Μάθημα 6o Οπτικό θεώρημα και Συντονισμοί 10/4/2014

Transcript

1 Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων ΙΙ (8ου εξαμήνου) Μάθημα 6o Οπτικό θεώρημα και Συντονισμοί 10/4/014

2 Οπτικό θεώρημα: Συντονισμοί Τι θα συζητήσουμε σήμερα Η ολική ενεργός διατομή μπορεί να βρεθεί γνωρίζοντας το φανταστικό μέρος της ελαστικής σε γωνία μηδέν Η ολική ενεργός διατομή έχει άνω όριο 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί

3 Α. Οπτικό Θεώρημα 3

4 Σκέδαση: 9 Σκέδαση (a) Εισερχόμενα σωμάτια = επίπεδο αδιατάρακτο κύμα (a) Αρχική κατάσταση: Εισερχόμενο κύμα (b) Τελική κατάσταση: Εξερχόμενο κύμα Κέντρο σκέδασης z z ψ i = e ikz ikr cosθ = e Εισερχόμενα σωμάτια: συγκεκριμένη ορμή p (b) Εξερχόμενα σωμάτια = επίπεδο κύμα + σφαιρικό κύμα από το κέντρο σκέδασης 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 4

5 Ανάλυση επίπεδων κυμάτων Επίπεδο κύμα = υπέρθεση μιας σειράς εισερχόμενων και εξερχόμενων σφαιρικών κυμάτων, το καθ ένα με συγκεκριμένη γωνιακή στροφορμή l (και m=0 ανεξάρτητα του φ) εισερχόμενα σφαιρικά κύματα + εξερχόμενα σφαιρικά κύματα 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 5

6 Ανάλυση επίπεδων κυμάτων Επίπεδο κύμα = υπέρθεση μιας σειράς εισερχόμενων και εξερχόμενων σφαιρικών κυμάτων, το καθ ένα με συγκεκριμένη γωνιακή στροφορμή l (και m=0 ανεξάρτητα του φ) εισερχόμενα σφαιρικά κύματα + εξερχόμενα σφαιρικά κύματα Το δυναµικό σκέδασης µπορεί να µεταβάλλει τη φάση (δ l ) το πλάτος (n l ) των εξερχόµενων σφαιρικών κυµάτων 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 6

7 Κύμα σκέδασης και ενεργός διατομή Σκέδαση: 8 (a) Εισερχόμενα σωμάτια = επίπεδο κύμα (b) Εξερχόμενα σωμάτια = επίπεδο κύμα + σφαιρικό κύμα από (a) Αρχική κατάσταση: Εισερχόμενο κύμα (b) Τελική κατάσταση: Εξερχόμενο κύμα Κέντρο σκέδασης ψ i = e ikz = e Κύμα σκέδασης = τελικό αρχικό κύμα z z ikr cosθ το κέντρο σκέδασης 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 7

8 Ανάλυση επίπεδων κυμάτων Επίπεδο κύμα = υπέρθεση μιας σειράς εισερχόμενων και εξερχόμενων σφαιρικών κυμάτων, το καθ ένα με συγκεκριμένη γωνιακή στροφορμή l (και m=0 ανεξάρτητα του φ) εισερχόμενα σφαιρικά κύματα + εξερχόμενα σφαιρικά κύματα Το δυναµικό σκέδασης µπορεί να µεταβάλλει Η ανάπτυξη αυτή ισχύει όταν kr 1 Τυπικά έχουμε: p~100 MeV/c και r~10cm == ΟΚ τη φάση (δ l ) το πλάτος (n l ) των εξερχόµενων σφαιρικών κυµάτων 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 8

9 Κύμα σκέδασης οι λεπτομέρειες Εισερχομενο και εξερχόμενο κυμα = υπέρθεση σφαιρικών κυμάτων, εισερχομένων και εξερχομένων καθ' ένα με συγκεκριμένη γωνιακή στροφορμή l Πλάτος σκέδασης:συνάρτηση των αλλαγών φάσεων δ l & των επί µέρους πλατών η l Partial wave analysis of the Scattering amplitude 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 9

10 Οπτικό θεώρημα 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 10

11 Οπτικό θεώρημα )] 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 11

12 Μερικές ενδιαφέρουσες περιπτώσεις 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 1

13 Μερικές ενδιαφέρουσες περιπτώσεις Σημειώστε ότι σ' αυτή την περίπτωση (η l = 0 ) η ελαστική ενεργός διατομή ΔΕΝ είναι μηδέν, αλλά είναι ίση με την ανελαστική: σ ελ = π ƛ ( l+1) 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 13

