4 πε 0 c c [cgs]= 1 137 α = η σταθερά λεπής υφής = 1/137 µονάδα δράσης (ενέργειας χρόνου) 1 Θα χρησιμοποιούμε παντού: ev για ενέργεια (ή MeV στην πυρηνική), 1/4πε 0 = 1 σε όλους τους τύπους, και θα βάζουμε: Μετράμε: c= 197 MeV fm Μάζα: MeV/c 2 (αφού Ε = mc 2 ) Ορμή: MeV/c (αφού p = mγβc) Χρόνο σε: 1/MeV (αφού η μονάδα δράσης = Ενέργεια * Xρόνος = 1) Μήκος σε: μονάδες χρόνου = 1/MeV (αφού η μονάδα ταχύτητας=1) 1 amu = 1/12 μάζας ουδέτρου ατόμου 12 C = 931.5 MeV/c 2 Mάζα ηλεκτρονίου = 0.511 MeV/c 2 Μάζα πρωτονίου = 938.3 MeV/c 2, Μάζα νετρονίου = 939.6 MeV/c 2 e 2 = α c, όπουα = 1 /137 31