14 Μερικές, αλλά ενδιαφέρουσες, περιπτώσεις Απλή κλασική εικόνα για την ανελαστική σκέδαση: Η τροχιακή στροφορμή συνδέεται με την παράμετρο κρούσης και η ενεργός διατομή θεωρείται γεωμετρική επιφάνεια 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 14

15 Μερικές ενδιαφέρουσες περιπτώσεις Ολική ενεργός διατομή: Μέγιστο l, για τη μέγιστη παράμετρο κρούσης (που είναι η εμβέλεια της δύναμης αλληλεπίδρασης) lmax σ ολ = σ αν + σ ελ = π ƛ l= 0 σ ολ lmax max = 4 π ƛ l ( l+1 )) ( l+1) (1 n l cosδ l ) Μέγιστη ολική Οι θεωρίες που φτιάχνουμε δεν επιτρέπεται να δίνουν ενεργές διατομές πάνω από αυτό το ανώτατο όριο!!! (unitarity limit) 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 15

16 Β. Συντονισμοί 16

17 Συντονισμός προτιμητέο partial wave Ας θυμηθούμε το πλάτος σκέδασης και την ενεργό διατομή: F ( ) = 1 k P l (l + 1) n le i 1 i P l (cos ) f l d d : πλάτος επιμέρους κύματος = F ( ) (1) Από τις (1) και την συνθήκη ορθογωνιότητας των πολυωνύμων Legendre, η ενεργός διατομή γίνεται: =4 P l (l + 1) h nl e i 1 i i () για ελαστική σκέδαση (nl =1) =4 P l (l + 1) sin l (3) Τότε για συγκεκριμένη τιμή στροφορμής και ενέργειας στο cms, όταν έχω: l! ) sin l! 1 Aν η ενεργός διατομή που σχετιζεται με ένα επιμέρους κύμα γίνεται μέγιστη Συντονισμός

18 Συντονισμός προτιμητέο partial wave 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 18

19 Συντονισμός προτιμητέο partial wave Μπορεί κάποιο από τα l! να κυριαρχεί στο άθροισμα 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 19

20 Σχέση Breit-Wigner f l = ei l 1 i = ei l [e i l e i l ] i = e i l sin l = sin l cos l i sin l = 1 cot l i (4) Για δ(ε) = π/ έχουμε την μέγιστη τιμή της ελαστικής ενεργού διατομής που αντιστοιχεί σε συντονισμό σε συγκεκριμένο l (επιμέρους κύμα) και συγκεκριμένη τιμή Ε στο κέντρο μάζας Έστω ΕR η ενέργεια στον συντονισμό. Ας αναπτύξουμε κατά Taylor την cotδl (σχέση 4) γύρω από την ΕR : και ορίσουμε τότε το πλάτος γίνεται: f l (E) = l! ) cot l! 0 ) f l! i d cot (E) cot (E) = cot (E R )+(E E R )( de ) E=ER στο συντονισμό d cot (E) de / E=E R = ~/ η ελαστική ενεργός διατομή (E R E) i / el(e) =4 (l + 1) χρόνος ζωής Σχέση Breit-Wigner /4 (E R E) + /4

21 Συντονισμός προτιμητέο partial wave Γ= /τ 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 1

22 Σχέση Breit-Wigner Το Γ είναι το συνολικό πλάτος του συντονισμού και μπορεί να γενικευθεί για σωματίδιο που έχει διαφορετικούς τρόπους διάσπασης. = P i=1...n i οπου Γi το επιμέρους πλάτος της τελικής καταστασης i Λαμβάνοντας υπόψη και ανελαστικές σκεδάσεις τότε η ενεργός διατομή είναι: ij,l =4 (l + 1) i j/4 (E R E) + /4 Γi : επιμέρους πλάτος του συντονισμού να διασπαστεί στην κατάσταση παραγωγής Γj : επιμέρους πλάτος του συντονισμού να διασπαστεί σε διαφορετική κατασταση από την αρχική Αν λάβουμε υπόψη το σπιν s a και s b δύο σωματιδίων a, b, παίρνουμε το μέσο όρο μεταξύ των (s a +1)*(s b +1) δυνατών αρχικών καταστάσεων σπίν el(e) = 4 (J+1) (s a +1)(s b +1) /4 (E R E) + /4

23 Συντονισμός προτιμητέο partial wave Για σκεδαση σωνματιδίων a,b με spin=0, o συντονισμος θα έχει J = l Για σκεδαση σωματιδίων a, b με σπιν s a και s b, παίρνουμε το μέσο όρο μεταξύ των (s a +1)*(s b +1) δυνατών αρχικών καταστάσεων σπίν σ ελ σ max Γ Καµπύλη συντονισµού Breit Wigner (υποθέτουµε ότι ο συντονισµός διασπάται ελαστικά) π + n Δ π + n 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 3

24 Σύνδεση σχέσης Breit-Wigner με τον χρόνο ζωης τ και το πλάτος Γ Οι Συντονισμοί έχουν μορφή Breit-Wigner σαν συνέπεια του τρόπου διάσπασης της κβαντικής τους κατάστασης Η χρονοεξαρτώμενη κυματοσυνάρτηση με μέσο χρόνο ζωής τ : (t) = (0)e i E R ~ t e t = (0)e t ie R + ~ ~ Η εκθετική διάσπαση της κατάστασης έχει πυκνότητα πιθανότητας ρ(t) = ψ*ψ F (E) = Ο μετασχηματισμός Fourier της ψ είναι F (!) = 1R 0 ελαστική ενεργός διατομή Η ενεργός διατοµή είναι η πιθανότητα:a+b c (t)e i Et ~ dt = (0) 1R 0 h exp 1R 0 t i(e R E)+ ~ ~ (t)e i!t dt i dt = Const (E R E) i ~ Γ

25 Συντονισμός παράδειγμα MeV ολική ενεργός διατοµή από διατήρηση της πιθανότητας (unitarity principle) J = 3/ επιβεβαιώνεται και από τη γωνιακή κατανοµή του πιονίου (κατεύθυνση σκεδαζόµενου πιονίου σε σχέση µε το προσπίπτον) 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 5

26 Συντονισμός παράδειγμα 10/4/014 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 6

27 Γ. Η Παραγωγή Σωματιδίων στις Υψηλες Ενέργειες Ωκύτητα, ΨευδοΩκύτητα, Εγκάρσια ορμή 7

28 Ολική & ελαστική ενεργός διατοµή στις υψηλές ενέργειες ~40mb pp Υποθέτοντας γεωµετρική διατοµή πr = 40 mb προκύπτει R cm = 1fm [εµβέλεια ισχυρών δυνάµεων] I = 1, 0 -(1/),(1/) σ ολ ( E 5GeV ) σταθερή ~ 40mbarn pp ενεργός διατοµή pp αναµενόµενο σε χαµηλές ενέργειες ΜΟΝΟ I = 1 (+1/ +1/) περισσότερες στάθµες isospin µεγαλύτερη διαθέσιµη ενέργεια (λόγω εξαϋλωσης) Σε υψηλότερες ενέργειες QFT προβλέπει ενεργές διατοµές ίδιες για σωµάτιο & αντισωµάτιο & ανεξαρτητες του isospin.

29 Ολική ενεργός διατοµή σκέδασης σε µεγάλες ενέργειες SPS : cms 340 GeV/c ~70 mb ποιοτικό ΟΧΙ ΠΟΣΟΤΙΚΟ το απλούστερο µοντέλο απορρόφησης & σκέδασης είναι του µαύρου δίσκου ολικής απορρόφησης n l =0 σ ελ = πλ Σ( l + 1) = πr σ αν = πλ Σ( l + 1) = πr σ = σ + σ πr ολ ελ αν = σ = ελ σ αν R l : 0 l max = λ P = 0 GeV / c, R = 1 ~ περίθλαση ή σκιώδης σκέδαση s : (xpl fm λ = 0.01 fm l = max 100 )

30

31 ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ ΣΤΙΣ ΥΨΗΛΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ Ανελαστικές διαδικασίες µέση πολλαπλότητα <n φορτ <n φορτ = Α + ΒlnS (αργή εξάρτηση από ολική ενέργεια cms) Κατανοµή ορµών δευτερογενών σωµατιδίων inclusive Ed d 3 σ! p 3, ολική ενέργεια E -p =m ορµή δευτερογ. σωµ. E p! = πολλαπλή παραγωγή δευτερογενών σωµατιδίων η διαφορική ενεργός διατοµή παραγωγής του σωµατιδίου: p = p T + p L 3 Ed σ dp dp dp x y AB CX E Cd 3 σ C 3! d pc z = πd( p T d σ ) d( p σύστηµα του εργαστηρίου ΕΙΝΑΙ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΗ ΣΕ µετασχηµατισµούς Lorentz (dp 3 =dp x dp y dp z ) L / E) = F( x, p T, S) T x p = p + p L = p Z x = P P L L max p y (εγκάρσια ορµή) (µεταβλητή Feynman) P L max s

32 Η F(x,P T,s) σε ενέργειες s 10GeV / c Κλιµάκωση-Scaling είναι σχεδόν ανεξάρτητη του s F(x, P T, S) = F 1 (x) F (P T ) η κατανοµή της εγκάρσιας ορµής των δευτερογενών σωµατίων: σχεδόν ανεξάρτητη του s & του P L (x = P L /P Lmax ) dσ dp T dσ dp T ~ εκθετική συνάρτηση του P T µε P T 0.35GeV / c F 1 (x) σταθερό (Β) πdp T d σ d( P L / E) = F(x,P T ) = F 1 (x) F (P T ) d σ = πf y C = ( P 1 T ) dp E ln( E T C B d( P + P P L L ) = L ln( / E) E P + T P L + m ) σταθ. η κατανοµή της διαµήκους ορµής δίνεται σαν συνάρτηση της ωκύτητας (rapidity) y E = P T + PL + m

33 y είναι αναλλοίωτη (κατανοµή) σε µετασχηµατισµούς Lorentz. y E + P L = ln = y P + m T + 1 ln (1 (1 + β β ) ) (σύστηµα ( ) κινούµενο µε ταχύτητα β κατά τον άξονα z) ο µετασχηµατισµός επιφέρει µία απλή µετατόπισή του. dy = dp E L (από ορισµό του y)

34 Oλική ενεργός διατοµή vs P L σ ( PP 40mb) ( fm) T = Η σταθερότητα της σ total µε ενέργεια είναι παράδειγµα της scaling [i.e το µέγεθος της σ total ανεξάρτητο της ενέργειας (energy scale)] < n ch = log s 4 d σ 3 f ( AB CX ) E 3 d P C πιθανότητα/µονάδα προσπίπτουσας ροής να ανιχνευτεί C στο χώρο φάσεων d 3 P C dσ dp T exp( 6P T ) Lorentz invar. ΑΒ σκέδαση σε jets P T µικρή

35 Y max 1 s = ln( ) Y max = Ymin P m T ISR (CERN) s = 31GeV Y C = 1 E C E ln( E C C + TC P P ZC ZC C m = m + 1 ( ln( T Σε πολύ µεγάλες ενέργειες τα max & min του y συµβαίνουν όταν: s για σκέδαση AB CX η περιοχή της y που παράγεται το C: 1 s 1 m Y Ymax Ymin log log m s C s = log αυξάνει ~ του logs m C ) = P E ZC TC (το πλάτος & το ύψος του plateau) C + m P s P ZC ± P TC 0, & ) C ) rapidity plateau <pt=0.35gev

36 Σαν συνάρτηση της S: Το ύψος του y plateau αυξάνει ~ lns Το πλάτος του y plateau αυξάνει ~ lns < n ~ ln ch s

37 Αναλλοίωτη διαφορική ενεργός διατοµή: E d d p 3 3 σ : (inclusive) Μικρό ποσοστό της ενεργειας φτιάχνει νέα σωµάτια < n ch ~ ln s m 1 < ch (90% π+) Το µεγαλύτερο ποσοστό της ενέργειας γίνεται κινητική ενεργεια των παραγόµενων (εξερχόµενων) σωµατιδίων Beam ( jets) P L µεγάλη περιοχή τιµών x -1, 1 P T µικρές τιµές: P T < 1 GeV/c dσ dp ~ exp( 6P T T ) (fig)

38 παραγωγή σωµατιδίων στην περιοχή x = 0 F(x) ~ (1-x) n pp π [ Feynman Scaling ] πτώση καθώς x 1 [κατανοµή ανεξάρτητη της ενέργειας] αναλλοίωτη (inclusive) ενεργός διατοµή vs P T σε fixed x (y lab = 1.5) pp π +... PL x = P P L max L max s ~ x: -1, 1 vs x σε fixed P T (0.4 GeV/c)

39 Η µέση πολλαπλότητα vs (αύξηση ~ log S) s σε pp σκέδαση Σε µεγάλες ενέργειες ( s ) η πολλαπλότητα φορτισµένων σωµατίων αυξάνει πιό γρήγορα από logs. [αύξηση του y plateau width & ύψους logs]

40 Οι συγκρούσεις αδρονίων στις υψηλές ενέργειες είναι ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ. π.χ πολλαπλή παραγωγή δευτερογενών µεσονίων < n ch ~ 1 < n π + < n p πions < n K +, K 90% < n p (ενέργεια στο κέντρο µάζας) < n A+Blns πολλαπλότητα Συγκρούσεις pp (cms) <n φορτ : µέση (ολική) πολλαπλότητα φορτισµένων σωµατιδίων. <n φορτ lns για µεγάλες ενέργειες

41 BackUp Slides 41